APUNTES DE CÁLCULO DIFERENCIAL.

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1 APUNTES DE CÁLCULO DIFERENCIAL. Prof. Jaime A Pinto. Departamento De Ciencias Básicas, Unidades Tecnológicas de Santander. Textos Universitarios 2013

2 Contenido Introducción Capítulo 1 "Desigualdades" Desigualdades Propiedades de las Desigualdades Intervalos Clases de Intervalos Inecuaciones de una variable Clasificación de las Inecuaciones de una Variable Solución de Inecuaciones de 1er Grado con una Incógnita: inecuaciones simultáneas de primer grado cuadráticas o de segundo grado Inecuaciones de Grado Superior Inecuaciones Racionales Inecuaciones de Valor Absoluto Problemas que se resuelven por medio de inecuaciones Capítulo 2 "Funciones" Definición de Función Representación Gráfica de una Función Coordenadas cartesianas Criterio de la Recta Vertical Elementos de una Función Dominio de Funciones Recorrido o rango de algunas funciones Intersección con los ejes Simetrías de una Función Funciones par e impar Álgebra de Funciones Funciones a trozos

3 CONTENIDO Movimientos en el Plano Translación Vertical Translación Horizontal Gráfica de Funciones Básicas Composición de Funciones o Función compuesta Función Inversa Propiedades de la función inversa Aplicaciones de las funciones Modelos Lineales de Costo, Ingreso y Utilidad Modelos Demanda y Oferta Límites y Continuidad de Funciones Definición Informal de Límite Límites Unilaterales Definición Formal de Límite Propiedades de los Límites Cálculo de Límites Resumen del cálculo de límites indeterminados Indeterminación Indeterminación ± ± indeterminación indeterminación indeterminación 0, 0 0, Límites Trigonométricos Límites Infinitos Límites al Infinito Asintotas Oblicuas Teorema del Emparedado Continuidad de una Función Clases de Discontinuidad Discontinuidad Evitable Discontinuidad no evitable o esencial Resumen de las Definiciones de Continuidad Derivadas y sus aplicaciones Diferentes formas de representar la derivada de una función La Derivada como Razón de Cambio Propiedades o reglas de derivación

4 CONTENIDO Análisis marginal Costo marginal Ingreso Marginal Utilidad marginal Consumo y Ahorro Elasticidad de la Demanda Regla de la cadena Regla de la cadena para potencias Derivada de funciones trigonométricas Derivada de la función seno Derivada de la función coseno Derivada de tangente Derivadas de otras funciones trigonométricas Derivadas de funciones trigonométricas compuestas Derivación Implícita Derivada de una Función elevada a otra Función Derivadas de orden superior Teorema del Valor medio Razones de cambio relacionadas Aplicaciones de la Derivada El problema de recta tangente Representación gráfica de funciones La primera derivada y la gráfica de una función Extremos locales de una función Pasos a seguir para determinar los extremos absolutos de una función en un intervalo cerrado Relación de los extremos absolutos con los extremos relativos de una función Concavidad de una función Punto de inflexión Representación Gráfica de Funciones Tabla de resumen "Definiciones" Aplicación de la derivada al cálculo de límites Existen otras formas indeterminadas, 0. e Aplicación de la Derivada a Problemas de Optimización Prueba subsección Como insertar una gráfica Incluyendo una tabla Fórmulas Matemáticas Algunos Cajas especiales Bibliografía

5 Introducción El se consolidó como disciplina matemática principalmente en los siglos XVI y XVII cuando Kepler ( ), Galileo ( ), Newton ( ) y Leibniz ( ) entre otros, intentaron describir la velocidad instantánea de un cuerpo en movimiento, aunque ya en la antigüedad griega Arquímedes había planteado la versión geométrica de ese problema de mecánica que es el problema de la recta tangente a una curva en un punto. Mediante el uso de razones de cambio fue posible calcular velocidades y aceleraciones y definir la recta tangente a una curva pero también resolver problemas de tipo práctico como por ejemplo, determinar cuando dos planetas estarían mas cercanos o mas lejanos entre sí. Con el paso del tiempo las aplicaciones del se han ampliado a la cotidianidad, a las ciencias socieconómicas e ingeniería, entre otros.

6 1 Capítulo 1 "Desigualdades" 1.1 Desigualdades En estudios anteriores habremos visto las igualdades; tema relacionado con la solución de ecuaciones lineales, cuadráticas entre otras. La palabra desigualdad sirve para decir que una cantidad es mayor o menor que otra, para ello utilizamos los símbolos: Mayor que > menor que < Mayor o igual que menor o igual que. Una desigualdad numérica es una comparación entre dos números a y b, utilizando los símbolos de desigualdad: a es mayor que b a > b a es menor que b a < b a es mayor o igual que b a b a es menor o igual que b a b Propiedades de las Desigualdades Si a, b y c son tres números reales, se cumple que: 1. (Propiedad transitiva). Si a > b y b > c, entonces a > c. Si a < b y b < c, entonces a < c. 2. Si a > b, entonces a ± c > b ± c. Si a < b, entonces a ± c < b ± c. 3. Si a > b y c > 0, entonces ac > bc. Si a > b y c < 0, entonces ac < bc.

7 3 4. Si a > b y c > 0, entonces a c > b c. Si a > b y c < 0, entonces a c < b c. 5. (Propiedad aditiva) Si a > b y c > d, entonces a + c > b + d 6. Si a > b y c > d, entonces ac > bd 7. Si a > b y a > 0 y b > 0, entonces a n > b n 8. Si a > b, entonces 1 a < 1 b 9. a.b > 0 = a > 0 b > 0 a < 0 b < 0 a.b < 0 = a > 0 b < 0 a < 0 b > Al intercambiar los miembros de una desigualdad, se modifica el sentido de la misma. Por ejemplo 3 < 6 6 > 3 Definición Desigualdades absolutas o incondicionales: Son semejantes a las identidades, además son satisfechas por todos los números Reales,su validez se establece por medio de una demostración analítica (utilizando propiedades de las desigualdades). Por ejemplo: la siguiente desigualdad se cumple para cualquier valor de a y b 2ab a + b < ab 2. Desigualdades condicionales: Son llamadas Inecuaciones, sólo son satisfechas por algunos números Reales, en algunos casos no los satisface ningún número real; son desigualdades que poseen variables. Por ejemplo: 2x + 6 < 0

8 4 Capítulo 1 "Desigualdades" 1.2 Intervalos Los intervalos son subconjuntos de los números reales, determinados por las desigualdades, que se representan geométricamente mediante segmentos de recta o semirrectas. Por lo tanto, las operaciones entre conjuntos también se aplican a los intervalos. Veremos a continuación las diferentes clases de intervalos que existen y luego algunos ejemplos Clases de Intervalos A continuación está tabla nos permitirá observar las propiedades de los intervalos Ejemplo 1.1 Sean los intervalos A = [ 5,5], B(,8] y C = (2, ); hallar en las diferentes notaciones: 1. A C 2. B C 3.(A C) B Solución: 1. A C = [ 5, ) Notación de intervalo A C = {x/x 5} Notación de conjunto 2. B C = (2,8] Notación de intervalo B C = {x/2 < x 8} Notación de conjunto 3. (A C) B = (2,5] (,8] = (,8] Notación de intervalo (A C) B = {x/x 8} Notación de conjunto

9 5 1.3 Inecuaciones de una variable Una inecuación es una desigualdad en la que hay una o más cantidades desconocidas (incógnitas) y que sólo se verifica (o demuestra) para determinados valores de las incógnitas. Las inecuaciones también se conocen como desigualdades condiciónales, como se mencionó anteriormente. Ejemplo 1.2 La desigualdad 2x 3 > x + 5 es una inecuación porque tiene la incógnita x y sólo se verifica para cualquier valor de x mayor que 8. Para x = 8 se convertiría en una igualdad y para x < 8 en una desigualdad de signo contrario. Para resolver una inecuación deben encontrarse los valores de las incógnitas que satisfagan la inecuación. La resolución de inecuaciones se fundamenta en las propiedades de las desigualdades anteriormente enunciadas y en las consecuencias que de las mismas se derivan. (La solución a una inecuación se da mediante un intervalo). Solución de inecuaciones Resolver una inecuación consiste en aplicar las propiedades de las desigualdades antes expuestas para hallar un conjunto de valores que hace posible la desigualdad. La solución de una inecuación recibe el nombre de conjunto solución. Y puede expresarse de tres formas diferentes: en notación de intervalo, en notación de conjunto y en forma gráfica. (Ver tabla de "clases de intervalos") 1.4 Clasificación de las Inecuaciones de una Variable Las inecuaciones se clasifican atendiendo al número de incógnitas y al grado de la expresión algebraica que aparece en ellas. Inecuación 2x 3 > x 5 x 3 y x 2 5x 4 xy 3 > 0 tipo 1 grado; 1 incógnita 1 grado; 2 incógnitas 2 grado; 1 incógnitas 2 grado; 2 incógnitas Solución de Inecuaciones de 1er Grado con una Incógnita: son las que responden a las siguientes formas básicas: ax + b < 0 ax + b > 0 ax + b 0 ax + b 0 En la mayoría de los casos conviene seguir el siguiente procedimiento:

10 6 Capítulo 1 "Desigualdades" Paso 1: Quitar los paréntesis, si los hay. Paso 2: Quitar denominadores, si los hay. Para ello, se multiplica los dos miembros de la ecuación por el m.c.m. de los denominadores. Paso 3: Pasar los términos en x a un miembro (normalmente al primero) y los números al otro. Paso 4: Reducir términos semejantes, con lo que se llega a una ecuación de forma básica. Paso 5: Si el coeficiente de la x es negativo multiplicamos por 1, por lo que cambiará el sentido de la desigualdad. Paso 6: Despejar la x (la incógnita). Paso 7: Obtener la solución en forma de desigualdad, en forma de intervalo o grafica. Ejemplo 1.3 Resolver x 2 3 4(x 2) 3(5x 35) 12 5(x 7) 4 > > 7 x 2 6(7 x) 12 4x 8 15x > 42 6x 5x > 55 5x < 55 x < 11 Solución: x (, 11) Ejemplo 1.4 Resolver 2x 3 > x + 5 Pasando x al primer miembroy 3 al segundo miembro se tiene: 2x x > Reduciendo término: x > 8 Solución: S = (8, ) = {x R x > 8}

11 7 Ejemplo 1.5 Dada la siguiente inecuación 7 x 2 > 5x 3 6. Halle el conjunto solución y grafíquelo Suprimiendo denominadores (m.c.m=6)se tiene: 42 3x > 10x 36 Trasponiendo términos: 3x 10x > x > 78 Cambiando el signo a los dos miembros, lo cual hace cambiar el signo de la desigualdad original: 13x < 78 Dividiendo por 13: x < 78 o sea lasolución: es x < 6 13 Ejemplo 1.6 Resolver (x + 3)(x 1) < (x 1) 2 + 3x Efectuando las operaciones algebraicas: x 2 + 2x 3 < x 2 2x x Suprimiendo x 2 en ambos miembros y transponiendo: 2x + 2x 3x < x < 4 Solución: S=(,4) = {x R x < 4}

12 8 Capítulo 1 "Desigualdades" Ejemplo 1.7 Dada la siguiente inecuación x 2 3 2x x2 Halle el conjunto solución y grafíquelo. Se encuentra el m.c.m=12 y se multiplica por 12 ambos miembros de la inecuación para obtener: 4(x 2) 6(2x 2 1) 3 12x 2 4x 8 12x x 2 Pasando todas las variables al lado izquierdo de la inecuación, se obtiene: 4x Despejando la variable x de la inecuación, se obtiene: Solución S=(, 5 4 ]={x R x 5 4 } inecuaciones simultáneas de primer grado Una inecuación simultánea es una inecuación con desigualdad doble; Si a < x < b entonces x > a x < b, es decir, el conjunto solución es la intersección de los dos conjuntos solución: Ejemplo 1.8 S = {x/x > a} {x/x < b} Hallar el conjunto solución de 6 4x 2 < 7 Separando en dos desigualdades: 4x 2 6 4x 2 < 7 4x x < x 8 4 x < 9 4 x 2 x < 9 4 Solución: x [2, 9 4 )

13 cuadráticas o de segundo grado Las inecuaciones de 2º grado con una incógnita son las que se presentan según alguna de las siguientes formas básicas: ax 2 + bx + c < 0 ax 2 + bx + c > 0 ax 2 + bx + c 0 ax 2 + bx + c 0 Procedimiento Paso 1: Igualamos el polinomio del primer miembro a cero y obtenemos las raíces de la ecuación de segundo grado factorizando el polinomio o usando la formula cuadrática. Paso 2: Considerar los casos necesarios para que se cumpla la inecuación. Paso 3: Realice la intersección o unión de los conjuntos solución de acuerdo al caso seleccionado. Paso 4: dar la solución en forma de intervalos y graficarla.

14 10 Capítulo 1 "Desigualdades" Ejemplo 1.9 Dada la siguiente inecuación x 2 + 5x + 6 > 0. Halle el conjunto solución y grafíquelo. Primer Paso: Factorizar el polinomio dado x 2 + 5x + 6 = (x + 3)(x + 2), quedando una inecuación de la forma: (x + 3)(x + 2) > 0 Segundo paso: Los casos que se deben considerar son los siguientes: Caso I: Cuando ambos binomios son positivos es decir: (x + 3) > 0 y (x + 2) > 0 Caso II: Cuando ambos binomios son negativos es decir: (x + 3) < 0 y (x + 2) < 0 Solución Caso I: Sea S A el conjunto solución de la inecuación (x + 3) < 0 y S B al conjunto solución de la inecuación (x + 2) > 0, la solución del Caso I viene dada por: S I =S A S B Solución para S A x + 3 > 0 x > 3 S A = ( 3, ) = {x R x > 3} Solución para S B x + 2 > 0 x > 2 S A = ( 2, ) = {x R x > 2} Solución para S I es: S I =S A S B = ( 3, ) ( 2, ) = ( 2, ) S I = ( 2, ) = {x R x > 2} Solución Caso II: Si llamamos S C al conjunto solución de la inecuación (x+3) < 0 y S D al conjunto solución de la inecuación (x + 2) < 0, la solución del Caso II viene dada por: S II =S C S D Solución para S C (x + 3) < 0 S C = (, 3) = {x R x < 3} Solución para S D (x + 2) < 0 S D = ( in fty, 2) = {x R x < 2} Entonces la solución para es: S II = S C S D = (, 3) (, 2) = (, 3) S II = (, 3) = {x R x < 3} Solución general: La solución general será la unión de S I y S II, es decir: S G = S I S II = (, 3) ( 2, ) El método que acaba de estudiarse, para resolver inecuaciones cuadráticas se llama método analítico. Existe un método alternativo, el método gráfico, que también se conoce como el método del Cementerio o método de las cruces. El procedimiento para resolver inecuaciones cuadráticas utilizando este método consiste igualmente en Factorizar el polinomio cuadrático, encontrar las raíces reales y ubicarlas sobre la recta real, dando origen de esta manera a intervalos en la recta. Luego, para cada intervalo, se va evaluando cada binomio para determinar el signo de éste, es decir, se le asignará a la variable, un valor arbitrario que pertenezca a cada intervalo para conseguir el signo de cada binomio. Por último, se seleccionan los intervalos para los cuales se cumple la desigualdad.

