UNIVERSIDAD POLITÉCNICA DE VALENCIA ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE INGENIEROS DE TELECOMUNICACIÓN DEPARTAMENTO DE COMUNICACIONES TESIS DOCTORAL

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1 UNIVERSIDAD POLITÉCNICA DE VALENCIA ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE INGENIEROS DE TELECOMUNICACIÓN DEPARTAMENTO DE COMUNICACIONES TESIS DOCTORAL MÉTODOS DE MALLADO Y ALGORITMOS ADAPTATIVOS EN DOS Y TRES DIMENSIONES PARA LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS ELECTROMAGNÉTICOS CERRADOS MEDIANTE EL MÉTODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS ALEANDRO DÍAZ MORCILLO DIRECTOR: LUIS NUÑO FERNÁNDEZ VALENCIA, FEBRERO

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3 A m madr hrmanos

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5 ÍNDICE ÍNDICE INTRODUCCIÓN. MOTIVACIÓN Y OBETIVOS. METODOLOGÍA DE GENERACIÓN DE MALLAS.. Mallas Estrctradas... Métodos Algbracos... Métodos basados n EDPs... Métodos d Sprposcón-Dformacón d Rtícla... Métodos d Crcmnto Estrctrado.. Mallas No Estrctradas... Métodos d Dlana-Voronoï... Métodos d Frnt d Avanc... Gnracón d Mallas Cadrlátras Haédrcas No Estrctradas.. Mallas Sprfcals.. Mtodología Mltbloq. MÉTODOS DE GENERACIÓN DE MALLA BIDIMENSIONAL.. Dscomposcón d Elmntos Cadrlátros n Tranglars.. Áras Cadrlátras... Malla Estrctrada. Intrpolacón por Proctors Transfntos... Malla No Estrctrada n Cadrlátros Rctlínos. Frnt d Avanc Rápdo... Dvsón dl Cadrlátro... Casos Smpls... Casos Crítcos... Rsltados... Malla No Estrctrada n Cadrlátros Arbtraros. Frnt d Avanc Rápdo Gnralado.. Áras Tranglars... Malla Estrctrada. Intrpolacón por Proctors Transfntos... Malla No Estrctrada n Tránglos Arbtraros. Frnt d Avanc Rápdo Gnralado... Rsltados.. Domnos Arbtraros. Técnca Mltbloq... Polígonos Convos... Domnos Arbtraros.5. Mallado Eclsvamnt con Cadrlátros.6. Mjora A Postror d la Caldad d la Malla.6.. Rposconamnto d Nodos.6.. Intrcambo d Arstas

6 ÍNDICE.7. Cost Comptaconal. MÉTODOS DE GENERACIÓN DE MALLA SUPERFICIAL.. Sprfcs Dfndas por s Contorno.. Sprfcs Cádrcas... Sprfcs Esfércas... Sprfcs Elpsodals... Sprfcs Parabolods Elíptcas.. Sprfcs d Rvolcón.. Mjora A Postror d la Caldad d la Malla.5. Cost Comptaconal. MÉTODOS DE GENERACIÓN DE MALLA VOLUMÉTRICA.. Gnracón d Malla Estrctrada.. Gnracón d Malla No Estrctrada. Método d Frnt d Avanc... Implmntacón dl Método d Frnt d Avanc... Nodos Vcnos... Nodos Crcanos... Nodo Óptmo..5. Nodo Mdo..6. Crr dl Frnt Condcons d Concordanca..7. Parámtros d Dsño..7.. Rado d Nodos Crcanos..7.. Ánglo Mámo ntr Caras Vcnas.. Control dl Frnt mdant Rtícla rárqca... Cracón d la Rtícla... Utlacón d la Rtícla.. Mjora A Postror d la Caldad d la Malla. Rposconamnto d Nodos.5. Rsltados.5. Esfra.5.. Tronco Pramdal.5.. Clndro Dformado.5.. Sctor Crvo.5.5. Rposconamnto d Nodos.5.6. Cost Comptaconal 5. MÉTODOS DE MALLADO ADAPTATIVO 5.. Estmacón dl Error A Postror 5... Indcador d Error Rsdal 5... Rsdo Intror 5... Rsdo n las Arstas 5... Indcador d Error Znkwc-Zh (ZZ) basado n l Rotaconal d la Solcón 5... Mallas Tranglars 5... Mallas Mtas o Cadrlátras 5... Indcador ZZ Dpndnt d la Coordnada Aal 5... Indcador d Error n Arsta por Contndad d Fljo Obtncón d na Estmacón dl Error dl Problma 5.. Estratga d Rfnamnto 5... Elccón d las Zonas d Rfnamnto

