UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN ANDRÉS FACULTAD DE INGENIERIA INGENIERIA INDUSTRIAL DEPARTAMENTO DE CURSO BÁSICO

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1 UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN ANDRÉS FACULTAD DE INGENIERIA INGENIERIA INDUSTRIAL DEPARTAMENTO DE CURSO BÁSICO EL CÁLCULO SUPERIOR EN EL ENTORNO MATLAB APLICACIONES AL CALCULO DIFERENCIAL o FUNCIONES o LIMITES o DERIVACION o MAXIMOS Y MINIMOS DE FUNCIONES o SUMAS DE RIEMANN o INTEGRACION o APLICACIONES DE LA INTEGRAL o SERIES Mg. Sc. Ig. Rfel Vleci Goyzuet MATLAB Mrc registrd por The MthWorks, Ic.

2 FUNCIONES DE UNA VARIABLE CON MATLAB U fució es u relció etre dos vribles e l cul cd vlor de l vrible idepediete le correspode siempre u úico vlor de l vrible depediete. Por lo tto, se dice que u relció es u fució cudo de cd elemeto de su domiio sle u y solo u flech hci lgú elemeto del codomiio o cojuto imge. Es decir cudo cd elemeto del domiio está relciodo u y solo u vez, co lgú elemeto del codomiio. U fució f : A B Es u regl que cd elemeto del cojuto A le sig u úico elemeto del cojuto B. Pr osotros, A y B, será, e geerl, cojutos uméricos. Pr recoocer que u relció o es fució lcz co observr si u mismo elemeto del domiio se relcio co dos o más elemetos del codomiio o cojuto imge, por ejemplo: Domiio de u fució El domiio de u fució so todos los elemetos del cojuto de prtid que está relciodos co lgú elemeto del cojuto de llegd. Es decir so todos los elemetos del cojuto de prtid de los cules sle u flech. A éstos elemetos se los puede llmr preimgees y se los desig co l letr Recordemos que el cojuto de prtid se represet gráficmete como el eje horizotl (eje ). Otr form de defiir el domiio de u fució es decir que es el cojuto de putos o elemetos de A pr los que l fució eiste, e símbolos se epres dom f A. Rgo o imge de u fució El rgo o imge de u fució so todos los elemetos del cojuto de llegd que está relciodos co lgú elemeto del cojuto de prtid. Es decir so todos los elemetos del cojuto de llegd que recibe u o más de u flech. A éstos elemetos se los puede llmr imágees y se los desig co l letr y. Al cojuto de llegd se lo represet gráficmete como el eje verticl y se lo suele llmr eje y. Represetció de u fució Ls fucioes se puede represetr de diverss mers: Por medio de u gráfico, el gráfico de u fució f : A B como el cojuto de pres ordedos (, y ), dode es u elemeto del domiio e y es u elemeto del codomiio de l fució. E l represetció gráfic el domiio se ecuetr sobre el eje horizotl y el codomiio e cojuto imge se ecuetr sobre el eje verticl Medite u tbl de vlores. E ls tbls de vlores teemos el listdo de todos los pres ordedos (, y ) que se relcio. HORA TEMPERATURA

3 L tbl represetd cotiee ls temperturs registrds durte u dí. E l myorí de los csos ls tbls sólo port u iformció prcil sobre l fució. Por medio de u fórmul que relcio l vrible depediete (hbitulmete l epresmos co l letr y ) co l vrible idepediete (hbitulmete l epresmos co l letr ). El volume V de u cubo cuy rist mide metros es igul : V Medite l descripció detlld del comportmieto de ciert vrible co respecto de otr vrible. Por ejemplo: Squé del fuego u ccerol co gu hirviedo. Al pricipio, l tempertur bjó co rpidez, de modo que los 5 miutos estb 60ºC. Luego fue efriádose co más letitud. A los 0 miutos después de hberl scdo estb 0ºC, tempertur de l cul o bjó pues er l tempertur que hbí e l coci. L tempertur del gu lo lrgo del tiempo es u fució. Fucioes pres U fució f es pr si pr todo vlor del domiio se verific que: f f ( ), es decir imágees igules de preimágees opuests. Geométricmete l represetció gráfic de ls fucioes pres os d fucioes simétrics sí mism respecto del eje de ordeds (eje y ), serí u simetrí il co respecto l eje y Fucioes impres U fució f es impr si pr todo vlor del domiio se verific que: f ( ) f. Geométricmete l represetció gráfic de ls fucioes impres os d fucioes simétrics si mism respecto del puto de itersecció de los ejes de coordeds, serí u simetrí cetrl respecto del orige (0,0). Simplificdo podemos decir que u fució es impr cudo elemetos opuestos del domiio se relcio co elemetos opuestos del codomiio. Tod fució puede ser represetd como u sum de sus compoetes pr e impr dode: f pr f + f ( ) fimpr f f ( ) Propieddes pr pr pr impr pr impr impr impr pr Composició de fucioes Dds dos fucioes f y g, l composició go f g f es l fució que le sig cd el resultdo de plicr g f. Pr que est secueci pued relizrse, se ecesit que f esté defiid e y que [ f ] f ( ). L fució compuest de g co f o g f g g esté defiid e f es l fució. Es decir que u elemeto del domiio de l fució g le plicmos el vículo de dich fució, obteiedo g( ). A cotiució fució f y obteemos f g g le plicmos el vículo de l :

4 Teemos que teer e cuet que se plic primero l fució g y luego l fució f. Por lo tto, podemos verificr que f o g y go f so fucioes diferetes. L codició que debe drse pr que eist fució compuest es que ls imágees de l primer fució perteezc l domiio de l segud compoete, es decir, el cojuto imge de l primer fució debe estr icluido o ser igul l domiio de l segud fució. El domiio máimo de g o f o coicide, e geerl, co el domiio máimo de f: teemos l relció Dom( g o f ) Dom( f ) Luego: El domiio máimo de g o f es Dom( f) I f Dom( g) El domiio máimo de f o g es Dom( g) I g Dom( f) Propieddes de l composició de fucioes Asocitiv: h o ( g o f ) ( h o g) o f Comuttiv: No se verific como puede verse e los ejemplos teriores. go f f o g Si f es u fució culquier, se verific que f oi Io f f ( f + g) oh ( f oh) + ( go h) ( ) ( f g oh f oh goh Fució ivers o recíproc Dd u fució f : A B, dode A es el domiio y B es el cojuto imge. L ivers de dich fució se obtiee cmbido el domiio por el cojuto imge (codomiio) y se epres como: : ) f B A Pero tmbié se debe obteer el uevo vículo, que se clcul despejdo l vrible idepediete: y y f + f L represetció gráfic de dos fucioes iverss os d gráficos simétricos respecto de l rect y Propieddes de l fució ivers f o f f o f I X ( f og) ( g o f )

5 Fucioes Especiles Fució Vlor bsoluto 0 y < 0 Fució sigo Fució prte eter COMANDOS MADLAB ue Domf IR Rgf y [ 0, [ y sg > 0 Domf IR 0 0 Rgf y, 0, < 0 y k k < k+ Domf IR Rgf y Z { } COMANDO ACLARACION >> clc limpi l vet de comdos de Mtlb >> cler ll borr tods ls vribles y fucioes del espcio de trbjo de Mtlb respectivmete. >> symvr(s) Devuelve l vrible idepediete de l epresió simbólic S. >> fidsym(s) >> ezplot(s) Geer u gráfic de S, dode se supoe que S es u epresió de u vrible; l vrible idepediete suele vrir etre y. Geer u gráfic de S, dode se supoe que S es u epresió >> ezplot(s,[mi,m]) de u vrible; l vrible idepediete suele vrir etre mi y m. >> collect(s) Agrup térmios semejtes de S >> collect(s, v ) Agrup térmios semejtes de S respecto l vrible idepediete v >> epd(s) Reliz u epsió de S >> fctor(s) Itet fctorizr S >> simple(s) Simplific l form de s u form más cort, si es posible. >> symplify(s) Simplific usdo ls regls de simplificció de Mple >> pretty(s) Ehibe S e u slid que semej l tipogrfí usd e mtemátics. >> subs(s, old, ew) Substitució simbólic e u epresió o mtriz simbólic >> compose(f,g) Hll l fucio compuest de G co F o vicevers >> fiverse(f) Hll l fucio ivers de F

