2.6 ACELERACIÓN MEDIA

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1 .6 ACELERACIÓN MEDIA Podemos cambiar la elocidad de un auto, pisando el acelerador o el reno, para aumentar o disminuir su rapidez. También la podemos cambiar girando el timón, es decir cambiándole la dirección y sentido. Si el moimiento se restringe a una línea recta, la dirección queda ija, pero todaía se puede cambiar la rapidez y el sentido de la elocidad. La aceleración es un concepto que se introduce para medir qué tan rápido cambia la elocidad de una partícula en el tiempo. Supongamos que una partícula se muee sobre una línea recta, y que en un instante t tiene elocidad, y que en un instante posterior t tiene elocidad, ambos medidos respecto a algún SR, luego se deine la aceleración media de la partícula en este interalo, como el cociente del cambio de elocidad y el interalo de tiempo usado: a m = Δ Δt = t t Considerando el interalo de tiempo como positio, es decir sin considerar cuentas regresias, obseramos que la aceleración media tiene el mismo signo que el cambio de elocidad. Sin embargo, hacemos hincapié en que el signo de la aceleración media no signiica que la partícula aumente o disminuya su rapidez. Un análisis cuidadoso de la ecuación anterior muestra que: a) Si, y a m tienen el mismo signo, entonces la partícula aumenta su rapidez. b) Si y tienen el mismo signo, pero diieren en signo de a m, entonces la partícula disminuye su rapidez. c) Si y tienen signos opuestos, podemos decir que inicialmente la partícula disminuye su rapidez, y que posteriormente empezó a aumentar su rapidez. Esto debido a que, en algún instante la elocidad debió ser cero, es decir la partícula debió detenerse para cambiar de sentido. 8

2 La aceleración media la representamos por un ector cuyo sentido lo indica su signo: a la derecha si este es positio y a la izquierda si es negatio (considerando un eje positio a la derecha). Por ejemplo, sea un móil que inicialmente se encuentra en la posición 5m, con una elocidad de m/s, y que luego de s se encuentra en la posición 8m, con una elocidad de,m/s, representamos la aceleración media como se muestra en la igura: Δ ( m / s) ( m / s) a m = = =,m / s Δt s.m/s a m =.m/s.m/s X(m) En este ejemplo podemos decir que la partícula disminuye su rapidez. Se cumple la regla (b): la aceleración media resulta positia, mientras que las elocidades son negatias. En un gráico de este tipo, podemos distinguir los ectores aceleración de los ectores elocidad teniendo en cuenta las unidades de las etiquetas..7 MOVIMIENTO RECTILÍNEO CON ACELERACIÓN CONSTANTE Un móil describe un moimiento rectilíneo con aceleración constante, cuando este se muee en línea recta y su aceleración media es la misma para cualquier interalo de tiempo que se considere. En este caso, es coneniente deinir la aceleración para todo instante del moimiento, mediante la ecuación: a = a = m Nótese que mientras la aceleración media se deine en un interalo de tiempo, la aceleración se deine en todo instante. En el ejemplo anterior, si el moimiento uese de este tipo, la aceleración sería.m/s, para todo tiempo entre s y s. Una característica importante de este moimiento es que la elocidad de la partícula, cambia a la misma tasa durante todo el moimiento. Por ejemplo, supongamos que dejamos caer un cuerpo libremente, y registramos en una tabla la elocidad en cada segundo: cte Tiempo transcurrido Rapidez medida,s 9,8m/s,s 9,6m/s 3,s 9,4m/s 9

3 Notamos que la elocidad del cuerpo cambia 9,8m/s en cada segundo, por lo tanto, con gran aproimación podemos asumir que este es un moimiento con aceleración constante y que esta aceleración es igual a 9,8m/s en cualquier instante. Esta aceleración la calculamos, por ejemplo, a partir de la aceleración media del primer tramo. Determinaremos ahora, la elocidad de una partícula que se muee con aceleración constante, para cualquier instante de tiempo. Con este in, supongamos que la aceleración del móil es a, y que inicialmente, este tiene elocidad, punto en el cual tomamos nuestro origen temporal T =. Supongamos también, que en un tiempo posterior T = t, la partícula tiene elocidad inal. Gráicamente: T = a T = t O X La aceleración media para este tramo es: a m = t Despejando la elocidad inal y usando el hecho de que la aceleración es constante e igual a la aceleración media, obtenemos la ecuación: = + Para tener una mejor idea de este moimiento graicamos la aceleración y la elocidad de la partícula como unciones del tiempo (gráicos a t y t). at

