14 Combinatoria. y probabilidad. 1. Variaciones y permutaciones

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1 ombinatoria y probabilidad. ariaciones y permutaciones Un restaurante oferta, en el menú del día, platos de primero, de segundo y de postre. uántos menús diferentes se pueden pedir? Nº de menús: = 0 P I N S Y L U L alcula mentalmente: P L I L T O Í a), b), c) P d) P a) = 0 b) = c)! = = d)! = = 0 ibuja el árbol correspondiente a las distintas formas en que puede vestirse una persona que tiene dos camisas y tres pantalones. uántas son? Sean las camisas y y los pantalones, y Número = = on los dígitos,, y forma todos los números de tres cifras que puedas sin que se repita ninguna. uántos son?, = = SOLUIONIO

2 on los dígitos y, forma todos los números de tres cifras que puedas. uántos son?, = = on los dígitos, y forma todos los números de tres cifras que puedas sin que se repita ninguna. uántos son? P =! = = e cuántas formas se pueden sentar personas alrededor de una mesa circular, de forma que en cada caso haya al menos dos personas sentadas en diferente orden? P =! = = l sistema actual de matrículas dice: «n las placas de matrícula se inscribirán dos grupos de caracteres constituidos por un número de cuatro cifras, que irá desde el 0000 al, y de tres letras, empezando por las letras y terminando por las letras ZZZ, suprimiéndose las cinco vocales y las letras Ñ, Q, H y LL». uántas matrículas hay con las letras? 0, = 0 = Halla, usando la calculadora: a) 0, b), c) P 0 d) P a) 00 b) c) 00 d) 00. ombinaciones y resolución de problemas alcula mentalmente el valor de los siguientes números combinatorios: a) ( ) b) ( ) c) ( ) d) 0 ( ) a) b) c) d) P I N S Y L U L T. OINTOI Y POILI

3 alcula mentalmente: a), b), a) / = 0 b), =, = / = 0 on los dígitos,, y forma todos los números de dos cifras que puedas sin que se repita ninguna y de modo que ningún par de números tenga las mismas cifras., = / = uántas columnas de quinielas hay que cubrir como mínimo para acertar una de pleno al? a) = {,, }, m =. os ejemplos significativos son:,, p = b) Influye el orden, no entran todos los elementos y puede haber repetición òariaciones con repetición. c), = = 0 n una clase hay alumnos. e cuántas formas se puede elegir un delegado y un subdelegado? a) = {,,,,, }, m =. os ejemplos significativos son:,, p = b) Influye el orden, no entran todos los elementos y no puede haber repetición ò ariaciones ordinarias. c), = = 00 uántas diagonales tiene un decágono? a) = {,,,,, 0}, m = 0. os ejemplos significativos son:,, p = b) No influye el orden ò ombinaciones ordinarias. Hay que quitar los lados. 0 c) 0, 0 = ( ) 0 = 0 = on jugadores, cuántos equipos de baloncesto se pueden formar, si cada jugador puede jugar en cualquier puesto? a) = {,,,,, }, m =. os ejemplos significativos son:,, p = b) No influye el orden ò ombinaciones ordinarias. c), = ( ) = ( ) = Halla, usando la calculadora: a), b), a) b) 0 P L I L T O Í SOLUIONIO

4 . xperimentos aleatorios simples uántas caras tiene un dado de quinielas? Qué es más probable obtener:, o? P I N S Y L U L Un dado de quinielas tiene caras, tres caras tienen un, dos caras tienen una y una cara tiene un l más probable es el, por que es el que más veces está. Sean = {,,,,,,, }, = {,,, }, = {, }. alcula: a) b) c) d) a) {,,,, } b) {} c) {,,, } d) {,,,,, } Halla la probabilidad de obtener par al lanzar un dado de caras. = {,,,,, } Par = {,, } P(par) = / = Se sabe que P() = /. Halla P( ) P( ) = / = / Se lanzan 00 chinchetas al aire y quedan con la punta hacia arriba. Halla la frecuencia relativa de que la chincheta quede con la punta hacia arriba. f( ) = = 0, 00 0 Se sabe que: P() = /, P() = y P( ) = / alcula P( ) P( ) = / + / = /0 P L I L T O Í. xperimentos aleatorios compuestos iseña un árbol de probabilidades para el experimento de lanzar dos monedas al aire. P I N S Y L U L c x c x c x cc cx xc xx T. OINTOI Y POILI

