Universidad del CEMA

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1 Universidad del CEMA Maestría en Finanzas Orientación: Mercado de Capitales Trabajo de Investigación Final Teoría de portafolios y sus implicancias en decisiones de Inversión. Aplicación al sector agropecuario Lic. Nicolás Dalmau Buenos Aires, febrero de 2007

2 RESUMEN El presente trabajo pretende analizar los principales conceptos y principios de la Teoría de Selección de Portafolios originada por Harry Markowitz, con el objeto de examinar los elementos que proporciona para ser considerados en procesos de Inversión. Se describen los efectos de la diversificación sobre el retorno y el riesgo asociado a inversiones en distintos activos financieros y portafolios, así como también se desarrolla la metodología que permite la construcción del conjunto de los portafolios eficientes, dado el universo de opciones de Inversión. Por último se realiza un ejercicio de aplicación práctica, consistente en conformar un portafolio eficiente de Inversión compuesto por activos representados por Inversiones en actividades agropecuarias, a los efectos de mostrar que eventualmente ciertas alternativas (combinaciones entre actividades) son superadoras de otras que resultan subóptimas. Lo que se asume, permitiría hacer una asignación de recursos económicos de una manera más eficiente

3 INDICE 1. RESUMEN 2. INTRODUCCIÓN 3. DESCRIPCIÓN y OBJETIVOS DEL TRABAJO 4. DESARROLLO DEL MODELO 4. 1 MODERNA TEORÍA DE PORTAFOLIO 4. 2 EL RIESGO Y SUS CARACTERÍSTICAS 4. 3 EFECTOS DE LA DIVERSIFICACIÓN 4. 4 PORTAFOLIO DE ACTIVOS 5. SECTOR AGROPECUARIO 6. EJERCICIO DE APLICACIÓN 7. CONSIDERACIONES FINALES 8. REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS 9. ANEXOS - 3 -

4 INTRODUCCION Los análisis de Inversiones que persiguen objetivos de optimización (maximizando beneficios esperados y minimizando el riesgo asociado), en muchas ocasiones requieren un sustento teórico. En este sentido, un punto de inicio puede encontrase en la teoría de portafolios desarrollada para indicar la correcta elección de las carteras de Inversión o portafolios de activos, que son determinados por el inversor o asesores especializados. Por definición, todo individuo prefiere (o debería) obtener altas tasas de retornos producto de sus inversiones, y aunque parezca trivial resultaría inútil ocuparnos de esta variable si no se tiene en consideración de que manera y en que sentido los resultados están expuestos a variabilidades. Uno podría pensar de manera naturalmente intuitiva, que para maximizar el beneficio de una determinada Inversión sobre un portafolio de activos, debería asignar la totalidad de los fondos disponibles a comprar únicamente un activo, y justamente será aquel que presente el mayor nivel de retorno esperado. Sin embargo este concepto estrictamente irrealista permite sugerir que los inversores no solamente deben guiarse por el rendimiento de las inversiones sino además por el riesgo asociadas a estas (Varian, 1993). Las decisiones de Inversión por lo general, deben ser tomadas bajo un contexto de diferentes niveles de incertidumbre, en donde los flujos futuros de ingresos y egresos no son conocidos con certeza, dado que consisten en variables aleatorias 1. En función de esto, algunas teorías como la que se desarrollará en este trabajo pretenden proporcionar un marco para definir reglas de decisión. En estas etapas deben ser contempladas las herramientas provistas por estos modelos sujetas a los conjuntos de de información disponible, como también el análisis prospectivo. 1 Variables azarosas o variable estocástica, son un el conjunto de los posibles sucesos elementales. Pueden tomar diferentes valores imprevistos como resultado de un experimento

5 De lo anterior, se desprende que evaluar y cuantificar el impacto de las posibles variaciones en los valores esperados 2 sobre los resultados (rentabilidades) se torna relevante. Considerando este punto, es que Markowitz 3 en sus ensayos, intenta determinar la óptima relación en la dimensión riesgo-retorno, estudiando la composición y características de los activos disponibles para conformar un portafolio, de manera tal de encontrar uno que represente el máximo retorno esperado para un nivel dado de riesgo (o alternativamente, aquel con mínimo riesgo para cada nivel de retorno definido). DESCRIPCION y OBJETIVOS DEL TRABAJO El presente trabajo pretende analizar los conceptos sobre los cuales la Teoría de Selección de Portafolios se sustenta, para lograr la configuración de carteras óptimas de bajo riesgo, es decir, carteras eficientes que incluyen un conjunto de activos combinados de manera tal, de conjugar el máximo rendimiento con el mínimo nivel de riesgo posible. Con el objetivo de determinar en que sentido influyen estos elementos sobre decisiones de inversión, se describen los efectos de la diversificación sobre el riesgo asociado a inversiones en distintos activos y portafolios, así como también se interpreta la inclusión del análisis del perfil del riesgo 4 para aplicaciones vinculadas a la planificación financiera. Por otro lado, se desarrolla la metodología que permite la construcción del conjunto de los portafolios eficientes, dado el universo de opciones de Inversión. Por último se aplicarán estos principios para conformar un portafolio eficiente de Inversión compuesto por activos representados por Inversiones en actividades agropecuarias, intentando mostrar que ciertas alternativas (combinaciones entre actividades) son superadoras de otras que resultan subóptimas. Lo que se asume, permitiría hacer una asignación de recursos económicos de una manera más eficiente. 2 Los valores esperados no necesariamente son los valores deseados. 3 Markowitz, Harry M. Ver referencias bibliográficas. 4 Tolerancia al riesgo definida por cada individuo