4 Dado que la aceleración es constante en todo instante, la cura correspondiente es una recta horizontal que pasa por el alor de la aceleración a. Por otro lado, la ecuación anterior nos da una relación lineal entre la elocidad y el tiempo, por lo que la cura de elocidad es una línea recta con pendiente igual a la aceleración a, y ordenada en el origen. En el gráico a t emos que el área bajo la cura de aceleración es simplemente el producto de la aceleración por el interalo de tiempo at, y de la ecuación anterior emos que esto a su ez es igual al cambio de elocidad. Es decir, concluimos que el área bajo la cura de aceleración resulta ser igual al cambio de elocidad de la partícula. Si la aceleración es negatia, es decir cae por debajo del eje t, el área la tomamos con signo negatio, para que siga representando el cambio de elocidad. Ahora determinaremos la ley de moimiento para una partícula que se muee con aceleración constante. Para esto, suponemos que cuando la partícula se muee con elocidad, esta se encuentra en la posición inicial, y cuando alcanza su elocidad inal, esta se encuentra en la posición inal. Recordemos también, que cuando se analizó el moimiento de una partícula con elocidad constante, se mostró que el área bajo la cura de elocidad, en el gráico t, representaba el desplazamiento. Pues bien, este es un resultado álido en general. Por lo tanto, considerando, la gráica anterior tenemos: Area = Δ = = ( t) + ( at)( t)

5 En el último término, el primer sumando representa el área del rectángulo sombreado, mientras que el segundo término representa el área del triángulo sombreado. Notemos que el cateto ertical del triángulo mide at, pues la recta tiene pendiente a. Despejando la posición tenemos: = + t + at Esta es la ley de moimiento para el moimiento rectilíneo con aceleración constante. Está ecuación predice una dependencia cuadrática de la posición con el tiempo. Si realizamos una gráica de la posición en unción del tiempo (gráico t) obtenemos una parábola, que corta al eje ertical en la posición inicial, y que resulta cóncaa hacia arriba si la aceleración es positia y cóncaa hacia abajo si la aceleración es negatia. Otra característica importante de este gráico, es que la pendiente de la recta tangente en un punto de la parábola, correspondiente a un tiempo t, resulta ser la elocidad en ese instante. Por ejemplo, la pendiente de la recta tangente a t = es la elocidad inicial. En un SR, con eje coordenado positio a la derecha, si la pendiente es positia, el sentido de la elocidad es a la derecha, y si la pendiente es negatia, el sentido de la elocidad es a la izquierda. Se cumple también, que a mayor pendiente (en alor absoluto), le corresponde mayor rapidez a la partícula. Finalmente se debe recordar que, tanto la elocidad como la aceleración, tienen signo. Dado un SR, representamos estas cantidades por ectores que tienen cierto sentido dependiendo del signo. Usualmente se escoge un SR con un eje de coordenadas positio hacia la derecha, y correspondientemente las cantidades positias se representan como ectores que apuntan a la derecha y las negatias como ectores que apuntan a la izquierda.

6 Además, debido a que la elocidad y la aceleración se han deinido para todo instante del moimiento, podemos dar las siguientes reglas, para determinar en que instantes la partícula aumenta o disminuye su rapidez: a) Si la elocidad y la aceleración tienen el mismo signo, entonces la partícula aumenta su rapidez. b) Si la elocidad y la aceleración tienen signo contrario, entonces la partícula disminuye su rapidez. Por ejemplo, sea una partícula que se encuentra inicialmente en la posición m, con una elocidad de m/s, y cuyo moimiento es con aceleración constante igual a m/s. Luego de s, la elocidad y posición de la partícula serán: = + at = + ( )() = m / s = + t + at = + () + ( )() = 5m Nótese que en el cálculo anterior no se lleó cuenta de las unidades en el paso intermedio, pero si se colocaron al dar los resultados. Gráicamente representamos estos dos instantes como sigue: O t = s t = s m/s m/s m/s 5 X(m) Dado que la aceleración es constante en todo el trayecto, dibujamos el ector aceleración en un punto cualquiera. Por otro lado, los ectores elocidad, los dibujamos en los instantes que les corresponden. Vemos del gráico anterior que la aceleración es negatia durante todo el moimiento. Además el cálculo muestra que después de s, la partícula tiene elocidad negatia, luego en este instante la partícula esta aumentando su rapidez. En contraste, inicialmente su elocidad era positia y por tanto en este instante se encontraba disminuyendo su rapidez. 3

