Los números racionales

Transcripción

1 UNIDAD Los números rionles Contenidos Conepto Ls friones y los números rionles Representión de friones Friones equivlentes Simplifiión de friones Ordenión de friones Sum y rest de friones Multipliión y división de friones Objetivos Identifir situiones de l vid otidin en ls que es neesrio utilizr friones. Relizr operiones on friones. Simplifir friones y enontrr friones equivlentes un dd. FOTO En est unidd estudiremos el onjunto de los números rionles, que surge de l neesidd de expresr numérimente ls ntiddes obtenids l reprtir un unidd en vris prtes igules. Veremos que los números rionles se pueden expresr en form de frión y que su onjunto inluye los números nturles, los enteros y los deimles puros y periódios. Tmbién veremos que hy friones que, un siendo diferentes, se refieren un mism ntidd, es deir, son equivlentes, y estudiremos los métodos pr obtener friones equivlentes prtir de un frión dd, sí omo l mner de simplifir friones. Aprenderemos her ls operiones básis on friones (sum, rest, multipliión y división) sin tener que lulr previmente el vlor numério, lgo que tiene un grn importni l hor de resolver problems.

2 ConCepto Sbemos que el resultdo de un división on números nturles no siempre es otro número nturl. Se ree que en este heho (on el que debieron toprse nuestros ntepsdos en más de un osión l relizr reprtiiones de herenis, territorios o mernís) está el origen del onepto de frión. Ls friones se onoen y se usn, desde l ntigüedd; se hn enontrdo doumentos que demuestrn que los bbilonios, los egipios y los griegos y ls utilizbn. En numeross insripiones egipis, y espeilmente en el ppiro de Ahmes, preen friones pr resolver problems reliondos on l medid de tierrs o on l onstruión de ls pirámides. L plbr frión pree por primer vez en el siglo xii en l trduión l ltín de l Aritméti de l-hwrizmi, donde se trdujo l plbr árbe l-ksr omo frtio ( romper ).» El ppiro de Ahmes, que fue esrito en el siglo xvi C, ontiene problems mtemátios, lgunos de los ules se resuelven medinte friones. Los proedimientos tules que rigen ls operiones on friones son más reientes. Tienen su origen en los estudios que hiieron los mtemátios indios de los siglos vi y vii dc. De estos estudios, que llegron Europ de l mno de los árbes, tuvieron onoimiento los grndes mtemátios europeos de los siglos xvi y xvii (gris ls trduiones de textos árbes y lásios llevds bo durnte el Renimiento), y los desrrollron y mpliron. LAs fracciones Y Los números racionales Un frión no es más que l representión de un prte de l unidd o de un todo. Tmbién se puede onsiderr omo l representión de un división. En ell distinguimos dos elementos, seprdos por un pequeño segmento horizontl: el numerdor y el denomindor. numerdor b denomindor El denomindor indi ls prtes igules en que hemos dividido l unidd, o un todo individulizdo. El numerdor indi ls prtes que tommos en onsiderión. Pr expresr en form de frión que hemos dividido un piez de tel en 0 prtes y hemos tomdo, esribimos 0. El numerdor de un frión debe ser siempre un número entero, y el denomindor, un número nturl (nun puede ser ero ni negtivo). Un frión se puede leer diiendo el número del numerdor, seguido de ls plbrs prtido por y el número del denomindor. Pero, menudo, tmbién se puede deir el número del numerdor, seguido por el del denomindor más el sufijo -vos. 0

