MAESTRIA EN INGENIERIA DE CONTROL INDUSTRIAL. Con el apoyo académico de la Universidad Católica de Lovaina y la Universidad de Gante (Bélgica)

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1 MAESTRIA EN INGENIERIA DE CONTROL INDUSTRIAL Con el apoyo académico de la Univeridad Católica de Lovaina y la Univeridad de Gante Bélgica

2 PROGRAMA DE AUTOMATIZACION INDUSTRIAL Univeridad de Ibagué Marzo 9 de 009

3 SEÑALES Y SISTEMAS Ing. M.Sc. PhD Joé Aldemar Muñoz Hernández Correo electrónico: Ing. M.Sc c Ricardo Enrique Troncoo Hernández Correo electrónico: 3

4 . SISTEMAS DE TIEMPO CONTINUO 4

5 SISTEMAS CONTINUOS Sitema Continuo Si la eñale que procea un itema etán definida en un intervalo continuo de tiempo el itema e denominado de Tiempo Continuo. Un itema de ete tipo e repreenta gráficamente como e muetra en la figura de abajo, donde ut e la entrada e e la alida. yt De todo lo itema, lo de mayor importancia práctica on lo lineale invariante en el tiempo LTI, del inglé linear time invariant. 5

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7 SISTEMAS CONTINUOS Sitema LTI cauale decrito por ecuacione diferenciale. Para un itema continuo de una única entrada y una única alida el modelo empleado correponde a una ecuación diferencial ordinaria lineal de coeficiente contante: n n d y t d y t dy t an a... a a0 y t n n n dt dt dt m d x t bm... m dt b0 x t 6

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9 SISTEMAS CONTINUOS Una ecuación diferencial general lineal de orden N con coeficiente contante etá dado por N a d k y t M k k k 0 dt k 0 b k k d x t k dt La olución de eta ecuación diferencial e igual a la uma de la olución de la ecuación homogénea y la olución de la ecuación particular; en otra palabra, un itema decrito por dicha ecuación diferencial reponde ante una entrada con una alida E decir, x t yt. y t y t y t. h p 7

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11 SISTEMAS CONTINUOS y h t En la ecuación anterior, e la repueta natural o olución homogénea del itema o repueta tranitoria, denominada aí ya que i el itema e etable deaparecerá para t. Eta repueta e debida a la hitoria paada del itema condicione iniciale y a la inercia interna del itema dinámica interna para oponere a la aplicación de la entrada. Su forma depende olo de la raíce de la ecuación caracterítica. y p t A e el conoce como la repueta forzada o olución particular o repueta permanente. Eta repueta permanente e debida a la entrada y tiene la mima forma de la función de entrada. 8

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13 SISTEMAS CONTINUOS La olución de ecuacione diferenciale lineale con coeficiente contante e obtendrá uando la tranformada de Laplace.. Veamo un ejemplo de una ecuación diferencial de primer orden, eto para repaar el método habitual de olucionar ete tipo de ecuacione. Ejemplo Un itema fíico eta epecificado implícitamente por la iguiente ecuación diferencial: dy t y t x t dt donde y t denota la alida y xt e la entrada. 9

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15 SISTEMAS CONTINUOS Halle la alida del itema olución de la ecuación diferencial cuando la eñal de entrada e x t Ke 3t u t, donde Solución e un número real. Para la olución particular o repueta permanente que atiface la ecuación planteamo una olución hipotética para t > 0 de la forma donde K Y 3t y t Ye, 3 p e el número que debemo determinar. y p t 0

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17 SISTEMAS CONTINUOS 3 : Reemplazamo la ecuacione y en 3t 3t 3 Ye Ye Ke 3t 4 3Y Y K, Y por lo tanto, la olución particular e y t p K 5 e 3t. 5 K 5 Para la olución homogénea iguiente ecuación homogénea y h t que atiface la

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19 SISTEMAS CONTINUOS dy t y t 0 6 dt planteamo una olución hipotética de la forma Sutituyendo la ecuación Ae Por coniguiente, 6. t y t h 7 Ae La olución homogénea e t 7 en la ecuación 6: t t Ae 0 Ae 0. Ae t e una olución de la ecuación y h t Ae t 8

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21 SISTEMAS CONTINUOS Entonce la olución de la ecuación diferencial e: y t y h t y p t Ae t K 5 e 3t, t > 0 9 Para hallar el valor de neceitamo epecificar una condición auxiliar ademá de la ecuación diferencial Como el itema e caual y LTI la condición auxiliar toma la forma de la condición de repoo inicial. De la ecuación vemo que x t 0 para t < 0 y, por tanto, la condición de repoo inicial implica que y t 0 para t < 0. A. 3

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23 SISTEMAS CONTINUOS Al evaluar la ecuación en y etableciendo y 0 0 e obtiene 9 t 0 Entonce, 0 0 K 30 Ae e A 5 K A K 5 5 y t K 5 0, [ ] 3t t e e, para t > 0, para t < 0 itema caual 4

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25 SISTEMAS CONTINUOS Modelo matemático de itema dinámico Lo itema fíico tale como lo itema mecánico, lo itema eléctrico, e pueden modelar mediante ecuacione diferenciale lineale con coeficiente contante. Sitema eléctrico. Eto modelo e obtienen a partir de la leye de la fíica, en ete cao, la leye de Kirchhoff, la ley de Ohm, etc. Empecemo por lo elemento báico de un itema como on la reitencia, lo condenadore y la bobina. 5

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27 Reitencia. SISTEMAS CONTINUOS De la ley de Ohm tenemo que v t Ri t, R R i R t v t R R R donde e la reitencia eléctrica, v R t e el voltaje obre la reitencia e i R t e la corriente que circula por la reitencia. Su unidad e el ohmio Ω 6

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29 Condenador. SISTEMAS CONTINUOS En la figura vemo un condenador por el que circula una corriente i c t y un voltaje que denominaremo v c t Su unidad e el faradio on F. C Su relacione matemática v c t C t t 0 i c t dt, i c t C dvc t dt 7

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31 SISTEMAS CONTINUOS Inductor. L i L. t v L t. Por el inductor circula una corriente y poee un voltaje La unidad e el henrio H La relacione modelo matemática on: v L L dil t dt, i L L t t 0 v L t 8

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33 SISTEMAS CONTINUOS Ejemplo Hallar la ecuación diferencial que irva como modelo matemático para el iguiente itema eléctrico circuito RLC y que ademá relacione la entrada con la alida v i t entrada itema v 0 t alida itema, 9

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35 SISTEMAS CONTINUOS La ley de Kirchhoff de lo voltaje, exprea que la uma de lo voltaje a travé de una malla e cero. O ea v T 0. Por lo tanto, [a] v R t v t v t v t L C di t Ri t L i t dt vi t dt C [a] e una ecuación integro-diferencial que también modela ete itema eléctrico. i 0 0

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37 SISTEMAS CONTINUOS Pero el ejercicio ugiere como modelo matemático una EDL ecuación diferencial lineal que relacione la eñal de entrada v i t con la eñal de alida v t 0. Obervando el circuito RLC no damo cuenta que el voltaje del condenador e el mimo voltaje de alida, o ea v c t v0 t i t dt i t dt Cv0 t C Ahora derivamo ambo lado de la última ecuación: d dt [ ] d itdt C [ v t] dt 0 it C dvo t dt [b]