7 ÍNDICE 5... Métodos d Rfnamnto 5... Métodos d Rfnamnto Conform n Mallas Tranglars 5... Métodos d Rfnamnto Conform n Mallas Cadrlátras 5.. Métodos d Mallado Adaptatvo n Problmas Trdmnsonals 5... Indcador d Error Rsdal 5... Rsdo Intror 5... Rsdo n las Caras 5... Indcador d Error Znkwc-Zh (ZZ) basado n l Rotaconal d la Solcón 5... Indcador d Error n Cara por Contndad d Fljo 5... Estratga d Rfnamnto 5.. Rsltados 5... Mtodología 5... Gía Homogéna n Forma d L 5... Indcador Rsdal 5... Indcador ZZ 5... Indcador por Contndad d Fljo 5... Conclsons 5... Lína Mcrostrp Encapslada 5... Fnln Unlatral Encapslada Lína Coplanar Encapslada con Sstrato Ansótropo con Pérddas 6. CONCLUSIONES Y LÍNEAS FUTURAS A. NOMENCLATURA Y ESTRUCTURAS DE DATOS EN LA GENERACIÓN DE MALLAS A.. Componnts d la Gomtría Bdmnsonal A.. Componnts d la Malla Bdmnsonal A.. Parámtros Físcos dl Problma A.. Informacón d Gstón d Malla A.5. Componnts d la Gomtría Trdmnsonal A.6. Componnts d la Malla Trdmnsonal A. DISCRETIZACIÓN UNIDIMENSIONAL A.. Dscrtacón Unform A.. Dscrtacón Gométrca A.. Dscrtacón Irrglar A. APLICACIÓN DEL MÉTODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS A LA ECUACIÓN DE ONDA VECTORIAL EN PROBLEMAS CERRADOS A.. Problmas d Gado d Ondas A... Obtncón d la Ecacón Intgral mdant l Método d Galrkn A... Dscrtacón d la Formlacón Débl A... Aplcacón d las Condcons d Contorno A... Transformacón dl Atosstma. Obtncón d la Constant d Propagacón A.. Análss d Cavdads Rsonants A... Obtncón d la Ecacón Intgral mdant l Método d Galrkn A... Dscrtacón d la Formlacón Débl A... Aplcacón d las Condcons d Contorno

8 ÍNDICE A... Rsolcón dl Atosstma A. INTERPOLACIÓN LOCAL DE LA SOLUCIÓN A.. Intrpolacón Nodal d Lagrang d Prmr Ordn n Tránglos A.. Intrpolacón Nodal d Lagrang d Prmr Ordn n Cadrlátros A.. Intrpolacón Nodal d Lagrang d Prmr Ordn n Ttradros A.. Intrpolacón Vctoral Conform n Rotaconal d Prmr Ordn n Tránglos A.5. Intrpolacón Vctoral Conform n Rotaconal d Prmr Ordn n Cadrlátros A.6. Intrpolacón Vctoral Conform n Rotaconal d Prmr Ordn n Ttradros A5. DESCRIPCIÓN DEL PROGRAMA DE MODELADO DE GEOMETRÍA Y GENERACIÓN DE MALLA DESARROLLADO A6. PUBLICACIONES GENERADAS POR LA TESIS BIBLIOGRAFÍA v

9 INTRODUCCIÓN. MOTIVACIÓN Y OBETIVOS INTRODUCCIÓN. MOTIVACIÓN Y OBETIVOS El método d los lmntos fntos (MEF) s na técnca nmérca gnral para la rsolcón d problmas q nvolcran cacons n drvadas parcals (EDP). S propso por prmra v n los años carnta f psto n práctca n la década sgnt n l dsño aronátco. Dsd ntoncs l método s ha dsarrollado aplcado tnsamnt n mchos otros campos, ntr llos l lctromagntsmo. Actalmnt s consdra n método gnral aplcabl a la maoría d los problmas matmátcos d ngnría. El método stá basado n la dvsón dl domno contno sobr l q s qr stdar l problma n varos sbdomnos n los q la fncón ncógnta (la solcón dl problma) s sma d fncons d ntrpolacón smpls con cofcnts dsconocdos. Así, l problma orgnal con nfntos grados d lbrtad s transforma n n problma con n númro fnto d éstos, s dcr, la solcón dl problma sobr todo l domno s aproma a partr d n númro fnto d cofcnts dsconocdos. Con sta flosofía, aplcando l método varaconal d Rt o l método d Galrkn, s obtn n sstma d cacons algbracas q, na v rslto, proporcona la solcón dl problma. Todo st procso s pd dvdr n las sgnts fass:. Dscrtacón dl domno.. Elccón d las fncons d ntrpolacón.. Formlacón dl sstma d cacons.. Rsolcón dl sstma d cacons. 5. Postprocso. La aplcacón dl MEF al lctromagntsmo s ncó n la década d los 6 con l análss d gías d onda homogénas d sccón arbtrara, dond la cacón a rsolvr s la scalar d Hlmholt. La tnsón dl MEF a strctras más compljas (nhomogénas, ansótropas) rqró l plantamnto d la cacón d onda vctoral. Esta gnralacón a cacons vctorals do orgn a problmas q no aparcían n las formlacons scalars antrors. En los últmos años s han dsarrollado fncons d ntrpolacón vctorals q consgn lmnar stos problmas [Sn95], [Bal96], [n9]. La dscrtacón dl domno n q tn lgar l fnómno bajo stdo s la prmra, tal v, más mportant fas dl procso, ps d lla dpndn los rcrsos d mmora ncsaros, la vlocdad d gnracón d la solcón la acttd d los rsltados nmércos obtndos. En lla, l domno s dvd n pqños sbdomnos llamados lmntos. La gomtría d éstos dpnd dl númro d dmnsons sobr las q stmos trabajando d las caractrístcas dl problma: Problmas ndmnsonals: sgmntos d la lína q forma l domno. Problmas bdmnsonals: tránglos cadrlátros. Los cadrlátros, lógcamnt, s ajstan mjor a domnos cadrlátros, mntras q los tránglos s sln tlar para domnos con na gomtría más complja. D hcho, calqr domno pd sr dscrtado clsvamnt con tránglos, no así con cadrlátros.

