CONVOCATORIA 2016 GUÍA DE ESTUDIO PARA PRUEBA DE ADMISIÓN DE MATEMÁTICAS

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1 CONVOCATORIA 2016 GUÍA DE ESTUDIO PARA PRUEBA DE ADMISIÓN DE MATEMÁTICAS

2 Guía de Estudio para examen de Admisión de Matemáticas CONTENIDO PRESENTACIÓN... 3 I. ARITMÉTICA OPERACIONES CON FRACCIONES... 4 Regla 1. Suma y resta de fracciones con igual denominador... 4 Regla 2. Suma y resta de fracciones con distinto denominador Regla 3. Multiplicación y división de fracciones RAZONES Y PROPORCIONES... 7 Razón... 7 Proporción... 8 Regla de Tres NOTACIÓN CIENTÍFICA II. ÁLGEBRA EXPRESIÓN ALGEBRAICA Clasificación de expresiones algebraicas Reducción de Términos Semejantes: Son semejantes cuando tienen el mismo literal Valor numérico de una expresión algebraica OPERACIONES FUNDAMENTALES CON EXPRESIONES ALGEBRAICAS Suma de términos algebraicos Resta de términos algebraicos Multiplicación de términos algebraicos División de términos algebraicos POTENCIACIÓN PRODUCTOS NOTABLES FACTORIZACIÓN Factor común monomio Factor común polinomio Es el polinomio que aparece en cada término de la expresión algebraica Factorización de un trinomio de la forma x2 + bx + c Factorización de un trinomio de la forma ax 2 + bx + c Factorización de la diferencia de dos cuadrados: a 2 - b Factorización de un trinomio cuadrado perfecto: x 2 + bx + c

3 6.- OPERACIONES CON FRACCIONES ALGEBRAICAS Suma con fracciones algebraicas Para sumar fracciones algebraicas se siguen los siguientes pasos Resta con fracciones algebraicas Multiplicación con fracciones algebraicas División con fracciones algebraicas ECUACIONES LINEALES Y CUADRÁTICAS CON UNA VARIABLE Ecuación Ecuaciones lineales Ecuaciones cuadráticas o de segundo grado SISTEMAS DE ECUACIONES Sistema de tres ecuaciones de primer grado con tres incógnitas REFERENCIA BIBLIOGRÁFICA

4 PRESENTACIÓN Jóvenes postulantes, en la presente guía encontrarás los contenidos que se evaluarán en la prueba de admisión de Matemáticas. Esta se ha elaborado para que puedan prepararse mejor y logren su meta de ingresar a Fundación Victoria y al Instituto Tecnológico Victoria, a estudiar una de las diferentes carreras que ofrecen. La guía de estudio contiene tres temas de aritmética y ocho de algebra, cada uno con los conceptos elementales, ejemplos y ejercicios para guiarte en el repaso de los principales contenidos estudiados en la secundaria. De igual manera, se presenta bibliografía para que logres ampliar el estudio de los temas propuestos en esta guía y alcances el éxito en la prueba. Recuerden que las matemáticas requieren de mucha práctica y repaso y esta herramienta les permitirá hacerlo. 3

5 I. ARITMÉTICA 1. OPERACIONES CON FRACCIONES Número fraccionario o fracción es el que expresa una o varias partes iguales de la unidad principal. Consta de dos términos llamados numerador y denominador. El denominador indica en cuántas partes iguales, se ha dividido la unidad principal, y el numerador, cuántas de esas partes se toman. Así en la fracción dos tercios, 2 3 el denominador 3 indica que la unidad se ha dividido en tres partes iguales, y el numerador 2 muestra que se han tomado dos de esas partes iguales. Para efectuar operaciones con fracciones, o con números enteros y fracciones, no podemos actuar como cuando todos los números que intervienen son enteros. Para esto debemos tener en cuenta a los denominadores y seguir las siguientes reglas: Regla 1. Suma y resta de fracciones con igual denominador En este caso, se suman o restan los numeradores y se deja el mismo denominador. Suma = 3+5 = Resta = = 5 8 Regla 2. Suma y resta de fracciones con distinto denominador. En este caso, primero hemos de reducir a común denominador, y después sumar o restar las fracciones. TOME EN CUENTA QUE Para reducir dos fracciones a común de nominador, el método más utilizado es el del mínimo común múltiplo. 4

6 Por el método del mínimo común múltiplo, seguimos estos dos pasos: Primer paso Se halla el mínimo común múltiplo (m.c.m.) de los denominadores, que es el menor de sus múltiplos comunes; en nuestro caso: 5 7 y x 3 = Segundo Paso Se divide ese mínimo común múltiplo entre cada denominador y el cociente se multiplica por cada numerador 21 7 = 3 5 x 3 = = : 3 = 7 2 x 7 = = Tercer Paso Una vez que las dos fracciones tienen el mismo denominador, podemos sumarlas o restarlas: = = = Regla 3. Multiplicación y división de fracciones El producto de dos o más fracciones es otra fracción, que tiene como numerador el producto de los numeradores y como denominador el producto de los denominadores. TOME EN CUENTA QUE En este tipo de operación si se puede, debe simplificarse en el planteamiento y el resultado final. 5

7 a) 1 x 5 = 1 x 5 = x 6 18 b) 4 9 x 2 3 x 1 5 = 4 x 2 x 1 9 x 3 x 5 = El cociente de dos fracciones es otra fracción que se obtiene multiplicando en cruz los términos de las dos fracciones. a) = 1 x 7 2 x 4 = 7 8 b) x 5 = 9 x 3 = Resuelve las siguientes sumas y restas combinadas de fracciones 1) ; 4) ) ; ) ) ) 2 3 x 3 2 7) 7 8 x ) 3 4 x 4 5 x 5 6 9) 2 3 x 6 5 x 10 9 x ) ) ) ( )( ) ( )( ) RECUERDA Te hemos presentado tres reglas simples para resolver operaciones con fracciones. 6

