3 Aplicaciones de primer orden

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1 CAÍTULO 3 Aplicaciones de primer orden 3.2. Modelo logísico El modelo de Malhus iene muchas limiaciones. or ejemplo, predice que una población crecerá exponencialmene con el iempo, que no ocurre en la realidad. Si la especie considerada dispone de odos los medios para vivir, como espacio, aire, alimeno, enonces su crecimieno será de ipo exponencial; pero si los recursos escasean, enonces habrá compeencia para acceder a ellos peleas, guerras a veces, supervivencia de los más fueres... y la razón de crecimieno no será la misma. or esa razón al modelo de Malhus se le llama de crecimieno irresrico, mienras que el modelo presenado a coninuación se denomina modelo de crecimieno con resricciones. El modelo llamado de crecimieno logísico, fue inroducido por ierre François Verhuls en 838 y supone que la razón de crecimieno es proporcional conjunamene ano a la población misma como a la canidad falane para llegar a la máxima población susenable. Escribiremos dicho modelo como d D r : 3. En ese modelo el número r se conoce como la razón de crecimieno inrínseco, y es la capacidad susenable que es el máximo valor que puede ener. El valor de r depende sólo de la especie considerada, mienras que depende ano de la especie como del ambiene en donde se desarrolla ésa y es el máximo valor posible en ese ambiene. Adviera que, si el valor de es muy pequeño comparado con, enonces semejane a la de Malhus. or oro lado, si se aproxima a enonces en consecuencia la población./ sería casi consane. Resolvamos la ED. Observemos que es separable: d D r. canek.azc.uam.mx: 22/ 9/ 200 d D r d es y la ED 3. es d 0 y eso haría que D r C C: 0;

2 2 Ecuaciones diferenciales ordinarias La inegral del primer miembro se resuelve mediane fracciones parciales: D A C B A A D & B C B D B A C A D A D 0 A D & B D : Luego, d D C d D ln C d D ln ln j j : Ahora, si se oma en consideración que <, se iene que j j D, por lo cual: ln D r C C D Cer : Anes de despejar, usemos la condición inicial.0/ D 0, para deerminar C : 0 0 D Ce 0 D C D 0 0 e r : Ahora despejamos, denoando por comodidad 0 0 D C : D Cer D. /Ce r D Ce r Ce r C Ce r D Ce r D Cer C Ce r : ara simplificar esa fórmula, dividimos numerador y denominador enre Ce r para obener finalmene:./ D Ce r C D : C e r Ejemplo 3.2. Uilizando un modelo logísico con capacidad susenable D , una población mundial humana de en 986 y una razón de crecimieno de 2 % anual, hacer una predicción de la población mundial para el año 200. Cuándo será esa población de ? Los daos provisos son aproximaciones de los daos observados en la realidad. H En ese ejemplo enemos D 00; 0 D 5 en miles de millones de habianes del planea en 986 y r D 0:02. La solución de la ecuación logísica d D r es, de acuerdo con la ecuación 3.2, como sigue: / D D D C e r C e 5 0:02 C 9e ; 0:02 en miles de millones de habianes. 0 0

3 Ecuaciones diferenciales ordinarias 3 3 D 00 0 D 5 En el año 200 endremos D 24; enonces:.24/ D 00 C 9e D habianes..0:02/.24/ C 9e 0:48 La población será de en el iempo que deerminamos, como sigue: 00. / D C 9e D D 32 C 608e 0:02 608e 0:02 D 68 0:02 68 e 0:02 D 68 ln : D ln D 09:5334 años: 608 0:02 Eso es, a mediados del año Eso, claro esá, si las endencias se manienen; aforunadamene, la razón de crecimieno r D 0:02 no es una consane y, con el iempo, en muchos países ha esado disminuyendo; enre oros aspecos gracias a la planificación familiar. Ejemplo Las reservas pesqueras del halibu especie de gran amaño, parecida al lenguado en el acífico se modelan con la ED logísica con capacidad susenable de 80:5 0 6, medida en kg biomasa, y razón de crecimieno inrínseco de 0:7 por año. Si la biomasa inicial es la cuara pare de la capacidad susenable, enconrar la biomasa después de un año y el iempo que debe pasar para que la biomasa inicial se duplique, es decir, que llegue a la miad de la capacidad susenable. H El VI por resolver es d D r ; con r D 0:7; D 80:5 0 6 kg de biomasa, 0 D 4 : Observe que ahora./ no es el número de habianes de la población sino la biomasa al iempo, es decir, la masa oal de los peces de la especie halibu en el acífico. No repeiremos el proceso de resolución de la ED, sino que escribiremos direcamene su solución 3.2:./ D D D 0 =4 C e r C e r =4 0 Al cabo de un año la biomasa será./ D 80:5 06 D :39 kg. C 3e 0:7 C 3e r D 80:5 06 C 3e 0:7 : El iempo necesario para duplicar la biomasa inicial se deermina de la siguiene manera:. d / D D C 3e 0:7 2 D C 3e 0:7 d 2 C 3e 0:7 d D 2 ln 3e 0:7 d 3 D 0:7 d D ln d D :54734 años, 3 0:7