15 11 Ejemplo 1.10 Dada la siguiente inecuación x 2 + 5x + 6 > 0, halle el conjunto solución y grafique. Se factoriza el polinomio x 2 + 5x + 6 = (x + 3)(x + 2) quedando la inecuación de la forma: (x + 3)(x + 2) > 0 Las raíces que anulan (x + 3)(x + 2) son x = 3 y x = 2. (valores de separación) Se ubican sobre la recta real (ver cuadro 1). Se le asignan valores arbitrarios a x en cada intervalo, y se determinan los signos. (, 3) ( 3, 2) ( 2, ) x x (x + 3)(x + 2) + + Se aprecia en el cuadro anterior que la desigualdad se cumple para aquellos intervalos donde el producto de los dos binomios es positivo por ser la inecuación > 0, por lo tanto la solución viene dada por: Solución: S G = S I S II = (, 3) ( 2, )

16 12 Capítulo 1 "Desigualdades" Ejemplo 1.11 Dada la siguiente inecuación (x 1)2 2 (x 1)2 3 < 8, halle el conjunto solución y grafique. 3 Se desarrollan los productos notables, se multiplican por 6 ambos miembros de la inecuación y se reducen términos semejantes, obteniendo: x 2 2x 15 < 0 Factorizando el polinomio resultante, se tiene x 2 2x 15 = (x 5)(x + 3), resultando una inecuación de la forma: (x 5)(x + 3) < 0 Las raíces de (x 5)(x + 3) son x = 5 y x = 3 (valores de separación) las cuales se ubican sobre la recta real. Se le asignan valores arbitrarios a x en cada intervalo y se determinan los signos de la desigualdad. Solución: S G = ( 3,5) = {x R 3 < x < 5} Graficamente: (, 3) ( 3, 5) (5, ) x x (x + 3)(x 5) + + Casos especial 1 Si al resolver la inecuación se obtiene una expresión de la forma: (ax + b) 2 0 la solución es x = b/a (ax + b) 2 < 0 No tiene solución (ax + b) 2 0 La solución son los R (ax + b) 2 > 0 La solución son los R { b/a} Ejemplo 1.12 Resolver: x 2 + 2x Primero deseo hallar los puntos de separación por lo tanto x 2 + 2x + 1 = 0 Por lo tanto usando la fórmula cuadrática x = b ± b 2 4ac = 2 ± a 2 (x 1) 2 0 Como un número elevado al cuadrado es siempre positivo la solución es R = 2 ± 0 2 = 1 Casos especial 2

17 13 Cuando no tiene raíces reales (discriminante menor que cero), le damos al polinomio cualquier valor si: El signo obtenido coincide con el de la desigualdad, la solución es R El signo obtenido no coincide con el de la desigualdad, no tiene solución (vacío) Inecuaciones de Grado Superior Tenga en cuenta el siguiente procedimiento para encontrar la solución de este tipo de inecuaciones Paso 1 Se descomponen en factores de primer o segundo grado. Paso 2 Se obtienen los ceros de cada factor representándolos en rectas distintas. Paso 3 Se estudia el signo de cada uno de los intervalos formados. Paso 4 En una nueva recta se llevan todos los ceros, aplicando la regla de los signos. Paso 5 Se ve cuales de los intervalos son solución de la inecuación. Ejemplo 1.13 Resolver la inecuación: x 3 4x < 0 Resolverla es buscar los valores de la x que hacen que el miembro de la izquierda sea negativo por el sentido de la desigualdad. El procedimiento más sencillo consiste en factorizar el polinomio (en este caso podemos sacar factor común x) x(x 2 4) < 0, o lo que es lo mismo x(x 2)(x + 2) < 0 Tenemos tres valores de x (el 0, 2, -2) que hacen que ese producto valga cero, los restantes valores de la x harán que ese producto sea distinto de 0, bien positivo o negativo. El estudio es el mismo que antes, dibujamos y señalamos sobre la recta real los valores que hacen cero el producto y vamos tomando valores de x y se sustituye en la ecuación inicial para ver el signo de la operación. Observa la gráfica: Solución=(, 2) (0, 2) (, 2) ( 2, 0) (0, 2) (2, ) x x + + x 2 + x(x 2)(x + 2) Inecuaciones Racionales Son inecuaciones racionales, aquellas en las que tanto el numerador como el denominador son inecuaciones polinómicas. Expresión general: son del tipo ax+b ax+b ax+b cx+d 0, o todas sus equivalentes cx+d 0, o cx+d < 0, etc y de grados mayores que uno. Se resuelven de un modo similar a las de segundo grado, pero hay que tener presente que el denominador no puede ser cero. Estos tipos de problemas pueden ser resueltos usando el método analítico o el método gráfico.

18 14 Capítulo 1 "Desigualdades" Procedimiento a tener en cuenta: Paso 1 Hallamos las raíces del numerador y del denominador. Paso 2 Representamos estos valores en la recta real, teniendo en cuenta que las raíces del denominador, independientemente del signo de la desigualdad, tienen que ser abiertas. Paso 3 Tomamos un punto de cada intervalo y evaluamos el signo en cada intervalo. Paso 4 La solución está compuesta por los intervalos (o el intervalo) que tengan el mismo signo que la fracción polinómica. Ejemplo 1.14 Dada la siguiente inecuación: x2 + 3x 10 x 2 + x 2 < 0 halle el conjunto solución y grafique. Factorizando los polinomios dados x 2 + 3x 10 = (x + 5)(x 2) y x 2 + x 2 = (x + 2)(x 1) (x + 5)(x 2) Resultando una inecuación de la forma (x + 2)(x 1) < 0 Las raíces que anulan el numerador son y, y las que anulan el denominador son y, las cuales se ubican sobre la recta real. Se le asignan valores arbitrarios a x en cada intervalo, y se determinan los signos de la desigualdad. (, 5) ( 5, 2) ( 2, 1) (1, 2) (2, ) x x x 1 + x x 2 + 3x 10 x 2 + x 2 < Se observa en el cuadro anterior que la desigualdad se cumple para aquellos intervalos donde el cociente es negativo, debido a que la inecuación original es < 0 (es negativa) por lo tanto la solución viene dada por: Solución:S G = ( 5, 2) (1,2)

19 15 Ejemplo 1.15 Resolver: x + 1 x 1 < 1 x + 1 x 1 1 < 0 x x 1 < 0 x 1 2 < 0, y todo se reduce a averiguar cuál es el signo del denominador, cuándo éste es x 1 negativo y lo es en (,1). Solución: (,1) Inecuaciones de Valor Absoluto Definición 1.2 El valor absoluto nos permite considerar una magnitud numérica sin tener en cuenta el signo. { a para a 0 a = a para a < 0 a R significa que el valor absoluto de un número nunca es negativo. Ejemplo: 5 = 5 = 5 1. Propiedades con Valor Absoluto La solución de ecuaciones e inecuaciones con valor absoluto requieren del conocimiento y dominio de algunas propiedades fundamentales que guíen los procesos. A continuación se dan las propiedades que serán usadas en el tema en cuestión. Sean a,b R. 1 a 0 2 a 2 = a 3 a = a 4 a 2 = a 2 5 a b = a b 6 a b = a b, si b 0 7 a + b a + b Desigualdad triangular 8 a = b b 0 {a = b a = b}

20 16 Capítulo 1 "Desigualdades" Definición 1.3 Desigualdades con valor absoluto Sea x,y,a R. Se tiene entonces: 1 x a sii a 0 x a x a ó a x a 2 x a sii x a x a 3 x y sii x 2 y 2 Definición 1.4 Inecuaciones de primer grado con valor absoluto Son aquellas en las que parte de la inecuación, o toda ella, viene afectada por el valor absoluto de la misma. Para resolver estas inecuaciones es suficiente con desarrollar el valor absoluto de acuerdo a los teoremas antes mencionados, para luego aplicar los conocidos métodos de resolución de inecuaciones. Las inecuaciones de primer grado con valor absoluto pueden presentar las siguientes formas: Sean x,a,b,c R. 1 ax + b c ax + b c ax + b c c ax + b c 2 ax + b c ax + b c ax + b c ax + b c ax + b c

21 17 Ejemplo 1.16 Encuentre el conjunto de soluciones que satisface 5x y grafique. Aplicando la propiedad de las desigualdades con valor absoluto, obtenemos: 15 5x x x x 1 Solución: S = [ 5,1] = {x R 5 x 1} Graficamente: Ejemplo 1.17 Encuentre el conjunto de soluciones que satisface: x + 2 < 1 y grafique. 3 Aplicando la propiedad de las desigualdades con valor absoluto, obtenemos: 1 < x < 1 3 < x 3 < < x 3 < < x < 3 Solución: S = ( 9, 3) = {x R 9 < x < 3 Graficamente:

22 18 Capítulo 1 "Desigualdades" Ejemplo 1.18 Encuentre el conjunto de soluciones que satisface: 3x y grafique. 3x x x 2 8 3x 2 8 3x 6 3x 10 x 6 3 x 10 3 x 2 x 10 3 Solución: S = (, 10 3 ] [ 2, ) Graficamente: Ejemplo 1.19 Encuentre el conjunto de soluciones que satisface: 5x 3 7 y grafique. 5x 3 7 5x 3 7 5x x x 10 5x 4 x 10 x x 2 x 4 5 Solución: S = (, 4 5 ] [(2, ) Graficamente:

23 19 Ejemplo 1.20 Encuentre el conjunto de soluciones que satisface: 2x 1 x y grafique. 2x 1 x x 1 3 x + 3 (2x 1) 2 (3x + 9) 2 (2x 1) 2 (3x + 9) 2 0 (2x 1) 2 (3x + 9) 2 0 [(2x 1) (3x + 9)][(2x 1) + (3x + 9)] 0 ( x 10)(5x + 8) 0 Solución: S = [ 10, 8 5 ]

24 20 Capítulo 1 "Desigualdades" Problemas que se resuelven por medio de inecuaciones Las inecuaciones permiten resolver problemas. Ejemplo 1.21 Una camioneta pesa 875 kg. La diferencia entre el peso de la camioneta vacía y el peso de la carga que lleve no debe ser inferior que 415 kg. Si hay que cargar cuatro cajones iguales, cuánto puede pesar, como máximo, cada uno de ellos para poder llevarlos en ella? En primer lugar, traducimos el enunciado al lenguaje simbólico, llamamos x al peso de cada cajón y planteamos la siguiente inecuación: Peso de la furgoneta menos el peso de 4 cajones no es menor que 415 kg 875 4x 415 Una forma de resolver la inecuación es seguir los siguientes pasos: Restamos 875 en ambos miembros de la desigualdad 4x Hacemos el cálculo en el segundo miembro 4x 460 Para despejar x, multiplicamos a ambos miembros por 1 (Cuidado: como multiplicamos 4 por un número negativo, debemos cambiar el sentido de la desigualdad), x ( 1 4 )( 460) hacemos el cálculo x 115 Esto significa que el peso de cada cajón no podrá superar los 115 kg. Además, como se trata de un peso, x > 0. Entonces, la solución está formada por todos los números reales pertenecientes al intervalo (0,115]. Graficamos la solución en la recta real:

25 2 Capítulo 2 "Funciones" En prácticamente todos los fenómenos cotidianos, físicos, en las ciencias económicos y en la ingeniería; observamos que una cantidad depende de otra. Por ejemplo, su estatura depende de su edad, la temperatura de la fecha, el costo de enviar un paquete por correo de su paseo. Todos estos son ejemplos de funciones; aunque no existe una regla simple que relacione la estatura con la edad o la temperatura con la fecha, sí existe una que relaciona el costo de enviar un paquete por correo con su peso; estás relaciones pueden ser representadas mediante un modelo matemático que permite describir esta relación, estas relaciones se conocen como funciones. El concepto de función no apareció hasta los inicios del cálculo en el siglo XVII. René Descartes, Isaac Newton y Gottfried Leibniz establecieron la idea de función como dependencia entre dos cantidades variables. Leibniz en particular acuñó los términos «función», «variable», «constante» y «parámetro». 2.1 Definición de Función Una función f es una regla de correspondencia que asigna a cada elemento x de un conjunto A llamado dominio un valor único f (x) de otro conjunto B. El subconjunto de B formado por todos los elementos a los que se les asigna elementos de A se llama rango o recorrido de la función, y cada uno de sus elementos se llama imagen. Representemos en un diagrama de flechas una relación que es función y una que NO es función.

26 22 Capítulo 2 "Funciones" Las funciones se representan mediante ecuaciones de la forma y = f (x), por ejemplo: y = f (x) = x 2 ; y = g(x) = 3x 2 + x; y = h(x) = x+1 x 3 y = j(x) = x + 6; y = t(x) = x 2 x+4 y = k(x) = sen(x) Por otra parte en las funciones del tipo y = f (x), la relación entre ambas variables x e y está claramente determinada. Por ese motivo la expresión y = f (x) recibe el nombre de forma explícita de la función. Sin embargo, en algunas ocasiones la relación entre las variables de la función no viene expresada de una forma tan clara sino a través de una ecuación que las liga, como por ejemplo: 3x 2y + 5 = 0 x 3y 3 + 4yx = 5 x + sen(xy) + y = 3 2x, π = xy + x 2 + y 2 Podemos decir que esta manera de representar una función recibe el nombre de forma implícita de la función. La relación entre ambas variables viene dada por una ecuación en la que hay que despejar la variable dependiente para poder encontrar la relación entre ambas. Cuando nos encontramos con una expresión implícita hay que tener un poco de cuidado, pues no vale cualquiera. De hecho, una de las anteriores expresiones no corresponde a una función. Sabrías decir cuál es? Y por qué? Dibujar las cuatro expresiones anteriores puede servirnos de ayuda. 2.2 Representación Gráfica de una Función La gráfica de una función f (x) es el conjunto de todos puntos (x, f (x)) en el plano xy (ejes de coordenadas), tal que restringimos los valores de x al estar en el dominio de f (x) Coordenadas cartesianas Las coordenadas de un punto P en el plano vienen determinadas por un par ordenado de números x e y, llamados coordenadas cartesianas del punto P, y se escribe P(x,y).

27 23 1. La primera coordenada, x, se mide sobre el eje de abscisas u horizontal, OX. Se denomina abscisa del punto P. 2. La segunda coordenada, y, se mide sobre el eje de ordenadas o vertical, OY. Se denomina ordenada del punto P. 3. El punto de corte de los ejes se denomina origen de coordenadas, O. El siguiente diagrama muestra la gráfica de una función: Criterio de la Recta Vertical Todas las gráficas son funciones? Para que una gráfica corresponda a una función, cada recta vertical que se ubique en un valor de x debe cortar a la gráfica en un solo punto, tal como se muestra en la siguiente gráfica. Si por el contrario si una gráfica contiene en alguna parte los puntos (a,b) y (a,c) entonces dicha gráfica no representa una función, ya que a un valor del dominio le corresponden dos valores del rango, en la siguiente gráfica mostramos tal situación. Observe el dibujo:

28 24 Capítulo 2 "Funciones" 2.3 Elementos de una Función Los dos principales elementos de una función son los posibles valores que pueden tomar ambas variables (dependiente e independiente). 1. Se llama Dominio de una función al conjunto de valores que puede tomar la variable independiente x de manera que la expresión dada tenga sentido en los números Reales. El dominio de una función del tipo y = f (x) suele representarse con alguna de estas expresiones: D( f ),Dom( f ). 2. Se llama Recorrido, Rango, Imagen o codominio de una función al conjunto de valores que puede tomar la variable dependiente, es decir, es el conjunto de valores que puede alcanzar la función. El recorrido de una función del tipo y = f (x) suele representarse con alguna de estas expresiones: R( f ),Rango( f ),Im( f ) Dominio de Funciones Definición 2.1 Dominio de Funciones Polinómicas Una función polinómica es de la forma: f (x) = a n x n + a n 1 x n 1 + a n 2 x n a 1 x + a 0, donde n Z + El dominio de una función polinómica es el conjunto de los números reales (R): Dom f (x) = R Ejemplo 2.1 Hallar el dominio de las siguientes funciones: f (x) = 2x 2 3x + 2; g(x) = x 3 + 2x 2 x + 2; h(x) = 2x 5 Solución: Cómo son funciones polinómicas para cada función tenemos Dom f (x) = R Definición 2.2 Dominio de las funciones racionales Una función racional es el cociente de dos funciones polinómicas (polinomios). f (x) = p(x) Q(x) Recuerde que una expresión de números reales de la forma A B no existe si B = 0; de manera que para hallar el dominio de una función racional basta con igualar el denominador a cero Q(x) = 0 y El dominio de una función Racional es el conjunto de los números reales (R) diferentes de los valores que anulan el denominador (valores críticos del denominador): Dom f (x) = R-(valores críticos) Algunos ejemplos de funciones racionales son: f (x) = 2x + 3 x 2 1 ; g(x) = x 4 2x 2 x + 4 ; h(x) = x x 4 x ; y = 1 x + 1