8 2. RAZONES Y PROPORCIONES Razón Razón, es el resultado de comparar dos cantidades. Esta comparación puede ser: a) Razón aritmética Si la comparación es cuantas veces excede una a la otra, o la diferencia indicada entre ambas, se pueden escribir de dos formas: separando las dos cantidades con el signo -, o con un punto (.) a b o a. b La razón Aritmética de 30 y 6 se determina así 30-6 = 24 b) Razón geométrica De dos cantidades es el cociente de dichas cantidades es decir cuántas veces contiene una a la otra, se pueden escribir de dos modos en forma de fracción o separadas las dos cantidades por el signo de división. a b a b La razón Geométrica de 30 y 6 se determina así 30 6 = 5 7

9 Determine la razón aritmética y geométrica de los siguientes números 1) 30 y 15 2) 66 y 22 3) 16 y 2 4) 40 y 5 Proporción Es la comparación entre dos razones y puede ser: a) Proporción aritmética Es la igualdad entre dos razones aritméticas y se escribe: a - b = c - d A los términos a y d se les llama extremos y a los términos b y c se les llama medios. En las proporciones aritméticas se cumplen las siguientes propiedades: 1. Un extremo es igual a la suma de los medios menos el otro extremo 12-6 = = y 2 = Encuentre el término desconocido: 10-4 = 9 - x x = x = 3 2. Un medio es igual a la suma de los extremos menos el otro medio 12-6 = = y 8 =

10 Encuentre el término desconocido: 10 - x = 9-3 x = x = 4 Hallar el término desconocido en: 1) = 25 - x 2) 20 - x = ) 11-5 = x ) x - 75 = b) Proporción Geométrica Es la igualdad entre dos razones Geométricas y se escribe: a b = c d Propiedad fundamental de las proporciones Geométricas: En las proporciones geométricas el producto de los extremos es igual al producto de los medios es decir: En la proporción 2 3 = 8 12 Tenemos que 2 x 12 = 3 x 8 o sea 24 = 24. De esto se deriva. a) En toda proporción geométrica un extremo es igual al producto de los medios dividido por el otro extremo 2 = x 8 Entonces 2 = = 24 3 x 8 = 2 12 = = 24 =

11 Encuentre el término desconocido x = x = 5 x 8 10 = = 4 7 = 28 3 x x = 3 x 28 7 = 84 7 = 12 b) En toda proporción geométrica un medio es igual al producto de los extremos dividido por el otro medio 2 = x 12 Entonces 3 = = x 12 = 3 8 = 3 = 24 3 = 8 Hallar el término desconocido en: 1) 5 6 = 20 x 3) 1 x = ) 9 10 = x 20 4) x 8 = RECUERDA La proporción Geométrica se utiliza en la solución de problemas de la regla de tres. 10

12 Regla de Tres La regla de tres es un instrumento muy sencillo y útil al mismo tiempo. Consiste en una sencilla operación que nos va a permitir encontrar el cuarto término de una proporción, de la que sólo conocemos tres términos. Además, la regla de tres nos va a permitir operar al mismo tiempo con elementos tan distintos como horas, kilómetros, número de trabajadores o dinero invertido. Puede ser simple si está formada por dos magnitudes y compuesta si tiene más de dos magnitudes, a su vez la regla de tres simple puede ser directa o inversa. Regla de tres Simple Directa Es cuando si una magnitud aumenta la otra también aumenta y si una disminuye la otra también disminuye. Si 4 artículos cuestan C$ 25 cuánto costarán 40 artículos. a b Supuesto 4 artículos C$ 25 Pregunta 40 artículos x. c d Magnitud Los dos Los dos aumentan disminuyen Artículos Mayor cantidad Menor Cantidad Córdobas Mas Córdobas Menos Córdobas Es Directa porque las magnitudes artículos y Córdobas aumentan y disminuyen proporcionalmente y se resuelve multiplicando: Aplicamos lo aprendido en proporciones geométricas x = c x b a 40 x 25 = x = =

13 Resuelve los siguientes problemas: 1. Una torre de 8 mts de altura, proyecta una sombra de 2.5 mts de longitud. 2. Un vehículo recorre 180 Km. con 4 galones de combustible cuántos kilómetros recorrerá a la misma velocidad y en iguales circunstancias con 16 galones. 3. De un grifo de agua fluyen 75 galones en 80 minutos Cuántos galones fluirán en 2 horas? a) Regla de tres Simple Inversa Son inversamente proporcionales si una de las magnitudes aumenta y la otra como consecuencia disminuye. Entonces se dice que es regla de tres simple Inversa. Doce personas hacen una obra en 10 días. Cuántos hombres realizarán la misma obra en 22 días? Magnitud Uno + y el otro - Uno - y el otro + Días Mas días Menos días Personas Menos personas Más personas a b Supuesto 10 días 12 personas Pregunta 22 días x c d Es Inversa porque cuando la magnitud personas aumenta la magnitud días disminuye y viceversa, en este caso se resuelve multiplicando. x = a x b c = x = 10 x =

14 Resuelve los siguientes problemas: 1. Diez personas tienen comida para 20 días, cuántos días le durará la comida si llegan diez personas de visita. 2. Cuatro personas realizan seis metros de una obra, cuántas personas realizarán 50 metros de la misma obra en el mismo tiempo. 3. Una familia tiene víveres para 60 días a 3 raciones diarias Cuánto le durará la misma cantidad de comida a 2 raciones diarias? b) Tanto por ciento Se llama tanto por ciento de un número a una o varias de las cien partes iguales en que se puede dividir dicho número. El signo de tanto por ciento es %. Es decir que el 8% de 250 es 20 que indica que 200 se dividió en cien partes iguales y de ellas se tomó 8 partes. El tanto por ciento es importante por el valor expresable que tienen sus datos Para calcular el tanto por ciento aplicamos la regla de tres: Calcule el 45% de % % x. x = 45 x =

