TEMA 8: PRÉSTAMOS ÍNDICE

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1 TEM 8: PRÉSTMOS ÍNDICE 1. CONCEPTO DE PRÉSTMO: SISTEMS DE MORTIZCIÓN DE PRÉSTMOS NOMENCLTUR PR PRÉSTMOS DE MORTIZCIÓN FRCCIOND CUDRO DE MORTIZCIÓN GENERL MORTIZCIÓN DE PRÉSTMO MEDINTE REEMBOLSO ÚNICO SIN PGO PERIÓDICO DE INTERESES MORTIZCIÓN DE PRÉSTMO MEDINTE REEMBOLSO ÚNICO Y PGO PERIÓDICO DE INTERESES: PRÉSTMO MERICNO MORTIZCIÓN DE UN PRÉSTMO CON CUOT DE MORTIZCIÓN CONSTNTE: MÉTODO LINEL MORTIZCIÓN CON TÉRMINOS MORTIZTIVOS CONSTNTES: MÉTODO FRNCÉS PRÉSTMOS DIFERIDOS CONCEPTO DE PRÉSTMO: SISTEMS DE MORTIZCIÓN DE PRÉSTMOS El préstamo es una operacón fnancera de prestacón únca y contraprestacón múltple. En ella, una parte (llamada prestamsta) entrega una cantdad de dnero (C) a otra (llamada prestataro) que lo recbe y se compromete a devolver el captal prestado en el (los) vencmento(s) pactado(s) y a pagar unos ntereses (preco por el uso del captal prestado) en los vencmentos señalados en el contrato. La operacón de amortzacón consste en dstrbur con perodcdad la devolucón del prncpal (C), junto con los ntereses que se vayan devengando a lo largo de la vda del préstamo. Los pagos peródcos que realza el prestataro tenen, pues, la fnaldad de reembolsar, extngur o Tema 8: Préstamos -1-

2 amortzar el captal ncal. Esto justfca el nombre de operacón de amortzacón y el de térmnos amortzatvos que suele asgnarse a estos pagos. Según la fnaldad a la que se destnen los térmnos amortzatvos es posble admtr dversas nterpretacones de amortzacón, es decr, dferentes formas de llevar a cabo la amortzacón (devolucón) del captal ncal: es lo que se denomna «sstema amortzatvo» o «sstema de amortzacón» del préstamo: a) Préstamos amortzables medante reembolso únco del prncpal al fnal de la operacón. Sn pago peródco de ntereses: préstamo smple. Con pago peródco de ntereses: sstema amercano. b) Préstamos reembolsables medante una sere de pagos peródcos que consttuyan renta, esto es, fracconamento del prncpal en varos pagos parcales (cuotas de amortzacón) con vencmentos peródcos, que se pagan conjuntamente con los ntereses, formando los térmnos amortzatvos. su vez, según la cuantía de los térmnos amortzatvos, podemos dstngur los sguentes casos: Térmnos amortzatvos constantes. Térmnos amortzatvos varables: Cuota de amortzacón constante. Térmnos amortzatvos varables en progresón geométrca. Térmnos amortzatvos varables en progresón artmétca. Todo ello con ndependenca de que los ntereses se paguen con una frecuenca u otra, sean fjos o varables, pagaderos por antcpado o al fnal de cada período. En este tema no nos dedcaremos a los dos últmos casos de térmnos amortzatvos varables en progresón artmétca n geométrca, por ser el nuestro un tema ntroductoro de préstamos. Tema 8: Préstamos -2-

3 2. NOMENCLTUR PR PRÉSTMOS DE MORTIZCIÓN FRCCIOND La termnología utlzada será la sguente: C Importe del préstamo, cantdad fnancada. n Número de pagos a realzar durante el tempo que se mantene contraída la deuda. Tpo de nterés efectvo convendo (coste de la fnancacón). I Cuota de nterés del período, cantdad destnada a remunerar al prestamsta por el período correspondente. Cuota de amortzacón del período, cantdad destnada a devolver deuda en cada vencmento. a Térmno amortzatvo al fnal del período, pago total realzado por el prestataro en cada vencmento (mensual, trmestral, semestral,...). Se cumple sempre que: a = I + C Captal pendente de amortzacón al fnal del momento. Tambén se llama captal vvo, saldo de la operacón o reserva matemátca. m Captal total amortzado al fnal del período. 3. CUDRO DE MORTIZCIÓN GENERL contnuacón se defnen los pasos que, de un modo general, hay que segur para poder calcular las dferentes varables que se han defndo anterormente: 1. Los ntereses de cada período se calculan sobre el captal vvo a prncpo del período o a fnales del período anteror. I = C 1 2. El parámetro que amortza drectamente el captal es la cuota de amortzacón (). 3. El captal a amortzar sempre es la suma artmétca de todas las cuotas de amortzacón. Tema 8: Préstamos -3-