5 Se lanzan dos dados de caras numeradas del al. alcula la probabilidad de que la suma de los números obtenidos sea P() = / = / Se extrae una carta de una baraja española de 0 cartas, se observa si ha sido de copas y se vuelve a introducir; luego se extrae otra carta. uál es la probabilidad de que las dos sean de copas? 0 0 no P() = / / = / 0 0 no / no no / no haya sido defectuoso. ómo son ambos sucesos, dependientes o independientes? / es la segunda rama. P(/) = / l segundo suceso / es dependiente del primero, pues depende de si ha salido o no Una familia tiene tres hijos. Halla la probabilidad de que los tres sean varones. no no / no no /00 no P L I L T O Í Se aplica la regla del producto o de la probabilidad compuesta. P() = = / Se extraen de una vez dos cartas de una baraja española de 0 cartas. uál es la probabilidad de que las dos sean de copas? 0 0 no 0 no / no P() = / /0 = /0 0 no /0 no Una máquina produce 00 tornillos de los que son defectuosos. Si se cogen dos tornillos, halla la probabilidad de que al coger el segundo sea defectuoso, con la condición de que el primero también Se lanzan tres monedas al aire. Halla la probabilidad de obtener dos caras y una cruz. Se aplica la regla de la suma o de la probabilidad total. P() + P() + P() = / + / + / = = / 0 SOLUIONIO

6 jercicios y problemas. ariaciones y permutaciones alcula mentalmente: a) 0, b) 0, a) 0 = 0 b) 0 = 000 alcula mentalmente: a) P b) P a)! = = 0 b)! = = Organizamos una fiesta y llevamos tres clases de bocadillos y dos clases de refrescos. ibuja el árbol correspondiente a las distintas formas de elegir un bocadillo y un refresco. uántas son? Sean los bocadillos, y y los refrescos y Número = = 0 on los dígitos,, y forma todos los números de tres cifras que puedas sin que se repita ninguna cifra. uántos son?, = = on las letras y forma todas las palabras de tres letras que puedas, tengan o no sentido. uántas son?, = = on los dígitos,, y forma todos los números de cuatro cifras que puedas sin que se repita ninguna cifra. uántos son? T. OINTOI Y POILI

7 jercicios y problemas P =! = = a) 0 b) alcula, usando la calculadora: a) P b) P a) 0 b) 00. ombinaciones y resolución de problemas alcula mentalmente: a) 0, b), a) 0 / = b), =, = 0/ = e cuántas formas se pueden sentar 0 personas alrededor de una mesa circular, de forma que en cada caso haya al menos dos personas sentadas en diferente orden? on las letras,,, y forma todas las palabras que puedas de dos letras sin que se repita ningún par de palabras, tengan o no sentido, y de modo que ningún par de palabras tenga las mismas letras. P 0 =! = = 0 n el sistema actual de matrículas, de cuántas formas se pueden colocar las letras sabiendo que cada matrícula contiene tres letras, empezando por las letras y terminando por las letras ZZZ, suprimiéndose las cinco vocales, y las letras Ñ, Q, H y LL? FGHJKLNPSTWYZ 0, = 0 = 000 alcula, usando la calculadora: a), b),, = / = 0 isponemos de frutas diferentes para preparar zumos de dos sabores. uántos zumos podemos hacer? SOLUIONIO

8 a) = {,,,, }, m =. os ejemplos significativos son:,, p = b) No influye el orden ò ombinaciones. c), = / = 0 0 n una comunidad que está formada por 0 vecinos, se quiere elegir una junta formada por un presidente, un secretario y un tesorero. e cuántas formas se puede elegir la junta? a) = {,,,,, 0}, m = 0. os ejemplos significativos son:,, p = b) Influye el orden, no entran todos los elementos y no puede haber repetición ò ariaciones ordinarias. c) 0, = 0 = 0 e una baraja española de 0 cartas se cogen cartas sin devolución. e cuántas formas se pueden coger? a) = {,,,,, 0}, m = 0. os ejemplos significativos son:,, p = b) No influye el orden ò ombinaciones ordinarias. 0 c) 0, = ( ) = 0. xperimentos aleatorios simples Sean = {,,,,,,,,, 0}, = {,,,, }, = {,, }. alcula: a) b) c) y son compatibles o incompatibles? d) e) a) {,,,,, } b) {, } c) y son compatibles. d) {,,,, 0} e) {,,,,,, 0} Halla la probabilidad de obtener múltiplo de al lanzar un dado de caras. = {,,,,, } = {, } P() = / = / Se sabe que P() = /. Halla P( ) P( ) = / = / e cuántas formas se pueden colocar personas alrededor de una mesa circular? a) = {,,,,, }, m =. os ejemplos significativos son:,, p = b) Influye el orden, entran todos los elementos y no puede haber repetición ò Permutaciones circulares. c) P =! = 0 Halla, usando la calculadora: a) 0, b), a) b) Se lanzan 00 chinchetas al aire y quedan con la punta hacia arriba. Halla la frecuencia relativa de que la chincheta no quede con la punta hacia arriba. f(no ) = = 0, 00 Se sabe que: P() = /, P() = / y P( ) = / alcula: P( ) / + / P( ) = / P( ) = /0 T. OINTOI Y POILI