15 Calcule 1. El 55% de El 12% de El 5% de El 75% de 1, El 80% de El 22% de 2, El 90% de 10,450 a. Cálculo de un número cuando se conoce un tanto por ciento de él. De qué número es 50 el 80% 80% % x. x = 100 x = 62.5 Calcule 1. De qué número es 45 el 70% 2. De qué número es 125 el 30% 3.- De que número es 500 el 15% 4.- De que número es 1,300 el 54% 14

16 b. Calculo de qué tanto por ciento es un número de otro: Qué tanto por ciento es 160 de 500. Establecemos 500 es el 100%, entonces Supuesto % Pregunta 160 x. x = 160 x = 32% Qué tanto porciento 1. Es 15 de Es 900 de 5, Es 75 de Es 154 de Es 1,322 de 8,751 Qué tanto porciento 1. De 200 es De 80 es De 1,500 es De 3,824 es De 11,850 es 1,930 RECUERDA La Magnitud es un parámetro de comparación. 15

17 3. NOTACIÓN CIENTÍFICA En matemáticas y ciencias, a menudo se suelen manejar números muy grandes o muy pequeños. Una forma de evitar manejar demasiados dígitos (normalmente tendríamos problemas con las calculadoras para introducirlos) es utilizar la notación científica. Todo número en notación científica siempre viene expresado de la misma forma. Una parte entera que consta de un número distinto de cero, seguido de una coma y de cifras decimales, multiplicado todo ello por una potencia de diez, con exponente positivo o negativo. Las aplicaciones más comunes de la notación científica son las siguientes: a) Pasar un número muy grande a notación científica Primer paso Se pone como parte entera el primer dígito de la izquierda. Seguidamente se pone una coma y varias cifras decimales (dos o tres) con los siguientes dígitos. Segundo paso Como exponente de la potencia de 10 se pone el número de cifras no decimales que tiene el número menos una (la primera). Es decir, cuántos lugares hemos movido la coma decimal hacia la izquierda. Es un exponente positivo. Poner en notación científica el número Primer paso Parte entera: 3,897 Segundo paso Exponente de la potencia de diez: +15 (hay 16 dígitos no decimales, menos uno da quince) El número en notación científica sería = 3,897x

18 Convierta a notación científica los siguientes números: b) Pasar un número muy pequeño a notación científica Primer paso Se pone como parte entera el primer dígito distinto de cero de la izquierda. Seguidamente se pone una coma y varias cifras decimales (dos o tres) con los siguientes dígitos. Segundo paso Como exponente de la potencia de 10 se pone el número de cifras decimales que tiene el número hasta la primera que sea distinta de cero (incluida). Es decir, cuántos lugares hemos movido la coma decimal hacia la derecha. Es un exponente negativo. Poner en notación científica el número 0, Primer paso Parte entera: 3,897 Segundo paso Exponente de la potencia de diez: -12 (hay 12 dígitos decimales, incluyendo el 3) El número en notación científica sería = 3,897x

19 Convierta a notación científica los siguientes números: 1. 0, , , RECUERDA La notación científica agiliza los procedimientos matemáticos. 18

20 II. ÁLGEBRA 1. EXPRESIÓN ALGEBRAICA Es la representación de un símbolo algebraico o de una o más operaciones algebraicas. 2x, 4(x + y), 5a + 3b + 4. Término: Es una expresión algebraica que consta de un solo símbolo o de varios símbolos no separados entre sí por el signo + o -. : 3x, -8a, 9ab Elementos de un término algebraico: Clasificación de expresiones algebraicas Monomio Un solo termino 2x 3 Polinomios Más de un término 4a + b - 3c Reducción de Términos Semejantes: Son semejantes cuando tienen el mismo literal a. Reducción de dos o más términos semejantes del mismo signo Se suman los coeficientes, poniendo delante de esta suma el mismo signo que tienen todos y a continuación se escribe la parte literal. 8x + 5x = 13x 19

21 Reduzcan los siguientes términos 1) 5x + 12x + 17x + 9x 2) 15mn 4mn - mn 7mn - 2mn 3) 4a 3 b - 8 a 3 b - 25 a 3 b - 11a 3 b - 3 a 3 b 4) - 1/2 xy 6-2 xy 6-1/4 xy 6 b. Reducción de dos términos semejantes de distintos signos Se restan los coeficientes, poniendo delante de esta diferencia el signo del mayor a continuación se escribe la parte literal 2x 2 y 2 7x 2 y 2 + 8x 2 y 2-5x 2 y 2 = - 2x 2 y 2 Reduzca los siguientes términos 1) 8b 13b 2) 21z + 3z 3) 6a + 4a 2a 4) 3x 7x + 5x Valor numérico de una expresión algebraica Es el resultado que se obtiene al sustituir las variables por valores numéricos dados y efectuar después las operaciones indicadas. 20

22 Valor numérico de expresiones simples Hallar el valor numérico de 3m 2 n 2 p 3 con valores m = 3, n = 2, p = 3 2m 3 n 2 3 m 2 n 2 p 3 = 3 x (3) 2 x (2) 2 x (3) 3 = 3 x 9 x 4 x 9 = 2,916 = 2 m 3 n 2 2 x (3) 3 x (2) 2 2 x 9 x Hallar el valor numérico de las siguientes expresiones para a = 2, b = 1, c = 4, x = 2, y = 3, z = ½ 1) 4 abc 3 2) 2 x 3 y 2 3) 5 x 3 y 2 z 4 2 xyz 2 4) x 6 y 4 z x y 3 z 2 Valor numérico de expresiones complejas Hallar el valor numérico de 2ab + ab 3abc con los valores a = 2, b = 4, c = 1 Valor numérico = 2(2)(4) + (2)(4) 3(2)(4)(1) = = 0 21