4 C + = K n 4. El captal amortzado es el total del captal que ya se ha devuelto en un determnado período de tempo. m = K + 5. El captal vvo (pendente) al fnal del período es la suma artmétca de las cuotas de amortzacón que queden por amortzar. C = K + unque tambén se obtene por la dferenca entre el mporte del préstamo y el total amortzado hasta ese momento. n C ( ) = C m = C K Sn embargo, y a pesar de la sencllez de los sstemas anterormente comentados, lo más frecuente consste en fracconar la devolucón de la deuda destnando los térmnos amortzatvos smultáneamente a pagar los ntereses devengados en el período y cancelar parte de la deuda pendente. En estos casos resulta útl recoger en un cuadro el proceso de amortzacón del captal, reflejando de forma clara y concsa el valor que toman las prncpales varables en los dversos vencmentos de la operacón. La denomnacón será la de cuadro de amortzacón, y en él vamos a reflejar las cuantías de los térmnos amortzatvos (a), las cuotas de ntereses (I) y las cuotas de amortzacón () correspondentes a cada uno de los períodos, así como las cuantías del captal vvo (C) y del captal amortzado (m) referdos a cada período de la operacón. El cuadro resultante es: Térm. Cuota Cuota de Perí. Total amortzado Captal vvo amor. de nterés amortzacón C 1 a1 I1 = C 1 1 = a1 I1 1 1 m = C1 = C 1 2 a2 I2 = C1 2 2 = a2 I2 m 2 = C2 = C 1 2 n an In = Cn 1 n n = an In m n n = K Cn = Tema 8: Préstamos -4-

5 EJEMPLO 1 Construr el cuadro de amortzacon del sguente préstamo: Importe: 3. Devolucón del prncpal en tres pagos anuales vencdos de gual cuantía Tpo de nterés anual del 1% Gráfcamente, el esquema de pagos de la operacón es: 1 = I1 1 a 2 = I2 + 2 a 3 = I3 + 3 a años =1% Cuadro de amortzacón: (5) (4) (1) (2) (3) ños Térm. Cuota Cuota de Total amor. de nterés amortzacón amortzado Captal vvo Total Descrpcón de los pasos a segur para construr el cuadro: (1) Se calcula la cuota de amortzacón a través del fracconamento en pagos guales del mporte del préstamo. (2) Se calcula el total amortzado por sumas parcales de las cuotas de amortzacón practcadas hasta la fecha. (3) La deuda pendente se obtendrá de restar al captal a prncpos de cada período la cuota de amortzacón de ese msmo período, o ben, al mporte del préstamo (C) se le resta el total amortzado (2) ya acumulado. (4) Las cuotas de nterés se calculan sobre el captal pendente a fnales del período anteror (3), es decr, aplcándoles el correspondente tpo de nterés. (5) El térmno amortzatvo de cada período será la suma de las columnas (1) y (4). Tema 8: Préstamos -5-

6 4. MORTIZCIÓN DE PRÉSTMO MEDINTE REEMBOLSO ÚNICO SIN PGO PERIÓDICO DE INTERESES Se trata de dferr la devolucón del captal y de los ntereses devengados hasta el fnal de la operacón, pagando todo conjuntamente de una sola vez. Gráfcamente: It C t = C + It C C Para el prestataro esta operacón solamente produce dos flujos de caja: uno de entrada (cobro) en el orgen, por el mporte del préstamo, y otro al fnal, de salda (pago), por el mporte del préstamo más los ntereses devengados y acumulados. La acumulacón de ntereses se puede realzar tanto en régmen de captalzacón smple como en compuesta, utlzando sus correspondentes fórmulas: t Captalzacón smple: Cn = C Captalzacón compuesta: n ) ( 1 ) n C n = C + EJEMPLO 2 Se solcta el sguente préstamo smple: Captal prestado: 1. Duracón: 3 años Interés anual del 12% compuesto Tema 8: Préstamos -6- /

