MODELADO DE LA TRANSFERENCIA DE CALOR POR CONVECCIÓN NATURAL Y RADIACIÓN COMBINADAS MEDIANTE EL MÉTODO DE LOS VOLÚMENES FINITOS

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1 Revista Iberoamericana de Ingeniería Mecánica. Vo. 11, N.º 2, pp. 3-22, 27 MODELADO DE LA TRANSFERENCIA DE CALOR POR CONVECCIÓN NATURAL Y RADIACIÓN COMBINADAS MEDIANTE EL MÉTODO DE LOS VOLÚMENES FINITOS DANIEL REBOLLO, MANUEL SANCHEZ Universidad Naciona de San Juan Instituto de Mecánica Apicada Libertador 119 oeste 5 San Juan Argentina (Recibido 1 de noviembre de 2, para revisión 17 de junio de 25, para pubicación 2 de marzo de 27) Resumen En este trabajo se ha simuado numéricamente un proceso de transferencia de caor por conducción, convección y radiación en forma combinada. Se ha estudiado una cavidad cuadrada bidimensiona reena de aire ue absorbe, emite y dispersa isotrópicamente a radiación térmica. Además, se han considerado una gran variedad de situaciones térmicas, convectivas y radiantes. Para reaizar a simuación numérica se ha utiizado e método de os voúmenes finitos e cua ha sido extensamente usado en probemas de convección y soo recientemente se ha extendido su uso a probemas de radiación térmica. E principa objetivo de este trabajo es e anáisis de os procesos de transferencia de caor por conducción, convección y radiación combinados en cavidades cuadradas bidimensionaes y a impementación y vaidación de método de os voúmenes finitos para a simuación numérica de procesos de transferencia de caor por conducción, convección y radiación combinada. E dominio espacia bidimensiona ha sido discretizado utiizando voúmenes de contro cuadriáteros y e dominio anguar se ha discretizado en un número finitos de ánguos de contro. E procedimiento numérico ha sido impementado en un programa de computadora ue fue utiizado para obtener os resutados presentados en este trabajo. Las souciones obtenidas han sido comparadas con resutados pubicados. E anáisis muestra ue as souciones presentadas en este trabajo son correctas y pueden ser extendidas a situaciones más compejas con un ampio margen de seguridad. Paabras cave Convección natura, Radiación, Convección natura combinada con radiación, Método de os voúmenes finitos. 1. INTRODUCCIÓN En muchas apicaciones prácticas de conversión de energía, a conducción y a convección de caor ocurren simutáneamente con una cantidad significativa de radiación térmica. Ejempos concretos de estos sistemas son os motores de combustión interna, turbinas térmicas y hornos industriaes. Por ejempo, en hornos ue ueman combustibes fósies, e dióxido de carbono y e vapor de agua, formados como productos de a combustión, absorben y emiten cantidades significativas de radiación térmica. La participación de medio también puede ser apreciabe en as cámaras de combustión de os motores. Otros ejempos de transferencia de caor por modos combinados se pueden encontrar en os hornos de fundición de vidrio, exposiones nuceares, propusión de cohetes, fenómenos ambientaes y procesos de enfriamiento en dispositivos eectrónicos. En as utimas tres décadas se han pubicado numerosos estudios tanto numéricos como experimentaes, entre eos se pueden destacar e de Larson y Viskanta [21] ue estudiaron a convección ibre aminar y radiación térmica combinada en una cavidad rectanguar. Lauriat [22] investigó as interacciones entre a radiación y convección natura en una cavidad vertica reena con un fuido gris, usando una combinación de métodos, función corriente y vorticidad, resueta en diferencias finitas para a convección difusión y armónicas esféricas P1 para a radiación. Chang, Yang y Loyd [6] estudiaron as interacciones entre a convección natura y a radiación en una cavidad rectanguar con una partición en e piso y en e techo, reena con un medio participante no gris y uno no participante. Utiizaron una combinación de

