Distribuciones binomial y normal

Transcripción

1 Distribuciones binomial y normal LITERATURA Y MATEMÁTICAS El teorema Como la mayoría de los que estamos presentes en esta aula, Laplace fue incomprendido por sus padres dijo Caine mientras caminaba por delante de la pizarra. Aunque su padre quería que fuera soldado o sacerdote, Laplace se decidió por la vida académica. Por lo tanto, cuando cumplió los dieciocho años marchó al epicentro académico de Francia: París. Allí consiguió un trabajo como profesor de geometría de los cadetes de una academia militar. Entre ellos había un chico bajito llamado Napoleón Bonaparte que, según me han dicho, hizo después algunas cosas extraordinarias. Los doce estudiantes reunidos alrededor de la mesa se rieron cortésmente. En 77, Laplace presentó su primer trabajo en la prestigiosa Académie des Sciences. Después de aquello, quedó claro para todos que era un genio matemático. Así que dedicó el resto de su vida a dos campos: la probabilidad y la astronomía. Casi treinta años más tarde, en 7, unió los dos campos cuando publicó el libro de astronomía más importante de la época: Tratado de la mecánica celeste. El libro no sólo contenía una exposición analítica del sistema solar, sino que también incluía nuevos métodos para calcular las órbitas planetarias.»sin embargo, la razón por la que el Tratado de la mecánica celeste sigue considerándose hoy muy importante no es por sus hallazgos astronómicos, sino porque fue la primera persona que aplicó la teoría de las probabilidades a la astronomía. Laplace demostró que las múltiples observaciones de la posición de una estrella tendían a formar una curva con forma de campana. [ ] A qué se refiere con «múltiples observaciones de la posición de una estrella»?, preguntó un estudiante paliducho y con pelo lacio y oscuro. Ah, buena pregunta. Caine se acercó a la pizarra. En aquel entonces, uno de los grandes problemas de la astronomía era que todos tomaban sus mediciones un poco a ojo de buen cubero y, como las personas cometen errores, los datos no eran claros. Veinte astrónomos diferentes medían la posición de una estrella y obtenían veinte lecturas diferentes. Lo que hizo Laplace fue tomar aquellas veinte observaciones diferentes y elaborar un gráfico. Cuando lo hizo, vio que las posiciones formaban una curva con forma de campana como ésta. Caine señaló una gráfica de distribución normal en la pared. En cuanto vio esto, exclamó: «Ajá, si las observaciones están en una distribución normal, entonces la punta nos indica la posición más probable de la estrella». ADAM FAWER Mide las dimensiones, en mm, de tu mesa y calcula su superficie. Con los datos de tus compañeros elabora un polígono de frecuencias y, a partir de él, calcula la superficie más probable de la mesa. Respuesta abierta.

2 SOLUCIONARIO ANTES DE COMENZAR RECUERDA Indica el tipo de variable estadística. a) Talla de una persona. c) Sexo de una persona. b) Temperatura. d) Dinero gastado a la semana. a) Cuantitativa continua b) Cuantitativa continua c) Cualitativa d) Cuantitativa discreta Organiza en una tabla de frecuencias estos datos relativos al peso, en kg, de personas Respuesta abierta. Peso [, ) [, ) [, 7) [7, 8) f i h i, 8,,, N h i F i H i,, 7,8 Lidia ha obtenido las siguientes notas en Matemáticas: 7,,,,, 7 y. Calcula la media, la varianza y la desviación típica. x 7, 7 7 7,,7 7 σ σ, Se lanzan dos dados y se suman los puntos obtenidos. Halla la probabilidad de que la suma: a) Sea. c) Sea inferior a. b) No sea 7. d) Sea o. a) 8 b) c) d) 7 +

3 Distribuciones binomial y normal ACTIVIDADES Lanzamos dos dados de caras. a) Comprueba que la función que asigna a cada suceso elemental la suma de las puntuaciones es una variable aleatoria. b) Elabora su tabla de valores y represéntala gráficamente. a) El espacio muestral es: E {(, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, )} La función X que asigna a cada suceso la suma de las puntuaciones es una variable aleatoria. X(, ) X(, ) X(, ) X(, ) X(, ) X(, ) 7 X(, ) X(, ) X(, ) X(, ) X(, ) 7 X(, ) 8 X(, ) X(, ) X(, ) X(, ) 7 X(, ) 8 X(, ) X(, ) X(, ) X(, ) 7 X(, ) 8 X(, ) X(, ) X(, ) X(, ) 7 X(, ) 8 X(, ) X(, ) X(, ) X(, ) 7 X(, ) 8 X(, ) X(, ) X(, ) X(, ) b) X P(X x i ) P(X x i ) ,8,,,,,8,,, 7 8 Consideramos el experimento aleatorio consistente en lanzar un dado y una moneda. a) Calcula el espacio muestral y la probabilidad de cada suceso elemental. b) Define sobre este experimento dos variables aleatorias y represéntalas. a) El espacio muestral es: E {(, C), (, C), (, C), (, C), (, C), (, C), (, X), (, X), (, X), (, X), (, X), (, X)} La probabilidad de cada suceso elemental es.

4 SOLUCIONARIO b) Respuesta abierta. La función X asigna a cada suceso el número obtenido en el dado. X(, C) X(, C) X(, C) X(, C) X(, C) X(, C) X(, X) X(, X) X(, X) X(, X) X(, X) X(, X) X P(X x i ) P(X x i ),8,,,,,8,,, La función Y asigna a cada suceso el número elemental si sale cara en la moneda y si sale cruz. Y(, C) Y(, C) Y(, C) Y(, C) Y(, C) Y(, C) Y(, X) Y(, X) Y(, X) Y(, X) Y(, X) Y(, X) Y P(Y y i ) P(Y y i ),, Consideramos la variable aleatoria que cuenta la suma de las puntuaciones al lanzar dos dados de caras. Calcula los parámetros de esta variable aleatoria. Media: μ7 Desviación típica: σ,8, Puedes encontrar una variable aleatoria discreta que proceda de una variable estadística continua? Y lo contrario? Consideramos la variable estadística cuantitativa continua «altura de las personas de un país, medida en metros». Definimos sobre esta variable estadística la variable aleatoria: h Para cada altura h X( h) si si h > Esta variable está definida para cualquier suceso elemental de la variable estadística, es decir, cada una de las alturas; además, es discreta, pues solo toma dos valores. Por tanto, de una variable estadística continua se puede obtener una variable aleatoria discreta, pero no a la inversa, pues un número finito de valores no puede tener un número infinito de imágenes.