7 / Se pde: Determnar el captal a devolver s la amortzacón del préstamo se hace medante rembolso únco sn pago peródco de ntereses. C=1. C3=? 3 años =12% Tendrá que abonar el captal prestado más los ntereses en régmen de captalzacón compuesta. Es decr: ( 1 ) n C n = C + 3,12) ,8 C3 = 1. = C3 = ,8 5. MORTIZCIÓN DE PRÉSTMO MEDINTE REEMBOLSO ÚNICO Y PGO PERIÓDICO DE INTERESES: PRÉSTMO MERICNO Se trata de devolver el captal al fnal del período, aunque los ntereses se vayan pagando al fnalzar cada período. Gráfcamente: I1 I2 I3 In C C t Para el prestataro en esta operacón se producen varos flujos de caja: uno de entrada (cobro) en el orgen, por el mporte del préstamo, otro al fnal de cada período por el mporte de los ntereses devengados y uno últmo al fnal por el mporte del captal devuelto (pago). Tema 8: Préstamos -7-

8 Los ntereses que no se van acumulando al captal ya que se van pagando conforme se generan, se calculan de la sguente forma: In = C Hay que tener en cuenta que tanto la como la perodcdad de los pagos de ntereses tenen que estar expresados en la msma undad de tempo. EJEMPLO 3 Se solcta el sguente préstamo smple: Captal prestado: 1. Duracón: 3 años Interés anual del 12% compuesto Se pde: Determnar el captal a devolver medante reembolso únco y pago anual de ntereses. C=1. C3 I1 I2 I3 años =12% Los ntereses que se abonan al fnal de cada año son: In = C 1 = I2 = I = 1.,12 = 12. I 3 demás de los ntereses, en el tercer año tene que devolver los MORTIZCIÓN DE UN PRÉSTMO CON CUOT DE MORTIZCIÓN CONSTNTE: MÉTODO LINEL En este tpo de préstamos, el prestataro se compromete a devolver todos los períodos la msma cantdad de captal, esto es, la cuota de amortzacón () se mantene constante durante todo el préstamo. Consderando que el mporte del préstamo es C, con un tpo de nterés constante, y amortzable en n períodos, en este caso debe cumplrse que: = K = 1 = 2 = 3 = n Tema 8: Préstamos -8-

9 Se calcula en prmer lugar todo lo que tenga que ver con las cuotas de amortzacón, fácles de calcular, a contnuacón los ntereses y, fnalmente, los térmnos amortzatvos. En concreto, los pasos a segur son: 1. Cálculo de la cuota de amortzacón (): Sabendo que la suma de todas las cuotas de prncpal es el mporte del préstamo y que éstas se mantenen constantes se debe cumplr: C = K + n = n de donde se obtene: = C n 2. Cálculo del total amortzado después de períodos (m): 1 2 n m S se conoce lo que se amortza en cada momento, el total amortzado hasta una fecha será la suma artmétca de las cuotas ya practcadas. m = K + = 3. Cálculo del captal vvo a fnales del período (C): Se realzará a través de las cuotas de amortzacón (pasadas o futuras). Nosotros calcularemos el captal vvo en funcón de las cuotas de amortzacón pasadas: C n m Tema 8: Préstamos -9-