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39 SISTEMAS CONTINUOS Reemplazando en obtendremo: Entonce la EDL e la iguiente: [b] [a] t v dt dt t dv C C dt t dv dt d LC dt t dv RC i t v t v dt t dv RC dt t v d LC i t v LC t v LC dt t dv L R dt t v d i ' '' t v t v t v t v i LC LC L R

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41 SISTEMAS CONTINUOS Sitema mecánico. f t Ley de Newton d y t Ma t M M dt dv t dt Ley de Hooke f t Ky t Ley de amortiguamiento vicoo dy t f t B dt 3

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43 RESPUESTA IMPULSO RESPUESTA IMPULSO Conideremo la función F ε ε para 0 t ε, t ε > 0 para t > ε 0 Geométricamente e evidente que cuando ε 0, la altura de la región rectangular ombreada crece indefinidamente y la bae decrece, en tal forma que el área e iempre igual a, e decir t F dt ε t 0 4

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45 RESPUESTA IMPULSO Eta idea ha llevado a alguno ingeniero y fíico a penar en una función limitante, denotada por aproximada por F ε t cuando ε 0. Eta función limitante ha ido llamada la función impulo unitario o función delta de Dirac. Alguna de u propiedade on: a. b. c. δ t dt 0 δ t, δ t G t dt G0 para cualquier función continua G t 0 0 δ t a G t dt G a cualquier función continua G t 5

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47 RESPUESTA IMPULSO Definición de la repueta impulo La repueta impulo e la repueta de un itema, con condicione iniciale iguale a cero, debido a una función impulo o función delta de Dirac. La repueta impulo del itema e puede determinar a partir de la ecuación diferencial que lo decribe. Ejemplo.. Conideremo el itema gobernado por la iguiente ecuación diferencial: Hallar la repueta impulo del itema. Solución. y ' t 4y t 3x t 6

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49 Haciendo Por lo tanto, diferencial: RESPUESTA IMPULSO x t δ t ht e obtiene la repueta debe atifacer la iguiente ecuación h' t 4h t 3δ t y t h t. La parte homogénea de la olución de la ecuación diferencial de primer orden e h t Ce t u t Podemo predecir que la olución particular e cero. La razón e que h t no puede contener una función delta. Si aí fuera, h' t tendría una derivada de una función delta, que no e parte del lado derecho de la ecuación. 7

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51 RESPUESTA IMPULSO Para encontrar la contante utituimo la ecuación en la ecuación obteniendo d dt Ce t u t 4Ce Simplificando eta expreión reulta Ce t δ t Aplicando la propiedad de muetreo de la función impulo tendremo por lo tanto C.5. Entonce la repueta impulo e: C t 3δ t Cδ t 3δ t u t 3δ t h t.5e t u t 8

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53 RESPUESTA IMPULSO. Encontrar la repueta impulo del itema Solución y ' t 3y t La repueta al impulo debería atifacer la iguiente ecuación diferencial: h' t 3h t x t δ t La olución homogénea de eta ecuación e de la forma 3t Ce u t. t t forma h p upongamo una olución particular de la C t δ. La olución general e por tanto 3t h t Ce u t Cδ t 9

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55 RESPUESTA IMPULSO Sutituyendo en la ecuación diferencial obtenemo C [ 3 ] 3t 3t e u t e δ t [ ] 3t C e u t C δ t δ Cδ ' t 3 t δ t δ ' t Igualando lo coeficiente de y de a ambo lado y utilizando la propiedad de deplazamiento de la función reulta δ C, C Por lo tanto la repueta del itema ante una entrada impulo e: 0 h t e 3t u t 30

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57 CONVOLUCION. CONVOLUCION E una operación entre do funcione y e define aí: Para do funcione cualequiera x t y xt, x τ t τ dτ * x x x En la ecuación anterior lo límite de integración e implifican; i x t 0 para t < 0, el límite inferior e hace cero. yt La convolución permite hallar la alida de un itema a cualquier entrada xt a partir de la repueta impulo ht. 3

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59 CONVOLUCION h t 0 para t < Si el itema e caual entonce el limite e hace t, luego la alida de un itema caual e obtendrá mediante la iguiente convolución: y t x t* h t x τ h t τ dτ h τ x t τ dτ t 0 Propiedade de la convolución. Conmutativa: x * x x * x Aociativa: x * x* x3 x * x * x3 x * x * x Ditributiva: x * x x3 x * x x * x3 Elemento Neutro: x * δ δ * x x t

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61 CONVOLUCION La propiedade de convolución en lo itema continuo e muetran en la iguiente gráfica Propiedad conmutativa. Propiedad aociativa. Propiedad ditributiva. 33

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63 Convolución analítica. CONVOLUCION yt Para determinar la repueta alida de un itema uamo la integral de convolución definida anteriormente: y t x t* h t x τ h t τ dτ x t τ h τ dτ t 0 t 0 Ejemplo.. Si la entrada a un itema LTI e y la repueta impulo e hallar la alida yt del itema., x t 0, para para t t > t 3 t h t e co t e ent,

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65 35 CONVOLUCION Solución luego Entonce, τ x t x > 0 para 0, 0 para, τ τ τ t t t x τ τ τ τ τ 3 co en e e h τ τ τ τ τ τ τ d h d h d h t x t y t t t t d e e 0 in 3 co τ τ τ τ τ

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67 CONVOLUCION Evaluamo eta integrale uando: e e at at Por lo tanto t 0 e τ co τdτ at e cobt dt a b en bt dt a τ e y t e at b 3 t 0 e τ in τ dτ a cobt b enbt c a en bt b cobt c co τ enτ 0 t 36

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69 τ 3 e CONVOLUCION. enτ co τ 0 e t t e 5 e t 0 0 e co t ent co0 en0 5 0 e ent co t en0 co0 co t 4 5 e t ent 3 0 e t 5 5 ent 6 0 e t t 0 co t

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71 CONVOLUCION Por coniguiente la repueta yt del itema e t t y t e co t e ent Uando Matlab, el procedimiento e el iguiente ym t tao; y int*exp-tao*co*tao 3/*exp-tao*in*tao,0,t % La repueta que da el Matlab e y -exp-t*co*t /*exp-t*in*t 38

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73 CONVOLUCION Convolución, repueta impulo y etabilidad. Se enfatiza una vez má que un itema en tiempo continuo e etable i y ólo i cualquier entrada acotada da como reultado una alida acotada. xt Sea una entrada acotada que cumple x t < B para todo t. Apliquemo eta entrada a un itema LTI cuya repueta al impulo e ht. Uando la integral de convolución y t x τ h t τ dτ, encontramo que el módulo de la alida e y t h τ x t τ dτ B h τ x t τ h τ dτ dτ 39

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75 CONVOLUCION Entonce, el itema e etable i: h τ dτ < e decir, que la condición uficiente para la etabilidad en el entido BIBO entrada limitada-alida limitada de un itema LTI e que u repueta impulo ea abolutamente integrable. Eta condición e también necearia para la etabilidad. E decir, i no e cumple, podemo encontrar entrada acotada para la que la correpondiente alida no etán acotada. Por ejemplo, ecojamo como entrada la eñal acotada x τ gn h t τ donde t e fijo. [ ] 40

