y por cuántos grados está cambiada su fase? Primero, 360 2π

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1 CAPÍTULO Los parámetros de una cierta línea de transmisión operando en rad/s son L = 0.4 µh/m, C = 40 pf/m, G = 80 ms/m, y R = 20 /m. a) Encuentre γ, α, β, λ, y Z 0 : Usamos γ = ZY = (R + jωl)(g + jωc) = [20 + j( )( )][ j( )( )] = j3.5m 1 = α + jβ Por consiguiente, α = 2.8Np/m, β= 3.5 rad/m, y λ = 2π/β = 1.8 m. Finalmente, Z 0 = Z Y = R + jωl G + jωc = 20 + j = 44 + j30 + j b) Si una onda de voltaje viaja 20 m bajo la línea, qué porcentaje de la amplitud original permanece, y por cuántos grados está cambiada su fase? Primero, V 20 V 0 =e αl =e (2.8)(20) = o por ciento! Entonces el cambio de la fase se da por βl, que en grados se vuelve ( ) ( ) φ = βl = (3.5)(20) = grados 2π 2π Una línea de transmisión sin pérdidas con Z 0 = 60 empieza a operarse en 60 MHz. La velocidad en la línea es m/s. Si la línea se pone en cortocircuito en z = 0, encuentre Z en en: a) z = 1m: Usamos la expresión para la impedancia de entrada (Ec. 12), bajo las condiciones Z 2 = 60 y Z 3 = 0: [ ] Z3 cos(βl)+jz 2 sen(βl) Z en =Z 2 = j60 tan(βl) Z 2 cos(βl)+jz 3 sen(βl) donde l = z, y donde la constante de la fase es β = 2πc/f = 2π( )/( ) = (2/5)π rad/m. Ahora, con z = 1 (l = 1), encontramos Z en =j60 tan(2π/5) =j b) z = 2 m: Z en =j60 tan(4π/5) = j43.6 c) z= 2.5m: Z en =j60 tan(5π/5) = 0 d) z = 1.25 m: Z en =j60 tan(π/2) =j (circuito abierto) La impedancia característica de cierta línea de transmisión sin pérdidas es 72. If L= 0.5µH/m, encuentre: a) C: Use Z 0 = L/C,o C = L Z 2 0 = (72) 2 = F/m = 96 pf/m 213

2 13.3b) v p : v p = 1 LC = 1 ( )( ) = m/s c) β si f = 80 MHz: β = ω LC = 2π = 3.5 rad/m d) La línea se termina con una carga de 60. Encuentre Ɣ y s: Ɣ = Ɣ = 0.09 s = Ɣ = = Una línea de transmisión sin pérdidas que tiene Z 0 = 120 está operando en ω = rad/s. Si la velocidad en la línea es m/s, encuentre a) L: Con Z 0 = L/C y v= 1/ LC,encontramos L =Z 0 /v= 120/ = 0.50 µh/m. b) C: Use Z 0 v= L/C/ LC C= 1/(Z 0 v)= [120( )] 1 = 35 pf/m. c) Permita que Z L se represente por una inductancia de 0.6µH en serie con una resistencia Encuentre Ɣ y s: La impedancia inductiva es jωl =j( )( )=j300. Así la impedancia de carga es Z L = 100 +j300. Ahora Entonces Ɣ = Z L Z j = Z L + Z j = j0.52 = s = 1 + Ɣ 1 Ɣ = = Dos características de cierta línea de transmisión sin pérdidas son Z 0 = 50 y γ = 0 +j0.2π m 1 en f = 60 MHz. a) Encuentre L y C para la línea: Tenemos β = 0.2π =ω LC y Z 0 = 50 = L/C. Así β = ωc C = β = Z 0 ωz 0 0.2π (2π )(50) = = 33.3 pf/m Entonces L=CZ 2 0 =( )(50) 2 = H/m = 83.3 nh/m. b) Una carga, Z L = 60 + j80 se localiza en z = 0. Cuál es la distancia más corta de la carga en al punto en que Z en =R en +j0? Yo haré esto usando dos métodos diferentes: L a manera difícil: Usamos la expresión general [ ] ZL + jz 0 tan(βl) Z in = Z 0 Z 0 + jz L tan(βl) Podemos normalizar las impedancias entonces con respecto a Z 0 y escribir z en = Z [ ] [ ] en (ZL /Z 0 ) + j tan(βl) zl + j tan(βl) = = Z j(z L /Z 0 ) tan(βl) 1 + jz L tan(βl) donde z L = (60 + j80)/50 = j

