y potencias Desafío matemático Vamos a conocer...

Transcripción

1 Números naturales, enteros y potencias Vamos a conocer.... Sistemas de numeración a través de la historia: de Roma a nuestros días. Números naturales. Suma y resta de números naturales. Multiplicación y división de números naturales. Jerarquía de las operaciones 4. Divisibilidad: múltiplos y divisores. Criterios de divisibilidad. Números primos y compuestos. Descomposición factorial de un número 6. Cálculo del M.C.D. y del m.c.m. de varios números. Aplicaciones 7. Números enteros. Operaciones elementales. Aplicaciones 8. Potencias y raíces. Operaciones con potencias Desafío matemático Problemas en la carpintería: construyendo una estantería Problemas en el espacio: la estación espacial Mir El problema del alquiler: ahorrando al alquilar oficinas Informática matemática Operaciones con números naturales y enteros con el ordenador Resultados de aprendizaje Resuelve problemas matemáticos en situaciones cotidianas, utilizando los elementos básicos del lenguaje matemático y sus operaciones.

2 Desafío matemático Intenta resolver este desafío. Si no puedes, una vez que hayas completado el estudio de la unidad podrás lograrlo. Problemas en la carpintería: construyendo una estantería Para construir una estantería como la de la imagen un carpintero necesita los siguientes materiales: Materiales 4 tablas largas de madera 6 tablas cortas de madera ganchos pequeños ganchos grandes 4 tornillos Precios Tabla larga: Ð Tabla corta: Ð Ganchos pequeños: Ð ( unidades) Ganchos grandes: Ð (unidad) Tornillos: Ð (7 unidades) El carpintero tiene en el almacén los siguientes materiales: 6 tablas largas de madera, tablas cortas de madera, 00 ganchos pequeños, 0 ganchos grandes y 0 tornillos. a) Cuántas estanterías completas puede construir? b) Si para construir una estantería necesita una semana, cuántas podría construir en 70 días? c) Cuánto tendría que pagar por los materiales que necesita para hacer una estantería? El precio de los mismos es el que figura en la tabla? d) Si vende cada estantería por 40 Ð, cuánto dinero obtiene de beneficio por cada una? Problemas en el espacio: la estación espacial Mir. La estación espacial Mir permaneció en órbita años y durante este tiempo dio alrededor de vueltas a la Tierra. a) Cuántas vueltas daba cada año? b) Si suponemos que todos los años tienen 6 días, cuántas vueltas daba a la Tierra cada día?. El radio de la Tierra mide aproximadamente 6 0 km. Teniendo en cuenta que la estación espacial Mir daba vueltas alrededor de la Tierra a una altura aproximada de 400 kilómetros y que la longitud de una circunferencia viene dada por la fórmula π r (siendo r el radio), calcula aproximadamente la distancia total recorrida por la Mir durante las vueltas que dio mientras estuvo en órbita. El problema del alquiler: ahorrando al alquilar oficinas Estos dos anuncios aparecieron en un diario de un país cuya unidad monetaria es el zed: Edificio A Se alquilan espacios para oficinas; 8-9 metros cuadrados: 47 zeds al mes; 00-0 metros cuadrados: 800 zeds al mes. La permanencia más larga de un astronauta en la Mir fue de 680 días. Edificio B Se alquilan espacios para oficinas; -60 metros cuadrados: 90 zeds por metro cuadrado al año. Responde a las siguientes preguntas: a) Si una empresa está interesada en alquilar durante un año una oficina de 0 m en ese país, en qué edificio debería alquilar la oficina para conseguir el precio más bajo, A o B? Escribe tus cálculos y razona tu respuesta. b) Si se alquila una oficina de 0 m en el edificio B durante 6 meses, cuánto tendríamos que pagar por ella? Si estamos dos meses sin pagar el alquiler, con qué número se representaría esta deuda? c) Dónde es más barato alquilar una oficina si el tamaño de la misma es de 40 m? Qué diferencia de precio habría entre ambos edificios? 7

3 Unidad. Sistemas de numeración a través de la historia: de Roma a nuestros días Saber más El hueso de Ishango Es uno de los objetos arqueológicos más antiguos relacionados con la capacidad de contar. Contiene secuencias de muescas a modo de conteo. Data de hace unos 000 años y se encontró cerca del lago Eduardo (frontera entre Uganda y la República Democrática del Congo)... Sistemas de numeración El ser humano es capaz de contar desde la antigüedad. Hay evidencias arqueológicas que demuestran que el ser humano aprendió a contar antes que a escribir: se conservan huesos con más de 0000 años marcados con muescas hechas a modo de conteo, lo que demuestra que la capacidad del ser humano de contar es anterior a la escritura. A lo largo de la historia las distintas civilizaciones han utilizado símbolos diferentes para representar números. Desde las muescas en huesos hasta el sistema de numeración decimal que se usa hoy en día han existido otros sistemas de numeración y otras formas de escribir los números. Un sistema de numeración es un conjunto de reglas y símbolos que sirven para representar números. Se clasifican en sistemas de numeración posicionales y sistemas de numeración no posicionales. Cómo se usan los números romanos?. Los valores de las letras I, X y C se suman.. Las letras V, L y D solo se pueden poner una vez.. Las letras I, X, C y M se pueden escribir hasta tres veces seguidas. 4. Si una letra está a la derecha de otra de igual o mayor valor, se suman sus valores.. Si una letra está a la izquierda de otra de mayor valor, se restan sus valores. s: AÑO: M D CCC XXX III = 88 AÑO: M C D X C II (00 00) + (00 0) + = 49 V Uno de los sistemas de numeración antiguos que nos es más familiar es el sistema de numeración romano. En Europa se utilizó este sistema de numeración hasta que se impuso el sistema decimal. La numeración romana utiliza siete letras y es un sistema no posicional pues cada letra siempre vale lo mismo: I =, V =, X = 0, L = 0, C = 00, D = 00, M = 000. Otro sistema de numeración, que es el que utilizamos habitualmente, es el sistema de numeración decimal que utiliza los diez dígitos {0,,,, 4,, 6, 7, 8, 9} para escribir cualquier número. Este sistema es posicional pues el valor de cada dígito depende de la posición que ocupa. Numeración romana: X X I = = La X vale 0 La I vale Sistema NO posicional El valor de las letras siempre es el mismo X I X = = 9 Numeración decimal: El vale un millar Sistema posicional El valor de los números depende de la posición El vale una unidad Los números romanos se siguen utilizando para: numerar los siglos, los reyes, los papas o los emperadores, y también para la numeración ordinal de congresos, concursos, olimpiadas. También están presentes en muchos monumentos, lápidas e inscripciones antiguas. Por ejemplo: siglo XXI, Felipe II (rey), Francisco I (papa), Pedro II de Brasil (emperador), la XXX Olimpiada de Londres, el VII Congreso Iberoamericano de Educación Matemática, etc. 8

