Matemáticas. Tercero ESO. Curso Exámenes

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1 Matemáticas. Tercero ESO. Curso Exámenes

2 . 9 de octubre de 0 Ejercicio. Calcular: Ejercicio. Calcular: 5 6 [ ( )] 4 ( 3 5 ) 5 [ ( )] [ ( 3 3 )] [ 3 + ] ( 3 5 ) 5 [ ( )] [ ( 4 )] [ + ] [ ]

3 Ejercicio 3. Una familia adquiere un frigorífico que cuesta 666 euros, pagando 5 9 al contado y el resto en 8 plazos sin intereses. Cuánto pagará en cada plazo? Si ha pagado 5 9, le queda por pagar 4, es decir: Como debe pagarlo en 8 plazos, cada uno de ellos es: Debe pagar plazos de 37 euros. Ejercicio 4. Un quiosco ha vendido esta mañana 3 5 del total de los diarios recibidos, y esta tarde, 6 (también del total). Si le quedan por vender periódicos, cuántos había recibido? La fracción vendida es: Le quedan por vender: Puesto que x y de aquí resulta que: x 30 7 son periódicos, podemos obtener el total, mediante una regla de tres: 90 Había recibido 90 periódicos. Ejercicio 5. Escribir en forma decimal las siguientes fracciones: Haciendo la división se obtiene: 37 0,85 8 0,

4 Ejercicio 6. Escribir como fracción: 3, , Llamando x 3, : 0x 34, x 3, x 3 de donde resulta: x 3, Sea ahora x, : Entonces: 000x 634, x 6, x 608 x, Ejercicio 7. Escribir en notación científica los siguientes números: , , , , Ejercicio 8. Calcular las siguientes potencias: ( ) ( 5 ) 5 5

5 Ejercicio 9. Calcular las siguientes raíces por descomposición en factores: Ejercicio 0. Escribir como una sola potencia: ( 3) de octubre de 0 Ejercicio. Calcula: 3 4 [ ( )] 4 5 [ 3 5 ( )] [ ( )] [ ( 5 ] 3 4 [ )] [ ( )] 8 [ ( )] [ ] 5 5 [ ] 5 5 [ ]

6 Ejercicio. Calcular las siguientes potencias: ( ) ( 3) ( ) 3 8 ( ) ( 3) ( ) 3 9 Ejercicio 3. Escribir como raíces y calcular: Ejercicio 4. Escribir como potencias: Ejercicio 5. Escribir como una sola potencia: ( 3 ) ( 3 ) 3 3 6

7 Ejercicio 6. Reducir: ( ) (5 + 0) Ejercicio 7. Descomponer en factores primos para calcular las siguientes raíces:

8 Ejercicio 8. Introducir los factores en el radical: Ejercicio 9. Escribir como una sola raíz: Ejercicio 0. Sean x e y 0, Escribir estos números en notación científica y calcular x y. En notación científica: x, y 3,6 0 9 x y, , , 6 0 7

9 3. Examen de la primera evaluación Ejercicio. Reparte 50 de forma directamente proporcional a 5, 0 y 30. Sean x, y y z las partes del reparto. Debe cumplirse: y además: x 5 y 0 z 30 x + y + z 50 Sumando numeradores y denominadores en la proporción: de donde: x y 5 0 z x y z Ejercicio. Reparte 40 de forma inversamente proporcional a, 3 y 6. Como en el anterior ejercicio, sean x, y y z las partes del reparto. Debe cumplirse: x 3y 6z x + y + z 40 Escribimos la proporción como: x de donde: y 3 z 6 x 40 0 y z x + y + z Ejercicio 3. Calcula y simplifica al máximo las siguientes expresiones, aplicando las propiedades de las potencias ( ) 6 : 6 ( ) ( ) 5 ( 5 ) 5 4

10 6 : 6 6 ( ) ( ) ( 7 3 ) 7 49 Ejercicio 4. Expresa como potencias los radicales y los radicales como potencias: ( ) ( ) ( ) ( ) Ejercicio 5. Calcular: 8, , ,5 + 0, Para hacer la suma ponemos todos los números con la misma potencia: 8, , , ,3 0 4, ,5 + 0, , , , , Ejercicio 6. Calcular: ( 5 5 ) ( ) 4 [ ( )] 3

