Geometría de las superficies

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1 Geometría de las superficies Klette, schluns, koschan Computer vision: three dimensional data from images Cap 3 1

2 Representaciones funcionales Representación mediante una ecuación condicional para X e Y en un rango M. Admite múltiples soluciones Representación funcional, solución única pero existen singularidades en las que no está definida. Modelo de facetas, basado en la ecuación de pendienteintercepción. Define un plano en 3D de pendiente que depende de p y q. La intercepción con el eje Z es en el punto (0,0,r). Define una aproximación lineal a la superficie. 2

3 Reconstrucción de la superficie Es posible recuperar la superficie a partir del campo vectorial dado por sus derivadas parciales El conjunto de todas las antiderivadas de una campo vectorial es una integral indefinida, que corresponde a la superficie caracterizada por el campo, salvo una constante. Z(X,Y) es una antiderivada del campo si se cumple la condición de integrabilidad (el campo es conservativo). 3

4 Existencia de una superficie (antiderivada) para el campo vectorial (gradiente) condicionada a que se cumpla la condiciòn de la integrabilidad. 2 2 ZXY (, ) ZXY (, ) = ; ( XY, ) M XY YX Camino de integración 4

5 Normales y gradientes Plano tangente a un punto de la superficie P=(X,Y,Z(X,Y)): plano incidente a la superficie en P y perpenticular a la normal. Un orientation edge es una curva sobre la superficie a lo largo de la cual existe una discontinuidad de las normales. Normal unitaria La normal unitaria caracteriza univocamente la orientación de la faceta o plano tangente a la superficie en el punto dado. Vector gradiente en (X,Y). La derivada direccional es la derivada a lo largo de una dirección en el plano XY, caracterizada por un ángulo α. 5

6 Gradiente de un vector Vectores paralelos tienen el mismo gradiente, por lo que una línea puede caracterizarse por un vector unitario. Plano en R 3 Ecuación de intercepción de la pendiente Normal al plano Normal unitaria Gradiente del plano. Derivada direccional del plano Un borde de orientación (orientation edge) es una curva sobre la superficie 3D tal que existe una discontinuidad de las normales en todos sus puntos. No depende de la visualización. El rim de un objeto respecto de una proyección (vista, visualización) concreta se define como el conjunto de puntos en los que la normal de la superfice es ortogonal al rayo de proyección. Define las fronteras de oclusión en la imagen. 6

7 Aproximación lineal Expresión general para funciones unarias Aproximación lineal para funciones de dos argumentos 7

8 Esfera y ángulos sólidos Ecuaciones de los puntos en una esfera de radio r: Normal en la parte visible Partes visible e invisible de la esfera. En la esfera gausiana (r=1) los puntos pueden especificarse por dos coordenadas angulares: slant (σ) angulo al eje z y tilt (θ) ángulo al eje x. Cada punto representa una normal unitaria. 8

9 La intersección con un plano que atraviesa el centro de la esfera da lugar a hemiesferas gausianas. La intersección de dos circulos define cuatro lunas esféricas de area: Ángulo sólido Ω:(steradianes): ratio de la superficie de la esfera al cuadrado del radio. 9

10 Ángulo sólido subtendido por una superficie (plana) A en una esfera de radio r. da elemento infinitesimal de superficie. P vector posición del elemento de superficie. n normal de da. Ángulo sólido bajo el que da se ve desde el origen de la esfera. 10

11 Problema general de reconstrucción geometría Una vista particular da una reconstrucción 2-1/2D dada por mapas de profundidad, altura o de gradientes. El registro de los distintos mapas generados bajo distintas vistas los pone en relación. La integración de los mapas registrados da la reconstrucción de la forma. 11

12 Dado el origen de proyección El rayo de proyección que pasa por el punto Q=(x,y,f) del plano imagen Para el caso de proyección paralela Definición de proyección: Un punto P=(X,Y,Z) de la superficie se proyecta en un punto del plano imagen p=(x,y) si existe un rayo de proyeción que intersecta la superficie por primera vez en el punto P=(X,Y,Z): para el menor t f tras pasar por el punto Q=(x,y,f) de la imagen. 12

13 Los mapas de profundidad están definidos sobre una malla y pueden visualizarse como imágenes (blanco corresp. mayor dist.) Mapa de profundidad: proporciona para cada punto de la imagen la coordenada Z del punto original. El mapa de alturas se define en relación aun plano de fondo de altura cero paralelo al plano imagen. El mapa H(x,y) da la altura, respecto del plano de referencia, del punto. La imagen de rangos (range image) es un mapa de la distancia al plano imagen, lo que es geométricamente equivalente a un mapa de profundidad, en lo que se refiere a la distancia euclídea. El mapa de gradientes presenta los gradientes (p,q) T de la superficie en el punto de la superficie P=(X,Y,Z) cuya proyección es el punto de la imagen (x,y). Pueden representarse mediante dos imágenes monocromas p(x,y), q(x,y). 13

14 Retroproyección (backproyection) es la proyección inversa desde la imagen al espacio 3D Retropoyeccion de una faceta en el plano Z=pX+qY+r. Las coordenadas de un punto visible (X;Y;Z) pueden obtenerse a partir de (1) la coordenadas imagen, (2) los parámetros de la faceta p(x,y); q(x,y) y r(x,y) y (3) la distancia focal f efectiva. Todos los puntos visibles cumplen: 14

15 Visualización de mapas de gradientes: geometría La normal a la superficie se representa normalizada. Puede representarse en formato vectorial o como un par de ángulos slant y tilt. Para cada punto se calcula, dependiendo de la representación, el incremento que da la linea del diagrama. Para evitar la saturación de la representación se suele submuestrear la imagen para determinar los puntos que son representados. 15