10 INTRODUCCIÓN. MOTIVACIÓN Y OBETIVOS Problmas trdmnsonals: ttradros, pntadros hadros. Análogamnt al caso bdmnsonal, los ttradros son los lmntos más smpls smpr s ajstan a gomtrías arbtraras. La nvstgacón d sstmas d gnracón d mallas aplcabls al MEF s bastant rcnt. Esto, ndo a la dfcltad d ncontrar n método q compagn n bajo cost comptaconal (tmpo rcrsos), na acptabl caldad d la malla, la posbldad d controlar algnas caractrístcas d ésta (como la dstrbcón d los nodos) la capacdad d dscrtar domnos con gomtría complja, ha hcho q, anq la bblografía sobr l tma s tnsa, n la actaldad no sta n método q dstaq claramnt sobr los dmás. Técncas m gnrals, capacs d gnrar mallas n gomtrías compljas, como las d frnt d avanc o las d Dlana-Voronoï, prsntan n cost comptaconal lvado. Por contra, los métodos algbracos gnran la malla a na gran vlocdad, pro son ncapacs d mallar gomtrías d crta compljdad. La gomtría dl domno, l cost comptaconal la capacdad d control q qramos tnr sobr la malla srá lo q nos haga dcantarnos por nos otros métodos. La prmra part d sta tss, dsarrollada n los capítlos,,, stá ddcada al dsño d nvos métodos d mallado bdmnsonal, sprfcal volmétrco q sgan stas prmsas. Anq sos métodos han sdo dsarrollados n l contto dl análss d gado d ondas l dsño d cavdads rsonants d mcroondas, s aplcacón pd abarcar calqr campo d la físca, ps la fas d dscrtacón dl MEF prsnta na clara ndpndnca dl problma tratado. En l prmr capítlo d la tss s rala n somro rpaso dl stado actal d la mtodología d mallado n dos trs dmnsons. En l sgndo capítlo s prsnta n nvo método d mallado bdmnsonal n l q s combnan técncas mltbloq, algbracas d frnt d avanc para consgr n prprocsador con trs caractrístcas fndamntals: Gnraldad d la gomtría a mallar. Bajo cost comptaconal. Caldad d la malla gnrada. En l capítlo s prsntan los métodos dsarrollados para la dscrtacón d dstntas sprfcs trdmnsonals, todos llos basados n l método bdmnsonal dscrto n l capítlo. Los métodos d mallado trdmnsonal prsntan, vdntmnt, na compljdad mcho maor q los bdmnsonals. No s trval na gnralacón d las rtnas d dscrtacón dsñadas para dos dmnsons a trs, por llo, s ha optado por dsarrollar n método d mallado volmétrco basado n la técnca gnral d frnt d avanc, q s prsnta n l capítlo. Indpndntmnt dl método d mallado tlado, n la fas d dscrtacón dl MEF srg tambén la dfcltad d dstrbr los grados d lbrtad a lo largo dl domno dl problma d modo q éstos s concntrn n aqllas onas dond l campo léctrco prsnt nas varacons más abrptas. La mjor dstrbcón srá aqélla q proporcon la solcón más acta con l mnor númro d ncógntas. Una forma d consgr na bna dstrbcón s tlar n sqma adaptatvo, sto s, gnrar na malla ncal con pocos lmntos, rsolvr l problma con sta dscrtacón, stmar l rror comtdo n l cálclo d la solcón, añadr ncógntas n las rgons dond l rror sa maor rsolvr d nvo sobr la nva malla. Est procso s aplca tratvamnt hasta obtnr la prcsón dsada o alcanar n númro d grados d lbrtad acptabl para l problma dado.