4 4 Ecuaciones diferenciales ordinarias o sea, año, 6 meses y 7 días aproximadamene. Finalizamos esa sección con algunas observaciones sobre la solución de la ecuación logísica. rimero hay que subrayar que en las siuaciones de inerés se iene 0 <, pues no es muy realisa suponer que la población inicial sea mayor que la capacidad susenable. En el caso exremo 0 >, se iene que d D r es negaiva, es decir, la población decrece hasa llegar asinóicamene, según el modelo, a. 0 En la siuación más común en que 0 <, la derivada d D r es posiiva, o sea que, la función./ será siempre creciene y enderá asinóicamene hacia cuando! : 0 La forma ípica de la curva solución, llamada curva logísica, es la de una lera S alargada, como se ilusra en la figura de arriba. Es ineresane observar que hay un cambio en la curvaura de./, que es jusamene un puno de inflexión. Demosraremos a coninuación que la inflexión ocurre precisamene cuando./ D 2. ara ello, sólo enemos que enconrar la segunda derivada e igualar a cero: d 2 2 D d [ r ] D r 0 2 D r 0 2r 0 D r 0 r 0 D r 0 r 0 D 0 r 0 D 0 o bien r 0 D 2 D 0I pero r 0 D 0 no puede ser, pues ya hemos viso que 0 D d > 0 siempre, así que debe darse la segunda 2 opción: D 0 2 D D 2. El iempo en que ocurre el puno de inflexión dependerá de los parámeros 0 y r, pero la coordenada verical es siempre la misma 2.

5 Ecuaciones diferenciales ordinarias 3 5 =2 0 Se puede comprobar ambién que, en el puno de inflexión, la razón de crecimieno d es máxima ver los ejercicios. Los modelos presenados y discuidos en esa sección son los que han demosrado ser de mayor uilidad por dar predicciones con una aproximación basane razonable en la prácica. Sin embargo es perinene aclarar que las predicciones obenidas con ellos pueden conener errores por no omar en cuena odas las variables que afecan al proceso. Así sucedió con Malhus, quien, con el modelo de crecimieno exponencial, predijo en 798 una caásrofe que en realidad nunca sucedió, pues él no omó en cuena los adelanos en la ecnología agropecuaria y alimenicia que han permiido a la población humana seguir viviendo, sin problemas, casi dos siglos más de lo que predijo. Ejercicios Modelo logísico. Soluciones en la página 6. Supongamos que una población saisface a un modelo logísico con D 500, que la población inicial es 00 y que a los 0 años llegó a 200. Deermine la razón de crecimieno inrínseco r. 2. La población mundial en 939 era aproximadamene 2:3 0 9 habianes y, en 2009, se esimó en 6:7 0 9 habianes. Algunos especialisas consideran que la capacidad susenable del planea es de 0 9 habianes, en condiciones de bienesar es decir, sin desnurición ni padecimienos por fala de recursos. Considere D 0 en 939,.0/ D 2:3 0 9 y una capacidad susenable de 0 9. Encuenre una fórmula para./ con 0, deermine en el año 2020 y el iempo en el que habrá habianes. a. Suponiendo que la población crece a una razón de cambio proporcional a la diferencia enre la población límie máxima L y la población al iempo. b. Suponiendo un crecimieno logísico de la población. 3. Compruebe que, para una población que saisface al modelo logísico, la máxima razón de crecimieno de la población es r 4, y se alcanza cuando el amaño de la población es ara una población que cumple el modelo logísico con r; 0 y dados, encuenre el iempo para el cual./ iene un puno de inflexión.

6 6 Ecuaciones diferenciales ordinarias Ejercicios Modelo logísico. ágina 5. r D 0: a../ D 8:7e 0:0.0 9 ;.8/ D 7:5.0 9 /; 25 años, es decir, en 254. b../ D C 3:7826e 0:0255 ;.8/ 7: /; 43 años, es decir, en En D 2 hay máximo con valor r D ln. 0/ r ln 0 : r

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