6 En tal sentido, se evaluarán las ventajas y limitaciones del modelo para este tipo de aplicaciones prácticas. La motivación del trabajo se asocia a un interés particular sobre el sector agropecuario y su relación con las finanzas, destacando por un lado la importancia relativa de aquel en la economía del país, como así las diversas oportunidades de Inversión que ofrece este dinámico y particular sector. En resumen, se desarrollará un modelo teórico que conjuga elementos estadísticos y programas matemáticos con criterios racionales de selección de activos, en el cual se propone -mediante el uso de datos sobre niveles de retornos y sus variaciones (riesgos) - determinar las mejores combinaciones posibles entre el universo de activos disponibles para invertir, a los efectos de poder elegir un portafolio óptimo. La consecución de estos objetivos implica comenzar a estudiar e interpretar el desarrollo del marco conceptual del modelo en cuestión

7 DESARROLLO DEL MODELO Desde la perspectiva actual es difícil entender como eran las finanzas antes de la Teoría de Portafolios. Retorno y riesgo son conceptos tan fundamentales en el campo de las finanzas que asombra darse cuenta que en algún momento, fueran considerados una novedad. (Varian, 1993). TEORIA MODERNA DE PORTAFOLIOS Uno de los principales modelos financieros aplicables a procesos de selección de activos así como a la administración de portafolios de activos; y la determinación de aspectos generales sobre Inversiones, es la Teoría de Portafolios. La introducción a la denominada Teoría Moderna de Portafolios ha sido realizado por Harry Markowitz 5, cuando en Marzo de 1952 publicara en el Journal of Finance, Portfolio Selection, un documento introductorio hacia esa teoría, generalmente aceptado como pionero en ocuparse con profundidad del estudio de algunas variables tales como: rentabilidad y riesgo de activos y portafolios, correlación, diversificación, optimización, etc. De todos modos deben transcurrir algunos años para que sus ideas tomen gran aceptación y trascendencia en el campo de las finanzas, aspecto que finalmente y luego de publicar ensayos sobre esta temática, logra al consolidar sus conceptos con evidencias en su importante obra 6 publicada en el año El modelo parte de la siguiente hipótesis: la rentabilidad de cualquier activo 7 o portafolio, es una variable aleatoria de carácter subjetivo, cuya distribución de probabilidad para el período de referencia se asume conocida por el inversor. El valor medio o esperanza matemática de dicha variable aleatoria se acepta como medida del retorno esperado de la inversión. 5 Economista estadounidense, formado en la Universidad de Chicago, especializado en el campo de las Finanzas. Premio Nóbel en Economía (1990). 6 Portfolio Selection: Efficient diversification of Investments. Harry M. Markowitz. (1959). 7 Nos referimos a todo aquel bien que represente un derecho o beneficio. Conjunto de recursos económicos sobre los cuales se ostenta propiedad

8 Una manera general de estimar la rentabilidad, puede efectuarse a través de la siguiente fórmula, que determina un vector de flujos de fondos, cuyos componentes consisten en: una inversión inicial, y las retribuciones a ese capital (representadas por intereses, renta, beneficio, utilidades, etc.) (, ) R t T V ( T ) + I ( t, T ) V ( t) = V ( t) Donde: R(t,T) = rentabilidad del activo en el periodo transcurrido desde t hasta T. V(t) = valor del activo en el momento t. V(T) = valor del activo en el momento T. I(t,T) = retribución al capital durante el periodo transcurrido desde t hasta T. La segunda presunción de la teoría, acepta como medida del riesgo la dispersión, reflejada por la varianza o la desviación standard 8, de la variable aleatoria que describe la rentabilidad, ya sea de un valor individual o de un portafolio. Se define el riesgo mediante esta formula: 2 Varianza R( t, T ) = σ = E{ R( t, T ) E[ R( t, T) ]} 2 Donde: E [R(t,T)] = es la esperanza matemática o valor esperado del retorno del activo en el periodo transcurrido desde t hasta T. [R(t,T)] = es el retorno del activo en el periodo transcurrido desde t hasta T. 8 Es una medida de variabilidad absoluta puesto que esta expresada en la misma magnitud en la que se expresa la variable. i = 1 σ = N [ ] 2 R i E ( R i ) N - 8 -

9 EL RIESGO Y SUS CARACTERÍSTICAS En sentido estricto el riesgo se puede definir como contingencia o proximidad a una desventaja. Una situación de riesgo implica un conocimiento sobre posibles eventos y, aunque no se conoce a ciencia cierta que ocurrirá, se tiene conocimiento de la probabilidad asociada a estos posibles eventos (Blair y Kenny, 1993). Sin embargo la acepción utilizada en finanzas identifica al riesgo 9 asociado a una actividad económica o el que enfrenta un inversor, como la discrepancia o dispersión entre los valores esperados y los observados sobre una variable aleatoria, lo que implica estar expuesto a perderse o a no verificarse lo propuesto. En este contexto se lo asimila con el termino de volatilidad que representa fluctuaciones a lo largo del tiempo y puede indicarse como la desviación estándar de los valores de un instrumento de inversión, es decir refleja en que medida los distintos valores que toma una determinada variable se alejan de su valor medio. Según los autores Elton y Gruber 10, aun cuando no se haya introducido una medida formal del riesgo, es valido y extensamente aceptado, utilizar para cuantificar el riesgo de Invertir, al desvío estándar. En su trabajo, uno de los centrales punto del análisis de Inversiones, comienza examinando si los niveles de retornos -teniendo en cuenta largos periodos de tiempo- reflejan ser consistentes con el riesgo. Evidentemente, los retornos promedios históricos estudiados por los autores, se muestran en esa dirección. En términos generales y en el largo plazo, a mayor retorno esperado u observado, le corresponde más variabilidad. Un importante aporte de Markowitz consiste en exponer claramente en su modelo los rasgos fundamentales del concepto de racionalidad en la conducta de los inversores para optimizar sus portafolios elegidos. Esa conducta debe ser consistente con la búsqueda de aquella composición que logre minimizar el riesgo para una rentabilidad dada. 9 Habitualmente se asocia al concepto de riego como algo negativo. Sin embargo los símbolos chinos dan una buena descripción para el riesgo, definiendo al riesgo como una mezcla de peligro y oportunidad. 10 Ver cita en referencias bibliográficas