3 Los números rionles Est segund form no se puede plir en todos los sos. Así, por ejemplo, si el denomindor es, hblmos de medios; si es, hblmos de terios; si es, hblmos de urtos, y si es 0, hblmos de déimos. s ino prtido por dos o ino medios dos prtido por seis o dos sextos tres prtido por ino o tres quintos tres prtido por utro o tres urtos oho prtido por diez u oho déimos 0 ino prtido por tres o ino terios Un frión represent un división en l que el numerdor es el dividendo y el denomindor, el divisor. Por tnto, pr hllr nlítimente el vlor numério de un frión, solo hy que dividir el numerdor entre el denomindor. Pr hllr el vlor numério de, hy que dividir entre : : 0,, 0, Q Z N 0, Se puede omprobr que el vlor numério de tod frión es un número nturl, entero, deiml puro o deiml periódio. Por onsiguiente, se define un nuevo onjunto numério, el onjunto de los números rionles ( ), omo el formdo por todos los números que pueden expresrse en form de frión.» El onjunto de los números rionles inluye los números nturles, los enteros, los deimles puros y los deimles periódios. ejercicios. Clsifi los siguientes números en nturles, enteros y rionles:,,,, 0,. Esribe en form frionri: ) tres otvos b) utro terios ) veinte urentiunvos d) nueve déimos e) ino medios f) dos terios g) seis onevos h) urent éntimos i) tree medios. Esribe ómo se leen ests friones: ) b) ) d) 0. Esribe l frión que represent d un de ls siguientes ntiddes: ) oho hors de trbjo por dí b) un trimestre on respeto un ño ) 0 g on respeto un kilogrmo d) 0 probdos en un lse de lumnos e) minutos on respeto un hor f) 0 éntimos de euro on respeto euro

4 representación de fracciones Pr representr gráfimente un frión, lo primero que debemos her es tomr un unidd y dividirl en tnts prtes omo indique el denomindor. Después, tn solo hy que sombrer tnts prtes omo indique el numerdor. Representmos l frión de diferentes forms: Si el numerdor es más pequeño que el denomindor, l frión es menor que l unidd. : 0,» Un frión es l representión mtemáti de un prte de l unidd o de un todo. Si el numerdor es igul l denomindor, l frión equivle l unidd. : Si el numerdor es myor que el denomindor, l frión es myor que l unidd. recuerda es un frión propi b si < b :, es un frión impropi si > b b. Ls friones en ls que el numerdor es más pequeño que el denomindor se llmn friones propis, mientrs que ls friones en ls que el numerdor es myor que el denomindor reiben el nombre de friones impropis.

5 Los números rionles Ls friones impropis tmbién se pueden expresr omo números mixtos. Se obtienen esribiendo el número que result del oiente entre el numerdor y el denomindor y, l ldo, un frión que tiene por numerdor el residuo y por denomindor el de l frión originl. oiente : residuo Con l luldor ientífi podemos relizr operiones on friones diretmente, sin neesidd de hllr friones equivlentes on denomindor omún. Pr introduir un frión en l luldor hy que pulsr l tel b. Así pues, pr esribir hy que pulsr b. En l luldor preerá. Pr lulr l frión de un ntidd, se divide por el denomindor, pr sber qué ntidd orresponde un prte de este todo, y se multipli por el numerdor. Pr lulr de, dividimos entre y multiplimos el resultdo por : : de ejercicios. Represent gráfimente ests friones:,,,,. Indi qué frión orresponde d un de ests representiones gráfis: ) ). Clsifi ls siguientes friones en propis e impropis:,,,, 0,. Esribe, en d so, el número mixto orrespondiente: ) d) b) e) ) f) b) d). Clul l ntidd que represent d expresión: ) de 0 ) de b) de 0 d) de 0

6 fracciones equivalentes recuerda Dos friones son equivlentes si podemos obtener un de ells multiplindo o dividiendo el numerdor y el denomindor de l otr por un mismo número. Ls friones y son equivlentes porque, si dividimos el numerdor y el denomindor de l primer por, obtenemos l : segund: : Dos friones son diferentes si sus numerdores o denomindores no oiniden. A vees, sin embrgo, hy friones diferentes que representn l mism ntidd: son ls llmds friones equivlentes. y son friones equivlentes porque tienen el mismo vlor numério: : 0, ; : 0, Pr hllr friones equivlentes de un frión dd, bst on multiplir, o dividir, el numerdor y el denomindor por el mismo número. En el primer so obtendremos friones equivlentes on términos más grndes, y en el segundo, on términos más pequeños. Entre friones equivlentes podemos poner el signo igul, y que representn l mism ntidd. Si multiplimos o dividimos el numerdor y el denomindor de l frión por el mismo número, por ejemplo, obtenemos friones equivlentes: : : Si dos friones son equivlentes, el produto del numerdor de l primer por el denomindor de l segund es igul l produto del denomindor de l primer por el numerdor de l segund. Es deir, el produto de los extremos es igul l produto de los medios. Ls friones y son equivlentes porque el produto de los extremos es igul l produto de los medios: ejercicios. Esribe, en d so, tres friones equivlentes myores que l dd: ) b) 0. Esribe, en d so, tres friones equivlentes menores que l dd: ) 0 b). Indi, en d so, si ls siguientes igulddes son ierts, es deir, si ls friones son equivlentes: ) b) 0. Indi, en d so, el vlor que debe tener l vrible pr que ls friones sen equivlentes: ) b) 0 b

