m 3) ... ( )= = C n m

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1 COMBINATORIA VARIACIONS : Variacions de m elementos tomados de n en n: V n m = m ( m 1) ( m 2) ( m 3)... ( m-n+1) Usanse cando se quere calcular cantos grupos de n elementos se poden formar con m elementos, tendo en conta que cada grupo diferenciase de outro por ter un elemento distinto ou ben polo orde de colocacion dos elementos. Exemplo: Dunha bolsa que conten 12 bolas numeradas do 1 o 12 extraense 4. Si temos en conta que as bolas non se devolven a bolsa,. Cantos números poderiamos chegar a formar?. Solución: 4 V 12 = 12 ( 12 1)... ( )= = COMBINACIONS : Combinacions de m elementos tomados de n en n: C n m m! m = = n n! ( m n)! Como no caso das variacions tamen calcula o número de grupos de n elementos que se poden formar con m elementos, pero diferencianse das variacions en que nas combinacions o orde non diferencia un grupo de outro. Exemplo: Cal é o número de apostas diferentes que se poden facer na loteria primitiva? Solución: C ! 49 = = 6 6! ( 49 6)! = ! = = ! PERMUTACIONS: Permutacions de m elementos: P m = m! =m ( m-1) ( m 2) ( m 3) As permutacions permiten calcular de cantas formas distintas se poden ordenar m elementos. Exemplo: De cantas formas distintas poden sentarse 7 persoas nun banco?. Solución: P 7 = 7! =7 ( 7-1) = =

2 CÓMO DIFERENCIALAS? Forma un grupo e contesta a dúas preguntas Formamos uha agrupación e: Importa a orden dos elementos? Pódese repetir un elemento? Nº de agrupaciones Variacións con repeticion VR SI SI VR n m = m n Variacións V SI NO V n m=m(m-1)...(m-n+1) n#m Permutacións P SI NO P n =V n n=n!=n(n-1) n=m Combinacións C NO NO C n m=( m n)=m!/(n!(m-n)!) n#m PROBLEMAS 1.- De cantas maneiras poden colocarse catro soldados nunha fila?. 2.- Un camareiro descansa dous días por semana. Cantas semanas transcurriran de maneira que non se repitan os días de descanso?. 3.- Con seis pesas de 1, 2, 5, 10, 20 e 50 kg, que cantidade de pesos diferentes se poderian pesar?. 4.- Con 20 soldados, cantas gardas formadas por catro soldados diferentes se poderian formar?. 5.- Cantos modelos diferentes de billete de tren deberianse imprimir pra cubrir un traxecto de dez estacions, si en cada billete ten que constar a estación de saida en primeiro lugar e a de chegada en segundo lugar?. 6.-Con catro telas de diferentes cores, cantas bandeiras de tres cores distintos se poden facer, cosendo as tiras en horizontal?. 7.-Calcular o número de números de cinco cifras distintos que se poden facer coas cifras impares. Cantos serian de tres cifras?. 8.-A unha reunion asisten vinte persoas. Nesa reunión formanse grupos de traballo distintos de seis persoas. Cantos grupos de traballo se poderia chegar a formar?. 9.-Nunha competición atlética entre os participantes figuran os cinco millores atletas do momento, e polo tanto é seguro que as tres medallas van ser pra eles. Cantas son as posibilidades que poden aparecer o final da competición, no que as medallas se refire? No salón dunha casa hai seis lámparas, pero con tres delas chega para ter o salón ben iluminado. Cantas son as posibilidades a hora de decidir que tres lámparas se encenden?. 11.-Nun grupo de 40 alumnos hai que elexir o delegado, o subdelegado e o suplente. De cantas formas podería facerse a elección?. 12.-Nunha volta ciclista participan cinco equipos. De cantas maneiras pode ser a clasificación xeral?. 13.-Con unha moneda de cada clase de 100, 50, 25, 10, 5 e 1 peseta, cantos pagos distintos se poden facer?. 2