29 25 Ejemplo 2.2 Hallar el dominio de la función Igualamos el denominador a cero: x 2 + 3x + 2 = 0 f (x) = 2x + 3 x 2 + 3x + 2 Factorizamos: (x + 2)(x + 1) = 0 este producto es cero si uno de sus factores es cero, así: x + 2 = 0, entonces: x = 2 x + 1 = 0, entonces: x = 1 De lo anterior, deducimos que los números 2 y 1 no pertenecen al dominio y por lo tanto: Dom f (x) = R ( 2, 1) Definición 2.3 Dominio de funciones con radicales Las funciones racionales son de la forma: f (x) = n p(x), el dominio depende del índice de la raíz. 1. Si la raíz es de índice n impar, el dominio es Dom f (x) = R 2. Si la raíz es de índice n par, el dominio son los valores de x que hacen que p(x) 0 Ejemplo 2.3 Hallar el dominio de la función: f (x) = x 2 1 La expresión que define a esta función tiene validez en los Reales solamente si el radicando es mayor o igual que cero, es decir si: x al resolver la inecuación se obtienen los valores que pertenecen al dominio. x (x + 1)(x 1) 0 Al resolver la inecuación usando el método del cementerio se obtiene que los valores que satisfacen la ecuación son: (, 1] [1, ) entonces: Dom f (x) = (, 1] [1, )

30 26 Capítulo 2 "Funciones" Ejemplo 2.4 Encuentre el dominio de la función: g(x) = x x + 4 En este caso es necesario asegurar que el denominador no sea cero. de manera que x + 4 0, x 4, y además que el radicando sea mayor que cero x + 4 > 0, de tal manera que debemos resolver la ecuación: x + 4 > 0 x > 4 Por lo tanto el dominios es Domg(x) = ( 4, ) Ejemplo 2.5 Determine el dominio de h(x), h(x) = x 2 x 4 En este caso debemos controlar tanto lo que sucede en el numerador como lo que sucede en el denominador, es decir: 1. El radicando debe ser positivo o cero. 2. El denominador debe ser distinto de cero. x 2 0, x 2 x 4 0 x 4 Observemos sobre una recta numérica la situación que satisface los items 1 y 2: De manera que la solución es: Dom f (x) = [2, 4) (4, )

31 27 Definición 2.4 Dominio de la función exponencial Una función exponencial es de la forma f (x) = a x La función exponencial está definida para todos los números reales, por lo tanto su dominio se representa como: Dom( f ) = R Ejemplo 2.6 Encuentre el dominio de la siguiente función f (x) = 2e x+2 Solución: Dom f (x) = R Definición 2.5 Dominio de la función logarítmica Una función logaritmo es de la forma f (x) = Log a [g(x)] Recordemos que la función logaritmo está definida en los reales positivos, por lo que los logaritmos de números negativos y el cero no existen. Entonces Dom( f ) son los valores que satisfacen la siguiente inecuación g(x) > 0 Ejemplo 2.7 Hallar el dominio de f definida como f (x) = Ln(1 x 2 ) La función logaritmo natura f (x) está definida si 1 x 2 > 0 Resolviendo la inecuación tenemos: Dom f (x) = ( 1,1)

32 28 Capítulo 2 "Funciones" Recorrido o rango de algunas funciones Algunas funciones permiten hallar de manera sencilla sus recorridos. Ejemplo 2.8 Hallar el recorrido de la función f (x) = 2x + 1 x 5 Para lograrlo despejamos a x: y(x 5) = 2x + 1 yx 5y = 2x + 1 xy 2x = 5y + 1 x(y 2) = 5y + 1 x = 5y + 1 y 2 Entonces, en la última ecuación y debe ser distinto de 2, es el único valor que no pueden tomar las imágenes, por lo tanto la solución es: Rango = R {2} 2.4 Intersección con los ejes Un punto (a,0) es una intersección de la gráfica de f con el eje x si f (a) = 0, es decir, si este punto es una solución de la ecuación que define a f. Por lo tanto, para hallar la intersección de la gráfica con el eje x debemos hacer x = 0 y resolver la ecuación que se obtiene. Un punto (0,b) es una intersección de la gráfica de f con el eje y si f (0) = b es decir, si este punto es una solución de la ecuación que define a f. Por lo tanto, para hallar la intersección de la gráfica con el eje "x" debemos hacer y = 0 y resolver la ecuación que se obtiene. Nota: Las intersecciones con los ejes se llaman interceptos. A continuación se muestran algunos dibujos para ilustrar lo que hemos afirmado anteriormente:

33 29 Ejemplo 2.9 Halle los interceptos de la función f (x) = 2x + 2 x 7 Solución: Intersección con el eje y Hacemos x = 0, entonces: y = 2 7 Intersección con el eje x Hacemos y = 0, entonces: 0 = 2x + 2 x 7 por lo tanto 2x + 2 = 0 y obtenemos que: x = Simetrías de una Función Al igual que el conocimiento de las propiedades anteriores, el hecho de saber si la gráfica de una función presenta algún tipo de simetría nos permitirá conocer los valores que toma la función en determinada zona sin más que conocer los valores de la misma función en la zona simétrica. Una función puede presentar diferentes tipos de simetría, o ningún tipo en absoluto. De todos los posibles tipos de simetría que pueden presentarse hay dos que son fácilmente detectables y es en esos dos tipos en los que vamos a centrar nuestro estudio. Una función f (x) es: 1. Simétrica respecto al eje y si f (x) = f ( x) ; se dice que f (x) presenta simetría par. 2. Simétrica respecto al origen de coordenadas si f (x) = f ( x); se dice que f (x) presenta simetría impar. Veamos los siguientes ejemplos

34 30 Capítulo 2 "Funciones" 2.6 Funciones par e impar Sea f una función, entonces: 1. f es par si satisface f ( x) = f (x) 2. f es impar si satisface f ( x) = f (x) Ejemplo 2.10 La función f (x) = x 2 es par, veamos: f ( x) = ( x) 2 = x 2 = f (x) por lo tanto es par. La función f (x) = x 3 es impar, veamos: f ( x) = ( x) 3 = x 3 = f (x) por lo tanto es impar. 2.7 Álgebra de Funciones Definimos las operaciones básicas entre funciones así: SUMA: DIFERENCIA: ( f + g)(x) = f (x) + g(x) ( f g)(x) = f (x) g(x)

35 31 PRODUCTO: ( f.g)(x) = f (x).g(x) COCIENTE: f (x) g(x) Donde g(x) 0 En cada uno de los casos anteriores, el dominio de la función resultante, es la intersección de los dominios de f y g. En el caso particular del cociente se deben excluir de la intersección los valores de x que anulen el denominador g. Ejemplo 2.11 Dadas f (x) = x 3 + 2x, g(x) = 1 x. Determinar: 1) f + g, 2) f g, 3) f g y sus dominios. En primer lugar es necesario determinar el dominio de cada función: El dominio de f (x) es: Dom f = R (Porque es un polinomio); El dominio de g(x) es Domg = R {0} (Porque no se puede dividir entre cero). Realicemos las operaciones: 1. f (x) + g(x) = ( x 3 + 2x ) + ( ) 1 x = x 4 +2x 2 +1 x = (x2 +1) 2 x Dom( f + g) = Dom f Domg = R {0} 2. f (x) g(x) = ( x 3 + 2x ) ( 1 x ) = x 4 +2x 2 1 x Dom( f g) = Dom f Domg = R {0} 3. f (x) g(x) = ( x 3 + 2x ) ( 1 x ) = x 3 +2x x = x Dom( f g) = Dom f Domg = R {0} 2.8 Funciones a trozos Hasta ahora hemos visto cómo las funciones, sean del tipo que sean, suelen admitir una expresión del tipo y = f (x). Hemos visto también que es especialmente interesante (pues facilita la obtención de información) que la expresión f (x) sea de tipo matemático. Hasta ahora hemos trabajado con expresiones simples como por ejemplo: y = x x + 3 y = 3+2x x 4 y = 3 25 x 2 y = x 2 3x + 2

36 32 Capítulo 2 "Funciones" Sin embargo, con mucha frecuencia, las expresiones analíticas que aparecen en las Ciencias Sociales no admiten una única formulación para todos los valores de la variable independiente, de manera que es necesario utilizar diferentes fórmulas para la función según los distintos valores de x. De este tipo de funciones se dice que están definidas a trozos. Una función a trozos es aquella en la que se usan "trozos" de funciones para conformar una nueva función, por ejemplo la función valor absoluto se puede considerar como una función a trozos, veamos: 1. x = x si x < 0 0 si x = 0 x si x > 0 2. x = x si x < 0 x 2 si 0 x < 1 1 si x > 0

37 33 3. x = x si x 0 1 si 0 < x < 3 2x 5 si x Movimientos en el Plano Translación Vertical La ecuación y = f (x) + k, k una constante real describe una traslación vertical de y = f (x) de k unidades. 1. Si k > 0, la traslación es hacia arriba. 2. Si k < 0, la traslación es hacia abajo. Ejemplo 2.12 y = x + 1

38 34 Capítulo 2 "Funciones" Translación Horizontal y = f (x + h) de h unidades. 1. Si h > 0, la traslación es hacia la derecha. 2. Si h < 0, la traslación es hacia la izquierda. Ejemplo 2.13 y = x 1

39 Gráfica de Funciones Básicas Existen algunas funciones que son de uso común en el desarrollo de los cursos de cálculo, entre ellas tenemos: 1. Función Lineal: 2. Función Cuadrática: 3. Función Cúbica: 4. Función Raíz Cuadrada: 5. Función Valor Absoluto: f (x) = ax + b f (x) = ax 2 + bx + c f (x) = ax 3 + bx 2 + cx + d f (x) = x f (x) = x 6. Función Racional: f (x) = 1 x 7. Función logarítmica 8. Función exponencial 9. Función logística 10. Función seno 11. Función coseno f (x) = Log a (x) f (x) = f (x) = a x a b + e cx f (x) = senx f (x) = cosx A continuación trazamos las gráficas de algunas de estas funciones: 1. Función lineal: f (x) = x (Función identidad)

40 36 Capítulo 2 "Funciones" Ejemplo: f (x) = 2x Función cuadrática f (x) = x 2 Ejemplo: f (x) = x Función cúbica f (x) = x 3

41 37 Ejemplo: f (x) = 2x Función raíz cuadrada f (x) = x Ejemplo: f (x) = x + 2

42 38 Capítulo 2 "Funciones" Función valor absoluto f (x) = x Función Racional f (x) = 1 x

43 39 Función logarítmica f (x) = Log a (x) Función exponencial f (x) = e x

44 40 Capítulo 2 "Funciones" 2.11 Composición de Funciones o Función compuesta En general, dadas dos funciones La función g f es la función compuesta de f y g, que transforma x en g[ f (x)] Se debe tener cuidado con los dominios de g f y de f g. El dominio de g f es la parte del dominio de f, para los cuales g acepta a f (x) como pre-imagen. También, el dominio de f g es la parte del dominio de g para los cuales f acepta a g(x) como pre-imagen.

45 41 Ejemplo 2.14 Si f y g son las funciones definidas por: f (x) = x 3 2 Encuentre g f y f g con sus respectivos dominios: y g(x) = x (g f )(x) = g[ f (x)] = f (x) = x 3 2 ( f g)(x) = f [g(x)] = g(x) 3 2 Del ejemplo anterior se deduce fácilmente que en general: (g f )(x) ( f g)(x) = x 3 2 Se debe tener también cuidado con los dominios de g f y de f g. El dominio de g f es la parte del dominio de f, para los cuales g acepta a f (x) como pre-imagen. Esto es, D( f ) = R Ahora, como g, solo acepta reales positivos de f (x), esto es, valores de x para los cuales: f (x) 0 x x 3 Se concluye entonces que: D(g f ) = [3, ) Nótese que (g f )(1) = g[ f (1)] = g( 1) NO ESTA DEFINIDO. Igualmente, (g f )(2) = g[ f (2)] = g ( 1 / 2 ) NO ESTA DEFINIDO. También, el dominio f g es la parte del dominio de g para los cuales f acepta a g(x) como pre-imagen. Es decir, D(g) = [0, ). Es decir D(g) = [0, ) Ahora, como f acepta cualquier valor real de g(x), entonces f acepta en particular, los valores de g en el intervalo D(g) = [0, ). De esta forma: D( f g) = [0, ). En el cálculo, a menudo se necesita escribir una función dada como la composición de dos funciones. Esto puede hacerse de varias maneras.

46 42 Capítulo 2 "Funciones" Ejemplo 2.15 la función: p(x) = 3x 2 + 5x + 2 puede escribirse de diferentes formas usando el concepto de composición de funciones, estas son unas alternativas: 1. P(x) = (g f )(x) siendo f (x) = 3x 2 + 5x + 2 y g(x) = x En efecto, (g f )(x) = g[ f (x)] = g ( 3x 2 + 5x + 2 ) = 3x 2 + 5x P(x) = (g f )(x) siendo f (x) = 3x 2 + 5x y g(x) = x + 2 En efecto (g f )(x) = g[ f (x)] = g ( 3x 2 + 5x ) = 3x 2 + 5x + 2 en el segundo caso Función Inversa Dada una función f (x), su inversa es otra función, designada por f 1 (x) de forma que se verifica: Si f (a) = b entonces f 1 (b) = a; para que exista la inversa de una función esta debe cumplir con la condición de ser una función inyectiva. Definición 2.6 Función Inyectiva Una función f es inyectiva (uno a uno) si se cumple que: o equivalentemente f (x 1 ) = f (x 2 ) x 1 = x 2. x 1 x 2 f (x 1 ) f (x 2 ). x 1,x 2 Dom f (x) x 1,x 2 Dom f (x). En otras palabras, una función f es 1-1, si para cada x en el dominio f, existe exactamente una y en el rango, y, ninguna y en el rango es imagen de más de una x en el dominio. Existe también un criterio sencillo para determinar si la gráfica de una ecuación corresponde a una función 1-1. Este criterio se conoce como criterio de la recta horizontal. Definición 2.7 Criterio de la recta horizontal Si toda recta horizontal que sea trazada corta a la gráfica de una función f en uno o en ningún punto, entonces f es una función 1-1 Así por ejemplo, en la fig, aparece la gráfica de la función y = f (x) = x 2 +1 y al trazar una recta horizontal por ejemplo la recta y = 2 corta a la gráfica en más de un punto, por lo que, de acuerdo al criterio de la recta horizontal f (x) no corresponde a una función 1-1.

47 43 Así por ejemplo, en la fig, aparece la gráfica de la función y = f (x) = x la cual, de acuerdo al criterio de la recta horizontal si corresponde a una función 1-1, por lo tanto posee inversa. Nótese que toda recta horizontal, corta a la gráfica en uno y solo un punto Propiedades de la función inversa 1. Toda función y su inversa son simétricas a la función identidad f (x) = x. 2. La compuesta de una función y su inversa da como resultado la función identidad ( f f 1 ) (x) = ( f 1 f ) (x) = x 3. El dominio de la función inversa es igual al rango de la función directa, y el rango de la función inversa es igual dominio de la función directa Dom f 1 (x) = Rango f (x) 4. Siempre se cumple que: f 1 (x) 1 f (x) Pasos para hallar la inversa de una función: Rango f 1 (x) = Dom f (x) 1. En la función y = f (x) se intercambian la variable x por la variable y y de manera viceversa en la expresión inicial: y = f (x) de tal manera que función se transforma en x = f (y) 2. En la nueva expresión x = f (y) se despeja la y, para así obtener y = f 1 (x), esta corresponde a la función inversa de f.