7 PROBLEMAS RESUELTOS. En la sección anterior hemos dado dos ecuaciones básicas para el moimiento con aceleración constante. Sin embargo, eisten otras dos relaciones que son de mucha utilidad en la solución de problemas. En este primer problema demostraremos estas relaciones, usando la misma notación que en la sección anterior. a) Demostrar la siguiente relación (nótese que no aparece la aceleración): = ( + ) b) Demostrar la siguiente relación (nótese que no aparece el tiempo): t = + a( ) SOLUCIÓN a. Partimos de la ley de moimiento. Pasamos a restar la posición inicial y actorizamos el tiempo en el segundo miembro, luego tenemos: = ( + at) t En la ecuación anterior, podemos reemplazar el actor at por el cambio de elocidad. = ( + ( )) t Simpliicando la epresión en el segundo miembro: + = ( ) t b. En este caso despejamos el tiempo de la ecuación que nos da la elocidad para todo tiempo. Tenemos: t = a 4

8 Reemplazando esta ecuación en la ley de moimiento, y epandiendo el segundo miembro: o = ( o a o ) + a( a o ) ( = ) + ( a + ) Simpliicando, y despejando el cuadrado de la elocidad inal = + a( ). Un automóil se muee sobre una pista plana y recta, con una elocidad de m/s. De pronto el conductor decide pisar el acelerador, causando en el auto una aceleración constante durante un tiempo total de s. Si en el quinto segundo su elocímetro marca m/s, se pide a) Determinar la aceleración del automóil. b) Determinar la elocidad al cabo de los s. c) Determinar la distancia total recorrida por el auto. d) Si en el instante t = s, el conductor decide pisar pisa el reno, causando que el automóil disminuya su rapidez a razón de 6m/s, determinar la distancia que recorre el auto desde ese instante hasta que se detiene. SOLUCIÓN a. Consideramos como origen temporal, t = s, el instante en que el conductor pisa el acelerador, y un eje positio a la derecha. Luego, tenemos = m/s. Al cabo de cinco segundos, es decir t = 5s, tenemos = m/s. Usando estos datos podemos calcular directamente la aceleración: = = s + at = + a(5) a m / Nótese que siempre hacemos los cálculos intermedios sin llear las unidades. Para esto debemos tener todas las cantidades undamentales en unidades consistentes. Por ejemplo, aquí siempre usamos el metro para la longitud, y el segundo para el tiempo. b. Utilizando la misma ecuación y el alor obtenido para la aceleración: = + () = 3m / s 5

9 c. Escogemos como punto de reerencia (origen de coordenadas) el lugar en que el conductor pisa el acelerador. Luego, para determinar la distancia total recorrida hasta t = s, primero calculamos el desplazamiento del auto hasta ese instante. Para esto, usamos la ley de moimiento: t at () () = + Δ = = + Δ = m Si el moimiento siempre ue en el mismo sentido durante los diez segundos de la trayectoria, entonces podemos airmar que la distancia ue m. Ahora bien, en un moimiento en línea recta, para que una partícula cambie su sentido, es necesario que esta se detenga. Luego, eamos si el auto se detuo en algún instante de su recorrido: = + t = t = 5s Esta solución nos dice que el auto nunca se detuo en el interalo [s, s]. d. Tomemos ahora como origen temporal y punto de reerencia el instante y lugar en que el conductor pisa el reno. Esto debido a que a partir de este punto la aceleración es distinta a la del tramo anterior. Tomando un eje positio a la derecha, se tiene = 3m/s y a = 6m/s. Se puede mostrar que el desplazamiento del auto hasta que se detiene, nueamente nos da la distancia: = + a( ) = 3 + ( 6)( ) Δ = = 75m 3. Un conductor que iaja a elocidad constante de 5m/s pasa por un cruce de escolares cuyo límite de elocidad es de m/s. En ese momento, un policía en su motocicleta que está detenido en el cruce, arranca con aceleración constante de 3m/s, en persecución del inractor. a) Cuánto tiempo pasa antes de que el policía alcance al inractor? b) A qué elocidad a el policía en ese instante? SOLUCIÓN a. Tomamos como origen de coordenadas el cruce y como origen temporal el instante en que parte el policía. Tomamos también un eje positio a la derecha como se muestra en la igura. Luego, para ambos móiles se tiene =. Sea P, la posición del policía, y C, la posición del conductor para un instante cualquiera t. 6