4 Números naturales, enteros y potencias.. El sistema de numeración decimal El sistema de numeración decimal, que procede de la India, fue introducido en Europa por los comerciantes árabes a finales de la Edad Media. Hasta entonces se utilizaban los números romanos, pero eran muy poco prácticos para realizar operaciones con ellos. Hay que pensar que los comerciantes necesitaban manejar cifras con soltura para hacer operaciones de compra y venta, para contar mercancías, hacer pagos, y para todo esto la numeración decimal era mucho mejor que la numeración romana. El sistema de numeración decimal se caracteriza por: Tiene base diez formada por los dígitos {0,,,, 4,, 6, 7, 8, 9}. Esto significa que se utilizan estos diez dígitos para escribir cualquier número, por muy grande o muy pequeño que sea. El se corresponde con la unidad y cada diez unidades se corresponden con una unidad de orden superior. Cada tres órdenes de unidad forman una clase. Veamos todo esto en una tabla: Saber más De dónde procede el sistema de numeración decimal? El sistema de numeración decimal que hoy conocemos surgió en la India hacia el siglo VI, aunque los símbolos que ellos utilizaban eran un poco diferentes de nuestros dígitos actuales:,,, 4,, 6, 7, 8 y 9. Además, el símbolo para el 0 surgió doscientos años después. En la fotografía aparece la prueba arqueológica de la primera vez que se usó el número cero: la inscripción está en un templo dedicado al dios Vishnu en la ciudad India de Gwalior (año 876); se puede ver el número 70 tal y como lo escribimos hoy en día. Clase Unidades Millares Millones Millares de millón Billones Millares de billón Centenas de billón Decenas de billón Unidades de billón Centenas de millar de millón Decenas de millar de millón Unidades de millar de millón Centenas de millón Decenas de millón Unidades de millón Centenas de millar Decenas de millar Unidades de millar Centenas Decenas Unidades Orden de unidad Es posicional: el valor de un dígito o cifra depende del lugar que ocupa en el número. El lugar que ocupa cada dígito se llama orden de unidad: la cifra de las unidades, decenas, centenas, etc. Si expresamos un número como la suma de los valores de sus cifras, se dice que el número está escrito en forma polinómica. El número en forma polinómica se escribe así: = donde el primer 7 ocupa el lugar de las decenas de millar, y por tanto su valor es , y el segundo 7 que aparece ocupa el lugar de las decenas, por lo que su valor es 70. Cómo se leen los números? Para poder leer un número escrito en el sistema decimal debemos separar las cifras en grupos de tres empezando por la derecha y a continuación leer empezando por el primer grupo de números de la izquierda. Por ejemplo: el número se lee «cuarenta y seis millones ochocientos setenta mil quinientos dos». 9

5 Unidad Actividades. Indica en nuestro sistema de numeración decimal qué números son: a) VII b) IX c) DXX d) CD e) LXXXI. Escribe en números romanos los siguientes números decimales: a) 8 b) 876 c) 0 d) 74 e) 97. Expresa los siguientes números en forma polinómica: a) 874 b) 6 89 c) d) Escribe con cifras: a) Cuatro mil doscientos dos; b) Tres millones doscientos tres mil; c) Nueve millones cuatrocientos uno.. Determina el valor del dígito según su posición en los casos siguientes: a) 00 b) 0 4 c) La ciudad romana de Baelo Claudia está situada cerca de Tarifa, en la provincia de Cádiz, y parece ser que surgió a finales del siglo II a. C. a) Cuántos años hace de eso? b) Su apogeo fue entre 00 años antes de Cristo y 00 años después de Cristo. Cómo se escriben esas fechas utilizando números romanos? 7. Se cree que Pitágoras murió alrededor del año 497 a. C. Cuántos años han pasado desde su muerte? 8. Escribe los números que tienen lo que dicen las siguientes frases: a) Cuatro millares, cinco centenas, siete decenas y seis unidades. b) Nueve millares y ocho unidades. c) Siete centenas de millar, ocho centenas, seis decenas y cuatro unidades. d) Una centena y dos unidades. 9. Copia en tu cuaderno y completa la siguiente tabla poniendo en cada casilla la cifra que representa la cantidad señalada: Centenas de millar Decenas de millar Millares Centenas Decenas Unidades 0. Copia y completa en tu cuaderno la tabla siguiente: El valor de cada dígito es El número Se lee así CMILLÓN DMILLÓN UMILLÓN CM DM UM C D U Escribe en tu cuaderno, en letra, los siguientes números: a) 980 Ð b) 40 Ð c) Ð d) Ð 0

6 Números naturales, enteros y potencias. Números naturales. Suma y resta.. Los números naturales: un conjunto ordenado El conjunto de los números naturales se representa con la letra y está formado por los diez dígitos que ya conocemos y por todos los números que se forman a partir del 0, sumando para obtener el siguiente: = {0,,,, 4,, 6, 7, 8, 9, 0,,, } Cuántos números naturales hay? Hay infinitos, pues dado cualquiera de ellos siempre podemos conseguir otro más grande sumándole una unidad. Los números naturales están ordenados y se pueden representar en una semirrecta, comenzando con el número cero a la izquierda y avanzando hacia la derecha a medida que vamos representando los números más grandes: Para ordenar los números se utiliza el símbolo > para indicar «mayor que» y el símbolo < para indicar «menor que». A veces también se utilizan el símbolo que significa «mayor o igual que» y el símbolo que significa «menor o igual que». Qué números naturales son mayores o iguales que 4 y menores que 9? Pues 4,, 6, 7 y 8. Si los ordenamos utilizando los símbolos tendríamos 4 < < 6 < 7 < 8 < 9... Suma y resta de números naturales Sumar consiste en reunir varias cantidades en una sola; significa reunir, agrupar, juntar. Sumar es una operación que también se llama adición. Los números que se suman se llaman sumandos y al resultado de la operación se le denomina suma.... Propiedades de la operación suma de números naturales Conmutativa: cambiar el orden de los sumandos no altera la suma. : como = 0 y = 0, tenemos que = Asociativa: la suma de varios números naturales no depende de cómo se agrupen: : (4 + 6) + 8 = 4 + (6 + 8) (0) + 8 = 4 + (4) 8 8 Elemento neutro: sumar el número 0 a otro no lo altera. : = 0. Restar consiste en hallar la diferencia entre dos cantidades; significa descontar, disminuir, quitar. Restar es una operación que también se denomina sustracción. Los números que se restan se llaman minuendo el primero y sustraendo el segundo, y el resultado de la operación se denomina resta o diferencia. Saber más Por qué se hicieron famosos los números hindúes? Los comerciantes del Mediterráneo estaban en contacto con las culturas árabes de Oriente y fueron estos árabes los que transmitieron a los comerciantes europeos las ventajas que ofrecían los números indios a la hora de hacer operaciones frente a los números romanos. Por eso estos números se denominan indoarábigos: los hindúes los inventaron y los comerciantes árabes los trajeron a Europa. 6 + =. Los sumandos son y 6 y la suma es. En un partido de balonmano España ganó a Dinamarca a 9. Cuál fue la diferencia de puntos? La diferencia fue - 9 = 6.