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77 CONVOLUCION Eta eñal e puede ecribir como En ete cao, E claro que i ht y t x t τ gn[ h τ ]. [ h τ ] dτ h τ gn h τ dτ no e abolutamente integrable, yt no etará acotada. t Por ejemplo, el itema con h t e u t e etable, mientra que el itema con h t u t e inetable. 4

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79 Ejemplo. CONVOLUCION Determinar i lo itema con la repueta al impulo que e preenta a continuación on etable o inetable. 3 t t h t te u t e u t δ t.. Vemo que ym t; t 3t h t dt te dt e dt δ t dt etable 4 3 La anteriore integrale e evalúan con Matlab aí: h intt*exp-*t,0,inf intexp3*t,-inf,0 0 4

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81 t h t 3e u t. CONVOLUCION. Entonce tenemo que 0 t h t dt 3e dt, no eta acotada Eta integral e evalua de forma fácil uando Matlab: ym t; h 3* intexp*t,0,inf 3. Para determinar la etabilidad realizamo 0 t h3 t 3e u t. h3 t dt 5 δ t 5 dt 5 etable inetable 43

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83 EJERCICIOS DE CONVOLUCION EJERCICIOS. Reolver la convolución para i la eñal de entrada e repueta impulo e y t x t* h t x t u t u t 4 h t r t y la Solución 44

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85 EJERCICIOS DE CONVOLUCION 45

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87 EJERCICIOS DE CONVOLUCION 46

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89 EJERCICIOS DE CONVOLUCION. Realizar la convolución gráfica de la iguiente eñale Solución 47

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91 EJERCICIOS DE CONVOLUCION Solución 48

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93 EJERCICIOS DE CONVOLUCION 49

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95 EJERCICIOS DE CONVOLUCION Solución 50

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97 EJERCICIOS DE CONVOLUCION 5

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99 EJERCICIOS DE CONVOLUCION 5

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101 EJERCICIOS DE CONVOLUCION 3. Encontrar la repueta de un itema a una entrada conociendo que la repueta impulo e x t u t 0 h t ent u t Solución 53

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103 EJERCICIOS DE CONVOLUCION 54

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105 EJERCICIOS DE CONVOLUCION 4. Un itema lineal invariante en el tiempo tiene la iguiente repueta impulo at h t e u t. Ue la convolución para encontrar la repueta yt para la iguiente entrada x t u t u t 4 Haga un boquejo de yt i a Solución 55

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107 EJERCICIOS DE CONVOLUCION 56

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109 EJERCICIOS DE CONVOLUCION 5. Un itema dinámico tiene como entrada xt una eñal ecalón pao unitario. Determinar la alida yt del itema conociendo la repueta impulo ht dada en la grafica iguiente: Solución 57

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111 EJERCICIOS DE CONVOLUCION. 58

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113 EJERCICIOS DE CONVOLUCION 59

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115 TRANSFORMADAS DE LAPLACE Tranformada de Laplace Sean f t una función del tiempo t tal que f t 0 para t < 0 L una variable compleja un ímbolo operativo que indica que la cantidad a la que antecede e va a tranformar mediante la integral de Laplace La tranformada de Laplace de { } 0 e obtiene mediante t L f t F f t e d t 0 e t F tranformada de Laplace de ft f t dt 60

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117 TRANSFORMADAS DE LAPLACE Continuidad eccional o a trazo Se dice que una función e eccionalmente continua o continua a trazo en un intervalo α t β i e poible partir el intervalo en un número infinito de ubintervalo de tal manera que la función ea continua en cada uno de ello y tenga límite a izquierda y derecha. t t La función de la figura tiene dicontinuidade en, y Eta función e eccionalmente continua. t 3. 6

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119 TRANSFORMADAS DE LAPLACE Funcione de orden exponencial Si exiten contante reale M > 0 y γ tale que para todo t > N γ t γ t e F t < M o F t < Me e dice que Ft e una función de orden exponencial cuando t, o implemente, que e una función de orden exponencial. Ejemplo. F t t e de orden exponencial 3 por ejemplo ya que t e 3t t < e para todo t > 0 t 3. no e de orden exponencial ya que puede hacere má grande que cualquier contante al hacer crecer t. e e 3 e γ γ t t t γ t 3 6

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121 TRANSFORMADAS DE LAPLACE Condicione uficiente para la exitencia de la tranformada de Laplace Teorema. Si f t e eccionalmente continua en cada intervalo finito 0 t N de orden exponencial γ para t > N, entonce exite la tranformada de Laplace F para todo > γ. Otra condicione on: a. f t e eccionalmente continua en cualquier intervalo N t N donde > 0, N n, lim t 0 t n f t 0 b. para cualquier tal que c. f t e de orden exponencial γ para t > N. 0 < n < 63

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123 TRANSFORMADAS DE LAPLACE Tranformada de Laplace de funcione elementale Función exponencial Sea la función exponencial αt Ke, para t 0 f t 0, para t < 0 K α en donde y on contante. La tranformada de Laplace de eta función exponencial e obtiene aí: L[ Ke αt ] 0 Ke αt e Ke α t α dt K 0 Ke α e α 0 α t dt K α Ke α α t 0 64

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125 TRANSFORMADAS DE LAPLACE Función ecalón Sea la función ecalón u t K, 0, para para t t 0 < 0 en donde L K { u t } e una contante. Su tranformada e U t Ke dt 0 0 t 0 Ke Ke Ke 0 K 65

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127 TRANSFORMADAS DE LAPLACE Función rampa Sea la función rampa K en donde e e la pendiente de la recta La tranformada de Laplace de la función rampa e L Uando la fórmula Kt, para t 0 r t 0, para t < 0 { } t r t Kte dt K L 0 0 te t ax e ax xe dx ax a t e K { r t } K[ t ] 0 c t. tenemo 66

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129 TRANSFORMADAS DE LAPLACE Funcione eno y coeno Hallemo la tranformada de Laplace de la función eno K K en ωt, para f t 0, para ω en donde y on contante. t t < 0 0 Uando la formula de integración e ax en bx dx a ax e b a en bx b co bx c tenemo que la tranformada e L { } K en ωt K e t en ωt dt 0 67

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131 TRANSFORMADAS DE LAPLACE lim P P K 0 e t en ωt dt t lim Ke en ωt a co ωt P lim P K K ω ω [ ω i > 0. ω De igual forma e puede verificar que L ω e P { K co ωt} K ω P 0 en ωp ω co ωp ] ω 68

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133 TRANSFORMADAS DE LAPLACE Función impulo Sea la función impulo definida aí δ t 0 para para t t 0 0 La tranformada de Laplace de la función impulo, también denominada función delta de Dirac e { t } L δ 69

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135 TRANSFORMADAS DE LAPLACE Tabla. Pare de tranformada de Laplace 70

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137 TRANSFORMADAS DE LAPLACE 7

138

139 TRANSFORMADAS DE LAPLACE 7

140

141 TRANSFORMADAS DE LAPLACE 73

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143 TRANSFORMADAS DE LAPLACE Alguna propiedade y teorema importante. Propiedad de la linealidad La tranformada de Laplace e una tranformación lineal e decir, cumple con la iguiente expreione: a. L af t al f t af donde a e un b. L { } { } ecalar. { α f t βg t } αl{ f t } βl{ g t } αf βg Ejemplo L 3t 5 { ent} 3L{ t} 5L{ ent} ; >