48 44 Capítulo 2 "Funciones" Ejemplo 2.16 Hallar la inversa de y = 2x. 1) Cambiamos la x por la y y de forma viceversa nos queda entonces x = 2y 2) Despejamos la y, nos queda entonces y = x 2 Por tanto la función inversa de y = 2x es y = x 2 ; es decir f 1 (x) = x Aplicaciones de las funciones Las principales aplicaciones de las funciones se encuentran en el modelamiento; modelar una situación matemáticamente significa representarla en términos matemáticos. La representación particular que se usa se llama un modelo matemático de la situación Modelos Lineales de Costo, Ingreso y Utilidad 1. Una función costo especifica el costo C como una función de la cantidad de artículos x. En consecuencia, es el costo de x artículos y tiene la forma: Costo=Costo variable+costo Fijo en la que el costo variable es una función de x y el costo fijo es constante. Una función costo de la forma C(x) = mx + b se llama una función costo lineal; el costo variable es mx y el costo fijo es b. La pendiente m, es el costo marginal, mide el costo incremental por artículo. 2. Una Función Ingreso especifíca el ingreso I(x) que resulta de la venta de x artículo. El ingreso que resulta es: I = px (Precio por número de unidades) 3. Una función utilidad especifica la utilidad (ingreso neto) U(x) que resulta de la venta de x artículos. Las funciones costo, ingreso y utilidad se relacionan con la fórmula U(x) = I(x) C(x) El equilibrio ocurre cuando U(x) = 0 es decir, cuando I(x) = C(x)

49 45 Ejemplo 2.17 Si el costo fijo es $400 y el costo marginal es $40 por artículo, y si se vende los artículos a $60 cada uno,entonces cuántos artículos debe vender para alcanzar el punto de equilibrio. Solución: C(x) = 40x I(x) = 60x U(x) = R(x) C(x), para el equilibrio, U(x) = 0 60x (40x + 400) = 0 20x 400 = 0 Entonces x = 20. Por lo tanto, tiene que vender 20 artículos para alcanzar el equilibrio Modelos Demanda y Oferta Una Función de Demanda expresa la demanda q (el número de artículos solicitados)como una función del precio unidad p (el precio por artículo). Una Función de Oferta expresa la oferta q (el número de artículos que un proveedor está dispuesto a llevar al mercado) como una función del precio unidad p (el precio por artículo). Es normalmente el caso que la demanda disminuye y la oferta sube a medida que el precio sube. una Función Lineal de Demanda tiene la forma q = mp + b, donde q es la demanda (números de artículos vendidos) y p es el precio del artículo. Se puede concluir una ecuación de demanda lineal a saber la demanda a dos precios distintos. La demanda y la oferta están en equilibrio cuando son iguales. Los valores correspondientes de p y q se llaman precio de equilibrio y demanda de equilibrio. Para hallar el precio de equilibrio, determine el precio unitario p donde se cruzan las curvas de demanda y oferta; puede ser hallado de forma gráfica o analítica. Para hallar la demanda de equilibrio, evalúe la demanda o oferta cone el precio en equilibrio.

50 46 Capítulo 2 "Funciones" Ejemplo 2.18 Si se vende 100 camisetas por semana cuando el precio es $10, y 200 camisetas cuando se baja el precio hasta $8, entonces la ecuación (lineal) demanda es: Solución: q = 50p Ecuación de la recta que pasa por (10,100) y (8,200) Entonces, la función de ingreso relacionada es R = qp = p( 50p + 600) R = 50p p

51 47 Ejemplo 2.19 A un tanque que tiene la forma de un cono circular recto invertido de 4 metros de radio y 16 metros de altura entra agua a una razón determinada. Expresar el volumen de agua en un instante dado: a. En función de la altura h. b. En función del radio de la base x. Solución: En la figura aparece el cono con las dimensiones dadas y una porción del volumen en el instante determinado. El volumen del agua en el instante determinado viene dado por: V = 1 3 πr2 h (V c = 13 ) (areabase)(altura) (1) Como los triángulos ODE y OBC son semejantes, se tiene: 16 4 = h x h = 4x (2) a. Si se quiere expresar el volumen en función de la altura h, se debe despejar x en (2) y sustituirlo en (1). Así, x = h 4 V = 1 3 π ( h 4) 2 h Luego, V = 1 48 πh3 b. Para expresar el volumen en función del radio x, se sustituye (2) en (1). Así: V = 1 3 πx2 (4x) = 4 3 πx3

52 48 Capítulo 2 "Funciones" Ejemplo 2.20 Se dispone de una cartulina cuadrada de lado a y se quiere hacer una caja sin tapa recortando cuadrados iguales en las esquinas y doblando sus lados (Ver figura). Exprese el volumen de la caja en función del lado del cuadrado recortado. V (x) = (a 2x) 2.x V (x) = 4x 3 4ax 2 + a 2 x 0 x a 2

53 49 Ejemplo 2.21 Una piscina rectangular de 20 mts. de largo por 10 mts de ancho, tiene 4 mts de profundidad en un extremo y 1 mt en el otro. La figura adjunta ilustra una vista transversal de la piscina. El agua para llenar la piscina es bombeada por el extremo profundo. a. Determine una función que exprese el volumen V de agua en la piscina como función de su profundidad x en el extremo profundo. b. Calcular V (1) y V (2) Solución a. Sea L la longitud de la medida del nivel del agua desde el extremo profundo hasta el menos profundo. Note que L y x son los lados de un triángulo rectángulo semejante al triángulo cuyos lados son 20 y 3 mts. De esta forma, se puede establecer la siguiente proporción: L x = 20 3 L = 20 x, con 0 x 3 3 Ahora, el volumen V en un instante determinado viene dado por: V = (Área de la sección transversal). (Ancho) b. V = L.x = 3 x.x 2 V (x) = x2.10 = x2 V (1) = (1)2 = m 3 V (2) = (2)2 = m 3

54 3 Límites y Continuidad de Funciones Pretendemos esclarecer la idea de límite de una función. Haremos hincapié en el concepto, pues el cálculo matemático requiere el conocimiento de diversas herramientas que no entraremos a contar en detalle, utilizando algún programa de cálculo para ello. Para entender el concepto de límite veámoslo con un ejemplo. Consideremos la función: f (x) = x 1 x 1 cuyo conjunto de definición (dominio) es el conjunto de los números reales no negativos excepto x = 1, es decir: Si realizamos su representación gráfica: D = {x R x 0,x 1} Para x = 1, el dibujo hace un pequeño salto, que no se aprecia en la figura pero que sería tal y como puede verse a continuación:

55 51 Como veremos en el apartado siguiente ello implicará una discontinuidad de la función en x = 1. Ahora nos preguntamos: cuando el valor de x es muy cercano a 1, cuánto vale la función?. Es claro que en x = 1 la función no está definida; por lo tanto, tendremos que dar un método que sea capaz de responder a la cuestión anterior, la cual podemos plantearla en los términos siguientes: Si x tiende a 1 a cuánto tiende la función? A esto es lo que llamaremos límite de la función F(x) cuando x tiende a 1 y lo denotaremos como: lim f (x) = L x Definición Informal de Límite Sea f (x) una función, si las imágenes se aproximan suficientemente a un valor L, cuando los valores de x se aproximan suficientemente a un valor b, decimos que el límite de f (x) cuando x tiende a b es igual a L y escribimos: lim f (x) = L x b Siendo L el valor de dicho límite, el cual queremos calcular; para ello, observemos que a la hora de aproximarnos a lo largo del eje de abscisas al punto x = 1 lo podemos hacer por la derecha y por la izquierda, es decir, podemos considerar (siempre para puntos cercanos a 1). A estos límites los llamaremos límites laterales. 3.2 Límites Unilaterales Definición lim f (x), se llama límite lateral por la derecha. x b + 2. lim f (x), se llama límite lateral por la izquierda x b Teorema 3.1 Para que el límite exista debe cumplir que el límite por la izquierda y por la derecha sean iguales, de lo contrario diremos que el límite no existe en dicho punto, es decir: lim x b f (x) = L, si y solamente si: lim f (x) = lim x b + x b f (x)

56 52 Límites y Continuidad de Funciones Ejemplo 3.1 { 4 x si x < 1 Sea f (x) = 4x x 2 si x 1 Hallar lim x 1 f (x) Solución: lim x 1 f (x) = lim (4 x) = 4 1 = 3 (Acercamiento por la izquierda) = = x 1 lim f (x) = lim (4x x 1 + x 1 x2 ) = 4 1 = 3 (Acercamiento por la derecha). + Entonces: lim f (x) = 3 x 1

57 53 Ejemplo 3.2 Determinar, si existe, el límite de la siguiente función en los puntos x = 2 y x = 0: f (x) = x 1 x 1 Solución: Calculemos: lim x 2 f (x) Si determinamos el valor de la función en dicho punto tenemos: f (2) = y podemos observar en la gráfica de la función como existen los límites laterales: lim f (x) = x 2 lim f (x) = 1 x con lo cual tenemos que: Para el segundo punto, calculemos: lim f (x) = 1 x lim f (x) x 0 En este caso, los límites laterales no coinciden, ya que no existe el límite lateral por la izquierda de la función (no podemos evaluar f en puntos a la izquierda de cero). El límite lateral por la derecha si existe y vale: no existe. lim f (x) = 1, por lo tanto el límite pedido x 0 + En general, para que una función posea en un punto un límite, dicho punto ha de ser tal que puntos a su izquierda y a su derecha han de pertenecer al dominio de la función. Además, la función no tiene por qué existir en dicho punto.

58 54 Límites y Continuidad de Funciones Ejemplo 3.3 Definir una función que NO posea límite en un punto interior a su dominio de definición. Consideremos, por ejemplo, la función: f (x) = { x 2 si x 0 logx si x > 0 Representémosla gráficamente: En este ejemplo el dominio es todos los números reales R. Si tomamos x = 0, que es punto interior, en él, existe la función y vale f (0) = 0 No obstante, no existe el límite cuando x tiende a cero, ya que los límites laterales no coinciden (por la izquierda toma el valor cero y por la derecha el valor, como observamos en la gráfica). Obsérvese que a la hora de calcular los límites laterales utilizamos x 2 cuando determinamos el límite por la izquierda y log(x) cuando calculamos el límite por la derecha. Nota: Sabemos que "el infinito" no es un número, sino un símbolo que expresa un número muy grande, de tal manera que cualquier otro número real verifica ser menor que él. Cuando se define el límite como un número real, si en el cálculo de dicho límite no se obtiene un número real (el infinito no lo es) resultará que el límite no existe. En los dos ejemplos siguientes puede observar dos casos en los que el límite no existe pero que son casos distintos, ya que en el primero los límites laterales coinciden y valen infinito, mientras que en el segundo los laterales no coinciden. lim x 0 1 x 2 = lim 1 x 0 x 2 = lim 1 x 0 + x 2 = 1 lim x 0 x = lim 1 x 0 + x = Nota: Viendo la representación gráfica de las funciones se entiende los resultados obtenidos: f (x) = 1/x 2 f (x) = 1/x

59 Definición Formal de Límite Se dice que la función f (x) tiene como límite el número L, cuando x tiende a c, si fijado un número real positivo ε, mayor que cero, existe un numero positivo δ dependiente de ε, tal que, para todos los valores de x distintos de c que cumplen la condición x c < δ, se cumple que f (x) L < ε. lim x a f (x) = L ε > 0 δ > 0 0 < x c < δ f (x) L < ε Ejemplo 3.4 Utilicemos la definición para demostrar que lim x 2 (4x 5) = 3 Como la función está definida en todo intervalo abierto que contiene a 2, entonces podemos utilizar la definición para hacer la demostración. Se debe demostrar que para cualquier ε > 0 existe una δ > 0 tal que: Si 0 < x 2 < δ entonces (4x 5) 3 < ε (A) Si 0 < x 2 < δ entonces 4x 8 < ε Si 0 < x 2 < δ entonces 4 x 2 < ε Si 0 < x 2 < δ entonces x 2 < ε 4 Entonces, si tomamos δ = 4 ε se cumple la proposición (A). Esto demuestra que lim x 2 (4x 5) = 3

60 56 Límites y Continuidad de Funciones Ejemplo 3.5 Demuestre que lim x 3 (x 2 + x 5) = 7 utilizando la definición de límite. Para hacer la demostración basta con encontrar un δ tal que: 0 < x 3 < δ (x 2 + x 5) 7 < ε x 2 + x 5 7 = x 2 + x 12 = x + 4 x 3 < ε (1) Ya que por definición, el lim x b f (x) = L existe siempre que 0 < x c < δ f (x) L < ε Para efectos de simplificación, asumimos un valor de δ = 1 y obtenemos: x 3 < 1 2 < x < < x + 4 < x + 4 < 8 Sustituyendo en (1) se obtiene que 8δ < ε y que δ < ε ; ya que x 3 < δ por definición Propiedades de los Límites Sean b, c, n, A y B números reales, sean f y g funciones tales que:lim x c f (x) = A, lim x c g(x) = B Entonces: 1. lim x c b = b 2. lim x c x = c 3. lim x c b. f (x) = b.lim x c 4. lim x c 5. lim x c 6. lim x c [ f (x) + g(x)] = lim x c [ f (x).g(x)] = lim x c f (x) = ba lim f (x) f (x) g(x) = x c lim g(x) = A B, B 0 x c 7. lim x c f (x) = lim x c f (x) 8. lim x 0 x k = 0 9. lim x 0 k x = no existe (± ) f (x) + lim x c g(x) = A + B f (x).lim x c g(x) = A.B 10.. lim x ± 11. lim x ± k x n = 0, n 0 x k = no existe (± )

61 Cálculo de Límites 1. Límites de funciones polinómicas Sea f (x) = 3x 3 2x 2 +x 2 La gráfica de una función polinómica (o polinomio) tiene un trazo continuo, por lo cual podemos afirmar: Sea f un polinomio, entonces para cualquier número real c se tiene que lim f (x) = f (c), es decir, que el límite en cualquier punto c de su dominio se halla simplemente x c calculando su imagen. Ejemplo 3.6 Para la función anterior lim x 1 f (x) = 3( 1)3 2( 1) 2 + ( 1) 2 = = 8 = f ( 1) 2. Si al evaluar el límite en forma directa (sustituir el valor del punto en la función), se obtiene una expresión de la forma k 0, k 0 convendrá calcular los límites laterales; si son iguales la función tiene límite, en caso contrario el límite no existe. Cuando se presenten funciones con valor absoluto o funciones a trozos también es conveniente calcular los límites laterales. 3. Si al evaluar el límite en forma directa (sustituir el valor del punto en la función), se obtiene una expresión de la forma 0 0,, 0., 00, 0, 1 (indeterminación) entonces debemos realizar procedimientos algebraicos para suprimir la indeterminación. Nota: Una indeterminación no significa que el límite no exista o no se pueda determinar, sino que la aplicación de las propiedades de los límites tal como las hemos enunciado no son válidas. En estos casos hay que efectuar operaciones particulares para resolver cada una de las indeterminaciones. 3.5 Resumen del cálculo de límites indeterminados Indeterminación 0 0 Cuando solo aparecen funciones racionales (polinomios en el numerador y denominador), basta con descomponer factorialmente el numerador y el denominador.

62 58 Límites y Continuidad de Funciones Ejemplo 3.7 Resolver lim x 1 Solución: lim x 1 x 3 1 x 2 1 x 3 1 x 2 1 = 0 0 Para eliminar la indeterminación, factorizamos el numerador y el denominador, simplificamos y resolvemos el límite obtenido, así: x 3 1 lim x 1 x 2 1 = lim (x 1) ( x 2 + x + 1 ) ( x 2 + x + 1 ) = lim x 1 (x 1)(x + 1) x 1 (x + 1) Por lo tanto lim x 1 x 3 1 x 2 1 = 3 2 En aquellos casos en que aparecen funciones irracionales (radicales), basta con multiplicar y dividir por la expresión radical conjugada. Ejemplo 3.8 ( ) Encuentre la solución del siguiente límite lim x 1 x 1 2x 2 Solución: lim x 1 ( ) x 1 2x 2 = = 0 0 x 1 lim x 1 2x 2 = lim x 1 ( x 1)( x + 1) (2x 2)( x + 1) = lim x 1 ( lim x ( x + 1) ) = 1 4 x 1 2.(x 1)( x + 1

63 59 Ejemplo 3.9 Evalúe el valor de lim x 0 x+1 1 x Si sustituimos el valor de x=0 se tiene la forma 0 0 por lo cual debemos realizar algún procedimiento algebraico, en este caso multiplicamos numerador y denominador por x , es decir, se racionaliza el numerador (por la conjugada) para aplicar el producto notable: y así eliminar la indeterminación (a + b)(a b) = a 2 b 2, x ( x + 1 1)( x ) lim = lim x 0 x x 0 x( (x + 1) 1 = lim x ) x 0 x( x ) = lim x 0 x x( x ) = lim x 0 1 = 1 x Indeterminación ± ± En la mayoría de los casos basta con dividir el numerador y denominador por la mayor potencia de la variable del denominador. También se pueden utilizar teoremas como: Definición 3.2 Sea f(x) una función racional definida por: a) Si n < m entonces: lim x f (x) = 0 b) Si n = m entonces: lim x f (x) = a n b m c) Si n > m entonces: lim x f (x) = ± f (x) = a nx n + a n 1 x n a 1 x + a o b m x m + b m 1 x m b 1 x + b o

64 60 Límites y Continuidad de Funciones Ejemplo x Resuelva lim 2 +x 1 x x x Solución: lim 2 +x 1 = x x 2 +1 Dividimos por la variable de mayor grado del denominador,x 2. lim x 4x 2 x 2 + x x 2 x 2 x = lim 1 x x x = lim x x 2 x 2 x 2 = 4 1 = 4 4x Entonces, lim 2 +x 1 x x 2 +1 = 4 Ejemplo 3.11 x Encuentre el resultado del límite lim 2 +x +3 x x Solución: x 2 +x +3 lim x x = Dividimos el numerador y el denominador entre el término con mayor exponente, o sea x. lim x x 2 + x x 2 x 2 x x + 3 x x Entonces, lim 2 +x +3 x x = 1 = lim x x + 3 x 1 = lim x = 1 1 = indeterminación En la mayoría de los casos basta con efectuar las operaciones indicadas.

