Sobrantes de 2004 (Modelo 6) Soluciones Germán-Jesús Rubio Luna OPCIÓN A

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1 IES Fc Ayala de Graada Sbrates de 004 (Mdel 6) Slucies Germá-Jesús Rubi Lua OPCIÓN A EJERCICIO 1_A (1 put) Dibuje la regió del pla defiida pr las siguietes iecuacies: x 3y -13; x + 3y 17, x + y 11; y 0. (1 put) Determie ls vértices de este recit. c) (1 put) Calcule ls valres máxim y míim de la fució F(x,y) = 5x + 6y e la regió aterir e idique e qué puts se alcaza. Dibuje la regió del pla defiida pr las siguietes iecuacies: x 3y -13; x + 3y 17, x + y 11; y 0. Determie ls vértices de este recit. c) Calcule ls valres máxim y míim de la fució F(x,y) = 5x + 6y e la regió aterir e idique e qué puts se alcaza. (, ( y (c) Las desigualdades x 3y -13; x + 3y 17, x + y 11; y 0, las trasfrmams e igualdades, y ya s rectas, x 3y = -13; x + 3y = 17, x + y = 11; y = 0. Para que s sea más fácil dibujar las rectas (c ds valres es suficiete), despejams las y y teems y = x/3 + 13/3; y = -x/3 + 17/3; y = -x + 11; y = 0. Represetams gráficamete las rectas que verifica estas igualdades, etre las que estará ls brdes del recit delimitad pr las iecuacies dadas. Calculams ls vértices del recit reslvied las ecuacies las rectas de ds e ds. De y = x/3+13/3 e y = -x/3+17/3, teems x/3+13/3 = -x/3+17/3, lueg x+13 = -x+17, de dde 4x = 4, es decir x = 1 e y=5, y el vértice es A(1,5). De y = -x/3+17/3 e y = 0, teems -x/3+17/3 = 0, es decir x = 17/ = 8 5, y el vértice es B(8 5,0). De y = 0 e y = -x + 11, teems x = 11, y el vértice es C(11,0). De y = -x + 11 e y = x/3+13/3, teems -x + 11 = x/3+13/3-3x+33 = x+13 0 = 5x, lueg x=4 e y = 7, y el vértice es D(4,7). Vems que la regió factible es el plíg cvex limitad pr ls vértices del recit, que s: A(1,5), B(8 5,0), C(11,0) y D(4,7). El Terema Fudametal de la Prgramació Lieal afirma que su máxim y míim abslut está e la regió cvexa actada, y que ests extrems debe estar situads e algú vértice del recit, pr l que evaluams F e ls puts aterires A(1,5), B(8 5,0), C(11,0) y D(4,7). E el cas de que cicida e ds vértices csecutivs la slució es td el segmet que ls ue. F(1,5) = 5(1) + 6(5) = 35; F(8 5,0) = 5(8 5) + 6(0) = 4 5; F(11,0) = 5(11) + 6(0) = 55; F(4,7) = 5(4) + 6(7) = 6. Teied e cueta l aterir vems que el máxim abslut de la fució F e la regió es 6 (el mayr valr e ls vértices) y se alcaza e el vértice D(4,7), y el míim abslut de la fució F e la regió es 35 (el mer valr e ls vértices) y se alcaza e el vértice A(1,5). gjrubi@htmail.cm 1

2 IES Fc Ayala de Graada Sbrates de 004 (Mdel 6) Slucies Germá-Jesús Rubi Lua EJERCICIO _A (1 5 puts) Dada la fució f(x) = ax + bx, calcule a y b para que la fució tega u extrem relativ e el put (1,4). (1 5 puts) Determie la ecuació de la recta tagete a la gráfica de la fució g(x) = + L x e el x put de abscisa x = 1. Dada la fució f(x) = ax + bx, calcule a y b para que la fució tega u extrem relativ e el put (1,4). Cm (1,4) es u put de la gráfica teems que f(1) = 4. Cm (1,4) es u extrem relativ, sabems que aula la primera derivada, lueg f (1) = 0. f(x) = ax + bx; f (x) = ax + b. De f (1) = 0 a(1) + b = 0 b = - a. De f(1) = 4 a(1) + b(1) = 4 a + b = 4 a - a = 4, de dde a = - 4 y b = - (-4) = 8. Determie la ecuació de la recta tagete a la gráfica de la fució g(x) = + L(x) e el put de abscisa x x = 1. La recta tagete e x = 1 es y g(1) = g (1) (x 1). - 1 g(x) = + L(x) ; g(x) = + g(1) = /1 + L(1) = y g (1) = -/1 + 1/1 = - 1, x x x y la recta tagete pedida es y - = -1 (x 1) = -x + 1, es decir y = - x + 3. EJERCICIO 3_A Parte I E ua uiversidad españla el 30% de ls estudiates s extrajers y, de ésts, el 15% está becads. De ls estudiates españles, sól el 8% tiee beca. Si se elige, al azar, u alum de esa uiversidad: (1 put) Cuál es la prbabilidad de que sea españl y tega beca? (1 put) Calcule la prbabilidad de que sea extrajer, sabied que tiee beca. E ua uiversidad españla el 30% de ls estudiates s extrajers y, de ésts, el 15% está becads. De ls estudiates españles, sól el 8% tiee beca. Si se elige, al azar, u alum de esa uiversidad: Llamems Es, Ex, B y B C, a ls sucess siguietes, ser estudiate españl, ser estudiate extrajer, "estar becad", y " estar becad", respectivamete. Dats del prblema p(ex) = 30% = 0 3; p(b/ex) = 15% = 0 15; p(b/es) = 8% = Td est se ve mejr e el siguiete diagrama de árbl (cmpletams las prbabilidades sabied que la suma de las que parte de u mism d vale 1). Cuál es la prbabilidad de que sea españl y tega beca? p(españl y tega bec = p(es B C ) = p(es).p(b C /Es) = = gjrubi@htmail.cm