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145 TRANSFORMADAS DE LAPLACE. Teorema de tralación Primer teorema: Si a e un número real cualquiera, entonce Ejemplo a. L L { ± a t e f t } F ± a donde F L{ f t } 3! 3! { 5t 3} { 3 e t L t } b. L co 6 { t e 4t} L{ co 4t} 6 75

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147 TRANSFORMADAS DE LAPLACE Segundo teorema: Si L Ejemplo a. L t b. Sea f α > 0 entonce { } α { } α f t α u t α e L f t e F 3 3! 6 { } { 3} u t e L t e 4 4 t u t 3u t u t 3, e La tranformada de Laplace de L t e { f t } L{ u t 0 } 3L{ u t } L{ u t 3 } f e 3e e e e 3 76

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149 TRANSFORMADAS DE LAPLACE 3. Cambio de ecala Ejemplo Hallar la Ya que L L L{ en 3t}. { en t}, F 3 L α α { f αt} F entonce donde { en 3t} α 3 77

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151 TRANSFORMADAS DE LAPLACE 4. Teorema de la diferenciación real ' n Si f t, f t,..., f t on continua para t 0 y de orden exponencial, entonce L { n f t } F f n n n ' n f f 0 Ejemplo a. ' L f t { } F f 0 donde f 0 e el valor de f t evaluado en t 0 b. L { '' } ' f t F f 0 f 0 c. L { ''' } 3 ' '' f t F f 0 f 0 f 0 78

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153 TRANSFORMADAS DE LAPLACE 5. Teorema de la integración real Si f t e de orden exponencial, exite la tranformada de la integral definida y etá dado por a. t 0 f t { } f t dt L{ f t } F L t 0 Ejemplo { } en t dt L{ en t} L t 0 4 b. L C I C I c t 0 i t dt 79

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155 TRANSFORMADAS DE LAPLACE 6. Teorema de la diferenciación compleja Si f t e puede tranformar mediante el método de Laplace, entonce, excepto en lo polo de F, d L{ t f t } F d en donde F L{ f t }. En general, n n d L{ t f t } F n d Ejemplo Hallar { L t e t }, como { } L e t F entonce { t} d L t e 3 d 80

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157 TRANSFORMADAS DE LAPLACE 7. Teorema del valor inicial ' Si f t y f t e pueden tranformar por el método de Laplace y i exite el lim entonce Ejemplo Sea f t 3e luego de donde lim t 0 3e f 0 t t F entonce, lim lim 0 f t F t lim 3 3 L 3 { f t } 3 8

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159 TRANSFORMADAS DE LAPLACE 8. Teorema del valor final Ete teorema no permite calcular el límite de la eñal f t cuando t a partir de u tranformada de Laplace mediante la relación f lim f t t lim 0 F Para utilizar el teorema, todo lo polo de F deben etar en el lado izquierdo del plano. Ete teorema e de utilidad en divera aplicacione, como en teoría de control, donde puede er neceario encontrar el valor final valor de etado etacionario de la alida de un itema in conocer la función en el dominio del tiempo. 8

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161 TRANSFORMADAS DE LAPLACE Hay que tener cuidado con la utilización del teorema del lim valor final, ya que puede exitir el 0 F incluo aunque f t no tenga limite cuando t. Por ejemplo, entonce L f luego y i f t co ωt ω { t } F, lim F 0 ω lim 0 f t lim t lim t [co ωt], 0 no exite, ya que ocila entre y. No e aplica el teorema del valor final. 83

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163 TRANSFORMADAS DE LAPLACE Ejemplo lim Dado L{ f t } F. Cuál e el f t? Como el polo de F eta ubicado en el lado lim izquierdo del plano, exite el f t. Entonce i e t puede aplicar el teorema del valor final. lim t f t F lim lim lim f t Ete reultado e puede verificar con facilidad dado que t f t e, para t 0. 84

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165 TRANSFORMADAS DE LAPLACE 9. Tranformada de una función periódica Si f t e periódica de período entonce T, L e { f t } T T 0 f t e t dt Ejemplo Determinar la tranformada de Laplace de la función definida en 0 t < 4 por, f t, para para 0 t t < < 4 f t con condición periódica f t 4 f t. 85

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167 TRANSFORMADAS DE LAPLACE La grafica de la función f t e la iguiente: L 4 t e f t dt 4 e 0 t e dt e 0 { f t } F 4 t e 4 e 4 e t 0 e t 4 dt 86

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169 87 TRANSFORMADAS DE LAPLACE entonce [ ] e e e e e [ ] e e e e e e e e e e F

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171 TRANSFORMADAS DE LAPLACE 0. Tranformada de Laplace de la convolución Utilizando eta propiedad, el calculo de la integral de convolucion e reduce a una imple multiplicación. La propiedad de convolución e exprea aí: x t X h t H luego x t* h t X H donde la convolución y e x t ht x t* h t x τ h t τ dτ 0 Ai la tranformada de Laplace de la convolución e: { } x τ h t τ dτ L{ x* h} L{ x} L{ h} X H L 0 88

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173 TRANSFORMADAS DE LAPLACE Ejemplo Encuentre la tranformada de Laplace de la integral de convolución: en donde x t* h t dτ x t t, h t e t t τ τ e 0 para Oberve que L { t} X y { t L e } t, para La tranformada de Laplace de la integral de convolución e obtiene aí: t t 0 0 H 89

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175 90 TRANSFORMADAS DE LAPLACE Ahora e verifica que la olución obtenida e en verdad la tranformada de Laplace de la integral de convolución, primero e realiza la integral de convolución y depué al reultado obtenido e le aplica tranformada de Laplace. Entonce { } * H X t h t x L 3 3 t t t d e t d e t h t x 0 0 * τ τ τ τ τ τ t e t t 3 e t t L t

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177 TRANSFORMADAS DE LAPLACE Tabla. Propiedade de la tranformada de Laplace 9

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179 TRANSFORMADAS DE LAPLACE 9

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181 TRANSFORMADAS DE LAPLACE TRANSFORMADA INVERSA DE LAPLACE Definición: Si la tranformada de Laplace de una función f t e F, e decir, i L { f t } F, entonce f t e denomina una tranformada invera de Laplace de F y e exprea f t L { F } L donde Laplace. Ejemplo a. L e llama el operador tranformada invera de α α β { αt e co βt} L α α β e α t co βt 93

182

183 94 TRANSFORMADAS DE LAPLACE b. La función tiene como tranformada de Laplace la iguiente Luego la tranformada invera de Laplace de e t e t y 3 7 { } { } Y e L t y L t Y { } t e t y L Y L

184

185 TRANSFORMADAS DE LAPLACE Método para hallar la tranformada invera de Laplace Exiten vario método para determinar tranformada invera de Laplace, alguno de lo cuale on: Método de la fraccione parciale uno de eo método hace uo del teorema del dearrollo de Heaviide. Método de la erie. Método de la ecuacione diferenciale. Método de la fórmula de inverión compleja también denominada fórmula integral de Bromwich. En ete curo uaremo la fraccione parciale y alguno de u método. 95

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187 TRANSFORMADAS DE LAPLACE Método de expanión en fraccione parciale Primer método El proceo de efectuar un dearrollo en fraccione parciale e analizará en tre cao. En cada uno e upondrá que F N a n n n n m m D bm bm a... a a... b b 0 0 Nota: El grado del polinomio N debe er menor que el grado del polinomio D; a eta funcione e le denomina funcione propia. 96