6 Grficr ls siguietes fucioes e el etoro simbólico: f + >> syms y >> y*((^-)/(^+)) >> ezplot(y) + y + I( ) 4 >> syms y >> ezplot((+)/(4-^)+log(^-)) >> is([ ]) y+ y y 0 >> syms y >> ^*y+*y-*y- s ^*y+*y-*y- >> ezplot(s) y y 0 >> syms y >> ^*y^-^-4*y^+ s ^*y^-^-4*y^+ >> ezplot(s) y cos + >> syms y >> fbs(*cos(*)+); >> ezplot(f)

7 Grficr ls siguietes fucioes e el etoro umérico: >> lispce(0,,00); y ( ) >> plot(,./(-).^) >> ylim([- 00]), bo off y Se obtiee el mismo gráfico co : cos( ) y se >> lispce(-4,4,); >> y./; >> plot(, y,'k','liewidth',) >> is([ ]) >> -4:0.:4; >> plot(', y) >> plot(, y') >> plot(', y') >> ylim([-0 0]), bo off >> -*pi:.:*pi; >> ysi()-cos(sqrt()*); >> plot(,y,'k','liewidth',) >> is light >> lbel('eje ') >> ylbel('eje y') y e se >> 0:0.0:5; >> ysi(.*ep(-.^)); >> plot(, y,'k','liewidth',) >> ylim([ ]), bo off Geere u vector de tiempos uiforme desde t0 hst t, de 000 muestrs. Costruy u fució seo de mplitud y frecueci 5Hz, u fució epoecil decreciete co costte de tiempo igul 00ms ls dos sobre es bse. Geere u tercer fució producto de ls dos teriores >> Tiicil0; >> Tfil; >> Npoits000; >> step(tfil-tiicil)/npoits; >> ttiicil:step:tfil-step; >> y*si(5**pi*t); >> tu00e-; >> yep(-t/tu); >> yy.*y; >> plot(t,y,t,y,t,y) >> lbel('tiempo'), >> ylbel('tesio')

8 Grficr ls siguietes fucioes dds e form implicit: >> syms y ( ) + ( y ) 5 >> f'(-)^+(y-)^-5'; >> ezplot(f,[-,5,0,6]) y + 5 >> syms y >> z(/).^+(y/5).^-; >> ezplot(z) y Pr esto: 4 y ± 4 9 >> -:0.:; >> ysqrt(4-4/9*.^); >> y-sqrt(4-4/9*.^); >> plot(,y) >> hold o >> plot(,y) >> is equl + y + y 9 Usdo Mtlb, podemos observr es curv, trvés de los comdos meshgrid y cotour e l form >> syms y >> ezplot('^+*y^+*y-9 '); >> lispce(-6,6,50); >> y lispce(-6,6,50); >> [X,Y]meshgrid(,y); >> ZX.^+*Y.^+X.*Y; >> cotour(x,y,z,[9 9]); Est curv tmbié puede represetrse como u curv de ivel (o cotoro de ivel) de (, ) + +, cudo (, ) f y y y f y 9. Es decir, u rebd de l superficie f(, y). Aquí prece dos istruccioes uevs. Por u prte mesgrid os permite ller dos mtrices X y Y como copis de los vectores y y, y co esto, geermos sobre el cudrdo [ 6, 6] [ 6, 6] u colecció de odos o putos iteriores sobre los cules evlumos l fució. f, y l Por otr prte, est l istrucció cotour est os permite rebr l superficie ltur z 9.

9 Hllr el rgo de ls siguietes fucioes (log ( + )) y se >> syms y >> ysi(log(-sqrt(+))) >> is([ ]) >> ezplot(y) 4 y + Rpt : y [, ] >> syms y >> y(4*^-)/bs(*+) >> ezplot(y) y [ ] Rpt : y, + + >> syms y >> y(^)/(*^++) >> ezplot(y) 4 Rpt : y 0, 7 y se + + >> syms y >> ybs(si(sqrt(^+)))+ >> ezplot(y) Rpt : y [, ] y cos + se >> syms y >> ybs(cos())+si(bs()) >> ezplot(y) Rpt : y,

10 Grficr ls siguietes fucioes por trmos, eplicitdo los domiios cerrdos y biertos Hy vris por ms de grficr u fució por trmos, quí vemos lgus. se se se 0 y 0 < 0 >> 0:(6*pi/000):6*pi; >> ysi(); >> yy.*(y>0); >> plot(,y); >> lbel('eje '); >> ylbel('eje y'); >> is([0,6*pi,-0.4,.]) + se 0 5 y e 5 < < I( + ) 0 >> -0:.:-5; >> y+si(); >> z-5:.:; >> tep(z); >> u:.:0; >> vlog(u.^+); >> plot(,y,z,t,u,v) >> ylim([-0.5 8]) >> lim([- ]) >> lbel(''), ylbel('f()') < 0 f 0 < >> -:0.0:; >> lispce(-,,000); >> y(.^).*(<0)+.*((0<)&(<))+(-+).*(<); >> plot(,y,'.'),grid o,title('fució defiid trozos') >> hold o >> plot(0,,'bo','liewidth',6) >> plot(,,'bo','liewidth',6) >> plot(0,0,'co','liewidth',6) 0 < 0 f > 4 >> -5:0.0:5; >> lispce(-5,5,5000); >> y().*(<0)+(/*.^-6).*((0<)&(<4))+(6).*(4<); >> plot(,y, '.') >> hold o >> plot(0,,'co', 0,-6,'bo', 4,8,'bo', 4,6,'co','liewidth',.) Gg

11 Grficr ls siguietes fucioes especiles Pr grficr, primero geermos u tbl de vlores e el domiio que queremos dibujr l fució. Aquí se est defiiedo el limite iferior e culquier vlor meor cero (etc., -00,-0,-) y el limite superior e culquier vlor myor que uo (, 0, 00, etc). Ahor defiimos l fució, multiplicdo cd trozo por el ídice lógico que describ el lugr dode queremos dibujrlo y dibujmos >> -5:0.0:5; >> lispce(-5,5,5000); >> y(-).*((-5<)&(<0))+().*((0<)&(<5)); >> plot(,y,'.'),grid o,title('fució vlor bsoluto') f >> -5:0.0:5; >> lispce(-5,5,5000); >> y(-).*((-5<)&(<0))+(0).*(0)+().*((0<)&(<5)); >> plot(,y,'.'),grid o,title('fucio sigo') >> hold o >> plot(0,-,'co',0,,'co',0,0,'bo','liewidth',.5) >> is('equl') f sg >> -:0.0:; >> lispce(-,,000); >> y(-).*(( - <)&(<-))+(-).*((-<)&(<0))+(0).*((0<)&(<))+ ().*((<)&(<))+().*((<)&(<))+().*(); >> plot(,y,'.') >> title('fució prte eter') >> is o >> lim([- ]), bo off >> ylim([-..]), bo off >> hold o >> plot(-,-,'bo', -,-,'bo', 0,0,'bo',,,'bo',,,'bo',,,'bo','liewidth',.7) Pr l prte eter selecciomos u domiio, e uestro cso [,] desrrollmos l prte eter segú su defiició: < < < y k k < k+ y < < f y e este domiio

12 Clculr l fució ivers de f 4 Gráficmete: L fució cudrátic o es iyectiv, pero si descompoemos su domiio e dos trozos seprdos por el vértice de l prábol: f f 4 f 4 4 si si < 0 0 e cd uo de ellos, l fució si es iyectiv y podremos clculr su ivers: y 4 y 4 y ± + 4 y, hbldo co myor propiedd, l ivers será: f f si 4 El código Mtlb pr esto es: >> syms y; >> f^-4; >> hfiverse(f); >> subplot() >> ezplot(f); >> is ([ ]) >> subplot() >> ezplot(h) >> is ([-5 6-4]) >> subplot() >> ezplot(f,[0,6]) >> hold o >> ezplot (h) >> ezplot(y-) >> is ([ ]) >> pretty(h) retty(h) Wrig: fiverse(^-4) is ot uique. > I C:\MATLAB6p5\toolbo\symbolic\@sym\fiverse.m t lie 4 / (4 + ) ;

13 Ecotrr l fució ivers de f Gráficmete: El vértice de l prábol es el puto de bscis que será el que os descompoe el domiio e trozos de form que e cd uo de ellos l fució es iyectiv: f f f Clculmos su ivers: si si < y 6+ 4 y 6y+ 4 y 6 y+ (4 ) 0 y, despejdo: 6 ± 6 4(4 ) 6 ± 9 (4 ) y ± 5 + E cosecueci, f 5 + f si 5 El comdo Mtlb >> syms y; >> f^-6*+4; >> hfiverse(f); >> subplot() >> ezplot(f); >> is ([ ]) >> subplot() >> ezplot(h) >> is ([-6 5 7]) >> subplot() >> ezplot(f,[,]) >> hold o >> ezplot (h,[-6,5]) >> ezplot(y-,[ -6 8]) >> is ([ ]) >> pretty(h) Wrig: fiverse(^-6*+4) is ot uique. > I C:\MATLAB6p5\toolbo\symbolic\@sym\fiverse.m t lie 4 / + (5 + ) Observe el mesje de dverteci e l slid del código Mtlb, esto se debe que ls fucioes grficds o tiee ivers úic. Otrs fucioes tiee ivers úic como ls siguietes:

14 Hllr l ivers de ls siguietes fucioes f se + + >> syms y; >> f*si((-)/(+))+; >> hfiverse(f); >> subplot() >> ezplot(f); >> is ([ ]) >> subplot() >> ezplot(h) >> is ([ ]) >> subplot() >> ezplot(f) >> hold o >> ezplot (h) >> ezplot(y-) >> is ([ ]) >> pretty(h) ( 0) ( 0) ( 0) + ( 0) y + >> syms y; >> f (0^-0^-)/(0^+0^-)+; >> hfiverse(f); >> subplot() >> ezplot(f); >> is ([ ]) >> subplot() >> ezplot(h) >> is ([ ]) >> subplot() >> ezplot(f) >> hold o >> ezplot (h) >> ezplot(y-) >> is ([ ]) >> pretty(h) >> pretty(h) pretty(h) + si(-/ + / ) si(-/ + / ) log( ) - + / log(0)

15 Compoer ls siguietes fucioes Si f + g, hllr f og go f >> syms f >> f(+)/(-) >> g(*^-)/(-) >> hcompose(g,f) >> hcompose(f,g) >> gofsimplify(h) >> fogsimplify(h) >> pretty(gof) >> pretty(fog) Dds ls fucioes >> syms >> f/(*sqrt(-)) >> g^/(^+) >> hcompose(f,g) >> h4compose(g,f) >> gofsimplify(h) >> fogsimplify(h4) >> pretty(gof) >> pretty(fog) (+)/(-+) g (*^-)/(-) h (*(+)^/(-+)^-)/((+)/(-+)-) h ((*^-)/(-)+)/(-+(*^-)/(-)) gof -(^+4*+)/(-)/(-+) fog (*^-4+)/(-++*^) f y g, clculr ls fucioes f og g ( + f //(-+)^(/) g ^/(^+) h /^*(^+)/(-+^/(^+))^(/) h4 /^/(-+)/(/^/(-+)+) gof /^*(^+)/(-/(^+))^(/) fog /(-^+^) Tmbié se puede utilizr l orde subs pr clculr l composició de dos fucioes, y que l vrible puede substituirse por u vlor umérico o por u epresió simbólic. Dds ls fucioes Defie vrible Defie ls fucioes Clcul composició Clcul composició f y g cos( ) >> syms >> f^+5*+ >> gcos(*+) >> fogsubs(f,,g) >> gofsubs(g,,f) +, clculr ls fucioes f og go f f ^+5*+ g cos(*+) fog o f cos(*+)^+5*cos(*+)+ gof cos(*^+0*+7)

16 Eplicitr ls siguietes fucioes: Dds l fució + + f + 4 clculr f ( ) Defie vrible >> syms Defie fució >> f_origil(^-*+)/(^-*+4); Cmbio de vrible >> u(+)/(-); Despej >> equisfiverse(u); Reemplz e f >> f_de_usubs(f_origil,,equis); simplific >> f_de_simplify(f_de_u) >> pretty(u) Escribe e formto >> pretty(equis) MAPLE >> pretty(f_de_) f_de_ (4+4*+^)/(8-+*^) L fució es: f Al ejecutr l orde simplify, el progrm efectú u serie de procesos de simplificció y, de etre los resultdos obteidos, escoge uo. Si l simplificció presetd por l orde simplify o es stisfctori, podemos pedirle l progrm, medite l orde simple, que os muestre los resultdos de tods ls simplificcioes efectuds. Observ el siguiete ejemplo: Co simplify l epresió f + + o se modific. Si embrgo, utilizdo simple >> syms >> f^+*+ f ^+*+ >> simplify(f) s ^+*+ >> simple(f) simplify: ^+*+ rdsimp: ^+*+ combie(trig): ^+*+ fctor: (+)^ epd: ^+*+ combie: ^+*+ covert(ep): ^+*+ covert(sicos): ^+*+ covert(t): ^+*+ collect(): ^+*+ s (+)^

17 Grficr pso pso >> syms >> f^; >> u+; >> f subs(f,,u); >> f4*f; >> f4f-; >> subplot() >> ezplot(f,[-8,8]) >> subplot() >> ezplot(f) >> hold o >> ezplot(f,[-8,8]) >> subplot() >> ezplot(f) >> hold o >> ezplot(f) >> ezplot(f,[-5,-]) >> subplot(4) >> ezplot(f) >> hold o >> ezplot(f) >> ezplot(f) >> ezplot(f4,[-5,-]) Grficr pso pso f 4( + ) Se trt de represetr: f prtiedo de f Prtimos de l fució cudrátic Summos uiddes l vrible: trsldmos lo lrgo del eje uiddes l izquierd. Multiplicmos por 4 l fució: diltmos lo lrgo del eje y. Restmos uiddes l fució: trsldmos lo lrgo del eje y uiddes hci bjo 8 f prtiedo de f + 5 >> -:0.0:5; >> y./; >> y-*y; >> y./(5/-); >> y4/* y; >> y5-4+y4 ; >> plot(,y, '--',,y, '--',,y, '-.',,y4, '-.',,y5, '-') >> ylim([-5 0]), bo off >> leged('y','y','y','y4','y5') 5 Prtimos de f Multiplicmos l vrible por : clculmos l simétric respecto del eje y Summos 5 uiddes l vrible: trsldmos 5 uiddes lo lrgo del eje l izquierd. Multiplicmos por / l fució: cotremos lo lrgo del eje y. Restmos 4 uiddes l fució: trsldmos lo lrgo del eje y 4 uiddes hci bjo.

18 LA CALCULADORA DE FUNCIONES Co l seteci futool se ccede u clculdor de fucioes e l que se recoge l myorí de los comdos que hemos visto y que, por tto, sirve pr mipulr de form iterctiv fucioes reles de u vrible rel. L clculdor cost de tres vets: dos vets grfics y u co el tecldo. E cd istte l clculdor mostrr dos fucioes f() y g() e ls vets grfics. El resultdo de l myorí de ls opercioes se gurd e f() borrdo el coteido terior. >> futool E ls csills etiquetds por f y g se puede itroducir, e culquier mometo, l fució que uo desee escribiedo l correspodiete epresió. L csill puede cmbirse pr especificr u uevo domiio. L csill puede modificrse pr itroducir u uevo vlor del prámetro. Todos ls tecls de l fil superior so opercioes que fect solo l fució f(). So los siguietes: df/d Derivd de f(). it f Itegrl de f(). simple f Simplific l epresió, si es posible. um f Etre el umerdor de u epresió rciol. de f Lo mismo, pero hor el deomidor. /f Cmbi f() by /f(). fiv Cmbi f por su fució ivers

19 Obvimete, ls opercioes it f y fiv puede fllr si l correspodiete epresió simbólic o eiste o o puede epresrse e térmios de fucioes elemetles. L segud fil de tecls sirve pr trsldr y esclr l fució f por el prámetro. Ls opercioes posibles so: f + Reemplz f() por f() +. f - Reemplz f() por f()-. f * Reemplz f() por f (). f / Cmbi f() por f()/. f ^ Cmbi f() por f()ˆ. f(+) Reemplz f() por f( + ). f(*) Reemplz f() por f(*) L tercer fil de tecls so opercioes e ls que iterviee ls dos fucioes f() y g(). Ls opercioes so: f + g f - g f * g f / g f(g) g f swp Reemplz f() por f() + g(). Reemplz f() por f() - g(). Reemplz f() por el producto f()*g() Reemplz f() por f()/g(). Reemplz f() por l composició f(g()). Reemplz g() por f() Itercmbi f() y g(). Ls primers tres tecls de l curt fil sirve pr mejr l colecció de fucioes de l clculdor. Por defecto, l clculdor de fucioes icluye u selecció de iterestes ejemplos. L tecl Isert ñde l fució ctiv e ese mometo l colecció. L tecl Cycle os permite recorrer u por u ls fucioes de l colecció. L tecl Delete elimi l fució ctiv de l colecció. L tecl Reset reestblece los vlores por defecto de f, g,, y l colecció de fucioes. L tecl Help preset ests breves istruccioes de yud e igles. L tecl Demo propoe u curioso problem. Se puede geerr l fució se(), si tocr el tecldo, usdo solo el rtó? L demostrció resuelve el problem reiicido l clculdor co Reset y luego pulsdo 9 veces el rtó. Si eres cpz de resolver el problem co meos pulscioes de rtó, por fvor, eví tu solució moler@mthworks.com. Filmete, l tecl Close pg l clculdor, cerrdo ls tres vets que l compoe.