23 Hallar el valor numérico de las siguientes expresiones para m = 1, n = 3, p = 2, x = ½, y = 4, z = 2 1) mnp 2 m 3 n 2 p + m 2 np 3 2) 2x 3 y 2 z 3x 2 yz + 4xy 2 z 3 + xyz 3) 2xy + 4y 3 z 2 5x 3 z 2 4) 3m 2 n 3 p 4 + 2mn 2 p 3-5m 3 n 2 p + mnp 5) ½ m 2 n 2 p + ¼ mnp 2m 3 n 2 p + 3mnp 4mn 4 p 3 22

24 2. OPERACIONES FUNDAMENTALES CON EXPRESIONES ALGEBRAICAS Suma de términos algebraicos Es una operación que tiene por objeto reunir dos o más expresiones algebraicas (sumandos) en una sola expresión algebraica (suma). Para sumar polinomios se colocan los polinomios uno debajo de los otros de modo que los términos semejantes queden en columna; se hace la reducción de éstos, separándolos uno de otros con sus propios signos. a) Sumar: (5m 4-4m 2 + 7m + 8) + (- 5m 3 + 6m 2-8m) + (m 4-8m 3-9m 2-3) + (2m 3-5m) 5m 4-4m 2 + 7m + 8-5m 3 + 6m 2-8m m 4-8m 3-9m m 3 + 5m. 6m 4-11m 3-7m 2 + 4m + 5 b) Sumar: (2a - 7b + 9d) +(- 4a - 3b - 10c + 5d) + (6a - 8c + 13d) - (- 5a + b + 3c + 4d) Sumar 2a - 7b + 9d - 4a - 3b -10c + 5d 6a - 8c + 13d - 5a + b + 3c + 4d - a - 9b -15c +31d 1) (3a + a 2 ) + (4a 3 + 5a 2 + 7a) + (5a - a 2 + 3a 3 ) 2) (4x 2 - x + 2x 3 + 5) + (- x 4 + 3x 3 +11x 2 + 6x - 3) + (7x 3 + 4x 2-2x + 5) 3) (12 m 3 + 2m 4-5m) + (8m 4-3m m 2-4m) + (19m 4-5m) 23

25 4) (xy + x 2 ) + (-7y 2 + 4xy - y 2 ) + (5y 2 - x 2 + 6xy) + (- 6x 2-4xy + y 2 ) 5) (-8a 2 m + 6am 2 - m 3 ) + (a 3-5am 2 + m 3 ) + (4a 3 + 4a 2 m - 3am 2 ) + (7a 2 m - 4am 2-6) Resta de términos algebraicos Es una operación que tiene por objeto dada una suma de dos sumandos, uno de ellos llamado minuendo y el otro sustraendo hallar la el tercer término que sería la diferencia. Para restar polinomios hay que restar del minuendo cada uno de los términos del sustraendo, así que a continuación del minuendo, escribiremos el sustraendo cambiándole el signo a todos sus términos. a) De (3x + 4y 5z) Restar (x 2y + 4z) 3x + 4y 5z 3x + 4y - 5z - ( x 2y + 4z) - x + 2y - 4z 2x + 6y - 9z b) De (8a 4 b 2 + a 6-4a 2 b 4 + 6ab 5 ) Restar (- 4a 5 b - ab 5 + 6a 3 b 3 - a 2 b 4-3b 4 ) a 6 + 8a 4 b 2-4a 2 b 4 + 6ab 5 + 4a 5 b - 6a 3 b 3 + a 2 b 4 + ab 5 + 3b 4 a 6 + 4a 5 b + 8a 4 b 2-6a 3 b 3-3a 2 b 4 + 7ab 5 + 3b 4 1) De (5m 3-9n 3 + 6m 2 n - 8mn 2 ) Restar (14mn 2-21m 2 n + 5m 3-18) 2) De (4x 2 - x + 2x 3 + 5) Restar (7x 3 + 4x 2-2x + 5) 3) De (12 m 3 + 2m 4-5m) Restar (8m 4-3m m 2-4m) 4) De (-7y 2 + 4xy - y 2 ) Restar (5y 2 - x 2 + 6xy) 5) De (-8a 2 m + 6am 2 - m 3 ) Restar (7a 2 m - 4am 2-6) 24

26 Multiplicación de términos algebraicos Es una operación que tiene por objeto dadas dos cantidades llamadas multiplicando y multiplicador, hallar una tercera cantidad llamada producto, que sea respecto del multiplicando, en valor absoluto y signo, lo que el multiplicador es respecto de la unidad positiva. Para realizar multiplicación de términos algebraicos se deben tomar en cuenta las siguientes leyes: a) Ley de los signos: Signos iguales dan más y signos diferentes dan menos b) Ley de los exponentes: Para multiplicar potencias de la misma base se escribe la misma base y se le pone por exponente la suma de los exponentes de los factores Casos de la Multiplicación de polinomios a) Multiplicación de monomios Se multiplican los coeficientes y a continuación de este producto se escriben las letras de los factores en orden alfabético, poniéndole a cada letra un exponente igual a la suma de los exponentes que tenga en los factores. 4x 2 y por 2xy 3 (4 por 2 = 8) (x 2 por x = x 2+1 = x 3 ) (y por y 3 = y 1+3 = y 4 ) = 8x 3 y 4 Multiplicar 1) a 2 b 3 c por a 4 b 3 c 5 2) -4a 2 b por - a 2 b 3) m 3 n 4 por m 2 n 5 p 4) x 5 y 2 z por x 4 y 3 z 2 25