2 D. Reboo, M. Sanchez métodos, fujo radia para a radiación y diferencias finitas para a convección difusión. Chung y Kim [9] anaizaron a transferencia de caor por modos combinados en un cana divergente, caentado desde abajo, con paredes ateraes térmicamente aisadas, reeno con un medio absorbente, emisor e isotrópicamente dispersante. Eos utiizaron e método de os eementos finitos estándar de Gaerkin. Fusegi y Farouk [13] efectuaron un estudio numérico sobre a interacción entre a convección natura turbuenta y a radiación térmica en una cavidad cuadrada reena con un gas no gris. Yuce, Archaya y Wiiams [1] estudiaron a interacción convección natura radiación térmica para una cavidad cuadrada incinada con paredes negras. Yuce y Archaya [] extendieron un poco más su anterior trabajo para incuir cavidades cuadradas parciamente divididas con paredes interiores negras. Fusegi, Ishii, Farouk y Kuahara [1] resovieron e probema de a interacción en modo combinado, convección natura y radiación, en un cubo, reeno con un medio no gris. Tan y Hoe [36] investigaron e probema de a convección natura y radiación combinada en una cavidad cuadrada con paredes ateraes caentadas diferenciamente y paredes horizontaes térmicamente aisadas, reena con un medio gris absorbente, emisor e isotrópicamente dispersante. Eos utiizaron una combinación de métodos: a formuación integra exacta, resueta por método de a integración de producto para a radiación, y a formuación función corriente vorticidad, resueta por diferencias finitas para a continuidad, e momento y a energía. Moraes y Campo [27] estudiaron os efectos de a radiación térmica en a convección natura de gases en ánuos isotérmicos horizontaes. Eos resovieron a ecuación de a transferencia radiante usando e método de as armónicas esféricas de primer orden P 1 y as ecuaciones de conservación de a masa, cantidad de movimiento y energía, por medio de método de os voúmenes finitos. De Groh y Kassemi [1] estudiaron experimentamente y numéricamente, usando softare comercia, e efecto de a radiación sobre en una cavidad ciíndrica caentada desde arriba, con y sin paredes ateraes aisadas térmicamente, con un medio no participante. Rousse [33] utiizó e método de os eementos finitos basados en voúmenes de contro para a predicción de a transferencia de caor por conducción, convección y radiación combinadas en un medio absorbente, emisor e isotrópicamente dispersante. Hasani [16] estudió os efectos de a convección natura y radiación térmica combinadas en cavidades trianguares. É combina a formuación función corriente vorticidad para a convección difusión, y e método de as ordenadas discretas, para a radiación, resuetas por e método de os voúmenes finitos. Finamente, Lan [2] utiizo e método espectra de coocación de Fourier Chebyshev para resover probemas de conducción, convección y radiación combinadas en cavidades bidimensionaes. En este trabajo se ha simuado numéricamente un proceso de transferencia de caor por conducción, convección y radiación en forma combinada. Para reaizar a simuación numérica se ha utiizado e método de os voúmenes finitos como único método de cácuo, constituyendo este hecho un importante y novedoso aporte a a resoución de probemas combinados. Se ha efectuado un anáisis de os procesos de transferencia de caor por conducción, convección y radiación combinados en cavidades bidimensionaes y a impementación y vaidación de método de os voúmenes finitos para a simuación numérica de procesos de transferencia de caor por conducción, convección y radiación combinada. 2. FORMULACIÓN MATEMÁTICA E modeo matemático está constituido por a ecuación diferencia de a conservación de a masa, a ecuación diferencia de a conservación de a cantidad de movimiento inea y a ecuación diferencia de a conservación de a energía [1, 11, 12,17, 23, 25, 28, 31]: ( ρv) t ρc p + T + t V = 2 ( ρvv) ρg + p + μ V = ( TV) ( k T ) = r

3 Modeado de a transferencia de caor mediante e método de os voúmenes finito 5 donde V es e vector de veocidad, t e tiempo, ρ a densidad, g e vector de as fuerzas de masa, p a presión cinemática, μ a viscosidad dinámica, c p e caor especifico a presión constante, T a temperatura, k a conductibiidad térmica, r e fujo de caor por radiación térmica, e operador gradiente, e operador divergencia y 2 e operador de Lapace. La ecuación ue describe a propagación de a radiación térmica en un dominio mutidimensiona con paredes grises-difusas, reeno con un medio participante gris, se puede escribir como [2, 26, 35]: s i = βi + donde i es a intensidad de radiación, s e vector de dirección, β = κ + σ es e coeficiente de extinción, κ e coeficiente de absorción, σ e coeficiente de dispersión, S r e término fuente de a radiación S r S r = κi b σ + π π ω= iφdω donde ω es e ánguo sóido, Φ a función de fase y i b es a intensidad de radiación de cuerpo negro. La divergencia de a energía radiante se cacua como r π = κ γt idω ω= donde γ es a constante de Stefan Botzmann. En este estudio se considera ue e fuido es incompresibe, as propiedades físicas son constantes y soo se tiene en cuenta a variación de a densidad con a temperatura Método numérico E método de os voúmenes finitos es usado para resover e sistema de ecuaciones integrodiferenciaes ue componen e modeo matemático. Ha sido extensivamente utiizado para resover probemas de difusión-convección [11, 18, 23, 29, 3, 38, 39] y recientemente apicado a probemas de radiación [3,, 5, 7, 8, 15, 2 32]. Los autores de este trabajo non tienen conocimiento de ue haya sido utiizado para resover probemas combinados. En os útimos años e método de os voúmenes finitos se ha transformado en uno de os métodos más usados y con mayor futuro. Las cavidades han sido discretizadas con 8x8 cedas interiores y se ha usado una maa irreguar con una variación de ancho de a ceda de tipo exponencia. E espacio anguar se divide en 18x36 ánguos poares y azimutaes respectivamente. Las ecuaciones integro-diferenciaes ue integran e modeo matemático se resueven en forma secuencia de manera segregada y e acopamiento presión-veocidad se reaiza a través de método SIMPLE [11, 23, 29] e cua se ha transformado en uno de os agoritmos de acope presión-veocidad más popuares. E acopamiento entre a temperatura y a densidad se resueve con a aproximación de Boussines, en a cua a diferencia de densidad, a cua causa e movimiento de fuido, se aproxima como función de a temperatura soamente, es decir: ρ ( ) ρ = ρβ T T donde T es a temperatura de referencia, ρ a densidad correspondiente a esa temperatura y β e coeficiente de extinción térmica.