20 Dds + + y g tg se se tg, grficr ls fucioes f og go f f ( ) go f f o g Pr 5 f 5e y g se grficr 5 5 g ( ) ( f g) ( ) f h e se( ) h e se 5 5 Pr l fució f se dibujr l grfic de f ( + ) f + 5 f + f ( ) + 5

21 TRABAJO PRÁCTICO VII ANALISIS DE FUNCIONES CON MATLAB Grficr ls siguietes fucioes e u domiio decudo utilizdo e clculo umérico y l + l 5 y 4 y y e + y y lg ( + ) y y y ctgh y sh y + 4 y cos sec( ) Grficr ls siguietes fucioes e u domiio decudo utilizdo e clculo simbólico 8 y se( ) y se ( ) y + y y e 9 y se 0 7 ( 4) y 4 4 y ( ) ( 5 f + 6 y 4) 8 f() + 9 y + + y f y ch 6 f() f 6 7 f() 4 y se [ 0,0] f() + y sg y sg ( 4) sg ( + ) se ( ) log 4+ 7 y e [ 4, ] Pr ls siguietes fucioes eplicitr ls fucioes y hllr f og go f + 5 f( ) g f g f g f g f g f g

22 Determir cuáles de ls siguietes fucioes so pres y cuáles so impres de form grfic: + y y I y I y I + 5 ( 5 y + 5 ) se cos 6 y I Grficr ls siguietes curvs dds de form implícit y 6y ( ) ( y ) + y 7 [ ] + + e y 0 0, 0 y 5 ( ) cos se + y y 4 6 y y y Grficr ls siguietes fucioes por trmos y y 4 < y 0 < 4 [ ] ] ] ] ] + 5, y,, 5 ] ] ] [ 5,0 0, y ], [ ],[ 5 6 < y < 9 5, y + -, , 7 [ [ [ [ [ 0,[ [ [ [ [,,0 y,, [ ] ] ] ] ] < y < [ ] ] [ [ ] + 0, y +, 5,5 [ [ [ [ [ 0, [ 7, -,0 y + Grficr l prte pr y l prte impr de ls siguietes fucioes

23 Pr ls siguietes fucioes grficr pso pso f ( ) prtiedo de 4 f f + Prtiedo de f 4 f 4 Prtiedo de f( ) 4 4 f ( ) log ( ) Prtiedo de f log f 5 Prtimos de f Co l yud de l clculdor de fucioes grficr: f e π g cos + 4 h f g 4 f g se h f g f I ( g e + ) h f g f se g cos h f + g f h f f ( ) 5 6 f h f f ( )

24 CALCULO DE LIMITES CON MATLAB El cocepto de límite es u cocepto básico y u istrumeto pricipl del Aálisis Mtemático, y que muchos problems importtes de l Mtemátic y de otrs ciecis depede de él. Si los límites, el sistem de los úmeros reles estrí serimete icompleto. L teorí de límites es el prto que permite estudir sistemáticmete ls ctiddes vribles que prece e los diferetes feómeos de l turlez y los procesos tecológicos. Ls ides de límite y cotiuidd so muy importtes e l plicció de ls mtemátics problems ecoómicos. Numerosos resultdos de l Mtemátic y l Ecoomí so válidos solmete pr fucioes cotius. y L f() Euler, uo de los más grdes mtemáticos de tods ls épocs, escribió que todo el álisis ifiitesiml gir lrededor de ls ctiddes vribles y sus fucioes. Co los precedetes sobre l teorí de fucioes y gráfics, trsldmos este cpítulo el estudio de spectos iterestes e importtes de l teorí de límites de fucioes. 0 0 Figur. Ide ituitiv El límite de f () es L si puede logrrse que f () esté t próimo L como se desee, siempre que se tome vlores de lo suficietemete próimos 0. (Ver l figur). Defiició épsilo-delt Se f () u fució defiid e lgú itervlo bierto que coteg El límite de f () cudo tiede es L, y se escribe Opercioes co epresioes ifiits ( + ) + + ( + ) + ( + ) + ( ) + ( ) + ( ) + ( + ) ( ± ) ± ( + ) ( + ) + ( ) ( ± ) FORMAS DETERMINADAS ( ) + ( ) m ± 0 0 ± 0 ± 0 ± ± si ( + ) ( + ) + ( ) ( + ) 0 ( + ) ( + ) + ( ) ( + ) 0 FORMAS INDETERMINADAS > ( + ) ( ) + 0 ( + ) 0 0< < ( ) ± 0 0

25 Límites lterles Se h estudido el cocepto de límite de u fució f cudo tiede, tto por vlores myores que, como por vlores meores que. Defimos límites lterles de u fució e u puto. Pr vlores myores que, debemos eigir: 0 < <δ y pr vlores meores que, 0 < <δ Límite lterl derecho Se dice que f tiee límite lterl derecho, cudo tiede, si pr todo ε >0 eiste δ >0 tl que si 0 < <δ etoces, f L < ε. Notció: lim f ( ) L + lim f ( ) L Se defie álogmete límite lterl izquierdo y se deot: El límite de l fució e o eiste, porque los límites lterles so diferetes. Se cumple: y L L 0 0 Figur.4 Teorem lim f ( ) lim f ( ) lim f ( ) + Pr que eist el límite de u fució f e u puto, los límites lterles lrededor de dicho puto tiee que ser igules. Ifiitos e ifiitésimos E ocsioes iteres estudir el comportmieto de u fució, cudo l vrible idepediete tom vlores cd vez myores (o cd vez meores) y e estos csos, determir si l fució se proim u vlor determido. Eiste lguos problems e los que iteres estudir el comportmieto de u fució que, cudo l vrible idepediete se cerc, l fució tom vlores cd vez myores (o cd vez meores), o se cerc cero. y L+ L L- 0 M X Figur.5 Comdos simbólicos pr limites Límite fiito cudo l vrible idepediete tiede hci ifiito Dd l fució f, defiid e el itervlo ( ; + ), se dice que el límite de f cudo tiede + es L, si pr todo úmero positivo ε, eiste u M > 0, tl que si > M, etoces f L < ε Notció: lim f L. + De mer similr se defie el límite cudo tiede -, pr el cul se utiliz l otció: lim f L. Tods ls propieddes del límite e u puto, estudids teriormete, so válids tmbié pr los límites e el ifiito. COMANDO ACLARACION >> limit(f,,) Etreg l epresió simbólic del límite de S cudo tiede vlor. >> limit(f,,, right ) Etreg l epresió simbólic del límite de S cudo tiede vlor por l derech. >> limit(f,,, left ) Etreg l epresió simbólic del límite de S cudo tiede vlor por l izquierd.

26 Clculr los siguietes límites y mostrr el vlor de form grfic: L lim L 0 >> syms ; >> f(-5)/(+4)^; >> Llimit(f,,5) >> ezplot(f,[-6,6]) >> hold o >> plot(5,0,'ko','liewidth',.) L l im >> syms ; >> f/(*-6)-/(*^-5*+); >> Llimit(f,,) >> ezplot(f,[-6,6]) >> hold o >> plot(,4/9,'ko','liewidth',.) L 4/9 L l im L -/ >> syms ; >> f(sqrt(^-*+6)-sqrt(^+*-6))/(^-4*+); >> Llimit(f,,) >> ezplot(f,[-6,6]) >> hold o >> plot(,-/,'ko','liewidth',.) + + L lim + L >> syms ; >> f( *^+sqrt()+*)/(^+*); >> Llimit(f,,if) >> ylim([0.5]), bo off; >> ezplot(f,[-,000]) >> hold o >> plot(700,,'ko','liewidth',) Ggg