10 El captal pendente será el mporte del préstamo dsmnudo en la totaldad de las cuotas de amortzacón ya practcadas. Es decr: [ ] = C C = C m = C K 4. Cálculo de la cuota de nterés del período (I): Los ntereses de cualquer período se calcularán a partr de la deuda pendente a fanales del período anteror, al tanto efectvo vgente durante el msmo. I = C 1 5. Cálculo de los térmnos amortzatvos: ley de recurrenca (a): Puesto que los térmnos amortzatvos son la suma de la cuota de nterés (decrecentes porque se calculan sobre captales cada vez menores) y la cuota de amortzacón (en este caso constantes), los térmnos vararán como lo hacen las cuotas de nterés y segurán una ley matemátca. Una forma de hallar los térmnos amortzatvos consste en calcular el prmer térmno y obtener todos a través de la ley de recurrenca que estos sguen y que se obtene al relaconar, por dferencas, dos térmnos amortzatvos consecutvos cualesquera: sendo: queda: a Período -1: Período +1: a 2 1 = I 1 + = C + a 1 = I + = C + K KKKKKKKKKKKKKKKKKK Por dferenca: a 1 a = ( C 2 C 1) C 1 2 C, = 1 a =, de donde se obtene: a 1 = a, lo que ndca que cualquer térmno amortzatvo es el anteror menos una cuantía constante, es decr, los térmnos varían en progresón artmétca de razón calcular a partr del prmero de ellos., por lo que todos los térmnos se pueden Tema 8: Préstamos -1-

11 Recordemos que para calcular cualquer térmno de una progresón artmétca se tene que cumplr que: an = a1 + ( n 1) d Como hemos consderado que: n = d = susttumos en la fórmula anteror del cálculo de cualquer térmno según una progresón artmétca para poder obtener la expresón que nos permtrá hallar los cualquer térmno amortzatvo en funcón del prmero: sendo: an = a1 + a = a1 + a a1 = ( n 1) d ( 1) ( ) a = + ( 1) 1 I1 EJEMPLO 4 Construr el cuadro de amortzacón de un préstamo de 3., al 1% de nterés anual, amortzable en 3 años, con cuotas de amortzacón constantes: (5) (4) (1) (2) (3) ños Térm. Cuota Cuota de Total amor. de nterés amortzacón amortzado Captal vvo Total Descrpcón de los pasos a segur para contrur el cuadro: (1) Se calcula la cuota de amortzacón a través del fracconamento del mporte del préstamo en pagos guales: / Tema 8: Préstamos -11-

12 / C = n 3. = = 1. 3 (2) Se calcula el total amortzado por las sumas parcales de las cuotas de amortzacón practcadas hasta la fecha. (3) La deuda pendente se obtedrá de restar al captal pendente a prncpos de cada período la cuota de amortzacón de ese msmo período, o ben, al mporte del préstamo se le resta el total amortzado (2) ya acumulado. (4) Las cuotas de nterés se calculan sobre el captal pendente a fnales del período anteror (3) y se pagan al fnal del msmo. (5) El térmno amortzatvo de cada período será la suma de las columnas (1) y (4). 7. MORTIZCIÓN CON TÉRMINOS MORTIZTIVOS CONSTNTES: MÉTODO FRNCÉS Este sstema de amortzacón se caracterza porque: Los térmnos amortzatvos permanecen constantes, y El tanto de valoracón permanece constante. ambos durante toda la vda del préstamo. De esta forma al prncpo la mayor parte de la cuota son ntereses, sendo la cantdad destnada a amortzacón muy pequeña. Esta proporcón va cambando a medda que el tempo va transcurrendo. Gráfcamente, el esquema de cobros y pagos que orgna para el prestataro el préstamo es el sguente: Prestacón (cobro) Contraprestacón (pagos) C a a a a n Tema 8: Préstamos -12-

13 Donde C representa el mporte del préstamo, n el número de pagos en los que se amortza el préstamo, a el térmno amortzatvo e el tpo de nterés de la operacón. Se trata de ver los cálculos a realzar con el fn de construr el cuadro de amortzacón del préstamo, esto es, saber la cantdad a pagar en cada momento (térmno amortzatvo) y su descomposcón en cuota de amortzacón () y cuota de nterés (I), así como otros datos como captales vvos en cada momento (C) sobre los que calcular los ntereses y el total amortzado (m). En concreto, los pasos a segur son: 1. Cálculo del térmno amortzatvo (a): Los pagos constantes que se realzan durante la vda del préstamo ncorporan, en parte el coste del aplazamento (cuota de nterés), en parte la devolucón de una porcón de la deuda (cuota de amortzacón). Para elmnar los ntereses bastaría con actualzar los térmnos amortzatvos a la tasa de nterés del préstamo, con lo cual sólo quedarían las cuotas de prncpal, que sumadas concden con el mporte del préstamo. Es decr, planteamos una equvalenca fnancera en el orgen entre el mporte del préstamo y la renta formada por los térmnos amortzatvos: C = a an de donde se despeja el térmno: a = C a n Recordemos que: por lo que: a n 1 = C a = 1- ) Tema 8: Préstamos -13- n ) -n