3 13.5b. (continuación) Usando este, y definiendo x= tan(βl), encontramos [ ][ ] j(1.6 + x) (1 1.6x) j1.2x z en = (1 1.6x) + j1.2x (1 1.6x) j1.2x El segundo término entre paréntesis es un factor de uno, compuesto de la conjugación compleja del denominador del primer término, dividido enre sí mismo. Llevando a cabo este producto, encontramos [ 1.2(1 1.6x) + 1.2x(1.6 + x) j[(1.2) 2 ] x (1.6 + x)(1 1.6x)] z en = (1 1.6x) 2 + (1.2) 2 x 2 Requerimos la parte imaginaria para ser cero. Así (1.2) 2 x (1.6 + x)(1 1.6x) = 0 1.6x 2 + 3x 1.6 = 0 Así x = tan(βl) = 3 ± 9 + 4(1.6) 2 2(1.6) Tomamos la raíz positiva, y encontramos = (.433, 2.31) βl = tan 1 (.433) = l = π = 0.65 m = 65 cm La manera fácil: Encontramos Ɣ = 60 + j j = j0.432 = Así φ= rad, y usamos el hecho que la impedancia de entrada será completamente real en donde el voltaje es mínimo o máximo. El primer máximo voltaje ocurrirá a una distancia delante de la carga dada por z máx = φ 2β = (0.2π) = 0.65 m La propagación constante de una línea de transmisión de pérdida es 1 +j2m 1, y su impedancia característica es 20 +j0 en ω = 1 Mrad/s. Encuentre L, C, R, y G para la línea: Empiece con Entonces Z 0 = R + jωl = 20 R + jωl = 400(G + jωc) (1) G + jωl γ 2 = (R + jωl)(g + jωc) = (1 + j2) 2 400(G + jωc) 2 = (1 + j2) 2 (2) donde (1) se ha usado. La Ec. 2 ahora se vuelve G+jωC =(1 +j2)/20. Igualando en forma real e imaginaria las partes llevan a G=.05 S/m y C= 1/(10ω) = 10 7 = 0.1µF/m. 215

4 13.6. (continuación) Ahora, (1) se vuelve 20 = R + jωl R + jωl = 1 + j2 1 + j j40 = R + jωl Nuevamente, igualando en forma real e imaginaria las partes llevan a R= 20 /m y L= 40/ω = 40µH/m Las dimensiones del conductor exterior de un cable coaxial son b y c, c >b. Suponga σ =σ c y sea µ=µ 0. Encuentre la energía magnética almacenada por longitud unitaria en la región b<r<c para una corriente total uniformemente distribuida I que fluye en las direcciones opuestas en los conductores interno y externo: Primero, del conductor interno, el campo magnético será H 1 = I 2πρ a φ La contribución del conductor externo al campo magnético dentro de ese conductor se encuentra de la ley circuital de Ampere para ser: H 2 = I ρ 2 b 2 2πρ c 2 b 2 a φ El campo magnético total dentro del conductor externo será la suma de los dos campos, o La densidad de energía es H T = H 1 + H 2 = I 2πρ [ c 2 ρ 2 ] c 2 b 2 a φ w m = 1 2 µ 0HT 2 = µ 0I 2 [ c 2 ρ 2 ] 2 8π 2 c 2 b 2 J/m 3 La energía almacenada por longitud unitaria en el conductor externo es ahora W m = 1 2π c 0 = µ 0I 2 4π 0 [ b µ 0 I 2 8π 2 c 4 (c 2 b 2 ) 2 ln ( c b [ c 2 ρ 2 ] 2 c 2 b 2 ρdρdφdz= ) + b2 (3/4)c 2 ] (c 2 b 2 J ) µ 0 I 2 c [ c 4 ] 4π(c 2 b 2 ) 2 b ρ 2c2 ρ + ρ 3 dρ Los conductores de una línea de transmisión coaxial son de cobre (σ c = S/m) y el dieléctrico es polietileno (ɛ R = 2.26, σ/ωɛ = ). Si el radio interno del conductor externo es 4 mm, encuentre el radio del conductor interno para que (suponiendo una línea sin pérdidas): a) Z 0 = 50 : Use Z 0 = 1 µ 2π ɛ ln ( ) b = 50 ln a Así b/a =e 1.25 = 3.50, or a = 4/3.50 = mm ( ) b 2π ɛ R (50) = = 1.25 a

5 13.8b. C = 100 pf/m: Empiece con C = ( ) 2πɛ b ln(b/a) = ln = 2π(2.26)( ) = a Así b/a =e = 3.51, or a = 4/3.51 = mm. c) L = 0.2 µh/m: Use L = µ 0 2π ln ( ) b = ln a Así b/a =e 1 = 2.718, o a =b/2.718 = mm. ( ) b = 2π( ) a 4π 10 7 = Se usan dos conductores de acero con cubierta de aluminio para construir una línea de transmisión bialámbrica. Sea σ Al = S/m, σ St = S/m, y µ St = 100µH/m. El radio del alambre de acero es 0.5 in, y la capa aluminio es 0.05 in de espesor. El dieléctrico es aire y la separación del alambre centro-a-centro es 4 in. Encuentre C, L, G, y R para la línea en 10 MHz: La primera pregunta es si estamos en la frecuencia alta o el régimen de frecuencia bajo. El cálculo de la profundidad pelicular, δ,. nos dirá. Tenemos, para aluminio, δ = 1 πf µ0 σ Al = 1 π(10 7 )(4π 10 7 )( ) = m así que estamos claramente en el régimen de frecuencia alta donde no pueden suponerse las distribuciones de corriente uniforme. Además, la profundidad pelicular es considerablemente menor que el espesor de la capa de aluminio, para que el volumen de la corriente resida en el aluminio, y podemos ignorar el acero. Suponiendo que los alambres de aluminio sólido de radio a= = 0.55 in = m, la resistencia de la línea bialámbrica es ahora R = 1 πaδσ Al = 1 π(.014)( )( = /m ) Luego, ya que el dieléctrico es aire, ninguna fuga ocurrirá de alambre a alambre, y así G= 0 mho/m.ahora la capacitancia será C = πɛ 0 cosh 1 (d/2a) = Finalmente, la inductancia por longitud unitaria será L = µ 0 π cosh(d/2a) = 4π 10 7 π π cosh 1 (4/(2 0.55)) = F/m = 14.2 pf/m cosh (4/(2 0.55)) = H/m = µh/m 217