27 Clculr los seguites limites: ctg L l im π ctg ctg 4 >> syms ; >> f( -(/t())^)/(-(/t())- (/t())^); >> Llimit(f,,pi/4) >> ezplot(f,[-,]) >> hold o >> plot(pi/4,/4,'ko','liewidth',) π π L lim se f ilie('si(pi*.^./(*+))./(.^+)+pi*.^./(*.^+)'); >> fplot(f,[-,00]) >> syms >> fsi(pi*^/(*+))/(^+)+pi*^/(*^+); >> Llimit(f,,if) >> hold o >> plot(90,pi/,'ko','liewidth',) >> ylim([0 ]), bo off; L lim 0 ( + ) se log >> syms >> f((^+)/log(bs()))*si() >> L limit(f,0) >> ezplot(f,[-,]) >> hold o >> plot(0,0,'ko', 0,0,'ko','liewidth',) L /4 L /*pi L + L lim NN 0 >> syms >> f(^(/)+)/(^(/)-) >> L limit(f,0) >> syms L_der >> f(^(/)+)/(^(/)-) >> L_derlimit(f,,0, 'right') >> L_izqulimit(f,,0, 'left') >> ezplot(f,[-,]) >> hold o L_izqu >> plot(0,-,'ko', 0,,'ko','liewidth',) >> ylim([-4 4]), bo off; - E este ultimo limite si lo evlumos directmete, el resultdo es LNAN, esto quiere decir que el limite o eiste por lo que se debe tomr limites lterles y efectivmete se ve que los limites lterles o so igules

28 L lim + L_der >> syms ; >> fbs(^-)/(bs(-)+(bs(-))^); >> L_derlimit(f,,, 'right') >> L_izqulimit(f,,,'left') >> ezplot(f,[-5,5]) >> hold o >> plot(,,'ko','liewidth',) L lim + sg ( ± ) >> syms ; >> f ^+(bs(bs(^-)-))/(bs(^-)-) >> L_derlimit(f,,-sqrt(), 'right') >> L_izqulimit(f,,-sqrt(),'left') >> ezplot(f,[-,]) >> hold o >> plot(-sqrt(),,'ko', -sqrt(),,'ko','liewidth',) L_izqu L_der L_izqu sg + L lim >> syms ; >> f (^*(bs((-)*sqrt(+))/ ((-)*sqrt(+)))/(bs(- )-bs())) >> L_derlimit(f,,, 'right') >> L_izqulimit(f,,, 'left') >> ylim([-5 5]), bo off; >> ezplot(f,[-,]) >> hold o >> plot(,-, 'ko',,, 'ko', 'liewidth',) Pr este ultimo cso teer e cuet sg L_der - L_izqu -

29 TRABAJO PRÁCTICO VIII CALCULO DE LÍMITES CON MATLAB Clculr los siguietes limites: L l im L lim ( + ) ( + 5) L l im ( 0) 0 L l im 0 8 ( + 6) 6 7 L lim 9 8+ L l im L lim L lim L l im L im L l im 5 L l im L l im ( 5 ) 4 L l im L l im L lim + ( + ) ( + ) 6 64 L lim L lim L l im l 4 l tg se L im 4 l 5 0 rctg( ) 4 L lim 6 + cos e L lim 7 0 I + tg + L l im L im rctg π + se cos L l im 0+ se p cos p p rcse L l im 0 + rctg L l im cos cos cos 5 lim cos + tg

30 + b L im + l L l im 0 + b b 4+ 8 L lim 0 lim + se ( ) + ( ) + I se L lim e 0 se L lim 0 se e +se L lim e +cos ( + ) ( + ) L lim 0 ( + ) ( + ) L lim 0 L lim 0 e ( ) + se se se 4 cos cos + L l im 4 L lim + sg L lim 0 ± 4 + L lim L lim ± L lim + + c d L lim 0 b + se p L lim se q 0 lim e e e + e + lim sg 5 5

31 CALCULO DE DERIVADAS CON MATLAB L Tgete u curv e u puto Si lguie -que de todo hy- os pregutr que es l tgete u curv e u puto, osotros, pesdo quizás e el cso de l circufereci de l figur, podrímos respoder que es l rect que cort l curv e ese úico puto... No os quedr etoces ms remedio que dmitir que l segud rect del dibujo o será tgete l siusoide y que, e cmbio, si lo será l tercer l prábol L cuestió se resuelve sí: Como se observ e l figur, l rect secte l grfic de l fució y f e los putos A[ 0, f 0 ], y B [, f ] es l rect que psdo por A tiee por pediete: f f ( 0) tg ( α ) mab 0 Al vlor se le lm icremeto de l vrible, y l difereci etre f ( 0 + ) f ( 0) el icremeto de l fució. Por otro ldo, l tgete e el puto A prece ser l rect l que tederí ls sectes e A y B cudo el puto B tedier cofudirse co el A. Por todo ello, se defie formlmete l tgete l fució y f como l rect que psdo por dicho puto tiee por pediete: f f m lim 0 e el puto A[ 0, f 0 ] 0 0 E el supuesto de que tl limite eist. Iteres observr que si dode poe poemos 0 dode figur f ( ),escribimos f ( 0 + ), l pediete de l tgete vedrá dd por: Ts de vrició medi 0 f 0 + f 0 f m lim lim 0 +, y Llmmos ts de vrició medi (o ts medi de cmbio) T.V.M., de l fució y f e el itervlo [ b, ] l cociete etre los icremetos de l fució y de l vrible, es decir: f ( b) f ( ) TVM [, b] b Ejemplo. Hll l ts de vrició medi de l fució TVM [ ] Ts de vrició isttáe. L derivd f f 0 0, 0 Cosideremos u vlor h (que puede ser positivo o egtivo). f e el itervlo [0,]

32 L ts de vrició medi e el itervlo [, h] + serí ( + ) f h f Nos iteres medir l ts isttáe, es decir el cmbio cudo l h tiede cero, es decir: f ( + h) f lim h 0 h y f e el puto y se desig por A este vlor se le llm l derivd de l fució h. ' f, por lo tto, l derivd de u fució e u puto es el límite de l ts de vrició medi cudo el icremeto de l vrible tiede 0. f ( + h) f f '( ) lim h 0 h Si f tiee derivd e el puto Iterpretció geométric de l derivd se dice que f es derivble e. L ts de vrició medi de u fució f e [, h] gráfic de f que ps por los putos de bscis y + h. + es l pediete de l rect secte l Si h tiede cero, el puto + h tiede hci el puto y l rect secte ps ser l rect tgete l curv. Por lo tto: L derivd de l fució e el puto Fució derivd L fució que cd que cd le hce correspoder f ' y se deot por f '. Comdos simbólicos pr l derivd de u fució es l pediete de l rect tgete e el puto, f ( ) se llm l fució derivd de f Se us l fució diff pr determir l derivd simbólic de u epresió simbólic. Hy cutro forms de usr l fució diff pr relizr u derivció simbólic: COMANDO ACLARACION >> diff(f) Devuelve l derivd de l epresió f respecto l vrible idepediete por omisió. >> diff(f, t ) Devuelve l derivd de l epresió f respecto de l vrible t. >> diff(f,) Devuelve l de orde de l epresió f respecto l vrible idepediete por omisió. >> diff(f, t,) Devuelve l derivd de orde de l epresió f respecto l vrible t. **L fució diff, puede diferecir (de cuerdo sus rgumetos) si debe relizr derivció simbólic o uméric. eee eee

33 Clculr l primer derivd de: + se y e derivd >> syms ; >> f(^+*si(^(/)))/(5-ep(5*+4)); >> derivddiff(f,,) >> pretty(derivd) (*^+cos(^(/))/^(/))/(5-ep(5*+4))+5*(^+*si(^(/)))/(5-ep(5*+4))^*ep(5*+4) y deriv_simplific >> syms ; >> fsqrt((-^)/(+^))-/((sqrt(+ ^))*(+sqrt(+ ^ ))) >> derivddiff(f,,); >> derivd_simplificdsimple(derivd) >> pretty(derivd_simplificd) (-*+(-^)^(/))/(+^)^(/)/(-^)^(/) b+ cos y rccos + bcos derivd_simplificd >> syms b; >> f cos((b+*cos())/(+b*cos())) >> derivddiff(f,,); >> derivd_simplificdsimple(derivd) >> pretty(derivd_simplificd) -i*si()*(-b^+^)^(/)/(+b*cos())/(-+cos()^)^(/) y ' b b sg ( se ) + b cos ddd

34 Clculr l derivd de orde superior: Hllr der_ ( y ) si: y se >> syms ; 5 e 5 >> f(si())/(5-ep(5*)); >> der_diff(f,,) >> pretty(der_) -si()/(5-ep(5*))+0*cos()/(5-ep(5*))^*ep(5*)+50*si()/(5-ep(5*))^*ep(5*)^+ 5*si()/(5-ep(5*))^*ep(5*) Hllr ( y ) si: rccos y + I + derivd_simplificd_ >> syms ; >> f cos()/+0.5*log((-sqrt(- ^))/(+sqrt(- ^))) >> segud_derivd diff(f,,); >> derivd_simplificd_simple(segud_derivd) >> pretty(derivd_simplificd_) (+*cos()*(-^)^(/))*/(-^)^(/)/(+(-^)^(/))^/(-+(-^)^(/))^ Hllr ( 50 y ) si: y se derivd_simplificd_50 >> syms ; >> f ^*si(); >> derivd_50 diff(f,,50); >> derivd_simplificd_50simple(derivd_50) >> pretty(derivd_simplificd_50) 450*si()+00**cos()-^*si() Fff