3 EJERCICIOS PARA ENTRENARSE 1. Aplicando los diagramas en árbol, calcula y construye todas las posibles palabras de tres letras que se pueden formar con las letras de la palabra CASO, sin repetir ninguna. 2. Utilizando un diagrama en árbol, calcula cuántos resultados distintos se pueden obtener lanzando cuatro veces consecutivas una moneda. 3. Utilizando un diagrama en árbol, calcula cuántos números de cuatro cifras distintas pueden formarse con las cuatro cifras pares significativas 4. Calcula los siguientes números combinatorios: 1500 a) 1500 b) c) d) Calcula + sin aplicar la fórmula del cálculo de cada uno de los números 2 3 combinatorios Desarrolla: 2x x 7. Desarrolla (2 + x) Halla x si Vx,4 = 20Vx,2. 9. Halla x si VR x,4 = 13VR x,2 = Halla x si 12Px + 5Px+1 = Px Halla x si 2C 2x,x = 7C 2x-2,x-1. PROBLEMAS PARA APLICAR 12. En una línea de autobús que une diez pueblos. Se pueden sacar billetes para ir de cualquier pueblo a cualquier otro. Cuántos billetes distintos debe tener la línea de autobuses? 13. A un certamen de poesía se han presentado 26 candidatos. El cuadro de honor lo forman el ganador, el finalista y un accésit. Cuántos cuadros de honor se pueden formar? 14. En un concurso hípico en el que participan 24 caballos, de cuántas formas distintas se pueden dar el primero y el segundo premio? 15. Con las letras de la palabra JAVIER, cuántas palabras de cuatro letras, sin repetir ninguna, se pueden formar? 3

4 16. Una máquina tragaperras tiene una pantalla donde se ven tres figuras. Las figuras se ven al dejar de girar tres ruedas con 12 figuras cada una. cuántas pantallas distintas podemos ver? 17. En una bolsa hay ocho bolas numeradas del 1 al 8. Sacamos una bola, anotamos su número y la devolvemos a la bolsa. Repetimos la operación tres veces. Cuántos resultados distintos se pueden dar? 18. Lanzamos al mismo tiempo los cuatro dados del parchís, que se distinguen por sus colores. Cuántas tiradas distintas podemos hacer? 19. En una clase de 25 alumnos se convocan tres concursos: de pintura, de redacción y de problemas de ingenio. Participan todos los alumnos y en cada uno hay un ganador. Cuántos resultados se pueden dar? 20. Las Naciones Unidas decidieron unificar las abreviaturas de los países, asignando a cada uno tres de las 26 letras del alfabeto latino. Así: ESP (España), EEU (Estados Unidos); FRA (Francia); etc. Cuántas abreviaturas pueden formarse? 21. Un grupo de 10 amigos pretende hacerse una foto, alineándose uno junto al otro. Cuántas fotos en posiciones diferentes pueden hacerse? 22. Un bar cuenta con 12 tipos diferentes de refrescos, y su propietario duda el orden en el que ponerlos en la carta. Entre cuántas cartas de refrescos en distinto orden puede elegir? 23. De cuántas formas posibles puede acabar el campeonato de la liga española de fútbol de 1ª división si juegan 22 equipos? 24. Una heladería tiene helados de 15 sabores. Cuántos cucuruchos de tres sabores diferente puede hacer? 25. Deseamos pintar tres bolas iguales, cada una de un color distinto. Disponemos de 7 colores, de cuántas formas podemos hacer la elección? 26. En una clase de 25 alumnos se organiza un campeonato de parchís en el que deben jugar todos contra todos (sabes que en cada partida intervienen cuatro jugadores). Cuántas partidas distintas se pueden organizar? 27. En un examen de test de 30 preguntas, un estudiante debe responder a 20 preguntas para aprobar. Cuántos grupos de preguntas distintos puede elegir? 28. En el campeonato del mundo de fútbol participan 24 equipos. Cuántas finales distintas se pueden jugar? Cuántos pódiums (1º, 2º, 3º) diferentes se pueden dar? 29. Cuántas diagonales tiene un dodecágono: polígono de 12 lados? (Diagonal: segmento que une dos vértices no consecutivos) 4