7 Unidad. Multiplicación y división de números naturales. Jerarquía de las operaciones.. Multiplicación de números naturales Recuerda El producto de un número cualquiera por cero siempre es cero: a 0 = 0 Operaciones encadenadas Las operaciones encadenadas en un mismo nivel (por ejemplo, dentro de un mismo paréntesis) se hacen de izquierda a derecha. : Izquierda Derecha ( ) = 6 Y se hace igual si aparecen multiplicaciones o divisiones en un mismo nivel. Desafío matemático El problema de la estantería Utiliza las operaciones con números naturales para resolver este problema: suma, resta, multiplicación y división. Multiplicar consiste en sumar varias veces el mismo número. Los números que se multiplican se llaman factores y al resultado de la operación se le denomina producto. Si sumamos = es lo mismo que multiplicar =. Propiedades de la operación multiplicación de números naturales Conmutativa: cambiar el orden de los factores no altera el producto. : como 4 6 = 4 y 6 4 = 4, tenemos que 4 6 = 6 4. Asociativa: el producto de varios factores no depende de cómo se agrupen los factores. : Distributiva: el producto de un número por una suma (o resta) es igual a la suma (o resta) de los productos de dicho número por cada sumando (o término de la resta). : Elemento neutro: si se multiplica un número cualquiera por se obtiene el mismo número. : 7 = 7.. División de números naturales Dividir consiste en repartir en partes iguales. Los términos que intervienen en una división reciben estos nombres: Dividendo resto divisor cociente 9 9 D = 9 r = d = c = 9 Si el resto de la división es cero, se dice que la división es exacta. Entre estos números se cumple la prueba de la división: Dividendo = divisor cociente + resto siendo el resto < divisor.. Jerarquía de las operaciones: operaciones combinadas Jerarquía de las operaciones Cuando se hacen varias operaciones a la vez con números naturales (sumas, restas, multiplicaciones y divisiones) y aparecen paréntesis y corchetes en ellas, tenemos que seguir un orden determinado para hacer la cuenta (ver tabla de la derecha). Jerarquía de las operaciones (pasos a seguir).º Se efectúan las operaciones de los paréntesis y corchetes.º Se hacen las multiplicaciones y divisiones.º Se hacen las sumas y restas y se obtiene el resultado final (8 - ) - 6 : : = 77

8 Números naturales, enteros y potencias Actividades. Efectúa las siguientes sumas: a) b) 8 + c) d) e) Realiza las siguientes operaciones: a) 6-8 c) b) d) Una persona entra en un edificio de 90 plantas por la planta 0 (planta baja) y toma el ascensor hasta la planta 87. Luego baja pisos. Sube 48. Baja 0. Sube. Sube 40. Baja 4. En qué piso se encuentra después de todo el recorrido?. Realiza estas operaciones: a) b) (40 - ) c) 4 + (8 - ) d) (8-9) Tengo ahorrados 0 Ð, pierdo un billete de Ð al ir a comprar una camiseta que vale Ð y al volver a casa mi tía me regala el triple de lo que tenía ahorrado al principio. Cuánto dinero tengo ahora? 7. Los 76 miembros de una empresa van a ir a visitar una nueva fábrica. En cada autobús caben 4 viajeros. Cuántos autobuses se necesita contratar? 8. En la siguiente tabla, la suma de los números de la primera fila y los de la segunda fila da siempre 00. Escribe en tu cuaderno los números que faltan: Realiza las siguientes operaciones en tu cuaderno: a) ( + ) (8 + ) - ( + 0) ( + 4) c ) (6-4) ( - 9) - ( + 0) ( + ) b) ( ) ( + 6 0) d) (6-9 0) : ( + 7 0) 0. Ordena de menor a mayor y dibuja en una recta numérica los siguientes números naturales:, 0,, 0, 4, 9.. Escribe el número anterior y el número posterior a cada uno de los siguientes números: a) b) c) d) e) Completa en tu cuaderno la siguiente tabla: Números Millar más próximo Centena más próxima Decena más próxima Un concesionario de coches ha vendido 78 vehículos, 0 más que el año pasado. Cuántos ha vendido en total en los dos años? 4. Debemos recorrer 0 km en total y ya hemos recorrido 7 km. Cuántos kilómetros nos quedan para llegar?. Completa en tu cuaderno las siguientes restas: a) 47 - = 40 c) 47 - = 7 b) 47 - = 47 d) 47 - = Busca el número que falta y escribe la operación completa en tu cuaderno: a) 4 (7 - ) = 0 b) ( 6) = 0 c) 0 - ( ) = Todas las mercancías marcadas con la letra M tienen la misma masa, y la marcada con la letra Q tiene el doble de masa que las marcadas con la letra M. Cuál es la masa de cada caja? Masa = 0 kg M M M Q

9 Unidad 4. Divisibilidad: múltiplos y divisores 4.. Divisibilidad: múltiplos y divisores 0 es divisible por porque: 0 0 Por un lado, 0 es múltiplo de porque 0 =, y por otro, es divisor de 0 porque la división 0 : es exacta. Un número a es divisible por otro b cuando la división es exacta. a 0 b c b es divisor de a a es múltiplo de b Si la división de dos números es exacta, entonces: El número mayor es múltiplo del número menor. El número menor es divisor del número mayor. Para calcular los múltiplos de un número a multiplicamos ese número por los diferentes números naturales empezando por el. El conjunto de los múltiplos de un número a se designa por M(a) o también a. Calcula los múltiplos de 4: 4 = M(4) = { 4, 4, 4, 4 4, 4, 6 4 } = {4, 8,,6, 0,4 } Para calcular los divisores de un número a empezamos con el (puesto que el número es divisor de todos los números naturales), y después continuamos dividiendo por, 4,, 6 hasta que el cociente sea menor o igual que el divisor. El último divisor que obtendremos será el propio número a porque todo número natural es divisible por sí mismo. El conjunto de los divisores de un número a se designa por D(a). Calcula los divisores del número. Ya sabemos que el y el son divisores de. Vamos probando con el,, 4,, 6 hasta llegar al sabiendo que debemos parar cuando obtengamos un cociente menor o igual que el divisor en una división exacta: 0 6 y 6 son divisores de 0 4 y 4 son divisores de 0 Por tanto D() = {,,, 4, 6, } 4 El cociente es menor que el divisor. Paramos En un estanque los nenúfares crecen tan deprisa que cada día duplican el área que cubrían el día anterior. Después de días todo el estanque está cubierto de estas plantas. a) Después de cuantos días, el estanque se encontraba cubierto solo hasta la mitad? b) Calcula los múltiplos y divisores del. a) Después de 4 días. El día 4 el estanque estaba cubierto hasta la mitad y, como duplica su extensión cada día, el día estará completamente cubierto. b) = M() = {,,, 4,, 6 } = = {, 0,4, 60,7, 90 } Los divisores de son D() = {,,,} 4