6 Cada conductor de una línea de transmisión bialámbrica tiene un radio de 0.5mm; su distancia centro-a-centro es 0.8cm. Sea f = 150MHz y suponiendo σ = 0 y σ c (note error en la presentación del problema). Encuentre el constante dieléctrico del medio aislante si a) Z 0 = 300 : Use µ0 300 = 1 ( d π ɛ R ɛ cosh 1 0 2a ) ɛ R = 120π ( ) 8 300π cosh 1 = ɛ R 2(.5) = 1.23 b) C = 20 pf/m: Use = πɛ cosh 1 (d/2a) ɛ R = πɛ 0 cosh 1 (8) = 1.99 c) v p = m/s: v p = 1 LC = 1 µ 0 ɛ 0 ɛ R = c ɛ R ( ɛ R 8 ) 2 = = Las dimensiones pertinentes para la línea de transmisión mostrada en la Fig son b= 3 mm, y d= 0.2 mm. Los conductores y el dieléctrico son no magnéticos. a) Si la impedancia característica de la línea es 15, encuentre ɛ R : Usamos Z 0 = µ ɛ ( d b ) = 15 ɛ R = ( ) = 2.8 b) Suponga conductores de cobre y operación en rad/s. Si RC =GL, determine la tangente de pérdida del dieléctrico: Para cobre, σ c = S/m, y la profundidad pelicular es 2 2 δ = = ωµ 0 σ c ( )(4π 10 7 )( ) = m Entonces Ahora y L = µ 0d b Entonces, con RC =GL, R = 2 σ c δb = 2 ( )( = 0.98 /m )(.003) C = ɛ b d = (2.8)( )(3) = F/m 0.2 = (4π 10 7 )(0.2) 3 G = RC L = (.98)( ) ( ) = H/m = mho/m = σ db d Así σ d =( )(0.2/3) = S/m. La tangente de pérdida es l.t. = σ d ωɛ = ( )(2.8)( = ) 218

7 Una línea de transmisión construida de conductores perfectos y un dieléctrico de aire tiene una dimensión máxima de 8mmpara su sección transversal. La línea será usada en frecuencias altas. Especifique sus dimensiones si es: a) una línea bialámbrica con Z 0 = 300 : Con dimensiones máximas de 8mm, tenemos, usando (27): Z 0 = 1 π µ ɛ cosh 1 ( ) 8 2a 2a = a 2a = cosh ( ) 300π = π Resuelva para a para encontrar a= 0.56 mm. Entonces d= 8 2a = 6.88 mm. b) una línea planar con Z 0 = 15 : En este caso nuestra dimensión máxima dicta que d 2 +b 2 = 8. Así, usando (34), escribimos Z 0 = µ ɛ 64 b 2 b = b 2 = b Resolviendo, encontramos b= 7.99 mm y d= 0.32 mm. c) un coaxial de 72 tiene un conductor externo de espero cero: Con un conductor externo de espesor cero, notamos que el radio externo es b= 8/2 = 4mm. Usando (18), escribimos Z 0 = 1 µ 2π ɛ ln ( ) b = 72 ln a Resumiendo, a= 1.2mm y b = 4mm. ( ) b = 2π(72) a 120π = 1.20 a = be 1.20 = 4e 1.20 = La onda de voltaje incidental en cierta línea de transmisión sin pérdidas para el cual Z 0 = 50 y v p = m/s es V + (z,t)= 200 cos(ωt πz)v. a) Encuentre ω: Conocemos β=π=ω/v p,así ω =π( )= rad/s. b) Encuentre I + (z,t): Ya que Z 0 es real, podemos escribir I + (z, t) = V + (z, t) Z 0 = 4 cos(ωt πz) A La sección de línea para el cual z>0 es reemplazados por una carga Z L = 50 +j30 en z = 0. Encontrar c) Ɣ L : Este será Ɣ L = 50 + j j = j0.275 = rad d) Vs (z) = Ɣ LV s + (z)ej2βz = 0.287(200)e jπz e j1.28 = 57.5e j(πz+1.28) e) V s at z = 2.2 m: V s ( 2.2) = V + s ( 2.2) + V s ( 2.2) = 200ej2.2π e j(2.2π 1.28) = 257.5e j0.63 =