9 jercicios y problemas. xperimentos aleatorios compuestos 0 alcula la probabilidad de que al lanzar dos dados de caras numeradas del al la suma de números obtenidos sea. Qué suma es la más probable? P() = / l más probable es el, porque es el que más veces aparece. Se extrae una bola de una urna que contiene bolas rojas y verdes, se observa si ha sido roja y se vuelve a introducir; luego se extrae otra bola. uál es la probabilidad de que las dos sean rojas? P() = /0 /0 = / /0 /0 /0 /0 Una máquina produce 00 tornillos de los que son defectuosos. Se coge un tornillo, se mira si es defectuoso y se devuelve. Halla la probabilidad de que al coger aleatoriamente el segundo sea defectuoso, con la condición de que el primero también haya sido defectuoso. ómo son ambos sucesos, dependientes o independientes? P(/) = /00 l segundo suceso / es independiente del primero, pues no depende de si ha salido o no Una familia tiene tres hijos. Halla la probabilidad de que uno sea varón. no no /00 no no /00 no Se aplica la regla de la suma o de la probabilidad total. P() + P() + P() = / + / + / = / Se lanzan tres monedas al aire. Halla la probabilidad de que las tres sean cruz. Se extraen de una vez dos bolas de una urna que contiene bolas rojas y verdes. uál es la probabilidad de que las dos sean rojas? /0 /0 P() = /0 / = / / / Se aplica la regla del producto o de la probabilidad compuesta. P() = = / SOLUIONIO

10 Para ampliar alcula mentalmente los siguientes números combinatorios: 0 a) ( 0 ) b) ( 0) a) b) alcula mentalmente los siguientes números combinatorios: 00 a) ( ) 00 b) ( ) a) 00 b) 0 b) Influye el orden, entran todos los elementos y no puede haber repetición ò Permutaciones ordinarias. c) P =! = 0 Son impares los que terminan en número impar; en este caso, todos. 0 Un alumno de º tiene camisetas, pantalones y pares de zapatillas de deporte. e cuántas formas diferentes puede vestirse para ir a entrenar? = 0 formas diferentes. Si lanzamos al aire un dado y una moneda, cuántos resultados diferentes podemos obtener? = resultados diferentes. inco amigos van al cine y sacan las entradas seguidas. e cuántas formas se pueden sentar? uántos números diferentes de cuatro cifras se pueden formar? a) = {0,,,,, }, m = 0. os ejemplos significativos son:,, p = b) Influye el orden, no entran todos los elementos y puede haber repetición ò ariaciones con repetición. Hay que quitar todos los que son menores de 000 c) 0, 000 = = 000 uántos números diferentes de cinco cifras se pueden formar con las cifras impares de forma que no se repita ninguna cifra? uántos de ellos son impares? a) = {,,,, }, m =. os ejemplos significativos son:,, p = a) = {,,,, }, m =. os ejemplos significativos son:,, p = b) Influye el orden, entran todos los elementos y no puede haber repetición ò Permutaciones ordinarias. c) P =! = 0 on las letras de la palabra S, cuántas palabras se pueden formar, tengan o no sentido? a) = {,,, S}, m =. os ejemplos significativos son: S, S, p = b) Influye el orden, entran todos los elementos y no puede haber repetición ò Permutaciones ordinarias. c) P =! = alcula el valor de x en la siguiente igualdad: ( ) = ( x) T. OINTOI Y POILI