10 Números naturales, enteros y potencias 4.. Criterios de divisibilidad Los criterios de divisibilidad son reglas que nos permiten saber si un número es divisible por otro sin tener que dividir. Un número es divisible por si s termina en 0 o en par 6, 66,, la suma de sus cifras es múltiplo de 6 es múltiplo de porque = 9 termina en 0 o en 0,, 4, 40 Por qué son útiles los criterios de divisibilidad? El cálculo de los divisores de un número supone ir haciendo divisiones y viendo si son exactas. Esto puede resultar largo si el número con el que trabajamos es grande. Para solucionar este problema se utilizan los criterios de divisibilidad. 9 la suma de sus cifras es múltiplo de 9 8 es múltiplo de 9 porque = 8 0 termina en 0 0, 00, 40, 000 Actividades 8. Utiliza los criterios de divisibilidad para indicar cuáles de los siguientes números son divisibles por, por, por, por 9 o por 0: a) b) 4 c) 0 d) 00 e) 00 f) En una clase de 0 alumnos se quieren formar grupos iguales. De cuántas maneras puede hacerse? 0. Decide si son ciertas o falsas las siguientes frases dando alguna razón convincente: a) es divisor de 74. b) es divisor de. c) 9 es divisor de 46. d) El mayor divisor de 4 es 9. e) es divisor de 6. f ) 00 no es divisor de.. Se puede pagar el importe exacto de una tableta que cuesta 0 Ð con billetes de 00 Ð?, y con billetes de Ð?, y con billetes de 0 Ð?, y con billetes de 0 Ð? Razona tu respuesta.. Copia la tabla y complétala en tu cuaderno utilizando los criterios de divisibilidad que hemos explicado: Número Divisible por NO Divisible por Divisible por SÍ Divisible por 9 Divisible por 0. Tenemos 0 plantas para poner en un jardín: a) Si las ponemos en grupos de, cuántos grupos podemos hacer? b) Si queremos ponerlas en 0 macetas, cuántas pondremos en cada una? 4. El papa Gregorio XIII modificó en el año 8 el calendario que se utilizaba hasta entonces y estableció que los años múltiplos de 4 serían años bisiestos (años con 66 días). a) Indica cuáles de los siguientes años son bisiestos: 0; 04; 06; 987; 000. b) Cuáles serán los próximos tres años bisiestos?. Calcula los siguientes números: a) Cinco múltiplos de mayores que ; b) tres múltiplos de 4 mayores que 8; c) todos los múltiplos de que están situados entre 96 y 96.

11 Unidad. Números primos y compuestos. Descomposición factorial de un número.. Números primos y compuestos Saber más Conjetura de Goldbach Goldbach (matemático alemán, ) «Todo número entero par mayor que dos puede expresarse como la suma de dos números primos». Un número es primo si solo es divisible por sí mismo y por. Un número es compuesto si tiene más de dos divisores, o dicho de otra manera, si no es primo. El número no se considera ni primo ni compuesto. Para determinar los números primos existe un método llamado Criba de Eratóstenes que consiste en escribir los números naturales en orden y en ir tachando primero los múltiplos de, después los múltiplos de, luego los múltiplos de, después los múltiplos de 7 y así sucesivamente Los números que van quedando en la lista son los números primos: El tío Petros y la conjetura de Gold bach es el título de un libro. Entre marzo de 000 y marzo de 00 una editorial inglesa ofreció un premio de de dolares a quien demostrase esta conjetura, pero todavía nadie lo ha conseguido. Este tipo de problemas (que aún no están resueltos) se denominan problemas abiertos. Hemos obtenido de esta forma una lista de los números primos menores que 0 (señalados de color amarillo):,,, 7,,, 7, 9,, 9,, 7, 4, 4 y 47. Cómo se sabe si un número es primo o no lo es? Para saber si un número dado es primo tenemos que ir dividiéndolo entre los números primos menores que él:,,, 7 hasta llegar a una división que sea exacta o una división en la que el cociente sea menor o igual que el divisor, y entonces: Si alguna división es exacta, el número es compuesto (no es primo). Si ninguna división es exacta, entonces el número es primo. s Averigua si el número 6 es primo Por tanto 6 es divisible por, luego 6 tiene más de dos divisores D(6) = {,, 6 } por tanto es compuesto Son primos los números, y 4? El número sí es primo porque solo es divisible por y por. El número también es primo porque solo es divisible por y por. En cambio, el 4 no es primo porque es divisible por, y 4, por lo que tiene tres divisores. Se sabe que existen infinitos números primos desde los tiempos de Euclides pero no se conoce un método que nos asegure que, dado un número cualquiera podamos asegurar si es primo o no lo es. De hecho, cuando se trabaja con números muy grandes, a veces puede ser muy complicado estudiar si el número dado es primo o no lo es. 6