8 Las líneas coaxiales 1 y 2 tienen los parámetros siguientes: µ 1 =µ 2 =µ 0, σ 1 =σ 2 = 0, ɛ R1 = 2.25, ɛ R2 = 4, a 1 = a 2 = 0.8mm, b 1 = 6mm, b 2 = 3mm, Z L2 =Z 02, y Z L1 es Z in2. a) Encuentre Z 01 y Z 02. Para cada línea, tenemos Z 01 = Z 0 = 1 ( ) µ b 2π ɛ ln = 377 a 2π ɛ R ln ( ) b a que lleva a ( ) π 2.25 ln = 80.6 y Z 02 = 377 ( ) 3.8 2π 4 ln = b) Encuentre s en línea 1: la carga en la línea 1 es la impedancia de entrada en la línea 2 (están conectadas de extremo-a-extremo). También, ya que la línea 2 es adaptada su impedancia de entrada es simplemente su impedancia característica. Por consiguiente, Z L1 =Z en2 =Z 02. El coeficiente de la reflexión encontrado por la incidencia de ondas de Z L 1 de línea 1 puede encontrarse ahora, junto con la relación de la onda estacionaria: Ɣ 12 = = 0.34 s= = 2.03 c) Si se inserta una longitud de 20cm de línea 1 inmediatamente en frente de Z L2 yf= 300MHz, encuentre s en la línea 2: La longitud de la línea 1 tiene una impedancia de carga de 39.7 y 20cm de largo. Necesitamos encontrar su impedancia de entrada. En 300 MHz, la longitud de onda en espacio libre es 1m. En línea 1, tiene una constante dialéctrica de 2.25, la longitud de onda es λ = 1m/ 2.25 = 0.67m. Por consiguiente βl= 2πl/λ = 2π(20)/(67) = Ahora encontramos la impedancia de entrada para esta situación a través de [ ] [ ] ZL2 cos(βl)+jz 01 sen(βl) 39.7 cos(1.87)+j80.6 sen(1.87) Z en =Z 01 = 80.6 Z 01 cos(βl)+jz L2 sen(βl) 80.6 cos(1.87)+j39.7 sen(1.87) = j55.8 = Ahora para la incidencia de ondas en la línea 1 - línea 2 a la unión de la línea 2, el coeficiente de reflexión será Ɣ 21 = Z en Z j55.8 = Z en +Z j55.8 = 0.58 j0.14 = La relación de la onda estacionaria es ahora s = =

9 Para la línea de la transmisión representada en la Fig , encuentre V s,ext si f =: a) 60 Hz: En esta frecuencia, β = ω v p = 2π 60 (2/3)( ) = rad/m Así βl=( )(80) = << 1. La línea es así esencialmente un circuito acoplado, donde Z en =Z L = 80. Por consiguiente [ ] 80 V s,ext = 120 = 104 V b) 500 khz: En este caso Ahora β = 2π = rad/s Así βl= (80) = 1.26 rad Z en = 50 [ ] 80 cos(1.26)+j50 sen(1.26) = j9.57 = cos(1.26)+j80 sen(1.26) El circuito equivalente es ahora la fuente de voltaje que maneja la combinación de la serie de Z en y el resistor de 12 ohms. El voltaje que atraviesa Z en es así [ ] [ ] Z en j9.57 V en = 120 = 120 = 89.5 j6.46 = Z en j9.57 El voltaje en la entrada de la línea es ahora la suma de las ondas propagándose adelante y hacia atrás simplemente a la derecha de la entrada. Referimos la carga en z= 0, y así la entrada se localiza en z = 80 m. En general escribimos V en =V + 0 e jβz +V 0 ejβz, donde V 0 = Ɣ LV + 0 En z = 80 m tenemos así V en =V 0 [e + j ] e j1.26 Ahora = V + 0 = 3 13 V + 0 V 0 + = 89.5 j6.46 e j1.26 = 42.7 j100 V + (3/13)e j1.26 V s,ext =V + 0 (1 + Ɣ L) = (42.7 j100)(1 + 3/(13)) = rad = 52.6 j123 V Como una verificación, podemos evaluar el potencial medio que alcanza la carga: P prom,l = 1 V s,ext 2 = 1 (134) 2 2 R L 2 80 = 112 W Éste debe ser el mismo potencial que ocurre en la impedancia de entrada: P prom,en = 1 2 Re { V in Iin } 1 = Re {(89.5 j6.46)( j0.54)} = 112 W 2 donde I en =V en /Z en =(89.5 j6.46)/(33.17 j9.57) = j

