MATE1214 -Calculo Integral Parcial -3

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1 MATE114 -Calculo Itegral Parcial -3 Duració: 60 miutos 1. Cosidere la curva paramétrica descrita por = te t, y = 1 + t. Halle la pediete de la recta tagete a esta curva cuado t = 0.. Calcular la logitud de arco de la curva plaa = cos 5t, y = si 7t, co 0 t π. 3. Calcule el área de la regió que queda de la rosa r = 4 cos(θ) y por fuera del círculo r =. 4. Evalúe los siguietes series: (a) ; (b) =1 5. Determie si la serie coverge o diverge: (a) (c) l ; (b) =1 =1 + 1 ; (d) =1 =1 + 1 ;!! + 1 ; 1

2 Calculo Itegral Parcial 3 1. Sea l la liea e plao cartesiao co ecuacio y =. Ecuetre ua ecuacio que describa a l e el plao co coordeadas polares.. Gafique la curva defiidad por r = si θ e el plao co coordeadas polares. Ecuetre el area de la regio acotada por el segmeto de esta curva defiido por 0 θ π. 3. Evalue (a) i= 1 (b) i= Determie si las siguietes coverge o diverge (a) i=1 ( 1) (b) i=1 (c) i=1 e Determie si las siguietes coverge o diverge (a) ( ) i=1 (b) i=1 cos 1

3 CÁLCULO INTEGRAL ECUACIONES DIFERENCIALES PARCIAL III 8 de oviembre de 007 (1.) Cosidere la curva de ecuació polar r = 1 + si(ϑ). (a) [7 pt] Determie las ecuacioes de las rectas tagetes a la curva e el puto (0, 0). (b) [7 pt] Determie la logitud de la curva cuado ϑ [0, π].

4 (.) Determie si las siguietes series coverge. ( (a) [7 pt] l(3 3) l( ) ). =1 (b) [6 pt] ( 1 ). a =1

5 (3.) Sea: f = (+5) = (b) [7 pt] Determie el domiio de f. (c) [6 pt] Calcule f (66) (1) (la derivada de orde 66 de f).

6 (4.) [10 pt] La gráfica de la ecuació polar r = si(5ϑ) se asemeja a ua flor. Calcule el área de uo de sus pétalos.

7 Uiversidad de los Ades Departameto de Matemáticas MATE114 Cálculo Itegral Parcial 3 (30/10/007) 1 1. Grafique y ecuetre el área de la regió eterior a r = e iterior a r = 8 cos θ. Determie si las siguietes series so absolutamete covergetes, codicioalmete covergetes o divergetes. a) =1 ( ) 1 se b) =1 ( 1) +1! 3 ( + 1)! 3. Muestre que si la serie de térmios positivos a 1 + a + + a + es covergete, etoces la serie a 1 + a + + a + es covergete 1 4. Ecuetre { el área superficial del sólido que se obtiee al girar la curva = a cos 3 θ 0 θ π/ alrededor del eje. y = a se 3 θ - Opcioal Ecuetre las ecuacioes de las rectas tagetes e el puto dode la curva se autoitersecta. = t t, y = t 3 3t 1 1 El jurameto del uiadio dice: Juro solememete absteerme de copiar o de icurrir e actos que puede coducir a la trampa o al fraude e las pruebas académicas, o e cualquier otro acto que perjudique la itegridad de mis compañeros o de la misma Uiversidad

8 Uiversidad de los Ades Departameto de Matemáticas MATE114 Cálculo Itegral Parcial 3 (30/10/007) 1 1. Grafique y ecuetre el área de la regió eterior a r = e iterior a r = 8 cos θ. Determie si las siguietes series so absolutamete covergetes, codicioalmete covergetes o divergetes. a) ( ) 1 ( 1) +1 se =1 b) =1! ( + )! 3. Muestre que si la serie de térmios positivos a 1 + a + + a + es covergete, etoces la serie a a + + a + es covergete { = a cos 3 θ 4. Ecuetre la logitud de arco de la curva 0 θ π/ y = a se 3 θ - Opcioal Ecuetre las ecuacioes de las rectas tagetes e el puto dode la curva se autoitersecta. = t t, y = t 3 3t 1 1 El jurameto del uiadio dice: Juro solememete absteerme de copiar o de icurrir e actos que puede coducir a la trampa o al fraude e las pruebas académicas, o e cualquier otro acto que perjudique la itegridad de mis compañeros o de la misma Uiversidad