10 El policía se muee con aceleración constante por lo que su ley de moimiento resulta: P = + t + at P = + ( t) + (3) t P = 3 t El conductor se muee con elocidad constante, y por tanto su ley de moimiento es: C + t = C = + 5t C = 5t En el instante en que el policía alcanza al conductor, la posición de ambos es la misma. Luego igualando sus coordenadas y despejando t, tenemos: (3) t = 5t t = s Por qué descartamos t=? b. La elocidad del policía la obtenemos usando: = o + at P = + (3)() = 3 P = 3m / s 7

11 4. Un automóil está detenido rente a un semáoro. Luego que se enciende la luz erde, arranca con una elocidad que aría de acuerdo con el gráico de la igura. Después de transcurridos s, cuál es la distancia que habrá recorrido el auto? SOLUCIÓN Este es un gráico t, y por tanto el área sombreada, representa el desplazamiento del móil. En este caso particular, este desplazamiento resulta igual a la distancia, luego hallando el área tenemos: d = / d = m 5. El siguiente gráico corresponde a un móil que se desplaza en línea recta. Si en un SR con eje positio a la derecha, el móil partió de la posición = 6m, se pide determinar la posición del móil para t = 6s. SOLUCIÓN Hasta el instante t = 4s, obseramos que la elocidad es positia, es decir el móil se estuo moiendo hacia la derecha. El desplazamiento total será el área bajo la cura: Δ = A = 5 / = Δ m 4 = 8

12 A partir del instante t = 4s, emos que la elocidad siempre es negatia, es decir el móil se empieza a desplazar hacia la izquierda. El desplazamiento total será el área correspondiente: Luego, la posición inal será Δ = A = 6 / = 6 Δ = 6m = m + Δ + Δ m. 6 = 9

13 PROBLEMAS PROPUESTOS. Un aión estacionado en una pista debe alcanzar una elocidad de m/s para despegar. Si la pista mide m, que aceleración mínima debe llear en orma constante para poder despegar?. Un móil recorre una distancia de 5m con elocidad constante de 5m/s. Si el móil partiera del reposo con aceleración constante, cuál debería ser su aceleración para que recorra dicha distancia en el mismo tiempo? cuál sería la elocidad inal del auto? 3. Un auto parte del reposo de una ciudad A con dirección a una ciudad B. Su aceleración constante es de 4m/s y la distancia que separa las ciudades es de km. Hallar el tiempo que le toma al auto hacer la ida y uelta, si la uelta es con elocidad constante e igual a la elocidad de llegada a B. 4. Un móil A a al alcance de un móil B, partiendo ambos simultáneamente. La elocidad inicial de A es de 5m/s y la de B es de m/s, la aceleración de A es de 6m/s y la de B es de 4m/s. Si el móil A alcanza al móil B luego de 5s, hallar la distancia que los separaba inicialmente. 5. El conductor de un automóil que a a 5m/s de pronto se da cuenta de que un tren detenido obstruye la carretera. Cuando aplica los renos, el tren se encuentra a 6m. El automóil disminuye su elocidad a ritmo constante e impacta con el tren 3s después. Cuál ue su aceleración durante los 3s? Cuál es la rapidez del automóil en el momento del impacto? 6. Dos móiles parten de la misma posición simultáneamente, uno parte del reposo y con aceleración de 4m/s, y el otro con una cierta elocidad inicial y una aceleración de m/s, oliéndose a encontrar luego de 5s. Determinar la elocidad inicial del segundo móil. 7. Un móil triplica su elocidad entre los puntos A y B, recorriendo una distancia de 5m durante un tiempo de s. Determinar la distancia recorrida por el móil, entre el punto de partida y el punto A, si partió del reposo, manteniendo siempre su aceleración constante. 8. Dos móiles separados cierta distancia d, parten simultáneamente uno al encuentro del otro, el primero con una elocidad inicial de m/s y con aceleración de m/s, mientras que el segundo parte del reposo con una aceleración de 4m/s. Si luego de s están separados m, calcular la distancia d. 3