27 5) xyz por x 3 y 2 z 8 b) Multiplicación de polinomios por monomios Se multiplica el monomio por cada uno de los términos del polinomio teniendo en cuenta en cada caso la regla de los signos, y se separan los productos parciales con sus propios signos. Multiplicar 5m 3 + m 2-4m por - 3m 5m 3 + m 2-4m - 3m. - 15m 4-3m m 2 Multiplicar 1) x 2-4x + 3 por - 2x 2) 3ab + 2a 2 b 3 - b por 4ab 3) 5mn 2-2mn + n 3 por 3mn c) Multiplicación de dos polinomios: Se multiplican todos los términos del multiplicando por cada uno de los términos del multiplicador, teniendo en cuenta la ley de los signos y se reducen los términos semejantes. Multiplicar: 4x - 3y por - 2y + 5x 4x - 3y 5x - 2y 20x 2-15xy + 8xy + 6y 2 20x 2-7xy + 6y 2 26

28 1) a 2 + b 2 + 2ab por a + b 2) x 2-2x + 5 por x 3 + 2x 3) 3m 3 - m mn por m 2 - mn 2 División de términos algebraicos Es una operación que tiene por objeto dado el producto de dos factores (dividendo) y uno de los factores (divisor) hallar el otro factor (Cociente). a) División de monomios Se divide el coeficiente del dividendo entre el coeficiente del divisor y a continuación se escriben en orden alfabético las letras, poniéndole a las letras un exponente igual a la diferencia entre el exponente que tiene en el dividendo y el exponente que tiene en el divisor. El signo lo da la ley de los signos. Dividir 6x 3 y 2 entre 3xy = 6x 3 y 2 = - 2x 2 y - 3xy Dividir 1) 16a 3 b 2 entre 4ab 2) 81m 4 n 3 entre 9m 2 n 3) - 8x 5 y 3 entre - 2x 3 y 2 27

29 b) División de polinomios por monomios Se divide cada uno de los términos del polinomio por el monomio separando los cocientes parciales con sus propios signos Dividir 2x 3-4x 2 y + 6xy 2 entre 2x 2x 3-4x 2 y + 6xy 2 = 2x 3-4x 2 y + 6xy 2 = x 2-2xy + 3xy 2 2x 2x 2x 2x Dividir 1) 3m 2 n 3-5m 2 n 4 entre 3m 2 2) 16x 9 y 2-20x 7 y 4-40x 5 y x 3 y 8 entre 4x 2 3) 4a 8-10a 6-5a 4 entre a 4) 2m 3-8x 2 + 2x entre 2x 5) 12x 8 y 8-6x 6 y 6-2x 2 y 3 entre 6x 2 y 3 c) División de polinomios por polinomios Se ordena el dividendo y el divisor en relación a una sola letra. Se divide el primer término del dividendo entre el primero del divisor y tendremos el primer término del cociente. Este primer término del cociente se multiplica por todo el divisor y el producto se resta del dividendo, para lo cual se le cambia el signo, escribiendo cada término debajo de su semejante. Se divide el primer término del resto entre el primer término del divisor y tendremos el segundo término del cociente. Este segundo término del cociente se multiplica por todo el divisor y el producto se resta del dividendo, cambiando los signos. Se divide el primer término del segundo resto entre el primero del divisor y se efectúan los operaciones anteriores y así sucesivamente hasta que el residuo sea cero. 28

30 a) Dividir 12x 2-22xy + 10y 2 entre x - y 12x 2-22xy + 10y 2 x - y x - y -12x 2 +12xy 12x - 10y - 10xy + 10y 2 +10xy - 10y 2 b) Dividir m 3-3m 2 n + 3mn 2 - n 3 entre m - n m 3-3m 2 n + 3mn 2 - n 3 m - n -m 3 + m 2 n m 2-2mn + n 2-2m 2 n + 3mn 2 + 2m 2 n - 2mn 2 + mn 2 - n 3 - mn 2 + n 3 c) Dividir 2a 4 - a 3 + 7a - 3 entre 2a + 3 2a 4 - a 3 + 7a - 3 2a + 3-2a 4-3a 3 a 3-2a 2 + 3a - 1-4a 3 + 4a 3 + 6a 2 + 6a 2 + 7a - 6a 2-9a - 2a a - 3 Prueba de la División: Se multiplica el divisor por el cociente debiendo darnos el dividendo. Tomando los datos del ejemplo anterior: a 3-2a 2 + 3a - 1 2a a 4-4a 3 + 6a 2-2a + 3a 3-6a 2 + 9a - 3 2a 4 - a 3 + 7a 3 29

31 Realice las siguientes divisiones y compruébelas 1) a 5 b - 5a 4 b a 2 b 4-40ab 5 2) xy 4 - xy - 2x entre xy + x 3) x 2 + x - 20 entre x + 5 Realice los siguientes ejercicios de operaciones algebraicas combinadas 1) (4x x 2-3x + 10) + (-2x + x 3 + 5x ) Respuesta. 5x 2-2x + 5 (x + 5) 30

32 3. POTENCIACIÓN Se llama potencia a una expresión de la forma a n, donde a es la base y n es el exponente. (- 2x) 2 = (- 2x) por (- 2x) = 4x 2 (- 2x) 3 = (- 2x) por (- 2x) por (- 2x) = - 8x 3 (- 2x) 4 = (- 2x) por (- 2x) por (- 2x) por (- 2x) = 16x 4 Propiedades de los exponentes: a) Propiedad del exponente cero: Todo número elevado a la potencia cero es igual = 1. b) Propiedad del exponente negativo: Toda cantidad elevada a un exponente negativo equivale a una fracción cuyo numerador es 1, y su denominador la misma cantidad con el exponente positivo. a -n = 1 a n a) Desarrolle x -2 = 1. x 2 b) Desarrolle la siguiente potencia: (4x 2 y 3 ) 2 = 4 2 por x 2+2 por y 3+2 = 16x 4 y 5 31