188

189 TRANSFORMADAS DE LAPLACE Cao I: Raíce reale imple Supongamo que F puede ecribire como F N α D donde el número real α no e una raíz de D. entonce podemo ecribir F en la forma K F F α Para determinar eta ecuación por K, e multiplican ambo miembro de α, lo que no lleva lo iguiente: 97

190

191 TRANSFORMADAS DE LAPLACE α F K N D K α F α F Haciendo α, obtenemo una formula para eto e, N N α K α F α α D D α K; El problema de encontrar el dearrollo de fraccione parciale de F e reduce a encontrar el dearrollo en fraccione parciale de F. Obviamente, F F K / α. Si F tiene un polo real imple, podemo repetir el proceo anterior. 98

192

193 99 TRANSFORMADAS DE LAPLACE Ejemplo Hallar i la función e: Solución donde t x X K K K X X 3 9 X 3 9 X K

194

195 00 TRANSFORMADAS DE LAPLACE X K K K 5

196

197 K TRANSFORMADAS DE LAPLACE X K K n Determinado lo reiduo lo utituimo aí: X 9 K K K

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199 0 TRANSFORMADAS DE LAPLACE Luego la tranformada invera de Laplace de e donde e la función ecalón unitario. X { } X L t x L L L L L L t u e e e t t t 3 9 L ut

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201 TRANSFORMADAS DE LAPLACE Cao II: Raíce compleja imple Ya que la raíce compleja de un polinomio con coeficiente reale iempre aparecen en pare conjugado podemo uponer que F tiene la forma F α N jβ α jβ D donde α jβ y α jβ no on raíce de D. Entonce podemo ecribir F como * K K F F α jβ α jβ * donde e determina K y u complejo conjugado K. 03

202

203 04 TRANSFORMADAS DE LAPLACE Expreado de otra forma, Una vez que e han determinado y pueden combinare lo do término correpondiente de la iguiente forma: upongamo que Entonce β α β α β α j D j N F j K β α β β α j D j j N K, * K jy x K jy x K *

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205 05 TRANSFORMADAS DE LAPLACE * β α β α β α β α β α β α β α β α β α β α β α β α β α β α β α y x y j jy jy xj x x y j jy jy xj x x j j j jy x j jy x j jy x j jy x j K j K

206

207 06 TRANSFORMADAS DE LAPLACE Eta e la ecuación que uamo para cuando la función tiene raíce compleja. No olvidar que β α β β α α y x t e A A L t β β α α α co t en e A A L t β β α β α * ECUACION

208

209 07 TRANSFORMADAS DE LAPLACE Ejemplo Hallar la tranforma invera de Laplace de Solución que poee el dearrollo en fraccione parciale V j j V * 0 j K j K K

210

211 TRANSFORMADAS DE LAPLACE Ahora hallamo lo K n, K V K0 08

212

213 09 TRANSFORMADAS DE LAPLACE j V j K j j j j j j j j j j j ] 0[ j j j j j j ] 4 0[ j j j j j j j j

214

215 0 TRANSFORMADAS DE LAPLACE ahora racionalizamo ete termino entonce y u conjugado e, j j j j j j j j j j j j j j, j j 3 j K 3 * j K

216

217 TRANSFORMADAS DE LAPLACE Luego conocemo que entonce 3 3 * 0 j j j j j K j K K Y β α β α j jy x j jy x j j j j 3 3,, 3, β α y x

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219 TRANSFORMADAS DE LAPLACE Sutituyendo lo anteriore valore en la entonce * ECUACION 3 3 { } V L t v 3 L L L t en e t e t v t t 3 co

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221 TRANSFORMADAS DE LAPLACE Cao III: Raíce múltiple Supongamo que F tiene la forma F N n 0 D donde 0 no e una raíz de D y en general e compleja. Entonce podemo ecribir F como K K K K F... n n F n n 0 0 Multiplicando lo do miembro de eta ecuación por n e tiene como reultado:

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223 4 TRANSFORMADAS DE LAPLACE Haciendo e obtiene Para encontrar depué de la multiplicación por e derivan ambo miembro con repecto a Entonce F K K K K F n n n n n n 0, 0 0 n n F K K n n 0. [ ] 0 F d d n

224

225 5 TRANSFORMADAS DE LAPLACE Haciendo en eta ecuación, e obtiene Repitiendo ete proceo, por lo que En general, F n d df K K K n K n n n n n n n 0 [ ] 0 0 n n F d d K [ ] 0 0 n n F d d K [ ] 0 0 n n F d d K [ ] 0,,,..., para! 0 0 n r F d d r K n r r r n

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227 TRANSFORMADAS DE LAPLACE Ejemplo La función F 3 tiene el dearrollo en fraccione parciale donde K 3 K 0 K F K 0 K3 3 K 3 F 3 3 6

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229 7 TRANSFORMADAS DE LAPLACE Aí, de una tabla de pare de tranformada de Laplace Entonce ] [ 3 d d F d d K ] [ 3 3 d d F d d K 3 3 F! n at n a t u e n t L 3 t u e t te e t f t t t

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231 TRANSFORMADAS DE LAPLACE Nota importante Si el grado del polinomio del denominador e menor o igual que el grado del polinomio del numerador funcione impropia, e divide el numerador entre el denominador y depué e exprea F N D como N R F Q D D donde Q e el cociente y R e el reiduo. La diviión larga denominada algoritmo euclidiano de la diviión garantiza que grad R < grad D. Aí, podemo efectuar un dearrollo en fraccione parciale de R D 8

232

233 9 TRANSFORMADAS DE LAPLACE Ejemplo Para la función dividiendo el denominador entre el numerador, obtenemo el dearrollo en fraccione parciale de donde F S S F 9 4 t u e e t t f t t δ

234

235 TRANSFORMADAS DE LAPLACE Segundo método. Fórmula del dearrollo de Heaviide Sean y polinomio en lo cuale e de grado menor que Q y Q tiene n cero diferente α k, k,,3,..., n. Entonce donde P Q Q' L P Q n k α t k P α Q' α e la derivada del polinomio P Eta fórmula e llama el teorema o fórmula del dearrollo de Heaviide. k e k Q. 0

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237 TRANSFORMADAS DE LAPLACE Ejemplo. Raíce reale imple Sea Hallar u tranformada invera de Laplace, Solución Entonce lo on α α, y α, 3 que on la raíce del denominador de 4 H H α, k H. Luego definimo 3 P 4, Q 4 6, { H } h t. L Q' 3 8.