11 INTRODUCCIÓN. MOTIVACIÓN Y OBETIVOS Est nfoq d rsolcón dl problma rqr, admás d las hrramntas dl MEF clásco, l dsarrollo d stmadors o ndcadors d rror q dtctn las onas dond l rror d modlado dbdo a la nsfcnt dscrtacón dl mdo contno s más lvado, l dsño d stratgas d rfnamnto o nrqcmnto d sas onas. Fndamntalmnt stn trs tpos d rfnamnto n los q s amnta l númro d ncógntas dl problma: Tpo h: s modfca l tamaño d los lmntos d la malla, s dcr, s cran nvos lmntos allí dond l rror s maor. Tpo p: s modfca l ordn dl polnomo d la fncón d ntrpolacón d los lmntos. Tpo hp: s n nfoq híbrdo q combna las stratgas h p. Calqra q sa l tpo d adaptacón scogdo, l MEF adaptatvo prsnta dos vntajas fndamntals frnt a la vrsón clásca dl método: Mjora n fcnca al optmar la dstrbcón d las ncógntas n la malla, d modo q l númro d lmntos fnal dl problma sa l mínmo rqrdo para obtnr la acttd dsada. Esta dsmncón n l númro d ncógntas dl sstma spon n cost comptaconal mnor. Comoddad n la ntrodccón d datos, al no sr ncsara la dfncón d la malla o, mjor dcho, la dscrtacón dl contorno q la gnra. En la vrsón adaptatva dl MEF sólo s ncsara la gnracón d na malla ncal con pocos lmntos. El algortmo d adaptacón s ncarga d gnrar la malla óptma. La sgnda part d sta tss, prsntada n l capítlo 5, stá ddcada al stdo d st tpo d métodos. En lla s dscrbn los dstntos ndcadors d rror stratgas d rfnamnto h dsarrolladas, s prsntan analan los rsltados obtndos con llos n dstntas strctras d gado d ondas. En l capítlo 6 s prsntan las conclsons fnals dl trabajo ralado, así como las línas ftras d trabajo q sta tss abr. Esta mmora s complta con ss apéndcs. En l prmro d llos s prsnta la nomnclatra rlaconada con la mtodología d gnracón d mallas, así como las strctras d datos tladas n la mplmntacón d los dstntos métodos d dscrtacón dsarrollados. El apéndc dscrb los métodos d mallado ndmnsonal dsarrollados. Estos métodos son útls tanto para la dscrtacón d problmas ndmnsonals como para la dvsón dl contorno lnal n problmas n dos trs dmnsons. La dscrtacón d domnos ndmnsonals s n tma d nvstgacón sprado q no planta csvas dfcltads. Sn mbargo, s ha añaddo como apéndc para dotar al tto d na vsón complta d las técncas d dscrtacón. Los apéndcs dscrbn, rspctvamnt, la aplcacón dl MEF a problmas crrados d gado d ondas cavdads rsonants, las fncons d ntrpolacón tladas n la rsolcón d problmas n dos trs dmnsons. Las prsons d stas fncons d ntrpolacón son ncsaras n l dsarrollo d los dstntos ndcadors d rror dscrtos n l capítlo 5. En l apéndc 5 s dscrb brvmnt l programa d modlado d gomtría gnracón d malla dsarrollado drant la ralacón d la tss q tla los dstntos métodos dsñados n lla. El apéndc 6 s na nmracón, n ordn cronológco, d las pblcacons cntífcas n congrsos naconals, ntrnaconals rvstas ntrnaconals q ha gnrado sta tss.

12 INTRODUCCIÓN. MOTIVACIÓN Y OBETIVOS Fnalmnt, qsra agradcr a Ls Nño s apoo nstmabl n la drccón d sta tss doctoral a an Vcnt Balbastr s ada n las mchas ddas srgdas a lo largo dl trabajo. Est agradcmnto s hac tnsvo al Grpo d Calntamnto por Mcroondas, dsd s caba, Elías d los Rs, por l bn ambnt nvstgador hmano con q ha sabdo dotar al Grpo, hasta los dstntos compañros profsors nvstgadors como osé Manl Catalá, Davd Sánch, Flp Pñaranda o Marta Martín, por l apoo prstado n stos catro años.

13 METODOLOGÍA DE GENERACIÓN DE MALLAS Capítlo. METODOLOGÍA DE GENERACIÓN DE MALLAS En st prmr capítlo s hac n rpaso d las técncas d dscrtacón más tladas n la actaldad. S ha crído convnnt, dadas las analogías q prsntan ntr sí los métodos d mallado bdmnsonal, sprfcal volmétrco, nfcar n st apartado l stado actal d stas técncas, tanto n domnos bdmnsonals como trdmnsonals, n lgar d dstrbr sta dscrpcón a lo largo d la tss (capítlos, ). Varos ators [Tha8], [Kk86], [Ho88], [Sh88], [Go9], [Tho9], [Löh97], [Ow98a] han ralado clasfcacons d los dstntos métodos mplados n la gnracón d mallas. En la maoría d stas rfrncas s stablc como prmr crtro d clasfcacón l tpo d malla crada, n sgndo lgar, l modo n q s gnra l tpo d lmntos tlados. Sgndo stas patas, las dstntas técncas d dscrtacón b- o trdmnsonal s pdn dvdr n: Métodos d gnracón d malla strctrada: Algbracos. Basados n EDPs. Sprposcón-dformacón d rtícla. Crcmnto strctrado. Métodos d gnracón d malla no strctrada: Insrcón d nodos postror conón: Dlana. Gnracón smltána d nodos conctvdad: Frnt d avanc. Métodos Mltbloq.. Mallas Estrctradas Por malla strctrada s ntnd toda dscrtacón ca conctvdad sg n patrón rtclar. Por sta raón, n st tpo d mallas s tlan fndamntalmnt lmntos cadrlátros (D), o haédrcos (D), anq a partr d llos, como s vrá postrormnt, s pdn gnrar tránglos ttradros, rspctvamnt. La cracón d sta rtícla mpon nas frts condcons sobr l contorno dl domno, por lo q n mchos casos st tpo d dscrtacón no s ralabl o, séndolo, prsnta na baja caldad.... Métodos Algbracos Dado q n la gnracón d mallas strctradas la conctvdad s conocda d antmano, los métodos tnn como objtvo prmordal l cálclo d la poscón d los nodos q forman la rtícla, d modo q los lmntos rsltants prsntn nas dtrmnadas caractrístcas d tamaño rglardad. Las técncas más sncllas, por tanto, más rápdas n l cálclo d stas coordnadas nodals son las dnomnadas algbracas, ntr las q 5

