El conjunto de los números naturales tiene las siguientes características

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1 CAPÍTULO Números Podemos decir que l noción de número nció con el homre. El homre primitivo tení l ide de número nturl y prtir de llí, lo lrgo de muchos siglos e intenso trjo, se h llegdo l desrrollo que ctulmente posee el concepto de número. Con los números expresmos cntiddes y tmién medids pudiendo demás operr con ellos. En el desrrollo de este cpítulo recordremos los distintos conjuntos numéricos y ls operciones que con ellos se pueden relizr, como tmién sus propieddes.. NÚMEROS NATURALES Recordemos que el conjunto de los números nturles N está constituido por los números,,,,,..., 00,...,.n..., con los cules contmos, ordenmos y relizmos ls operciones de sum y multiplicción, siendo el resultdo de ests operciones tmién un número nturl, sin emrgo no ocurre lo mismo con l rest y con l división. El conjunto de los números nturles tiene ls siguientes crcterístics Es un conjunto infinito. Tiene primer elemento, no tiene último elemento. Todo número nturl tiene un sucesor, es decir, cd número nturl, tiene un consecutivo. Todo número nturl, slvo el uno, tiene ntecesor. Entre dos números nturles consecutivos, no existe otro número nturl, por eso se dice que el conjunto es discreto. Por ser un conjunto ordendo, es posile representr los números nturles en un rect, eligiendo como origen el cero, que puede ser incluido tmién en el conjunto, usndo en ese cso el símolo N 0 pr denotrlo... Múltiplos y divisores Hemos visto en los cursos iniciles de mtemátics que l multiplicción es un sum de términos igules y puede escriirse de mner comprimid o revid:.... n n veces Ejemplo:

2 En ese cso decimos que es múltiplo de y que es múltiplo de, o lo que es lo mismo: es divisor de y es divisor de. Definición: es múltiplo de si es posile encontrr un número nturl k, tl que se cumple: k Si es múltiplo de, l división tiene resto cero, por lo tnto decimos indistintmente: es múltiplo de divide es fctor de es divisile por Son resultdos inmeditos de l definición: es divisor de todos los números pues: 0 es múltiplo de todos los números pues 0 0 En nuestro ejemplo son equivlentes ls proposiciones: es múltiplo de divide es fctor de es divisile por Qued pr el lector escriir proposiciones equivlentes, similres ls nteriores que correspondn pr el cso de los números y.. y son múltiplos de? L sum de ellos es múltiplo de? Y su diferenci. Pr pensr... ) Ddo un número nturl culquier, cuál es su divisor más pequeño? y el myor? ) Si un número es divisor de otro, tmién lo es de los múltiplos de éste? Por qué? c) Ddo un número nturl culquier, cuál es su múltiplo menor? y el myor? d) L sum de vrios múltiplos de un número tmién es múltiplo de dicho número? Si es verdd, demuéstrlo; de lo contrrio d un contrejemplo.. ) Enuncir los criterios de divisiilidd por,,,, 6,,, ) Escriir Verddero (V) o Flso (F) según correspond: Si un número es divisile por 6, entonces, es divisile por. Si un número es divisile por, entonces, es divisile por 6. Si un número es divisile por y por, entonces, es divisile por. Si un número es divisile por, entonces, no es divisile por. Si un número no es divisile por, entonces, no es divisile por. Si un número es divisile por 6, entonces, es divisile por y por. V F c) El número de pollos de un cridero es menor que 000. Si los grupmos de, de 6, de o de, siempre sor. Cuántos pollos hy en el cridero?.. Números primos y compuestos L cntidd de divisores que tiene un número permite clsificrlo en número primo o número compuesto, recordemos que todo número n myor que tiene como divisores l y él mismo. Si dmite sólo estos divisores, se dice que el número es primo. Si los divisores son más de dos, el número es compuesto y en ese cso es posile fctorizrlo como producto de los números primos que lo dividen. Est descomposición es únic, slvo el orden en que pueden usrse los números primos como fctores.

