Estadística EIAE (UPM) Estadística p. 1

Transcripción

1 Ö Ó ÓÒØ ÒÙÓ ÑÓ ÐÓ p. 1

2 Ejercicio 1 A una gasolinera llegan, en media, 3 coches por minuto. Calcular la probabilidad de que a) En 1 minuto lleguen dos coches. b) En 1 minuto lleguen al menos dos coches. c) En 5 minutos lleguen 10 coches. d) El primer coche que llegue lo haga pasados 40 segundos. e) El primer coche que llegue lo haga antes de 40 segundos. f) El quinto coche que llegue lo haga pasados 2 minutos. g) El quinto coche que llegue lo haga antes de 2 minutos. h) El noveno coche que llegue lo haga antes de que pasen 5 minutos desde que llegó el cuarto coche. p. 2

3 Ejercicio 1 A una gasolinera llegan, en media, 3 coches por minuto. Calcular la probabilidad de que a) En 1 minuto lleguen dos coches. λ = 3 Número medio de coches que llegan en 1 minuto X Número de coches que llegan en 1 minuto P(λ = 3) P (X = x) = λx x! eλ x = 0,1,2,... P (X = 2) = 32 2! e 3 = p. 3

4 Ejercicio 1 A una gasolinera llegan, en media, 3 coches por minuto. Calcular la probabilidad de que b) En 1 minuto lleguen al menos dos coches. λ = 3 Número medio de coches que llegan en 1 minuto X Número de coches que llegan en 1 minuto P(λ = 3) P (X = x) = λx x! eλ x = 0,1,2,... P (X 2) = 1 P (X < 2) = 1 1 x=0 3 x x! e 3 = p. 4

5 Ejercicio 1 A una gasolinera llegan, en media, 3 coches por minuto. Calcular la probabilidad de que c) En 5 minutos lleguen 10 coches. λ = 15 Número medio de coches que llegan en 5 minutos X Número de coches que llegan en 5 minutos P(λ = 15) P (X = x) = λx x! eλ x = 0,1,2,... P (X = 10) = ! e 15 = p. 5

6 Ejercicio 1 A una gasolinera llegan, en media, 3 coches por minuto. Calcular la probabilidad de que d) El primer coche que llegue lo haga pasados 40 segundos. λ Número medio de coches que llegan en 1 segundo = 3 60 = 1 20 X Tiempo, en segundos, que tarda en llegar el primer coche Exp(λ) f(x) = λe λx x 0 P (X > 40) = e 1 20 x dx = e 1 20 x + 40 = e 40/20 = e 2 = p. 6

7 Ejercicio 1 A una gasolinera llegan, en media, 3 coches por minuto. Calcular la probabilidad de que e) El primer coche que llegue lo haga antes de 40 segundos. λ Número medio de coches que llegan en 1 segundo = 3 60 = 1 20 X Tiempo, en segundos, que tarda en llegar el primer coche Exp(λ) f(x) = λe λx x 0 P (X < 40) = e 1 20 x dx = e 1 20 x 40 0 = 1 e 40/20 = 1 e 2 = p. 7

8 Ejercicio 1 A una gasolinera llegan, en media, 3 coches por minuto. Calcular la probabilidad de que f) El quinto coche que llegue lo haga pasados 2 minutos. λ Número medio de coches que llegan en 1 minuto = 3 X Tiempo, en minutos, que tarda en llegar el quinto coche Er(n = 5,λ = 3) f(x) = λn Γ(n) xn 1 e λx x 0 P (X > 2) = 35 4! + 2 x 4 e 3x dx = 115e 6 = p. 8

9 Ejercicio 1 A una gasolinera llegan, en media, 3 coches por minuto. Calcular la probabilidad de que g) El quinto coche que llegue lo haga antes de 2 minutos. λ Número medio de coches que llegan en 1 minuto = 3 X Tiempo, en minutos, que tarda en llegar el quinto coche Er(n = 5,λ = 3) f(x) = λn Γ(n) xn 1 e λx x 0 P (X < 2) = 35 4! 2 0 x 4 e 3x dx = 1 115e 6 = p. 9