5 Distribuciones binomial y normal En el experimento aleatorio que consiste en lanzar dos dados de caras, consideramos la variable aleatoria X, que asocia a cada suceso elemental el producto de las puntuaciones que se ven. Halla y representa las funciones de probabilidad y de distribución. X(, ) X(, ) X(, ) X(, ) X(, ) X(, ) X(, ) X(, ) X(, ) X(, ) 8 X(, ) X(, ) X(, ) X(, ) X(, ) X(, ) X(, ) X(, ) 8 X(, ) X(, ) 8 X(, ) X(, ) X(, ) X(, ) X(, ) X(, ) X(, ) X(, ) X(, ) X(, ) X(, ) X(, ) X(, ) 8 X(, ) X(, ) X(, ) X P(X x i ) P(X x i ) X P(X x i ) P(X x i ) La función de probabilidad es: 8 f( x) si x,,,, si x 8,,,,, 8,,,, si x si x, en el resto Y, X

6 SOLUCIONARIO La función de distribución es: si x si x si x si x si x si x 8 7 si x 8 8 si 8 x 7 si x Fx () si x si x si x si x si 8 x si x 8 si x si x si x si x + Y, X

7 Distribuciones binomial y normal Esta es la gráfica de una función de distribución. Halla y representa la función de probabilidad. Y, si x, si x, si x, si x,, Fx (), si x,, si x f( x), 7, si x si x en el resto 8, si x si x + Y, X, 7 X 7 8 Comprueba si la variable aleatoria que cuenta el número de veces que sale un, al lanzar veces un dado de seis caras, sigue una distribución binomial. La variable es discreta, porque solo puede tomar los valores,,, y. n es el número de veces que se realiza el experimento. Sea A «Salir un», entonces P(A). Los experimentos son independientes, porque lo que sucede en un lanzamiento no influye en el siguiente. Por tanto, la variable sigue una distribución binomial: B, Calcula la probabilidad de que la variable aleatoria, X, que cuenta el número de veces que sale un en tiradas de un dado, sea mayor o igual que. PX ( ) PX ( ) + PX ( ) +, Consideramos la variable aleatoria que cuenta el número de bolas blancas que obtengo, al sacar tres veces una bola de un recipiente que contiene bolas blancas y rojas, y después de anotar el color, devolver la bola al recipiente. Calcula la probabilidad de que obtenga bolas blancas. X B, PX ( ),88

8 SOLUCIONARIO Si consideramos el mismo experimento de la actividad anterior, calcula. a) La probabilidad de que todas las bolas sean del mismo color. b) La probabilidad de obtener alguna bola de color rojo. a) PX ( ) + PX ( ) +,8 b) PX ( ), Consideramos la variable aleatoria que cuenta el número de bolas blancas que obtengo, al sacar tres veces una bola de un recipiente que contiene bolas blancas y rojas, y después de anotar el color, devolver la bola al recipiente. Calcula, utilizando la tabla de la distribución binomial, la probabilidad de que haya anotado bolas blancas. X B(;,) P(X ),88 Si consideramos el mismo experimento de la actividad anterior, calcula. a) La probabilidad de que todas las bolas sean del mismo color. b) La probabilidad de obtener alguna bola de color rojo. a) P(X ) + P(X ), +,,8 b) P(X ),, Calcula el valor de k para que la siguiente función sea una función de densidad, y halla la función de distribución asociada a ella. b h k k si x x Fx ( ) si x si x + Halla la función de densidad que corresponde a esta función de distribución. x x f( x) si en el resto kx fx ( ) si x en el resto Y si x Fx ( ) x si x si x + X X 7

9 Distribuciones binomial y normal Tipifica los siguientes valores de una variable aleatoria con μ y σ. a) x b) x, c) x, d) x a) b),,7 c) d),,7 Compara los datos de estas distribuciones. x (con μ, σ) x (con μ, σ) x, (con μ,; σ,) z, z z z z,, z, 7 8 Si la variable aleatoria X sigue una distribución normal X N(, ), calcula las siguientes probabilidades. a) P(X ) c) P(X ) e) P(X 7) b) P(X > ) d) P(X ) f) P(X 8) a) PX ( ) P X PZ (,) PZ (,),,8 b) PX ( > ) P X > PZ ( ) PZ ( ),8 c) P(X ) d) P(X ) e) PX ( ) P X 7 PZ ( ),8 f) P(X 8) Una variable aleatoria X se distribuye según una normal de media μ y desviación típica σ. Sabemos que los cuartiles de la distribución valen y, respectivamente. Cuánto valen la media μ y la desviación típica σ? PX ( ) P X μ μ P Z μ σ σ σ, μ P Z,7 μ,8 μ,8σ σ σ PX ( ) P X μ μ P Z μ σ σ σ μ,7,8 σ μ,8σ μ,8σ μ μ,8σ σ 7,7 8

10 SOLUCIONARIO Una fábrica de componentes elabora. circuitos electrónicos al día. Si la probabilidad de fabricar un circuito defectuoso es del %, cuál es la probabilidad de que en un día el número de circuitos defectuosos sea mayor que? Y menor que? X B(. ;,) N( ;,) PX ( > ) P X > PZ (,, >,7) PZ (,7) PX ( ) P X PZ (,,,),88 El % de las personas de una ciudad afirma que no ve nunca televisión. Calcula la probabilidad de que, escogidas personas al azar, haya al menos personas que no vean televisión. Qué probabilidad hay de que sean exactamente? X B( ;,) N(, ) PX ( ) P X PZ ( ), PZ (,),8,8, X, PX ( ) P(, X,) P PZ (,) PZ (,7),,87, En una urna hay bolas rojas y bolas azules. Se sacan bolas y se anota el número de bolas azules que se han conseguido. Realiza una tabla con la distribución de probabilidad, y halla la media y la desviación típica. X P(X x i ) P(X x i ) 8 8 Media: μ, Desviación típica: σ,,7