3 Ejemplos: es un número primo, pues tiene solmente dos divisores: él mismo y el. Es ueno destcr que el número es el único número primo pr. 0 es un número compuesto, pues dmite los divisores,,, 0,, 0 y puede fctorizrse usndo números primos. Así: 0 no es número primo.. Pr pensr: ) L sum de dos números primos es un número primo? Siempre? Justific tu respuest. ) El producto de números primos es un número primo? Justific tu respuest... Máximo común divisor Buscmos los divisores de los números y 6: Los divisores de son:,,,, 6,,,. Los divisores de 6 son:,,,, 6,,,, 6. Oservmos que los divisores comunes mos números son :,,,, 6,. El myor de ellos es, l que llmmos: máximo común divisor, por ser el myor de los divisores comunes y lo denotmos sí: mcd (,6) = Escriiendo los números y 6 fctorizdos, podemos clculr en form práctic el máximo común divisor, sin necesidd de listr los divisores de cd uno de los números. Así, y 6 pr encontrr el mcd (,6) deemos relizr el producto de los fctores que son comunes ms descomposiciones tomándolos con el menor exponente con que figurn. Por lo tnto, elegimos y, resultndo entonces: mcd (,6) = = tl como lo hímos otenido l hcer el listdo de los divisores de los números y 6. Not: Si mcd (,) =, es decir, es el único divisor común de y, diremos que y son coprimos o primos entre sí... Mínimo común múltiplo Tomemos hor los números y, usquemos sus primeros múltiplos. Los primeros múltiplos de son:,, 6,, 60,,, 6, 0, 0, Los primeros múltiplos de son:,,, 6,,, 6,,, 0,, 0,. Oservmos que hy un número infinito de múltiplos de cd uno de ellos y hy infinitos múltiplos comunes mos: 6,, 0 El menor de ellos, el 6, es lo que llmmos el mínimo común múltiplo por ser el menor de los múltiplos comunes y lo indicmos sí: mcm (,) 6 Escriiendo los números y en form fctorizd, podemos clculr en form práctic el mínimo común múltiplo sin necesidd de listr los múltiplos de cd uno de los números. Siendo y pr encontrr el mcm(,) deemos relizr el producto de los fctores que son comunes ms descomposiciones como tmién los que no lo son tomándolos con el myor exponente con que figurn. Por lo tnto elegimos y, resultndo entonces: mcm(,) 6 tl como hímos otenido l hcer el listdo de los múltiplos de los números y. Qued pr el lector verificr que mcm (,6)

4 . En l Autopist Serrnís Puntns, de 0 km de lrgo, hn plnificdo colocr: cins telefónics cd km puestos snitrios cd 0 km estciones de servicio cd km ) Si en el kilómetro 0 existen los tres servicios, en qué kilómetros vuelven coincidir los tres? ) Si l Autopist se extiende 60 km más, l finl de este nuevo trmo, volverán coincidir? c) Qué crcterístic tienes los números de los kilómetros que coinciden los tres servicios?. El árol de Nvidd de mi cs tiene dos guirnlds de luces, un se prende cd 6 segundos y l otr cd segundos. Cd cuántos segundos se prenderán ls dos junts?. NÚMEROS ENTEROS Recordemos que l rest en el conjunto de los números nturles siempre es posile cundo el minuendo es myor que el sustrendo, en cso contrrio no es posile. Pr resolver este prolem necesitmos mplir el cmpo numérico introduciendo el cero y los opuestos de los números nturles, llmdos números enteros negtivos. Otenemos el conjunto de los números enteros: Z...,,,, 0,,,,,,... Pueden representrse en l rect numéric como sigue: Definición: Si x es un número entero x es el opuesto de x. Ejemplos: ) Se x, su opuesto es x. ) Se x, su opuesto es x. Los enteros se pueden ordenr, ls operciones de sum, rest y producto dn como resultdo un número entero, sin emrgo no ocurre lo mismo con l división, por ejemplo dividido no d un número entero. Deemos destcr que el conjunto Z tiene ls siguientes crcterístics: Es un conjunto infinito. No tiene ni primer elemento ni último. Es un conjunto discreto. Cd número entero tiene un ntecesor y un sucesor... Vlor soluto Pr cd número entero x definimos el vlor soluto de x, que indicmos x, como sigue: Si el número x es positivo o cero, su vlor soluto es el mismo número y es su opuesto, x, si el número es negtivo. Simólicmente: Definición: Recordemos: x x x si x 0 si x 0 El vlor soluto de cd número entero, es siempre un número no negtivo.