7 Los números rionles simplificación de fracciones Simplifir un frión onsiste en enontrr un frión equivlente on términos más pequeños, de modo que l nuev frión se más fáil de interpretr. Llmmos frión irreduible quell on los términos más pequeños de tods ls friones equivlentes un dd. L frión irreduible se tom omo representnte de l lse formd por el onjunto de tods ests friones. Pr hllr l frión irreduible, hy que dividir suesivmente el numerdor y el denomindor de l frión iniil por el mismo número hst que no quede ningún número que los pued dividir l mismo tiempo. Ls friones equivlentes representn el mismo vlor. Por eso nos interes utilizr l más simple, esto es, l frión irreduible. : : : : Otr mner de hllr l frión irreduible es desomponer el numerdor y el denomindor en ftores primos y eliminr los que sen omunes mbos. / / / /» Dos urtos de hor son el mismo período de tiempo que medi hor, y que. ejercicios. Simplifi ls siguientes friones por el método de ls divisiones suesivs hst enontrr, en d so, l frión irreduible: ) 0 b) ) 0 d) 0 e). Simplifi ls siguientes friones por el método de desomposiión en ftores primos hst enontrr, en d so, l frión irreduible: ) 0 b) 0 ) 0 0 d) 0 e) 0

8 ordenación de fracciones Los números rionles, omo los números nturles y enteros, se pueden ordenr en orden reiente o dereiente. Pr herlo, se debe tener presente el signo; sí, los números rionles negtivos son siempre más pequeños que los positivos. A menudo, los números rionles se expresn en form de frión; en estos sos, un form de filitr su ordenión es esribirlos previmente omo números deimles. Un vez ordendos los números deimles, l ordenión de ls friones orrespondientes se he fáilmente. Los números frionrios tmbién se pueden ordenr diretmente, sin neesidd de esribirlos en form deiml, teniendo en uent los siguientes riterios: En un serie de friones on el mismo denomindor, es myor l que tiene myor numerdor. < < < < < En un serie de friones on el mismo numerdor, es myor l que tiene menor denomindor. < < < < < Ls friones negtivs son menores que ls friones positivs. s < ; < ; < ; < En el so de friones on numerdores y denomindores diferentes, hy que enontrr friones equivlentes on denomindor omún y omprrls. Un vez ordends, l ordenión de ls friones originris result trivil. recuerda Pr ordenr friones on denomindores diferentes, hy que enontrr ls friones equivlentes on denomindor omún y omprr sus numerdores. Pr ordenr de menor myor ls friones, i. Clulmos el m.. m. de los denomindores: m.. m. (,, ) 0. Busmos ls respetivs friones equivlentes on este denomindor: Ordenmos ls friones: 0 < 0 0 < 0 < <

9 Los números rionles Otr mner de ordenr los números rionles onsiste en representrlos gráfimente sobre l ret numéri. Pr ello, hy que tener en uent que l dereh del ero se sitún ls friones positivs y l izquierd, ls negtivs. Tmbién hy que onsiderr qué friones son myores que l unidd y uáles son menores. Si queremos situr un frión, debemos dividir l unidd en tnts prtes igules omo indi el denomindor y olor l frión en l división de l unidd que indi el numerdor. Si l frión es propi, sobre l ret estrá entre el 0 y el si es positiv, y entre el 0 y el si es negtiv. Si l frión es impropi (por tnto, myor que l unidd), no se deben her divisiones prtir del ero; es más onveniente enontrr uánts uniddes enters ontiene el número frionrio y her ls divisiones prtir de este. Pr olor orretmente los números frionrios sobre l ret numéri, hy que dejr un espio lo bstnte mplio entre dos uniddes onseutivs; de este modo se pueden mrr, sin onfusión, ls divisiones que sen neesris.» Augustus De Morgn (0 ) fue un mtemátio británio nido en l Indi onoido por sus importntes ontribuiones l lógi proposiionl. Esribió grn prte de los rtíulos de l Enilopedi Penny, dedid difundir el onoimiento mtemátio. En uno de sus libros presentó pr ls friones el símbolo mtemátio /. Situmos ls friones,,,, sobre l ret numéri: recuerda Pr situr un frión en l ret numéri, hy que dividir l unidd en tnts prtes omo indique el denomindor y olor l frión en l división de l unidd que indique el numerdor. ejercicios. Orden de myor menor ls siguientes friones:,,,,,. Orden de myor menor ls siguientes friones:, 0,,,,. Orden de myor menor ls siguientes friones: 0,,,, 0,. Sitú sobre l ret numéri ls siguientes friones:,,,,,