4 6 D. Reboo, M. Sanchez 2.2. Condiciones de borde En este trabajo soo se consideran paredes sóidas, isotérmicas y adiabáticas. Para a radiación, debe agregarse a condición de paredes grises, opacas y difusas. La condición de borde para pared isotérmica se puede escribir, para a radiación, como: ρh i = εib + π donde e subíndice representa a pared, ε es a emisividad, ρ a refectividad, H es a irradiación hemisférica y i b es a intensidad de radiación de a pared negra, a cua depende de a cuarta potencia de a temperatura absouta de a pared. Estos útimos se cacuan como: H = i b γt = π i s n < s n donde n es a norma unitaria a a pared. E fujo neto de caor radiante r ue atraviesa a pared se cacua como: r = πi y e fujo de caor por conducción c se cacua como: c = k ε H ( T ) E fujo de caor tota, norma a a pared isotérmica, es a suma de fujo de caor por conducción y radiación, es decir: = k t = + t c r dω ( T ) + γεt εh Para paredes adiabáticas, e fujo de caor tota t es nuo, y como os fujos de caor por conducción y radiación dependen de potencias diferentes de a temperatura, se genera una ecuación de cuarto orden para a temperatura: k ( T ) + γε T ε H = 3. GEOMETRÍA Y CONDICIONES TÉRMICAS Se estudia una cavidad bidimensionaes cuadrada con paredes de ongitud L, a cua se muestra en a Fig. 1. La cavidad está reena con aire, a densidad ρ, e caor especifico c p, a viscosidad cinemática μ y a conductividad térmica k, se obtuvieron de Homan [17]. La Taba 1 muestra os vaores de estas propiedades físicas a as distintas temperaturas de referencia. E número de Rayeigh Ra, e número de Prandt Pr, y e coeficiente de expansión térmica β se cacuan como: 2 ρ gβl ΔT Pr Ra = 2 μ 3 Pr = μ c p k 1 β = T Las paredes oeste y este son isotérmicas, siendo a temperatura de a pared oeste igua a a temperatura de referencia T más 1 K. La temperatura de a pared este es igua a a temperatura de referencia T, de

5 Modeado de a transferencia de caor mediante e método de os voúmenes finito 7 pared norte adiabática pared oeste isotérmica T + 1 ºK L L pared este isotérmica T y x pared sur adiabática Fig. 1. Geometría de probema. Taba 1. Propiedades de aire a as diferentes temperaturas de referencia. T ρ c p μ 1 5 k Pr β / / / 5 Taba 2. Longitudes de as caras para as diferentes temperaturas de referencia. L Ra T = 3 T = T = o esta forma, siempre e Δ T =1 K. Este es e máximo permitido para e aire dentro de a aproximación de Boussines [11]. Las paredes sur y norte son adiabáticas. Se estudian tres vaores de Ra = 1, 1 5 y 1 6. Para estos vaores de Ra, y as diferentes temperaturas de referencia, resutan as ongitudes de as paredes ue se muestran en a Taba 2. Para cada cavidad se ha tomado una coordenada oca en a dirección de as caras, a cua está adimensionaizada con a ongitud de a cavidad L. Las veocidades han sido referidas a una veocidad de difusión: μ V d = Pr ρl de manera ue os resutados sean comparabes a os existentes en a iteratura. Los vaores de a temperatura se dan referidos a a temperatura de referencia T, es decir: Δ T = T Para tener en cuenta a transferencia tota de energía térmica en a cavidad estudiada en este trabajo, se define e fujo de caor medio m como: T

6 8 D. Reboo, M. Sanchez Taba 3. Comparación de resutados para convección natura pura independientes de a gria para cavidad cuadrada y Ra = 1 6 Parámetro Vah Davis Hortmann Medio Reboo et a Desviación % u max 6,63 6,8367 6,73 6,739 v max 219,36 22,61 219,91 22,799 Nu med (oeste) 8,817 8, ,82 8,858 Nu max (oeste) 17,925 17,536 17,73 17,75 Nu min (oeste),989,989,985,873,3,1871 -,1382 -,5 m 1 = L donde es a coordenada oca a o argo de a pared considerada. Todas as magnitudes usadas están expresadas en e sistema internaciona de medidas. L () d.1. Convección Natura. VALIDACIÓN DEL MÉTODO DE SOLUCIÓN. A os efectos de vaidar e método utiizado para convección natura, en a Taba 3 se comparan os resutados de autor con os resutados independientes de a gria obtenidos por de Vah Davis [37] y Hortmann [18], para e caso de mayor número de Raeygh (1 6 ), e cua es e mas desfavorabe. Como parámetros representativos de fenómeno físico se toman as veocidades máximas y os vaores máximo, medio y mínimo de número de Nusset. Estos parámetros tomados de [18] y [37] se han representado en a segunda y tercera coumna respectivamente, y su promedio en a cuarta coumna ( Medio ), en a uinta coumna se representan os datos de autor, y en a útima coumna se han cacuado as desviaciones porcentuaes de os resutados de autor respecto de promedio entre as dos referencias. Se observa ue as desviaciones en todos os casos están muy por debajo de 1%..2. Radiación En e caso de radiación, se han tomado como referencia os resutados de Shah [3] uien desarroó una soución exacta para a cavidad cuadrada con paredes negras frías y medio isotérmico absorbente y dispersante, obteniendo, entre otros resutados, e fujo de caor adimensiona en a superficie de a cavidad. Los resutados de presente trabajo comparan adecuadamente con os de a referencia citada, presentando una desviación máxima de 3% para x=,1 (ver Fig. 2). 5. RESULTADOS Y DISCUSIONES Se reaizó una serie de cácuos en un ordenador tipo Pentium IV variando Ra, κ y To. E tiempo de CPU estuvo entre 15 y 6 min por cácuo, dependiendo de os vaores de os parámetros antes mencionados.