35 Hllr y_prim y', y'' Si y rctg l (y+)/(-y) y_segud + y >> syms y dy; >> f t(y/)-0.5*log(^+y^); >> derivd diff(f)+ dy *diff(f,y); >> y_primsolve(derivd, 'dy') >> pretty(y_prim) >> segud_derivdiff(y_prim)+dy*diff(y_prim,y); >> y_segudsubs(segud_deriv,dy,y_prim) >> simplificdosimplify(y_segud) >> pretty(simplificdo) /(-y)-(y+)/(-y)^+(y+)/(-y)*(/(-y)+(y+)/(-y)^) simplificdo *(^+y^)/(-y)^ Hllr y', y'' Si rctg t y I + t y_prim ( ) >> syms t; >> t(t); ylog(+t^) ; >> d diff(,t); >> dydiff(y,t); >> y_primdy/d >> pretty(y_prim) >> yprimdiff(y_prim,t)/d; >> pretty(yprim) *t yprim +*t^

36 Clculr ls siguieetes derivds y b rctg b + b b y TRABAJO PRÁCTICO IX CALCULO DE DERIVADAS CON MATLAB 5 y' 4 y ' b ( ) ( ) + + y l + rctg y ' e rcse e e rcse e y + l e y' e e y I + I + + rctg 6 y ' + se cos y' cos y + cos + se cos y ' y l rctg se cos cos 4 y' se cos y + se cos 4 6 y l + y ' + rctg ( ) ( )( 6 + ) 4 ( 6 + ) 6 ( ) y rctg 8 b+ cos + b se b y I + rctg tg ( + b) cos b + b y+ I + y 5 e Hllr '' si Hllr y y'' si 4 Hllr '' si + b y + cy + d + e y + k 0 y se y I y + y y ' + b + y ' + bcos y '' 6 y + ctte y '' b + cy + e y ''

37 5 Hllr y'' si: 6 Hllr y'' si 7 Hllr y ''' si: Hllr y ''' 8 Hllr y si: 9 Hllr 0 Hllr Hllr Hllr Hllr y + y y + e 4 cos () () se t t t y cos t + tse t si: t I tg se() t cos() t y rctg se () t + cos() t t I tg cos t se t + y se() t + cos() t + + y ( y ) si: y ( y ) si: ( 0 y ) si: 4 y e y e y si: y e cos ( y ) si: () () y ( )! 0 5 y '' 0 y '' t se t d y cos d ( t) se( t) se ( t) () () cos () d y d cos t se t t ( ) ( + ) ( ) 57 L( + ) y ( 50) y e 8 + 6( ) + ( )( ) + 8 ( 0) 0 ( ) y e y e cos + π 4 ( + ) y e + e ( ) y ( + ) e + + e

38 ANALISIS DE MAXIMOS Y MINIMOS CON MATLAB El cálculo de míimos reltivos de fucioes o lieles se hce, co MATLAB, medite l fució: >> fmiserch(fucio,0) >> [,fvlor]fmiserch(fucio,0) >> fmiserch(@fu,0,optios,p,p,...) fucio es el ombre de u fució que evlú l fució f(). Puede ser - u objeto ilie o bie u refereci u m-fucio 0 es u vlor "próimo" l míimo que se busc Devuelve el miimizdor ecotrdo,, y el vlor de l fució e (si el lgoritmo o coverge, NN) optios permite dr vlores u serie de prámetros que iterviee e el cálculo. Ver documetció de MATLAB pr más detlles. Si o se ecesit, poer u mtriz vcí: [] e su lugr. p,p,... so prámetros que será psdos como rgumetos l mfució fu.m cudo se llmd L búsqued de míimos bsolutos e u itervlo cotdo de fucioes esclres se hce medite fucio es el ombre de u fució que evlú l fució f(). Puede ser - u objeto >> fmibd(fucio,,) ilie o bie u refereci u m-fucio so los etremos del itervlo Devuelve el miimizdor,, y el vlor de l >> [,fvlor]fmibd(fucio,,) fució e >> fmibd(@fu,,,optios,p,p,...) mismo sigificdo que e los csos teriores E este cso e fvl se devuelve el vlor de l >> [,fvl] fmibd(fu,,,opcioes) fució fu evlud e l solució E el prámetro eitflg l fució devuelve u vlor que describe l codició de slid de fmibd: eitflg > 0 idic que l fució coverge >> [,fvl,eitflg] fmibd(fu,,,opcioes) l solució eitflg 0 idic que se h ecedido el máimo úmero de evlucioes de l fució eitflg < 0 idic que o se h ecotrdo solució Pr clculr el máimo de u fució y f l fució y f e el mismo itervlo e u itervlo [, ] b, hy que clculr el míimo de

39 Hllr el míimos bsoluto pr l siguiete fucio: f se I >> filie('si(log())'), >> syms ; >> mifmiserch(f,) >> ezplot(f) >> ymisubs(f,,mi) >> hold o >> plot(mi,ymi,'ko', 'liewidth',) f Ilie fuctio: f() si(log()) mi ymi Hllr el míimo bsoluto pr l siguiete fucio: f se( ) I [ 0, π ] >> filie('si(^).*log()'); >> syms ; >> mifmibd(f,0,pi) >> ezplot(f,[0,pi]) >> ymisubs(f,,mi) >> hold o >> plot(mi,ymi,'ko', 'liewidth',) f Ilie fuctio: f() si(^).*log() mi.006 ymi Hllr el míimo bsoluto pr l siguiete fucio: f e [, ] >> filie('^-'); >> syms ; >> mi fmibd(f,-,) >> ezplot(f,[-,]) >> ymisubs(f,,mi) >> hold o >> plot(mi,ymi,'ko', 'liewidth',) >> ylim([-8 4]), bo off; f Ilie fuctio: f() ^- mi ymi Hllr u máimo reltivo pr l siguiete fucioe: f se( ) I [ 0, π ] m >> filie('-si(^).*log()'); >> gilie('si(^).*log()'); >> syms ; >> mfmibd(f,0,pi) >> ezplot(g,[0,pi]) >> ym-subs(f,,m) >> hold o >> plot(m,ym,'ko', 'liewidth',).4586 ym 0.05

40 Hllr los míimos y máimos pr l siguiete fucioe: f 8 6 >> filie('-(8/^-6/)'); >> gilie('8/^-6/'); >> syms ; >> [mi,fvl_] fmibd(g,-5,5) >> [m,fvl] fmibd(f,-5,5) >> fvl_-fvl >> ezplot(g,[-5,5]) >> hold o >> plot(mi,fvl_,'ko', m,fvl_,'ko','liewidth',) mi.0000 fvl_ m fvl fvl_.0000 Hllr los míimos y máimos pr l siguiete fucioe: f 9 >> filie('-(bs(^-9))'); >> gilie('bs(^-9)'); >> syms ; >> [mi,fvl_] fmibd(g,-4,0) >> [mi,fvl_] fmibd(g,0,4) >> [m,fvl] fmibd(f,-,) >> fvl_-fvl >> ezplot(g,[-5,5]) >> hold o >> plot(mi,fvl_,'ko', mi,fvl_,'ko', m,fvl_,'ko','liewidth',) mi -806/6005 fvl_ /85 mi 806/6005 fvl_ /85 m -/ fvl -9 fvl_ 9 Grficr idicdo, iterseccioes co el eje, putos + f máimos, míimos y de ifleió + + INSTRUCCION COMANDO RESPUESTA Defie vrible >> syms ; Defie fució >> f(^-*+)/(^+*+)'; Clcul r derivd >> y_diff(f); Clcul d derivd >> y_ diff(f,); Simplific ls derivds >> y_prim simplify(y_) y_prim 6*(^-)/(^+*+)^ >> y_segud simplify(y_) y_segud -*(^-6*-6)/(^+*+)^ Itersecció_eje_ >> itersec_solve(f) itersec_ [ ] [ ] Putos críticos >> pto_criticosolve(y_prim) pto_critico [ ^(/)] [ -^(/)] Putos de ifleió >> p_isolve(y_segud) 56/5 P_I e formto umerico >> umeric(s) -78/ /7i -78/5-884/7i