10 Ejercicio 1 A una gasolinera llegan, en media, 3 coches por minuto. Calcular la probabilidad de que h) El noveno coche que llegue lo haga antes de que pasen 5 minutos desde que llegó el cuarto coche. λ Número medio de coches que llegan en 1 minuto = 3 X Tiempo, en minutos, que tarda en llegar el quinto coche Er(n = 5,λ = 3) f(x) = λn Γ(n) xn 1 e λx x 0 P (X < 5) = 35 4! 5 0 x 4 e 3x dx = e 15 = coche tiempo 4 o 0 5 o 6 o 7 o 8 o 9 o 5min p. 10

11 Ejercicio 2 Un sistema está formado por tres componentes independientes,c 1,C 2 yc 3, colocados en serie, de tal forma que si uno de los componentes se avería, el sistema deja de funcionar. En media, se produce un fallo cada 1000h, 500h y 400h, en cada componente, respectivamente. Si se produce un fallo de uno o varios componentes, se repara inmediatamente, y el sistema sigue funcionando en las mismas condiciones. Se pide, (a) Obtener la distribución del tiempo de vida del sistema completo. (b) Calcular la probabilidad de que el sistema no falle en las primeras 100h de su puesta en funcionamiento. (c) Calcular la probabilidad de que el segundo fallo del componente C 1 se produzca pasadas las primeras 500h. p. 11

12 Ejercicio 2 (a) Obtener la distribución del tiempo de vida del sistema completo. C 1 λ 1 = C 2 λ 2 = C 3 λ 3 = X k = Número de fallos de la componente k en 1h. P(λ k ) Y = Tiempo de vida del sistema, en horas Función de distribución de Y F(t) = P(Y t) = 1 P(Y > t) = 1 P(en t horas haya 0 fallos del sistema) = = 1 P(en t horas haya 0 fallos de C 1 y 0 fallos de C 2 y 0 fallos de C 3 ) = 3 = 1 P(en t horas haya 0 fallos de C k ) = = 1 k=1 3 k=1 e λ kt = 1 e (λ 1+λ 2 +λ 3 )t p. 12

13 Ejercicio 2 (a) Obtener la distribución del tiempo de vida del sistema completo. C 1 λ 1 = C 2 λ 2 = C 3 λ 3 = X k = Número de fallos de la componente k en 1h. P(λ k ) Y = Tiempo de vida del sistema, en horas F(t) = 1 e (λ 1+λ 2 +λ 3 )t Función de densidad de Y f(t) = F (t) = (λ 1 +λ 2 +λ 3 )e (λ 1+λ 2 +λ 3 )t t 0 que corresponde a una v.a. Exponencial de parámetro λ = λ 1 + λ 2 + λ 3 = Y = Tiempo de vida del sistema Exp(λ = λ 1 +λ 2 +λ 3 ) p. 13

14 Ejercicio 2 (b) Calcular la probabilidad de que el sistema no falle en las primeras 100h de su puesta en funcionamiento. Y Tiempo de vida del sistema, en horas Exp(λ = ) P(no falle en las primeras 100 horas) = P(Y > 100) = = λ e λt dt = e 100λ = e = e p. 14

15 Ejercicio 2 (c) Calcular la probabilidad de que el segundo fallo del componente C 1 se produzca pasadas las primeras 500h. C 1 λ 1 = W 1 = Tiempo, en horas, hasta que ocurre el segundo fallo de C 1 Er(n = 2,λ 1 ) f(t) = λ2 1 1! te λ 1t t 0 P(segundo fallo de C 1 pasadas las primeras 500h.) = = P(W 1 > 500) = λ te λ 1t dt = (1+500λ 1 )e 500λ p. 15

16 Ejercicio 3 El volumen de ventas diario de un kiosco se distribuye uniformemente entre 500 y 1000e (a) Probabilidad de que cierto día las ventas sean superiores a 685e (b) Cuál es el volumen medio de ventas diario? (c) Cuál es el volumen medio de ventas de un mes de 30 días? p. 16

17 Ejercicio 3 El volumen de ventas diario de un kiosco se distribuye uniformemente entre 500 y 1000e (a) Probabilidad de que cierto día las ventas sean superiores a 685e X Ventas de un día U(500,1000) X f(x) = = < x < 1000 P (X > 685) = f(x)dx = dx = = p. 17

18 Ejercicio 3 El volumen de ventas diario de un kiosco se distribuye uniformemente entre 500 y 1000e (b) Cuál es el volumen medio de ventas diario? X Ventas de un día U(500,1000) X f(x) = = < x < 1000 E[X] = a+b 2 = = 750e p. 18