10 Desde que un activo riesgoso puede ser valuado según su contribución marginal de riesgo (riesgo relativo) al portafolio que contiene el universo de activos riesgosos, diversificar un portafolio puede contribuir a la optimización deseada. Un punto básico para entender la relación riesgo-retorno es que se presume que todos los inversores desean obtener altas tasas de retornos (principio de no saciedad), pero se muestran adversos al riesgo. Dadas dos opciones con igual tasa de retorno, se elegirá (o debería) la de menor riesgo y es por eso que los agentes demandan cierto premio por participar en inversiones que ellos consideren riesgosas, solo aceptando incrementos en los niveles de riesgo en el caso en que el aumento del retorno esperado los compense. EFECTOS DE LA DIVERSIFICACIÓN La diversificación consiste en asignar los fondos a invertir en diferentes alternativas con el objetivo de reducir las variabilidades en los niveles de retorno esperados sobre el portafolio. Elegir carteras de valores cuyas oscilaciones no sean paralelas, permite compensar entre sí los riesgos inherentes a cada uno de los activos que componen la misma. Un inversor puede reducir el riesgo del portafolio, simplemente sosteniendo instrumentos de inversión, que no estén perfectamente correlacionados entre sí, es decir que el coeficiente de correlación entre ellos sea distinto de 1. Por ende si dos activos dentro de un portafolio presentan una correlación menor a 1, la varianza del portafolio y su volatilidad será menor que el promedio ponderado de los riesgos individuales de cada activo. En el siguiente ejemplo se expone la idea: Consideramos dos activos, acciones de las firmas Agrometal y Cresud. Analizando la serie de retornos y sus desviaciones para un periodo determinado, vemos como podemos reducir la variabilidad de los retornos. Al establecer un portafolio (½ en Agrometal, y ½ en Cresud) asignando proporciones iguales entre ambos activos se obtiene un desvío estándar de 48,76 (riesgo del portafolio), mientras que el riesgo ponderando los desvíos individuales de cada activo es significativamente mayor, 55,75. El cuadro A del anexo detalla los cálculos

11 En este grafico, se observan las suavizaciones en las variabilidades. Efectos de la diversificacion sobre la variabilidad de los retornos Retronos (%) Retornos Agrometal Retornos Cresud Retornos Portafolio Fuente: elaboración propia en base a datos obtenidos en bolsar.com (BCBA). Si tenemos N activos e invertimos la misma proporción en cada uno de ellos (1/N), la fórmula de riesgo del portafolio 11 se puede reescribir así: σ 1 N 1 N σ = + N σ 2 2 P i ij 1 Si el número de activos (N) tiende a infinito, entonces: = 0 y (N 1) / N = 1. N La contribución de las varianzas de los activos individuales a la varianza del portafolio es 0 (representado por el primer término de la fórmula). Sin embargo, la contribución de las covarianzas, a medida que crece N se asemeja a la media de las covarianzas. Por ende la mínima varianza se obtiene para portafolios bien diversificados y es igual a la covarianza promedio entre todos los activos de la población. En conclusión, si bien existen beneficios de la diversificación, el riesgo de un portafolio no se puede eliminar totalmente sino minimizar. (Elbaum, 2004) En la práctica es altamente improbable encontrar coeficientes de correlación = 0. La diversificación no puede eliminar la varianza por completo, los retornos de los activos también se encuentran inter-correlacionados. 11 Ver formula de cálculo del riesgo del portafolio en la próxima sección

12 PORTAFOLIOS DE ACTIVOS En términos económicos, se entiende por portafolio (o cartera) de Inversiones, al conjunto de activos en los cuales se asigna una determinada porción de la riqueza de los individuos, de manera tal de representar una estructura de inversiones determinadas. Estos portafolios, pueden estar compuestos por activos financieros 12 (acciones, bonos, opciones, contratos sobre futuros, etc.) y activos reales (bienes inmuebles, actividades productivas), o cualquier otro bien del cual se espere obtener un flujo de valores en el futuro. Dado un conjunto de activos disponibles ( A i ), y un nivel de riqueza (W): A1, A2, A3,..., A N Se destina todo la riqueza a la adquisición de activos para el armado del portafolio, de manera tal de agotar los fondos disponibles para invertir. W = w1 + w wn Un portafolio, se puede representar por un vector de proporciones: P = w1 w2... wn tal que N i= 1 w i = 1 w i = Proporción de cada activo invertido en el Portafolio. - Rentabilidad de un portafolio de activos: Técnicamente, es la ponderación de las rentabilidades individuales de todos los activos que lo componen, y está dada por las proporciones. Esto indica por ejemplo que un activo aún con alta rentabilidad esperada, pero con una muy escasa participación relativa en el conjunto, puede contribuir a lograr una disminución en rentabilidad global de la cartera. 12 Podemos pensar en un contrato legal, representativo del derecho a recibir futuros beneficios, sujetos a una serie de condiciones predeterminadas

13 El retorno de un portafolio, se puede expresar de la siguiente manera: Alternativamente: Donde: E( R ) = w E( R ) + w E( R ) w E( R ) P N N E( R ) = w E( R ) i = 1,2,..., N P i i i E( R P ) es la rentabilidad esperada (o esperanza matemática de la tasa de retorno) del portafolio P. E( R i ) representa a las tasas de retorno esperadas para cada activo A i. Como adelantamos en la introducción del documento, no solo los retornos son importantes a la hora de decidir componer una cartera de inversión sino también el riesgo a los cuales se exponen esas inversiones. Se cree que antes de los escritos de Markowitz y sus contribuciones en materia de selección de portafolios, el riesgo de estos, era interpretado como la herencia de los riesgos individuales de los activos. Sin embargo, a partir del surgimiento de la Teoría Moderna de Portafolios, la historia cambia por completo. Se reconoce que el apropiado riesgo que el inversor debe enfrentar es el riesgo del portafolio, abordando la cartera como un todo, en lugar de escoger valores individuales en virtud del retorno esperado de cada valor en particular. En otras palabras, en cuanto a la optimización del portafolio, el punto fundamental es que el nivel de riesgo de un activo no debe ser medido solamente por la varianza, sino también por su covarianza. De hecho, si un portafolio se encuentra muy diversificado, tal que las sumas invertidas en cada activo sean pequeñas, y los retornos de los activos están altamente correlacionados, entonces la principal parte del riesgo marginal de incrementar la proporción sobre un activo dado dentro del portafolio, se debe a efectos de la covarianza Es una medida de relación lineal entre variables que describe la tendencia o movimiento conjunto de estas