65 61 Ejemplo 3.12 Halle lim Solución: ( x x 2 x 2 4 x 2 1 ( ) lim x x 2 x 2 4 x 2 1 = Indeterminación. ) Realizamos la diferencia: lim x 2 ( x x x 2 Hay que hacer límites laterales: lim lim ) = lim x 2 ) ( 2 x 2 x 2 4 ( 2 x 2 + x 2 4 lim x 2 ) ( x (x + 2) x 2 4 = 2 0 = + = 2 +0 ) ( ) 2 = lim x 2 x 2 = 2 4 ±0 = + ( x x ) = No existe x 2 En otros casos, sobre todo en aquellos en que aparecen raíces cuadradas, basta con multiplicar y dividir por la expresión radical conjugada(es decir, racionalizar).

66 62 Límites y Continuidad de Funciones Ejemplo 3.13 ( Encuentre: lim x ) x 2 + x x Solución: ( lim x ) x 2 + x = x ( ) lim x x 2 + x = lim x x lim x ( x )( x 2 + x x + ) ( x 2 x 2 + x ( x + ) x2 2 + x) = lim x 2 + x x x + x 2 + x x 2 x 2 x x + x 2 + x = lim x x x + x 2 + x = + Hemos transformado el límite en otro indeterminado de la forma + que se resuelve dividiendo el numerador y el denominador entre x, así: lim x x x + x 2 + x = lim x x x x x + x 2 + x x 2 x x 2 = lim x = = 1 2 Por lo tanto, ( ) lim x x 2 + x = 1 x indeterminación 0. En la mayoría de los casos basta con efectuar las operaciones indicadas. Ejemplo 3.14 Halle lim x 3 (x 3).( 1 x 2 9 ) Solución: ( lim (x 3). x 3 1 x 2 9 ) = 0.(± ) Indeterminación; Realizamos el producto y en este caso llegamos a otra indeterminada del tipo : lim x 3 ( ) x 3 x 2 = lim x 3 ( x 3 ) (x 3)(x + 3) = lim x 3 ( ) 1 = 1 x + 3 6

67 indeterminación 0, 0 0, 1 Para determinar estos límites tendremos en cuenta que: f (x) g(x) = e Ln [ f (x) g(x)] = e g(x) Ln( f (x)), de donde resulta que: lim f x a (x)g(x) = e x a lim [g(x) Ln( f (x))] Pudiendo aparecer otras indeterminaciones, que resolveremos por los métodos anteriores o por métodos que aprenderemos en temas posteriores. Si al calcular el límite de la función aparece una indeterminación del tipo 1 debemos tener en cuenta que: ( lim ) x = lim x x (1 + x) 1 x = e = x 0 También para la indeterminación 1 podemos aplicar con mayor facilidad la siguiente igualdad: lim f x a (x)g(x) = e k, donde k = lim x a [ f (x) 1] g(x)

68 64 Límites y Continuidad de Funciones Ejemplo 3.15 Aplicar la igualdad anterior a la resolución del siguiente límite: lim x 0 ( 1 + x 2 1 x 2 ) 1+3x 2 x 2 Al reemplazar el valor al que tiende la x nos da de la forma aplicando la formula, tenemos: lim x 0 ( 1 + x 2 1 x 2 1, ) 1+3x 2 x 2 = 1 = e k k = lim x a [ f (x) 1] g(x) ( ) ( ) 1 + x x 2 k = lim x 0 1 x 2 1 x 2 ( 1 + x x 2 ) ( ) 1 + 3x 2 k = lim x 0 1 x 2 x 2 ( ) ( 2x x 2 = lim x 0 1 x 2 x 2 ) ( ) ( ) x 2 k = lim x 0 1 x 2 1 ( ) 2 + 6x 2 = lim x 0 1 x 2 = 2 1 = 2 Entonces, lim x 0 ( 1 + x 2 1 x 2 ) 1+3x 2 x 2 = e k = e Límites Trigonométricos Un límite básico relacionado con la trigonometría es el siguiente: sen(x) lim = 1 x 0 x A partir de este resultado podemos resolver límites como: 1. lim x 0 1 cos(x) x = 0 2. lim sen(x) = 1 x 0 x sen(kx) 3. lim x 0 kx = k No olvidar que para resolver los límites trigonométricos debemos de conocer también las identidades trigonométricas.

69 65 Ejemplo 3.16 t+tant Calcular lim t 0 sent Solución:lim t 0 t+tant sent = 0 0 Es conveniente convertir la tangente en su correspondiente expresión en términos de seno y coseno, tenemos: t + tant t + cost sent lim = lim t 0 sent t 0 sent lim t 0 t cost+sent cost sent = lim t 0 t cost + sent cost sent = lim t 0 t cost cost sent + lim t 0 sent cost sent Entonces obtenemos que Nota: En este ejemplo se utilizó lim t 0 t sent 1 + lim t 0 cost t + tant lim t 0 sent lim t 0 t sent = = 2 = 2 = Límites Infinitos Definición 3.3 Asintotas verticales Sea f una función definida en ambos lados de a, excepto posiblemente en x = a. Entonces: lim f (x) =, x a significa que los valores de f (x) se pueden hacer arbitrariamente grandes (tan grandes como deseemos) al elegir un x suficientemente cerca de a (pero no igual a a). En estos casos la gráfica presenta una asíntota vertical en x = a (recta paralela al eje y por la cual no cruza la gráfica).

70 66 Límites y Continuidad de Funciones Definición 3.4 Sea f una función definida en ambos lados de a, excepto posiblemente en x = a. Entonces: lim f (x) =, x a significa que los valores de f (x) se pueden hacer arbitrariamente negativos (tan grandes como deseemos) al elegir un x suficientemente cerca de a (pero no igual a a). En estos casos la gráfica presenta una asíntota vertical en x = a (recta paralela al eje y por la cual no cruza la gráfica) Definición 3.5 Asintota vertical La recta x = a se llama asíntota vertical de la función si se cumple una de las siguientes proposiciones: lim f (x) = lim f (x) = lim x a x a lim f (x) = x a lim f (x) = lim x a f (x) = x a + f (x) = x a Límites al Infinito

71 67 Sea f una función definida en un intervalo (a, ), entonces lim x f (x) = L significa que los valores de f (x) se pueden aproximar a L tanto como deseemos, si escogemos un x suficientemente grande. Definición 3.6 Asíntotas horizontales La recta y = L se llama asíntota horizontal de la curva y = f (x) si se satisface una de las dos expresiones: lim f (x) = L o lim f (x) = L x x De lo anterior podemos concluir que una función racional presenta una asíntota horizontal si el grado del numerador es menor o igual que el grado del denominador. Ejemplo 3.17 Encuentre la asíntota horizontal que posee la siguiente función y = x2 1 x 2 +1 Si calculamos: x 2 1 lim x x obtenemos como resultado 1, lo cual significa que la gráfica tiene un asíntota horizontal en y = 1, veamos esta situación en el siguiente dibujo:

72 68 Límites y Continuidad de Funciones Asintotas Oblicuas Sea una función racional, si el grado del numerador es una unidad mayor que el grado del denominador, entonces la gráfica de f presenta una asíntota oblicua, esta se halla realizando la división indicada en la función.

73 69 Ejemplo 3.18 Encuentre la asíntota oblicua en la siguiente f (x) = x2 3 2x 4 Esta función tiene una asíntota oblicua, hallémosla: Asíntota oblicua: y = 1 2 x + 1 Veamos la gráfica: Nótese que y además x 2 3 lim x 2x 4 = lim x x 2 3 2x 4 = 3.9 Teorema del Emparedado

74 70 Límites y Continuidad de Funciones Definición 3.7 Sean f, g, h funciones tales que: f (x) g(x) h(x) para todo x c en un intervalo que contiene a c, supongamos que entonces: lim x c f (x) = lim h(x) = L, x c lim g(x) = L x c

75 71 Ejemplo 3.19 Demuestre que lim [x 2 sen( 1x ] ) = 0 x 0 [ Obsérvese que no podemos aplicar lo siguiente lim x 2 sen( 1 x 0 x )] = lim x 2.lim x 0 segundo límite no existe. x 0 sen( 1 x ) puesto que el Como 1 sen( 1 x ) 1 donde x 0 entonces: x 2 x 2 sen( 1 x ) x2 (véase la figura de arriba) Además: por lo tanto lim x 0 x2 = lim ( x 2 ) = 0 x 0 lim [x 2 sen( 1x ] ) = 0 x Continuidad de una Función Estudiaremos una característica importante de las funciones como lo es su continuidad, tanto en forma gráfica como de manera analítica. Intuitivamente, una función es continua en un punto si a a pequeños cambios en la variable independiente, x, se producen pequeños cambios en la variable dependiente, y. Gráficamente, se observan claramente, pues son gráficas que se dibujan de un trazo, sin levantar el lápiz

76 72 Límites y Continuidad de Funciones del papel. Definición 3.8 Sea f una función, decimos que f es continua en un punto x = c si se satisfacen tres propiedades: 1. f está definida en c, es decir, f (c) existe, o, f (c) dom f (x) 2. lim x c f (x) existe M 3. lim x c f (x) = f (c) El concepto de continuidad en un punto se generaliza a un subconjunto, de forma que se dice que f es continua en un intervalo abierto abierto (a,b) si es continua en todos los puntos de dicho intervalo. Además, es continua en un intervalo cerrado [a,b] si es continua en (a,b) y es continua por la derecha en a y por la izquierda en b. Podemos observar que en la práctica, el estudio de la continuidad conlleva al cálculo de límites, cuestión que, como vimos en el apartado anterior, necesitará la ayuda de algún programa de cálculo. Cuando una función no es continua en un punto diremos que es discontinua en dicho punto, a continuación estudiaremos los tipos de discontinuidad Clases de Discontinuidad Si cualquiera de las tres condiciones de continuidad falla decimos que la función es discontinua Discontinuidad Evitable Una función tiene una discontinuidad evitable en un punto cuando existe el límite en él y no coincide con el valor de la función en el mismo. Gráficamente se reconoce esta discontinuidad si la función posee un hueco o un quiebre. El valor que deberíamos dar a la función en dicho punto para que fuera continua en él se llama verdadero valor de la función en el punto. En este caso la función se puede redefinir para que sea continua, es decir la discontinuidad se puede reparar. Toda función discontinua evitable es reparable. Para evitar la discontinuidad de la función definimos una nueva a partir de la que tenemos, de la siguiente manera: { f (x) si x a g(x) = L si x = a es decir, definimos la nueva función igual que la función que tenemos en todos los puntos donde no hay problema y en el punto donde se presenta la discontinuidad le asignamos el valor del límite.

77 73 Ejemplo 3.20 Hallar el verdadero valor de la función f (x) = x2 5x + 6 x 3 Solución: en el punto x = 3 Si observamos la función, resulta que no está definida en el punto x = 3, pero si calculamos el x 2 5x + 6 límite de la función en ese punto, obtenemos: lim f (x) = lim = 0 x 3 x c x 3 0 x 2 5x + 6 (x 3)(x 2) lim = lim = lim(x 2) = 3 2 = 1 x c x 3 x c x 3 x c que sería el verdadero valor de la función en ese punto. La nueva función es: x 2 5x + 6 si x 3 g(x) = x 3 1 si x = 3 Esta es una función continua en el punto x = Discontinuidad no evitable o esencial Una función tiene una discontinuidad inevitable en un punto cuando no existe límite de la función en dicho punto. En este caso, debido a la imposibilidad de hacerla continua decimos que la discontinuidad es irreparable. Gráficamente se reconoce esta discontinuidad si la función presenta un salto o separación. Nota: debe observarse que para clasificar una discontinuidad en una función, es de primordial importancia el cálculo del límite de la función puesto que si éste existe la función se puede reparar (evitable); en cambio si no existe, la discontinuidad es irreparable (esencial). Mostremos tres ejemplos de funciones discontinuas, en las cuales fallan las condiciones 1, 2 y 3. Ejemplo 3.21 La función: f (x) = x 1 x 1 no es continua en el punto x = 1 ya que la función no existe en dicho punto pero el límite si existe y tiene un valor de 2 (compruébelo). La función es discontinua evitable en x = 1 por existir el límite, sin embargo la función si es continua en cualquier otro punto de su dominio.

78 74 Límites y Continuidad de Funciones Ejemplo 3.22 Analice la continuidad de f(x), si: Solución: 1. f (0) = 0 2 = 0 2. lim f (x) = lim = x 0 + +log(x) x 0 lim f (x) = lim = 0 x 0 x 0 x2 lim f (x) = No existe. x 0 3. f (0) lim x 0 f (x) { x 2 si x 0 f (x) = Logx si x > 0 La función no es continua en el punto x = 0, pero ahora por otra razón al ejemplo anterior: no existe el límite de la función en dicho punto (no coinciden los límites laterales en cero). La función es discontinua inevitable en x = 0 porque no existe el límite. Ejemplo 3.23 Analice la continuidad de f(x), si: Solución: 1. f (2) = 2 2. lim x 2 f (x) = 4 3. f (2) lim x 2 f (x) { 2 si x = 2 f (x) = x 2 si x 2 La función no es continua en el punto x = 2, ya que si bien existe la función en el punto y existe el límite, ambas cantidades no coinciden. La función es discontinua evitable en x = 2.

79 75 Ejemplo 3.24 Analice la continuidad de f(x), si: f (x) = 3x + 5 si x < 1 2 si x = x si x > 1 Solución: 1. f ( 1) = 2 2. lim f (x) = x 1 + lim + x) = 3 1 = 2 +(3 x 1 lim f (x) = lim + 5) = = 2 x 1 x 1 (3x lim f (x) = 2. x 1 3. f (0) lim x 0 f (x) Luego la función es discontinua evitable en el punto x = 1 porque existe el límite y la imagen en x = 1 pero no son iguales Resumen de las Definiciones de Continuidad Para que una función sea continua, discontinua evitable o discontinuidad inevitable, tenemos: 1. f (x) es continua. 2. f (x) es discontinua evitable. 3. f (x) es discontinua inevitable.