11 Distribuciones binomial y normal En el experimento aleatorio consistente en elegir al azar una ficha de dominó, se considera la variable X «mayor número de las dos puntuaciones de la ficha». Construye la distribución de probabilidad y halla la media, la desviación típica y la varianza. X P(X x i ) P(X x i ) Media: μ 8 Varianza: σ Desviación típica: σ,7 Se lanzan dos dados y se considera la variable aleatoria que a cada suceso elemental le hace corresponder la diferencia entre el mayor y el menor de los resultados de ambos dados. a) Clasifica la variable aleatoria. b) Describe la distribución de probabilidad en forma de tabla. a) Es una variable discreta. b) X P(X x i ) P(X x i )

12 SOLUCIONARIO Hemos pintado tres caras de un dado con un, dos caras con un y una cara con un. Si consideramos la variable que asigna a cada suceso elemental su puntuación: a) Elabora una tabla con la distribución de probabilidad. b) Halla la media y la desviación típica. a) X P(X x i ) P(X x i ) b) Media: μ,7 Desviación típica: σ,,7 Un juego consiste en lanzar dos dados, anotar la suma de los resultados dividida entre y aproximarla, por exceso, al número entero más próximo. a) Realiza la distribución de probabilidad. b) Calcula la media, la varianza y la desviación típica. a) X P(X x i ) P(X x i ) 8 7 b) Media: μ,7 Varianza: σ, Desviación típica: σ, Dada la siguiente tabla, que corresponde a los valores que toma una variable aleatoria X y a sus probabilidades: a) Comprueba que corresponde a una distribución de probabilidad. b) Calcula la función de distribución. c) Halla su media y su desviación típica. a), +, +, +, b) si x, si x Fx ( ) 8, si x, si x 7 si 7 x + X 7 P(X),,,, c) Media: μ, Desviación típica: σ,87, 7

13 Distribuciones binomial y normal 7 Con la distribución de la actividad anterior, determina las siguientes probabilidades. a) P(X >) c) P( X 7) b) P(X ) d) P(μ σ X μ +σ) a) PX ( > ), b) PX ( ),8 c) P( X 7), d) P( μ σ X μ+ σ) P(,7 X,),8 8 Identifica las variables aleatorias que siguen una distribución binomial. a) Tenemos tres fichas blancas y cinco fichas azules en una bolsa. Sacamos cuatro fichas y contamos el número de fichas que son blancas. b) En la situación anterior sacamos una ficha, anotamos su color y la devolvemos a la bolsa. Repetimos el experimento veces y anotamos el número de fichas de color blanco. c) Lanzamos un dado diez veces y anotamos las veces que sale el número. d) Se lanza un dado y si sale un número par, se vuelve a lanzar el mismo dado, pero si sale un número impar se lanza un dado con forma de tetraedro y caras numeradas del al. Se cuenta el número de las veces que sale el número. e) En una ciudad, el % de la población tiene los ojos de color azul. Se eligen, al azar, personas y se anota el número de ellas que tiene los ojos azules. a) La variable aleatoria no sigue una distribución binomial. b) La variable es discreta porque solo puede tomar los valores,, y. n es el número de veces que se realiza el experimento. Sea A «Salir una ficha blanca», entonces P(A). 8 Los experimentos son independientes, porque lo que sucede en una extracción no influye en la siguiente. Por tanto, la variable sigue una distribución binomial: B, 8 c) La variable es discreta porque solo puede tomar los valores,,,,,,, 7, 8, y. n es el número de veces que se realiza el experimento. Sea A «Salir un», entonces P(A). Los experimentos son independientes, porque lo que sucede en un lanzamiento no influye en el siguiente. Por tanto, la variable sigue una distribución binomial: B, d) La variable aleatoria no sigue una distribución binomial. e) La variable es discreta, porque solo puede tomar los valores,,,,,,, 7, 8,,,,,,,,, 7, 8, y. n es el número de veces que se realiza el experimento. Sea A «Tener los ojos azules», entonces P(A),. Los experimentos son independientes, porque el color de los ojos de una persona no influye en el color de los ojos de la otra persona. Por tanto, la variable sigue una distribución binomial: B(;,) 7

14 SOLUCIONARIO Calcula las probabilidades que se indican en las siguientes distribuciones binomiales. a) En B(8;,) P(X ), P(X ), P(X ) b) En B(;,) P(X ), P(X ), P(X ) c) En B(;,8) P( X ), P( X ) PX ( ) 8 7 a) PX ( ),,8,87,,8, 8 PX ( ) 8 8,,8,777 b) PX ( ),,, PX ( ) PX ( ) + PX ( ) + PX ( ),+,8 +,, PX ( ) PX ( ) + PX ( ),77 +,8, c) P( X ) PX ( ) + PX ( ) + PX ( ) + PX ( ), +,8 +,7 +,,7 P( X ) PX ( ) + PX ( ) + PX ( ) + PX ( ), +, +,8 +,7,7 Una máquina que fabrica discos compactos consigue fabricar un % de discos sin error. Si escogemos de ellos al azar, calcula las siguientes probabilidades. a) No hay ninguno defectuoso. b) Hay más de uno defectuoso. a) PX ( ),,,87 b) PX ( > ) PX ( ) ( PX ( ) + PX ( )) (,87 +,87), Un examen tipo test tiene preguntas a las que se ofrecen cuatro respuestas posibles. a) Si se responde al azar, cuál es la probabilidad de acertar más de dos preguntas? b) Si para aprobar hay que tener más de respuestas correctas, cuál es la probabilidad de obtener un aprobado? X B( ;,) np 7, > X B( ;,) N( 7,;,7) n( p), > 7, 7, a) PX ( > ) P X > P(,7,7 Z >,) P( Z,),88 7, 7, b) PX ( > ) P X >,7,7 PZ ( >,) PZ (,),,8 7