33 Desarrolle 1) (3m 4 n 3 p 2 )5 2) (10x 7 y 4 z 8 ) 3 3) (5a 12 b 16 c 8 ) 6 4) (4x 6 y 7 z 3 ) 4 RECUERDA a) Cualquier potencia de una cantidad positiva es positiva. b) Toda potencia par de una cantidad negativa es positiva. c) Toda potencia impar de una cantidad negativa es negativa. 32

34 4. PRODUCTOS NOTABLES Se llama productos notables a ciertos productos que cumplen reglas fijas y cuyo resultado puede ser escrito por simple inspección, es decir sin verificar la multiplicación. a) Cuadrado de la suma de dos cantidades: (a + b) 2 El cuadrado de la suma de dos cantidades es igual al cuadrado de la primera cantidad más el duplo de la primera cantidad por la segunda más el cuadrado de la segunda cantidad. 1. Desarrollar (m + 2) 2 = (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 Cuadrado del 1ro. (m) 2 = Duplo del 1ro. x el 2do. 2 * m * 2 = Cuadrado del Segundo (2) 2 = Entonces (m + 2) 2 = m 2 4m 4 m 2 + 4m Desarrollar (6x2 + 10y3)2 Cuadrado del 1ro. (6x 2 ) 2 = 36 4 Duplo del 1ro. x el 2do. 2 * 6x 2 * 10y 3 = Cuadrado del Segundo (10 y3 ) 2 = 120x 2 y 3 100y 5 Entonces (6x y 3 ) 2 = 36x x 2 y y 5 33

35 Escribir por simple inspección 1) (2x + 3) 2 2) (4a + b) 2 3) (5m 5 + n 3 ) 2 4) (2xy 2 + (3ab 2 ) 2 5) (6x y 4 ) 2 b) Cuadrado de la diferencia de dos cantidades: (a - b) 2 El cuadrado de la diferencia de dos cantidades es igual al cuadrado de la primera cantidad menos el duplo de la primera cantidad por la segunda más el cuadrado de la segunda cantidad (a + b) 2 = a 2-2ab + b 2 (a + b) 2 = a 2-2ab + b 2 Desarrollar (m + 2) 2 = Cuadrado del 1ro. (m) 2 = m 2 Duplo del 1ro. x el 2do. 2 * m * 2 = Cuadrado del Segundo (2) 2 = 4m 4 Entonces (m + 2) 2 = m 2-4m +4 34

36 Escribir por simple inspección 1) (4m - 2n) 2 2) (2x 3 - y 2 ) 2 3) (7a 2-3b 5 ) 2 4) (x 2 - y 2 ) 2 5) (m 3 - n 3 ) 2 c) Producto de la suma por la diferencia de dos cantidades (a + b) (a - b) La suma de dos cantidades multiplicada por la diferencia, es igual al cuadrado del minuendo (en la diferencia) menos el cuadrado del sustraendo (a + b) (a - b) = a 2 - b 2 Desarrollar (2m + 3n) (2m - 3n) = (2m) 2 - (3n) 2 = 4m 2-9n 2 1) (2a + 1) (2a - 1) 2) (m 2 + n 2 ) (m 2 - n 2 ) 3) (x + 1) (x -1) 35

37 d) Cubo de un binomio: (x + y)3 ó (x - y) 3 El cubo de la suma de dos cantidades es igual al cubo de la primera cantidad más el triplo del cuadrado de la primera por la segunda, más el triplo de la primera por el cuadrado de la segunda, más el cubo de la segunda. Desarrollar (m + 2) 3 (x + y) 3 = x 3 + 3x 2 y + 3xy 2 + y 3 Cubo del 1ro. (m) 3 = Más el Triplo del 1ro. al cuadrado x el 2do. = 3 * m 2 * 2 = Más el Triplo del 1ro. x el 2do. al cuadrado = 3 * m * 2 2 = Más el Cubo del 2do. (2) 3 = m 3 6m 2 12m 8 Entonces (m + 2) 3 = m 3 + 6m m + 8 El cubo de la diferencia de dos cantidades es igual al cubo de la primera cantidad menos el triplo del cuadrado de la primera por la segunda, más el triplo de la primera por el cuadrado de la segunda, menos el cubo de la segunda. (x - y) 3 = x 3-3x 2 y + 3xy 2 - y 3 Desarrollar (m - 2) 3 = Cubo del 1ro. (m) 3 = Menos el Triplo del 1ro. al cuadrado x el 2do. = 3 * m 2 * - 2 = MAS el Triplo del 1ro. x el 2do. al cuadrado = 3 * m * = Menos el Cubo del 2d (2) 3 = m 3-6m 2 12m - 8 Entonces (m + 2) 3 = m 3-6m m

38 Desarrolle: 1) (a + 2b) 3 2) (3x - 4y) 3 3) (m + 2n) 3 4) (a 2-3b) 3 5) (2x - 3y 2 ) 3 37

39 5. FACTORIZACIÓN Factorizar una expresión algebraica consiste en escribirla como un producto. Factor común monomio Es el factor que está presente en cada término del polinomio. Factorice 12x + 18y - 24z Expresión algebraica Factor común Producto 12x + 18y - 24z 6 6(2x + 3y - 4z) Utilizando la siguiente tabla resuelva los siguientes ejercicios encontrando el factor común de: No. Expresión algebraica Factor común Producto 1 6x a - 12ab 3 14m2n + 7mn Factor común polinomio Es el polinomio que aparece en cada término de la expresión algebraica. 38