80 4 Derivadas y sus aplicaciones Uno de los grupos temáticos de la Matemática Superior que más se aplica a la Economía es, sin duda, la derivada. Es utilizada para determinar el producto marginal, elasticidad e importantes funciones económicas, y para desarrollar los procesos de optimización. Tanto el óptimo microeconómico del consumidor como del productor, representan un problema de optimización modelado mediante un proceso en derivadas parciales. Este documento ilustra algunas de las aplicaciones de la derivada de las funciones de una variable independiente, con énfasis en las aplicaciones económicas. Definición 4.1 Incrementos y razón (tasa) de cambio Sea y = f (x) una función definida en el intervalo [x 1,x 2 ], si x cambia de x 1 a x 2 entonces el cambio o variación en x se llama incremento de x: El correspondiente incremento de y es Dicha variación puede ser positiva o negativa. x = x 2 x 1 y = f (x 2 ) f (x 1 ) El cociente de estos incrementos se llama Razón de cambio promedio o tasa de variación media de y con respecto a x. Razón de cambio promedio = y x = f (x 2) f (x 1 ) x 2 x 1 Definición 4.2 Razón de Cambio Instantáneo Si las variaciones las medimos para valores de x muy próximos obtendremos la tasa de variación instantánea o razón de cambio instantánea de con respecto a x en el punto (x 1, f (x 1 )). Razón de cambio instantáneo = lim x 0 y x = lim x 0 f (x 2 ) f (x 1 ) x 2 x 1

81 77 Ejemplo 4.1 Para la función y = 4 2x+x 2, calcular el incremento de x y el incremento de y para x 1 = 1, x 2 = 2 Solución x = x 2 x 1 = 2 ( 1) = 3 y 1 = 4 2( 1) + ( 1) 2 = = 7 y 2 = 4 2(2) + (2) 2 = = 4 y = y 2 y 1 = 4 7 = 3 El incremento de y negativo significa una disminución de la función, lo cual quiere decir que al aumentar la x tres unidades, la función f (x) disminuye en tres unidades. Ejemplo 4.2 El volumen de ventas de gasolina (No. de litros vendidos por día) es q = 1,000(200 p), en donde p es el precio por litro en centavos. Calcular el incremento en el volumen de ventas de gasolina que corresponde a un incremento en el precio por litro, de $1.50 a $1.60. Cuál es el incremento en el precio? Solución p = p 2 p 1 = = 10 Centavos/litro. q 1 = 1,000( ) = 50,000 litros/día q 2 = 1,000( ) = 40,000 litros/día q = q 2 q 1 = 40,000 50,000 = 10,000,litros/día, Lo cual quiere decir que al aumentar el precio por litro en 10 centavos, el volumen de ventas disminuye en 10,000 litros diarios.

82 78 Derivadas y sus aplicaciones Ejemplo 4.3 Para cierto fabricante, el costo de producción de x toneladas por semana de un producto químico, expresado en dólares está dado por: C(x) = 50, x y el ingreso correspondiente por la venta de x toneladas semanales de producto químico, expresado también en dólares, está dado por I(x) = 300x 0.03x 2. La compañía actualmente produce 4,000 toneladas por semana, pero desea incrementar la producción a 4,200 toneladas de producto químico semanales, calcular: a) El incremento semanal en los costos de producción. b) El incremento semanal en los ingresos. c) El incremento semanal en las utilidades. d) La tasa de cambio promedio de la utilidad por las toneladas extra producidas. Solución a. C = C(4,200) C(4,000) = [50, (4,200)] [50, (4,000)] = 302, ,000 C = $12,000 b. I = I(4, 200) I(4, 000) = I = 730, ,000 = $10,800 c. U = I C = 10,800 12,000 = $ 1,200 d. U x = 1, = 6. [ 300(4,200) 0.03(4,200) 2] [300(4,000) 0.03(4,000) 2] Lo que significa que, en promedio, por cada tonelada adicional producida y vendida por semana, la utilidad disminuye en 6. Definición 4.3 Incremento de una función en forma general x = x 2 x 1 x 2 = x 1 + x, como se puede ver en la gráfica. y = y 2 y 1 = f (x 2 ) f (x 1 ). Por lo tanto sustituyendo x 2 se tiene que y = f (x 1 + x) f (x 1 ) para cualquier incremento de x, a partir de un valor conocido de x. En general, para cualquier valor de x y cualquier incremento de x, se tiene que: y = f (x + x) f (x).

83 79 Ejemplo 4.4 f (x) = x 2 4 a) Calcular el incremento de y si x = 3, x = 0.8 b) Calcular el incremento de y si x = 3, para cualquier incremento de x. c) Calcular el incremento de y para cualquier valor de x y cualquier incremento de x. Solución: [ ] [ ] a) y = f (x + x) f (x) = f ( ) f (3) = f (3.8) f (3) = (3.8) 2 4 (3) 2 4 = = 5.44 b) y = f (x + x) f (x) = f (3 + x) f (3) = [9 4] y = x + ( x) 2 5 = 6 x + ( x) 2. [ ] [ ] [ ] (3 + x) 2 4 (3) 2 4 = x + ( x) 2 4 [ ] c) y = f (x+ x) f (x) = (x + x) 2 4 [ x 2 4 ] [ ] = x 2 + 2x x + ( x) 2 4 [ x 2 4 ] = 2x x+( x) 2 Definición 4.4 Línea secante Es la línea que intercepta la curva en dos o más puntos (Ver figura abajo). Definición 4.5 Línea tangente a una curva en un punto P de la misma Es la línea resultante de la posición límite de las líneas secantes PQ, siendo Q un punto de la curva acercándose al punto P, ya sea por la derecha o por la izquierda (Ver figura abajo). Pendiente de una curva en un punto P de la misma: Es la pendiente, en caso de que exista, de la línea tangente a la curva en el punto P. m = lim h 0 f (x + h) f (x) h

84 80 Derivadas y sus aplicaciones Definición 4.6 La pendiente de la recta tangente a la curva y = f (x) en el punto P (a, f (a)) es: m = lim x a f (x) f (a) x a Derivada de una función y = f (x) Es la función denotada por f (x) o por y, definida por: Siempre que el límite exista. f (x) = y = lím x 0 y x Geométricamente representa la pendiente de la línea tangente a la curva en cualquier punto de la misma Diferentes formas de representar la derivada de una función Sea la función y = f (x) tenemos que la derivada de la función se puede representar de la siguientes formas: y ; f (x); dy dx ; d f (x) ; D x y; D x [ f (x)] dx La derivabilidad implica la continuidad (aunque no al revés) es decir si f (x) es derivable en un punto a, entonces es continua en dicho punto. Esto es equivalente a: "Si f(x) no es continua en un punto a entonces no puede ser derivable en dicho punto" Derivadas laterales Como la derivada de una función es un límite y teniendo presente que, en algunas ocasiones los límites no existen aunque si sus límites laterales, se pueden dar las siguientes definiciones: Se llama derivada lateral de f (x) a la izquierda de a, al límite, cuando existe y es finito:. f (a ) = lim x a f (x) f (a) x a Se llama derivada lateral de f (x) a la derecha de a, al límite, cuando existe y es finito: f (a + ) = lim x a + f (x) f (a) x a Una función es derivable en un punto si existen las derivadas laterales y éstas coinciden.

85 La Derivada como Razón de Cambio y = f (x) = { y x y lím x 0 x = dy es la razón de cambio promedio de y con respecto a x dx es la razón de cambio instántanea de y con respecto a x. La razón de cambio instantánea se abrevia simplemente como razón de cambio f (x) = y = dy dx, y representa aproximadamente el cambio de y por cada cambio unitario en x. Ejemplo 4.5 Halle la derivada de y = x 2 en x = 2 Solución: y = d(x2 ) dx (x+h) 2 x 2 h 0 h = lim x = lim 2 +2xh+h 2 x 2 2xh+h h 0 h = lim 2 h(2x+h) h 0 h = lim h 0 h En x = 2 la derivada es: 2(2) = 4. Entonces: d(x 2 ) dx = 2x Ejemplo 4.6 La derivada de y = x 3 es Solución: y = d ( x 3) dx (x + h) 3 x 3 x 3 + 3x 2 h + 3xh 2 + h 3 x 3 = lim = lim = 3x 2 h 0 h h 0 h Entonces: d ( x 3) = 3x 2 dx

86 82 Derivadas y sus aplicaciones Ejemplo 4.7 Halle la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función f (x) = x en el punto (4,2) Solución: En primer lugar hallemos la pendiente de la recta tangente usando límites: m = lim h 0 x + h x h ( x + h x)( x + h + x) = lim h 0 h( x + h + x) (x + h) x = lim h 0 h( x + h + x) = lim h h 0 h( x + h + x) = lim h 0 1 ( x + h + x) = 1 2 x = = 1 4 Ahora hallemos la ecuación de la recta con la expresión: y = m(x x 0 ) + y 0 y = 1 4 (x 4) + 2 = 1 4 x = 1 4 x + 1 Solución: y = 1 4 x Propiedades o reglas de derivación

87 83 Sea u = f (x) v = g(x) son funciones cuya derivada existe; c y n son número reales o constantes. 1. Si y = c y = 0 2. Si y = x y = 1 3. Si y = cx y = c 4. Si y = x n y = n x n 1 5. y = cu y = cu 6. Si y = u ± v y = u ± v 7. Si y = u.v y = v.u + u.v 8. Si y = u v y = vu uv v 2 9. Si y = lnu y = u u Si y = Log a u y = u u Lna 10. Si y = e u y = u e u Si y = a u y = a u Lnau 11. Si y = u y = u u u Ejemplo 4.8 Encuentre la derivada de y = 2x 3 5x Solución y = 2(3x 2 ) 5(2x) + 0 = 6x 2 10x Se aplicaron las reglas 6, 5, 4, 1. Ejemplo 4.9 Determine la derivada de y = x Solución y = x = 3 + x 1/3 dy dx = x 2/3 = 1 3x 2/3 = x 2 Se aplicaron las reglas 6, 1, 4.

88 84 Derivadas y sus aplicaciones Ejemplo 4.10 Halle la derivada de g(x) = 5 x 3 x x 2 Solución g(x) = 5 x x 3 = x 2 5x1/2 3 x 1/2 + 4 x 2/3 = 5x1/2 3x 1/2 + 4x 2/3 ( ) 1 g (x) = 5 2 x 1/2 3 ( 12 ) x 3/2 + 4 ( 23 ) x 5/3 = 5 2x 1/ x 3/2 2 3x 5/3 Se aplicaron las reglas 6, 5, 4. g (x) = 5 2 x x x 5. Ejemplo 4.11 Halar la derivada de f (x) = 3x2 +5 2x 7 Solución: f (x) = 3x x 7 f (x) = (2x 7)D ( x 3x ) ( 3x ) D x (2x 7) (2x 7) 2 f (x) = (2x 7)(6x) ( 3x ) (2) (2x 7) 2 = 12x2 42x 6x 2 10 (2x 7) 2 = 6x2 42x 10 (2x 7) 2 Se aplicaron las reglas 8, 6, 5, 4,1 Ejemplo 4.12 Obtenga la derivada de y = lnx x 2 +3 Solución: y = Se aplicaron las reglas 7, 9, 6, 4 y 1. lnx ( x y = (x2 + 3) 1x ) lnx(2x) (x 2 + 3) 2 = x + 3 x 2xlnx (x 2 + 3) 2.

89 85 Ejemplo 4.13 Determine la derivada de la siguiente función f (x) = xe x Solución f (x) = xe x f (x) = (x) e x + x(e x ) = e x + xe x Se aplicaron las reglas 7, 10, y Análisis marginal Cuando un fabricante tiene una determinada producción de un bien y observa que ésta es menor que la demanda de su producto, entonces requiere incrementar su producción para satisfacer la demanda, pero necesita saber si al incrementar dicha producción no se generan gastos excesivos que disminuyan su ganancia y es así que aparecen los conceptos de costo marginal, ingreso marginal y beneficio marginal Costo marginal Es el costo adicional que se genera al producir una unidad adicional de un producto o servicio. También se define como la razón de cambio del costo total con respecto al número de artículos producidos y comercializados (es decir, el costo aproximado de una unidad extra producida). Si C(x) es la función del costo total de producción de x artículos dc dx = C (x) es la función del costo marginal. El costo total C = C x C = Cx Ejemplo 4.14 La ecuación de la demanda para el producto de un fabricante es p = 1000e 0.003x. Evalúa la razón de cambio del precio unitario con respecto al número de unidades, cuando éstas son 500. Solución d p dx = 1000( 0.003e 0.003x ) = 3e 0.003x d p dx x=500 = 3e 0.003(500) = 3e 1.5 = Es decir, el precio disminuye a razón de $ por cada unidad demandada

90 86 Derivadas y sus aplicaciones Ejemplo 4.15 El costo total en dólares de producción de x libras de cierta sustancia química está dado por C = x 2. Determinar el costo marginal cuando se producen 3 libras de dicha sustancia. Solución C = dc dx = 10x C = dc dx = 30, x = 3 es decir, si la producción se incrementa de 3 a 4 libras, el costo se incrementa 30 dólares. Ejemplo 4.16 El costo medio unitario en la producción de x unidades es C = 0.002x 2 0.4x ,000 x. Determinar la ecuación del costo marginal y el costo marginal para producir 40 unidades. Solución C = Cx = 0.002x 3 0.4x x + 100,000 C = dc dx = 0.006x2 0.8x + 50 dc dx = =, $27.60/ unidad adicional producida x = Ingreso Marginal Es la razón de cambio del valor total recibido con respecto al número de unidades vendidas (Es decir, el ingreso aproximado recibido por la venta de una unidad adicional vendida). Si I(x) es la función del ingreso total por la venta de x unidades dx di = I (x) es la función del ingreso marginal. La función de ingreso se obtiene multiplicando: (precio unitario).(no. de unidades vendidas), es decir: I = px Ejemplo 4.17 Un fabricante vende un producto a 3x + 50 pesos/unidad. Determinar la ecuación del ingreso marginal y el ingreso marginal para x = 100. Solución I = px = (3x + 50)x = 3x x di = 6x + 50 di dx dx = $650/unidadadicionalvendida x= Utilidad marginal Es la razón de cambio del valor total de la utilidad obtenida con respecto al número de unidades producidas y vendidas (Es decir, la utilidad aproximada obtenida por la fabricación y venta de una unidad adicional).

91 87 Si U(x) es la función de la utilidad total por la producción y venta de x unidades función de la utilidad marginal. du dx = U (x) es la La utilidad se calcula restando: (Ingresos)-(Costos), es decir: U = I C. Ejemplo 4.18 La ecuación de la demanda para el producto de un fabricante es 10p + x x 2 = 700 y la función de costo es C(x) = 1, x 2. Calcular la función utilidad marginal y también evaluar la utilidad marginal para a) x = 100 unidades b) p = $10/unidad. Solución Sabemos que la utilidad está dada por U(x) = I(x) C(x) y que el ingreso es I = px. Por lo tanto despejamos p de la ecuación de la demanda y lo multiplicamos por x para obtener la función ingreso: 10p = 700 x 0.01x 2 p = x 0.001x 2 I(x) = px = 70x 0.1x x 3 U(x) = ( 70x 0.1x x 3) ( 1, x 2) = 0.001x x x 1,000 U (x) = 0.003x x Esta es la función utilidad marginal, para evaluarla en x = 100 simplemente sustituimos este valor de x en dicha función. Para evaluarla en p = 10 tenemos que calcular primero cuánto vale x para ese valor de p en la ecuación de la demanda:10(10)+x+0.01x 2 = 700. Ordenando la ecuación cuadrática nos queda: 0.01x 2 x = 0. Resolviendo la ecuación: x = 1± 1 4(0.01)( 600) 2(0.01) = 1± = 1± = 1± = = 200 a) U (100) = 0.003(100) (100) + 70 = = $18 /unidad adicional. b) U (200) = 0.003(200) (200) + 70 = = $94/unidad extra Consumo y Ahorro Función de consumo (C): muestra la relación entre el nivel de gasto de consumo y el nivel de renta personal disponible. El consumo es C = Co + by, donde Co es el consumo independiente del nivel de renta y b es el incremento que tiene esta función por cada peso adicional de renta, que además en la pendiente de la recta que representa a la función de consumo. Propensión marginal a consumir (PMC): es la cantidad adicional que consumen los individuos cuando reciben un peso adicional de renta. PMC = C = (Co + by ) = b Función de ahorro (S):

92 88 Derivadas y sus aplicaciones muestra la relación entre el nivel de ahorro y la renta. Del supuesto de que la renta es igual al consumo más al ahorro, se obtiene que S = (Co) + (1 b)y. Propensión marginal a ahorrar (PMA): es la cantidad adicional que ahorran los individuos por cada dólar de renta adicional de renta que reciben. PMA = S = [(Co) + (1 b)y ] = 1 b = a Relación entre PMC y PMA: Cada dólar adicional de renta pasa a incrementar el consumo o el ahorro. Combinando estos hechos, se calcula lapmc y la PMA: a+b = 1 Ejemplo 4.19 En una economía con solo dos sectores: empresas y domésticos, la función de consumo se comporta según la expresión C = Y. a) Determine la PMC. Explique su significado. b) Si la función de ahorro está dada por la expresión S = Y. Determine la PMA. Solución: a PMC=( Y) =0.6 PMC = C PMC = (40+0.6Y) = 0.6 Los sectores de la economía dedican 0.4 por cada peso adicional de renta Elasticidad de la Demanda Es el medio por el cual los economistas miden cómo un cambio en el precio de un producto afecta la cantidad demandada. Se define como: Elasticidad de la demanda = Ejemplo 4.20 cambio porcentual en la cantidad demandada cambio porcentual en el precio = cpd cpp Suponiendo que el precio por artículo se incrementa en un 6 % y la cantidad demandada decrece en un 4 %, entonces la elasticidad de la demanda es 4 6 = 2 3 = De acuerdo con la definición se tiene que: Elasticidad = x x 100 p x = 100 x p p p Elasticidad puntual de la demanda (η) Se define como: ( ) p x η = lím p 0 x p = lím p x = p p 0 x p x lím p 0 ( x p ) = p x ( ) dx = px d p x.