11 jercicios y problemas x =, o bien x = alcula el valor de x en la siguiente igualdad: x, = 0x x(x )(x ) = 0x x x + = 0 x = = {,, } a) P(verde) = / = / b) P(no roja) = / c) P(roja o verde) = / = / Se lanza un dado con forma de dodecaedro y las caras numeradas del al. Halla la probabilidad de que el número obtenido sea múltiplo de alcula el valor de x en la siguiente igualdad: x, = x, x(x )(x )(x ) = x(x ) Se simplifican ambos miembros entre x(x ), ya que x > x x + = x = alcula el valor de x en la siguiente igualdad: P x = 0P x x! = 0(x )! x(x ) = 0 x = alcula el valor de x en la siguiente igualdad: = {,,,,,,,,, 0,, } = {,,, } P() = / = / 0 Se extrae una carta de una baraja española de cartas. alcula la probabilidad de que sea un nueve. = { cartas} = {O,,, } P() = / = / 0 x, = x, x(x )/ = x(x ) x(x ) = x(x ) ale cualquier x > Una urna contiene bolas rojas, verdes y azules. Si se extrae una bola, qué probabilidad hay de que a) sea verde? b) no sea roja? c) sea roja o verde? n una familia con dos hijos, qué probabilidad tiene de que sean a) los dos varones? b) uno varón y el otro mujer? a) Se aplica la regla del producto o de la probabilidad compuesta. P() = = / SOLUIONIO

12 b) Se aplica la regla de la suma o de la probabilidad total. P() + P() = / + / = Se lanzan al aire dos monedas. alcula la probabilidad de obtener a lo sumo una cara. Una urna contiene bolas rojas y verdes. Se extrae una bola y se observa el color; se vuelve a introducir y se extrae otra bola. alcula la probabilidad de que sean las dos rojas. c x c x c x cc cx xc xx Se aplica la regla del producto o de la probabilidad compuesta. P() = = / Se extraen de una vez dos cartas de una baraja española de 0 cartas. alcula la probabilidad de que las dos sean de espadas. 0 0 no / no 0 no 0 no / no Se aplica la regla del producto o de la probabilidad compuesta. P() = / / = / P() = = / P(a lo sumo una cara) = P() = / = / n un dado de quinielas, halla la probabilidad de no obtener el = {,,,,, } P(no obtener ) = / on calculadora Halla, utilizando la calculadora: a), b), a) 0 b) 0 Se lanzan al aire dos dados de caras numeradas del al. alcula la probabilidad de que la suma de los números obtenidos sea mayor que Halla, utilizando la calculadora: a) P b) P P(más de ) = / = / a)! = b)! = 0 0 Halla, utilizando la calculadora: a), b), a) b) T. OINTOI Y POILI

13 jercicios y problemas Problemas 0 n la carta de un restaurante se puede elegir un menú compuesto de un primer plato, un segundo plato y un postre. Hay para elegir primeros platos, segundos y postres. uántos menús diferentes se pueden elegir? = 0 menús. a) = {,,,, }, m =. os ejemplos significativos son:,, p = b) Influye el orden, no entran todos los elementos y no puede haber repetición ò ariaciones ordinarias. c), = = 0 on los dígitos,,, y, cuántos números de cinco cifras se pueden formar sin repetir los dígitos? uántos de ellos son pares? a) = {,,,, }, m =. os ejemplos significativos son:,, p = b) Influye el orden, entran todos los elementos y no puede haber repetición ò Permutaciones ordinarias. c) P =! = 0 Serán pares todas las que terminen en y P =! = n un trofeo de verano juegan cuatro equipos. e cuántas formas se pueden emparejar? a) = {,,, }, m =. os ejemplos significativos son:,, p = b) No influye el orden. ò ombinaciones ordinarias. c), = / = xisten pueblos colocados en los vértices de un pentágono regular, y se quiere construir una carretera para unir cada dos pueblos. uántas carreteras hay que hacer? a) = {,,,, }, m =. os ejemplos significativos son:,, p = b) No influye el orden ò ombinaciones ordinarias. c), = / = 0 l que va de adrid a Sevilla tiene estaciones. uántos billetes diferentes se pueden sacar? Un byte está formado por ceros y unos, y en total son. uántos bytes diferentes se pueden presentar? a) = {0, }, m =. os ejemplos significativos son: 000,, p = b) Influye el orden, no entran todos los elementos y puede haber repetición. ò ariaciones con repetición. c), = = Tenemos siete clases de fruta para obtener batidos de tres sabores. uántos sabores se pueden obtener? a) = {,,,,, F, G}, m =. os ejemplos significativos son:, FG, p = b) No influye el orden ò ombinaciones ordinarias. c), = = n un certamen literario hay tres premios: ganador, finalista y accésit. Si se presentan 0 personas, de cuántas formas se pueden dar los tres premios? a) = {,,,,, F, G, H, I, J}, m = 0. os ejemplos significativos son:g, G, p = b) Influye el orden, no entran todos los elementos y no puede haber repetición ò ariaciones ordinarias. c) 0, = 0 = 0 uántas banderas de tres colores diferentes se pueden formar con colores? SOLUIONIO