15 Distribuciones binomial y normal Se lanza el dado veces. Cada vez que se obtiene un número mayor que gana Eva. En caso contrario, gana Daniel. a) Describe la función de probabilidad y la función de distribución. b) Cuáles son la media y la desviación típica de esta distribución? c) Cuál es la probabilidad de que Eva gane exactamente veces? d) Cual es la probabilidad de que Daniel gane más de veces? x a) La función de probabilidad es: f( x) x i x La función de distribución es: Fx () i i x i si x,,,, en el resto b) μ,7 σ, c) np,7 > X B( ;,) N(,7;,) n( p) 8, >,,7 X PX ( ) P(, X,) P,7,,7,,, P( Z,) P(, Z ) d),7,7 PX ( ) P X,, PZ (,7 ) PZ (,7 ) De cada veces que mi hermano juega conmigo al ajedrez, me gana 7 veces. a) Cuál es la probabilidad de que me gane vez? b) Y de hacer tablas? c) Cuál es la probabilidad de que me gane entre y veces, ambos números incluidos? d) Si apostamos que, en partidas, yo le ganaré al menos veces, cuál es la probabilidad de ganar la apuesta? X B( ;,7) a) PX ( ),7,,78 b) PX ( ),,, 7 c) P( X ) PX ( ) + PX ( ) + PX ( ) ,,,, 7,,,78 +,7 +,,88 7

16 SOLUCIONARIO d) PX ( ) PX ( ) + PX ( ) + PX ( ) + PX ( ) + PX ( ) + PX ( ), +,78 +,7 +, +,7 +,, En un laboratorio de análisis clínicos saben que el 8 % de las pruebas de diabetes que realizan resulta negativo. Si han recibido muestras para analizar: a) Determina la probabilidad de que haya personas a las que la prueba les dé positivo. b) Cuál es la probabilidad de que la prueba resulte positiva a más de persona? X B( ;,) a) PX ( ),,8, 8 b) PX ( > ) PX ( ) ( PX ( ) + PX ( )),,8, El % de la población de una ciudad es inmigrante de procedencia africana. Se eligen cinco personas al azar. Determina la probabilidad de que: a) Haya un inmigrante africano. d) Haya, al menos, un africano. b) Sean dos o más inmigrantes africanos. e) Sean cuatro inmigrantes africanos. c) Las cinco sean inmigrantes africanos. X B(, ; ) a) PX ( ),,8, b) PX ( ) PX ( ) ( PX ( ) + PX ( )),,8,,8,77,,7 c) PX ( ),,8, d) PX ( ) PX ( ) PX ( ),,8,77,7 e) PX ( ),,8, Juan suele dar en el blanco con una de cada tres flechas que lanza a la diana. a) Es cierto que si lanza flechas, al menos una de ellas dará en el blanco? b) Qué probabilidad hay de que eso suceda? c) Y si lanza flechas, puede estar seguro de que alguna de sus flechas va a dar en el blanco? d) Cuántas flechas debería lanzar para asegurar, con una probabilidad de más del %, que va a conseguirlo?,8,87,7, 7

17 Distribuciones binomial y normal a) No, la probabilidad no puede asegurar el resultado del lanzamiento. b) X B, PX ( ) PX ( ) PX ( ),,77 c) No, la probabilidad no varía y no puede asegurar el resultado. d) X B n, n PX ( ) PX ( ) PX ( ) n n log,, n 7, log A partir de 8 flechas, la probabilidad de que al menos una flecha dé en el blanco es más del %. n, 7 8 En una distribución N(, ), calcula las probabilidades. a) P(Z,7) e) P(Z >,8) b) P(Z,) f ) P(Z >,7) c) P(Z,77) g) P(Z,7) d) P(Z,7) h) P(Z,) a) PZ (,7),77 b) PZ (, ),78 c) PZ ( 77, ), d) PZ (,7),7 e) PZ ( > 8, ) PZ ( 8, ),8 f ) PZ ( >,7) PZ (,7), g) PZ ( 7, ) h) PZ (,) PZ (,),88 En una distribución N(, ), halla las siguientes probabilidades. a) P(Z >,8) e) P(Z,) b) P(Z,87) f ) P(Z,) c) P(Z,7) g) P(Z,) d) P(Z,) h) P(Z,87) a) PZ ( >,8) PZ (,8),, b) PZ (,87) PZ (,87),,887 c) PZ (,7) d) PZ (, ) PZ (, ),7,8 e) PZ (,) PZ (,),,77 f ) PZ (,) PZ (,),88, g) PZ (,) PZ (,),87, h) PZ (, 87) PZ (, 87),, 7

18 SOLUCIONARIO En una distribución N(, ), obtén las probabilidades. a) P(, Z,) d) P(, Z,) b) P(, Z,) e) P(, Z,) c) P(, Z,) f ) P(, Z,7) a) P(, Z, ) PZ (, ) PZ (,),7,, b) P(, Z, ) PZ (, ) PZ (, ), 788, 877, 8 c) P(, Z,) PZ (,) ( PZ (,)), +,78, d) P(, Z,) PZ (,) ( PZ (,)), +,7,7 e) P(, Z,) PZ (,) PZ (,),,7,7 f) P(, Z, 7) PZ (, ) PZ (, 7),, 877, 7 Calcula el valor de k para que se verifiquen las igualdades en la distribución N(, ). a) P(Z k),8 c) P(Z > k),7 b) P(Z k), d) P(Z k), a) k,7 b) PZ ( k), PZ ( k), 88 k, 7 k, 7 c) PZ ( > k), 7 PZ ( k), 7 k, 7 k, 7 d) PZ ( k), PZ ( k), 887 k, 8 Determina las siguientes probabilidades en una distribución N(, ). a) P(X,) e) P(X >,8) b) P(X,) f ) P(X >,8) c) P(X 7,) g) P(X,) d) P(X,7) h) P(X 7,8) a) PX P X, (, ) P( Z, 8), 7 b) PX P X, (, ) PZ (, ), 8 c) PX P X, ( 7, ) 7 P( Z, ),,7 d) PX (,7) P X PZ (, ),,8 e) PX ( >,8 ) P X P( Z, ) P( Z, ),,,8 f ) PX ( >,8) P X PZ (,8) PZ (,8),8, g) P(X,) h) PX (, ) P X, PZ (, ) PZ (, ), 8, 7 77