12 Números naturales, enteros y potencias.. Descomposición factorial de un número en factores primos La descomposición factorial de un número consiste en expresarlo como producto de números primos. Por ejemplo: 0 = 4 = 7 = = 7 Los números pequeños como los del ejemplo anterior pueden descomponerse en producto de factores primos con poco esfuerzo, pero cómo se hace esto si tenemos números más grandes? Descompón en producto de factores primos los siguientes números: a) 70 b) 4 c) 60 Para descomponer un número compuesto en factores primos vamos dividiendo dicho número por sus posibles divisores primos, empezando siempre por los más pequeños:,,, 7 hasta obtener un cociente igual a. La descomposición factorial será el producto de todos los divisores primos. a) Divisiones sucesivas En columna Descomposición factorial = 7 Empezamos dividiendo por. Como no es divisible por, probamos con el. El 7 es un número primo, por lo que solo es divisible por 7. Hemos obtenido en el cociente, luego hemos terminado. b) Divisiones sucesivas En columna 4 6 Descomposición factorial 4 = Saber más Teorema Fundamental de la Aritmética Se sabe que «todo número natural mayor que uno puede descomponerse en producto de factores primos». Este resultado es tan importante que se conoce con el nombre de Teorema Fundamental de la Aritmética ya desde la época de Euclides (siglo III a. C.) cuando aparece en su famoso libro Los Elementos. Saber más Los números primos y la seguridad en internet Una de las aplicaciones más curiosas de los números primos tiene que ver con los protocolos de seguridad en internet. Es fácil multiplicar dos números primos, sean por ejemplo los primos a = 97 y b = 0 90, de manera que al multiplicarlos obtenemos a b = c = Resulta en cambio muy difícil determinar a y b a partir de c. Matemáticamente, esto se hace a través del procedimiento conocido como descomposición factorial que acabamos de explicar. En el ejemplo, el número c viene a ser la codificación, mientras a y b son la clave de descodificación. Esta estrategia es la base de un sistema de encriptación de clave pública llamado RSA, muy utilizado en internet. c) Divisiones sucesivas En columna Descomposición factorial 60 = 7 Desafío matemático El problema de la estación espacial Mir Utiliza las operaciones con números enteros para resolver este problema: suma, resta, multiplicación y división. 7

13 Unidad 6. Cálculo del M.C.D. y del m.c.m. de varios números. Aplicaciones Para qué sirven el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo? Para poder trabajar con fracciones: cuando hagamos sumas y restas de fracciones será necesario saber calcular el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo de varios números. Para resolver cierto tipo de problemas, como se ve en el ejemplo de abajo. El máximo común divisor (M.C.D.) de varios números es el mayor divisor común a todos ellos. El mínimo común múltiplo (m.c.m.) de varios números es el menor múltiplo común a todos ellos. Para calcular ambos números se utiliza la descomposición factorial. 6.. Cálculo del máximo común divisor El cálculo del máximo común divisor de varios números requiere dos pasos:.º Se hace la descomposición factorial de los números..º Se eligen todos los factores primos comunes con el menor exponente con el que aparecen, y se multiplican. Calcula el máximo común divisor de los números 0 y 4..º 0 4.º Los factores primos comunes son los que se repiten en las dos listas: el y el. Se toman con el MENOR exponente con el que aparecen y se multiplican: 0 = 4 = el M.C.D.(0,4) = = 6.. Cálculo del mínimo común múltiplo El cálculo del mínimo común múltiplo también se realiza en dos pasos:.º Se hace la descomposición factorial de los números..º Se eligen todos los factores primos comunes y no comunes con el mayor exponente con el que aparecen, y se multiplican. Si una campana toca cada 0 minutos y otra cada 4 y empiezan a tocar a las de la mañana, a qué hora volverán a tocar a la vez? La respuesta debe ser un número mayor que 0 y que 4 y múltiplo de ambos. El m.c.m.(0,4) = 90, luego al cabo de 90 minutos volverán a tocar juntas; a las.0 horas. Calcula el mínimo común múltiplo de los números 6 y 60..º º Los factores primos comunes son los que están en las dos listas ( y ) y los no comunes los que solo están en alguna (). Se eligen los que tengan el MAYOR exponente y se multiplican: 6 = 60 = el m.c.m.(6,60) = = Aplicaciones El M.C.D. y el m.c.m. sirven para resolver muchos problemas cotidianos. Para saber cuál de los dos números debemos calcular, una regla útil es la siguiente: a) Si del enunciado del problema se deduce que el número a calcular debe ser menor que los datos, entonces calcularemos el M.C.D. b) Si del enunciado del problema se deduce que el número a calcular debe ser mayor que los datos, entonces calcularemos el m.c.m. 8

14 Números naturales, enteros y potencias Actividades 6. Continúa construyendo la Criba de Eratóstenes para hallar los números primos hasta el Averigua si el número es primo. 8. Descompón en factores primos los números que aparecen en el marcador de la imagen. 9. Descompón en factores los siguientes números: a) b) 7 c) 80 d) Halla todos los divisores de los siguientes números: a) b) c) 0 d) e) 00 f) 8 4. Calcula el m.c.m. de los números: a) 8 y 98 b) 0 y 4 4. Calcula el M.C.D. de los números: a) 7 y 44 b) 7 y 4 4. Dos corredores están entrenando en una pista de atletismo. Si salen a la vez y uno tarda 4 segundos en dar una vuelta a la pista y el otro tarda 60 segundos, cuándo vuelven a coincidir en la salida? 44. Indica si son verdaderas o falsas las siguientes frases: a) Entre 0 y 40 hay más números primos que entre 40 y 0. b) Todos los números impares son primos. c) La descomposición en factores primos de un número es 7 8. d) Todos los números pares son compuestos. 4. Averigua si el número 44 es primo. 46. La conjetura de Goldbach dice que «Todo número par mayor que puede escribirse como la suma de dos números primos». Por ejemplo: 8 = +, donde 8 es par y y son números primos; o por ejemplo = + 9. Busca más ejemplos de pares de números donde ocurra esto. 47. Copia en tu cuaderno y completa la siguiente tabla escribiendo SÍ o NO en las casillas: Primo Compuesto Múltiplo de Divisor de Completa en tu cuaderno los números que faltan en las siguientes descomposiciones factoriales y escríbelos como producto de los factores primos obtenidos: = = = = 9

