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1 TEMA 4: CINEMÁTICA DEL ROBOT Ingeniería de Sistemas y Automática Control de Robots y Sistemas Sensoriales Robótica Industrial Robótica Industrial ISA.- Ingeniería de Sistemas y Automática

2 Cinemática del robot Cinemática directa Cinemática Inversa Matriz Jacobiana Robotica Industrial- Cinemática del robot

3 El problema cinemático de un robot Cinemática del robot : Estudio de su movimiento con respecto a un sistema de referencia Descripción analítica del movimiento espacial en función del tiempo Relaciones localización del extremo del robot-valores articulares Problema cinemático directo: Determinar la posición y orientación del extremo final del robot, con respecto a un sistema de coordenadas de referencia, conocidos los ángulos de las articulaciones y los parámetros geométricos de los elementos del robot Problema cinemático inverso: Determinar la configuración que debe adoptar el robot para una posición y orientación del extremo conocidas Modelo diferencial (matriz Jacobiana): Relaciones entre las velocidades de movimiento de las articulaciones y las del extremo del robot Robotica Industrial- Cinemática del robot

4 Relación entre cinemática directa e inversa Valor de las coordenadas articulares (q,q,,q n ) Cinemática Directa Posición y orientación del extremo del robot (x,y,z,α,β,γ) Cinemática Inversa Robotica Industrial- Cinemática del robot 4

5 Resolución del problema cinemático directo con matrices de transformación homogéneas Objetivo: Encontrar una matriz de transformación homogénea T que relacione posición y orientación del extremo del robot con respecto a un sistema de referencia fijo situado en su base x = fx( q, q, q, q4, q5, q6) y = f ( q, q, q, q, q, q ) z = fz( q, q, q, q4, q5, q6) α = fα ( q, q, q, q4, q5, q6) β = f ( q, q, q, q, q, q ) γ = f y β γ ( q, q, q, q, q, q ) Robotica Industrial- Cinemática del robot 5

6 Modelo cinemático directo de un robot planar de gdl x y ( ) ( ) = l cosq + l cos q + q = l sen q + l sen q + q Robotica Industrial- Cinemática del robot 6

7 Las matrices de transformación A y T Matriz i- A i : matriz de transformación homogénea que representa la posición y orientación relativa entre los sistemas asociados a dos eslabones consecutivos del robot Conexión de matrices A: 0 0 A= A A A Matriz T : matriz 0 A n cuando se consideran todos los grados de libertad del robot T= A = A A A A A A Robotica Industrial- Cinemática del robot 7

8 Convenio de conexión de elementos contiguos de Denavit-Hartenberg Transformaciones básicas de paso de eslabón: ❶ Rotación alrededor del eje z i- un ángulo θ i ❷ Traslación a lo largo de z i- una distancia d i ; vector d i (0,0,d i ) ❸ Traslación a lo largo de x i una distancia a i ; vector a i (0,0,a i ) ❹ Rotación alrededor del eje x i un ángulo α i i- A = T ( z, θ ) T(0,0,d ) T(a,0,0) T( x, α ) i i i i i i Cθi Sθi ai Sθi Cθi Cαi -Sαi 0 A i = = di Sαi Cαi Cθi CαiSθi SαiSθi ac i θi Sθi CαiCθi SαiCθi aisθ i = 0 Sαi Cαi di Robotica Industrial- Cinemática del robot 8

9 Parámetros de Denavit-Hartenberg (I) Definen el paso de un sistema de referencia asociado a una articulación al siguiente Sólo dependen de las características geométricas de cada eslabón y de las articulaciones que le unen con el anterior y siguiente (no dependen de la posición del robot) Definen las matrices A que permiten el paso de un sistema de referencia asociado a una articulación al siguiente y por tanto definen las matrices T Son 4: Dos ángulos (θ i, α i ) Dos distancias (d i, a i ) Robotica Industrial- Cinemática del robot 9

10 Parámetros de Denavit-Hartenberg (II) θ i : Es el ángulo que forman los ejes x i- y x i medido en un plano perpendicular al eje z i-, utilizando la regla de la mano derecha. Se trata de un parámetro variable en articulaciones giratorias. d i : Es la distancia a lo largo del eje z i- desde el origen del sistema de coordenadas (i-)-ésimo hasta la intersección del eje z i- con el eje x i. Se trata de un parámetro variable en articulaciones prismáticas. a i : Es la distancia a lo largo del eje x i que va desde la intersección del eje z i- con el eje x i hasta el origen del sistema i-ésimo, en el caso de articulaciones giratorias. En el caso de articulaciones prismáticas, se calcula como la distancia más corta entre los ejes z i- y z i. α i : Es el ángulo de separación del eje z i- y el eje z i, medido en un plano perpendicular al eje x i, utilizando la regla de la mano derecha. Robotica Industrial- Cinemática del robot 0