93 89 En general d dx p < 0, por lo tanto η < 0. Es decir, como por regla general esta derivada es negativa, ya que al aumentar el precio de un artículo la demanda baja y viceversa, y como el precio y la demanda son cantidades positivas, la elasticidad puntual es negativa. Por otra parte de la misma definición de elasticidad se observa que: Además tenemos que d dx p = 1 d p, entonces η = p En resumen: dx η = cpd cpp cpd = η(cpp). η = px x ( x d p dx ) = p xp o también η = p xp y además cpd = η(cpp)o también cpp = cpd η Ejemplo 4.21 Si la ecuación de la demanda es x = p p 2, evaluar para p = 15: a) La elasticidad puntual de la demanda. b) El cambio porcentual de la demanda si el precio se incrementa en 6%. c) El cambio porcentual en la demanda si el precio disminuye 4%. d) El cambio porcentual en el precio si la demanda disminuye 10%. Solución: a) η = px x dx d p = 2 2p. Si p = 15 x = (15) (15)2 = 105 y = 15( 28) 105 = 4 b) cpd = η(cpp) = ( 4)(6) = 24, es decir la demanda disminuye en 24%. c) cpd = η(cpp) = ( 4)( 4) = 16, es decir la demanda aumenta en 16%. d) cpp = cpd η = 10 4 = 2.5, es decir el precio aumentó 2.5% dx = 2 2(15) = 28 d p Tipos o categorías de elasticidad 1. Si η < 1, es decir η > 1 la demanda es elástica. 2. Si 1 < η < 0, es decir η < 1. la demanda es inelástica. 3. Si η = 1, es decir η = 1 la demanda tiene elasticidad unitaria.

94 90 Derivadas y sus aplicaciones Ejemplo 4.22 p = 1,875 x 2 d p dx = 2x η = p xp = p x( 2x) = p 2x 2 Si x = 20 p = 1,875 (20) 2 = 1,475 η = 1,475 2(20) 2 = Por lo tanto es elástica. Si x = 25 p = 1,875 (25) 2 = 1,250 η = 1,250 2(25) 2 = 1. Por lo tanto es unitaria. Si x = 30 p = 1,875 (30) 2 = 975 η = 975 2(30) 2 = Por lo tanto es inelástica. En general: Cuando la demanda es elástica, un cambio porcentual en el precio provoca un cambio porcentual mayor en la cantidad demanda. Cuando la demanda tiene elasticidad unitaria, un cambio porcentual en el precio provoca un cambio porcentual igual en la cantidad demandada. Cuando la demanda es inelástica, un cambio porcentual en el precio provoca un cambio porcentual menor en la cantidad demandada. Ejemplo 4.23 La ecuación de la demanda para el producto de un fabricante es p = 3x Evaluar la elasticidad puntual de la demanda y su tipo cuando la producción y venta es de 50 unidades. Solución: d p (3x + 2)(0) 600(3) = dx (3x + 2) 2 = 1,800 (3x + 2) 2. η = p 600 xp = 3x+2 600(3x + 2) 2 [ ] = x 1,800 1,800x(3x + 2) = 3x + 2 3x. (3x+2) 2 Si x = 50 η = 3(50) + 2 3(50) = = 76 = Por lo tanto es elástica. 75 Otra forma: Si x = 50 p = 600 3(50)+2 = = ; d p dx = 1800 = 1,800 [3(50)+2] 2 23,104 = η = ( ) =

95 91 Ejemplo 4.24 La ecuación de la demanda para el producto de un fabricante es x = p 2 30p+300, x > 0 Evaluar la elasticidad puntual de la demanda y su tipo, cuando el precio de venta del artículo es $10. Evaluar también el cambio porcentual en la demanda si el precio disminuye 4%. Solución: dx d p = 2p 30. Sip = 10 x = (10)2 30(10) = 100 y dx = 2(10) 30 = 10 d p η = px x = 10( 10) 100 = = 1. Por lo tanto tiene elasticidad unitaria. cpd = η(cpp) = ( 1)( 4) = 4%, es decir, si el precio disminuye 4%, la demanda aumenta 4%. Ejemplo 4.25 La ecuación de la demanda para el producto de un fabricante es p = 200e 100 x. Evaluar la elasticidad puntual de la demanda y su tipo, cuando la producción y venta es de 100 unidades. ( d p dx = 200e 100 x 1 ) = 2e 100 x ; 100 η = p xp = x 200e x 100 ( ) = 200 2e 100 x x( 2) = 100 x. Si x = 100 η = = 1. Luego tiene elasticidad unitaria. Otra forma: Si x = 100 p = 200e 1 p = 2e 1 η = 200e 1 100( 2e 1 ) = = 1

96 92 Derivadas y sus aplicaciones Ejemplo 4.26 La ecuación de la demanda para el producto de un fabricante es x = ln p. Evaluar la elasticidad puntual de la demanda y su tipo, cuando el precio de venta del artículo es $ Evaluar también el cambio porcentual en el precio si la demanda disminuyó 5.5 %. Solución: ( ) dx d p = 100 1p = 100 p. Si p = x = ln54.59 = 200 x = px = η = x = 54.59( ) 200 = Por lo tanto es inelástica. cpp = cpd η = = 11, es decir el precio aumentó aproximadamente 11 %. Ejemplo 4.27 La función de utilidad de una empresa, en miles de pesos, está dada por U(x) = 50ln(x + 1) 90 donde x representa las unidades fabricadas y vendidas. Calcular la razón de cambio de la utilidad con respecto al número de unidades, cuando se fabrican y se venden 10 unidades Solución U 1 (x) = 50( x + 1 ) = 50 x + 1 U (10) = = 4.54 Es decir, la utilidad aumenta $4,545 por cada unidad más que se fabrique y venda Relación entre la elasticidad y el ingreso Si la demanda es elástica, al disminuir el precio del producto, la demanda de éste aumenta en un porcentaje mayor, por lo que el ingreso es mayor. Es decir, un menor precio hace crecer la demanda en forma suficiente para que el ingreso aumento, a pesar de haber bajado el precio del producto. También se concluye que al aumentar el precio del producto, la demanda baja en un porcentaje mayor, por lo cual el ingreso disminuye. Si la demanda es inelástica, al disminuir el precio del producto la demanda aumenta en un porcentaje menor, por lo que a pesar de que se venden más unidades el ingreso es menor. Es decir, al disminuir el precio la demanda aumenta, pero no lo suficiente para compensar la disminución del ingreso, por la baja del precio del producto. También se concluye que al aumentar el precio del producto, la demanda baja en una proporción menor, de tal forma que el ingreso aumenta. Si la demanda tiene elasticidad unitaria, al disminuir el precio del producto la demanda aumenta en el mismo porcentaje, de tal manera que el ingreso permanece sin cambio. También un mayor precio hace decrecer la demanda en forma tal que el ingreso no cambia.

97 93 Ejemplo 4.28 La ecuación de la demanda para el producto de un fabricante es p = Contestar las x2 siguientes preguntas para una demanda de 10 unidades: a) Cuál es el precio unitario del artículo? b) Cuál es la elasticidad puntual de la demanda y su tipo? c) Cuál es el número aproximado de unidades en las que se incrementa la demanda al disminuir el precio un 12 %? d) El ingreso para el fabricante: aumentará, disminuirá o permanecerá constante, al disminuir el precio del artículo en un 12%? por qué? Solución: a) p = (10) 2 = 3500 = $5 por unidad b) d p dx = ( x2 )(0) 3500(6x) ( x 2 ) 2 = 21000x ( x 2 ) 2 dx d p = ( x2 ) 2 = ( (10)2 ) 2 = x 21000(10) 21 = 7 3 η x=10 = px x = 5 10 ( 7 3 ) = 7 = Por lo tanto es elástica. 6 c) cpd = η(cpp) = 7 6 x x(cpd) (( 12) = 14% y como cpd = (100) x = x 100 = = 1.4 Es decir, la demanda se incrementa 1.4 unidades. d) El ingreso aumentará, porque la demanda es elástica, de tal manera que al bajar el precio 12%, la demanda aumenta en un porcentaje mayor (14%). Comprobación: I 1 = p 1 x 1 = (5)(10) = $50 I 2 = p 2 x 2 = (4.4)(11.4) = $ Regla de la cadena Si f (u) es derivable en u = g(x) y g(x) derivable en x, entonces la compuesta ( f g) (x) = f (g(x)) es derivable en x. Además: ( f g) (x) = f (g(x)).g (x)

98 94 Derivadas y sus aplicaciones Usando la notación de Leibniz, si y = f (u) u = g(x) entonces: Regla de la cadena para potencias Si u(x) es una función derivable entonces: dy dx = dy du du dx d(u n ) dx n 1 du = nu dx Ejemplo 4.29 Sea y = (3x 2 x + 1) 4 halle su derivada. Solución: y = 4(3x 2 x + 1) 3 (3x 1) Ejemplo 4.30 Sea y = x 3 + x calcule dy dx. y = x 3 + x = (x 3 + x) 1 2 dy dx = 1 2 (x3 + x) 1 2 (3x 2 + 1) = 3x x 3 + x 4.4 Derivada de funciones trigonométricas Derivada de la función seno Demuestre que es cierto que: d dx sen(x) = cos(x) Solución: d sen(x + h) sen(x) sen(x)cos(h) + sen(h)cos(x) sen(x) [sen(x)] = lim = lim dx h 0 h h 0 h sen(x)(cos(h) 1) + sen(h) cos(x) sen(x)(cos(h) 1 sen(h)cos(x) lim = lim + lim h 0 h h 0 h h 0 h cos(h) 1 sen(h) sen(x)lim + cos(x)lim = sen(x)(0) + cos(x)(1) = cos(x) h 0 h h 0 h

99 Derivada de la función coseno Demuestre que es cierto que: d dx cos(x) = sen(x) Solución: d cos(x + h) cos(x) cos(x)cos(h) sen(h)sen(x) cos(x) [cos(x)] = lim = lim dx h 0 h h 0 h cos(x)(cos(h) 1) sen(h)sen(x) cos(x)(cos(h) 1 sen(h)sen(x) = lim = lim lim h 0 h h 0 h h 0 h cos(h) 1 sen(h) = cos(x)lim sen(x)lim = cos(x)(0) sen(x)(1) = sen(x) h 0 h h 0 h d cos(x) = sen(x) dx Para obtener las demás derivadas no es necesario usar límites ya que empleamos las identidades que involucran a seno y a coseno Derivada de tangente d dx tan(x) = d dx [ ] sen(x) cos(x)cos(x) ( sen(x))sen(x) = cos(x) (cos(x)) 2 = cos2 (x) + sen 2 (x) (cos(x)) 2 = 1 cos 2 (x) = sec2 (x) d dx tan(x) = sec2 (x) Derivadas de otras funciones trigonométricas Se puede usar este mismo procedimiento para probar las siguientes derivadas: d dx cot(x) = csc2 (x) d d sec(x) = sec(x)tan(x) dx csc(x) = csc(x)cot(x) dx Derivadas de funciones trigonométricas compuestas Derivadas de funciones trigonométricas compuestas 1. d dx sen(u) = cos(u) du dx 2. d dx cos(u) = sen(u) du dx 3. d dx tan(u) = sec 2 (u) du dx 4. d dx cot(u) = csc 2 (u) du dx 5. d dx sec(u) = sec(u)tan(u) du dx 6. d dx csc(u) = csc(u)cot(u) du dx

100 96 Derivadas y sus aplicaciones Ejemplo 4.31 Derive y = sen(x 2 ) Solución: y = cos(x 2 )2x = 2xcos(x 2 ) Ejemplo 4.32 Derive y = sen( 1 x 1 2 ) Solución: y = cos( 1 x 1 2 )( 1 x 2 ) = 1 x 2 cos(1 x 1 2 ) 4.5 Derivación Implícita Una función f (x) esta definida implícitamente por una ecuación si y solo si al sustituir y por f (x) se llega a una identidad. Ejemplo 4.33 La ecuación y 2 = x define dos funciones implícitamente, ellas son: y = f (x) = x, y = f (x) = x Para hallar f (x) = dy dx debemos derivar implícitamente la ecuación y 2 = x, en primer lugar vamos a sustituir y por f (x) en la ecuación, así: [ f (x)] 2 = x, ahora derivamos en ambos miembros con respecto a x y usamos la regla de la cadena en el miembro izquierdo 2 f (x) f (x) = 1 f (x) = 1 2 f (x) = 1 2y

101 97 Ejemplo 4.34 Suponga que y 3 + 7y = x 3 define a y como una función implícita de x, halle dy dx. Solución: Derivando en ambos miembros: 3y 2. dy dx + 7dy dx = 3x2 dy dx (3y2 + 7) = 3x 2 dy dx = 3x2 3y Derivada de una Función elevada a otra Función Tambien se conoce como la derivada de la función exponencial compuesta, se puede representar de la forma: y = U V Para hallar su derivada podemos podemos usar la formula: y = y( V U +V lnu) Otra forma de derivarla es por medio del logaritmo natural. Se le aplica a los dos lados de la expresión logaritmo natural ln para por medio de propiedades de logaritmos bajar la función del exponente y posteriormente derivar cada lado en forma de derivada implicita, para luego despejar y. Ejemplo 4.35 Derivar y = x x Solución: y = x x Lny = Lnx x Lny = xlnx 1 y y = 1.Lnx + 1 x x 1 y y = Lnx + 1 y = y(lnx + 1) y = x x (Lnx + 1) 4.7 Derivadas de orden superior

102 98 Derivadas y sus aplicaciones Sea y = f (x) una función entonces: y = f (x) = dx d f (x), es la primera derivada o derivada de primer orden y = f (x) = d2 dx 2 f (x), es la segunda derivada o derivada de segundo orden y = f (x) = d3 dx 3 f (x), es la tercera derivada o derivada de tercer orden y (n) = f (n) (x) = d n dx n f (x), es la enésima derivada o derivada de orden n. Ejemplo 4.36 Halle todas las derivadas de orden superior para y = 3x 4 + 2x 3 + x 2 2 Solución: y, = 3(4x 3 ) + 2(3x 2 ) + 2x 0 = 12x 3 + 6x 2 + 2x y,, = 12(3x 2 ) + 6(2x) + 2 = 36x x + 2 y,,, = 36(2x) = 72x + 12 y IV = 72 y V = 0 Ejemplo 4.37 Halle la tercera derivada de y = 1 x = x 1 Solución: y = x 2 y = 2x 3 y = 6x Teorema del Valor medio Si f es una función en la que se cumple que: 1. f es continua en el intervalo cerrado [a,b] 2. f es diferenciable en el intervalo abierto (a,b)

103 99 Entonces, existe un número c que pertenece a (a,b) tal que: f (c) = f (b) f (a) b a La ilustración muestra la interpretación geométrica del Teorema del Valor medio. Teorema 4.1 El teorema afirma que si la función es continua en [a,b] y diferenciable en (a,b), existe un punto c en la curva, entre A y B, donde la recta tangente es paralela a la recta que pasa por A y B. Esto es, c (a,b), tal que f (c) = f (b) f (a) b a

104 100 Derivadas y sus aplicaciones Ejemplo 4.38 Para la función cuya ecuación se da, verificar que se cumplen las condiciones del teorema del valor medio en el intervalo dado, y determinar un valor adecuado c que satisfaga la conclusión de este teorema: f (x) = x 3 + x 2 x; [ 2,1] Solución: Como f es una función polinomial, es derivable para toda x R por lo que debe existir por lo menos un número c ( 2,1), que cumpla que: f (c) = f (b) f (a) b a Por lo tanto: f (c) = f (1) f ( 2) 1 ( 2) = 1 ( 2) 3 = 1 (1) Además por lo que entonces igualando 1 y 2 por lo que Luego en f (x) = 3x 2 + 2x 1 f (c) = 3c 2 + 2c 1 (2) c = ( 1 + ) 7, c 2 + 2c 1 = 1 o c = y en ( 1 ) 7, la recta tangente es paralela a la recta secante que pasa por los puntos ( 2, 2) y (1, 1) 4.9 Razones de cambio relacionadas Cuán rápido varía una cantidad? En general, una razón de cambio con respecto a la variable independiente es la respuesta a esta pregunta. La derivada de una función y = f (x) es una razón de cambio instantánea con respecto a la variable x. dy dx Si la función representa posición o distancia entonces la razón de cambio con respecto al tiempo se interpreta como velocidad. Si dos cantidades están relacionadas entre sí, entonces cuando una de ellas cambia

105 101 con el tiempo, la otra cambiará también. Por lo tanto sus razones de cambio (con respecto al tiempo) están relacionadas entre sí. Por ello a este tipo de situaciones se les llama razones de cambio relacionadas. Los problemas de razones de cambio relacionadas se resuelven siguiendo los siguientes pasos: 1. Hacer una ilustración de la situación planteada. 2. Identificar con símbolos las cantidades que varían en el tiempo. 3. Identificar las razones que se conocen y la razón que se busca. 4. Escribir una ecuación que relacione las variables. 5. Derivar implícitamente con respecto al tiempo la ecuación obtenida en el paso 4.