14 a) = {,,,,, F, G, H}, m =. os ejemplos significativos son:,, p = b) Influye el orden, no entran todos los elementos y no puede haber repetición ò ariaciones ordinarias. c), = = Una familia tiene hijos. uántas posibilidades hay con respecto al sexo de los hijos? P(T) = 0/0 = / P( T) = 0/0 = / P( T) = / + / / = P(no escuchar la radio, ni ver la televisión) = = P( T) = = 0 Una urna contiene bolas rojas y verdes. Se extrae una bola y se observa el color, se vuelve a introducir y se extrae otra bola. alcula la probabilidad de que una sea roja y otra sea verde. a) = {, }, m =. os ejemplos significativos son:,, p = b) Influye el orden, no entran todos los elementos y puede haber repetición òariaciones con repetición. c), = = 0 on las letras de la palabra TON, cuántas palabras de cinco letras se pueden formar, tengan o no sentido? uántas empiezan por consonante? a) = {, N, O,,T }, m =. os ejemplos significativos son: TON, NOT, p = b) Influye el orden, entran todos los elementos y no puede haber repetición ò Permutaciones ordinarias. c) P =! = 0 mpiezan por consonante: P =! = alcula la probabilidad de acertar una quiniela de pleno al si se cubre una apuesta. tiene, = = 0 posibilidades. P(acertar) = /0 n un grupo de 0 personas, 0 escuchan la radio, 0 ven la televisión y 0 escuchan la radio y ven la televisión. Halla la probabilidad de que, elegida una persona al azar, no escuche la radio ni vea la televisión. P() = 0/0 = / Se aplica la regla de la suma o de la probabilidad total. P() + P() = + = / + / = = Se extraen de una vez tres cartas de una baraja española de 0 cartas. alcula la probabilidad de que las tres sean de bastos. 0 0 no / no 0 no Se aplica la regla del producto o de la probabilidad compuesta. P() = / / / = / Se compran 0 ordenadores de una marca y 0 de una marca. e la marca hay que no funcionan; y de la marca hay que no funcionan. Si se elige al azar uno de los ordenadores, cuál es la probabilidad de que no funcione? 0 no / 0 no no / no T. OINTOI Y POILI

15 jercicios y problemas 0 0 S N 0/0 0/0 S N N /0 N /0 Se aplica la regla de la suma o de la probabilidad total. P(N) + P(N) = 0/0 /0 + 0/0 /0 = = Un jugador de baloncesto tiene una probabilidad de 0, de hacer un triple. Si hace dos lanzamientos de triple, qué probabilidad tiene de que no enceste ninguno? 0, 0, 0, 0, 0, N 0, N N N N NN Se aplica la regla del producto o de la probabilidad compuesta. P(NN) = 0, 0, = 0, n una clase hay chicos y 0 chicas. Si se eligen dos alumnos al azar, calcula la probabilidad de que los dos sean chicas. Se aplica la regla del producto o de la probabilidad compuesta. P() = / / = /0 Una persona cruza dos semáforos para ir al trabajo. La probabilidad de que cada uno de ellos esté rojo es de 0,; de que esté ámbar, 0,, y de que esté verde, 0,. alcula la probabilidad de que uno esté verde y el otro rojo. / / 0, 0, 0, / 0/ / / Se aplica la regla de la suma o de la probabilidad total. P() + P() = 0, 0, + 0, 0, = 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, Para profundizar 00 Un equipo de fútbol está formado por jugadores. se ponen de pie, y delante los otros cinco agachados. e cuántas formas se pueden colocar para hacer una foto si el portero siempre está de pie el primero por la izquierda? ejaremos el portero fijo y no lo tendremos en cuenta a la hora de contar. a) = {,,,,, F, G, H, I, J}, m = 0. os ejemplos significativos son:gfijh, IGFHJ, p = 0 b) Influye el orden, entran todos los elementos y no puede haber repetición ò Permutaciones ordinarias. c) P 0 = 0! = 00 e cuántas formas puede elegir un equipo de fútbol, formado por un portero, tres defensas, medios, extremos y delanteros, un entrenador que tiene jugadores, de los que son porteros;, defensas;, medios;, extremos, y el resto, delanteros?,,,,, = 0 = = uántas matrículas totales se pueden hacer con el sistema actual, que está formado de cuatro números y tres letras. Las letras disponibles son 0. 0 SOLUIONIO