16 16

17 Mapas de profundidad a partir de mapas de gradiente Es el factor de escala local en la recuperación de la posición. Las superficies no pueden tener discontinuidades (C (1) ). El factor de escala en la recuperación de la profundidad depende de la distancia focal y los gradientes de la superficie. 17

18 Para imágenes creadas mediante proyección ortogonal la reconstrucción se puede hacer a partir de los gradientes con un error aditivo constante: Un algoritmo razonable, conocidos los gradientes en cada punto y la profundidad asociada a un punto de la imagen, consiste en propagar los valores de profundidad utilizando los gradientes y siguiendo caminos de integración redundantes. Estas técnicas se denominan de integración local. Se requiere que los puntos de la imagen estén en la misma superficie continua C (1). 18

19 Algoritmo de Frankot-Chelappa Asume una superficie Z=Z(X,Y) en C (2). Se asume proyección ortogonal (paralela) x=x, y=y, y se busca un mapa de profundidad Z=Z(x,y). Se trata de un algoritmo global que minimiza un error de reconstrucción. Sean las pendientes actuales en la superficie: Son las aproximaciones calculadas Restricción de integrabilidad Función objetivo a minimizar 19

20 Frankot-Chelappa (cont.) geometría Expansión de Fourier de la superficie. Los mismos coeficientes son la expansión de las derivadas sobre una base de derivadas. Para las aproximaciones se considera también la expansión de Fourier, con coeficientes desconocidos. Estos coeficientes se pueden obtener a partir de la expansión: 20

21 Este teorema establece una técnica de integración global para la construcción del mapa de profundidad a partir de las estimaciones de las funciones gradiente. La solución es óptima en el sentido de minimizar el funcional de error, pero sólo produce una función de altura relativa hasta una constante aditiva, que corresponde a la parte real de Z (F) (0,0). Pero este valor no puede ser calculado porque la función H(u,v) es singular en este punto. 21

22 Simplificando la expresión del teorema 3.5 Escribiendo como números complejos: La transformada H(u,v) de la superficie se obtiene 22

23 Elimina los gradientes demasiado altos que corresponden a normales ortogonales al eje óptico (superficies no visibles). Resuelve la ecuación deducida a partir del teorema Invierte la transformada para recuperar la superficie y añade la altura promedio dada por H(0,0). 23

24 Escena, mapa de gradiente como un mapa de agujas, resultados del algoritmo de Frankot-Chelappa un plot de contornos, una superficie sombreada, una textura lambertiana y una representación mallada. 24

25 El espacio gradiente El espacio gradiente es el plano euclideo R 2 con coordenadas p y q. Un punto (p,q) especifica una posición de gradiente en ese plano. Corresponde a la familia infinita de planos con el mismo gradiente pero distinta intercepción (0,0,r). El vector denota el gradiente de superficie correspondiente a una normal dada: Se cumple la siguiente relación por definición: El espacio gradiente tiene el inconveniente de que las diferencias angulares entre las normales no se relacionan linealmente con las distancias (diferencias) en el espacio gradiente. La distancia entre normales no se preserva en el espacio gradiente. La esfera Gausiana es una representación más adecuada en este sentido. 25

26 Esfera Gausiana geometría Normal unitaria: de norma unidad El punto en la esfera Gausiana determinado por la normal unitaria 26

27 Proyección estereográfica Asume que el centro de la esfera Gausiana está en coordenadas (0,0,1). En proyección polar, el centro de proyección es el centro de la esfera. El plano fg de proyección es tangencial al polo sur de la esfera. En proyección estereográfica, el centro de proyección es el polo norte. Permite proyectar toda la superficie de la esfera en un plano, excepto el polo norte. Supongase un par de valores de gradiente Valores de gradiente para una normal La proyección en el plano fg se calcula: 27

28 Propiedades del espacio gradiente Sean dos planos ortogonales, cuyas normales también lo son. De donde: Propiedad 1 Conocido un gradiente, el otro está constreñido a una recta en el espacio gradiente: la linea recta dual (dual straight line) g, que cumple: A- No interseca el cuadrante en el que está el punto (p 1,q 1 ) conocido. B- es ortogonal a la linea que pasa por el origen y (p 1,q 1 ). C- Las distancias entre (p 1,q 1 ) y el origen, y la recta g y el origen son reciprocas. Toda linea en el plano pq determina un punto dual (p 1,q 1 ). 28

29 Propiedad 2 Considera dos caras vecinas de un poliedro, o dos facetas vecinas, su borde lineal y sus gradientes en el espacio pq. La linea que pasa por las posiciones (p 1,q 1 ) y (p 2,q 2 ) es una linea recta g en el espacio pq, definida por: El producto cruzado de las normales es paralelo a G. La proyección G de G en el espacio XY es paralela a Las lineas G y g son ortogonales 29

30 Propiedad 3 Distinción entre bordes orientados cóncavos y convexos en poliedros. E A y E c son coplanares. Las caras E A y E B forman un borde orientado convexo PQ. Las caras E A y E D forman un borde orientado cóncavo PQ. E A y E c tienen la misma representación A=C en el plano pq. La semirecta AB es el lugar en el plano pq de los planos que forma bordes orientados convexos con el plano E A, E c. La semirecta AD es el lugar de los planos que forman planos orientados cóncavos. Por la propiedad 2, las representaciones A,B,D caen en una linea g ortogonal a la proyección paralela a PQ. 30

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