40 Expresión algebraica Factor común Producto x(a + b) + y( a + b) (a + b ) x(a + b ) + y( a + b ) = (a + b )( x + y ) Resuelva los siguientes ejercicios encontrando el factor común utilizando la siguiente tabla: No. Expresión algebraica Factor común Producto 1 a(x + 1) + b ( x + 1 ) 2 (x + y )(n + 1 ) - 3 (n + 1 ) 3 a( a + b ) - b ( a + b ) Factorización de un trinomio de la forma x2 + bx + c Expresión algebraica ab a - b Producto X 2 - x - 6 (-3)(2)= = -1 (x - 3) (x + 2) X 2 + 4xy - 12y 2 (6y)(-2y) 6y - 2y (x + 6y) (x - 2y) 39

41 Factoriza los siguientes trinomios en dos binomios: Expresión algebraica ab a - b Producto x 2 + 4x + 3 b 2 + 8b + 15 r 2-12r + 27 Factorización de un trinomio de la forma ax 2 + bx + c Expresión algebraica a(ax 2 +bx+c) ax 2 + b(ax) + ac a 2a 2 + 3a - 2 2(2a 2 + 3a - 2) 4a 2 + 3(2a) 15 2 (ax )(ax ) (ax )(ax ) a Producto (2a + 4) (2a - 1) (2a + 4)(2a 1) (a + 2) (2a - 1) 2 Factoriza los siguientes trinomios en dos binomios: Expresión algebraica a(ax 2 +bx+c) ax 2 + b(ax) + ac (ax )(ax ) (ax )(ax ) a a Producto 5x x + 2 4x 2 + 7x b + 2b 2 Factorización de la diferencia de dos cuadrados: a 2 - b 2 Expresión algebraica: a 2 - b 2 a b Producto 9x 2-16y 2 9x 2 = 3x * 16y 2 = 4y * - 4y (3x + 4y) (3x - 3x 4y) 40

42 Factoriza los siguientes trinomios en dos binomios: Expresión algebraica: a b Producto a 2 - b 2 9a 2-25b 2 4x m 2 n 2-25 Factorización de un trinomio cuadrado perfecto: x 2 + bx + c Expresión algebraica: x 2 c 2 (x - c) (x - c) Producto x 2 + bx + c 9x 2-30x x - 5 (x - 5) (x - 5) (3x - 5) 2 Factoriza los siguientes trinomios cuadrados perfectos: Expresión algebraica: x 2 + bx + c b 2-12b + 36 m 2-2m m 2-40mn + 25n 2 x 2 c 2 (x - c) (x - c) Producto RECUERDA El resultado de la factorización es un producto y si efectuamos ese producto el resultado debe ser la expresión algebraica original. 41

43 6.- OPERACIONES CON FRACCIONES ALGEBRAICAS Es el cociente indicado de dos expresiones algebraicas a b Suma con fracciones algebraicas Para sumar fracciones algebraicas se siguen los siguientes pasos. a) Se simplifican las fracciones dadas de ser posible b) Se reducen las fracciones al mínimo común denominador, si son de distinto denominador. c) Se efectúan las multiplicaciones indicadas d) Se suman los numeradores de las fracciones que resulten y se parte esta suma por el denominador común. e) Se reducen términos semejantes en el numerador f) Se simplifica la fracción que resulte, si es posible. a 2 + 3a+2 = 3(a 2)+2(3a+2) = 3a 6+6a+4 = 9a Sumar 1) a - 2b + b - a 15a 20b 2) a + 3b + a 2 b - 4ab 2 3ab 5a 2 b 3) a a + 3a

44 Resta con fracciones algebraicas Para restar fracciones algebraicas se siguen los mismos pasos que en la suma con la diferencia que Se restan los numeradores de las fracciones que resulten y la diferencia se parte por el denominador común. De a+ 2b 3a Restar 4ab2 3 a+ 2b ; 6a 2 b 3a - 4ab2 3 6a 2 b = 2ab(a+2b) 6a 2 b - 4ab2 3 6a 2 b 2a 2 b+4ab 2 6a 2 b - 4ab2 3 6a 2 b = 2a 2 b+4ab 2 (4ab 2 3) 6a 2 b ; 2a 2 b+4ab 2 4ab 2 3 6a 2 b = 2a2 b+3 6a 2 b Restar 1) m m + 2 2x + 3 ; 2) - x 2 8 4x 8x 3) 2x + y 20x - x 3y 24y Multiplicación con fracciones algebraicas Para multiplicar fracciones algebraicas se siguen los siguientes pasos. Primer paso Se descomponen en factores Segundo paso Se simplifica Tercer paso Se multiplican entre si los numeradores y este producto se parte por el producto de las expresiones que queden en los denominadores. 43

45 Multiplicar 2a 3b2 x 3b3 4x x x2 2a 2 = 2 X 3 X a X b 2 X x 2 3 X 4 X 2 X a 2 X b 3 X x = x 4ab Multiplicar 1) 2m2 3n x6n2 4m 2) 5 x 2x 3y x x y2 10 3) 2x2 + x 6 x 8 4x+2 4) a+b ab b 2 x b 2 a 2 b 2 División con fracciones algebraicas Para dividir fracciones algebraicas se multiplica el dividendo por el divisor invertido. Dividir m 2 2m m2 n3 = x = mn 3n2 n3 3n2 2m 6 44