106 102 Derivadas y sus aplicaciones Ejemplo 4.39 Un recipiente cónico (con el vértice hacia abajo) tiene 3 metros de ancho arriba y 3,5 metros de hondo. Si el agua fluye hacia el recipiente a razón de 3 metros cúbicos por minuto, encuentre la razón de cambio de la altura del agua cuando tal altura es de 2 metros. Solución: Sea el volumen V y el radio r de la superficie variable en el instante t. Dato: Rapidez con que aumenta el volumen del agua; o sea dv dt = 3m 3 /min Encontrar: Rapidez con que sube el nivel del agua cuando la profundidad es de 2 metros; es decir, dh dt h=2m La ecuación que relaciona las variables es el volumen del cono: V = π 3 r2 h (1) Ahora bien, como el volumen consta de dos variables (h y r), conviene, expresarlo únicamente en términos de la altura h, por lo tanto por semejanza de triángulos: Sustituyendo en (1) se tiene que: V = π 3 r 1.5 = h 3.5 r = 3 7 h. ( ) h h V = 3π 49 h3 La ecuación de razones relacionadas se obtiene derivando implícitamente, respecto del tiempo, a ambos lados de la ecuación V = π ( 37 3 h ) 2 h lo cual nos conduce a: dv dt = 9π dh h2 49 dt Finalmente, como se desea encontrar la variación de la profundidad del agua en el instante en que h = 2 y dado que dv dt = 3, sustituimos estos valores en (2) para obtener: 3 = 9π dh 49 (2)2 dt dh dt (2) = π = 49 12π dh dt = Por lo tanto, el nivel del agua aumenta a una razón aproximada de 1.3 m/min.

107 103 Ejemplo 4.40 Una empresa tiene la función de costo C(x) = x 1 20 x2, en donde x es el nivel de producción. Si éste es igual a 5 actualmente y está creciendo a una tasa de 0.5 por año. Calcule la tasa en que los costos de producción se están elevando. Solución: Sabemos que dx dt por, Por consiguiente, = 0.5 (cuando el tiempo se mide en años) El costo marginal está dado dc dt dc dx = x = dc dx dx dt = ( 4 x ) dx 10 dt Sustituyendo x=5, el nivel de producción actual, obtenemos dc dt = ( 4 5 ) (0.5) = Asi que los costos de producción se están incrementando a una tasa de 1.75 por año Aplicaciones de la Derivada Las aplicaciones fundamentales de las derivadas son: 1. El problema de la recta tangente. 2. Representación gráfica de funciones. 3. Para cálculo de límites indeterminados. 4. Para optimización El problema de recta tangente Dada una función f (x), se trata de definir la tangente a la curva en un punto P. Como ya se vio en la interpretación geométrica de la derivada, la derivada de una función f (x) en un punto (x 1,y 1 ) expresa la pendiente de la recta tangente a la función en ese punto m = f (x 1 ) = y (x 1 ). Por tanto, la ecuación (punto-pendiente) de la recta tangente a la curva en el punto P(a, f (a)) es: y y 1 = m (x x 1 ) y f (a) = f (a) (x a)

108 104 Derivadas y sus aplicaciones Ejemplo 4.41 Halla la ecuación de la recta tangente a la curva f (x) = x 2 + x + 1 en el punto de abscisa x=2 Solución: La pendiente es el valor de la derivada: f (x) = 2x + 1 Pendiente: m = f (2) = = 5 Ecuación de la recta: y y 0 = m(x x 0 ) Necesitamos las coordenadas del punto: Para x =2 pasa por el punto P(2, 7) f (2) = = 7; por lo tanto La ecuación de la recta es, por tanto, y 7 = 5(x 2) y = 5x Representación gráfica de funciones La primera derivada y la gráfica de una función Utilizaremos el criterio de la primera derivada para analizar dónde una función es creciente o decreciente, calcular sus valores críticos, localizar sus valores máximos y mínimos relativos y esbozar su gráfica. Definición 4.7 Funciones creciente o decreciente Sean x 1 y x 2 dos números reales cualesquiera de un intervalo I, siendo x 1 < x 2. Se dice que: 1. f (x) es creciente en el intervalo I si y sólo si f (x 1 ) < f (x 2 ) 2. f (x) es decreciente en el intevalo I si y sólo si f (x 1 ) > f (x 2 ) Definición 4.8 Criterios para determinar si una función es creciente o decreciente: Si f (x) es derivable en el intervalo I = (a, b) 1. f, (x) > 0 para toda x en el intervalo I, entonces f (x) es creciente en dicho intervalo. 2. f, (x) < 0 para toda x en el intervalo I, entonces f (x) es decreciente en dicho intervalo.

109 105 En la gráfica 1 se puede ver que la función es creciente en (,2) y (4, ), y es decreciente en (2,4). Ejemplo 4.42 Determinar para qué valores de x la función y = x 2 4x + 3 es creciente o decreciente. f (x) = x 2 4x + 3. Solución: Derivando la función se obtiene: f (x) = 2x 4 = 2(x 2). Analizando la derivada, se tiene que: Si Si x < 2, entonces f (x) < 0, por lo tanto f (x) es decreciente. x > 2, entonces f (x) > 0, por lo tanto f (x) es creciente. En la gráfica 2 se pueden comprobar estos resultados. Valores críticos Son los valores de x, dentro del dominio de la función, en donde la derivada es cero o en donde la derivada no existe (es decir, no está definida). Haciendo referencia a la gráfica 1, x = 2, x = 4, x = 6 son valores críticos, porque en el primero y en el tercero la derivada es cero, ya que la tangente es horizontal, y en el segundo la derivada no existe, ya que existen dos tangentes para un mismo punto. Haciendo referencia a la gráfica 2, existe un solo valor crítico: x = 2 (ahí la derivada es cero). El punto correspondiente a un valor crítico, en la gráfica de una función, se llama punto crítico. En la gráfica 2 el punto P(2, 1) es un punto crítico.

110 106 Derivadas y sus aplicaciones Extremos de una función Una función puede tener más de un punto de máximo y/o de mínimo. (Véase la figura 3). Los valores extremos pueden ser interiores o extremos del intervalo. En la figura 4, c y d no son máximo y mínimo, respectivamente, en [a,b], pero sí en una vecindad Extremos locales de una función Son los valores máximos o mínimos locales de una función dentro de su dominio. Definición 4.9 Si I es un intervalo abierto (generalmente muy pequeño)que contine al valor x 0. Se dice que: 1. f (x 0 ) es un máximo local o relativo de f (x), si y sólo si f (x 0 ) f (x) oara toda x del intervalo. 2. f (x 0 ) es un mínimo local o relativo de f (x), si y sólo si f (x 0 ) f (x) oara toda x del intervalo. Haciendo referencia a la gráfica 1, f (2) = 3 es máximo relativo, f (4) = 1 es mínimo relativo y f (6) = 3 no es ni máximo, ni mínimo relativo.

111 107 Definición 4.10 Criterio de la primera derivada Sea f (x) es continua en un intervalo abierto que contenga al valor crítico x o. 1. Si la función tiene extremos relativos, necesariamente ocurren en los valores críticos. Haciendo referencia a la gráfica 1, existen extremos relativos en x = 2 y en x = 4, que son valores críticos de la función. 2. Si la derivada de la función cambia de signo al pasar por un valor crítico, necesariamente ahí existe un extremo relativo; si no lo hace, no tiene extremo relativo en ese valor crítico. Haciendo referencia a la gráfica 1, no existe extremo relativo en x = 6. Por tanto, no necesariamente en todos los valores críticos de la función existen extremos relativos. 3. Si por la izquierda de un valor crítico x o, la derivada es positiva (es decir, la función es creciente) y por la derecha la derivada es negativa (es decir, la función es decreciente), entonces f (x o ) es un máximo relativo de la función. Si por la izquierda de un valor crítico x o, la derivada es negativa (es decir, la función es decreciente) y por la derecha la derivada es positiva (es decir, la función es creciente), entonces f (x o ) es un mínimo relativo de la función. Haciendo referencia a la gráfica 1, esto se puede constatar. Con esta información que nos proporciona la primera derivada de una función, se puede hacer un esbozo de la gráfica de la función.

112 108 Derivadas y sus aplicaciones Ejemplo 4.43 Hacer un análisis mediante la primera derivada, para bosquejar las gráficas de las siguientes funciones: y = 2x 3 3x 2 36x + 5. Solución: Primero calculamos los valores críticos de la función, por lo cual la derivamos y la factorizamos: y = 6x 2 6x 36 = 6(x 2 x 6) = 6(x 3)(x + 2) Se observa que la derivada es cero en x = 2 y en x = 3, por lo tanto son valores críticos. Ahora los analizaremos por la izquierda y por la derecha, para ver si la derivada es positiva o negativa y así concluir si la función es creciente o decreciente: Si x < 2, entonces f (x) = 6( )( ) > 0, por lo tanto la función f (x) es creciente. Si 2 < x < 3, entonces f (x) = 6( )(+) < 0, por lo tanto la función f (x) es decreciente. Si x > 3, entonces f (x) = 6(+)(+) > 0, por lo tanto la función f (x) es nuevamente creciente. Esto se puede visualizar mejor si construimos la siguiente tabla: Si sustituimos estos valores de x en la función original obtenemos respectivamente los valores máximo y mínimo relativos de la función, que son: y = 49 y y = 76. Por lo tanto podemos expresar ahora los puntos máximo y mínimo relativos o locales de la función: Punto máximo P( 2,49). Punto mínimo P(3, 76) Situando estos puntos en el sistema de coordenadas cartesianas en dos dimensiones, se puede construir la gráfica de la función. Esta se muestra en la (gráfica No. 3), donde se comprueban los resultados del análisis de la función a través de su primera derivada.

113 109 Ejemplo 4.44 Aplique el criterio de la primera derivada para analizar el comportamiento de f (x) = 2 3 x3 6x x Solución: Seguiremos el mismo procedimiento que en el ejemplo anterior: f (x) = 2x 2 12x + 54 = 2(x 2 + 6x 27) = 2(x + 9)(x 3) La derivada es cero en x = 9 y en x = 3, por lo tanto son valores críticos. Ahora construiremos una tabla similar a la anterior: 2( )( ) = 2( )(+) = + 2(+)(+) = Los valores mínimo y máximo relativos de la función, que son: y = 366 y y = 210. Por lo tanto los puntos mínimo y máximo relativos o locales de la función son: Punto mínimo P m ( 9, 366). Punto máximo P M (3,210) La gráfica de la función se muestra en la (gráfica No. 4), donde se comprueban los resultados de este análisis

114 110 Derivadas y sus aplicaciones Ejemplo 4.45 Aplique el criterio de la primera derivada para analizar f (x) = (x + 2) 3 3. Solución: Existe un solo valor crítico: x = 2. f (x) = 3(x + 2) 2. 3( ) 2 = + 3(+) 2 = + Intervalo (, 2) (2, ) La gráfica 5 muestra estos resultados.

115 111 Ejemplo 4.46 Para el producto de un fabricante la función ingreso en pesos, está dada por I(x) = 240x+57x 2 x 3, para 0 x 60, donde x son las unidades que se venden. Calcular el nivel de ventas para obtener un ingreso máximo. Solución: Valores críticos x = 2 y x = 40. I (x) = x 3x 2 = 3(x 2 38x 80) = 3(x 40)(x + 2). El valor negativo no tiene sentido en el problema, ya que el dominio de la función es 0 x 60. 3( )(+) = + 3(+)(+) = Por lo tanto para que el ingreso sea máximo, el nivel de producción debe ser de 40 unidades. El ingreso máximo es de 36,800, que está representado en la gráfica 6, a continuación, por el punto P M (40 unidades,$36800).

116 112 Derivadas y sus aplicaciones Definición 4.11 Criterio de la segunda derivada Si f (x) es una función que tiene un valor crítico en x = a, tal que f (a) = 0 y f (a) existe, Entonces: Si f (a) < 0 f (x) tiene un máximo local o relativo en x = a f (a) > 0 f (x) tiene un mínimo local o relativo en x = a f (a) = 0 no se puede concluir si f (x) tiene máximo o mínimo local en x = a

117 113 Ejemplo 4.47 Aplicar el criterio de la segunda derivada para verificar si la función f (x) = 2x 3 3x 2 36x + 7 tiene valores máximos o mínimos relativos. Solución Primero localizamos sus valores críticos, es decir los valores de x donde la derivada es cero o donde la derivada no existe: f (x) = 6x 2 6x 36 = 6(x 2 x 6) = 6(x 3)(x + 2). Vemos que la derivada existe para todo valor de x, y que existen dos valores de x donde la derivada se hace cero. Por tanto sus valores críticos son: x = 2 y x = 3 Como f ( 2) = 0 y f (3) = 0, probamos ahora el signo de la segunda derivada para estos valores: f (x) = 12x 6 f ( 2) = 12( 2) 6 = 30.Como es negativa existe un máximo relativo o local enx = 2 f (3) = 12(3) 6 = 30.Como es positiva existe un mínimo relativo o local enx = 3 El valor máximo local de la función es f ( 2) = 2( 2) 3 3( 2) 2 36( 2) + 7 = 51 El valor mínimo local de la función es f (3) = 2(3) 3 3(3) 2 36(3) + 7 = 74 Los puntos máximo y mínimo relativos son: P máx ( 2,51); P mín (3, 74) Su representación gráfica se puede ver en la siguiente página:

http://www.cepamarm.es ACFGS - Matemáticas ESG - 05/2013 Pág. 1 de 17

http://www.cepamarm.es ACFGS - Matemáticas ESG - 05/2013 Pág. 1 de 17 http://www.cepamarm.es ACFGS - Matemáticas ESG - 05/2013 Pág. 1 de 17 1 CONCEPTOS BÁSICOS 1.1 DEFINICIONES Una función liga dos variables numéricas a las que, habitualmente, se les llama x e y. x es la

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