11 ( 5 5 ) ( ) [ ( )] [ ] 3 [ ] 3 [ ] Ejercicio 7. El precio de una mercancía este mes sube un 0 % y al mes siguiente un 5 %. Qué porcentaje ha subido en total? Con esos incrementos, el precio se multiplica por:,0,05,55 El incremento porcentual ha sido:,55 0,55 5,5 % Ejercicio 8. El precio de un libro antiguo es 4 euros. A un cliente habitual el librero le hace un 5 % de descuento y le cobra el 4 % de IVA. Cuánto tiene que pagar este cliente por el libro? Tiene que pagar: 4 0,75,04 8, 7 euros

12 Ejercicio 9. Para recoger en 6 días la aceituna de una finca de olivos, se necesita un grupo de 30 personas. Cuánto tiempo necesitarán 0 personas? Escribimos la regla de tres: 6 días 30 personas x 0 personas Las magnitudes son inversamente proporcionales: x días Ejercicio 0. Si 0 grifos tardan horas en llenar un depósito de 5 metros cúbicos, cuánto tardarán 8 grifos en llenar otro depósito de 7 metros cúbicos? Escribimos la regla de tres: 0 grifos horas 5 metros cúbicos 8 grifos x 7 metros cúbicos El número de horas es directamente proporcional a los metros cúbicos del depósito e inversamente proporcional al número de grifos. Entonces: x x 7 horas

13 4. 5 de enero de 03 Ejercicio. Calcular el valor numérico del polinomio P (x) x 3 + x 5x para: x x Por la regla de Ruffini: El valor numérico es P ( ) 9. Por la regla de Ruffini también: El valor numérico es P ( ) 3 8. Ejercicio. Calcular: 5x ( x + x + ) + 4 (x 3 + 7x ) 3 (x ) 4 (7x 9x) + 7 ( 4x + ) 5x ( x + x + ) + 4 (x 3 + 7x ) 5x 3 5x 5x + 8x 3 + 8x 8 3x + 3x 5x 8 3 (x ) 4 (7x 9x) + 7 ( 4x + ) 3x 3 8x + 36x 8x + 4 8x + x + Ejercicio 3. Calcular: (x + 3y) (x 3 6x) (x + y) (x y) ( + 4x)( 4x) (x + 3y) 4x + xy + 9y (x 3 6x) 4x 6 4x x (x + y) (x y) x 4y ( + 4x)( 4x) 6x

14 Ejercicio 4. Efectúa cada división indicando el polinomio cociente y el resto: (x 5 3x 4 + x 3 x + x) : (x + x ) (x 6 x 3 + x ) : (x 3 x + ) x 5 3x 4 + x 3 x + x + 0 4x x + 7 x 5 x 4 + x 3 x 3 4x + 6x 4x 4 + x 3 x 4x 4 + 4x 3 4x 6x 3 6x + x 6x 3 6x + 6x x + 7x + 0 x + x 9x x 6 + 0x 5 + 0x 4 x 3 + 0x + x 4x x + 7 x 6 + x 4 x 3 x 3 + x 3 x 4 3x 3 + 0x + x x 4 + x x 3x 3 + x x 3x 3 3x + 6 x 4x + 5 Ejercicio 5. Factoriza los siguientes polinomios: x 3 x + 9x 9 x 4 6x 3 7x Buscamos una raíz entre los divisores de 9. Mediante la regla de Ruffini encontramos: Puesto que x es una raíz, x es un factor del polinomio: x 3 x + 9x 9 (x )(x + 9) Puesto que x + 9 no tiene raíces, no se puede seguir descomponiendo en factores. En este caso podemos sacar factor común x : x 4 6x 3 7x x (x 6x 7) Ahora descomponemos en factores el paréntesis buscando raíces entre los divisores de 7:

15 Una raíz es x. El factor correspondiente es x + y obtenemos finalmente: x 4 6x 3 7x x (x 6x 7) x (x + )(x 7)

16 5. Examen del 8 de febrero de 03 Ejercicio. Calcular el valor numérico del polinomio P (x) x 3 + 3x x 7 para x y x. Por la regla de Ruffini: Los valores numéricos son P ( ) y P ( ) Ejercicio. Desarrolla: (3x + ) 9x + x + 4 (3x x) 9x 4 x 3 + 4x (x + 7)(x 7) 4x 49 (x + 3x)(x 3x) 4x 4 9x Ejercicio 3. Desarrolla y simplifica: (x ) (x + x + ) (x ) (x + x + ) x x + x x 3x Ejercicio 4. Calcula: (x + ) (x ) + (x + )(3x ) (x + ) (x ) + (x + )(3x ) 4x + 4x + ( 4x 4x + ) + (6x 4x + 3x ) 4x + 4x + 4x + 4x + 6x 4x + 3x 6x + 7x Ejercicio 5. Descomponer en factores: 3x 4x x(3x 4) 3x 6x 6x 3 3x( x x ) 4x 5 (x + 5)(x 5) x 4x + 4 (x )

17 Ejercicio 6. Simplificar: x 4x + 4 x (x ) x x x 9 (x + 3)(x 3) x + 3 x 6 (x 3) Ejercicio 7. Simplificar: x 3 (x 6) x(x + 4) (3x + )(x 4) x 3 x3 (x + 4)(x 4) x(x + 4) 3(x + 4)(x 4) (x 6) x (x 4) 3(x + 4)(x 4) (x + 4)(x 4) 3 Ejercicio 8. Calcular el cociente y el resto de (x 5 + x 3 5x + 7) : (x + ) Por la regla de Ruffini El cociente es x 4 x 3 + 6x 7x + 34 y el resto: 6. Ejercicio 9. Efectuar la división (x 4 x 3 + x x + 3) : (x + x + ). x 4 x 3 + x x + 3 x + x + x 4 x 3 x x 3x + 3 3x 3 + 0x x + 3x 3 + 3x + 3x 3x + x + 3 3x 3x 3 x Ejercicio 0. Calcular: 5 x + 3 x + x 3 x

18 5 x + 3 x + x 3 x 5 x + 3 x + x 3 (x + )(x ) 5(x + ) + 3(x ) (x 3) (x + )(x ) 5x x 3 x + 3 (x + )(x ) 6x + 5 (x + )(x ) 6. 8 de febrero de 03 Ejercicio. Calcular el valor numérico del polinomio x 3 x 5x + 3 para x El valor numérico del polinomio es igual a 3. Ejercicio. Desarrolla y simplifica: (x ) (x + x ) (x ) (x + x ) 4x 4x + x x + 3x 5x + Ejercicio 3. Efectúa las siguiente división: (3x 4 8x 3 + 9x x 7) : (x x ) 3x 4 8x 3 + 9x x 7 x x 3x 4 + 3x 3 + 3x 3x 5x + 7 5x 3 + x x + 5x 3 5x 5x 7x 7x 7 7x + 7x + 7 0

19 Ejercicio 4. Simplificar: x (x + 4) x(x 6) (x + 3)(x ) x x (x + 4) x(x 6) (x + 3)(x ) x x (x + 4) x (x + 4)(x 4) x x 4 (x + 3)(x ) (x ) (x + 3) (x ) (x + ) (x ) x + 3 (x + ) Ejercicio 5. Calcular: x + x + x + 3x x x + x + x + 3x x x + x + x + 3x (x + )(x ) (x + )(x + ) + (x ) (3x ) (x + )(x ) x + x + x + + x 3x + (x + )(x ) x + x + (x + )(x ) (x + ) (x + )(x ) x + x Ejercicio 6. Resolver la ecuación: 5(x ) + 3x (6x 4) + 7 5(x ) + 3x (6x 4) + 7 0x x 6x x + 3 6x + 7x + 6x 3 x 8 x 8

20 Ejercicio 7. Resolver: 3x 7 0 7x + 5 x 0 3x 7 0 3x 7 x 9 x 3, x 3 7x + 5 x 0 4x + 5x 0 x( 4x + 5) 0 x 0, x 5 4 Ejercicio 8. Resolver: 6x x x + x x x x ± ± 49 ± 7 x 3, x 3 3x + x x ± El discriminante es negativo. No hay solución. Ejercicio 9. Resolver por el método de reducción: { 3x + 5y x + 3y 7 Multiplicando la primera ecuación por y la segunda por 3 resulta: 6x + 0y 6x 9y y Multiplicando ahora la primera por 3 y la segunda por 5: 9x + 5y 33 0x 5y 35 x La solución es (, ).