238

239 TRANSFORMADAS DE LAPLACE Aplicando el teorema, tenemo Entonce t t t e Q P e Q P e Q P t h 3 '3 3 ' ' t t t e e e t t t e e e t t t e e e t t t e e e t h

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241 TRANSFORMADAS DE LAPLACE. Raíce compleja imple Sea Encontrar Solución gt. 3 G G 3 3 j j α, α j, α j 3 P 3 ; Q ; Q' 3-3

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243 4 TRANSFORMADAS DE LAPLACE jt jt t e j Q j P e j Q j P e Q P t g ' ' ' jt jt t e j j j e j j j e conjugado e j j e j j e jt jt t j j j j j j j j j jent t e jent t e jt jt co y, co a b c

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245 TRANSFORMADAS DE LAPLACE Reemplazando b y c en a obtenemo: g t t e j co t jent j cot jent. e t cot jent j cot j ent cot jent j cot j ent. 5

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247 TRANSFORMADAS DE LAPLACE e t cot jent j cot ent cot jent j cot ent. e t cot ent ent cot Por lo tanto, L { } t G g t e cot ent. 6

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249 TRANSFORMADAS DE LAPLACE 3. Raíce múltiple Supongamo que F P Q donde P y Q on polinomio, entonce i m Q 0 tiene una raíz de multiplicidad en tanto que la retante raíce b, b,..., b n on toda ditinta entre í, podemo hallar la tranformada invera de Laplace de F uando la iguiente expreione: P F Q A A m... m m a a a b b... A B B α Bn b n Note que la ecuencia de lo polo múltiple e decendente 7

250

251 TRANSFORMADAS DE LAPLACE Lo reiduo de lo polo repetido lo hallamo aí A k Lím a k! d d k k { m a F }, k,,..., m Nota: Sólo e deriva m vece! entonce m m α t A t At bt L { F } e... Am Be... B m! m! bnt n Como ejemplo encontremo la tranformada invera de Laplace para H e. 8

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253 TRANSFORMADAS DE LAPLACE Solución. A0 A A H Encontramo un polo real en y un polo múltiple en. Ya que m, olo derivamo una vez. A 0 H 3 9 A

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255 TRANSFORMADAS DE LAPLACE. A Lím Lím 3 A 3. A! d d Lím 30

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257 3 TRANSFORMADAS DE LAPLACE. Sutituimo en lo y lo encontrado [ ] d d Lím d d Lím A 9 Lím. 9 A H H m A n B

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259 3 TRANSFORMADAS DE LAPLACE Ahora aplicamo la tranformada invera de Laplace: Lo y lo lo podemo calcular uando Matlab: num []; % Polinomio Q den [ ]; % Polinomio P [r,p,k] reiduenum,den % rlo Am y lo Bn; pla raíce polo { } L L L H L t t t e te e t h m A n B

260

261 TRANSFORMADAS DE LAPLACE Aplicacione de la tranformada de Laplace La tranformada de Laplace e puede aplicar a un gran número de problema de análii y dieño de itema, entre ello lo itema de control. La aplicacione e baan en el uo de la propiedade de la tranformada de Laplace, epecialmente la aociada a la difefenciación, la integración y la convolución. Una de la aplicacione má comune e la olución de ecuacione diferenciale lineale con coeficiente contante. Como vimo anteriormente ea ecuacione e uan para modelar itema LTI en tiempo continuo. 33

262

263 TRANSFORMADAS DE LAPLACE El procedimiento e directo y itemático, y e puede reumir en lo iguiente pao:. Dado un conjunto de condicione iniciale, tomar la tranformada de Laplace de ambo miembro de la ecuación diferencial para obtener la ecuación algebraica Y.. Depejar Y. en la ecuación algebraica. 3. Tomar la tranformada invera de Laplace para obtener yt. 34

264

265 TRANSFORMADAS DE LAPLACE Ejemplo Reolver, uando la tranformada de Laplace, la iguiente ecuación diferencial lineal de coeficiente contante y de egundo orden: y' ' t 5y' t con condicione iniciale 6y t u t Aplicando la tranformada de Laplace de ambo miembro obtenemo e t y' 0 y y0 [ ] Y 5[ Y ] 6Y 35

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267 36 TRANSFORMADAS DE LAPLACE Depejando Por último, tomando la tranformada invera de Laplace: Y Y : t u e e e t y t t t

268

269 FUNCION DE TRANSFERENCIA FUNCION DE TRANSFERENCIA. Conidere que la relación entrada-alida de un itema lineal invariante en el tiempo e decribe mediante la iguiente ecuación diferencial de n éimo orden con coeficiente reale contante: n d y t n dt n d y t dy t Ec. an... a a0 y t n dt dt m m d u t d u t du t bm bm... b b0u t m m dt dt dt Para obtener la función de tranferencia del itema lineal que etá repreentado por eta ecuación e aplica 37

270

271 FUNCION DE TRANSFERENCIA la tranformada de Laplace en ambo lado de la ecuación y e uponen condicione iniciale cero. El reultado e: a n... a a Y m m b S b... n n 0 m m b b0 U La función de tranferencia entre y etá dada por: Y G U b b m m m m n n an u t yt e la entrada al itema, u t yt... b b... a a 0 e la alida del mimo 0 Ec. 38

272

273 FUNCION DE TRANSFERENCIA La propiedade de la función de tranferencia e reumen a continuación: La función de tranferencia etá definida olamente para un itema lineal invariante en el tiempo. No etá definida para itema no lineale. La función de tranferencia entre un par de variable de entrada y de alida e la relación entre la tranformada de Laplace de la alida y la tranformada de Laplace de la entrada. Toda la condicione iniciale del itema on cero. La función de tranferencia de un itema de tiempo continuo e exprea ólo como una función de la 39

274

275 FUNCION DE TRANSFERENCIA. variable compleja No e función de la variable real tiempo, o de cualquier otra variable que e utilice como la variable independiente. ut Ahora bien, i la entrada al itema e el impulo untario δ t, e decir, u t δ t entonce yt e la repueta impulo unitaria. La tranformada de Laplace de ut e y la tranformada de y t e H ya que Y H. E decir La función de tranferencia H e la tranformada de Laplace de la repueta impulo unitaria h t 40

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277 Ejemplo FUNCION DE TRANSFERENCIA Halle la función de tranferencia de un itema que tiene como modelo matemático la iguiente ecuación diferencial lineal: y' ' 6y' 8y x' 5x La condicione iniciale on Solución y 0 0, y'0 0. Aplicando la propiedad de la diferenciación real de la tranformada de Laplace tendremo 4

278

279 FUNCION DE TRANSFERENCIA [ Y y0 ] 8Y Y y0 y'0 6 X x0 5X Entonce la función de tranferencia e: Y 6Y 8Y X 5X 6 8 Y 5 X Y 5 H X 6 8 Conocemo que Y H X, i la entrada e x t δ t, entonce aplicando Laplace tendremo que X, por tanto Y H. 4

280

281 POLOS, CEROS Y ESTABILIDAD Ecuación caracterítica La ecuación caracterítica de un itema lineal e define como la ecuación que e obtiene al hacer que el polinomio denominador de la función de tranferencia ea cero. Por coniguiente, de la ecuación Ec., la ecuación caracterítica del itema decrito por Ec. e: n a n n... a a0 La etabilidad de itema lineale SISO etá determinada completamente por la raíce de Ec.. En el ejemplo anterior, la ecuación caracterítica e Ec. 43

282

283 POLOS, CEROS Y ESTABILIDAD Polo de una función Sea una función analítica ; un punto en el cual deja de er analítica e llamado un punto ingular o ingularidad de Exiten vario tipo de ingularidade, entre la que etán, la ingularidade ailada, lo polo, lo punto de ramificación, la ingularidade removible, la ingularidade eenciale y la ingularidad en el infinito. En ete curo etamo intereado únicamente en la ingularidade llamada polo. La definición de un polo e la iguiente: Si G G G. G e una función analítica y i podemo encontrar 44

