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1 Vol. 15, 1, 55{6 (1999) Revista Internacional de Metodos Numericos para Calculo y Dise~no en Ingeniera Vigas de seccion variable con carga movil concentrada constante Roberto H. Gutierrez Instituto de Mecanica Aplicada (CONICET) Grupo Analisis de Sistemas Mecanicos Facultad Regional Baha Blanca Universidad Tecnologica Nacional Gorriti Baha Blanca, Argentina Fax: slamalfa@criba.edu.ar Resumen En el presente estudio, basado en la teora clasica de vigas, se trata el calculo aproximado de las deexiones de vigas solicitadas por una carga concentrada independiente del tiempo desplazandose con velocidad constante, teniendo en cuenta su efecto inercial y en distintas condiciones de vnculo. BEAMS OF NON UNIFORM CROSS SECTION WITH MOVING CONSTANT POINT MASS Summary The present study deals with the approximate determination of the dynamic response of elastic beams traversed by a concentrated load with displaces at constant speed. The inertia eect of the load is taken into account. Classical beam theory is used and several combinations of boundary conditions are considered. INTRODUCCI ON Sobre el comportamiento dinamico de vigas bajo la accion de cargas moviles se han realizado numerosos estudios, siendo algunos de los mas recientes las referencias 1;5. No obstante, aparentemente es escasa la informacion disponible para el caso de vigas de seccion variable. En el presente estudio se considera seccion rectangular de base ja y una determinada forma de altura variable que comprende en particular el caso de seccion uniforme. Para vigas de seccion variable se emplea el metodo de Galerkin-Kantorovich. Relacionado con este trabajo, en la referencia 5 se consideran condiciones elasticas de vnculo. Por otra parte, en la referencia 6 se incluye una amplia bibiliografa sobre el tema. cuniversitat Politecnica de Catalunya (Espa~na). ISSN: 013{1315 Recibido: Septiembre 1997

2 56 R. H. Gutierrez PLANTEAMIENTO Y RESOLUCI ON APROXIMADA DEL PROBLEMA El sistema mecanico considerado se muestra en la Figura 1. La variacion de la altura de la seccion transversal se supone de la forma Llamando h(x) = 8 < : h 0 ; ; x L +1 0 x L 1 0 ; h 0 ; L1 ; +1 L L 1 x L L = L ; L 1 h 0 x;l ; +1 L1 L L L x L h(x) =h 0 f(x) A(x) =b 0 h 0 f(x) =A 0 f(x) I(x) = b 0h 3 0 f 3 (x) 1 = I 0 f 3 (x) e indicando la delta de Dirac y despreciando el amortiguamiento de la viga, la ecuacion diferencial del movimiento (I(x)w x (x t)) + A(x)w t (x t)+m(x ; )w t ( t) =P(x ; ) () sujeta a las condiciones de contorno correspondientes a las de vnculo, que supondremos SA-SA (viga simplemente apoyada), EM-SA o EM-EM (viga empotrada) y las condiciones iniciales w(x 0) = w t (x 0) = 0 (1) Figura 1. Sistema mecanico en estudio Llamando T al tiempo que emplea la carga en recorrer totalmente la viga, efectuemos el cambio de variables x = Lx t = T Indicando 1 = L 1 L L ; L 1 L =1; 1

3 Vigas de seccion variable con carga movil concentrada constante 57 de la (1) resulta f(x) = ( ;x +1 0 x 1 ; x x ; +1 x 1 Por otra parte, es = L con = vt ) =, con lo cual Ademas llamemos (x ; )=(L(x ; )) = 1 (x ; ) L 1 = A 0L 4 EI 0 = L3 EI 0 m = M M v0 siendo M v0 la masa de la viga de altura constante h 0,entonces la () queda f 3 (x)w x 4(x )+6f (x)f 0 (x)w x 3(x )+3[f(x)f 0 (x)+f (x)f 00 (x)]w x (x )+ + 1 T f(x)w (x )+m 1 T (x ; )w ( ) = P(x ; ) La deexion estatica maxima de la viga de seccion uniforme de altura h 0 con la carga aplicada en el punto medio es w e = PL3 EI 0 en la cual es una constante que depende de las condiciones de vnculo. Tal deexion se produce en el punto de aplicacion de la carga si la viga esta simplemente apoyada o empotrada, o en x = L(1 ; 1= p 5) si las condiciones son EM-SA y = 48 para SA-SA, = 19 para EM-EM y =48 p 5 para EM-SA. Llamando u(x ) = w(x ) w e y dividiendo miembro a miembro por w e en la (3), se obtiene la ecuacion diferencial del movimiento en las deexiones relativas (3) f 3 (x)u x 4(x )+6f (x)f 0 (x)u x 3(x )+3[f(x)f 0 (x)+f (x)f 00 (x)]u x (x )+ + 1 T f(x)u (x )+m 1 T (x ; )u ( ) =(x ; ) (4) 1. Sea = 0, es decir la seccion transversal es uniforme. La (4) queda u x 4(x )+ 1 T u (x )+m 1 T (x ; )u ( ) =(x ; )