19 Distribuciones binomial y normal En una distribución N(, ), calcula las siguientes probabilidades. a) P(X >8,) c) P(X ) e) P(X,) g) P(X,) b) P(X,) d) P(X,) f ) P(X 7,) h) P(X,877) a) PX P X, ( > 8, ) 8 > PZ ( >, ) PZ (, ),, b) PX P X, (, ) P( Z, ) P( Z, ),, 7 c) P(X ) d) PX P X, (, ) P( Z, 8) P( Z, 8), 8 e) PX (, ) P X, PZ ( 8, ) PZ ( 8, ), 77, 8 f) PX (, ) P X, 7 7 P( Z, ) P( Z, ),, 77, g) PX (,) P X P( Z 7, ) P( Z 7, ),88,,877 h) PX (,877) P X PZ ( 8, ) PZ ( 8, ),887, En una distribución N(, ), obtén estas probabilidades. a) P( X ) d) P(7,7 X,) b) P( X 7,) e) P(8,8 X 8) c) P(8 X,) f ) P( X 87) X a) P( X ) P P(, Z,) PZ (, ) PZ (,),8,8,8 X 7, b) P( X 7,) P P(,8 Z,8) PZ (,8 ) PZ (,8),887,,8 8 X, c) P( 8 X,) P P(, Z,88) PZ (,88) ( P( Z,)), +,, 7,7 X, d) P( 7,7 X,) P P(, Z,) P( Z, ) ( PZ (,)),877 +,8,7 78

20 SOLUCIONARIO 8,8 X e) P( 8,8 X ) P 8 8 P(, Z,7) PZ (, ) PZ ( 7, ),,78, X 87 f) P( X 87) P P(,7 Z,) PZ (,7) PZ (, ),,87, Halla a, b, c,, para que en una distribución normal N(8, ) se cumpla que: a) P(X a),88 c) P(X c), e) P(X e),87 b) P(X b),7 d) P(X d), a) PX ( a),88 P X 8 a 8,88 a 7, a 8, b) PX ( b),7 P X 8 b 8 b 8,7,77 b, c) PX ( c), P X 8 c 8, P X c 8 c,8 8, c, d) PX ( d), P X 8 d 8, P X d 8 d 8,, d, e) PX ( e),87 P X 8 e 8,87 P X e 8 e,87 8, e El nivel de colesterol en una persona adulta sana sigue una distribución normal N(,). Calcula la probabilidad de que una persona adulta sana tenga un nivel de colesterol: a) Superior a unidades. b) Entre 8 y unidades. a) PX ( > ) P X > P( Z >,7) P( Z,7),78, 8 X b) P( 8 X ) P P( Z,) PZ (, ) ( PZ ( )), (, 8), 8 7

21 Distribuciones binomial y normal Se ha comprobado que el tiempo medio que resiste un adulto sin respirar es de segundos, con una desviación típica de, segundos, y que los datos anteriores siguen una distribución normal. a) Halla el porcentaje de personas que aguantan más de segundos y menos de segundos. b) Qué porcentaje resiste entre y segundos? a) b) PX ( > ) PX ( ) P X >,, P X,, PZ ( >,) PZ (,) ( PZ (,)) ( PZ (, )) (,87) (,),8 El porcentaje de personas es del, %. X P( X ) P,,, P(, Z,) PZ (,) ( PZ (,)),,8 El 8, % resiste entre y segundos. 7 La edad de un grupo de personas sigue una distribución N (,). Calcula la probabilidad de que una persona de ese grupo, elegida al azar, tenga: a) Más de años. b) Entre y 7 años. c) Di entre qué edades estará comprendido el % central de la distribución. a) PX ( > ) P X > PZ (, > ) PZ (,),,8 X 7 b) P( X 7) P P(, Z, ) PZ (, ) ( PZ (, )),88,78 a X + a c) P( a X + a), P P a a Z a a P Z P Z a P Z P Z a, 7 a,,8 a,8 El % central de la distribución estará comprendido entre 8 y años. 8

22 SOLUCIONARIO 8 El peso de las ovejas adultas se distribuye normalmente con una media de kg y una desviación típica de, kg. a) Qué porcentaje de las ovejas pesará entre y 7 kg? b) Si pretendemos separar una cuarta parte de las ovejas, siendo las más pesadas del rebaño, a partir de qué peso se hará la separación? X 7 a) P( X 7) P,,, P(, Z,7) PZ (,7) ( PZ (,)), +,8,8 b) PX ( > a), P X a > P,, a Z >, a P Z, a, P Z,7, a,8 a,, La separación debe hacerse a partir de, kg. El tiempo medio de espera de un viajero en una estación ferroviaria, medido en minutos, sigue una distribución normal N(7,; ). Cada mañana. viajeros acceden a esa estación. Determina el número de viajeros que esperó: a) Más de minutos. b) Menos de minutos. c) Entre y minutos. d) Completa la frase: «Los. viajeros que menos tiempo tardaron en subir al tren tuvieron que esperar menos de minutos». a) b) c) 7, 7, PX ( > ) P X > PZ (,7 > ) PZ (,7),77,,., viajeros esperaron más de minutos. 7, 7, PX ( ) P X PZ (,7 ) PZ (,7),77,,., viajeros esperaron menos de minutos. 7, X 7, 7, P( X ) P P(, Z,) PZ (,) ( PZ (,) ),8,7888,7888..,. viajeros esperaron entre y minutos. 8