21 Ejercicio 0. Resolver la ecuación: 3x 4x 4 3x 4x 4 x(x 3) 6 x(x 3) Quitamos denominadores: 6 3x 3 (4x ) x(x 3) + 7 8x x + 3 4x x + 7 8x x + 3 4x + x 7 0 4x 4 0 x x, x

22 7. Geometría I. Las diagonales de un rombo miden 90 y 56 cm. Calcular el perímetro. (Sol: cm). Calcula el área de un cuadrado cuya diagonal mide 0 cm. (Sol: 00 cm ) 3. Las bases de un trapecio isósceles miden 34 y 46 cm respectivamente. Calcula el área del trapecio sabiendo que los lados iguales miden 0 cm. (Sol: 30 m ) 4. Calcula el área de un sector circular de 60 o en un círculo de 6 cm de diámetro. (Sol: 88,49 m ) 5. Calcula el área del círculo circunscrito a un cuadrado de 47 cm de lado. (Sol: 3469,89 cm ) 6. Calcula el área lateral de una pirámide regular en la que la base es un cuadrado de 0 cm de lado y tiene una altura de cm. (Sol: 60 cm ) 7. Calcular el área lateral de un cono en el que el radio de la base mide 7 cm y la altura 4 cm. (Sol: 549,78 cm ) 8. Calcular el área y al volumen de una esfera de 60 cm de diámetro. (Sol: 309,74 cm 3097 cm 3 ) 9. Calcular el volumen de un cono cuya generatriz mide 7 cm y el radio de la base 5 cm. (Sol: 884,96 cm 3 ) 0. Calcular el área total de un prisma hexagonal regular en el que el lado de la base mide 40 cm y la altura (Sol: 553,84 cm )

23 8. Geometría II. Las diagonales de un rombo miden 4 y 48 cm. Calcular el perímetro.. Calcula el área de un cuadrado cuya diagonal mide 30 cm. 3. Las bases de un trapecio rectángulo miden 34 y 49 cm respectivamente. Calcula el área del trapecio sabiendo que el lado oblicuo a las bases miden 7 cm. 4. Calcula el área de un sector circular de 40 o en un círculo de 30 cm de diámetro. 5. Calcula el área del círculo circunscrito a un cuadrado de 48 cm de lado. 6. Calcular el área de un hexágono regular de 50 cm de lado. 7. Calcula el área lateral de una pirámide regular en la que la base es un cuadrado de 8 cm de lado y tiene una altura de 48 cm. 8. Calcular el área lateral de un cono en el que el radio de la base mide 4 cm y la altura 7 cm. 9. Calcular el volumen de una esfera de 80 cm de diámetro. 0. Calcular el volumen de un cono cuya generatriz mide 65 cm y el radio de la base 33 cm.

24 9. Examen de progresiones Ejercicio. El sexto término de una progresión aritmética es 6, y la diferencia es igual a 3. Calcular la suma de los 0 primeros términos. Calculamos el primer término: a 6 a + d(6 ) 6 a a y el término vigésimo: La suma es: a 0 a + d(0 ) S 0 (a + a 0 ) 0 ( ) Ejercicio. Halla el décimo término de una progresión aritmética cuyo primer término es 4 y la suma de los 0 primeros términos es 355. Por la fórmula de la suma: S 0 (a + a 0 ) (4 + a 0) a 0 a 0 67 sustituyendo despejando Ejercicio 3. Calcular la suma de los números de tres cifras divisibles por 7. El primero de los múltiplos es 05 y el último 994. La diferencia es 7 y el número de términos de la progresión es: (n ) 7n 896 n 8 La suma de los múltiplos es: S 8 ( )