10 suma Y resta de fracciones De l mism mner que no podemos sumr o restr números que representen mgnitudes diferentes, tmpoo podemos sumr friones que no tengn el mismo denomindor, y que representn distints poriones de l unidd. + Por onsiguiente, pr sumr o restr friones, es neesrio que los denomindores sen igules. Entones se sumn o se restn los numerdores y se dej el mismo denomindor. + + recuerda Solo se pueden sumr friones on denomindores igules. Si dos friones tienen denomindores diferentes, hy que busr ls friones equivlentes on el denomindor omún. En l myorí de los sos, sin embrgo, ls friones que se deben sumr tienen denomindores diferentes. Será neesrio, entones, hllr ls friones equivlentes on denomindor omún. Después se sumn o restn los numerdores y se dej el mismo denomindor. Pr obtener friones equivlentes on el mismo denomindor hy que seguir estos psos: Hllr el m.. m. de los denomindores, que será el denomindor omún. Dividir el denomindor omún por el denomindor de d frión y multiplir el resultdo por el numerdor orrespondiente. Este produto será el numerdor de l nuev frión. + +

11 Los números rionles Pr sumr +, lulmos el m.. m. de los denomindores: m.. m. (,, ) 0 Busmos friones equivlentes que tengn omo denomindor el m.. m. que hemos hlldo: : 0 : : 0 Por tnto: Si lguno de los sumndos es un número entero, se onsider omo un frión de denomindor y se siguen los mismos psos que bmos de ver ejercicios. Reliz ls siguientes operiones: ) + b) ) d). Clul ls siguientes operiones: ) + 0 b) ) + d). Efetú ls siguientes operiones: ) + b) + 0 ) + + d) +. Ayer destiné del dí un trbjo, hoy he oupdo y mñn todví dediré prtes más. Cuánts hors me hbrá llevdo her el trbjo?. Cuánto es un terio de dos quintos de iento inuent?

12 recuerda Como en ulquier operión, en l multipliión de friones se debe simplifir el resultdo siempre que se pued. MULtipLiCACión Y división de fracciones Multipliión Pr multiplir friones no es neesrio que los denomindores sen igules, omo ourre en el so de ls sums y ls rests. Bst on multiplir los numerdores, por un ldo, y los denomindores, por otro. El primer produto será el numerdor de l nuev frión, y el segundo, el denomindor. Como en ulquier operión, se debe simplifir el resultdo siempre que se pued. 0 simplifimos l frión Antes de multiplir los numerdores y los denomindores es onveniente desomponerlos en ftores primos pr eliminr los que sen omunes. Esto filit los álulos. En osiones, no es neesrio desomponer el numerdor y el denomindor en ftores primos y que el numerdor de un frión se nul on el denomindor de otr. En ulquier so, siempre onviene simplifir el resultdo obtenido. / / / / / Friones inverss Cundo el produto de dos friones d omo resultdo el elemento neutro, deimos que ls friones son inverss l un de l otr. El inverso de un número es el resultdo de dividir por este número, y l frión invers de un frión dd es el resultdo de intermbir el numerdor y el denomindor. s L frión invers de es, porque L frión invers de es, porque L frión invers de es, porque 0