23 Distribuciones binomial y normal. 7, 7, d), PX ( a), P X a., a 7, 7 P Z, P a Z,,7 a 7,,8 a 8,8 Los. viajeros que menos tiempo tardaron en subir al tren tuvieron que esperar menos de 8 minutos. Se sabe que el 8,% de los tornillos fabricados por una empresa tiene un diámetro menor que,8 mm. Si el diámetro de los tornillos se distribuye según una normal de media μ, mm, determina la desviación típica. PX ( ) P X,,8,,8,8 σ σ,8,8, 8 P Z,8, σ, σ σ Dos amigos están jugando al parchís. Uno de ellos asegura que ha tirado el dado veces y no le ha salido ningún. El otro amigo afirma que eso es imposible. Es realmente imposible? Cuál es la probabilidad de que eso suceda? No es imposible, porque la probabilidad no puede asegurar el resultado de los lanzamientos. X B, El % de una población de. habitantes tiene los ojos oscuros. Si elegimos, al azar, personas de esa población, cuál es la probabilidad de que haya menos de personas con los ojos oscuros? X B( ;,) np > X B( ;,) N( ;,) n( p) > PX ( ) P X PZ (,, ), El 7 % de los pantalones de una marca tiene algún defecto. Se empaquetan en cajas de 8 unidades para distribuirlos. Cuál es la probabilidad de que en una caja haya más de pantalones defectuosos? X B( 8;,7) PX ( ), np, > X B( 8;,7 ) N(,;,8) n( p) 78, > PX ( > ) P X, >, P(,8,8 Z >,) P( Z,),7,8 8

24 SOLUCIONARIO Se está experimentando una nueva vacuna para la malaria que resulta efectiva en el % de los casos. Si se eligen al azar personas, halla las siguientes probabilidades. a) La probabilidad de que en ese grupo la vacuna sea efectiva en 7 personas. b) La probabilidad de que sea efectiva en un número de personas comprendido entre y 7, ambos inclusive. c) La probabilidad de que resulte efectiva en menos de personas. X B( ;,) np 7 > X B( ;,) N( 7;,8) n( p),8 >, X a) PX ( 7) P(, X 7,) P 7 7 7, 7,8,8,8 P(, Z,) PZ (,) ( PZ (,)),, 7 X b) P( X 7) P,8,8,8 P(, Z ) PZ (,) PZ ( ),7,, c) PX ( ) P X 7 7 P(,8,8 Z,) P( Z,),8, Se estima que de cada 8 españoles padece hipertensión. Si elegimos a personas al azar: a) Determina la probabilidad de que en ese grupo haya exactamente 7 personas hipertensas. b) Cuál es la probabilidad de que haya más de diez personas hipertensas? c) Cuál es la probabilidad de que en el grupo tengan hipertensión personas o menos? X B( ;,) np 7, > X B( ;,) N( 7,;,) n( p), >, 7, X 7, a) PX ( 7) P(, X 7,) P 7, 7,,,, P(, Z ) P( Z,) PZ ( ),7,,7 7, 7, b) PX ( > ) P X >,, PZ ( >,7) PZ (,7),8, 7, 7, c) PX ( ) P X,, PZ (,), 8

25 Distribuciones binomial y normal 7 Las compañías de seguros han calculado que de cada vehículos tiene un accidente al año. Si se toman al azar vehículos, determina. a) La probabilidad de que ese año de ellos tengan un accidente. b) La probabilidad que sean entre y vehículos, ambos números incluidos. c) Cuál es la probabilidad de que ese año se accidenten más de vehículos? X B( ;,) np 8> X B( ;,) N( 8;,) n( p), >, 8 X 8, a) PX ( ) P(, X,) P 8,,, P(, Z,8) P( Z,8) PZ (,),8,7, b) c) 8 X 8 8 P( X ) P,,, P(,7 Z,8) PZ ( 8, ) PZ (,7),,78,77 PX ( > ) P X 8 > PZ ( >,7) PZ (,7),, 8,7, En un concurso dan a elegir una entre tres pruebas. Si las probabilidades de encestar lanzando un tiro son y las de acertar al blanco son, elige la prueba en la que tengas más probabilidad de ganar. Lanzar tiros a una canasta de baloncesto y encestar por lo menos. Tirar veces al blanco y acertar como mínimo. Tirar veces a canasta y hacer tiro al blanco. Para superar la prueba se debe conseguir canasta por lo menos y dar en el blanco. En la primera prueba: X B ; PX ( ) P( X ) ( PX ( ) + PX ( )),77,,7 En la segunda prueba: Y B ; PY ( ) P( Y ) ( PY ( ) + PY ( ) + PY ( )),878,,, 8

26 SOLUCIONARIO En la tercera prueba: Z B ; PZ ( ) PZ ( ) PZ ( ),, La probabilidad de ganar es:,, Por tanto, hay más probabilidad de ganar la segunda prueba. 8 Solo el % de los boletos de una tómbola tienen premio. Qué es más fácil, tener dos premios comprando boletos o conseguir un premio comprando boletos? Si se compran boletos: PX ( ),, 8,7 Si se compran boletos: PX ( ),,, Así, es más probable conseguir un premio comprando boletos. La talla media del pie de los bomberos que ingresaron en el cuerpo el año pasado era, con una desviación típica de,. Este año ingresarán. personas en el cuerpo de bomberos. a) Determina el número aproximado de los bomberos que tendrán una talla media del pie de o. b) Calcula el número de botas del número 8 que debería encargar el cuerpo de bomberos. (Consideramos que un pie tiene talla cuando le correspondería un tallaje comprendido en [,;,). Por ejemplo, si a una persona le corresponde una talla de,7; diremos que su tallaje es 7. Y si es 8,; diremos que su tallaje es 8.) X N( ;,), X, a) P(, X, ) P,,, P( 7, Z, ) PZ (, ) PZ ( 7, ),8,877,,.. bomberos 7, X 8, b) P( 7, X 8, ) P,,, P(, Z, ) P( Z, ) PZ (, ),, 8, Por tanto, encargarán:,. pares de botas. 8