9 UNIVERSIDAD DE LOS ANDES DEPARTAMENTO DE MATEMATICAS CUARTO PARCIAL. CALCULO INTEGRAL 1. Determie la serie de Maclauri de la fució f ( ). Use el resultado ( 3) para demostrar que Ecuetre la suma de 1 1 ( 1) y determie el cojuto de covergecia 3. Ecuetre todos los complejos z que satisface la ecuació iz 0. Escriba la respuesta e la forma a + ib 1 4. Resuelva la ecuació diferecial y y, > 0, sabiedo que y 1 1 es ua solució de la homogéea asociada. z TIEMPO: 50 MINUTOS SUERTE!

10 Departameto de Matemáticas Cálculo Itegral MATE-114 Tercer Parcial Uiversidad de los Ades NOMBRE: I. Ecuetre la serie de Taylor para se para resultado, ecuetre ua serie para cos para a. A partir de este a II. Use el hecho de que 1 1 0, 1 para ecotrar series de potecia para l( 1 ), l(1 ). Determie el radio de covergecia III. Simplificar i i Nota: deje la respuesta e la forma a i b 3 IV. Resuelva el problema de valor iicial y '' y e, y(0) 0, y '(0) 1

11 UNIVERSIDAD DE LOS ANDES DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS Mate114 Cálculo Itegral y Ecuacioes Difereciales Parcial 3 (16/07/007) 1 Evalue la itegral o muestre que es divergete 1. Dadas las ecuacioes r = cos θ y r = 1. a) Grafique las curvas. b) Ecuetre el área iterior a ambas curvas.. Muestre que la logitud de arco de ua curva e coordeadas polares r = f (θ), b ( ) dr co a θ b, está dada por r + dθ dθ a 3. Ecuetre { la logitud de la curva defiida por las ecuacioes paramétricas: = e t cos t y = e t, 0 t π. se t 1 El jurameto del uiadio dice: Juro solememete absteerme de copiar o de icurrir e actos que puede coducir a la trampa o al fraude e las pruebas académicas, o e cualquier otro acto que perjudique la itegridad de mis compañeros o de la misma Uiversidad

12 UNIVERSIDAD DE LOS ANDES DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS Mate114 Cálculo Itegral y Ecuacioes Difereciales Parcial (5/07/007) 1 1. [ pt] Determie si la serie dada e covergete, codicioalmete covergete o divergete. Justifique su respuesta matemáticamete. a). [1 pt] =1 ( 1) b) Halle el radio e itervalo de covergecia de la serie de potecias 3. [1 pt] Halle la serie de Maclauri de f () = y determie su radio de covergecia. 3 + =0 ( 1) [1 pt] Cosidere la sucesió {a } dode a 1 = 6, a k+1 = 6 + a k, determie si la sucesió es covergete o divergete. E caso de ser covergete halle su límite. 1 El jurameto del uiadio dice: Juro solememete absteerme de copiar o de icurrir e actos que puede coducir a la trampa o al fraude e las pruebas académicas, o e cualquier otro acto que perjudique la itegridad de mis compañeros o de la misma Uiversidad