14 METODOLOGÍA DE GENERACIÓN DE MALLAS dstacan, fndamntalmnt, las d transformacón n gomtrías canóncas o mappng las d ntrpolacón transfnta. En las prmras, s transforma l domno orgnal, sto s, s contorno dscrtado, n n domno canónco como, por jmplo, n rctánglo. Sobr él s gnra la rtícla los nodos d ésta vlvn a sr transportados al domno ral mdant na transformacón nvrsa a la prvamnt ralada. En l sgndo caso s dsarrollan fncons d ntrpolacón ntr los lados dl domno d modo q la gnracón d los nodos ntrnos vn dtrmnada por la poscón d los nodos dl contorno. Estas técncas gnralmnt s aplcan sobr gomtrías cadrlátras [Z7], [Gor7], [Hab8] o haédrcas [Coo7], [Coo8], anq n ocasons tambén han sdo aplcadas n domnos tranglars [Bar7], [Hab8], ttraédrcos o pntaédrcos [Pr98], dond s gnran, rspctvamnt, lmntos tranglars, ttraédrcos o pntaédrcos. En la fgra. s prsntan algnos jmplos d st tpo d dscrtacón. Fgra.. Mallas gnradas mdant métodos algbracos... Métodos basados n EDPs Con l objto d consgr na maor rglardad d los lmntos, caractrístcas d ortogonaldad ntr las arstas con nodos comns n maor control d la dnsdad d la malla, s han dsarrollado técncas d mallado strctrado basadas n la rsolcón d EDPs, tlando como condcón d contorno la gomtría dl contorno dl domno q s prtnd dscrtar. Estos técncas pdn sr consdradas como métodos algbracos dond las coordnadas d los nodos ntrors vnn dtrmnadas por la rsolcón d stas EDPs, q rlaconan las coordnadas dl domno ral (,) con las dl domno canónco (ξ,η) o coordnadas natrals. El objtvo fnal consst n obtnr las fncons q rlaconan con ξ η, por lo q s ncsaro nvrtr l sstma rsolvr las EDPs acopladas rsltants mdant algún método tratvo. Esta rsolcón mplca n alto cost comptaconal frnt a los métodos algbracos. El tpo d cacón o cacons dfrncals mpladas nfl drctamnt n la malla gnrada. Así, s úncamnt s prtnd obtnr na malla con na bna rglardad s mpla la cacón d Laplac; s s qrn obtnr dscrtacons con dnsdad d mallado 6

15 METODOLOGÍA DE GENERACIÓN DE MALLAS varabl, d modo q sta na maor concntracón d lmntos alrddor d na ona dtrmnada, s pd tlar la cacón d Posson: ξ ξ P η η Q (.) dond P Q controlan la dstrbcón d los nodos n la malla d la sgnt forma: P>: los nodos son atraídos haca la drcha. P<: los nodos son atraídos haca la qrda. Q>: los nodos son atraídos haca arrba. Q<: los nodos son atraídos haca abajo. Cando l domno dl problma vn dfndo por dos crvas crradas (D) o dos sprfcs crradas (D), ncontrándos na d llas n l nfnto, s dcr, n l caso d sstmas abrtos, s rcomndabl la tlacón d sstmas hprbólcos, ps prsntan n mnor cost comptaconal q los líptcos. En la bblografía s pdn ncontrar dstntas mplmntacons d stas técncas. En [Mar98], [N98], [Pp98] s analan métodos líptcos basados n la cacón d Posson. En [a98], [Ch98] s combna la gnracón hprbólca d la malla con l savado d ésta mdant n método líptco n dos dmnsons n sprfcs trdmnsonals, rspctvamnt. En [Ecc98] s combnan métodos algbracos líptcos n sprfcs. En la fgra. s mstran algnas mallas obtndas con st tpo d métodos. Un análss más dtallado d llos s pd ncontrar n [Tho85], [Go9]. a) b) c).. Mallas bdmnsonals gnradas mdant la rsolcón d EDPs: a) Laplac, b) Posson, c) hprbólco... Métodos d Sprposcón-Dformacón d Rtícla Estos métodos gnran la malla a partr d na rtícla cadrada, como la mostrada n la fgra.a, o cúbca q contn al domno dl problma, mdant las sgnts tapas:. Elmnacón d los cadrados (D) o cbos (D) q no ntrsctn l domno (fgra.b).. Procsamnto d los cadrados o cbos q son ntrsctados parcalmnt por l contorno dl domno. S st procsado no s prodc, l ajst al contorno s m dfcnt, por lo q rslta más apropado para métodos d dfrncas fntas [Wt96] 7