13 Los números rionles División de friones Reordemos que l división es l operión invers de l multipliión. Según esto, pr dividir dos friones hy que multiplir el dividendo (l primer frión) por l frión invers del divisor (l segund frión), y simplifir el resultdo undo se posible. : / / / / simplifimos l frión El método de l multipliión en ruz sirve pr dividir tres o más friones. En este so debemos plir l definiión de división explid iniilmente: se multipli l primer frión por l invers de ls friones suesivs. recuerda El método trdiionl pr dividir dos friones es l multipliión en ruz: d : b d b Aplimos l definiión: : : //// / / / /// Multiplimos en ruz: : : ejercicios. Reliz ls siguientes multipliiones y simplifi el resultdo: ) b) 0. Desompón los numerdores y los denomindores en ftores primos, y simplifi ntes de multiplir: ) b) 0. Clul ls siguientes operiones: ) + b) +. Enuentr el inverso de los siguientes números: ) b) ) d). Reliz ls siguientes divisiones: ) : b) : ) : d) :. Efetú ls siguientes operiones: ) : b) : : ) : : : d) : : e) : : 0 f) : g) : h) i) : : : j) : 0 :

14 Los números rionles Ejeriios y problems ejercicios Complet ls siguientes frses: Un... es l expresión de un división. b Un frión tiene dos elementos rterístios: el y el... El... indi ls prtes en que se divide l unidd. d En un frión impropi, el numerdor es que el denomindor. e Los números... omprenden, demás de ls friones y los números..., los números nturles y los números enteros. Qué frión del ño son meses? Y un utrimestre? Y 0 dís? Esribe, en d so, l frión de hor orrespondiente: minuto b minutos medi hor d 0 segundos e minutos f 0 segundos Represent gráfimente ls siguientes friones:,,,, Colo en orden reiente ests friones:,,,,,, Represent sobre l ret numéri ls siguientes friones: Clsifi ests friones:,,,,,, 0,,, 0,, 0 0,,, menores que l unidd b myores que l unidd igules l unidd Esribe en form de número mixto ls friones del ejeriio nterior que sen myores que l unidd. Enuentr, en d so, el vlor numério: de b de de 0 d de 00 0 Indi uáles de ests friones son irreduibles:,, 0,,,, Esribe, en d so, tres friones equivlentes: b d Simplifi hst llegr l frión irreduible: b 0 0 d 00 Di uáles de ests prejs de friones son equivlentes: b d y y y 0 0 y e y

15 Enuentr el término que flt: b 0 b 0 d d d Clul ls sums siguientes: + b + + d + + Efetú ls siguientes rests: b d Reliz ests multipliiones: b : d : : e f : : : : Reliz ls siguientes operiones: + b 0 : 0 : d + e : : + + problemas 0 Si ls prtes de los 0 prtiipntes de un urso son hombres, uánts mujeres hy? En un lse de 0 lumnos h fltdo prte. Cuántos lumnos hn sistido lse? Me he gstdo l mitd de lo que tení en un trje; luego, en el merdo, he gstdo l mitd de lo que me quedb. Qué frión de lo que tení me he gstdo en totl? d 0 Si tengo 0 y me gsto 0, qué prte del dinero me qued? Resuelve ests divisiones: : b : Cuánto es un terio de dos quintos de novent? En un fiest populr se presentó un queso que pesb 00 kg y se omieron ls prtes. Cuánto pesb el trozo que quedó por omer?

16 Los números rionles Ejeriios y problems Un orredor de fondo reorre del mino en l primer hor, del mino en l segund y el resto en l terer. Cuándo h mindo más? Ayer prtiipé en un rrer orgnizd por el Ayuntmiento. El reorrido er de km, y l mediodí y hbí heho prtes. Cuántos kilómetros me fltbn pr llegr l met? En l vendimi de 0 se prevé osehr tonelds de uv. Est ntidd es prte inferior l que se reoletó el ño nterior. Cuánts tonelds se osehron en 0? Un person trbj hors diris y duerme prtes del dí. Si oup prte del dí entre desplzmientos y enrgos y prtes yudndo sus hijos on los deberes, uánts hors le quedn libres? AutOEvAluACióN Qué frión expres l pidd de un vso de 00 ml on respeto un litro? L frión b es: más pequeñ que l unidd b igul l unidd myor que l unidd L frión irreduible de 0 0 es: de es: b b Un frión equivlente de es: b 00 0 El resultdo de es: b El resultdo de : es: b El resultdo de : es: b 0 Cuántos hbitntes tiene un poblión si hy.00 menores y suponen del totl?.00 b Un fmili que tiene unos ingresos mensules de.00 invierte ls utro déims prtes en omid, un doevo en rop, un déimo en oio y un urto en otros gstos. Cuánto horr l bo del ño?.000 b.00 00