13 Departameto de Matemáticas Uiversidad de los Ades Cálculo Itegral MATE-105 Tercer Parcial Julio 6/.007 NOMBRE: Juro solememete absteerme de copiar o de icurrir e actos que pueda coducir a la trampa o al fraude e las pruebas académicas. Firma: Justifique sus respuestas 1. (1 p) a. Determie los putos de la curva o vertical. y 3 t 3 1 t 3 t 3 1 t dode la tagete es horizotal b. Aalice los itervalos dode crece y decrece c. Trace la gráfica. (0.5p) La elipse se caracteriza porque la suma de las distacias de cualquier puto sobre la elipse a dos putos fijos llamados focos so costates. Deduzca ua ecuació de la elipse co focos e y co eje mayor de logitud 8 3, ) r r 4 cos 3. (1 p) a. Determie los putos de itersecció de las curvas y b. Trace la gráfica de ambas curvas e el mismo sistema (coordeadas polares) c. Calcule el área de la regió iterior a ambas curvas 4. Determie a. (0.5p)Si la sucesió l coverge o o b. (0.5p) Si la serie ( 1) l c. (0.75p)Radio e itervalo de covergecia de coverge (absoluta o codicioalmete) o diverge ( ) 1 4 e d. (0.75 p) d como serie ifiita. (Ayuda: Ecuetre primero la serie para e )

14 Departameto de Matemáticas Uiversidad de los Ades Cálculo Itegral MATE-105 Tercer Parcial Julio 6/.007 NOMBRE: Juro solememete absteerme de copiar o de icurrir e actos que pueda coducir a la trampa o al fraude e las pruebas académicas. Firma: Justifique sus respuestas 1. (1 p) a. Determie los putos de la curva o vertical. y 3 t 3 1 t 3 t 3 1 t dode la tagete es horizotal b. Aalice los itervalos dode crece y decrece c. Trace la gráfica. (0.5p) La elipse se caracteriza porque la suma de las distacias de cualquier puto sobre la elipse a dos putos fijos llamados focos so costates. Deduzca ua ecuació de la elipse co focos e y co eje mayor de logitud 8 3, ) r r 4 cos 3. (1 p) a. Determie los putos de itersecció de las curvas y b. Trace la gráfica de ambas curvas e el mismo sistema (coordeadas polares) c. Calcule el área de la regió iterior a ambas curvas 4. Determie a. (0.5p)Si la sucesió l coverge o o b. (0.5p) Si la serie ( 1) l c. (0.75p)Radio e itervalo de covergecia de coverge (absoluta o codicioalmete) o diverge ( ) 1 4 e d. (0.75 p) d como serie ifiita. (Ayuda: Ecuetre primero la serie para e )

15 Uiversidad de los Ades Departameto de Matemáticas Tercer Parcial de Calculo. Vacacioes Graficar completamete la curva dada por las ecuacioes paramétricas (t) = t 1 t, y(t) = t+ 1 t.. a) Graficar la curva dada por: r = + 4 cos θ. b) Calcular el área del rizo iterior de la curva r = + 4 cos θ. c) Platee la itegral (o evalúe) que proporcioa la logitud de la curva r = + 4 cos θ. 3. a) Halle el térmio geerador de la sucesió: 1, 5, 3 8, 4 11,..., b) Es la sucesió aterior moótoa? (Justifique). c) Es la sucesió aterior acotada? (Justifique). d) Es la sucesió aterior covergete? Si lo es halle lím a. 4. Decida sobre la covergecia o divergecia de las series siguietes. E caso de covergecia ecuetre la suma: k a) l k + 1. b) c) k=1 k=1 k=1 4 k+1 7 k 1. ta 1 k 1 + k. NOTA: NO OLVIDE APAGAR SU CELULAR!

16 UNIVERSIDAD DE LOS ANDES DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS Mate114 Cálculo Itegral y Ecuacioes Difereciales Parcial (5/07/007) 1 1. [ pt] Determie si la serie dada e covergete, codicioalmete covergete o divergete. Justifique su respuesta matemáticamete. a). [1 pt] =1 ( 1) 1 ( + 1) b) Halle el radio e itervalo de covergecia de la serie de potecias 3. [1 pt] Halle la serie de Maclauri de f () = y determie su radio de covergecia =0 ( 4) ( 1) [1 pt] Cosidere la sucesió {a } dode a 1 =, a k+1 = + a k, determie si la sucesió es covergete o divergete. E caso de ser covergete halle su límite 1 El jurameto del uiadio dice: Juro solememete absteerme de copiar o de icurrir e actos que puede coducir a la trampa o al fraude e las pruebas académicas, o e cualquier otro acto que perjudique la itegridad de mis compañeros o de la misma Uiversidad

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