46 Dividir 1) 5m2 10m4 7n3 14an 4 2) 15a2 20b2 19xa3 38x 3 a 4 3) x 1 3 2x

47 7. ECUACIONES LINEALES Y CUADRÁTICAS CON UNA VARIABLE Ecuación Es la igualdad de dos expresiones algebraicas en la que hay una o varias variables, y que es verdadera para algunos valores del conjunto de los números reales. Son ejemplos de ecuaciones las siguientes: 3x 1 = 2x -3; x + y + z = 2x 5y +2z Ecuaciones lineales Es una ecuación de la forma ax + b = 0, con a no es 0 donde a y b son números Reales, se llama Ecuación Lineal de Primer Grado en una Variable. Para resolver una ecuación de primer grado se procede del modo siguiente: a) Resolver la ecuación 5 + 4a = 3a + 7 Primer paso Trasponemos el termino 3a al primer miembro a - 3a = 7 Segundo paso Trasponemos el término 5 al segundo miembro 4a - 3a = 7-5 Tercer paso Reducimos los dos términos a = 2 Cuarto paso Comprobamos 5 + 4(2) = 3(2) + 7 entonces 13 = 13 46

48 b) Resolver la ecuación 2(m +1) + 3(m - 2) = m + 4 Primer paso Suprimen los paréntesis 2m m - 6 = m + 4 Segundo paso Agrupamos términos semejantes 5m - 4 = m + 4 Tercer paso Trasponemos el término m al primer miembro. 5m m = 4 Cuarto paso Trasponemos el término - 4 al segundo miembro. 5m - m = Quinto paso Reducimos los dos términos 4m = 8 m = 8/4 = 2 Sexto paso Comprobamos 2 (2 + 1) + 3(2-2) = entonces 6 = 6 1) 3x - 5 = x + 3 2) 5m +6 = 10m + 5 3) 21-6a = 27-8a 4) y - 5 = 3y ) 7 + (2x + 1) = 2x

49 Ecuaciones cuadráticas o de segundo grado Es toda ecuación que una vez simplificada el mayor exponente de la incógnita es 2. La ecuación cuadrática se resuelve: a) Mediante la aplicación de la formula general o cuadrática. x = b± b 2 4ac 2a Resolver la ecuación 3a 2-7a + 2 = 0 a = 3; b = - 7 y c = 2, Primer paso Sustituyendo los valores en la ecuación x = ( 7)± 72 4(3)(2) 2(3) Segundo paso Realizamos las operaciones en la raíz X = 7 ± = 7 ± 25 6 Tercer paso Despejamos la raíz x = 7±5 6 Cuarto paso Encontramos las raíces x1 = = 2; x2 = = 1/3 6 1) m m + 56 = 0 2) x 2 + 2x - 8 = 0 3) x x + 24 = 0 48

50 8. SISTEMAS DE ECUACIONES Es la reunión de dos o más ecuaciones con dos o más incógnitas. Sistema de tres ecuaciones de primer grado con tres incógnitas. Resuelva utilizando el método de eliminación. x 3y + 2z = 6 x + y z = 1 2x + 3y + z = 0 RECUERDA Aquí aplicamos lo estudiado en el tema 6 de esta guía, llamado Operaciones con expresiones algebraicas 1er. Paso Para eliminar la x de la segunda ecuación se multiplica la primera ecuación por 1 y se suma a la segunda ecuación, lo que equivale a restar la primera ecuación de la segunda. 1 [ x 3y + 2z = 6 ] x + 3y - 2z = [ x + y z = 1 ] x + y z = 1 4y 3z = 7 Para eliminar 2x de la tercera ecuación se multiplica la primera ecuación por 2 y se suma con la tercera, lo que equivale a restar de la tercera dos veces la primera. 2 [ x 3y + 2z = 6 ] -2x +6y 4z =-12 + [ 2x + 3y + z = 0 ] 2x +3y + z = 0 9y 3z = 12 Las dos ecuaciones resultantes forman un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, y, z. 49

51 2do. Paso Ahora hay que eliminar una de las incógnitas, y o z, en la segunda de las ecuaciones anteriores. Observamos que es más sencillo eliminar la z, ya que para ello basta multiplicarla primera por 1 y sumar con la segunda, o lo que es lo mismo, hay que restar la primera de la segunda. 4y 3z = 7 9y 3z = 12 1 [ 4y 3z = 7 ] -4y + 3z = 7 + [ 9y 3z = 12 ] 9y 3z = 12 5y = 5 y = - 5 y = er. Paso El valor y = 1 se sustituye en la primera de las ecuaciones en y y z obtenidas en el Paso 1 y se resuelve la ecuación resultante en z. 4 * ( 1) 3z = 7 3z = = 3 z = 3 z = 1-3 4to. Paso El valor y = 1 y el valor z = 1 se sustituyen en la primera de las ecuaciones del sistema y se resuelve la ecuación resultante en x. x 3 * ( 1) + 2 * 1 = 6 x = = 1 Concluimos que la solución del sistema de ecuaciones es: x = 1, y = 1, z = 1 50

52 Resuelva los siguientes sistemas de ecuaciones por el método de eliminación 1) 2x + y - 3z = - 1 2) x + y + z = 6 3) 2a + b + 3c = 12 x - 3y - 2z = x - y + 3z = 4 a + 2b + 5c = 10 3x - 2y - z = - 5 4x + 5y - 10z = 13 6a - 3b - 9c = 24 RECUERDA Toda ecuación está formada por dos miembros. Se llama primer miembro de una ecuación o de una identidad a la expresión que queda a la izquierda del signo de la igualdad, y segundo miembro a la expresión que queda a la derecha del signo de igualdad. 51

53 REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS 1. A., Baldor. Álgebra. (2005). Grupo Patria Cultural, S.A. de C.V. México. 2. Parajón Guevara, Antonio. (2009). El Álgebra y su Tratamiento Metodológico y sus Aplicaciones. Módulo III. Managua, Nicaragua. 3. Escobar Morales, Ramón Sebastián. Fundamentos de Matemática 8 Grado. Librería y Ediciones San Miguel. Managua SWOKOWSKI, e., Cole, J.A. (1991). Álgebra y Trigonometría con Geometría Analítica. Tercera Edición. México: Grupo editorial Iberoamérica. 52