3 IES Fc Ayala de Graada Sbrates de 004 (Mdel 6) Slucies Germá-Jesús Rubi Lua Calcule la prbabilidad de que sea extrajer, sabied que tiee beca. Aplicad el terema de Bayes, teems: p(ex B) p(ex) p(b/ex) p(ser extrajer/tiee bec = p(ex/b) = = p(b) p(b) Aplicad el terema de la prbabilidad ttal, teems: p(b) = p(ex).p(b/ex) + p(es).p(b/es) = (0 3) (0 15) + (0 7) (0 08) = p(ex B) p(ex) p(b/ex) Pr tat p(ser extrajer/tiee bec = p(ex/b) = = = (0 3) (0 15)/0 101 = p(b) p(b) = 45/ EJERCICIO 3_A Parte II La duració de u ciert tip de bmbillas eléctricas se distribuye segú ua ley Nrmal c desviació típica 1500 hras. (1 put) Si e ua muestra de tamañ 100, tmada al azar, se ha bservad que la vida media es de 9900 hras, determie u iterval, c el 95% de cfiaza, para la vida media de esta clase de bmbillas. (1 put) C u ivel de cfiaza del 99% se ha cstruid u iterval para la media c u errr máxim de 77 5 hras, qué tamañ de la muestra se ha tmad e este cas? Sabems que para la media pblacial μ, el estimadr MEDIA MUESTRAL X, sigue ua N(μ, ), y geeralmete escribims X N(µ, ) X N(µ, ) Tambié sabems que el iterval de cfiaza para estimar la media es: I.C. (µ) = x z 1 α/,x + z1 α/ = (a, dde z 1-α/ y z α/ = - z 1-α/ es el put crític de la variable aleatria Nrmal tipificada Z N(0,1) que verifica p(z z 1-α/ ) = 1 - α/ Tambié sabems que la media es x = (a + /, el errr máxim de la estimació es E = z1 α /, para el iterval de la media. Per la amplitud del iterval es b a = z1 α / = E, de dde E = (b /, z 1- α/. z 1- α/. pr tat el tamañ míim de la muestra es = = E b - a. La duració de u ciert tip de bmbillas eléctricas se distribuye segú ua ley Nrmal c desviació típica 1500 hras. Si e ua muestra de tamañ 100, tmada al azar, se ha bservad que la vida media es de 9900 hras, determie u iterval, c el 95% de cfiaza, para la vida media de esta clase de bmbillas. Dats del prblema: = 1500, = 100, x = 9900, ivel de cfiaza = 95% = 0 95 = 1 - α, de dde α = 0 05, es decir α/ = 0 05/ = De p(z z 1-α/ ) = 1 - α/ = = Mirad e las tablas de la N(0,1) vems que la prbabilidad viee, y que crrespde a z 1-α/ = 1 96, pr tat el iterval de cfiaza pedid es: gjrubi@htmail.cm 3