14 9. Dos autos parten uno al encuentro del otro. El primero sale a las 7: a.m. con elocidad constante de 48km/h. El segundo parte del reposo, con aceleración constante, a las 9: a.m. Si se deben encontrar a la : p.m., justo en la mitad del camino, con qué aceleración deberá ir el segundo móil para que se encuentren a la hora ijada?. Un móil parte del reposo de un punto A, y se dirige hacia un punto B distante km. Si el móil acelera a 5km/h durante la primera mitad del camino, y continúa su trayecto con la elocidad alcanzada en este tramo, a qué hora debió partir, si debe llegar a B a las 8: p.m.?. Un móil A que tiene una elocidad igual a 3m/s se encuentra detrás de otro móil B que tiene una elocidad de constante de m/s, en la misma dirección y sentido que el primero. Si A empieza a renar cuando se encuentra a m detrás de B, cuál es el alor de la desaceleración de A, si se sabe que cuando A alcanza a B su elocidad es nula?. Un coche de policía pretende alcanzar un automóil que iaja en línea recta a 5km/h. La elocidad máima del coche policial es de 9km/h y se sabe que arranca del reposo ariando su elocidad en 8km/h en cada segundo, hasta que alcanza los 9km/h, prosiguiendo con elocidad constante. Cuándo alcanzará al automóil si se pone en marcha al pasar éste junto a él? 3. Una pelota iaja con aceleración constante a lo largo de un camino recto. Si se conoce que en el instante t = s, se encontraba en la posición = m, en el instante t = 5s, se encontraba en la posición = m y en el instante t = s, su elocidad es m/s. (a) Qué aceleración tiene la pelota? (b) Con qué elocidad inicial se lanzó? (c) En qué posición estaba la pelota inicialmente? (d) En qué instante se detiene? (e) Hallar la distancia total recorrida. 4. A partir del gráico t mostrado, hallar la elocidad inicial del móil, si se sabe que la distancia total recorrida es m y el desplazamiento es 6m. 3

15 5. El siguiente diagrama t pertenece a un móil que recorre 6m en los s iniciales de su moimiento. En qué tiempo retorna al punto de partida? 6. Dado el gráico t de un móil, hallar la posición de este en t = 6s, si para t = s se hallaba en la posición = m. 7. A partir del siguiente gráico t, hallar la distancia recorrida y el desplazamiento del móil. 8. A partir del siguiente gráico t, determinar después de qué tiempo el móil está en el origen, si parte de la posición = m. 3

16 9. A partir del siguiente gráico t, determinar la elocidad media del móil entre el quinto y décimo segundo.. Una partícula se encuentra en reposo en el origen de coordenadas en el instante t = s. Si su gráica a t es la mostrada en la igura, determinar su gráica t, y su gráica t..8 CONSISTENCIA DIMENSIONAL DE LAS ECUACIONES Podríamos ácilmente encontrar el olumen que ocupa un libro multiplicando sus tres lados, largo, ancho y alto. Por ejemplo, un libro cuyo largo es 7 cm., ancho cm. y alto 4 cm. ocupa un olumen de 6 cm 3. Obsera las unidades del olumen, son centímetros al cubo. Esto se debe a que el olumen se obtiene multiplicando tres longitudes. Por esta razón, las dimensiones del 3 olumen son L, donde L representa dimensión de longitud. Qué dimensiones tiene el área de un terreno? En qué unidades se puede epresar el área de un terreno? Podemos epresar las dimensiones de otras magnitudes deriadas en unción de tres magnitudes undamentales, longitud (L), masa (M) y tiempo (T). Por ejemplo, la elocidad tiene dimensiones de longitud diidida entre tiempo, L/T. Cuáles son las dimensiones de la aceleración? En qué unidades se puede epresar la aceleración? La suma algebraica (suma o resta) de dos magnitudes ísicas sólo tiene sentido si ambas tienen las mismas dimensiones. Por ejemplo, no podemos sumar elocidad con aceleración. Consideremos la siguiente ecuación: 33

17 P = Q + R S Las dimensiones de P, Q, R y S deben ser las mismas. Por qué? Además, antes de realizar las operaciones de suma y resta para encontrar el alor de P, debemos asegurarnos que Q, R y S tengan las mismas unidades. Por qué? El análisis dimensional nos permite, a eces, detectar errores en órmulas o ecuaciones. Por ejemplo, un alumno escribe la siguiente órmula para la posición de una partícula en unción del tiempo: = o + o t + at Cuál es el error en esta órmula? Las posiciones inicial y inal tienen dimensiones de longitud, la elocidad por el tiempo también tiene dimensiones de longitud. La suma de la posición inicial con el producto de la elocidad inicial por el tiempo es correcta. El actor ½ del último término no tiene dimensiones (es solo un número). El producto de la aceleración por el tiempo tiene dimensiones de L/T. En otras palabras, haciendo el análisis dimensional tenemos: = o + ot + at L = L + ( L / T)( T) + ( L / T L = L + L + L / T )( T) No podemos sumar el último término por tener dierentes dimensiones. La órmula es incorrecta. La coherencia de las dimensiones es una condición necesaria para que la ecuación sea correcta pero, no es suiciente. Por ejemplo, cuál es el error en la siguiente órmula? = o + t + Es la órmula anterior dimensionalmente correcta? at 34

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