7 Modeado de a transferencia de caor mediante e método de os voúmenes finito 9 1,1 Q σt 1,,9,8,7,6 SHAH 1979 REBOLLO et a,5,,1,2,3,,5 x Fig. 2. Fujo de caor radiante en a superficie en una cavidad cuadrada con paredes negras frias y reena con un medio emisor isotérmico, absorbente y dispersante para e caso de radiación pura y con κ=1. Comparación entre os resutados de Shah [3] y os de presente trabajo Convección Pura En primer ugar se muestran os resutados correspondientes a convección pura, auí se presentan as isotermas, íneas de corriente y contornos de veocidad horizonta y vertica. También se presentan as distribuciones de temperatura y veocidades en as secciones medias y as distribuciones de fujo de caor en a pared oeste de a cavidad para os tres vaores de Ra estudiados. Los vaores de as 15 isotermas son comunes a todas as configuraciones, Ra y T consideradas en este estudio. En a Fig. 3 se muestran as isotermas y as íneas de corriente para os tres Ra considerados. De a observación de as isotermas se puede advertir ue, mientras mayor es e Ra, a capa ímite térmica resuta más fina, siendo mayores os gradientes térmicos sobre as paredes isotérmicas. Sobre a pared oeste, os gradientes de temperatura son mayores en a proximidad de a pared sur, disminuyendo en intensidad a acercarse a a pared norte. Sobre a pared este, ocurre o contrario. En todas estas graficas se advertirá ue existe una simetría poar respecto a centro de a cavidad. Esta simetría se pierde cuando a radiación está presente. Debido a aumento en a intensidad de a convección y a a aparición de vórtices centraes, as isotermas van resutando horizontaes en e centro de a cavidad a aumentar e Ra. Para Ra = 1 6, a distribución de temperatura esta verticamente estratificada en a región centra y a temperatura se incrementa desde a pared sur hacia a pared norte, generando de esta manera e movimiento vertica de fuido. En a región centra, a veocidad es mucho más peueña ue en a capa imite. La Fig. 3 también muestra as íneas de corriente, cuyos vaores de os contornos se dan para cada temperatura de referencia. Puede observarse ue, para Ra = 1, existe un soo vórtice centra, para Ra = 1 5, aparecen dos vórtices centraes, y para Ra = 1 6, resutan tres vórtices, siendo e sentido de circuación de fuido horario, despazándose as íneas de corriente hacia as fronteras a medida ue aumenta e Ra. Existe un incremento de a función corriente con Ra y T, siendo e incremento con e Ra mayor ue e incremento debido a T. En a Fig. pueden verse as isoíneas de veocidad para a componente horizonta u y vertica v con os vaores de os contornos correspondientes. Se observa como, a medida ue aumente e Ra, os vaores absoutos máximos de a componente horizonta se van despazando desde a región centra hacia a esuina superior izuierda e inferior derecha. Para e caso de a componente vertica, os máximos se despazan hacia as paredes ateraes, estrechándose, pero manteniéndose en a zona media de a pared. En a zona centra de a cavidad, as veocidades son mínimas. Se advierte ue os máximos crecen fuertemente con e Ra y ue a componente vertica toma vaores mayores a a componente horizonta.

8 1 D. Reboo, M. Sanchez Ra = 1 Ra = 1 5 Ra = 1 6 [.333(67)9.667] T = 3 K T = K T = 5 K [-.122(776)] [-.1586(991)] [ (1171)] [-3569(173)] [-993(1869)] [ (228)] [-1292(2581)] [ (3267)] [-173(3858)] Fig. 3. Isotermas y íneas de corriente para convección pura. Ra = 1 Ra = 1 5 Ra = 1 6 [-15.88(2.159)15.1] [-26(5.85)7] [ (17.13)12.371] [ (2.623)18.38] [-63.93(9.11)6.3] [-26.66(29.513)26.718] Fig.. Contornos de veocidad horizonta y vertica para convección pura.