14 - Riesgo de un portafolio de activos: Al tener que estimar el riesgo global de una cartera compuesta por una cantidad n de activos, ya no es suficiente calcular la volatilidad (desvío estándar) que de manera individual presenta cada activo del portafolio, sino que entra en juego el concepto estadístico de la covarianza ( σ ), que estipula la variación conjunta entre la rentabilidad de un activo y la rentabilidad de otro. σ = ρ σ σ ij ij i j ij El problema con la covarianza es que se expresa en términos de la media, lo cual imposibilita las comparaciones entre covarianzas de pares de activos para medir el grado de relación conjunta. Esto se soluciona mediante el coeficiente de correlación ρ: ρ σ ij ij = 1 ρ ij 1 σ iσ j Donde: σ ij es la covarianza entre los activos i y j. ρij es el coeficiente de correlación entre los activos i y j. σ i es el desvío estándar del activo i. σ j es el desvío estándar del activo j. En el caso de un portafolio de activos, ρ reflejaría el grado de correlación lineal entre los distintos pares de activos del portafolio, denotando en que medida los movimientos en diferente sentido (si es que existen) de los valores que toman las variables tienden a compensarse y por ende a reducir el riesgo del portafolio. Como regla general, para los distintos valores de ρ se acepta lo siguiente: ρ = 0.Los retornos de los activos se mueven de manera independiente uno del otro. ρ = 1. Perfecta correlación positiva. Los movimientos de un activo con respecto a los movimientos de otro ocurren en igual dirección y proporción. Un aumento en el retorno de un activo. El riesgo del portafolio no se reduce por incluir activos que se muevan en esta dirección

15 ρ = 1. Perfecta correlación negativa. Los movimientos de un activo con respecto a los movimientos de otro ocurren en contraria dirección e igual proporción. El riesgo del portafolio puede reducirse significativamente. Para estimar el riesgo de cualquier portafolio de activos, tenemos: Caso de dos activos (A y B). σ = w σ + w σ + 2w w ρ σ σ P A A B B A B AB A B Caso de tres activos (A, B y C). σ = w σ + w σ + w σ + 2w w ρ σ σ + 2w w ρ σ σ + 2w w ρ σ σ P A A B B C C A B AB A B A C AC A C B C BC B C Para N activos. Siendo: σ = w w σ = w w σ σ ρ 2 P i j ij i j i j ij i j i j i = 1,2,3,..., N ; j = 1, 2,3,..., N {[ ( )] ( ) } ; σ 12 = E{ [ R1 E( R1 )][ R2 E( R2 )]} σ = E R E R R E R ij i i j j 2 σ P, es el riesgo (varianza) del portafolio. Al analizar la rentabilidad consolidada y el riesgo total de un portafolio, se puede asumir que en términos de rentabilidad, las tasas esperadas de retorno para cada activo son parte de las variables exógenas, las cuales no son sujetas de control por parte del inversor, en tanto que en materia de riesgos las variables no manejables son las covarianzas entre activos σ ij. A diferencia de aquello, las que si son posibles de ser regulados por este, son las variables llamadas endógenas, que en este caso se hace referencia a las proporciones a asignar a cada activo. w ; i = 1,2,..., N i

16 ESTIMACIÓN DE LA FRONTERA EFICIENTE Se considera un portafolio eficiente, a aquel que ofrece el nivel más alto de retorno esperado para cualquier nivel dado el riesgo, considerando el universo de activos en que se puede invertir. Supone minimizado el riesgo y maximizado el rendimiento. Es aquel donde ningún efecto de diversificación, puede disminuir el riesgo del portafolio dado un nivel esperado de retorno (alternativamente, no es posible mejorar el nivel de retorno esperado sin incrementar el riesgo del portafolio). Una vez definidos los activos a incorporar en el portafolio y obtenidos los datos de las rentabilidades esperadas y riesgos de todos los activos, además del conjunto de las covarianzas de estos tomadas de a dos, estamos en condiciones de poder definir una zona de múltiples puntos conocida como Área de Portafolios Factibles configurada por todas las combinaciones posibles del universo de activos seleccionado. Infinitas posibilidades de combinaciones en el espacio riesgo-retorno E[R] Rentabilidad. B E.... A C D F. Riesgo σ (r) Se desprende del gráfico que ciertas combinaciones son más deseables (convenientes) que otras. El punto B es preferible al A, puesto que a igual nivel de riesgo, el portafolio B ofrece mayor rentabilidad. De manera análoga el C supera al portafolio A y D, mostrando igual (o mayor para el caso de D) tasa de retorno que estos, con un significativo menor nivel de riesgo

17 Con lo expuesto hasta el momento, y desarrollando una simple interpretación, se puede afirmar que es posible administrar simultáneamente el entorno riesgo-retorno de cartera, básicamente modificando las proporciones de cada activo con el objetivo de obtener mejores resultados en las Inversiones. Para esto se deben perseguir dos reglas de decisión conjugadas con un criterio de eficiencia: 1. A igual nivel de riesgo entre dos portafolios, se tenderá a elegir el de mayor tasa de retorno esperada. 2. Si dos portafolios tienen idénticos retornos esperados, y diferentes niveles de riesgo, se elegirá aquel que presente menor variabilidad. Al cumplir cada una de estas reglas por separado, se garantiza la elección de un portafolio que domina al rechazado. Por medio de un programa de optimización matemática, se pueden obtener los pares de valores 14 donde se ubican los diferentes portafolios eficientes (los mejores posibles), que forman la llamada Frontera de Eficiencia. En los siguientes dos gráficos se ilustra la curva que representa los portafolios eficientes. Frontera Eficiente de Portafolios E[R].C E.. G B D. F σ G = σ E σ D σ F Riesgo σ (r) 14 Corresponde a los conjuntos de valores de riesgo (eje de las abscisas y de retorno (eje de las ordenadas) para cada portafolio eficiente, representados en el grafico