16 METODOLOGÍA DE GENERACIÓN DE MALLAS q para l MEF. Gnralmnt, para mjorarlo s modfcan los cadrados o cbos d forma q s ajstn prfctamnt al contorno [Yr8], [Yk95] (fgra.a), o bn s tla na rtícla jrárqca no conform (n la trmnología nglsa qadtr (D) octr (D)), como mstra la fgra.b. a) b) Fgra.. Sprposcón d rtícla: a) rtícla ncal, b) ntrsccón con l domno a) b) Fgra.. Ajst al contorno: a) dformacón d cadrados, b) rtícla jrárqca Anq stn programas comrcals q no ralan ajst al contorno, como l gnrador d malla dl smlador lctromagnétco MAFIA d la mprsa CST, la práctca habtal s la gnracón d na rtícla jrárqca ajstada al contorno. Ésta pd sr la malla fnal q tlc l MEF, pro dadas las dfcltads q planta s no conformdad, lo habtal s tlarla como malla d rfrnca dl tamaño dl lmnto n métodos d gnracón d malla no strctrada [Ba87], [Sch9], [Sh85], [Sh86].... Métodos d Crcmnto Estrctrado Con st nombr s ha prtnddo dsgnar aqllos métodos q n la bblografía s dnomnan d trson o swpng. S ha añaddo l adjtvo strctrado para vtar la posbl confsón con los métodos d frnt d avanc q s dscrbn postrormnt. Éstos son métodos d dscrtacón volmétrca ndcados para gomtrías q s dsarrollan a partr d la traslacón d na sprfc bas. Ést s l caso, por jmplo, d los volúmns clíndrcos o torodals. El método consst fndamntalmnt n la rptcón d la malla 8

17 METODOLOGÍA DE GENERACIÓN DE MALLAS sprfcal d la bas, q pd sr strctrada o no, a lo largo dl domno dl problma. Sgún st plantamnto, úncamnt s pd hablar d malla strctrada n la drccón d crcmnto d la gomtría trdmnsonal. Las rstrccons q sta técnca planta, s s part d la dscrtacón prva dl contorno, son fndamntalmnt dos: La conctvdad d las mallas bdmnsonals d las dos sprfcs báscas db sr la msma. La malla d las sprfcs latrals db sr strctrada. En la fgra.5 s mstran dos jmplos d st tpo d mallado partndo d mallas bdmnsonals cadrlátras no strctradas. S pdn ncontrar dstntas mplmntacons d sta técnca n [Yam96], [Sta98], [Kn98a]. Fgra.5. Mallas haédrcas d crcmnto strctrado.. Mallas No Estrctradas Las mallas no strctradas, al contraro q las strctradas, no prsntan n patrón d conctvdad prdtrmnado, ps ésta vn dtrmnada por l contorno dl problma, la stacón d los nodos ntrors l método d dscrtacón tlado. Consstancal a st tpo d dscrtacón s l lmnto tranglar (D) o l ttraédrco (D), anq n los últmos años s han dsarrollado técncas d gnracón d malla no strctrada cadrlátra o haédrca. Esta lbrtad n la conctvdad hac posbl la dscrtacón d calqr domno a partr d na dscrtacón dl contorno arbtrara. Son, por tanto, d aplcacón más gnral q las strctradas, pro sto rprct n n maor cost comptaconal. Anq st na gran dvrsdad n los métodos d gnracón d st tpo d dscrtacons, los más mplados n la práctca s pdn dvdr ntr aqéllos q partn d na dstrbcón dtrmnada d nodos úncamnt s ocpan d obtnr na conctvdad adcada, aqllos otros n los q nodos, arstas lmntos (n l caso bdmnsonal) o nodos, arstas, caras lmntos (n l caso trdmnsonal) s gnran conform la malla va crcndo. En l prmr caso, s bsca na conón óptma d modo q los lmntos prsntn na bna rlacón d aspcto; sta tranglacón óptma stá garantada s s mpla l método d Dlana-Voronoï. En l sgndo caso, stos msmos crtros d rglardad son los q marcan la poscón más adcada para l nvo nodo gnrado s conón con l rsto d la malla. La famla d técncas q sg sta últma mtodología s dnomna métodos d frnt d avanc, ps n llos la malla s gnra tratvamnt dsd n frnt ncal, q concd 9