9 Modeado de a transferencia de caor mediante e método de os voúmenes finito 11 En a Fig. 5 pueden verse os perfies de temperatura en as secciones medias vertica y horizonta. En a sección vertica puede observarse una variación de a temperatura prácticamente inea en aproximadamente a mitad centra de a sección, donde as veocidades son menores. En as cercanías de a pared adiabática sur, se observa ue as temperaturas acanzadas disminuyen con e Ra, ocurriendo o contrario sobre a pared norte, debido a aumento de a convección. En a sección media horizonta puede observarse, como ya se destacó en e anáisis de as isotermas, ue as temperaturas son prácticamente constantes e igua a vaor medio de ΔT, extendiéndose hasta prácticamente e 9% de ancho de a cavidad para Ra = 1 6. En a Fig. 5 pueden verse, además, os perfies de as componentes de veocidad horizonta u y vertica v en as secciones medias vertica y horizonta respectivamente. Se observa ue a componente horizonta acanza os vaores máximos en as cercanías de a coordenada = 5 y os mínimos sobre a coordenada =.15, siendo estos máximos función de numero de Ra. Esto indica un incremento importante de a convección con e Ra. En e centro de a cavidad, como ya se destaco en e anáisis de as isoíneas de veocidad, a veocidad se reduce notabemente y se advierte a perfecta simetría poar existente entre estos perfies de veocidad. Respecto de a componente vertica, como ya se destacó, se aprecia ue os máximos y mínimos de veocidad se despazan hacia as paredes ateraes con e aumento de Ra. También es posibe advertir e importante incremento en os máximos de veocidad a aumentar e Ra y ue a componente vertica toma vaores máximos mayores ue a componente horizonta. Para Ra = 1 6, a componente vertica de veocidad es prácticamente nua desde a coordenada = hasta. La Fig. 6 muestra a distribución de fujo de caor a o argo de a pared oeste para os tres Ra y as tres T anaizadas. Se advierte ue os máximos se encuentran en as cercanías de a pared sur, ya ue e aire frío se dirige hacia ea en este sector de a cavidad debido a sentido horario de circuación. Puede verse además, ue os mayores fujos de caor corresponden a a temperatura de referencia más baja y os menores fujos a as temperaturas mayores. También se aprecia ue, para una misma temperatura, e vaor máximo de fujo de caor crece con e Ra y se aproxima más a a pared sur, debido a aumento de a circuación y a reducción de a capa ímite. Los vaores mínimos de fujo de caor se ubican en as proximidades de a pared norte, ya ue e aire ue se despaza hacia arriba junto a a pared norte se va caentando, reduciendo e gradiente de temperatura. Los mínimos van disminuyendo con e Ra. De anáisis de a distribución de fujo de caor a o argo de a pared caiente, se desprende ue a T ejerce un efecto negativo en a transferencia de caor, disminuyendo a eficiencia térmica de a cavidad. La expicación de este efecto se hace a partir de a teoría de a convección natura. Sabemos ue e caor transferido es proporciona a número de Grashoff, e cua contiene e término ΔT/To, por o ue si ΔT se mantiene constante y To aumenta, e caor transferido disminuirá Modo combinado Seguidamente se presentan os resutados obtenidos para e modo combinado en as distintas configuraciones térmicas estudiadas, para e caso de aire con fujo aminar en estado estacionario. Los parámetros geométricos y térmicos utiizados, y as condiciones de borde impuestas, son as mismas ue para e caso de convección pura y radiación pura. Los resutados se muestran en forma de íneas isotermas, íneas de corriente, contornos de veocidad, perfies de temperatura y veocidad, distribución de fujo de caor en a pared oeste y fujos de caor medio. Por razones de espacio, soo se muestran os perfies para Ra = 1 6 y os contornos para κ =. Por faciidad de comparación, en os perfies se han incuidos os correspondientes a convección pura y radiación pura. En a Fig. 7 se muestran as isotermas correspondientes a os tres Ra y T consideradas con κ =. Los vaores de os contornos coinciden con os dados en a Fig. 3. Se advierte ue, con e aumento de a temperatura, as isotermas se distribuyen en forma más uniforme a o argo de as paredes ateraes, separándose mas en a pared oeste, dando gradientes menores a os de convección pura. Sobre a pared este no se observa grandes diferencias respecto a caso de convección pura. También se nota, respecto de caso de convección pura, ue con e aumento de a temperatura crece a separación entre as curvas a o argo de a sección media vertica, además de a incinación.

10 12 D. Reboo, M. Sanchez 1 8 ΔT ΔT 2 12 v u Ra = 1 Ra = 1 5 Ra = 1 6 Fig. 5. Distribuciones de temperatura y veocidad, horizonta y vertica, en a sección media vertica y horizonta para convección pura. Ra = 1 T = 3 K T = K T = 5 K Ra = 1 5 Ra = Fig. 6. Fujo de caor en a pared oeste para convección pura.

11 Modeado de a transferencia de caor mediante e método de os voúmenes finito T = 3 K T = K T = 5 K κ = Ra = 15 κ = Ra = 1 κ = Ra = 1 6 Fig. 7. Isotermas para e modo combinado. T = 3 K T = K [-.1268(779)] [ (18)] Ra = 1 [-18(157)] 6 [-81(328)] κ = [-.782(25)] Ra = 1 [ (126)] κ = [ (27)] Ra = 15 [-3956(277)] T = 5 K [-1.88(933)] κ = Fig. 8. Líneas de corriente para e modo combinado. 13