18 Frontera Eficiente de Portafolios E[R] Rentabilidad. C. E. B Portafolio de Máximo Retorno Portafolio de Mínima Varianza Riesgo σ (r) La función cóncava que une el portafolio de mínima varianza (punto C del gráfico) con el de máximo retorno (B) se conoce como la frontera eficiente. Se constituye descartando todos los puntos que se ubiquen por debajo de esta, puesto que demuestran una performance entre riesgo y retorno inferior. Su nivel de concavidad viene determinado por el valor del coeficiente de correlación ρ 15. A partir de aquí, lo importante para resolver el problema de la selección del portafolio (obtener las combinaciones donde cada portafolio eficiente se posa sobre la frontera), requiere determinar nuestra variable incógnita, o sea las proporciones de la riqueza (disponible a invertir), a asignarle a cada activo riesgoso w i. Esto se logra resolviendo un programa cuadrático parametrico (procedimiento computacional de optimización matemática). Sin embargo antes de presentar las ecuaciones del programa, es valido aclarar como adelantáramos anteriormente, que es preciso contar con datos de rentabilidades esperadas y desvío estándar de cada uno de los activos, además de las matrices de varianzas y covarianzas o de correlaciones para todos los activos en cuestión. Por ultimo cada optimizador, deberá definir las diversas restricciones a las cuales las funciones a minimizar o maximizar están sujetas. 15 Ver gráfico A. Relación entre riesgo y retorno para diferentes niveles de coeficientes de correlación (ejemplo de Elton-Gruber, 1983) en Anexos

19 PROGRAMA DE OPTIMIZACIÓN CUADRÁTICA Markowitz postula al problema de minimización de la varianza de un portafolio, tomando como una restricción al requerido nivel de retorno esperado. 1) Función objetivo: Sujeto a Min ( w1, w2,..., w N ) σ = N N 2 P wi wjσ ij i= 1 j= 1 N E( R ) = w E( R ) = C N i= 1 Min[ E( R )] C Max [ E( R )] i i P i i i= 1 wi = 1 wi 0 ( i = 1,2,..., N ) De manera equivalente se presenta el programa para maximizar el retorno esperado de un portafolio: 2) Función objetivo: Sujeto a Max ( w1, w2,..., w N ) N P = i i i= 1 E( R ) w E( R ) N N 2 P wi wjσ ij i= 1 j= 1 Min[ σ i ] C Max[ σ i ] σ = = C N wi = 1 wi 0 ( i = 1,2,..., N ) i= 1 Las condiciones de primer orden para este problema de programación cuadrática, requieren que el aumento marginal de la varianza producto de invertir una mayor porción en un determinado activo, sea proporcional al retorno esperado sobre ese activo. La explicación de lo anterior, radica en que ese aumento marginal de la varianza depende tanto la varianza del retorno de un activo dado, como de la covarianza del retorno de ese activo con todos los demás retornos de los activos del portafolio

20 PORTAFOLIO ÓPTIMO Hasta ahora hemos visto como identificar y obtener los valores y las proporciones de cada activo para conformar una serie de portafolios eficientes, donde cada uno de estos conjugaría el menor riesgo posible para cada retorno esperado, y si bien todos satisfacen el criterio de eficiencia en el sentido de Markowitz, las matemáticas no podrían escoger por si solas un único portafolio óptimo. Es necesario en este sentido, considerar la introducción al análisis de una función de utilidad 16 (midiendo el grado de satisfacción o utilidad que le reportan determinadas combinaciones) a través de la cual cada inversor puede cuantificar su trade-off entre el riesgo y el retorno esperado del portafolio. Se trata de un enfoque basado en las percepciones y preferencias del que toma decisiones respecto de eventos inciertos, en que es factible asignar a éste una función de utilidad que asocia un nivel de ésta utilidad con la ocurrencia de un evento incierto (riesgoso). En el esquema presentado a continuación se muestra como un inversor puede a partir de las denominadas curvas de indiferencia 17, seleccionar su portafolio óptimo reflejado en el punto (Po), donde una de estas curvas traza la tangencia con la frontera de eficiencia. Portafolio Optimo de activos riesgosos E[R] Curvas de Indiferencia Rentabilidad. Po Frontera eficiente Riesgo σ (r) 16 Características y propiedades de la función de utilidad esperada: ver Pecar, M. Portafolios Agropecuarios Óptimos. Buenos Aires. SAGPyA. 17 Estas curvas vienen a representar las combinaciones entre retorno y riesgo que al inversor lo mantienen indiferente

21 Siguiendo esa dirección, los inversores tomando decisiones en función a su perfil de riesgo, podrán definir niveles máximos y mínimos de tolerancia al riesgo, siendo a partir de ese rango el punto donde se ubicará su portafolio óptimo. E[R] Niveles de Tolerancia al Riesgo σ min. σ máx. Riesgo σ (r) Si bien para un determinado conjunto de activos podremos identificar una serie de diversos portafolios que sean eficientes, a los fines prácticos, solamente se deberá escoger uno. Y será ese el óptimo preferido por el inversor, evaluando subjetivamente su exposición al riesgo. LIMITACIONES Y EXTENSIONES DEL MODELO La principal debilidad del modelo, consiste en que basa sus principios contemplando la conformación de portafolios que contengan únicamente activos riesgosos, sin tener en consideración la posibilidad de incluir activos libres de riesgo 18 y el impacto que esto genera sobre el comportamiento de los portafolios. 18 Se hace referencia a aquellos activos cuya probabilidad de incumplimiento sobre lo asumido es prácticamente nula. Teóricamente son activos con varianza = 0. Ej: bonos o letras del tesoro Americano