10 Una línea de transmisión 300 ohms es 0.8 m de largo y se termina con un cortocircuito. La línea está operando en aire con una longitud de onda de 0.3 m (incorrectamente presentada como 0.8 m en las impresiones anteriores) y es sin pérdidas. a) Si la amplitud del voltaje de entrada es 10V, cuál es la amplitud de voltaje máximo en cualquier punto en la línea? El voltaje neto en cualquier parte en la línea es la suma de los voltajes de la onda dirigidos de adelante hacia atrás, y se escribe como V(z) =V + 0 e jβz +V0 ejβz. Ya que la línea se pone en cortocircuito en el extremo de carga (z = 0),tenemos V0 = V+ 0, y así ( V(z)= V 0 + e jβz e jβz) = 2jV 0 + sen(jβz) Evaluamos ahora el voltaje en la entrada donde z= 0.8m, y λ = 0.3m. ( ) 2π( 0.8) V en = 2jV 0 + sen = j1.73v Se da la magnitud de V en como 10V, así encontramos V + 0 = 10/1.73 = 5.78V. La amplitud de voltaje máximo en la línea será dos veces este valor (donde la función seno es unitaria), así V máx = 2(5.78) = V. b) Cúal es la amplitud de corriente en cortocircuito? En el extremo puesto en cortocircuito, la corriente estará I L = V 0 + V 0 = 2V 0 + = = 0.039A = 39 ma Z 0 Z 0 Z Determine la potencia promedio absorbida por cada resistor en la Fig : El problema se hace más fácil convirtiendo primero la fuente de corriente/100 ohms la combinación del resistor a su equivalente de Thevenin. Ésta es una fuente de voltaje 50/ 0 V en la serie con el resistor de 100 ohms. El próximo paso es determinar la impedancia de entrada de la línea de longitud 2.6λ terminando por el resistor de 25 ohms. Usamos βl =(2π/λ)(2.6λ) = rad. Este valor, módulo 2π es (substrayendo 2π dos veces) 3.77 rad. Ahora [ ] 25 cos(3.77)+j50 sen(3.77) Z en = 50 = j cos(3.77)+j25 sen(3.77) El circuito equivalente consiste ahora en la combinación de la serie de fuente de 50 V, resistor de 100 ohm s y Z en, como lo calculado anteriormente. La corriente en este circuito será I = j24.0 = El potencial disipado por el resistor de 25 ohms es el mismo que el potencial disipado por la parte real de Z en, o P 25 = P 33.7 = 1 2 I 2 R = 1 2 (.368)2 (33.7) = 2.28 W Para encontrar el potencial disipado por el resistor de 100 ohms, necesitamos regresar a la configuración de Norton, con la fuente de corriente original en paralelo con el resistor de 100 ohms, y en paralelo con Z en. El voltaje atravesando el resistor de 100 ohms será el mismo que atraviesa Z en,o V =IZ en =( )( j24.0) = El potencial disipado por el resistor de100 ohms es ahora P 100 = 1 V 2 2 R = 1 (15.2) 2 = 1.16 W

11 13.18 La línea mostrada en la Fig es sin pérdidas. Encuentre s en ambas secciones 1 y 2: Para la sección 2, consideramos la propagación de una adelante y una onda dirigida hacia atrás, arreglando la superposición de todas las ondas reflejadas en ambos extremos de la sección. La razón de la amplitud de la onda dirigida de atrás hacia delante la da el coeficiente de la reflexión en la carga que es Ɣ L = 50 j j = j 1 j = 1 (1 j) 2 Entonces Ɣ L =(1/2) (1 j)(1 +j)= 1/ 2. Finalmente s 2 = 1 + Ɣ L 1 Ɣ L = 1 + 1/ 2 1 1/ 2 = 5.83 Para la sección 1, necesitamos el coeficiente de reflexión en la unión (lugar del resistor de 100 ) visto por la incidencia de ondas de la sección 1: Necesitamos primero la impedancia de entrada de la longitud de.2λ de la sección 2: [ ] [ ] (50 j100) cos(β2 l)+j50 sen(β 2 l) (1 j2)(0.309) + j0.951 Z en2 = 50 = cos(β 2 l)+j(50 j100) sen(β 2 l) j(1 j2)(0.951) = j3.82 = rad Ahora, esta impedancia está en paralelo con el resistor de 100 llevando a una impedancia de la unión neta encontrada por 1 Z ent = j3.82 Z int = j3.23 = rad El coeficiente de la reflexión será Ɣ j = Z ent 50 Z ent + 50 = j0.096 = rad y la razón de la onda estacionaria es s 1 =( )/( ) = Una línea de transmisión sin pérdidas es 50 cm en longitud y operando en una frecuencia de 100 MHz. Los parámetros de la línea son L = 0.2 µh/m y C = 80 pf/m. La línea se termina por un cortocircuito en z = 0, y hay una carga, Z L = 50+j20 ohms atravesando la línea en z= 20 cm. Qué potencia promedio se entrega a Z L si el voltaje de entrada es V? Con el capacitancia e inductancia dadas, encontramos L Z 0 = C = = y v p = 1 LC = 1 ( )( ) = m/s Ahora β=ω/v p =(2π 10 8 )/( )= 2.5 rad/s. Encontramos entonces la impedancia de entrada en la sección de línea corta de 20 cm de longitud (poniendo esta impedancia en Z L, así podemos combinarlas ). Tenemos βl =(2.5)(0.2) = 0.50, y así, usando la fórmula de impedancia de entrada con una impedancia de carga cero, encontramos Z en1 =j50 tan(0.50) =j27.4 ohms. 223