12 1 D. Reboo, M. Sanchez La Fig. 8 muestra as íneas de corriente para e caso combinado con coeficiente de absorción κ = para os tres Ra y as tres T y os correspondientes vaores de os contornos. Es posibe advertir como, para Ra = 1 5 y 1 6, e incremento de a temperatura tiende a reducir e patrón de íneas correspondiente a caso de convección pura, con dos y tres vórtices centraes, a uno circuar de un soo vórtice, separando as íneas de as paredes y aumentando a separación entre íneas, con e consiguiente aumento de as veocidades en a región centra de a cavidad. Se observa como, para T = 5, e vórtice centra se despaza hacia e vértice inferior derecho con e aumento de Ra. De a comparación de os vaores tomados por os contornos se advierte ue son mayores a os correspondientes a convección pura, incrementándose esta diferencia con a T. Las figuras 9 y 1 muestran os contornos de veocidad horizonta y vertica para os tres Ra y as tres T con κ = y os vaores de sus contornos correspondientes. Se puede ver ue, para mayores temperaturas, as íneas tienden a separarse, ocupando a zona de máximos una mayor porción de a cavidad, con e consiguiente aumento de as veocidades en a región centra. Los vaores de os contornos se incrementan con a temperatura, siendo superiores a os correspondientes a convección pura. La Fig. 11 muestra e perfi de temperatura en a sección media vertica, y a Fig. 12, en a sección media horizonta, para Ra = 1 6 y as tres T, para e caso de convección pura, radiación pura y modo combinado con coeficientes de absorción κ =.1 y. Puede advertirse como, en a sección media vertica, a infuencia de a radiación se hace más importante con e aumento de a temperatura, aproximándose a curva correspondiente a modo combinado con mayor coeficiente de absorción, a perfi de radiación pura. A medida ue aumenta T, para e modo combinado, a temperatura de punto medio de a pared norte va disminuyendo, aproximándose a vaor correspondiente a radiación. En e perfi horizonta de temperatura no se observa una infuencia de a radicación tan marcada como en e perfi vertica. Se observa ue κ no ejerce una gran infuencia en e perfi de radiación. Para e caso combinado, e incremento de κ produce una transformación de perfi de convección pura hacia e de radiación pura, siendo más evidente a aumentar a temperatura. La Fig. 13 muestra os perfies de veocidad horizonta y a Fig. 1 os perfies de veocidad vertica en a sección media vertica y horizonta respectivamente. Se puede observar nuevamente como a radiación tiene una mayor infuencia sobre a convección a aumentar a temperatura y e coeficiente de absorción. En e modo combinado se detectan importantes incrementos en e máximo de veocidad horizonta respecto a a convección pura. Para a componente vertica, e incremento de máximo es mucho menor. Estas diferencias se hacen más notabes con e aumento de a temperatura. Las figuras 15, 16 y 17 presentan a distribución de fujo de caor en a pared oeste para os Ra, T y κ considerados en este trabajo. Para cada Ra, e aumento de a temperatura produce un importante incremento en a radiación térmica, teniendo una gran infuencia en e modo combinado. También se advierte como a simetría horizonta en a distribución de fujo de caor por radiación se refeja en e modo combinado a medida ue aumenta a temperatura. Se aprecia además, ue con e aumento de a temperatura, a distribución de, para e caso de radiación y modo combinado, se separa notabemente de a correspondiente distribución por convección, dejando en evidencia su poca importancia en e modo combinado. Para T = 3, en as cercanías de a pared sur, donde se ubican os máximos de por convección, se puede observar ue e fujo de caor por convección supera a de radiación, y a distribución de en e modo combinado sigue a forma de a distribución de convección. Se observa ue, en as cercanías de a pared norte, e fujo de caor por radiación supera a de modo combinado en una porción mayor de a pared a medida ue aumenta T. Finamente, se aprecia ue κ tiene mayor infuencia en a radiación y e modo combinado a medida ue aumenta e Ra y T, debido a incremento de as dimensiones de a cavidad. La Fig. 18 muestra os fujos de caor medio por convección, radiación y modo combinado en a pared oeste de a cavidad, para cada Ra y T considerados. Se puede comprobar ue e fujo de caor medio por convección disminuye con T y con Ra. Para os tres Ra, e fujo de caor medio por convección para T = se reduce en un 17.5%, y para T = 5, en un 29.% de vaor correspondiente a T = 3. Además, se puede verificar ue, para todas as T, e fujo de caor medio disminuye en un 6.9%, para Ra = 1 5, y en un 15.6%, para Ra = 1 6, de vaor correspondiente a Ra = 1.

13 Modeado de a transferencia de caor mediante e método de os voúmenes finito T = 3 K T = K [ (2.163)15.156] [-16.37(2.285)15.97] Ra = 1 T = 5 K [ (2.)16.99] κ = [-2.31(6.2)1.939] [-9.636(6.92)6.998] 5 κ = Ra = 1 [ (8.569)56.5] [ (19.333) ] [ (2.72)168.27] 6 κ = Ra = 1 [ (32.676)221.52] Fig. 9. Contornos de veocidad horizonta para e modo combinado. T = 3 K T = K [-18.35(2.623)18.366] [-19.27(2.7)19.9] Ra = 1 T = 5 K [-2.385(2.86)19.77] κ = [-6.56(9.197)6.192] [-69.13(9.763)67.266] 5 κ = Ra = 1 [ (139)71.2] [-213(29.856)27.986] [ (31.28) ] 6 κ = Ra = 1 [ (35.63)23.78] Fig. 1. Contornos de veocidad vertica para e modo combinado. 15

14 16 D. Reboo, M. Sanchez T = 3 Ra = 1 6 conv radi ( κ =.1) radi ( κ = ) 2 6 ΔT 8 1 comb ( κ =.1) comb ( κ = ) T = T = ΔT ΔT Fig. 11. Distribuciones de temperatura en a sección media vertica. 1 8 ΔT 6 2 T = 3 Ra = 1 6 conv radi ( κ =.1) radi ( κ = ) comb ( κ =.1) comb ( κ = ) 1 8 ΔT 6 2 T = 1 T = 5 8 ΔT 6 2 Fig. 12. Distribuciones de temperatura en a sección media horizonta.