284

285 POLOS, CEROS Y ESTABILIDAD un entero poitivo n tal que entonce 0 0 lím e llamado un polo imple. 0 [ ] n 0 G A 0, e llamado un polo de orden n. Si n, Ejemplo. Sea 6 7 G 3 5 Eta función tiene un polo de orden en imple en 5 y. 3, y polo 45

286

287 POLOS, CEROS Y ESTABILIDAD. Sea G 3 La función en. 3. Sea G Para hallar lo polo hacemo tiene un polo de orden 3 polo múltiple G G j3 4 j3 Eta función poee do polo complejo en 4 ± j3. 46

288

289 POLOS, CEROS Y ESTABILIDAD Cero de una función G Si una función e analítica, e dice que tiene un cero de orden n en i el límite 0 lím 0 [ 0 G ] n tiene un valor finito diferente de cero. Eto e, 0, G tiene un cero de orden en i G tiene un polo de orden en 0. n n Ejemplo La función G 8 5 tiene un cero en. 47

290

291 POLOS, CEROS Y ESTABILIDAD Etabilidad en itema LTI Conidere que la raíce de la ecuación caracterítica de un itema en tiempo continuo, SISO, lineal e invariante en el tiempo on Si cualquiera i σ i jωi, i,,..., n. de la raíce e compleja, etá en pare conjugado. La poible condicione de etabilidad del itema, en función de la raíce de la ecuación caracterítica, on: Si σ < 0 para todo i, i,,..., n Toda la raíce i etán en el emiplano izquierdo del plano. El itema e etable. 48

292

293 POLOS, CEROS Y ESTABILIDAD σ Si i 0 para cualquier para raíce imple, y no σ > 0 para i,,..., n. Por lo meno una raíz i imple, y ninguna raíz de orden múltiple en el eje jω; y no hay raíce en el emiplano derecho del plano Sitema marginalmente etable o críticamente etable. Si σ i > 0 para cualquier i, o σ i 0 para cualquier raíz de orden múltiple, i,,..., n. Por lo meno una raíz imple en el emiplano derecho del plano o por lo meno una raíz de orden múltiple obre el eje jω. Sitema inetable. i. 49

294

295 POLOS, CEROS Y ESTABILIDAD Ejemplo. G 5 3 Sitema etable. 5 G Sitema inetable debido al polo en. 5 G 3 4 Sitema críticamente etable debido a ± j..5 G 4.5 Sitema inetable debido al polo de orden múltiple en ± j. 50

296

297 POLOS, CEROS Y ESTABILIDAD Grafica de la ubicación de la raíce polo 5

298

299 POLOS, CEROS Y ESTABILIDAD 5

300

301 DIAGRAMAS DE BLOQUES DIAGRAMAS DE BLOQUES. Un diagrama de bloque de un itema e una repreentación gráfica de la funcione realizada por cada componente y del flujo de la eñale. Lo elemento de un diagrama de bloque on el bloque, el punto de uma, el punto de bifurcación y la flecha que indican la dirección del flujo de eñale. a a-b Bloque - b Punto de uma Punto de bifurcación 53

302

303 DIAGRAMAS DE BLOQUES Diagrama de bloque de un itema de lazo cerrado. La iguiente figura preenta un ejemplo del diagrama de bloque de un itema de lazo cerrado R E C - G B H donde R Señal de entrada. H Función de tranferencia G Función de tranferencia B Señal de realimentación. E Señal de error. C Señal de alida. de realimentación. directa. 54

304

305 DIAGRAMAS DE BLOQUES La función de tranferencia de lazo abierto e: B G H E La función de tranferencia directa e: C G E La función de tranferencia de lazo cerrado: Relaciona, la alida C del itema con la entrada de la iguiente forma C E G R 55

306

307 56 DIAGRAMAS DE BLOQUES. pero entonce Sutituyendo en B R E C H B H C R E : [ ] G H C R C G R G H C C G R C G H G H G R C

308

309 DIAGRAMAS DE BLOQUES Procedimiento para trazar de un itema. un diagrama de bloque Se ecriben la ecuacione que decriben el comportamiento dinámico de cada componente. Se aplica la tranformada de Laplace a cada ecuación, uponiendo condicione iniciale iguale a cero. Se repreenta individualmente cada ecuación en forma de bloque. 57

310

311 Ejemplo. DIAGRAMAS DE BLOQUES Hacer una repreentación en diagrama de bloque del itema eléctrico de la iguiente figura donde e o t e i corriente. t voltaje de entrada e la eñal de entrada, voltaje de alida e la eñal de alida e it e 58

312

313 DIAGRAMAS DE BLOQUES Solución. El procedimiento e el iguiente:. Ecuacione dinámica. Tranformada de Laplace ei t eo t i t R e o t i t dt C I a b Ei Eo a R E o I b C 59

314

315 DIAGRAMAS DE BLOQUES 3. Ecuación tranformada repreentada en bloque a b Luego la repreentación en diagrama de bloque e 60

316

317 DIAGRAMAS DE BLOQUES Regla del álgebra de diagrama de bloque 6

318

319 DIAGRAMAS DE BLOQUES 6

320

321 DIAGRAMAS DE BLOQUES Ejemplo Para reducir, implificar un diagrama de bloque e utilizan la anteriore regla del álgebra de bloque. 63

322

323 DIAGRAMAS DE BLOQUES. 64

324

325 ESPACIO DE ESTADOS ESPACIO DE ESTADOS. Una ecuación diferencial de n-éimo orden e puede decomponer en n ecuacione diferenciale de primer orden. Una ecuación de primer orden e má fácil de reolver que otra de orden má alto. Veamo un ejemplo. Vimo ante que el modelo matemático de un itema eléctrico en ete cao un circuito RLC e una ecuación diferencial de egundo orden: di t Ri t L i t dt v t i dt C 65

326

327 ESPACIO DE ESTADOS Para la ecuación diferencial de la ecuación x t i t dt dx t x t i t dt, e tiene: La ecuación e decompone en la iguiente do ecuacione diferenciale de primer orden: dx t x t dt dx t R x t x t vi t dt LC L L 66

328

329 ESPACIO DE ESTADOS De igual forma, para la ecuación diferencial de un itema de n-éimo orden n d y t n dt n d y t dy t an... a a0 y t f t n dt dt e define: x x x n t y t dy t t. dt. n d y t t n dt 3 67

330

331 ESPACIO DE ESTADOS Entonce la ecuación diferencial de n-éimo orden e decompone en n ecuacione diferenciale de primer orden: dx t x t dt dx t 4 x3 t dt.. dx t n a0x t ax t... a x t a x t f t dt n n n n El conjunto de ecuacione diferenciale de primer orden de la ecuación 4 e conoce como ecuacione de etado y x, x,..., x, on llamada variable de etado. n 68

332

333 ESPACIO DE ESTADOS Definición de la variable de etado. El etado de un itema e refiere a la condicione paada, preente y futura del itema. E conveniente definir un conjunto de variable de etado y ecuacione de etado para modelar itema dinámico. La variable x t, x t,..., xn t definida en la ecuación 3 on la variable de etado de un itema de n-éimo orden decrito por la ecuación, y la n ecuacione diferenciale de primer orden on la ecuacione de etado. 69

334

335 ESPACIO DE ESTADOS La variable de etado deben atifacer la iguiente condicione: En cualquier tiempo inicial t t 0 la variable de etado x t0, x t0,..., xn t0 definen lo etado iniciale del itema. t t 0 Una vez que la entrada del itema para y lo etado iniciale ante definido on epecificado, la variable de etado deben definir completamente el comportamiento futuro del itema. 70