5 30. Disponemos de 12 banderas distintas. Halla cuántas señales podemos hacer, usando como máximo cuatro de ellas. 31. En una carrera compiten cinco corredores, uno por cada continente. Se sabe que han llegado a la meta de uno en uno. Cuántos resultados finales se pueden haber dado? En cuántos puede ganar el corredor africano? 32. De las permutaciones que pueden formarse con la palabra COMER, averigua cuántas empiezan por vocal. 33. Una clase consta de 7 niños y 3 niñas. EL profesor quiere elegir 4 de ellos para hacer un trabajo. De cuántas maneras podrá hacerlo? De cuántas, si entre los elegidos quiere que haya dos niños y dos niñas? 34. Jorge tiene 10 amigos y quiere invitar a 6 de ellos a comer: Cuántas formas tiene de hacerlo? Cuántas, si entre ellos hay un matrimonio que no asiste el uno sin el otro? 35. En una carrera de caballos, un jugador empedernido decide apostar a todas las opciones posibles para la apuesta de primer y segundo caballos y realiza 132 apuestas. Cuántos caballos corren? Le va bien, y decide insistir en la siguiente carrera con una apuesta especial, consistente en predecir cuáles acaban los dos primeros, sin importar el lugar que ocupen entre sí. Hace 45 apuestas. Cuántos caballos corren en esta carrera? 36. Un barco dispone de 7 banderas de un solo color cada una, y todas ellas distintas. Tiene tres mástiles en los que sólo puede izar una bandera para hacer señales. Cuántas señales puede hacer? Supongamos que pierde la verde, y debe utilizar siempre la roja; en este caso, cuántas señales podrá hacer? 37. Tres caballos corren una carrera. Suponiendo que se pueden dar toda clase de empates (pueden entrar tres o dos caballos al mismo tiempo), cuántos posibles finales hay? 38. En dos carreras se corren las semifinales olímpicas de 1500 metros. En la primera corren 15 atletas y se clasifican para la final 8 atletas, y en la segunda corren 12 atletas y se clasifican para la final 6 atletas Cuántas finales distintas hay? 39. Con las cifras impares Cuántos números de tres cifras distintas se pueden formar? Cuántos números de cinco cifras distintas se pueden hacer? Cuántos productos de tres factores distintos se pueden formar? CUESTIONES PARA ACLARARSE 40. Expresa 21! En función de 19! 41. Si Marisa tiene 4 faldas, 3 camisas y 4 pares de zapatos, de cuántas formas distintas se podrá vestir? 5

6 42. Qué es mayor, el número de variaciones de ocho elementos tomados de cinco en cinco, o el número de variaciones con repetición de ocho elementos tomados de cinco en cinco? 43. Qué relación existe entre C5,3, V5,3 y P3? Trata de generalizar la relación obtenida. 44. Contesta verdadero o falso a cada una de las siguientes afirmaciones: a) En las variaciones con repetición no influye el orden. b) En las variaciones sin repetición sí influye el orden. c) En las permutaciones influye el orden. d) En las combinaciones influye el orden Calcula x 8 para que se cumpla la relación: = 8 x x x 46. Halla x si : = Con ocho elementos queremos formar variaciones. a) Podremos formar variaciones sin repetición de más de ocho elementos? b) Podremos formar variaciones sin repetición de menos de ocho elementos? c) Y si quisiéramos utilizar los ocho elementos, serían variaciones? 48. Con ocho elementos queremos hacer variaciones con repetición. a) Podremos hacerlas utilizando más de ocho elementos? b) Podremos hacerlas utilizando menos de ocho elementos? c) Y utilizando exactamente ocho elementos? 49. Se pueden relacionar factoriales de distintos números? Qué relación hay entre 8! Y 7!? Y entre m! Y (m 1)!? 50. Calcula el término de lugar 8 en el desarrollo: 1 2x x Calcula el término de lugar 19 en el desarrollo desarrollo que no tenga x? Justifica la respuesta x +. Hay algún término del x 52. Con los números del 1 al 6 (ambos inclusive) cuántos números de tres cifras pueden formarse que sean divisibles por tres? 6

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