15 Modeado de a transferencia de caor mediante e método de os voúmenes finito 17 T = 3 Ra = 1 6 conv comb ( κ =.1) comb ( κ = ) -8 - u 8 T = T = u u Fig. 13. Distribuciones de veocidad horizonta en a sección media vertica v T = 3 Ra = 1 6 conv comb ( κ =.1) comb ( κ = ) 2 16 v T = v T = Fig. 1. Distribuciones de veocidad vertica en a sección media horizonta.

16 18 D. Reboo, M. Sanchez T = Ra = 1 conv radi ( κ =.1) radi ( κ = ) comb ( κ =.1) comb ( κ = ) T = T = Fig. 15. Distribución de fujo de caor en a pared oeste para Ra = 1. T = 3 Ra = 1 5 conv radi ( κ =.1) radi ( κ = ) comb ( κ =.1) comb ( κ = ) T = T = Fig. 16. Distribución de fujo de caor en a pared oeste para Ra = 1 5.

17 Modeado de a transferencia de caor mediante e método de os voúmenes finito 19 T = 3 Ra = 1 6 conv radi ( κ =.1) radi ( κ = ) comb ( κ =.1) comb ( κ = ) T = T = Fig. 17. Distribución de fujo de caor en a pared oeste para Ra = 1 6. m Ra = 1 conv radi ( κ =.1) radi ( κ = ) T comb ( κ =.1) comb ( κ = ) 25 2 m Ra = Ra = m T 3 5 T Fig. 18. Fujo de caor medio en a pared oeste.

18 2 D. Reboo, M. Sanchez Para os fujos de caor medio por radiación, con κ =, se advierte ue, a contrario de a convección, e fujo de caor medio crece notabemente con T, pero se observa un eve descenso con e Ra, siendo más importante a as mayores temperaturas. Se puede comprobar ue e fujo de caor medio crece en un 132.%, para T =, y en un 35.2%, para T = 5, respecto de vaor correspondiente a T = 3, para Ra = 1. Para Ra = 1 5, os incrementos son de 13.1% y de 337.5%, y para Ra = 1 6, y de 126.3% y de 322.%. La reducción respecto a Ra, para cada T, representa un 1.%, 2.2% y 3.1%, para Ra = 1 5, y un 2.9%,.5% y 6.3%, para Ra = 1 6, respectivamente, con κ =. Si se comparan os vaores acanzados por os fujos de caor medio por convección pura y radiación pura, se puede advertir ue os fujos de radiación representan incrementos importantes respecto de os de convección. Estos incrementos, para cada T, son de 6%, 352.3% y 98.2%, para Ra = 1, de 7.3%, 375.2% y 99.3%, para Ra = 1 5, y de 82.7%, 1.1% y 985.3%, para Ra = 1 6. De anáisis de os incrementos de fujo de caor medio para convección y radiación, se advierte ue a temperatura tiene una infuencia mucho mayor, y positiva, en e proceso radiativo, mientras ue en e convectivo, su infuencia es negativa y mucho menor, haciendo ue a cavidad cuadrada sea más eficiente en a transferencia radiante ue en a convectiva. Esto puede expicarse por e hecho de ue e fujo de caor por radiación térmica depende de a cuarta potencia de a temperatura absouta, mientras ue e fujo de caor por convección conducción depende de a primera potencia de a temperatura. Se advierte ue e fujo de caor medio combinado presenta e mismo comportamiento, respecto a T y Ra, ue e mostrado por a radiación, siendo sus vaores un poco menor. Se puede comprobar ue os incrementos de fujo de caor, con a temperatura, en e modo combinado, son un poco menor ue os correspondientes a radiación, egando a tomar vaores de 73.5% y de 199.%, para Ra = 1, de 7.7% y de 199.% para Ra = 1 5 y de 7.5% y 195.2% para Ra = 1 6, todos referidos a κ =. 6. CONCLUSIONES Se mostraron os resutados correspondientes a convección, radiación y convección y radiación combinadas. Aí se anaizaron os campos de temperatura, veocidad y función corriente junto con os perfies de temperatura y veocidad en as secciones medias de as tres cavidades. Se hicieron as comparaciones correspondientes, se mostraron as interacciones mutuas entre a convección y radiación, y se dieron as expicaciones necesarias para entender como estas interacciones afectan a transferencia de caor. A continuación, estas observaciones se resumen a modo de concusiones finaes: La presencia de a radiación térmica tiene un efecto importante en a modificación de os campos de temperatura y veocidad de fuido. E aumento de a temperatura de referencia tiene un efecto negativo en a convección y positivo en a radiación, siendo este utimo mucho mayor. Para a cavidad cuadrada, a eficiencia térmica combinada es simiar a a suma de as eficiencias térmicas convectiva y radiativa, por o ue se puede considerar ue existe un débi acope entre convección y radiación. Para a cavidad cuadrada, a máxima eficiencia térmica convectiva se obtiene con Ra = 1 en todo e rango de temperaturas ensayado, disminuyendo con a temperatura y con e Ra. Lo mismo sucede para e caso de radiación y modo combinado, con coeficiente de absorción κ =, en todo e rango de temperaturas considerado. La eficiencia térmica radiativa y combinada, crece fuertemente con a temperatura, y disminuyen con e Ra. Las mayores tasas de transferencia de caor, en e modo combinado, corresponden a a radiación, en todo e rango de temperatura ensayado, poniendo en evidencia e error cometido a despreciar a radiación en probemas de transferencia de caor a bajas temperaturas, taes como enfriamiento de componentes eectrónicos. E método de os voúmenes finitos es eficiente. Los resutados son coincidentes con os pubicados en a iteratura.