14 2. Cálculo de las cuotas de amortzacón: ley de recurrenca (): l ser constante el térmno amortzatvo las cuotas de amortzacón necesaramente tendrán que r crecendo, mentras que las cuotas de ntereses decrecerán (porque se van calculando sobre captales vvos cada vez menores). Y además, lo hacen sguendo una ley matemátca (ley de recurrenca). La ley de recurrenca es la relacón en la que se encuentran dos térmnos consecutvos, en este caso, las cuotas de amortzacón y para buscarla se relaconan por dferencas los térmnos amortzatvos de dos períodos consecutvos cualesquera, así: Período -1: a = I = C Período : a = I + = C 1 + K KKKKKKKKKKKKKKKKKKKK a a = C C Por dferenca: ( 2 1) 1 sendo: C 2 C 1 = 1 queda: = 1 + 1, de donde se obtene: = 1 ) + l aplcar esta ley para cualesquera dos períodos consecutvos, se observa que varían sguendo una progresón geométrca de razón 1+, por tanto, cualquer cuota se puede calcular a partr de la anteror, de la prmera o de cualquera conocda. Con carácter genérco, se pondrán en funcón de la prmera que es la más fácl de obtener. Recordemos que para calcular cualquer térmno de una progresón geométrca se tene que cumplr que: a n = a1 r ( n 1) Como hemos consderado que: n = r = 1+ Tema 8: Préstamos -14-

15 susttumos en la fórmula anteror del cálculo de cualquer térmno según una progresón geométrca para poder obtener la expresón que nos permtrá hallar los cualquer térmno amortzatvo en funcón del prmero: a n = a1 r = 1 ( n 1) ( ) ( 1+ 1) Es por esto, que las cuotas de amortzacón van aumentando conforme una progresón geométrca, por lo que a este método se le conoce como método progresvo. Una vez calculada la prmera cuota, todas las demás se podrán obtener aplcando la ley de recurrenca anteror. El cálculo de la prmera cuota de amortzacón se puede realzar a través de la estructura del prmer térmno amortzatvo: a = I = C 1 = a C 1 3. Cálculo del total amortzado después de períodos (m): Para conocer la totaldad de la deuda amortzada en un momento de tempo concreto se puede hacer por sumas de cuotas de amortzacón practcadas hasta la fecha: m = K + demás, todas las cuotas de amortzacón se pueden poner en funcón de la prmera de ellas, ya que recordemos que seguían una progresón geométrca de razón 1+: m 2 ( ) ( ) 1 ( ) = K Smplfcando la expresón: m 2 1 [ 1+ ) + ) + + ) ] = 1 + K donde el corchete es el valor fnal de una renta untara, pospagable e nmedata, de térmnos al tanto del préstamo, por tanto: Tema 8: Préstamos -15-

16 m = 1 s donde: por lo que: s = ) m 1 = 1 ) 1 4. Cálculo del captal vvo a fnales del período (C): Se puede calcular a través de las cuotas de amortzacón. C n n m Por el método retrospectvo, según el cual el captal pendente será el mporte del préstamo dsmnudo en la totaldad de las cuotas de amortzacón ya practcadas. Es decr: C = C m 5. Cálculo de la cuota de nterés del período (I): Los ntereses de cualquer período se calcularán a partr de la deuda pendente a fnales del período anteror, al tanto efectvo vgente durante el msmo. I = C 1 EJEMPLO 5 Construr el cuadro de amortzacón del sguente préstamo: Importe: 1. Duracón: 3 años Tpo de nterés: 1% anual Térmnos amortzatvos anuales constantes / Tema 8: Préstamos -16-