15 Unidad Actividades 49. Calcula el M.C.D. y el m.c.m. según se pide a partir de las descomposiciones factoriales de la tabla: Factores primos Factores primos 8 = 60 = 4 = 90 = 6 = 00 = 4 = 80 = a) M.C.D.(4,6) c) M.C.D.(4,80) e) m.c.m.(4,60) b) M.C.D.(60,90) d) m.c.m.(8,00) f) m.c.m.(8,6,90) 0. Calcula: a) m.c.m.(8,) c) M.C.D.(4,90) b) m.c.m.(60,9) d) M.C.D.(86,4). a) Elige dos números a y b cualesquiera de dos cifras y calcula su M.C.D. y su m.c.m. b) Comprueba que se cumple que M.C.D.(a,b) m.c.m.(a,b) = a b. Disponemos de dos cables eléctricos, uno de 80 cm y el otro de 4 cm, y queremos dividirlos en trozos de la misma medida. Cuál debe ser la longitud máxima de cada trozo?. Un semáforo se pone en rojo cada 4 segundos y otro cada 0. Cada cuánto tiempo coincidirán ambos en rojo? 4. Una emisora de radio tiene el programa de noticias cada 0 minutos y otra emisora cada 4 minutos. Cada cuántos minutos coinciden las noticias en ambas emisoras?. Tenemos dos cordones, uno de 0 cm de longitud y el otro de 90 cm. Queremos dividirlos en trozos de la misma medida, cuál es la longitud máxima que puede tener cada trozo de cordón? 6. En una residencia de personas mayores un residente debe tomar tres tipos de pastillas: unas cada 8 horas, otras cada horas y otras cada 4 horas. Si toma las pastillas al levantarse, cuántas horas pasarán hasta que vuelva a tomarlas todas juntas? 7. En los siguientes problemas falta la pregunta del enunciado y aparece la solución. Observa las operaciones realizadas, completa en tu cuaderno los enunciados con la pregunta que falta y escribe lo que indica cada operación. a) Tengo 00 Ð para comprar dos abrigos de invierno de 7 Ð cada uno y unas botas de 8 Ð.? 7 = = - 00 = b) En una mercería se compran rollos de lana por 70 Ð y se venden después en mercadillos a 8 Ð cada rollo.? 70 : = 6 8 = = 0 c) Un padre tiene billetes de 0 Ð, la madre tiene billetes de 0, y los hijos, 0 monedas de euros.? 0 = 40 0 = 00 0 = = Escribe una expresión numérica para los siguientes problemas utilizando números naturales y obtén una respuesta para el problema planteado: a) Vamos a recorrer 70 km del Camino de Santiago andando y lo haremos en etapas de 0 km. Cuántos días tardaremos en hacer todo el camino? b) En un vagón de tren caben 4 viajeros sentados y de pie. Cuántas personas caben en un tren de 0 vagones? c) He comprado kg de melocotones a Ð/kg, 4 chocolatinas a Ð cada una y un paquete de detergente a Ð. Si pago con un billete de 0 Ð, cuánto me devuelven? 0

16 Números naturales, enteros y potencias 7. Números enteros. Operaciones elementales. Aplicaciones 7.. El conjunto de los números enteros Una buena forma de entender la necesidad de los números enteros surge cuando pensamos en la altitud de un punto de la superficie terrestre respecto al nivel del mar. Las montañas están a una altura determinada sobre el nivel del mar y eso lo señalamos con números positivos; por ejemplo, el K (que es la segunda montaña más alta de la Tierra después del monte Everest) tiene una altura de +8 6 m. En cambio, Holanda tiene partes de su territorio situadas a -4 m o incluso -7 m por debajo del nivel del mar. Hemos utilizado los signos + y - para designar números positivos y negativos. Estos son los números enteros. El conjunto de los números enteros se representa con la letra y está formado por los números naturales que hemos estudiado (los positivos y el cero) y por los números negativos. Se escribe como: = { -4, -, -, -, 0,,,, 4, } 7.. Representación gráfica de los números enteros Los números enteros se representan en la recta numérica: se marca el cero, y a su derecha se sitúan los números positivos y a su izquierda los negativos: El K tiene una altura de +8 6 m sobre el nivel del mar Para comparar números enteros se utiliza su representación en la recta numérica: un número es mayor que otro si al representarlo en la recta el primero se encuentra a la derecha del segundo. Representa en la recta numérica los números -6,, -, 0, -4, y y después ordénalos de mayor a menor utilizando el símbolo > Ordenados utilizando el símbolo > quedarían así: > > > 0 > - > -4 > -6 El valor absoluto de un número entero es la distancia de ese número al cero y se indica poniendo el número entre dos barras. El valor absoluto del + se expresa como + =. El valor absoluto del - se escribe =. Podemos dibujar este ejemplo: que es la distancia del al 0 = + = 0 que es la distancia del 0 al En Holanda hay zonas del país situadas por debajo del nivel del mar. Escritura de números positivos y negativos No es necesario escribir con su signo los números enteros positivos, es decir, escribir + es lo mismo que escribir. En cambio, si el número es negativo, es necesario que lleve el signo; por ejemplo, el «número negativo» debe escribirse como -. Desafío matemático El problema del alquiler Utiliza los números enteros para responder a la segunda parte de la pregunta b): ( ) Si estamos dos meses sin pagar el alquiler, con qué número se representaría esta deuda?

17 Unidad 7.. Operaciones elementales con números enteros. Aplicaciones 7... Suma de números enteros Propiedades de la suma de números enteros Se cumplen las mismas propiedades que en la suma de números naturales: conmutativa, asociativa, elemento neutro (el 0) y, además, cada número entero tiene su opuesto; por ejemplo, el opuesto del es el - y se cumple que su suma es cero. Cómo escribir sumas y restas de números enteros? Si en la suma solo aparecen números positivos se puede escribir de varias formas, por ejemplo: (+) + (+) + (+) + (+0) = = () + () + () + (0) = = donde las tres notaciones son equivalentes pero la última, de color negro, es la más habitual. Si en la suma aparecen números negativos, entonces es necesario utilizar los paréntesis. Por ejemplo: (-) + + (-6) + (-7) En una zona de un jardín se ha medido la temperatura 4 veces. En la primera medición se ha obtenido +4 C. Lue go bajó 6 C. Después ba jó otros C y finalmente subió 0 C. Cuál fue la temperatura la última vez que se midió? Efectuamos las operaciones indicadas: (+4) - (+6) - (+) + 0 = = = C es la temperatura la última vez que se midió.. Con el mismo signo: para sumar números enteros del mismo signo, se suman los valores absolutos de dichos números y se pone el mismo signo que tengan los números. s Hemos tenido que pagar varios recibos que nos han ido descontando de nuestra cuenta: -0 Ð de teléfono, -7 Ð de gas, -6 Ð de luz y -00 Ð de comunidad. Cuánto dinero nos han quitado en total de la cuenta? Tenemos que sumar (-0) + (-7) + (-6) + (-00). Como todos los sumandos son negativos, sumamos sus valores absolutos = 70 y ponemos el signo menos: -70 Ð nos han quitado de la cuenta. Calcula (-6) + (-7) + (-) + (-4). Como todos los sumandos son negativos, sumamos sus valores absolutos: = 9 y ahora ponemos el signo menos: -9.. Con distinto signo: para sumar números enteros con distinto signo, se suman por un lado los positivos, por otro los negativos y después se halla la diferencia entre los valores absolutos de los resultados anteriores y se pone el signo del número que tenga mayor valor absoluto. s Calcula la suma: (-) + (-4) + (+6) + (-9) + (-0) + (+8) Se suman los enteros positivos: (+6) + (+8) = = 4 Se suman los enteros negativos: (-) + (-4) + (-9) + (-0) = -6 Hallamos la diferencia de los valores absolutos y ponemos el signo del número de mayor valor absoluto: -6 = 6; 4 = = La solución es por tanto - Pedro va a pagar a la óptica 4 Ð que debe. Para ello saca del cajero automático 40 Ð, pero al volver a casa pierde un billete de 0 Ð. Cuánto dinero le queda? La operación que debemos hacer es: (+40) + (-4) + (-0) = (+40) + + (-4) = Resta de números enteros Restar dos números enteros es sumar el primero con el opuesto del segundo. Calcula (-) -(+) Sumamos al primero el opuesto del segundo: (-) + (-) = -