22 Otra limitante, radica en el excesivo numero de datos (in-puts) necesarios para la estimación de la frontera eficiente. Es preciso disponer de N retornos esperados, N desvíos estándar, y una cantidad (N 2 -N)/2 covarianzas. La fórmula descrita seguidamente, resume el resultado total de datos, evidenciando de que manera para portafolios con un N (numero de activos) muy grande las estimaciones se dificultan. N 2 + 3N 2 La esencia del modelo no es la de un modelo de equilibrio general. Cada inversor individualmente en función de sus datos y expectativas determina su serie de portafolios eficientes, lo que indica que puede haber tantas fronteras eficientes como agentes económicos o inversores. (Supuesto conocido como expectativas heterogéneas). Posteriormente y a partir de los aportes de diferentes autores, principalmente Sharpe y Tobin 19, se introduce el activo sin riesgo al portafolio, y es mediante la combinación de estos con los activos riesgosos que se explica la modificación de la frontera eficiente propuesta por Markowitz. Los activos libres de riesgo están incorrelacionados con cualquier otro activo, con lo cual cuando se combina con un activo riesgoso o portafolio de activos riesgoso, el cambio en el retorno y también en el riesgo es lineal. Adicionalmente aquellos, agregan que los principales intermediarios de los mercados son quienes lideran el proceso de formación de expectativas, y conforme a esto se introduce el supuesto de expectativas homogéneas, asumiendo que puede haber diferentes percepciones entre los individuos pero prevalecen solo algunas y generalmente hay consenso sobre los movimientos de los mercados. 19 Williams F. Sharpe y James Tobin. Premios Nóbel en Ciencias Económicas

23 La Frontera Eficiente ya no es más una curva, sino una recta denominada Capital Market Line (CML) o línea de mercado de capitales, puesto que al poder combinar el portafolio de mercado 20 con el activo libre de riesgo, se pueden encontrar sobre aquella, portafolios más eficientes que los derivados de la frontera. Nueva Frontera Eficiente de Portafolios E[R] E[R] P Rf Risk free. C A Portafolio de Mercado D. Frontera de Eficiencia B CML Línea del mercado de capitales σ P Riesgo σ (r) Tal como muestra el grafico, los portafolios A y C tienen igual nivel de riesgo, por lo tanto el C (mayor retorno esperado) es preferido al A. Por el mismo motivo D domina a B. En definitiva todos los puntos por sobre la línea de mercado de capitales (CML) disponen de un perfil riesgo-retorno, superior a cualquier portafolio de la frontera eficiente. Profundizando sobre estos conceptos de eficiencia, así como teniendo en cuenta los aportes señalados anteriormente, y considerando nuevos supuestos (ej: hipótesis de equilibrio de mercado, eficiencia del mercado, horizonte temporal homogéneo, capacidad de todos los individuos para prestar dinero y endeudarse a la misma tasa, etc.) se origina el conocido modelo de equilibrio general para la valuación de activos CAPM (Capital Allocation Pricing Model), que deriva el teórico retorno requerido para cualquier activo de un mercado, a partir de la tasa libre de riesgo disponible a los inversores; la sensibilidad de los activos al riesgo no diversificable o riesgo del mercado (β), y el retorno esperado del mercado. 20 Se entiende por portafolio de mercado o de tangencia al conjunto completo de activos riesgosos disponibles

24 SECTOR AGROPECUARIO El Sector Agropecuario (SA) aparece como uno de los más dinámicos de la economía argentina. Siendo responsable de la mitad de los ingresos por exportaciones del país (entre Productos Primarios y Manufacturas de Origen Agropecuario totalizaron millones de dólares en el 2005), el SA llega al 2007 con una producción total estimada de 80 millones de toneladas en granos. El desarrollo tecnológico de las últimas décadas sumado a la expansión de la frontera cultivable determinó la relevancia económica que hoy tiene el sector en nuestro país. A esto hay que agregarle una demanda internacional creciente por productos primarios y sus derivados, combinados con un interesante contexto internacional en cuanto a precios de los commodities agrícolas. Si bien las principales producciones del SA (soja, maíz, trigo y girasol por el lado de la agricultura y carne bovina en la ganadería) alcanzan para explicar casi la totalidad de la actividad del sector, la gran dispersión de las regiones donde se producen ha dado lugar a desarrollos tecnológicos propios en cada zona agro-económica. La disparidad de climas y calidad de suelos (que explican entre otros factores, el potencial de rinde) de las diferentes zonas agro-ecológicas, demandó un desarrollo de tecnologías productivas y de gestión particulares para cada una. La soja, el cultivo más extendido en los últimos años y responsable de gran parte de las divisas ingresadas, es un ejemplo paradigmático. El área sembrada por esta oleaginosa se aproxima actualmente a las 16 millones de hectáreas y su producción estimada supera los 40 millones de toneladas. Con rindes físicos promedio que van desde los Kg. en zonas marginales, hasta los Kg. por hectárea en la zona núcleo (conformada por norte de Buenos Aires, centro-sur de Santa Fe y sur de Córdoba), los productores de cada zona han logrado adaptar sus funciones de producción para sostener e incrementar la rentabilidad de este negocio agropecuario. Requerimientos de fertilizantes y de agroquímicos diferenciados, variados costos de arrendamiento y riesgos propios de cada zona son algunos de los determinantes de estas diferentes funciones de producción