12 13.19 (continuación) Ahora, en la situación de Z L, hay impedancia neta en la combinación paralela de Z L y Z en1 : Z net =(50+j20) (j27.4) = 7.93+j19.9. Transformamos esta impedancia ahora a la línea de entrada, 30 cm a la izquierda, obteniendo (con βl=(2.5)(.3) = 0.75): Z en2 = 50 [ ] (7.93 +j19.9) cos(.75)+j50 sen(.75) = j98.0 = cos(.75) +j(7.93 +j19.9) sen(.75) La potencia entregada a Z L es la misma que el potencial entregado a Z en2 : La magnitud de corriente es I =(100)/(104.3) = 0.96 A. Así finalmente, P = 1 2 I 2 R = 1 2 (0.96)2 (35.9) = 16.5 W Este problema se propuso originalmente de manera incorrecta. La versión corregida debe tener un inductor en el circuito de entrada en lugar de un capacitor. Yo procederé con este reemplazo entendido, y cambiará la redacción en forma apropiada en los incisos c y d: a) Determine s en la línea de transmisión de la Fig Note que el dieléctrico es aire: El coeficiente de reflexión en la carga es Ɣ L = 40 +j j = j0.333 = rad Así s= = 2.0 b) Encuentre la impedancia de entrada: Con la longitud de la línea en 2.7λ, tenemos βl =(2π)(2.7) = rad. La impedancia de entrada es entonces Z en = 50 [ ] [ ] (40 +j30) cos(16.96)+j50 sen(16.96) j5.682 = 50 = 61.8 j cos(16.96) +j(40 +j30) sen(16.96) j3.804 c) Si ωl = 10, encuentre I s : La fuente maneja una impedancia total dada por Z net = 20 + jωl +Z en = 20+j j37.5 = 81.8 j27.5. La corriente es ahora I s = 100/(81.8 j27.5) = j0.37 A. d) Qué valor de L producirá un valor máximo para I s en ω = 1 Grad/s? Para lograr esto, la parte imaginaria de la impedancia total del inciso c debe reducirse a cero (así necesitamos un inductor). La impedancia del inductor debe ser igual a la parte negativa imaginaria de la impedancia en la línea de entrada, o ωl = 37.5, así que L= 37.5/ω = 37.5nH. Continuando, para este valor de L, calcule la potencia promedio: e) suministrada por la fuente: P s =(1/2)Re{V s I s }=(1/2)(100) 2 /(81.8) = 61.1W. f) entregada a Z L = 40+j30 : La potencia entregada a la carga será igual que la potencia entregada a la impedancia de entrada. Escribimos P L = 1 2 Re{Z in} I s 2 = 1 2 (61.8)(1.22)2 = 46.1W 224

13 Una línea sin pérdidas que tiene un dieléctrico aire tiene una impedancia característica de 400. La línea está operando en 200 MHz y Z en = 200 j200. Use métodos analíticos o el diagrama de Smith (o ambos) para encontrar: (a) s; (b) Z L si la línea es 1 m de longitud; (c) la distancia de la carga al voltaje máximo más cercano: Quiero primero usar el enfoque analítico. Usando las impedancias normalizadas, la Ec. (13) se vuelve Resuelva para z L : z en = Z en Z 0 = [ ] [ ] zl cos(βl)+j sen(βl) zl + j tan(βl) = cos(βl) + jz L sen(βl) 1 + jz L tan(βl) z L = [ ] zen j tan(βl) 1 jz en tan(βl) donde, con λ =c/f = / = 1.50 m, encontramos βl =(2π)(1)/(1.50) = 4.19, y así tan(βl) = También, z en =(200 j200)/400 = 0.5 j0.5. Así z L = 0.5 j0.5 j1.73 = j j(0.5 j0.5)(1.73) Finalmente, Z L =z L (400) = j69.8. Luego Ɣ = Z L Z 0 Z L + Z 0 = j j69.8 = j = rad Ahora Finalmente s = 1 + Ɣ 1 Ɣ = = 2.62 z max = φ 2β = λφ 4π = ( )(1.50) = m = 7.2 mm 4π Seguimos resolviendo el problema usando el diagrama de Smith. Refiriéndose a la figura en la próxima página, primero localizamos y marcamos la impedancia de la entrada normalizada, z en = 0.5 j0.5. Una línea dibujada del origen a través de este punto interseca el límite del diagrama externo en la posición λ en las longitudes de onda hacia la escala de la carga (WTL). Con una longitud de onda de 1.5 m, 1 línea métrica es longitudes de onda. En la escala WTL agregamos λ, o equivalentemente, λ ya que 0.5λ está alrededor del diagrama), obteniendo ( )λ) = λ, que es la posición de la carga.una línea recta es ahora dibujada del origen aunque la posición de λ Se usa un compás para medir la distancia entre el origen y z en. Con esta distancia puesta, se usa entonces el compás para escribir fuera de la misma distancia del origen a la impedancia de carga, a lo largo de la línea entre el origen y la posición λ. Ese punto es la impedancia de carga normalizada que se lee para ser z L = 2.6+j0.18. Así Z L =z L (400) = 1040+j72. Este es un acuerdo razonable con el resultado analítico de j69.8. La diferencia en partes imaginarias se deriva de la incertidumbre leyendo eldiagrama en esa región. Transformando las posiciones de entrada a la carga, cruzamos el eje real r>1 del diagrama en r = 2.6. Esto está cerca del valor de VSWR, como lo encontramos antes. También vemos que el eje real r >1 (en que el primer V máx ocurre) es una distancia de λ (marcada como.005λ en el diagrama) enfrente de la carga. La distancia real es z máx = (1.5) m = m = 7.2mm. 225