18 METODOLOGÍA DE GENERACIÓN DE MALLAS con l contorno dl problma q s va modfcando conform l procso avana, hasta q l domno qda compltamnt mallado, momnto n l q l frnt qda vacío. A contnacón s dscrbn con maor dtall stas dos técncas.... Métodos d Dlana-Voronoï La tranglacón d Dlana f na d las prmras técncas d dscrtacón tranglar tladas. En 855 Drchlt propso n método con l q, dado n conjnto d pntos P, s pd dfnr n conjnto d rgons polgonals (D) o polédrcas (D) V asocadas a cada pnto, d modo q calqr pnto d la rgón V s ncntra más crcano al pnto P q a calqra dl rsto. Es dcr: V { p p P < p P } j :, (.) j Cada nas d stas rgons s dnomna rgón d Voronoï l conjnto d llas s n mosaco d Drchlt o dagrama d Voronoï [Ar9]. A partr d s dfncón rslta vdnt q cada lado (o cara) d stas rgons polgonals (o polédrcas) s ncntra qdstant d los dos pntos q spara. La nón d todos stos pntos por pars gnra otra dscrtacón dl domno, conocda como tranglacón d Dlana, q pos na caractrístca m ntrsant para la gnracón d mallas: la rglardad d ánglos n los tránglos gnrados s máma. Es dcr, dado n conjnto d nodos, l método d Dlana garanta na tranglacón óptma. Sn mbargo, n l caso volmétrco, sta tranglacón óptma no garanta q los ttradros gnrados san óptmos, por lo q, n gnral, tras la gnracón d la malla son ncsaras técncas d dtccón corrccón d ttradros dfctosos. La gnracón d st tpo d dscrtacón consst n n método sstmátco dvddo n las sgnts tapas:. En caso d q l domno dl problma no sa convo, dfncón d n domno convo q ncla al domno q s prtnd dscrtar gnracón d s tranglacón. La forma más snclla d hacr sto s mdant la spcfcacón d pntos q formn n cadrado n l caso bdmnsonal 8 pntos q formn n cbo n l caso volmétrco.. Introdccón d n nvo nodo dl domno.. Dtrmnacón d los lmntos cas crcnfrncas crcnscrtas (o sfras crcnscrtas) contnn al nvo nodo. Estos lmntos dbn sr lmnados, así como ss arstas ( caras) comns.. Dtrmnacón d los nodos prtncnts a sos lmntos. 5. Dtrmnacón d las arstas (o caras) trors d los lmntos lmnados, s dcr, dl hco q rslta tras la lmnacón d los lmntos antrors. 6. Gnracón d nvos lmntos mdant la nón d las arstas (o caras) dtctadas n l pnto 5 con l nvo nodo. 7. Rptcón d la scnca dsd l pnto hasta q todos los nodos haan sdo ntrodcdos. La fgra.6 mstra n jmplo d la aplcacón d stas 5 tapas n n domno bdmnsonal. 8. Elmnacón d las arstas lmntos (D) o arstas, caras lmntos (D) q no prtncan al domno.

19 METODOLOGÍA DE GENERACIÓN DE MALLAS a) b) c) Fgra.6. Tranglacón d Dlana: a) nsrcón d nodo, b) dtccón lmnacón d lmntos, c) tranglacón local Como s ha comntado antrormnt, st algortmo gnra úncamnt la conctvdad, asmndo conocdas las poscons d los nodos d la malla. El cálclo d stas poscons s rala gnralmnt a partr d na malla d rfrnca, na fncón d dnsdad d malla [Alf96], [Ch96], [Ow97], [Cn97], [Go98] o n l contto d n procdmnto adaptatvo [Bor97] como los q s dscrbn n l capítlo 5 d sta tss. En st últmo caso, los nvos nodos s gnran n aqllos lmntos q prsntn n lvado rror. Asmsmo, s s part d na dscrtacón ncal dl contorno ést no s convo, ésta pd vrs modfcada n l procso d nsrcón d nodos. Ésta s na d las prncpals dsvntajas d la tranglacón d Dlana, ps dfclta la tlacón d na mtodología mltbloq, q más adlant s comntada, a q sta técnca rqr na msma dscrtacón n las ntrfacs d los dstntos bloqs q forman l domno. Estn varants d la tranglacón d Dlana q fran a mantnr la dscrtacón dl contorno o bn la rstaran tras aplcar l procdmnto gnral, tanto n dscrtacons bdmnsonals [Lo9] como volmétrcas [Kr98], [Bak98], [La98a]. Estas técncas son conocdas como Dlana rstrngdas, n gnral, no garantan la gnracón d na malla óptma n l sntdo antrormnt comntado. En la fgra.7. s mstra la volcón d na tranglacón Dlana bdmnsonal conform los nodos son ntrodcdos. Fgra.7. Evolcón d na tranglacón d Dlana bdmnsonal El cost comptaconal d st tpo d técncas, sgún [Löh97], s O( n log () n ), dond n s l númro d lmntos, anq otros ators han obtndo comportamntos lnals [Go9], [Kar97], st últmo mdant l so d strctras d datos arbóras q facltan la localacón d nodos o lmntos vcnos. A st cost s db añadr l ncsaro para la rstaracón dl contorno, s así s prcsa,, n l caso volmétrco, la dtccón corrccón d los ttradros q prsntn na mala rlacón d aspcto.