25 Ejercicio 4. Calcula el primer término de una progresión geométrica cuyo tercer término es 9 y la razón es 8. Hay que dividir dos veces por 8, es decir por 64 para obtener el primer término: a Ejercicio 5. El tercer término de una progresión geométrica es 44 y la razón es 6. Qué posición ocupa dentro de la progresión el número 584? Por la fórmula del término general: n 3 6 n n 3 ; n 5 Ejercicio 6. La suma de los términos primero y tercero de una progresión geométrica es 0 y la suma de los términos segundo y cuarto es 0. Calcula la razón de la progresión. Es claro que: a + a 4 r(a + a 3 ) 0 0r Entonces r. Ejercicio 7. Las longitudes de los lados de un triángulo están en progresión aritmética de diferencia 5 y su perímetro es de 69 centímetros. Cuánto miden los lados del triángulo? Sean los lados x, x + 5 y x + 0. Puesto que la suma de los lados es 69: x + x x x x 8 Las longitudes de los lados son 8, 3 y 8 centímetros. Ejercicio 8. La suma de las edades de 4 hermanos es igual a 36 años y la diferencia entre el pequeño y el tercero es 8 años. Averigua la edad de cada hermano sabiendo que las edades están en progresión aritmética. Puesto que la diferencia entre las edades del primero y el tercero es 8, la diferencia de la progresión debe ser 4. Llamando a las edades x, x + 4, x + 8 y x + tenemos que: x + x x x x x 3

26 Las edades son 3, 7, y 5 años. Ejercicio 9. Calcula el número de términos de la siguiente sucesión: 7, 4, 8, 56,..., 896. Es una progresión geométrica de razón. Aplicando la fórmula del término general: n n n 7 ; n 8 Ejercicio 0. Halla el término general de una progresión geométrica que verifica que a 5 y a Puesto que a 4 a r la razón de la progresión es: 35 5r r 9 ; r 3, r 3 Hay dos soluciones para el término general: a n 5 3 n a n 5 ( 3) n

27 0. Segundo examen de progresiones Ejercicio. Dada la sucesión de término general a n n+3 (n+), calcula los términos a 7 y a 0. a (7 + ) a (0 + ) 3 Ejercicio. Calcula el término general de una progresión aritmética sabiendo que sus cuatro primeros términos son 3, 0, 7 y 4. Puesto que a 3 y d 7: a n 3 + 7(n ) 7n 4 Ejercicio 3. Sabiendo que el cuarto término de una progresión aritmética es y que el término que ocupa el lugar 7 es 04, calcula el término 35. Calcula la suma de esos 35 primeros términos. Puesto que a 7 a 4 + d(7 4) tenemos que: d 3d 9 d 4 Sabiendo que d 4: y y la suma: a 4 a + 3d a a 4 3d 0 a 35 a + 34d S 35 (a + a 35 ) Ejercicio 4. De una progresión aritmética se sabe que la suma de sus primeros 0 elementos es 80 y que la diferencia es 4. Cuánto vale el cuarto término? Sabemos que: 80 (a + a 0 ) 0 80 (a + a 0 ) 0 a 0 a + 9d a a + 76 a + a 0 8

28 Resolviendo por sustitución: a + a a 8 76 a 6 a 3 Entonces, el cuarto término es: a 4 a + 3d Ejercicio 5. Calcula el término general de una progresión geométrica si sus cuatro primeros términos son, 4, 8 y 6. El primer término es a y la razón r. Entonces: a n n n Ejercicio 6. Calcula la suma de los primeros 0 términos de una progresión geométrica sabiendo que a 4 48 y a 6 9. Calcula para dicha progresión el valor del término a. Puesto que: Para r : a 6 a 4 r r r 4 r ± a 4 a r a a 6 Para r : a 4 a r a a 6 Ejercicio 7. La suma de n términos de una progresión geométrica es 55. Si el primer término es 5 y la razón es, cuántos términos se han sumado? De la fórmula de la suma: S n a nr a r 55 a n 5 y por la fórmula del término general: a n 50 a n a r n n n Entonces, n 9 n