4 58 R. H. Gutierrez Como es sabido, la solucion se propone en la forma u(x ) = 1X j=1 ' j (x) j () (5) en la cual las ' n (x) son los modos normales de vibracion y las funciones n () se determinan con 1 T n ()+ m n T ' n() 1X j=1 ' j () j()+! n n() =k n ' n () (6) con las condiciones iniciales n (0) = _ n(0) = 0, siendo las! n las frecuencias circulares naturales y n = Z 1 0 ' n(x)dx k n = 1 n. Sea >0. Puede obtenerse una solucion aproximada del problema empleando el metodo de Galerkin-Kantorovich. Adoptando la funcion aproximante en la cual se elige u a = '(x) () '(x) =x x 3 + x + 1 x con los coecientes i calculados de modo que se satisfagan las condiciones de contorno que correspondan y procediendo de acuerdo con el metodo para la determinacion de (), a partir de la (4) se obtiene la ecuacion diferencial 1 T (J 1 + m' ()) ()+J () ='() sujeta a las condiciones iniciales (0) = _ (0) = 0, con J 1 = J = Z 1 0 Z 1 0 f' dx [f 3 ' (4) +6f f 0 ' ff 0 ' 00 ]'dx

5 Vigas de seccion variable con carga movil concentrada constante 59 RESULTADOS NUMERICOS En los calculos efectuados para diversos casos empleando la serie (5) se tomaron los dos primeros terminos y el sistema de dos ecuaciones direrenciales resultantes de la (6) se resolvio numericamente utilizando un metodo de Runge-Kutta de cuarto orden. En la referencia 1 se tomaron tres terminos de la solucion exacta para el calculo de las deexiones w(0 5 t) suponiendo viga simplemente apoyada y los datos E = N=m, I 0 = ;6 m 4, M =70kg, A 0 =7 04 kg=m, L =10m, P =686 7 N y T =3s. En la Figura se comparan valores de estas deexiones con los obtenidos en las mismas condiciones en el presente trabajo. Como se comenta en la referencia 1, se observa que el aumento de dos a tres terminos de la solucion exacta no produce diferencias signicativas. La maxima deexion que se observa es menor que 7,5 cm, lo cual no llega al 1 % de la longitud de la viga, valor admisible para la teora basada en la hipotesis de peque~nas deexiones. Para otras situaciones consideradas en el presente estudio, para los parametros 1 y m se han supuesto los valores 1 =0 15 y 0,45, m =0 45 y 0,80. En cuantoalavariacion de la seccion transversal se han considerado 1 =0 5, =0,0 50 y 1. Figura. Deexiones en el punto x =0 50 viga SA-SA. ({)-presente estudio ()-ref. 1 Las Figuras 3, 4, y 5 muestran deexiones relativas en funcion del tiempo en el punto medio de la viga para las condiciones de vnculo SA-SA y EM-EM y en el punto x =1;1 p 5 para EM-SA. En las Figuras 6 y 7 se ha gracado la variacion de la maxima deexion relativa en el punto medio de la viga, supuesta SA-SA, en funcion del tiempo T de recorrido de la carga. Llamando \tiempo crtico" T c al valor de T para el cual se produce el maximo de estas deexiones, en los dos casos se observa que en el rango considerado de 1 y m, la variacion del parametro m no inuye signicativamente en el valor de T c, pero para m jo, el cambio de 1 vara sensiblemente el valor del tiempo crtico.

6 60 R. H. Gutierrez Figura 3. Deexiones relativas en el punto x =0 50 viga SA-SA 1 =0 15 m = =0 5 T =3s. ({)-Galerkin-Kantorovich ()-solucion exacta Figura 4. Deexiones relativas en el punto x =1;1= p 5 viga EM-SA 1 =0 15 m = =0 5 T =3s. ({)-Galerkin-Kantorovich ()-solucion exacta Figura 5. Deexiones relativas en el punto x =0 50 viga EM-EM 1 =0 15 m = =0 5 T =3s. ({)-Galerkin-Kantorovich ()-solucion exacta

7 Vigas de seccion variable con carga movil concentrada constante 61 Figura 6. Deexiones relativas maximas en el punto x =0 50 en funcion de T viga SA-SA seccion uniforme solucion exacta Figura 7. Deexiones relativas maximas en el punto x =0 50 en funcion de T viga SA-SA 1 =0 5 =1 AGRADECIMIENTOS El presente trabajo ha sido auspiciado por el CONICET (Pia ). expresa su reconocimiento al Dr. P.A.A. Laura por su valioso apoyo. El autor REFERENCIAS 1 E. Esmailzadeh y M. Gorashi, \Vibration analysis of beam traversed by uniform partially distributed moving masses", Journal of Sound and Vibration, Vol. 184, 1, pp. 9{17, (1995). H.P. Lee, \Dynamic response of a beam with a moving mass", Journal of Sound and Vibration, Vol. 191,, pp. 89{94, (1996).

8 6 R. H. Gutierrez 3 G. Michaltsos, D. Sophianopoulos y A. Kounadis, \The eect of a moving mass and other parameters on the dynamic response of a simply supported beam", Journal of Sound and Vibration, Vol. 191, 3, pp. 357{36, (1996). 4 H. Zibdeh y R. Rackwitz, \Moving loads on beams with general boundary conditions", Journal of Sound and Vibration, Vol. 195, 1, pp. 85{10, (1996). 5 R.H. Gutierrez y P.A.A. Laura, \Transverse vibrations of beams traversed by point masses: a general approximate solution", Journal of Sound and Vibration, Vol. 195,, pp. 353{358, (1996). 6 L. Fryba, \Vibration of solids and structures under moving loads", Noordho International, (197).

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