19 Ejercicio 3 El volumen de ventas diario de un kiosco se distribuye uniformemente entre 500 y 1000e (c) Cuál es el volumen medio de ventas de un mes de 30 días? X k Ventas del día k = X k U(500,1000) k = 1,2,...,30 X k f(x) = = < x < 1000 E[X 1 + +X 30 ] = E[X 1 ]+ +E[X 30 ] = 30 a+b = 2 = = = 22500e 2 p. 19

20 Ejercicio 4 Dadas n v.a. independientes X 1 N(µ 1,σ 1 ),...,X n N(µ n,σ n ) = Y = X 1 + +X n?? X 1 N(µ,σ),...,X n N(µ,σ) = Y = X 1 + +X n?? X 1 N(µ 1,σ 1 ),...,X n N(µ n,σ n ) = Y = X 1 + +X n n?? X 1 N(µ,σ),...,X n N(µ,σ) = Y = X 1 + +X n n?? p. 20

21 Ejercicio 4 X 1 N(µ 1,σ 1 ),...,X n N(µ n,σ n ) = Y = X 1 + +X n Y N ( ) µ 1 + +µ n, σ σ2 n X 1 N(µ,σ),...,X n N(µ,σ) = Y = X 1 + +X n ( Y N nµ,σ ) n X 1 N(µ 1,σ 1 ),...,X n N(µ n,σ n ) = Y = X 1 + +X n n ( ) µ 1 + +µ n σ 2 Y N, 1 + +σn 2 n n X 1 N(µ,σ),...,X n N(µ,σ) = Y = X 1 + +X n n ( ) σ Y N µ, n p. 21

22 Ejercicio 5 El contenido de una lata de refresco se distribuye normalmente con media µ = 33 cl y desviación típica σ = 2 cl. (a) Cuál es la probabilidad de que el contenido de una lata sea superior a 35 cl? (b) Si un paquete consta de 6 latas, Cuál es la probabilidad de que el contenido total sea inferior a 192 cl? p. 22

23 Ejercicio 5 El contenido de una lata de refresco se distribuye normalmente con media µ = 33 cl y desviación típica σ = 2 cl. (a) Cuál es la probabilidad de que el contenido de una lata sea superior a 35 cl? X contenido de una lata N(33,2) P (X > 35) = P ( Z > ) 2 = P ( ) Z > 1 = p. 23

24 Ejercicio 5 (b) Si un paquete consta de 6 latas, Cuál es la probabilidad de que el contenido total sea inferior a 192 cl? X 1 contenido de la lata 1 N(33,2). X 6 contenido de la lata 6 N(33,2) ( X contenido del paquete = X 1 + +X 6 N 6 33, ) 6 2 P (X < 192) = P ( Z < ) = = P ( ) Z < 1.22 = P ( ) Z > 1.22 = p. 24

25 Ejercicio 6 Se estima que el tiempo necesario para realizar un examen sigue una distribución Normal de media 90 min. y desviación típica 7 min. El examen comienza a las 9:00h (a) Cinco amigos acuden al examen con la imperiosa necesidad de que al menos uno de ellos termine antes de las 10:15h. Calcular la probabilidad de que esto suceda. (b) El profesor desea fijar un tiempo máximo, suficiente para que terminen el examen por lo menos el 75 % de los alumnos. Cuál deberá ser ese tiempo? p. 25

26 Ejercicio 6 El tiempo necesario para realizar un examen sigue una distribución Normal de media 90 min. y desviación típica 7 min. El examen comienza a las 9:00h (a) Probabilidad de que al menos uno de ellos termine antes de las 10:15h. X k Tiempo que tarda el alumno k en realizar el examen N(90,7) P(al menos 1 amigo acaba antes de 75 min.) = = 1 P(ningún amigo acaba antes de 75 min.) = = 1 P(los 5 amigos acaban después de 75 min.) = ( ) 5 = 1 P {X 1 > 75} {X 5 > 75} = 1 P(X k > 75) = k=1 = 1 [ ] 5 [ ( P(X > 75) = 1 P Z > )] 5 [ 5 = ] p. 26