14 Una línea bialámbrica sin pérdidas tiene una impedancia característica de 300 y una capacitancia de 15 pf/m. La carga en z = 0 consisten en una resistencia de 600- en paralelo con un capacitor 10-pF. Si ω= 10 8 rad/s y la línea es de 20m de largo, use el diagrama de Smith para encontrar a) Ɣ L ;b) s;c) Z en. Primero, la longitud de onda en la línea se encuentra usando λ = 2πv p /ω, donde v p = 1/(CZ 0 ). Suponiendo la exactitud más alta en los de los valores dados originalmente presentados, obtenemos λ = 2π ωcz 0 = 2π (10 8 )( )(300) = m La longitud de la línea en las longitudes de onda es por consiguiente 20/13.96 = 1.433λ. La admitancia de carga normalizada es ahora [ ] [ ] 1 1 y L = Y L Z 0 = Z 0 + jωc = 300 R L j(108 )(10 11 ) = j

15 El valor y L se traza en el diagrama y etiquetado como y L. Luego, y L se invierte para encontrar z L transformando el punto a medio camino alrededor del diagrama, usando el compás y un borde recto. El resultado, etiquetado z L en el diagrama se lee para ser z L = 1.5 j0.87. Esto está cerca del cálculo inverso de y L, que es 1.47 j0.88. Escribiendo la longitud de arco de compás a lo largo de la escala de fondo para producir el coeficiente de reflexión Ɣ L =0.38. El VSWR se encuentra escribiendo la longitud de arco de compás a lo largo de la escala del fondo SWR o a lo largo de el eje real positivo del diagrama, ambos métodos producen s= 2.2. Ahora, la posición de z L se lee en el borde externo del diagrama como 0.308λ en la escala de WTG. El punto es ahora transformado a través de la distancia de longitud de línea de 1.433λ hacia el generador (la distancia neta del diagrama será 0.433λ, ya que una longitud de onda llena es dos revoluciones completas). La último lectura en la escala WTG después de la transformación se encuentra a través de ( )λ = 0.241λ. Dibujando una línea entre esta marca en la escala de WTG y el centro del diagrama, y escribiendo la longitud de arco de compás en esta línea, produce la impedancia de la entrada normalizada. Esto se lee como z en = j0.21 (el valor calculado que se encuentra a través de la solución analítica es z en = j La impedancia de entrada se encuentra ahora multiplicando el diagrama leído por 300, o Z en = 660 +j

16 La carga normalizada en una línea de transmisión sin pérdidas es z L = 2+j1. Sea l = 20 m (hubo un error tipográfico en la presentación del problema, ya que λ= 20 m debía de ser presentado. Yo especificaré las respuestas en términos de longitud de onda). Use el diagrma de Smith para encontrar: a) la distancia más corta de la carga al punto en que z en =r en +j0, donde r en > 1 (no mayor que 0 como lo presentado): Refiriéndose a la figura de abajo, empezamos marcando z L dado en el diagrama y dibujando una línea del origen a través de este punto al límite externo. En la escala de WTG, leemos la localización de z L como 0.213λ. Acercándose de aquí hacia el generador, cruzamos el eje Ɣ R positivo (en que la impedancia es completamente real y mayor que 1) en 0.250λ. La distancia es entonces ( )λ = 0.037λ de la carga. Si usamos λ= 20 m, la distancia real sería 20(0.037) = 0.74 m. b) Encuentre z en en el punto encontrado en el inciso a: Usando un compás, pusimos su radio a la distancia entre el origen y z L. Entonces escriba esta distancia a lo largo del eje real para encontrar z en =r en = c) La línea está cortada en este punto y la porción que contiene z L es dirigida. Un resistor r = r en del inciso a se conecta a través de la línea. Cuál es s en el resto de la línea? Éste será sólo s para la línea como era antes. Como sabemos, s será el valor del eje real positivo de la impedancia normalizada, o s = d) Cuál es la distancia más corta de este resistor a un punto en que z en = 2 + j1? De aquí regresaremos al punto original, requiriendo un círculo completo alrededor del diagrama (la mitad de la distancia de longitud de onda). La distancia del resistor será por consiguiente: d= 0.500λ 0.037λ= 0.463λ. Con λ= 20 m, la distancia real sería 20(0.463) = 9.26 m. 228

17 Con la ayuda del diagrama de Smith, trace una curva de Z en contra l para la línea de la transmisión mostrada en la Fig Cubra el rango 0 < l/λ < La impedancia de entrada requerida está en la entrada de la línea real (a la izquierda de los resistores de 20. La entrada a la sección lineal simplemente ocurre a la derecha de los resistores de 20 y la impedancia de la entrada allí encontramos primero con la carta de Smith. Esta impedancia está en la serie con las dos resistores de 20, así adicionamos 40 para calcular la impedancia del diagrama de Smith para encontrar la impedancia en la línea de entrada neta. Para empezar, el resistor de carga 20 representa una impedancia normalizada de z l = 0.4, que marcamos en el diagrama (vea abajo). Entonces, usando un compás, dibuje un círculo empezando en z L y progresando en el sentido de las agujas del reloj al eje real positivo. El círculo traza el sitio de valores de z en para las longitudes de la línea sobre el rango 0 < l<λ/4. En el diagrama, las líneas radiales están dibujando en posiciones que corresponden a los incrementos de.025λ en la escala de WTG. Las intersecciones de las líneas y el círculo dan un total de 11 valores de z en. A éstos adicionamos la impedancia normalizada de 40/50 = 0.8 para añadir el efecto de los resistores de 40 y obtener la impedancia normalizada en la entrada de la línea. Se encuentran entonces las magnitudes de estos valores, y los resultados se multiplican por 50. La tabla de abajo resume los resultados. l/λ z enl ( a la derecha de 40 ) z en =z enl Z en =50 z en j j j j j j j j j j j j j j j j j j