20 METODOLOGÍA DE GENERACIÓN DE MALLAS La ltratra sobr st tpo d métodos s m vasta. Para na dscrpcón más dtallada dl algortmo d nsrcón d pntos s pd consltar [Go9]. Otras mplmntacons con lgras varants s pdn ncontrar n [Cav85], [Go9], [Far9], [Kar97], [Mr98] para domnos bdmnsonals, n [Zh96b] para sprfcs n [Zh96a], [Lw96], [Fc98], [Sn98] para volúmns.... Métodos d Frnt d Avanc En st tpo d métodos la gnracón d la malla s rala dsd l contorno haca l ntror dl domno, sndo tránglos los lmntos tlados n l caso d dos dmnsons ttradros n problmas trdmnsonals. Como datos d ntrada s rqrn los nodos arstas ( caras n D) q forman l contorno dl problma, s dcr, na dscrtacón polgonal (D) o polédrca (D) d él, n tamaño d lmnto prscrto o na malla d rfrnca o fncón d dnsdad s s prtnd gnrar na malla no nform. El procso d cracón d la malla s tratvo: s anala n frnt, ncalado con los datos dl contorno, para dtrmnar na ona d partda dsd la q s cran no o varos lmntos ntrnos, jnto con los corrspondnts nodos arstas ( caras n D). Sgdamnt s actala l frnt con los nvos nodos arstas gnradas ( caras n D) s rpt l procso hasta q l frnt qd vacío, s dcr, l domno qda compltamnt mallado. Ésta s la flosofía gnral dl método, pro s comportamnto vn dtrmnado fndamntalmnt por l análss dl frnt l crtro stablcdo n la cracón d los nvos lmntos. Est crtro s basa n las caractrístcas gométrcas d las arstas (D) o caras (D) q lo consttn n la malla d rfrnca o fncón d dnsdad [Sv97], [Ow97], [Bor97], [Cn97] q controla la gnracón d la malla. En [Go9] s pd ncontrar n sncllo jmplo d crtro gométrco n dos dmnsons, sgún l cal, s α s l ánglo formado por dos arstas consctvas dl frnt, s pdn dntfcar trs posbls stacons: π α < : s cra na arsta n lmnto formado por ésta las arstas q dfnn l ánglo α (fgra.8a). π π < α < : a partr d las dos arstas con ánglo α s gnra n nodo ntrno, trs arstas dos lmntos (fgra.8b). π α > : s cra n pnto ntrno, las dos arstas q forma ést con los nodos trmos d la arsta dl frnt, n lmnto formado por stas trs arstas (fgra.8c). La poscón dl nodo ntrno gnrado n los dos últmos casos vn dtrmnada por crtros d rglardad tamaño d los lmntos. a) b) c) Fgra.8. Ejmplo d tratamnto dl frnt n mallas bdmnsonals

21 METODOLOGÍA DE GENERACIÓN DE MALLAS Est jmplo s mramnt ddáctco, frnt a stacons compljas como contornos no convos o gran dspardad d tamaño ntr lmntos prómos, pd fallar. En l caso trdmnsonal, la casístca q pd prsntar l frnt s mcho maor. En l capítlo s analan las posbls stacons s dscrbn los crtros stablcdos n sta tss para l control dl crcmnto d la malla volmétrca. Otras mplmntacons d st método n s vrsón volmétrca s pdn ncontrar n [Möl95], [Has96], [Cha97], [Ras97], [Sak98], [Cav99], sta últma n n contto d análss adaptatvo. Como jmplo d la dfcltad n la clasfcacón d los métodos d mallado, podmos dcr q stn varants dl método d frnt d avanc dond la stacón d los nodos s conocda prvamnt la gnracón d arstas lmntos consst úncamnt n la lccón dl nodo más corrcto [Lo85], [T96]. El cost comptaconal d st método vn dtrmnado por las opracons d búsqda d parts dl frnt vcnas o prómas las comprobacons d prtnnca al domno no mallado cando n nodo s crado. El cost d stas taras s v rdcdo s s mplan, como s ha comntado n l método d Dlana, strctras d datos arbóras [Löh88], [Car88], [Dan9], [Bon9] l cost total dl método s pd rdcr hasta O( n log () n ) [Löh97]. La fgra.9 mstra la volcón d na malla bdmnsonal obtnda con sta técnca. Fgra.9. Evolcón d la malla n l método d frnt d avanc... Gnracón d Mallas Cadrlátras Haédrcas No Estrctradas Como s comntó al comno d st capítlo, l lmnto cadrlátro o haédrco s nhrnt a las mallas strctradas, pdndo, mdant la dvsón d éstos n dos tránglos o n 5 ó 6 ttradros, rspctvamnt, obtnr las corrspondnts mallas tranglars o ttraédrcas. Como s ha vsto, los prncpals métodos d gnracón d mallas no strctradas mplan l lmnto tranglar o ttraédrco. La gnracón d mallas no strctradas cadrlátras o haédrcas rqr técncas más compljas no smpr son ralabls. La fgra. mstra na malla no strctrada compsta úncamnt por lmntos cadrlátros otra haédrca.