19 Modeado de a transferencia de caor mediante e método de os voúmenes finito REFERENCIAS [1] Anderson D. A., Tannehi J. C., Petcher R. H., Computationa fuid mechanics and heat transfer, Hemisphere Pubishing (198) [2] Brester M. Q., Therma radiative transfer and properties, John Wiey & Sons, (1992) [3] Chai J. C. K., A finite voume method for radiation heat transfer, PhD Thesis, (199) [] Chai J. C., Lee H. S., Patankar S. V., Finite Voume Method for Radiation Heat Transfer, Journa of Thermophysics and Heat Transfer, 8 (3) (199) [5] Chai J. C., Parthasarathy G., Lee H. S., Patankar S. V., Finite Voume Radiative Heat Transfer Procedure for Irreguar Geometries, Journa of Thermophysics and Heat Mass Transfer, 9 (3) 1-15 (1995) [6] Chang L. C., Yang K. T., Loyd J. R., Radiation-natura convection interactions in to-dimensiona compex encosures, Journa of Heat Transfer, 15, (1983) [7] Chui E. H. K., Modeing of radiative heat transfer in participating media by the finite voume meted, PhD Thesis (199) [8] Chui E. H., Raithby G. D., Computation of radiant heat transfer on a non-orthogona mesh using the finite voume method, Numerica Heat Transfer, Part B, 23(3), (1993) [9] Chung T. J., Kim J. Y., To-dimensiona, combined-mode heat transfer by conduction, convection, and radiation in emitting, absorption, and scattering media soution by finite eements. Journa of Heat Transfer, 16, 8-52 (198) [1] De Groh H. C., Kassemi M., Effect of radiation on convection in a top heated encosure, Journa of Thermophysics Heat Transfer, 7, (1993) [11] Ferziger J. H., Peric M., Computationa Methods for fuids dynamics, Springer-Verag, (1999) [12] Fetcher C. A. J., Computationa techniues for fuid dynamics, vo. I II, Springer Verag, Berin Heideberg (1991) [13] Fusegi T., Farouk B., Laminar and turbuent natura convection-radiation interactions in a suare encosure fied ith a nongray gas. Numerica Heat Transfer, part A, 15, (1989) [1] Fusegi T., Ishii K., Farouk B., Kuahara K., Natura convection radiation interactions in a cube fied ith a nongray gas, Numerica Heat Transfer, part A, 19, (1991) [15] Gonçaves J., Coeho P., Paraeization of the finite voume method, Second internationa symposium on radiation transfer, Turkey (1997) [16] Hasani S. M. F., Combined natura convection and radiation in a trianguar encosure, PhD Thesis, University of Akron (1998) [17] Homan J. P., Heat transfer, McGra-Hi (199) [18] Hortmann M., Peric M., Scheuerer G., Finite Voume Mutigrid Prediction of Natura Convection: Benchmark Soutions, Internationa Journa for Numerica Methods in Fuids, 11, (199) [19] Jasak H., Error anaysis and estimation for the finite voume method ith appications to fuid fos, PhD Thesis, (1996) [2] Lan C. H., Radiative combined mode heat transfer in a muti dimensiona participating medium using spectra methods, PhD Thesis, University of Texas at Austin, (2) [21] Larson D. W., Viskanta R., Transient combined aminar free convection and radiation in a rectanguar encosure, Journa of Fuid Mechanics, 78, (1976) [22] Lauriat G., Combined radiation-convection in gray fuids encosed in vertica cavities. Journa of Heat Transfer, 1, (1982) [23] Maiska R. C., Transferência de Caor e Mecânica dos Fuidos Computaciona, Livros Técnicos e Científicos Editora S. A., Rio de Janeiro, (1995) [2] Mathur S. R., Murthy J. Y., Radiative Heat Transfer in Periodic Geometries Using a Finite Voume Scheme, ASME Journa of Heat Transfer, 121 (2) , (1999) [25] Mis A. F., Basic heat and mass transfer, Prentice Ha (1999) [26] Modest M. F., Radiative heat transfer, Mc Gra-Hi (1993) [27] Moraes J. C., Campo A., Radiative effects on natura convection of gases confined in horizonta, isotherma annui, ASME Deveopments in Radiative Heat Transfer, HTD 23, (1992)

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