41 AQUÍ TERMINA EL ANALISIS DE MAXIMOS Y MINIMOS, AHORA TENEMOS QUE GRAFICAR, PARA ESTO: >> p^(/); >> p-^(/) ; y_ -4/55 y_ Ecuetr vlores de y >> p56/5; y_ y_ >> y_subs(f,,p) -55/ >> y_subs(f,,p) y_ y_ >> y_subs(f,,p) 85/ Grfic >> subplot() >> ezplot(f,[-6,8]) >> ylim([-60 60]), bo off; >> subplot() >> ezplot(f,[-,9]) >> ylim([ ]), bo off; Grficr idicdo, iterseccioes co el eje, putos f máimos, míimos y de ifleió >> syms ; >> f^-9*^+5*+; >> y_diff(f); >> y_ diff(f,); >> y_prim simplify(y_) >> y_segud simplify(y_) >> pto_criticosolve(y_prim) >> p_isolve(y_segud) >> eje_solve(f); >> itersec_umeric (eje_) >> p; >> p5; >> p; >> y_subs(f,,p) >> y_subs(f,,p) >> y_subs(f,,p) >> ezplot(f,[-,7]) >> ylim([-5 ]), bo off; y_prim *^-8*+5 y_segud 6*-8 pto_critico [ ] [ 5] p_i Itersec_ i i i y_ 0 y_ - y_ -6 TRABAJO PRÁCTICO X

42 ANALISIS DE MAXIMOS Y MINIMOS CON MATLAB Utilizdo los comdos fmibd, fmiserch mostrr clrmete e l grfic los mimos y miimos reltivos y bsolutos de ls siguietes fucioes: f se [ π,π ] 0 f cos( I( ) ) se f se [ π, π ] 4 f e + 9 f + 0 f 4 π se cos 5,5 f [ 0, ] se π I f ( ) + se π, π f f + f [ ] 4 f [ ] 5 f [ ], 4 f ( ) f I( ) + [,] f 5 f 4 f ( ) + f cos cos π, π ] 6 f f + 4 f se cos π,π ] 6 7 f 6 f [ 8 [ 9 f se se [ 0, ] π 8 ( ) f f 6 Grficr ls siguietes fucioes, idicdo, iterseccioes co el eje, putos máimos, míimos y de ifleió f f e 5 f 0 8 f 5 f f 5 4 f f ( ) 8 5 f ( ) ( ) f + 6 ( ) f e f + I( ) 5 f ( + ) I ( + ) 6 f ( 4) + 7 f + + f + e f f + e CALCULO DE INTEGRALES INDEFINIDAS CON MATLAB

43 E MATLAB se utiliz l fució it pr itegrr l epresió simbólic f. Est fució itet ecotrr l epresió simbólic F tl que diff(f)f. Es posible que l itegrl (o tiderivd) o eist e form cerrd o que Mtlb o pued obteer l itegrl. E estos csos l fució devolverá l epresió si evlurl. L fució it puede usrse de ls siguietes forms: >> it(s) Devuelve l itegrl de l epresió f respecto l vrible idepediete por omisió. >> it (f, t ) Devuelve l itegrl de l epresió f respecto l vrible t. >> it (f,,b) Devuelve l itegrl de l epresió f respecto l vrible idepediete por omisió, evlud e el itervlo [,b], dode y b so epresioes umérics. >> it (f, t,,b) Devuelve l itegrl de l epresió f respecto l vrible t, evlud e el itervlo [,b], dode y b so epresioes umérics. >> it (f, m, ) Devuelve l itegrl de l epresió f respecto l vrible idepediete por omisió, evlud e el itervlo [m,], dode m y so epresioes simbólics. Retor u vlor de doble precisió pr, If X is lredy double precisio >> double() rry, DOUBLE hs o effect. Pr evitr posibles problems, es recomedble especificr l vrible idepediete e l derivció y e l itegrció simbólic. I + d Clculr l siguiete itegrl 7 >> syms ; >> itegrdo(*^+)^7*^; >> resultdoit(itegrdo); >> pretty(resultdo) Est últim epresió es equivlete 8 completmete. Clculr l siguiete itegrl >> syms ; >> resultdoit(/(^+4)); >> pretty(resultdo) I I + solo que quí l epresió es desrrolld 48 d + e Clculr l siguiete itegrl I d 4+ 9e >> syms ; >> itegrdoep()/(4+9*ep(*)); >> resultdoit(itegrdo); >> pretty(resultdo) rctg Clculr l siguiete itegrl I >> syms ; >> itegrdot()/^; >> resultdoit(itegrdo); >> pretty(resultdo) Clculr l siguiete itegrl I d /6 t(/ ep()) e se d >> syms ; pretty(simple(it(ep()*si()))) - / ep() (cos() - si())

44 Clculr l siguiete itegrl I 6 + ( )( + 6) >> syms ; >> result it((6*^ + * - ) / ((* - )*(^ + - 6))); >> pretty(result) + Clculr l siguiete itegrl I d >> syms ; pretty(it((-)/(^-^-*))) Clculr l siguiete itegrl >> syms ; >> iteg/((*-)*sqrt(4*^-4*- 8)^); >> resultdoit(iteg); >> pretty(resultdo) Clculr l siguiete itegrl >> syms ; >> iteg(^)/sqrt(4*^+4*-5); >> resultdoit(iteg); >> pretty(resultdo) Clculr l siguiete itegrl >> syms ; >> iteg(+)/((^)*sqrt(*^+*+)); >> resultdoit(iteg); >> pretty(resultdo) I I I d d ( ) ( 4 4 8) d ( + ) d + + log( - ) - log( + ) + log( - ) / log() - / log( + ) + /6 log( - ) Clculr l siguiete itegrl I >> syms ; >> itegrdocos()/((si())^-6*si()+5); >> resultdoit(itegrdo); >> result_simplificdosimplify(resultdo) >> pretty(result_simplificdo) cos d se 6se Clculr l siguiete itegrl I d + + >> syms ; >> itegrdo((+*)/(+))*sqrt((-)/(+)); >> resultdoit(itegrdo); >> pretty(resultdo) - /4 log(si() - ) + /4 log(si() - 5)

45 TRABAJO PRÁCTICO XI CALCULO DE INTEGRALES INDEFINIDAS CON MATLAB Clculr ls siguietes itegrles idefiids: d d 6 I ( ) d 4 6e + 7 I ( ) ( b) d e I d 8 + I + + I I d 9 I ( + )( ) 4 I d + t d 4 7 d I + e d 5 ( ) d + + ( + ) d 7 I I ( + ) d ( )( + 5) I + d I d 5 4 I e d 6 + I d I d 8 I tgh d 9 + I d 40 d I + d 6 I I e ( ctg+ I( se) ) d 7 I 4 I d 8 I d tgh d 4 I d ( + b) + ( b) ( ) I d + 9 I se d I cos d 45 I se + se cos d d + I d I rcse + d I I I I I I I I se se 5 tg d ( sec ) ( + ) d d ( + ) + d d d + + I d ( + ) d se + cos cos I 5 + I d I se + cos 9+ 4se cos I I + + d + d

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47 NOTACION SIGMA (SUMATORIAS) CALCULO DE AREAS POR SUMATORIAS Y SUMAS DE RIEMANN CON MATLAB Sumtoris E l itegrl defiid usremos sums de muchos úmeros. Pr epresr tles sums e form compct es coveiete utilizr l otció de sumtori Por ejemplo ddo u cojuto de úmeros{,,,..., }, el símbolo k Represet l sum idicd o sumtori. Es decir: k k L + k L letr grieg Sigm Myúscul deot l sumtori y k represet el k-ésimo térmio. L letr k se llm ídice de sumtori o vrible de sumtori y dquiere los vlores eteros positivos sucesivos. Los eteros y deot los vlores etremos del ídice de sumtori. Propieddes de sumtoris Si k c k c c k + b + b ( ) k k k k k k k b b c c c IR k k k k k k k k k k k Sums telescópics ( k+ k) + ( k ) k + ( + ) k k Sums especiles ( + ) ( + )( + ) k L + k L + 6 k k + k L k L+ k 0 k Sum de Riem ( + )( ) Se f defiid e u itervlo cerrdo [ b, ] e l cul puede hber vlores positivos y egtivos e icluso o ecesit ser cotiu. Se P culquier divisió de [ b, ] e subitervlos (o ecesrimete de l mism logitud) de l form [, ], [, ],... [ ] 0, dode es u etero positivo por medio de los putos 0 < < < L < b y se k k u sum R de l form Rp f ( k) k. k Dode k es u umero de [ k, k] k,,,4, K de Riem de f pr P, es u epresió p