4 IES Fc Ayala de Graada Sbrates de 004 (Mdel 6) Slucies Germá-Jesús Rubi Lua I.C. (µ) = x z 1 α/,x + z1 α/ = '96, '96 = (9606, 10194) C u ivel de cfiaza del 99% se ha cstruid u iterval para la media c u errr máxim de 77 5 hras, qué tamañ de la muestra se ha tmad e este cas? Dats del prblema: = 1500, E 77 5, ivel de cfiaza = 99% = 0 99 = 1 - α, de dde α = 0 01, es decir α/ = 0 01/ = De p(z z 1-α/ ) = 1 - α/ = = Mirad e las tablas de la N(0,1) vems que la prbabilidad viee, las más próximas s y que crrespde a 57 y 58, pr tat z 1-α/ es la media es decir z 1-α/ = ( )/ = 575. De z 1- α/. ' = E 77'5 = 5, teems que el tamañ míim es = 5. OPCIÓN B EJERCICIO 1_B (1 5 puts) Platee, si reslver, u sistema de ecuacies asciad al siguiete prblema: U meder ctiee 1 eur e medas de, 5 y 10 cétims; e ttal hay medas. Sabied que el úmer de medas de 5 y 10 cétims jutas excede e uidades al úmer de medas de cétims, btega el úmer de medas de cada tip que hay e el meder. x + y + z = 6 (1 5 puts) Resuelva el sistema frmad pr las ecuacies x - y + z = 3. 3x + y - 3z = 3 (1 5 puts) Platee, si reslver, u sistema de ecuacies asciad al siguiete prblema: U meder ctiee 1 eur e medas de, 5 y 10 cétims; e ttal hay medas. Sabied que el úmer de medas de 5 y 10 cétims jutas excede e uidades al úmer de medas de cétims, btega el úmer de medas de cada tip que hay e el meder. x = º de medas de cet. y = º de medas de 5 cet. z = º de medas de 10 cet. De ctiee 1 eur (100 cétims) e medas de, 5 y 10 cétims x + 5y + 10z = 100. De e ttal hay medas x + y + z =. De el úmer de medas de 5 y 10 cétims jutas excede e uidades al úmer de medas de cétims y + z = x +. x + 5y + 10z = 100 El sistema pedid es: x + y + z = y + z = x + x + y + z = 6 Resuelva el sistema frmad pr las ecuacies x - y + z = 3. 3x + y - 3z = 3 x + y + z = 6 x + y + z = 6 x + y + z = 6 x y + z = 3 (F - F 1 ) -3y = -9 y = 3 3x + y - 3z = 3 (F 3-3F 1 ) -y - 6z = z = -15 z = Sustituye d e x + y + z = 6, teems x = 6, lueg x = 1. La slució del sistema es (x,y,z) = (1, 3, ). EJERCICIO _B gjrubi@htmail.cm 4

5 IES Fc Ayala de Graada Sbrates de 004 (Mdel 6) Slucies Germá-Jesús Rubi Lua 9 - x si x 3 Sea la fució f(x) =. -x + 16x - 30 si x > 3 (1 put) Estudie su ctiuidad y derivabilidad. (1 put) Estudie su mtía y calcule sus extrems relativs. c) (1 put) Represétela gráficamete. 9 - x si x 3 Estudie la ctiuidad y derivabilidad de la fució: f(x) =. -x + 16x - 30 si x > 3 Sabems que si ua fució es derivable etces tambié es ctiua. 9 - x es ua fució ctiua y derivable e R, e particular e x < 3. - x + 16x - 30 es ua fució ctiua y derivable e R, e particular e x > 3. Veams la ctiuidad y la derivabilidad de f e x = 3. f(x) es ctiua e x = 3 si f(3) = lim f(x) = x 3 lim f(x). x 3+ f(3) = lim f(x) = lim (9 - x ) = 9 - (3) = 0; x 3 x 3 lim f(x) = lim (- x + 16x - 30) = - (3) + 16(3) - 30 = 0, pr tat f(x) es ctiua e x = x 3 x 3 Recapitulad f es ctiua e R. 9 - x si x 3 De f(x) =, teems f (x) = -x + 16x - 30 si x > 3 - x si x < 3-4x + 16 si x > 3 f(x) es derivable e x = 3 si lim f (x) = x 3 lim x 3 (-x) = -(3) = -6; lim f (x) = x 3 lim x 3+ lim f (x), estams vied la ctiuidad de la derivada. x 3 + f (x) = (- 4x + 16) = - 4(3) + 16 = 4. Cm ls resultads lim x 3 + cicide, f(x) es derivable e x = 3. Lueg f (x) = Recapitulad f es derivable e R {3}. Estudie su mtía y calcule sus extrems relativs. Sabems que la mtía es el estudi de la primera derivada. - x si x < 3-4x + 16 si x > 3 Si x < 3, f (x) = - x. De f (x) = 0 - x = 0, de dde la slució es x = 0, que será el psible extrem relativ. Cm f (-1) = - (-1) = > 0, f es estrictamete creciete ( ) e (-,0). Cm f (1) = - (1) = - < 0, f es estrictamete decreciete ( ) e (1,3). Pr defiició e x = 0 hay u máxim relativ, que vale f(0) = 9 - (0) = 9. Si x > 3, f (x) = - 4x De f (x) = 0-4x + 16 = 0, de dde la slució es x = 4, que será el psible extrem relativ. Cm f (3 5) = - 4(3 5) + 16 = > 0, f es estrictamete creciete ( ) e (3,4). Cm f (5) = - 4(5) + 16 = -4 < 0, f es estrictamete decreciete ( ) e (3,+ ). Pr defiició e x = hay u máxim relativ, que vale f(4) = - (4) + 16(4) - 30 =. Cm cada rama es u trz de parábla, el put x = 3 es u míim relativ ( sale pr derivació) que vale f(3) = 0. c) Represete la gráfica de la fució. Teied e cuata la aterir y que ambas ramas de la fució s trzs de parábla, 9 - x c vértice e (0,9) y - x + 16x 30 c vértice e (4,), u esbz de la gráfica es: gjrubi@htmail.cm 5