16 0, 0, = 0 0 = = = Una bolsa tiene bolas numeradas del al. Sacamos una bola, anotamos el número y la volvemos a introducir; volvemos a repetir el proceso otras dos veces. uántos resultados distintos se pueden dar? a) = {,,,, }, m =. os ejemplos significativos son:,, p = b) Influye el orden, no entran todos los elementos y puede haber repetición òariaciones con repetición. c), = = Una bolsa tiene bolas numeradas del al. Sacamos tres bolas de una vez. uántos resultados distintos se pueden presentar? a) = {,,,, }, m =. os ejemplos significativos son:,, p = b) No influye el orden ò ombinaciones ordinarias. c), = / = 0 Se aplica la regla del producto o de la probabilidad compuesta. P() = /0 / / = 0 0 no Se lanzan al aire dos dados, uno de caras numeradas del al y el otro de caras numeradas del al. Qué probabilidad hay de que sumen? P() = / = / no / no no / no no /0 no on las cifras impares, cuántos números de cifras se pueden formar sin repetir ninguna? uántos son mayores de 00? a) = {,,,, }, m =. os ejemplos significativos son:,, p = b) Influye el orden, no entran todos los elementos y no puede haber repetición ò ariaciones ordinarias. c), = = Serán mayores de 00 todos los que empiecen por, o, = = Se extraen, de una baraja española de 0 cartas, tres cartas al azar. alcula la probabilidad de que sean caballos las tres. 0 n un cajón tenemos calcetines blancos y negros. Si sacamos dos aleatoriamente, cuál es la probabilidad de que los dos sean de distinto color? N / / N N / / N N / N / N N N N Se aplica la regla de la suma o de la probabilidad total. P(N) + P(N) = / / + / / = / N N NN T. OINTOI Y POILI

17 jercicios y problemas 0 Se tienen dos máquinas produciendo tornillos. Una produce 00 tornillos, de los que son defectuosos, y la otra produce 00 tornillos, de los que son defectuosos. Si se escoge al azar uno de los 00 tornillos, cuál es la probabilidad de que sea defectuoso? / / N N /00 /00 Se aplica la regla de la suma o de la probabilidad total. P() + P() = / /00 + / /00 = / 0 Se elige aleatoriamente una ficha de un dominó. Qué probabilidad hay de que sea doble? P(doble) = / = / 0 Se ha trucado un dado de forma que: P() = P() = P(), P() = P() = P() = P() a) Halla la probabilidad de obtener un b) Halla la probabilidad de obtener un P() = P() = P() = x P() = P() = P() = x x + x = ò x = / a) P() = / b) P() = / SOLUIONIO

18 plica tus competencias uántas palabras hay de caracteres? esuelto en el libro del alumnado. uántas palabras hay de 0 caracteres?, 0 = 0 = 0, que se conoce con el nombre de Kb (Kilobyte). uántas palabras hay de 0 caracteres? uántas palabras hay de 0 caracteres?, 0 = 0 = 0, que se conoce con el nombre de Gb (Gigabyte). uántas palabras hay de 0 caracteres?, 0 = 0 = 0, que se conoce con el nombre de Tb (Terabyte)., 0 = 0 = 0, que se conoce con el nombre de b (egabyte). T. OINTOI Y POILI