27 Ejercicio 6 El tiempo necesario para realizar un examen sigue una distribución Normal de media 90 min. y desviación típica 7 min. El examen comienza a las 9:00h (b) Fijar un tiempo máximo, suficiente para que terminen el examen por lo menos el 75 % de los alumnos. X Tiempo que tarda un alumno en realizar el examen N(90,7) Buscamos el valor de t tal que ( 0.75 P(1 alumno acabe antes de t min.) = P(X < t) = P Z < t 90 7 ) = t t 94.7 min p. 27

28 Ejercicio 7 En una empresa de productos lácteos hay dos máquinas embotelladoras M 1 y M 2 que trabajan en paralelo y de forma independiente. El tiempo, en segundos, que tarda cada una de ellas en embotellar una unidad sigue una distribución Normal. La máquina M 1 sigue una N(2,0.4) y la máquina M 2 una N(1.8, 0.3). Se pide, (a) Calcular la probabilidad de que la primera unidad embotellada haya salido de la máquina M 2, sabiendo que ha salido en menos de 1.9s. (b) Si cada una de las máquinas embotella 20 unidades, cuál es la probabilidad de que las 40 unidades estén embotelladas en menos de 38s? (c) Si cada una de las máquinas embotella 10 unidades, cuál es la probabilidad de que las botellas producidas por M 2 estén listas al menos un segundo, antes que las producidas por M 1? p. 28

29 Ejercicio 7 X k Tiempo, en segundos, que tarda la máquina M k en embotellar una unidad X 1 N(2,0.4) A = {La primera botella sale en menos de 1.9s} X 2 N(1.8,0.3) S k = {La primera botella sale de la máquina M k } P(S 2 A) = P(A S 2 )P(S 2 ) P(A S 1 )P(S 1 )+P(A S 2 )P(S 2 ) = P(A S 1 ) = P(X 1 1.9) = P(Z 0.25) = P(A S 2 ) = P(X 2 1.9) = P(Z 0.33) = ( ) P(S 1 ) = P(X 1 X 2 ) = P(X 1 X 2 0) = P Z 0.4 X 1 X 2 N (2 1.8, ) = N ( 0.2,0.5 ) P(S 2 ) = P(X 2 X 1 ) = 1 P(S 1 ) = = p. 29

30 Ejercicio 7 (b) Cada una de las máquinas embotella 20 unidades, probabilidad de que las 40 unidades estén embotelladas en menos de 38s? X k Tiempo, en segundos, que tarda la máquina M k en embotellar una unidad X 1 N(2,0.4) y X 2 N(1.8,0.3) U 1 Tiempo, en segundos, que tarda la máquina M 1 en embotellar 20 unidades U 1 = X 1 + +X 1 } {{ } 20 N(20 2, ) = N(40,1.79) U 2 Tiempo, en segundos, que tarda la máquina M 2 en embotellar 20 unidades U 2 = X 2 + +X 2 N(20 1.8, ) = N(36,1.34) } {{ } 20 Las máquinas trabajan en paralelo e independientemente, para que las 40 unidades estén embotelladas en menos de 38s deben estarlo las 20 de la máquina M 1 y las 20 de la máquina M 2 P ( {U 1 38} {U 2 38} ) ( ) ( ) = P U 1 38 P U 2 38 = ( P Z ) ( P Z ) = = p. 30

31 Ejercicio 7 (c) Cada una de las máquinas embotella 10 unidades, probabilidad de que las botellas producidas por M 2 estén listas al menos un segundo, antes que las producidas por M 1? X k Tiempo, en segundos, que tarda la máquina M k en embotellar una unidad X 1 N(2,0.4) y X 2 N(1.8,0.3) V 1 Tiempo, en segundos, que tarda la máquina M 1 en embotellar 10 unidades V 1 = X 1 + +X 1 } {{ } 10 N(10 2, ) = N(20,1.26) V 2 Tiempo, en segundos, que tarda la máquina M 2 en embotellar 10 unidades V 2 = X 2 + +X 2 N(10 1.8, ) = N(18,0.95) } {{ } 10 La máquinam 2 debe acabar al menos un segundo antes que la máquinam 1, entonces{v 1 V 2 1} V 1 V 2 N (20 18, ) ( ) P V 1 V 2 1 ( = P Z 1 2 ) 1.58 = N(2,1.58) ( ) = P Z 0.63 = p. 31