11 Parámetros de Denavit-Hartenberg para un eslabón giratorio Robotica Industrial- Cinemática del robot

12 Obtención del modelo cinemático directo de un robot ❶ Establecer para cada elemento del robot un sistema de coordenadas cartesiano ortonormal (x i,y i,z i ) donde i=,,,n (n=número de gdl). Cada sistema de coordenadas corresponderá a la articulación i+ y estará fijo en el elemento i ❷ Encontrar los parámetros D-H de cada una de las articulaciones ❸ Calcular las matrices A i ❹ Calcular la matriz T n = 0 A A... n- A n Robotica Industrial- Cinemática del robot

13 Algoritmo de Denavit-Hartenberg (I) D-H.- Numerar los eslabones comenzando con (primer eslabón móvil de la cadena) y acabando con n (último eslabón móvil). Se numerará como eslabón 0 a la base fija del robot. D-H.- Numerar cada articulación comenzando por (la correspondiente al primer grado de libertad) y acabando en n D-H.- Localizar el eje de cada articulación. Si ésta es rotativa, el eje será su propio eje de giro. Si es prismática, será el eje a lo largo del cual se produce el desplazamiento. D-H 4.- Para i de 0 a n- situar el eje z i sobre el eje de la articulación i+. D-H 5.- Situar el origen del sistema de la base {S 0 } en cualquier punto del eje z 0. Los ejes x 0 e y 0 se situarán de modo que formen un sistema dextrógiro con z 0 Robotica Industrial- Cinemática del robot

14 Algoritmo de Denavit-Hartenberg (II) D-H 6.- Para i de a n-, situar el sistema {S i } (solidario al eslabón i) en la intersección del eje z i con la línea normal común a z i- y z i. Si ambos ejes se cortasen se situaría {S i } en el punto de corte. Si fuesen paralelos {S i } se situaría en la articulación i+ D-H 7.- Situar x i en la línea normal común a z i- y z i D-H 8.- Situar y i de modo que forme un sistema dextrógiro con x i y z i. D-H 9.- Situar el sistema {S n } en el extremo del robot de modo que zn coincida con la dirección de z n- y x n sea normal a z n- y z n. D-H 0.- Obtener θ i como el ángulo que hay que girar en torno a z i- para que x i- y x i queden paralelos. D-H.- Obtener d i como la distancia, medida a lo largo de z i-, que habría que desplazar {S i- } para que x i y x i- quedasen alineados. Robotica Industrial- Cinemática del robot 4

15 Algoritmo de Denavit-Hartenberg (III) DH.- Obtener a i como la distancia medida a lo largo de x i (que ahora coincidiría con x i- ) que habría que desplazar el nuevo {S i- } para que su origen coincidiese con {S i }. DH.- Obtener α i como el ángulo que habría que girar entorno a x i (que ahora coincidiría con x i- ), para que el nuevo {S i- } coincidiese totalmente con {S i }. DH 4.- Obtener las matrices de transformación i- A i DH 5.- Obtener la matriz de transformación entre la base y el extremo del robot T = 0 A A... n- A n. DH 6.- La matriz T define la orientación (submatriz de rotación) y posición (submatriz de traslación) del extremo referido a la base en función de las n coordenadas articulares Robotica Industrial- Cinemática del robot 5

16 Modelo cinemático directo de un robot cilíndrico (I) Articulación θ d a α q l º d 0 90º 0 d q 4 l Robotica Industrial- Cinemática del robot 6

17 Modelo cinemático directo de un robot cilíndrico (II) 0 A A C S S C = A 0 0 l = d A = 0 0 d C4 S4 0 0 S4 C4 0 0 = 0 0 l T= A A A A = 4 SC 4 SS 4 C C( d + l4) CC + 4 CS 4 S S( d l4) S4 C4 0 d + l Robotica Industrial- Cinemática del robot 7

18 Modelo cinemático directo de un robot ABB IRB 6400C (I) Articulación θ d a α θ θ l 0 90 θ l 90 4 θ 4 l θ θ 6 l Robotica Industrial- Cinemática del robot 8

19 Modelo cinemático directo de un robot ABB IRB 6400C (II) 0 A C 0 S 0 S 0 C = A C 0 S 0 S 0 C 0 = 0 0 l A S 0 C ls C 0 S l C = A4 = C4 0 S4 0 S4 0 C l A 5 C5 0 S5 0 S 0 C 0 = A 6 C6 S6 0 0 S6 C6 0 0 = 0 0 l Robotica Industrial- Cinemática del robot 9