336

337 ESPACIO DE ESTADOS La variable de etado de un itema e definen como un conjunto mínimo de variable x t, x t,..., x, de n t cuyo conocimiento en cualquier tiempo y del conocimiento de la información de la entrada de excitación que e aplica ubecuentemente, on uficiente para determinar el etado del itema en cualquier tiempo t > t 0. t 0, 7

338

339 ESPACIO DE ESTADOS Repreentación matricial de la ecuacione de etado. La n ecuacione de etado de un itema dinámico de n-éimo orden e repreentan como: dx t dt en donde i f i [ x t, x t,..., x t, u t, u t,..., u ] n p t i,,..., n. Sean la variable y t, y t,..., y la q q variable de t 5 alida del itema. La variable de alida on funcione de la variable de etado y de la variable de entrada. 7

340

341 ESPACIO DE ESTADOS La ecuacione de alida e pueden exprear como: y en donde [ x t, x t,..., x t, u t, u t,..., u ] t g j n j p t j,,..., q. El conjunto de la n ecuacione de etado de la ecuación 5 y la q ecuacione de alida de la ecuación 6 forman la ecuacione dinámica. 6 Por facilidad de expreión y manipulación, e conveniente repreentar la ecuacione dinámica en forma matricial. Se definen lo iguiente vectore: 73

342

343 74 ESPACIO DE ESTADOS Vector de etado Vector de entrada Vector de alida x n t x t x t x t n x x p t u t u t u t p u x q t y t y t y t q y

344

345 ESPACIO DE ESTADOS Mediante la utilización de lo anteriore vectore, la n ecuacione de etado de la ecuación 5 e pueden ecribir como: dx t f[ x t, u t ] dt en donde f denota una matriz columna de nx que contiene la funcione f, f,..., f n como elemento. De igual manera, la q ecuacione de alida de la ecuación 6 e convierten en: [ x t, u ] y t g t en donde g denota una matriz columna de qx que 75

346

347 ESPACIO DE ESTADOS contiene la funcione g, g,..., g q como elemento. Para un itema lineal invariante en el tiempo LTI, la ecuacione dinámica e ecriben como: Ecuacione de etado x t Ax t Bu t 7 Ecuacione de alida y t Cx t Du t 8 76

348

349 77 ESPACIO DE ESTADOS en donde: x n n a a a a a a a a a nn n n n n A x p n b b b b b b b b b np n n p p B x n q c c c c c c c c c qn q q n n C x p q d d d d d d d d d qp q q p p D directa matriz de tranmitancia matriz de alida matriz de entrada matriz de etado D C B A

350

351 ESPACIO DE ESTADOS En la iguiente figura obervamo el diagrama de bloque que repreenta la ecuacione 7 y 8. 78

352

353 Ejemplo. ESPACIO DE ESTADOS Hallar la repreentación en epacio de etado del itema mecánico motrado en la figura: La ecuación diferencial que caracteriza el itema e: m y by ky u. Ete itema e de egundo orden, lo cual ignifica que poee do integradore. Definimo la variable de etado x y x como: 79

354

355 Luego obtenemo: o bien ESPACIO DE ESTADOS x t y t x t y t La ecuación de alida e: x x x ky by u m m x x k b x x x u m m m y x 80

356

357 8 ESPACIO DE ESTADOS en forma matricial la anteriore ecuacione e ecriben como: Eta ecuacione etán en la forma etándar: u m x x m b m k x x 0 0 [ ] 0 x x y Du y u Cx B Ax x 9 0

358

359 ESPACIO DE ESTADOS en donde: 0 A k m 0 B m C D 0 b m [ 0 ] 8

360

361 ESPACIO DE ESTADOS Correlación entre funcione de tranferencia y ecuacione en el epacio de etado. Sea Y U G la función de tranferencia de un itema. Ete itema también e puede repreentar en el epacio de etado mediante la iguiente ecuacione: x Ax Bu y Cx Du Aplicando la tranformada de Laplace con condicione iniciale iguale acero a la ecuacione obtenemo: 83

362

363 ESPACIO DE ESTADOS. X AX BU Y CX DU 3 Entonce X AX BU I A X BU Multiplicando eta ecuación por I A obtenemo: X I A BU 4 Sutituyendo la ecuación 4 en la ecuación 3 tendremo: 84

364

365 ESPACIO DE ESTADOS. [ ] I A B D U Y C 5 Comparando la ecuación 5 con la ecuación vemo que: G C I A B D 6 Ejemplo. Obtener la función de tranferencia del itema cuya repreentación en epacio de etado eta dada por la ecuacione 9 y 0. 85

366

367 86 ESPACIO DE ESTADOS Reemplazando en la ecuación D y,, C B A 6 D G B A I C [ ] m m b m k [ ] m m b m k m k m b m k m b m b m k que Ya -

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369 87 ESPACIO DE ESTADOS. [ ] m m k m b m k m b G 0 0 entonce k b m G

370

371 ESPACIO DE ESTADOS Tranformación de modelo de itema con MATLAB Sea la función de tranferencia: Y 5 G 3 U Para tranformar iguiente código: G en epacio de etado uamo el num [0 0 5]; den [ 7 5 5]; [A,B,C,D] tfnum,den % calcula la matrice A, B, C y D 88

372

373 ESPACIO DE ESTADOS ahora bien, i un itema LTI eta modelado en epacio de etado por la iguiente ecuacione matriciale: 0 A obtenemo la función de tranferencia A [0 0; 0 0 ; ]; B [0; ; 6]; C [ 0 0]; D [0], [num,den] tfa,b,c,d, 0 6 B C [ 0 0 ] D [ 0] G aí: 89

374

375 BIBLIOGRAFIA BIBLIOGRAFIÁ Chen, Chi-tong.: Sytem and ignal Analyi. Saunder College Publihing. San Diego. CA. USA, 994. Hu, Hwei P.: Análii de fourier. Addion-Weley Iberoamericana. México D.F Kamen, Edward W.: Introduction to Signal and Sytem. Second Edition. Prentice Hall. New Jerey. USA. 990 Kuo, Benjamin C.: Sitema de Control Automático. Septima Edición. Prentice Hall Hipanoamericana, S.A. Naucalpan de Juárez, Edo. de México

376 BIBLIOGRAFIA Ogata, Katuhiko.: Ingeniería de Control Moderna. Cuarta Edición. Pearon Educación S.A. Madrid. Epaña. 003 Oppenheim, Alan V., Willky, Alan S., Nawad, Hamid S.: Señale y Sitema. Segunda Edición. Prentice Hall Hipanoamericana S.A. México D. F Poularika, Alexander D., Seely, Samuel.: Signal and Sytem. Second Edition. PWS-KENT Publihing Company. Boton. USA

377 BIBLIOGRAFIA Soliman, Samir S., Srinath, Mandyan D.: Señale y itema continuo y dicréto. Segunda Edición. Prentice Hall. Madrid. Epaña. 00. Signal Proceing Toolbox For Ue with MATLAB, Uer' Guide. verion 6.6. The MathWork, Inc. 006 Control Sytem Toolbox For Ue with MATLAB. Uing the Control Sytem Toolbox. Verion 7.. The MathWork, Inc The Getting Started with MATLAB 7. MathWork, Inc

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