17 / 1. a a a años =1% (1) (2) (3) (4) (5) ños Térm. Cuota Cuota de Total amor. de nterés amortzacón amortzado Captal vvo , , , , , , , , , , , ,89 1. Total , , Descrpcón de los pasos a segur para contrur el cuadro: (1) Se calcula el mporte del pago total a realzar (térmno amortzatvo) a través de la fórmula anteror: C = 1- C a = 1- ) -n 1.,1 = = 4.211,48 a 3 -n - ) 1-,1) (2) La cuota de nterés se calcula sobre el captal pendente a fnales del período anteror (5) y se pagan al fnal del período anteror. (3) La cantdad destnada a amortzar será la dferenca entre el total pagado en el período (1) y lo que se dedca a ntereses (2). (4) Se calcula el total amortzado por sumas parcales de las cuotas de amortzacón practcadas hasta la fecha. (5) La deuda pendente se obtendrá de restar al captal vvo a prncpos de cada período la cuota de amortzacón de ese msmo período, o ben, al mporte del préstamo se le resta el total amortzado (4) ya acumulado. Tema 8: Préstamos -17-

18 8. PRÉSTMOS DIFERIDOS Tambén denomnados préstamos con carenca, son aquellos en los que, desde su concesón y durante una parte de su vda, no se realza devolucón de captal. Por tanto, los préstamos dferdos son aquellos en los que se retrasa el pago de la prmera cuota de amortzacón. Puede ocurrr que durante este prmer tempo en el cual no se amortza deuda, se vayan pagando peródcamente los ntereses a medda que éstos se van devengando y con la perodcdad acordada: estamos refréndonos a préstamos con carenca parcal. Cuando durante este prmer período no se realza pago alguno, estamos ante una carenca total. En este últmo caso, los ntereses devengados y no satsfechos se acumularán al captal de partda (captalzacón de ntereses). Una vez pasado el período de carenca, estaremos ante un préstamo normal cualquera que sea el sstema de amortzacón que presente (francés, lneal, con térmnos en progresón,...). Pueden darse dos stuacones: 1. CRENCI CON PGO DE INTERESES: CRENCI PRCIL a = I1 = C a2 = I2 = C ad Id = C 1 = a d + 1 Id d + 1 = a n = In + n 1 2 d d+1 n Sí se pagan ntereses 1ª amortzacón 2. CRENCI SIN PGO DE INTERESES: CRENCI TOTL C d = C 1+ C ( ) d a1 = a2 = ad = a d + 1 Id d + 1 = a n = In + n 1 2 d d+1 n No se pagan ntereses 1ª amortzacón Tema 8: Préstamos -18-

19 Es mportante señalar que en ambos casos se plantea la amortzacón efectva del préstamo desde d hasta n y el período de amortzacón es n d. El tpo más extenddo es el de carenca de captal (parcal), esto es, durante el período de carenca sólo pagamos ntereses. Esto se debe a que en la gran mayoría de las operacones las garantías solctadas son las necesaras para el prncpal solctado, y no para el prncpal más los ntereses. En este sentdo, en el caso de carenca total (sn pago de ntereses) la deuda es mayor que aquella para la que se solctaron las garantías. S ben es certo que la carenca en los préstamos supone un alvo fnancero durante un certo período de tempo al pagar sólo los ntereses (o nada, en el caso de carenca total), el préstamo al fnal se encarece consderablemente, ya que una vez fnalzado este período de dfermento tendrá que hacer frente a unos pagos posterores superores. EJEMPLO 6 Construr el cuadro de amortzacón de un préstamo de 1. euros, al 1% de nterés anual y 4 años de duracón. Se amortzará por el sstema lneal con cuotas de amortzacón anuales, sabendo que el prmer pago de prncpal se realza transcurrdos 3 años en los sguentes casos: Caso 1: Con pago de ntereses durante el dfermento C a1 a2 a3 a4 - - I1 I2 I3 I años 1. = = 2 5. / Tema 8: Préstamos -19-

20 / (5) (4) (1) (2) (3) ños Térm. Cuota Cuota de Total amor. de nterés amortzacón amortzado Captal vvo Total Caso 2: Sn pago de ntereses durante el dfermento C + 2 = C 1 C ( ) 2 a1 a2 a3 a I3 I años 1. = 2,1) = = (5) (4) (1) (2) (3) ños Térm. Cuota Cuota de Total amor. de nterés amortzacón amortzado Captal vvo Total Tema 8: Préstamos -2-

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