18 Números naturales, enteros y potencias 7... Multiplicación y división de números enteros Para multiplicar o dividir números enteros se utilizan las reglas de los signos: Regla de los signos para la MULTIPLICACIÓN Regla de los signos para la DIVISIÓN (+) (+) = (+) (+) : (+) = (+) ( ) ( ) = (+) ( ) : ( ) = (+) ( ) (+) = ( ) ( ) : (+) = ( ) (+) ( ) = ( ) (+) : ( ) = ( ) Al multiplicar o dividir dos números enteros que tienen el mismo signo, el resultado obtenido es positivo, y si tienen signos distintos, el resultado es negativo. La división de números enteros Al dividir dos números enteros Dividendo resto divisor cociente siempre se cumple entre ellos la relación: D = d c + r Si el resto r es cero, la división es exacta. Si el resto r no es cero, la división es entera. Para multiplicar o dividir dos números enteros, primero se averigua el signo del resultado y después se multiplican o dividen los números como si fuesen naturales. s de multiplicación s de división (+) (+4) = +( 4) = 8 (+8) : (+9) = +(8 : 9) = ( ) ( 6) = +( 6) = 0 ( ) : ( 4) = +( : 4) = ( 7) (+) = (7 ) = ( 0) : (+ ) = (0 : ) = 4 (+4) ( 9) = (4 9) = 6 (+4) : ( 7) = (4 : 7) = Aplicaciones de los números enteros Las operaciones con números enteros se utilizan en diferentes contextos. Recuerda Suma y resta de números enteros Cuando en la suma y resta de números enteros aparecen dos signos seguidos, se utiliza la regla de los signos de la multiplicación. Medida de temperaturas y altitudes: Un avión despega del aeropuerto de Madrid-Barajas con dirección al aeropuerto de Málaga-Costa del Sol. La temperatura al salir de Madrid es de C y al llegar a Málaga hay C. Qué diferencia de temperatura hay entre las dos ciudades? Observa el dibujo y responde a las preguntas: a) A qué altitud se encuentra el avión en Madrid?, y en Málaga? b) Cuántos metros asciende el avión hasta alcanzar su máxima altura? c) A qué profundidad está el submarino? Madrid Barajas Málaga Costa del Sol ( ) = + = C a) En Madrid está a +600 m En Málaga está a 0 m b) = m c) 40 m

19 Unidad Actividades 9. Escribe los números enteros señalados en la recta con el punto verde: Un número entero tiene valor absoluto 7 y se representa a la izquierda del cero en la recta numérica. Qué número es? 6. Expresa con números enteros las siguientes situaciones y calcula el resultado: a) Tengo 0 Ð en el banco y me cobran una derrama de la comunidad de 0 Ð. b) La temperatura es de C y baja 8 C durante la noche. c) El globo se encontraba a 60 m de altura, ha descendido m y después ha ascendido 40 m. d) He pagado 0 Ð durante tres meses por una mampara de baño. 6. La temperatura en el polo norte ha subido C. Si en la última medición estaba en -4 C, qué temperatura indicará ahora el termómetro? 6. Realiza las siguientes operaciones con enteros en tu cuaderno: a) - ( ) b) (7 - ) c) + 4 : 9 - [4 - ( - 8)]; d) -4 ( + 0) 64. Efectúa estas restas: a) (+) - (+) b) (-) - (+8) c) (-0) - (-) 6. Realiza las siguientes sumas de enteros: a) (-8) + (-9) b) (-9) + (+7) + (+6) c) (-) + (+6) + (-8) + (+) d) (-) - (+4) - (+6) + (-) 66. Realiza las siguientes multiplicaciones y divisiones en tu cuaderno: a) (-0) : (+4) c) (+0) : (-) e) (+) (+) g) (-6) (+) b) (+8) : (-) d) (-0) : (-) f) (-4) (-) h) (-) (-) 67. Calcula: a) 4 : b) 0 : c) d) 8 : 9 + [(-) + ] 68. Una empresa había ganado Ð, pero en el último año ha sufrido pérdidas y ahora tiene una deuda de Ð. Cuánto ha perdido en total? 69. Realiza las siguientes operaciones combinadas: a) (9-4) + b) c) 0 : d) - (4 + 8) 70. Observa el siguiente croquis de un dique en Holanda: + m Dique a) En qué nivel se sitúa el agua del canal? Represéntalo con + m un número entero. + m 0 m b) Qué nivel alcanza aproximadamente el suelo de la casa? Mar m Y el tejado? Qué pasaría si se rompiese el dique? m c) Qué altura alcanza el dique? Qué altura tiene sobre el canal? d) Cuál es la diferencia de altura entre el punto más alto del dique y el punto más profundo del canal? Escribe la operación que debes hacer para calcularlo utilizando números enteros. 7. Copia y completa en tu cuaderno los siguientes enunciados: m 4 m m 6 m 7 m Canal a) Pedro está en la quinta planta y baja dos plantas andando. Pedro ha llegado a la planta. b) Un trabajador tiene en su cuenta 800 Ð, pero Hacienda le hace pagar 80 Ð por el IRPF. Su saldo se queda en. c) Un pescador submarino está pescando pulpos a una profundidad de 6 m y baja 4 m más mientras persigue a uno. Su profundidad actual es m. 7. Realiza las siguientes operaciones combinadas: a) (-) - (+) - (-8) - (-) - 0 c) (9-6) - [ - (6-4)] b) - [ + ( - 7)] d) 0 - [(7 - ) + (4 + 6)] - (-) 7. En una prueba tipo test para conseguir un trabajo se obtienen + puntos por cada respuesta correcta, 0 puntos por cada respuesta en blanco y - punto por cada respuesta incorrecta. Si el test tiene 40 preguntas: a) Qué puntuación se obtendría si se contestan preguntas bien, 0 mal y se dejan en blanco? b) Y qué se obtendría si se contestan 0 bien y se dejan las otras 0 en blanco? 74. Una persona que manipula comida congela el pescado que acaba de llegar al restaurante. Si al meterlo al congelador estaba a C y llega a 8 C bajo cero en el frigorífico, cuánto ha variado la temperatura del alimento? 4