27 Distribuciones binomial y normal La distribución de edades de los miembros de una asociación sigue una ley normal N(μ, σ). Sabiendo que el, % tiene menos de años, y un, % tiene menos de años, calcula su media y su desviación típica. PX ( ) P X μ μ P Z μ σ σ σ μ,, σ μ, σ PX ( ) P X μ μ P Z μ σ σ σ, μ P Z, 788 μ 8, μ 8, σ σ σ μ, σ μ μ, 8σ σ Supongamos que la probabilidad de que nazca una niña es la misma de que nazca un niño. a) Cuál es la probabilidad de que una familia con tres hijos tenga hijos y hija? b) Si tomamos familias con hijos, cuál es la probabilidad de que haya familias con hijos y hija? c) Y de que se encuentre entre y? d) Cuál es la probabilidad de que en esas familias haya familias que solo tengan hijas? a) P( hijos y hija),,,7 b) X B( ;,7) np 7, > X B( ;,7) N( 7,;,8) n( p), >, 7, X PX ( ) P(, X,) P 7,, 7,,8,8,8 P(, Z,) PZ (,) PZ (,),7,, 7 c) 7, X 7, 7, P( X ) P,8,8,8 P(, Z,) P( Z,) ( PZ (,)),7 +,,7 d) P( hijas),, X B( ;,) np, > X B( ;,) N(,;,) n( p) 87, >,, X PX ( ) P(, X,) P,,,,,, P( Z ) PZ ( ) PZ ( ),87,,87 8

28 SOLUCIONARIO En un instituto se han comprado ordenadores para aulas de informática. La duración de la batería permite tener una media de trabajo de 8 minutos, con una desviación típica de minutos. a) Calcula la probabilidad de que la batería de uno de los ordenadores solo dure dos horas. b) Cuántos ordenadores tendrán una batería cuya carga dure más de minutos? c) Cuál es la probabilidad de que de esos ordenadores sigan trabajando a los 8 minutos? a) X N( 8, ) PX ( ) P X 8 8 P Z (, ) P( Z, ),8,8 b) PX ( > ) P X 8 8 > P Z ( > 8, ) P( Z 8, ),788, Como,,78; en ordenadores la carga de la batería durará más de minutos. c) PX ( 8 ) P X P Z ( ) P( Z ),, Y B( ;,) np 7 > Y B( ;, ) N( 7;, ) n( p) 7>, 7 Y 7, 7 PY ( ) P(, Y, ) P,,, P(, Z, 8) PZ (, 8) PZ (, ) La estatura de los. alumnos de un colegio sigue una distribución normal, de media cm y desviación típica cm. a) Cuál es la probabilidad de que un alumno seleccionado al azar mida más de 8 cm? b) Cuántos estudiantes debemos esperar que midan entre y 7 cm? 87

29 Distribuciones binomial y normal c) Busca un intervalo de alturas que contenga el % de los alumnos y que sea el mínimo posible. d) Si elijo alumnos al azar, cuál es la probabilidad de que de ellos midan más de cm? e) Si elijo alumnos al azar, cuál es la probabilidad de que haya más de que midan más de cm? a) PX ( > 8 ) P X 8 > P Z ( >, 7) P( Z, 7),,8 7 b) ( 7) X X P P( 78, Z, ) P( Z, ) ( P( Z 78, )), +,, Como,..8, hay.8 estudiantes que miden entre y 7 cm. a X a c) P( a X + a) P + P a a Z P Z a a P Z a a P Z, P Z a,, a, 8 (, ; 7, 8) es el intervalo de alturas. d) PX ( > ) P X > P Z ( > ) P( Z ), 8, 87 Y B( ;,87) PY ( ), 87, 8, 7 e) Y' B( ;, 87) np, 8 > Y B( ;, 87) N(, 8;, ) n( p), > PY ( ) P Y ',, ' > 8 > 8,, P ( Z > 8, ) P ( Z 8, ), 7, 8 El peso de los recién nacidos se distribuye según una distribución normal de media μ y desviación típica σ. Si los últimos datos publicados aseguran que los percentiles 7 y de esta distribución son, y, kg, respectivamente: a) Calcula la probabilidad de que un recién nacido pese menos de, kg. b) Halla la probabilidad de que un recién nacido pese más de kg. c) Cuál es el percentil? d) Determina la mediana de la distribución. 88

30 SOLUCIONARIO PX (, ),7 P X μ, μ P Z, μ,,7,8 σ σ μ σ σ PX P X,, (, ), μ μ P Z μ σ σ, μ,, σ σ, μ 8, σ 8, μ, μ, σ σ, a) PX (, ) P X,,, 8 8,, P ( Z 7, ) P( Z 7, ), 77, 7 b) PX ( ) P X,, > 8 > 8,, P( Z >, ) P( Z, ), 88, c) PX ( a), P X, a, 8 8,, a 8, P Z,, a P Z 8, 8,,,,, a a, d) PX ( M), P X, M, 8 8,, M 8, P Z,, M 8, M, 8, El sueldo de los trabajadores de una empresa sigue una distribución normal de media.. Si el sueldo de un técnico de categoría es de, y el 7 % de los trabajadores de la empresa cobra más que él: a) Calcula la probabilidad de que el sueldo de un empleado escogido al azar sea superior a.. b) El sueldo más elevado es el de los directivos. Si estos representan el % de los empleados de la empresa, cuál es su sueldo mínimo? PX P X.. ( > ), 7 > σ σ > P Z σ P Z 7, 8, σ 7, σ σ a) PX P X... ( >. ) > 7, 7, P ( Z >, ) P( Z, ), 7, 8 b) PX ( a), P X. a. 7, 7, P Z a. 7,, a a P Z. 7.,, a. 8,, 7, El sueldo mínimo de los directivos es de.8, euros. 8