6 IES Fc Ayala de Graada Sbrates de 004 (Mdel 6) Slucies Germá-Jesús Rubi Lua EJERCICIO 3_B Parte I E u cetr de Bachillerat, ls alums de 1º s el 60% del ttal, y ls de º el 40% restate. De tds ells, el 46% psee móvil y el 18% s de 1º y tiee móvil. (1 put) Calcule la prbabilidad de que u alum de 1º, elegid al azar, psea móvil. (1 put) Elegid u alum, al azar, resulta que tiee móvil, cuál es la prbabilidad de que sea de º? E u cetr de Bachillerat, ls alums de 1º s el 60% del ttal, y ls de º el 40% restate. De tds ells, el 46% psee móvil y el 18% s de 1º y tiee móvil. Calcule la prbabilidad de que u alum de 1º, elegid al azar, psea móvil. Llamems 1º, º, M y M C, a ls sucess siguietes, alums de 1º, alums de º, "psee móvil", y " psee móvil", respectivamete. Este prblema es muy fácil de realizar utilizad ua tabla de ctigecia (tabla de dble etrada. La suma de ls ttales cicide), y después utilizad la defiició de prbabilidad de Laplace (úmer de cass favrables partid pr úmer de cass psibles). Tambié se pdría hacer pr u diagrama de árbl. Pasarems primer el % e prbabilidades (el ttal de ls ttales es 1). 60% = 0 60; 40% = 0 4; 18% = Psee móvil = M N psee móvil = M C Ttales Alums 1º = 1º Alums º = º 0 40 Ttales Cmpletams la tabla de ctigecia sabied que tat la suma e hriztal cm e vertical da ls ttales. He puest e egrita ls úmers que he cmpletad. ( Psee móvil = M N psee móvil = M C Ttales Alums 1º = 1º Alums º = º Ttales Ttal alums 1 y mvil p(psea móvil/alum de 1º) = p(m/1º) = Ttal alums 1 = 0 18/0 60 = 0 3. Elegid u alum, al azar, resulta que tiee móvil, cuál es la prbabilidad de que sea de º? p( M) Ttal alums y mvil p(alum de º/psea móvil) = p(º/m) = = p(m) Ttal mviles = 0 8/0 46 = 147/ EJERCICIO 3_B Parte II Ua variable aleatria puede tmar ls valres 0, 4 y 30. Mediate muestre aleatri simple se frma tdas las muestras psibles de tamañ. (0 75 puts) Escriba tdas las muestras psibles. (1 5 puts) Calcule la media y variaza de las medias muestrales. gjrubi@htmail.cm 6

7 IES Fc Ayala de Graada Sbrates de 004 (Mdel 6) Slucies Germá-Jesús Rubi Lua Ua variable aleatria puede tmar ls valres 0, 4 y 30. Mediate muestre aleatri simple se frma tdas las muestras psibles de tamañ. Escriba tdas las muestras psibles. Calcule la media y variaza de las medias muestrales. ( y ( Pblació {0, 4, 30} Muestras psibles = {0-0, 0-4, 0-30, 4-0; 4-4, 4-30, 30-0, 30-4; 30-30}. Hay 9. Media de la pblació = µ = ( )/3 = 74/3. Variaza de la pblació = = Σ(elemets - µ) /3 = (1/3) [(0-74/3) + (4-74/3) + (30-74/3) ] = 15/9. Desviació típica pblacial = = (15/9) = (15)/3. Sabems que la media pblacial µ es igual a la media pblacial µ x, y que la desviació típica muestral x cicide c la desviació típica pblacial dividid pr la raíz cuadrada del tamañ de la muestra, es decir x =, pr tat la variaza muestral es x = /. Media pblacial µ x = µ = 74/3. Variaza muestral X = / = (15/9)/ = 76/ gjrubi@htmail.cm 7