25 Las oportunidades que brinda este sector en materia de Inversiones son muy diversas. Los principales determinantes de las rentabilidades de estas actividades en general se asocian a cuestiones como: factor climático, precio de productos e insumos, contexto macroeconómico e institucional, estructura comercial y de costos, aspectos fiscales, financieros y sanitarios, adopción de tecnología y por último el factor empresarial o de gestión (entendido éste como variable endógena sujeta a control por parte de los productores-administradores). El comportamiento de todos estos parámetros, y la exposición a variabilidades sobre ellos, es lo que mide el riesgo, y tener consideración sobre este punto, representa una herramienta de gran utilidad para la definición de un portafolio de Inversiones

26 EJERCICIO DE APLICACIÓN En este hipotético ejemplo de aplicación al sector agropecuario, de los conceptos del modelo propuesto, se determinará el conjunto de portafolios eficientes, suponiendo un universo de tres activos riesgosos en los cuales se puede invertir. Estos activos que componen al portafolio consisten en invertir en una actividad agropecuaria, más precisamente en el cultivo de soja. Cada uno de los tres activos identificados A, B y C, representarán a la inversión en soja para tres zonas diferentes: norte de Buenos Aires y sur de Santa Fe (activo A), Oeste de Buenos Aires (activo B), y centro-sur de Córdoba (activo C). Tal como enunciamos en la sección Sector Agropecuario, las diversas zonas agro ecológicas disponen de características propias y diferentes funciones de producción. Asumiendo esto, y habiendo evaluado el comportamiento de la serie de retornos y sus desviaciones, es que consideraremos a la operación de invertir en una misma actividad agrícola pero en distintas zonas 21 como activos diferentes. Comenzamos exponiendo en el Cuadro B, los datos sobre rentabilidades 22 para cada actividad, durante un periodo de 7 años ( ): Cuadro B - Retornos Anuales (en porcentaje) Activos Período A B C ,4 16,8-3, ,24 29, ,64 51,96 36, ,08 59,4 38, ,08 18,12 9, ,52 23,28 10, ,72 19,08 12,6 Retorno Esperado E [R] 25,92 33,41 19,06 Riesgo σ 12,19 16,81 14,57 21 Esto se podría asociar a una estrategia de diversificación regional del portafolio. 22 Las estimaciones junto con su metodología y desarrollo del cálculo, pueden verse en, Dalmau N. (2003) Análisis económico-financiero de la producción de soja en la pampa húmeda antes, durante y después de la devaluación

27 Se estimó para cada activo individualmente la tasa de retorno esperada (medida por la esperanza matemática) y su riesgo (desvío estándar promedio). Con estos valores reflejados en el próximo grafico, se presentan los resultados (en términos de la relación riesgo-retorno) de invertir el total de los recursos disponibles en una sola actividad. Portafolios compuestos por la Inversion del 100% en cada actividad Retorno Esperado B A 20 C RIESGO Evidentemente, pareciera ser que diversificando, existe la posibilidad de lograr una combinación de inversión entre estos activos, tal que proporcione una superior performance que la dada por cada uno de los activos independientemente. Utilizando los valores de las covarianzas entre cada par de activos y los coeficientes de correlación 23, y aplicando las fórmulas para calcular el riesgo y el retorno de un portafolio de activos riesgosos, obtenemos la zona de ubicación de los portafolios factibles en la dimensión riesgo-retorno: 23 Ver estimación de matrices de covarianzas y coeficientes de correlación en los Cuadros E y D en Anexos

28 Area de Portafolios Factibles Retorno Esperado RIESGO Estos eventuales portafolios, cada uno representado con un punto en el gráfico (con sus correspondientes niveles de riesgo y retorno), forman parte de las múltiples combinaciones posibles de las proporciones con que cada activo participaría del portafolio. A partir de aquí debemos descartar aquellos que no cumplan con el criterio de eficiencia. Resolviendo el programa de optimización planteado durante el desarrollo del modelo, dispondremos del conjunto de portafolios eficientes, y las proporciones ( w ) que se deben invertir en cada activo (A, B y C) para conformarlos. i Determinacion de la Frontera Eficiente Retorno Esperado RIESGO Esta curva que contiene a todos los portafolios eficientes, representa a la envolvente superior del gráfico de dispersión Área de portafolios factibles

29 El cuadro C presentado a continuación, describe las composiciones de algunos de los portafolios eficientes. Estas combinaciones son preferibles a cualquier otra que se encuentre por debajo de la frontera eficiente, puesto que para cualquier nivel dado de riesgo se obtiene el mayor retorno esperado posible. Comparando estos portafolios eficientes con los portafolios no diversificados (o aquellos en los que se asignaría el total de los fondos a cada activo individualmente, cuadro F), se pone de manifiesto las ventajas de la diversificación. Salvo en el caso del portafolio B (invertir el 100 % en soja en el oeste de Buenos Aires), que representa el portafolio de máximo retorno y justamente es un extremo de la frontera eficiente y por ende es eficiente, el resto de los portafolios (A y B), son superados por alguno de los eficientes. Por ejemplo A con un desvío de 12,19 esperando obtener un retorno de 25,92 %, es superado por el portafolio 2 con desvío aún menor (12,04) se corresponde con un retorno mayor (25,98 %). Cuadro C Composición de Portafolios Eficientes A B C Total = Wi E[R] σ (P) Portafolio de Minima Varianza 79% 0% 21% 1 24,48 11,99 Portafolio 1 Portafolio 2 Portafolio 3 Portafolio 4 Portafolio 5 Portafolio 6 Portafolio de Maximo Retrono 80% 10% 10% 1 25,98 12,04 70% 30% 0% 1 28,17 12,29 50% 50% 0% 1 29,67 13,07 30% 70% 0% 1 31,16 14,31 20% 80% 0% 1 31,91 15,07 10% 90% 0% 1 32,66 15,9 0% 100% 0% 1 33,41 16,81 Portafolio A Portafolio B Portafolio C Cuadro F Portafolios no diversificados A B C Total = Wi E[R] σ (P) 100% 0% 0% 1 25,92 12,19 0% 100% 0% 1 33,41 16,81 0% 0% 100% 1 19,06 14,