48 Comdos de mtlb >> symdd(a,b) Reliz u sum simbólic, A+B >> symsum(s,v,,b) >>rsums(f) >> rsums(f,,b) >> rsums(f,[,b]) Hllr l sum de: 0 S k k 0 S k k 0 k 0 S k 4 Etreg el resultdo de l sumtori de l epresió simbólic S respecto l vrible simbólic v de hst b. Aproim el vlor de u itegrl defiid pr f desde 0 hst o desde hst b por sums de Riem Solució Alític Solució Mtlb 0 0( 0 + ) k 55 k >>Ssymsum(k,,0); 0 0( 0 + )( 0 + ) S k 85 6 k >>Ssymsum(k^,,0); 0 4 0( )( 6000 ) S k k >>symsum(k^4,,0); S k k 5 k 0 k 0 k k k k( k 5) S ss k Hllr l sum de: S >> symsum(*k*(k-5),,0); k ( k + ) S 55 S 85 S 5, s k 0 El progrm solicit u ecució de sumtori y retor u vlor umérico equivlete l resultdo de l sumtori. k que represet el ídice e l sumtori, l vrible g sirve pr lmcer l ecució que se pide evlur. Solució Alític Solució Mtlb 0 6 >> syms g k; S >> g iput('itroduzc l fució evlur:'); L etrd es ( ^ k)/( k + ) >> S symsum(g,0,) Clculo de áres co sumtoris S 6/ L defiició de l itegrl defiid est ítimmete relciod co ls áres de cierts regioes e u plo coordedo. Se puede clculr fácilmete el áre de u regió si l mism está cotd por rects. Por ejemplo, el áre de u rectágulo es el producto de logitud y su chur. El áre de u triágulo es l mit del producto de u de sus lturs por l bse correspodiete, etc. El áre debe stisfcer cico propieddes:. El áre de u regió pl es u úmero rel o egtivo. El áre de u rectágulo es el producto de su lrgo por cho (mbos medidos e ls misms uiddes). El resultdo est e uiddes cudrds, por ejemplo pies cudrdos o cetímetros cudrdos.. Regioes cogruetes tiee áres igules. 4. El áre de l uió de dos regioes que se trslp solo e u segmeto de rect, es l sum de ls áres de ls dos regioes. 5. Si u regió est coteid e u segud regió, etoces el áre de l primer regió es meor o igul l de l segud.

49 Pr k k,,,..., k Cudo cosidermos u regió co froter curv, el problem de sigr u áre es sigifictivmete más difícil. Si embrgo hce más de 000 ños, Arquímedes proporcioó l clve de l solució. Él dijo cosidérese u sucesió de polígoos iscritos que proime l regió curv co precisió cd vez myor. Arquímedes fue ms llá cosiderdo tmbié polígoos circuscritos, demostró que se obtiee el mismo vlor pr el áre del circulo de rdio si se iscribe o circuscribe polígoos. Áre de polígoos iscritos (Áre meor) Se R u regió de u plo coordedo cotdo por ls rects verticles bpor el eje y por l gráfic de u fució f que es cotiu y o egtiv e el itervlo cerrdo [ b, ], como f 0 pr todo e[ b, ], igu prte de l gráfic está debjo del eje. Se u etero positivo rbitrrio, se divide el itervlo [ b, ] e b subitervlos de l mism mplitud. Esto se hce escogiedo úmeros 0,,,..., co 0 b. b. Si l mplitud se deot por, etoces pr cd k, k k y. Como, f lcz u míimo e + f es cotiu e cd subitervlo [ ] lgú úmero mk del subitervlo. Pr cd k se costruye u rectágulo de chur k, k y u ltur igul l distci míim f ( m k ) del eje l gráfic de f, como se ilustr e l figur. El áre del k-ésimo rectágulo es f ( m k ). L froter de l regió formd por todos estos rectágulos es el polígoo rectgulr iscrito correspodiete l subdivisió de [ b, ] e subitervlos igules. El áre de este polígoo iscrito es l sum de ls áres de los compoetes, es decir, A( R) f ( mk) k k Dode ( k ) f m es el míimo (ltur míim) de f e [ ] k, k, si es muy grde y si rectágulos es muy pequeño, etoces l sum de ls áres de los rectágulos debe ser csi igul l áre totl R. Si A deot el áre de R etoces l difereci A( R) f ( mk) k, es el áre de l regió o k sombred que se ecuetr bjo l gráfic de f y rrib del polígoo rectgulr iscrito. Este se puede cosiderr como el error que se comete l usr el áre del polígoo rectgulr pr estimr el áre de A. Se ve que el error se hce t pequeño como se desee escogiedo rectágulos de chur muy pequeñ Áre por medio de polígoos circuscritos (Áre myor)

50 k, k y ltur f ( m k ) (ver figur). Su áre es l uió S de los rectágulos que form u polígoo circuscrito pr l regió S. Cosidérese u rectágulo represettivo co bse [ ] Ejemplos El áre A( S ) se clcul e logí co el clculo del áre usdo polígoos iscritos. El úmero vlor máimo (el puto M es l ltur e[ k, k] e el que f lcz su k k del subitervlo) ( R ) A f M A S f Clculr el áre bjo l curv f 6, Solució lític. Si se divide el itervlo[,] e 6 subitervlos igules, etoces l logitud de delt de cd b subitervlo es, co b, 6 A f mk k f + f + f + f + f + f k k k k e [ ], dividiedo e 6 subitervlos. [ ] [ ] Solució e Mtlb, cremos u fució deomid Arepol l cul le psmos como prámetro l formul evlur, el itervlo y el vlor de respectivmete, cbe señlr que pr este cso se utilizro ls propieddes de l sumtori. El progrm lee del tecldo l formul, y los vlores etremos de l curv e cuestió sí como el vlor de los subitervlos Escribimos e l líe de comdos l seteci pr llmr l fució L respuest es Clculr el áre bjo l curv f Pr l solució lític, teemos el itervlo: 0 e [ 0, ], co 0 b L+ A S f k f f f f f f k fuctio Arepol(f,,b,) syms k ; delt (b - )/; u subs(f,'',delt*k); ssymsum(u*delt,, ); disp(s); >> syms ; >> f 6-^; >> Arepol(f,-,,6) [ ] Solució e Mtlb co l fució Arepol cred teriormete. (se clcul del mismo modo slvo por el vlor de m que us como míimo el polígoo iscrito y el vlor k M que us el polígoo circuscrito como máimo. k L respuest es k >> syms ; f ^; Arepol(f,0,,0)

51 .0800 Hllr el áre bjo l curv f + Divid el itervlo [0, ] e 0 subitervlos de 4 logitud 0. cosiderdo el correspodiete polígoo circuscrito S 0. 0 Pr l solució lític. El f áre del k-ésimo rectágulo es k k + k + k A S f + f + f + L + f Por lo que ( Utilizdo ls propieddes de l sumtori y ls formuls pr ls sums especiles teemos: Solutio Mtlb L respuest es Ejemplos 0) AS f( k) k k + 0. k k k k k ( 6,5) >> syms ; f ((^)/4) + ; >> Arepol(f,0,,0) s Evlúe l sum de Riem pr f + e el itervlo [-, ] usdo los putos de l prtició, co l seprció equidistte, -< -0.5 < 0 < 0.5 < <.5 < co el puto de muestr k Como el puto medio del i-ésimo itervlo. 6 Rp f ( k) k f ( 0.75) + f ( 0.5) + f ( 0.5) + f ( 0.75) + f (.5) + f (.75) k [ ] Solució co Mtlb, cremos l fució Sriem, l cul le evimos como prámetro l sum evlur y el itervlo. Primero clculmos l distci etre los putos equidisttes pr ecotrr el vlor de k como los putos medios de cd subitervlo, los sustituimos e l fució y lmcemos los resultdos e el vector u, luego summos los elemetos del vector pr multiplicrlo co el vlor de k y sí teemos el vlor de l sum, luego mdmos grficr l sum. fuctio Sriem(f,,b) med (b - (b-))/; j; for i:med:b-med u(j) subs(f,'',i+(med/)); jj+; ed ssum(u)*med; disp(double(s)); rsums(f,,b) Escribimos e l líe de comdos l siguiete seteci >> syms ; >> Sriem(^ +,-,); L fució rsums de MATLAB, cre l grfic de l sum de Riem e form iterctiv, dode puede hcerse ls modificcioes ecesris pr visulizr el comportmieto de est pr diferetes vlores. L respuest es 5.975