19 omprueba lo que sabes scribe el enunciado de la regla de Laplace y pon un ejemplo. La regla de Laplace dice que la probabilidad de un suceso, de un espacio muestral, formado por sucesos elementales equiprobables, es igual al número de casos favorables dividido por el número de casos posibles. P() = Nº de casos favorables al suceso Nº de casos posibles Sucesos equiprobables Los sucesos elementales de un espacio muestral son equiprobables si tienen la misma posibilidad de presentarse; sólo en estos casos se puede aplicar la regla de Laplace. jemplo Halla la probabilidad de obtener un número primo al lanzar un dado de seis caras. spacio muestral: = {,,,,, } Suceso = {,, } P() = = = 0, on los dígitos,,, y, cuántos números de tres cifras se pueden formar sin repetir ninguna? uántos son mayores de 00? a) = {,,,, }, m =. os ejemplos significativos son:,, p = b) Influye el orden, no entran todos los elementos y no puede haber repetición ò ariaciones ordinarias. c), = = 0 Serán mayores de 00 los que empiecen por, o, = = on las letras de la palabra LIO, cuántas palabras, tengan o no sentido, se pueden formar? a) = {, I, L, O, }, m =. os ejemplos significativos son: LIO, OIL, p = b) Influye el orden, entran todos los elementos y no puede haber repetición ò Permutaciones ordinarias. c) P =! = 0 n una clase hay alumnos y se quiere hacer una comisión formada por tres alumnos. e cuántas formas se puede elegir? a) = {,,, }, m =. os ejemplos significativos son:,, p = b) No influye el orden ò ombinaciones ordinarias. c), = = 00 Se sabe que: P() = /, P() = / y P( ) = / Halla: P( ) P( ) = / + / / = / Se lanzan al aire dos dados de seis caras numeradas del al y se suman los puntos obtenidos. Qué suma de puntuaciones tiene mayor probabilidad? Halla su probabilidad La suma de puntuaciones que tiene mayor probabilidad es, porque es el resultado que más veces se presenta. P() = / = / SOLUIONIO

20 Se prueba en 0 personas una vacuna contra la gripe y enferman. Se prueba en 0 personas otra vacuna y enferman. Si se elige una de las personas al azar, qué probabilidad hay de que no haya enfermado? 0/ /0 no no no /0 no /0 Un jugador de fútbol mete goles de cada 0 tiros a puerta. Si tira tiros a puerta, halla la probabilidad de que, al menos, meta un gol. P(NNN) = /0 /0 /0 = / P(al menos gol) = P(NNN) = = / = / Se aplica la regla de la suma o de la probabilidad total. P(no ) = 0/0 /0 + 0/0 /0 = /0 T. OINTOI Y POILI

21 Windows xcel Paso a paso Investiga sobre la Ley de los grandes números: simula el lanzamiento de un dado con forma de tetraedro con las caras numeradas del al. Haz distintos lanzamientos, cuenta el número de éstos y las frecuencias absolutas de obtener una de las caras, por ejemplo el. alcula las frecuencias relativas y represéntalas en un gráfico de líneas. Hacia qué valor tienden las frecuencias relativas, lo que en definitiva es la probabilidad? esuelto en el libro del alumnado. Internet. bre: y elige atemáticas, curso y tema. SOLUIONIO

22 Linux/Windows alc Practica n la Hoja del mismo libro investiga sobre la Ley de los grandes números: simula el lanzamiento de un dado de forma cúbica con las caras numeradas del al. ealiza distintos lanzamientos y cuenta el número de éstos y las frecuencias absolutas de obtener una de las caras, por ejemplo el. alcula las frecuencias relativas y represéntalas en un gráfico de líneas. Hacia qué valor tienden las frecuencias relativas, lo que en definitiva es la probabilidad? Las frecuencias relativas tienden hacia la probabilidad de 0, = / n la Hoja del mismo libro, haz otro estudio análogo al anterior para un dado de forma octaédrica, con las caras numeradas del al, y obtener, por ejemplo, el. Hacia qué valor tienden las frecuencias relativas, lo que en definitiva es la probabilidad? Las frecuencias relativas tienden hacia la probabilidad de 0, = / Las frecuencias relativas tienden hacia la probabilidad de 0,0 = / n la Hoja del mismo libro, haz otro estudio análogo al anterior para un dado de forma de icosaedro, con las caras numeradas del al 0, y obtener, por ejemplo, el. Hacia qué valor tienden las frecuencias relativas, lo que en definitiva es la probabilidad? Las frecuencias relativas tienden hacia la probabilidad de 0,0 = 0 l final, guarda el libro en tu carpeta personal con el nombre completo con todas las hojas de cálculo. Haz clic en el icono Guardar 0 n la Hoja del mismo libro, haz otro estudio análogo al anterior para un dado de forma de dodecaedro, con las caras numeradas del al, y obtener la cara. Hacia qué valor tienden las frecuencias relativas, lo que en definitiva es la probabilidad? T. OINTOI Y POILI

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