30 Ahora bien, en la práctica solo debemos seleccionar un portafolio óptimo, y para lograrlo el inversor debe recurrir a su subjetividad y definir su perfil de riesgo. Así, quienes sean absolutamente adversos al riesgo, se inclinarán por el portafolio de mínima varianza, esperando un retorno de 24,48 % con un desvío de 11,99 (significativamente superior al Portafolio C) y tendrán que invertir el 79 % de sus fondos en soja en el norte de Buenos Aires- sur de Santa Fe, 0% en soja en el Oeste de Buenos Aires, y el 21 % restante destinarlo a la soja en el centro-sur de Córdoba. Aquellos que deseen enfrentar riesgos moderados, se ubicaran entre los portafolios 2 y 4. Por último, los más arriesgados preferirán combinaciones de inversión configurando portafolios para valores situados entre el portafolio 5 y aquel de máximo retorno

31 CONSIDERACIONES FINALES En primer lugar, podría concluirse que la descripción de la teoría de portafolio, permite introducir los eventuales efectos favorables que propone el concepto de diversificación. El aporte de Markowitz en este sentido ha sido determinante para exponer claramente los principios (fundamentalmente las propiedades de la relación riesgo-retorno) a seguir para la selección de portafolios eficientes compuestos por activos financieros riesgosos. La información y los resultados brindados por un modelo operativo-matemático que proporciona elementos de análisis sobre Inversiones, resultan fundamentales para tomar decisiones. Sin embargo todo el peso de las definiciones no puede ni debe caer sobre este tipo de modelos, dado que aspectos que la teoría no considera, tienen importantes implicancias directas sobre el comportamiento de las variables más relevantes. El modelo asume ciertas limitaciones ante determinadas aplicaciones que deben ser correctamente interpretadas. Siguiendo las reglas de inversión expuestas se tiende a pensar que la moderna teoría de portafolios aplica las características de un comportamiento correctamente establecido por los inversores y no de comportamientos especulativos. Un importante aspecto de este trabajo es poder aplicar el enfoque del modelo de selección de portafolios para trasmitir sus criterios en la evaluación de inversiones agropecuarias. En el ejemplo de aplicación, la estimación de portafolios eficientes formados por inversiones en una misma actividad pero en diferentes zonas, pudo mostrar como la diversificación para el periodo considerado 24 puede resultar exitosa a los efectos de optimizar recursos. De todos modos, debe destacarse que esta estrategia de diversificación señalada no necesariamente permite reducir riesgos inherentes a los negocios agropecuarios. 24 Estadísticamente, puede que la cantidad de datos sobre retornos utilizada en el ejemplo, no sea significativa. Pero dada la dificultad existente para obtener datos precisos para largos periodos, se considera válida la idea aplicada, sobre todo teniendo en cuenta que tal como Markowitz destaca, cada agente o inversor probablemente formará una frontera distinta

32 Por último, afirmamos que invertir en uno o en otro de los portafolios eficientes resultantes del ejercicio aplicado, depende del perfil de riesgo y la función de utilidad de cada individuo. Sin embargo haber definido invertir en un solo activo o en proporciones que no se condicen con las de la frontera eficiente, hubiese generado, desde el punto de vista de la eficiencia económica, enfrentarnos con escenarios subóptimos. En otros términos, se hubiera dejado de obtener un mayor beneficio para un nivel de riesgo dado, o análogamente, enfrentar mayores riesgos que los correspondientes para alcanzar una determinada rentabilidad esperada. Bajo el contexto de la teoría de selección de portafolios, poco sentido tiene establecer los mecanismos para evaluar la rentabilidad de un activo, si no es adecuadamente considerado el riesgo de invertir en el

33 REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS APREDA, Rodolfo Evaluación de activos financieros. Master en Finanzas. Universidad del CEMA. Buenos Aires. BREALEY, Richard MYERS, Stewart Principios de Finanzas Corporativas Cuarta Edición. España. COLLATTI, Maria Belén Teoría de Carteras Programa de Formación. Bolsa de Comercio de Rosario. DELGADO, Gabriel Finanzas Rurales: Decisiones financieras aplicadas al sector agropecuario. Ediciones INTA. Buenos Aires. ELBAUM, Marcelo Administración de Carteras de Inversión: Teoría de Portafolio. Buenos Aires. ELTON Edwin J. GRUBER Martin J Modern Portfolio Theory and Investment Analysis, New York University. VARIAN, Hal, A portfolio of Nobel Laureates: Markowitz, Miller and Sharpe. The journal of economic perspectivas. MARKOWITZ, Harry M Portfolio Selection. Journal of Finance. MARKOWITZ, Harry M Portfolio Selection: Efficient Diversification of Investments. New York. PECAR, Marina. Portafolios Agropecuarios Óptimos Oficina de Riesgo Agropecuario. SAGPyA. Buenos Aires

34 ANEXOS Cuadro A Retornos Anuales (en porcentaje) Período Agrometal Cresud Portafolio ,83 16,25 42, ,01-47,80-55, ,36-20,25-31, ,18-22,80-33, ,80-6,62 38, ,59 99,65 92, ,95 54,90 84, ,21 27,90-24, ,27-43,70-4, ,06 48,90 30,98 E [R] 17,07 10,64 13,86 σ 66,31 45,18 48,76 ρ(agro,cres) 0,51 σ ponderado 55,75 Gráfico A Relación entre riesgo y retorno para diferentes niveles de coeficientes de correlación E[R] Rentabilidad ρ = 0 ρ = -1 ρ = 1 0 ρ 1 σ (r) Riesgo Fuente: tomado de un ejemplo de Elton-Gruber (1983)

35 Cuadro D Matriz de varianzas y covarianzas entre actividades σ(j,k) A B C A 148,64 B 126,17 282,45 C 125,66 234,69 212,15 Cuadro E Matriz de coeficientes de correlacion entre actividades ρ (j,k) A B C A 1 B 0,616 1 C 0,708 0,