31 Distribuciones binomial y normal PARA FINALIZAR El barquillero del parque entrega en cada tirada los barquillos que indica el número en que se para la flecha. Si cada barquillo le cuesta céntimos y cobra céntimos por tiradas. Cuánto dinero, por término medio, ganará después de tiradas? N.º de barquillos f i h i Media de barquillos: x Por término medio en cada tirada gana: céntimos En tiradas:. céntimos, 7 8 La probabilidad de que un reloj sea defectuoso es del %. Halla. a) El número de relojes defectuosos que se estima en un lote de.. b) La probabilidad de menos de defectuosos. a) μ., relojes b) B(.;,) N(;,) X PX ( ) P Z,, (, 8) P( Z, 8) En una distribución normal, el % de los valores es inferior a y el % es superior a 8,. Calcula P( X 8). PX ( ), P X μ μ P Z μ σ σ σ, μ σ P Z, 7 μ 8, μ 8, σ σ PX P X, ( > 8, ), μ 8 μ > P Z > 8, μ, σ σ σ 8, μ P Z σ 8, μ,, 8, μ, σ σ μ, 8σ μ, 8, μ, σ σ 7, PX ( ) P X,, 8 8,, 7 7 PZ (, ) PZ (, ), 88,

32 SOLUCIONARIO Las bolas para rodamiento se someten a un control de calidad consistente en eliminar las que pasan por un orificio de diámetro d y, también, las que no pasan por otro orificio de diámetro D, con d D. Calcula la probabilidad de eliminar una bola, sabiendo que la medida de sus diámetros sigue una distribución normal de parámetros: N D + d ;, ( D d). D d D d X + d + D + d X D D + d PX ( d) + PX ( > D) P ( D d),, ( D d) + P,( D d) >, ( D d) d D D d P Z P Z, ( D d) + >, ( D d) P Z, + > P Z PZ ( 7, ) + PZ ( > 7, ), PZ ( >, 7) (, ), 7 Una máquina tiene 8 componentes y la probabilidad de que, en un tiempo determinado, falle uno de ellos es. Calcula la probabilidad de que en ese tiempo: a) Falle al menos componente. b) Fallen exactamente componentes. c) Fallen, como máximo, componentes. d) Calcula la media y la desviación típica de la distribución. X B( 8;,) 8,, No se puede aproximar con una distribución normal. a) PX ( ) PX ( ) PX ( ) 8 8,, 8, 8,7 b) PX ( ),, ,87, c) PX ( ) PX ( ) + PX ( ) + PX ( ) 8 8,, ,, 8 +,, 8 78, 8+ 8,, , 8, 8 d) μ 8,, σ 8,, 8,

33

34 Tablas de distribución

35 Tabla de distribución binomial B(n, p) n P(X r) r pr ( p) n r n r,,,,,,,,,, p ,,,8,8,7,7,,,,,,,,,,,,,,,,8,7,,,,,,,,,8,,,7,,,8,,,,,,,,,,,,,87,7,,,,,7,,,,,,,8,,,,,8,7,7,7,7,,,8,8,88,,7,,,,8,,7,,,,,8,,,,,,78,,,,7,,8,,,,8,,,,,8,7,,,,,,7,7,,,,,,7,,,,,,,,,,8,,,,,778,,7,77,7,8,,778,,,,8,,,,,,,,,,7,8,8,7,87,,,,,,8,,,87,,8,,77,,,,,,,8,88,78,8,,,,,,,,,,8,,7,,77,,78,7,7,7,77,,,,,,,,7,8,,8,,8,7,8,,,8,,78,,,,,8,8,8,,7,,,,,,,,,,8,8,,,,,,,,,,,8,,,,,7,8,,8,,8,78,,7,,8,,8,,78,7,7,,7,,7,88,,87,7,,,7,7,,77,8,,,,,,7,7,7,,7,,8,7,,,,87,77,7,,,88,7,,,,,,,,77,7,,,,,,,8,7,,7,,,,,,,7,78,,,7,78,,7,,8,8,,7,8,87,,7,77,7,8,8,,,88,7,,,,87,,,,,,8,8,7,,78,787,8,88,,,8,,8,,87,,7,7,,,,,,7,88,,7,88,,,,8,,7,,7,,,,,,,7,,,,,,,7,7,

36 Tabla de distribución normal N(, ) F(a) P(Z a) F(a) a + a,,,,,,,,7,8,,,,,,,,,7,8,,,,,,,,,7,8,,,,,,,,,7,8,,,,,,,,,7,8,,,,8,,,,,7,,,8,8,78,7,7,,,7,7,7,7,8,87,,8,87,,,,,7,7,,,,8,,,8,7,,,8,,7,7,77,88,8,87,,,8,7,7,788,7,77,7,7,77,7,7,77,78,7,7,78,77,7,78,7,7,77,77,77,77,77,78,78,788,7,7,77,7,8,8,878,8,8,8,88,8,88,8,88,8,8,8,88,8,88,8,88,88,8,8,877,8,8,8,8,88,878,87,87,877,87,88,88,88,88,8888,87,8,8,8,88,87,,,,,8,,,,7,,77,,7,,,,,7,,,,,,7,7,8,,,8,,,,,7,8,,,,,,,,,7,8,,,8,,,,,,,,7,78,8,,,7,7,7,7,7,78,7,7,7,7,77,77,778,78,788,7,78,8,88,8,87,8,8,8,8,88,8,8,8,8,87,8,8,88,87,87,878,88,88,887,8,8,8,88,,,,,,,,8,,,,7,,,,,,8,,,,,,8,,,,,,,7,,,,,,,,,7,8,,7,7,7,7,7,7,7,7,77,77,78,7,7,8,8,8,8,8,8,8,8,8,8,8,8,87,87,87,88,88,8,8,8,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,7,7,7,7,7,7,7,7,7,7,8,8,8,8,8,8,8,8,8,8,8,8,8,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,