5 Ejemplos: ; Geométricmente, el vlor soluto mide l distnci del número x l cero, los ejemplos nteriores quedn representdo en l rect por: - dist 0, 0 dist, 0. Encontrr el vlor de cd un de ls expresiones siguientes, pr x y y : ) x y ) x y e) x y y x f) y c) x y d) x y.. Comprción de números enteros Ddos dos enteros y, se dice que < si y sólo si - > 0. Oservción: Todo número entero positivo es myor que culquier número entero negtivo. Ddos dos números enteros negtivos, y, > si y sólo si >.- Escriir cd enuncido usndo desigulddes ) x es positivo ) y es negtivo c) t es menor que 6 d) u es menor o igul que e) z es myor que - f) x es menor que g) x es myor o igul que - h) t está comprendido entre y 0 i) z es menor que j) t es menor que myor que - k) y es menor que o igul que e y myor que 0. NÚMEROS RACIONALES Nos vemos en l necesidd de mplir nuevmente nuestro cmpo numérico, puesto que con los números enteros podemos contr pero no siempre medir. Pr expresr medids necesitmos números que representen prtes de l unidd, de quí surge l ide de número frccionrio: l mitd, l tercer prte, ls dos quints prtes,...de un unidd. El conjunto de los números enteros unido l conjunto de tods ls frcciones constituye el conjunto de los números rcionles, l que denotmos por Q. Definición: Un número rcionl es el cociente de dos números enteros y, con 0, siendo el numerdor y el denomindor. Cundo en un frcción, el numerdor y el denomindor son números primos entre sí, decimos que l frcción es irreducile.

6 Crcterístics de Q Q es un conjunto denso, es decir que entre dos números rcionles hy infinitos números rcionles. En Q no podemos hlr de sucesores o ntecesores. Ejemplo: Ddos dos números rcionles y, siempre es posile encontrr otro entre ellos. Un mner sencill de determinrlo es l semisum:. Qued pr el lector l verificción:. En este conjunto, ls cutro operciones elementles son cerrds, es decir, el resultdo otenido es siempre un número rcionl... Interpretción de números rcionles El número rcionl indic que dividimos en prtes igules l todo y tommos de ess prtes. Así, ddo el número, éste nos indic que el todo se h dividido en prtes igules y de ells se hn tomdo. Un de ls forms gráfics de interpretr l situción nterior, es: Ejemplo : Si representmos el todo medinte un rr, ést se h dividido en prtes igules de ls prtes igules se tomn, l prte somred represent el número En l rect numéric, como siete octvos es menor que uno, dividimos l unidd en ocho prtes igules, contmos siete de ells prtir del cero, oteniendo sí el punto de l rect que represent l número : 0.- Representr en l rect numéric los siguientes números:,,,,,.. Frcciones ) Frcciones equivlentes A menudo trjremos con frcciones equivlentes, por lo tnto, es útil recordr que: Definición: Dos frcciones son equivlentes o igules si representn l mism cntidd. 6

7 Ejemplo: y 6 de un mismo todo representn l mism cntidd., por lo tnto, necesitmos sólo un unidd pr representrl gráficmente como lo muestr l figur: lo representmos por: 6 lo representmos por: Si multiplicmos (o dividimos) el numerdor y el denomindor de un frcción por un mismo número distinto de cero, otenemos un frcción equivlente l dd. Ejemplo: 6 6 por lo tnto, es equivlente, como lo mostrmos en l figur..- Usr gráficos pr verificr que cd número? Por qué? 6. Cuánts uniddes se necesitn pr representr 0 Podemos demostrr que: Dos frcciones y d c son equivlentes si y sólo si d c Usmos este resultdo pr verificr que y son equivlentes, pues 0, en 0 cmio y no son equivlentes, pues ) Comprción de frcciones c Definición: Dds dos frcciones y, tl que 0 y d 0, se define el siguiente orden d en el conjunto de los números rcionles: c si y sólo si, d c d En form nálog se definen los símolos: >, y c Dds dos frcciones, y, siempre se ls puede comprr, resultndo lgun de ls d c c c siguientes opciones: ó ó. d d d

8 Propieddes: Un frcción positiv es myor que culquier frcción negtiv. Dds dos frcciones positivs de igul denomindor, es myor l que tiene myor numerdor. Dds dos frcciones positivs de igul numerdor es myor l que tiene menor denomindor Dds dos frcciones positivs con distinto denomindor y numerdor, se llevn frcciones equivlentes con igul denomindor (o numerdor) pr hcer l comprción. Dds dos frcciones negtivs es myor quell cuyo vlor soluto es menor. Ejemplos: ) ) c) d) y que tienen el mismo denomindor y < y que tienen el mismo numerdor y < 0 0 y que, y y que A ls frcciones ls podemos interpretr tmién como un división, dndo lugr los números decimles... Expresión deciml de los números frccionrios En muchs ocsiones conviene expresr un número frccionrio en form de número deciml, pr ello, st dividir el numerdor por el denomindor. Ejemplos: ) 0. 0, otenemos un número deciml excto, puesto que el resto de l división es 000 cero. A l frcción dd se le denomin frcción deciml, y que el denomindor es un potenci de 0, en este cso es 0 ). 6, otenemos un número deciml excto, puesto que el resto de l división 0 es cero. ) no otenemos un número deciml excto puesto que el resto de l división no es cero, es un número periódico puro. )..... no otenemos un número deciml excto puesto que el resto de l 66 división no es cero, es un número periódico mixto. Todo número rcionl se puede escriir en form deciml. A veces, el resultdo es un deciml excto, como en los ejemplos ) y ), otrs veces producen un deciml periódico, como en los ejemplo ) y ). Anlizndo el denomindor de un frcción es posile determinr, que tipo de expresión deciml le corresponde, como veremos continución:

9 Si en un frcción irreducile, l descomposición del denomindor en fctores primos sólo tiene los números y/o, el número deciml correspondiente es excto. Pr hllr el número deciml convertimos l frcción dd en un frcción deciml equivlente. 6 Ejemplo: Si en un frcción irreducile el denomindor tiene lgún fctor distinto de y de, l expresión deciml correspondiente no es exct y será periódic pur. Ejemplo: 0., no existe un número nturl que multiplicdo por dé un potenci de 0, por lo tnto, su expresión deciml no es exct. Si en un frcción irreducile el denomindor contiene lguno de los fctores ó y otro distinto de éstos, se otendrá un expresión deciml periódic mixt. Ejemplo: 0. 6 Ddo culquier número deciml se puede encontrr l frcción correspondiente. Si el denomindor es deciml excto, es fácil. 6 Ejemplos Qued pr el lector, encontrr l regl pr el cso de los decimles exctos. Pr psr de un deciml periódico form de frcción, conviene oservr tentmente en los siguientes ejemplos el procedimiento: ) Escriir N. 0 en form de frcción N restndo : 000N Hemos otenido que N N 0 N 0 N 0 Regl : L frcción correspondiente un deciml periódico puro se otiene escriiendo, como numerdor, el número ddo sin l com menos l prte enter y, como denomindor, tntos como cifrs teng el período. ) Escriir N 0.00 Hemos otenido, en form de frcción, en form similr l cso nterior: 000 N N N 000 N N N Regl : L frcción correspondiente un deciml periódico mixto se otiene escriiendo, como numerdor, el número ddo sin l com menos l prte enter seguid de l prte no periódic y, como denomindor, tntos como cifrs teng el período seguid de tntos 0 como cifrs teng l prte no periódic.

10 Resumiendo: ) Todo número rcionl puede expresrse como número deciml excto o periódico. ) Los números decimles exctos y periódicos, pueden expresrse en form de frcción. EJERCICIO.- Sin hcer l división, decid que clse de expresión deciml corresponde ls frcciones: ; ; ; Escriir en form de frcción:. ;. ;.0.. Operciones con frcciones Sum Recordemos que l sum de vris frcciones con igul denomindor es l frcción con el mismo denomindor que quells y el numerdor es l sum de los numerdores. Ejemplos: 6 6 Si ls frcciones tienen distinto denomindor, se uscn frcciones equivlentes ls dds que tengn igul denomindor y después se sumn de l form indicd nteriormente. Ejemplo: En generl: c d c d d d Es conveniente usr como denomindor pr ls frcciones equivlentes, el mínimo común múltiplo. Oservndo el ejemplo nterior, vemos, que el denomindor común pr ls frcciones equivlentes es, que es el mínimo común múltiplo entre ; y. Ejemplo: Clculr: Descomponiendo los denomindores en fctores primos, otenemos: m.c.m. 6, 0, 0 Por lo tnto: Multiplicción Recordemos que el producto de vris frcciones es otr frcción que tiene como numerdor el producto de los numerdores y como denomindor el producto de los denomindores. 0

11 Ejemplo: En generl: c d c d División Pr dividir frcciones, es conveniente recordr: c Definición: Dos frcciones y, son recíprocs o inverss si su producto es igul, d c es decir:. d De l definición otenemos el siguiente resultdo: Un frcción tiene invers si y sólo si 0. L frcción invers de es l frcción. Pr dividir un frcción por otr, se multiplic l primer frcción por l invers de l segund. Ejemplos: ) : ) 6 6 : : En generl: c d d c.. Prtes de un todo Hy situciones en ls cules es necesrio clculr prtes o frcciones de cntiddes, como por ejemplo: prtes de cntiddes de dinero, de superficies de terrenos, porciones de sustncis, etc. Pr esos csos recordemos que: L frcción de un número culquier p se otiene multiplicndo por el número p, es decir: de p p Ejemplo : Supongmos que tenemos fichs y desemos usr ls Cuánts fichs usremos? Necesitmos clculr de, es decir, 6 prtes de ells. Usremos 6 fichs.

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