18 13.24.Como una verificación, la entrada de línea de la impedancia de entrada puede encontrarse analíticamente a través de del cual Z en = [ ] [ ] 20 cos(2πl/λ)+j50 sen(2πl/λ) 60 cos(2πl/λ)+j66 sen(2πl/λ) = cos(2πl/λ)+j20 sen(2πl/λ) 50 cos(2πl/λ)+j20 sen(2πl/λ) [ 36 cos 2 (2πl/λ) sen 2 (2πl/λ) Z en =50 25 cos 2 (2πl/λ)+ 4 sen 2 (2πl/λ) Esta función se traza abajo junto con los resultados obtenidos del diagrama de Smith. Se obtiene una comparación bastante buena. ] 1/2 230

19 Una línea de la transmisión de 300-ohms se pone en cortocircuito en z = 0. Un voltaje máximo, V máx = 10 V, se encuentra en z = 25 cm, y el voltaje mínimo, V mín = 0, se encuentra en z = 50 cm. Use el diagrama de Smith para encontrar Z L (con el cortocircuito reemplazado por la carga) si las lecturas de voltaje son: a) V máx = 12 V en z = 5 cm, y vertv mín = 5 V: Primero, sabemos que los voltajes máximo y mínimo son espaciados por λ/4. Ya que esta distancia se da como 25 cm, vemos que λ= 100 cm = 1 m. Así la situación del voltaje máximo es 5/100 = 0.05λ enfrente de la carga. La razón de la onda estacionaria es s= V máx / V mín = 12/5 = 2.4. Marcamos esto en el eje real positivo del diagrama (vea la página siguiente). La posición de la carga es ahora 0.05 longitudes de onda hacia la carga de la posición V máx o en 0.30 λ en la escala de WTL. Una línea se dibuja del origen a través de este punto en el diagrama, como lo mostrado. Luego ponemos el compás a la distancia entre el origen y el punto z=r= 2.4 en el eje real. Entonces escribimos esta misma distancia a lo largo de la línea dibujada a través de la posición.30λ La intersección es el valor de z L, que leímos como z L = 1.65+j.97. La impedancia de la carga real es entonces Z L = 300z L = 495 +j290. b) V máx = 17 V en z = 20 cm, y V mín = 0. En este caso la razón de la onda estacionaria es infinita, que pone el punto de partida en el punto r en el diagrama. La distancia de 20 cm corresponde a 20/100 = 0.20λ, situando la posición de carga en 0.45λ en la escala de WTL. Una línea es dibujada del origen a través de esta localización en el diagrama. Una razón de la onda estacionaria infinita nos pone enfrente del límite externo del diagrama, así leemos z L =j0.327 en la posición 0.45λ WTL. Así Z L =j300(0.327). =j

20 Una línea de la transmisión sin pérdidas de 50 opera con una velocidad de 3/4c. Una carga, Z L = 60 + j30 se localiza en z = 0. Use el diagrama de Smith para encontrar: a) s: Primero encontramos la impedancia de carga normalizada, z L =(60+j30)/50 = 1.2+j0.6, que es entonces marcada en el diagrama (vea abajo). Dibujando una línea del centro del diagrama a través de este punto produce su localización en 0.328λ en la escala de WTL. La distancia del origen al punto de impedancia de carga es ahora colocada en el compás; la razón de la onda estacionaria se encuentra entonces marcando esta distancia a lo largo del eje real positivo produciendo s = 1.76, como se muestra. Alternadamente, use la escala s en el fondo del diagrama poniendo el punto del compás en el centro, y marcando la distancia en la escala a la izquierda. b) la distancia de la carga al voltaje mínimo más cercano si f = 300 MHz: Esta distancia se encuentra trnsformando la impedancia de la carga en el sentido de las manecillas del reloj alrededor del diagrama hasta que el eje real negativo se alcanza. Esta distancia en las longitudes de onda es simplemente la posición de carga en la escala de WTL, ya que el punto de partida para esta escala es el eje real negativo. Así que la distancia es 0.328λ. La longitud de onda es λ = v f = (3/4)c 300MHz = 3(3 108 ) 4( ) = 0.75 m Así que la distancia real al primer voltaje mínimo es d mín = 0.328(0.75) m = 24.6cm. c) la impedancia de la entrada si f = 200 MHz y la entrada está en z= 110cm: La longitud de onda en esta frecuencia es λ =(3/4)( )/( )= m. La distancia a la entrada en las longitudes de onda es entonces d en =(1.10)/(1.125) = λ. Transformando la carga a través de esta distancia hacia el generador involucra la revolución una vez alrededor de la carta (0.500λ) más el resto de λ, que lleva a una posición final de λ. = 0.150λ en la escala WTG, o 0.350λ en la escala WTL. Una línea es dibujada entre este punto y el centro del diagrama. Marcando la longitud de arco de compás a través de esta línea produce la impedancia de entrada normalizada, lea como z en = j0.56. La impedancia real de entrada es Z en =z en 50 = j

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