29 Ejercicio 8. A Fernando le han regalado un puzzle de 750 piezas para cuya construcción se propone un plan de trabajo. Cada día colocará 5 piezas más que el día anterior. Si el primer día coloca 40 piezas, cuántos días tardará en terminarlo? Se trata de una progresión aritmética en la que S n 750, a 40 y d 5. Así: S n (a + a n )n 750 (40 + a n)n que es una ecuación con dos incógnitas. Puesto que: (40 + a n )n 3500 a n a + d(n ) a n (n ) 5n + 35 Sustituyendo en la primera ecuación: (40 + 5n + 35)n n + 75n n + 5n Resolviendo la ecuación de segundo grado se obtiene n 0 y n 35. Esta última solución no es válida (n tiene que ser un número positivo). Ejercicio 9. Javier envía un con un chiste a tres amigos suyos. Media hora más tarde, los amigos de Javier se lo han enviado a tres personas más cada uno. De nuevo en media hora, cada una de las personas que lo acaba de recibir se lo envía a otras tres. Suponiendo que cada persona que recibe el chiste se lo envíe de media a otros tres amigos, cuántas personas habrán recibido el chiste al cabo de dos horas? El número de mensajes es: Ejercicio 0. En el concurso Doble o nada, cada pregunta bien contestada vale el doble que la anterior. Un concursante se ha llevado 3767 euros. Cuántas preguntas ha contestado correctamente si por la primera ha recibido un euro? Se trata de una progresión geométrica de razón r en la que a y S n Hay que hallar n: Puesto que: S n a nr a r 3767 a n a n a n a r n n n 4 n 5

30 . Funciones Ejercicio. Representar gráficamente la recta que tiene pendiente y ordenada en el origen. La pendiente quiere decir que cuando x se incrementa en unidades, y se incrementa en una unidad. Teniendo esto en cuenta y que la ordenada en el origen es b, la gráfica es: Ejercicio. Calcular la ecuación de la recta que pasa por los puntos A(, 3) y B(4, ). La pendiente es: m y x 3 4 La ecuación es y x + b. Para determinar b tenemos en cuenta que ha de pasar por el punto (, 3) de modo que para x debe ser y 3: 3 + b b La ecuación de la recta es y x + 7. Ejercicio 3. Calcular los puntos de intersección con los ejes de coordenadas de la recta y x + 4. El eje OY tiene como ecuación x 0. La intersección de la recta con este eje es la solución del sistema: { y x + 4 B(0, 4) x 0 Para el eje OX que tiene como ecuación y 0: { y x + 4 x ; x A(, 0) x 0

31 Ejercicio 4. Calcular la ecuación de la paralela a la recta y x 5 que pasa por el punto P (, ). La paralela tiene la misma pendiente m. Tiene una ecuación de la forma y x + b. Si tiene que pasar por P (, ), cuando x vale, y debe valer también. Por tanto: + b b La ecuación de la paralela es y x. Ejercicio 5. Calcular el punto de intersección de las rectas y 3x e y x +. Basta resolver el sistema formado por sus ecuaciones: { y 3x y x + Resolviendo por igualación: 3x x + 3x + x + 5x 3 x 3 5 La ordenada del punto de intersección se obtiene sustituyendo en cualquiera de las ecuaciones: y El punto de intersección es P ( 3 5, 5). Ejercicio 6. Representar gráficamente la función y x x 8. Calculamos la intersección con el eje de ordenadas: { y x x 8 P (0, 8) x 0 y las intersecciones con el eje de abscisas: { y x x 8 x x 8 0 Q (, 0), Q (4, 0) y 0 El vértice de la parábola es: x 0 b a y El vértice es el punto V (, 9). Ya podemos hacer la representación:

32 Ejercicio 7. Representar gráficamente y x x. Lo mismo que en el problema anterior. La intersección con OY es: { y x x P (0, 0) x 0 y las intersecciones con OX: { y x x x x 0 Q (0, 0), Q (, 0) y 0 El vértice está en: x 0 b a y 0 () El vértice está en el punto V (, ). La gráfica es:

33 Ejercicio 8. Calcular los puntos de intersección de la parábola y x + 4x 5 y la recta y x + 3. Representar sobre los mismos ejes la parábola y la recta. La intersección de la parábola y la recta es la solución del sistema: { y x + 4x 5 y x + 3 Resolvemos por igualación: x + 4x 5 x + 3 x + x 8 0 x 4, x Las ordenadas de los puntos son: y ( 4) y Los puntos de intersección son P ( 4, 5) y Q(, 7). Para representar la recta bastan dos puntos que ya tenemos. Para representar la parábola calculamos las intersecciones con los ejes y el vértice. Estos puntos son A(0, 5), B( 5, 0), C(, 0) y V (, 9). Las gráficas son como sigue:

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