20 Números naturales, enteros y potencias 8. Potencias y raíces 8.. Potencias y raíces Una potencia de números es una multiplicación de factores iguales. El factor que se repite es la base y el número de veces que se repite es el exponente. La operación se llama potenciación. Para hallar la potencia de un número, se multiplica la base por sí misma tantas veces como indique el exponente. Por ejemplo: 4 = = 6. Si el exponente es cero, la potencia siempre vale. : (4) 0 =. En un edificio hay 4 pisos, en cada piso hay 4 habitaciones y cada habitación tiene 4 ventanas. Cuántas ventanas hay en total? Para responder a la pregunta, multiplicamos 4 4 4, que en forma de potencia se escribe 4 (la base es 4 y el exponente es ), calculando 4 = = 64 ventanas. 8.. Operaciones con potencias Suma y resta de potencias: para sumar o restar potencias, tengan o no la misma base, se calcula por separado el valor de cada potencia y luego se suman o restan los resultados. : + - = = 8 Potencia de un cociente: la potencia de un cociente es igual al cociente de las potencias de los factores. s: a) = = = ( ) 8 b) = = = 7 Producto de potencias de la misma base: el producto de dos potencias de la misma base es otra potencia de la misma base que tiene por exponente la suma de los exponentes. : 4 4 = 4 + = 4 = 04 Potencia de un producto: la potencia de un producto es igual al producto de las potencias de los factores. s: a) ( ) 4 = 4 4 = 6 6 = b) (- 4) = (-) 4 = 4 6 = 64 Potencia de una potencia: la potencia de una potencia es igual a la base elevada al producto de los exponentes. s: ( ) a) 6 = = = 6 ( ) ( ) ( ) 6 b) = = = Potencias de exponente negativo Cociente de potencias de la misma base: el cociente de potencias de la misma base es otra potencia de la misma base cuyo exponente es la resta de los exponentes. : 4 4 = = = 9 Una potencia de exponente negativo se puede transformar en una potencia de exponente positivo. Veamos un ejemplo: Según el cociente de potenciasdelamisma base = =. = Ypor otro lado = = =. Base Exponente 6 4 = = 96 Potencias de números enteros Se calculan igual que las de números naturales pero conviene tener en cuenta que: Si la base es negativa y el exponente es par, la potencia es positiva. : (-) = (-) (-) = +9 Si la base es negativa y el exponente es impar, la potencia es negativa. : (-) = (-) (-) (-) = -7 Propiedades de las potencias Potencia de exponente cero: 0 a = Potencia de un producto: ( a b) = a b n n n Potencia de un cociente: ( a : b ) = n a b = a b Potencia de una potencia: n ( ) = a a m n mn Producto de potencias de la misma base: a a = a m n m+ n Cociente de potencias de la misma base: a m : a n m a = = a n a n n m n Potencia de exponente negativo: a n = a n

21 Unidad Jerarquía de las operaciones Cuando se tienen distintas operaciones combinadas con números enteros, hay que seguir un orden para efectuarlas:.º Corchetes y paréntesis..º Potencias y raíces..º Multiplicaciones y divisiones. 4.º Sumas y restas..º Si las operaciones están en el mismo nivel, se empieza por la izquierda. ( ), [ ] a n,, +, 8.4. Raíces Raíces cuadradas La operación contraria a la potenciación es la obtención de raíces. Podrían preguntarnos: qué número elevado al cuadrado nos da 9? La respuesta sería (como sabemos = = 9), por ello se dice que es la raíz cuadrada de 9. La raíz cuadrada de un número, llamado radicando, es otro número que elevado al cuadrado nos da como resultado el primero Raíces cúbicas Las raíces cúbicas se comportan de forma análoga a lo que ocurre con las raíces cuadradas: Otras raíces 7 = porque = = 7 = porque = También se pueden calcular raíces de orden superior a y a. Veamos varios ejemplos: 4 4 = 6tenemos que 6 = Índice n a = b Raíz Radicando = 4 ypor tanto 4 = En general, si a = b n n entonces a = b Actividades 7. Calcula utilizando la jerarquía de las operaciones: a) (4-6) - 4 ; b) -[ - (-4) + (-) ]; c) [8 ( - ) ] : ; d) 8 ( - ) : 76. Copia y completa en tu cuaderno la siguiente tabla: Potencia Base Exponente Valor 4 6 (-) (-) Calcula: a) 6 [7 - ] + : - ; b) ( 4-90) - ( - ); c) 9 + ( ); d) ( + 4 ) Escribe como una sola potencia: a) (8 7 ); b) 0 : ; c) 8 ; d) 4 : Calcula en tu cuaderno: a) (-) + ; b) ; c) ( 4) ; d) 0 (-) 80. Expresa como una sola potencia y calcula el resultado: 4 ( 6) a) b) (-) (-) 4 (-) c) d) ( 6) e) f ) ( 4 : ) g) ( ) h) 6

22 Números naturales, enteros y potencias Actividades 8. Calcula el valor de x en las siguientes igualdades: a) x = 9 b) 4 x = 6 c) 44 = x 8. En un partido de baloncesto las canastas encestadas por los jugadores de uno de los equipos son las siguientes: Canastas de punto puntos puntos Raquel 0 Begoña Laura 6 Sara 8 0 Sergio Martín 6 Carlos 8 a) Con cuántos puntos acabó este equipo? b) Si el otro equipo anotó 0 puntos, quién ganó el partido? c) Si en el siguiente partido se anotan 80 puntos, cómo puedo expresar este número utilizando un producto de potencias? 8. Reduce a una sola potencia y calcula su valor: a) - - b) (-) -4 (-) - c) [ - ( ) ] : d) Sustituye las letras a por los números que correspondan: a) a = b) a 4 4 = 4 c) a 4 = 6 d) ( a ) - = 6 8. Reduce las siguientes expresiones: a) a a b) b 6 : b 4 c) c c d) (m : m ) m e) x : (x 4 : x ) f ) (y 4 : y) y 86. Sabiendo que un tablero de ajedrez es cuadrado y que su superficie mide 76 cm : a) Cuánto mide cada lado del tablero? b) Cuánto mide el lado de cada casilla? c) Cuál es la superficie de cada casilla? 87. Escribe en forma de potencia y calcula: a) Siete elevado al cubo b) Ocho elevado al cuadrado c) Cuatro elevado a seis d) Dos elevado a cinco 88. Un albañil ha necesitado 89 baldosas de m de lado cada una para embaldosar el suelo de una carnicería. Sabiendo que la carnicería mide lo mismo de largo que de ancho, calcula las dimensiones del local. 89. Una hoja de sellos de correos tiene filas por columnas. Tenemos hojas de sellos. a) Cuántos sellos tenemos en total? Expresa el resultado en forma de potencia b) Si cada sello vale Ð, cuánto nos cuestan todas las hojas? 7