20 Modelo cinemático directo de un robot ABB IRB 6400C (III) nx ox ax px n T= A A A A A A = y oy ay py nz oz az pz n x = ( C CS+ SC )( C4CC 5 6 S4S6) + CS ( S4CC C4S6) + ( CC C+ SS) S5C6 ny = ( SC S+ SC )( C4CC 5 6 S4S6) + SS( S4CC C4S6) + ( SC C CS ) S5C6 n z = ( SS)( C4CC 5 6 S4S6) + C( S4C5C6 + C4S6) + SCS5C6 ox = ( CC S+ SC )( C4CC 5 6 S4S6) + CS ( S4CC C4S6) + ( CC C+ SS)( S5C6) oy = ( SC S+ SC )( C4CC 5 6 S4S6) + SS( S4CC C4S6) + ( SC C CS )( S5C6) o z = ( SS) ( C4C5C6 S4S6) + C( S4CC C4S6) + SC( S5C6) px = ( C CS+ SC )( l4c4s5) + CS ( l4s4s5) + ( C CC+ SS)( l4c5 + l) + ( lccs lsc ls ) p y = ( S CS CC )( l4c4s5) + SS( l4s4s5) + ( C CC CS )( l4c5 + l) + ( lscs lcc + lc ) p = (-SS )( l C C ) + C ( l S S ) + S C ( l C + l ) + l S S z Robotica Industrial- Cinemática del robot 0

21 Cinemática Inversa Objetivo: encontrar los valores que deben adoptar las coordenadas articulares del robot para que su extremo se posicione y oriente según una determinada localización espacial La resolución no es sistemática Depende de la configuración del robot (soluciones múltiples) No siempre existe solución en forma cerrada. Condiciones suficientes para que exista: Tres ejes de articulación adyacentes interseccionan en un punto (robot PUMA y robot Stanford) Tres ejes de articulación adyacentes son paralelos entre sí (robot Elbow) Robotica Industrial- Cinemática del robot

22 Posibilidades de solución del problema cinemático inverso ❶ Procedimiento genérico a partir de los parámetros D-H Método iterativo Problemas de velocidad y convergencia ❷ Búsqueda de solución cerrada: q k = f k (x,y,z,α,β,γ); k =,,n Posibilidad de resolución en tiempo real Posibilidad de selección de la solución más adecuada Posibilidad de simplificaciones No siempre es posible Robotica Industrial- Cinemática del robot

23 Métodos de solución del problema cinemático inverso ❶ Métodos geométricos Se suele utilizar para las primeras variables articulares Uso de relaciones geométricas y trigonométricas (resolución de triángulos) ❷ Resolución a partir de las matrices de transformación homogénea Despejar las n variables q i en función de las componentes de los vectores n, o, a y p. ❸ Desacoplamiento cinemático En robots de 6 GDL Separación de orientación y posicionamiento ❹ Otros: álgebra de tornillo,cuaterniones duales,métodos iterativos... Robotica Industrial- Cinemática del robot

24 Ejemplo de resolución de la cinemática inversa por métodos geométricos (I) q = arctg p p y x r = p + p r + p = l + l + l l cosq cosq x z = y p + p + p l l x y ll z sen q =± cos q q ± cos = arctg cos q con cos q Robotica Industrial- Cinemática del robot 4 = q p + p + p l l x y z ll

25 Ejemplo de resolución de la cinemática inversa por métodos geométricos (II) q = β α p z β = = pz arctg arctg r ± px + l sen q α = arctg l + l cos q p y q = p ± p + p z l sen q arctg arctg l + os q x y l c Robotica Industrial- Cinemática del robot 5

26 Ejemplo de resolución de la cinemática inversa a partir de las matrices de transformación homogénea (I) A r t ic. θ d a α q l 0 90º q º 0 q A = A = A 0 0 l C S 0 S 0 0 C CC S CS 0 SC C SS 0 A = S 0 C l C 0 S S 0 C = 0 0 q CC S CS qcs SC T= 0 A = C SS qss S 0 C qc + l Robotica Industrial- Cinemática del robot 6

27 Ejemplo de resolución de la cinemática inversa a partir de las matrices de transformación homogénea (II) 0 T= A A A 0 ( ) = ( ) ( ) A T A A A A T= A 0 C S 0 0 nx ox ax px l A T = A A = n y oy ay py = S C 0 0 nz oz az pz C 0 S C 0 S Sq S 0 C = q S = 0 C Cq ( ) py Spx Cpy = 0 tan q = ` ( ) p x q q = `p arctan p = arctan y x p x q = C( p l) S p + p p p z y z x l + y Robotica Industrial- Cinemática del robot 7

28 Matriz Jacobiana Velocidad de las articulaciones (q,q,,q n ) Jacobiana Directa Jacobiana Inversa velocidades del extremo del robot (x,y,z,α,β,γ) Matriz Jacobiana: permite conocer las velocidades del extremo del robot a partir de las velocidades de cada articulación Robotica Industrial- Cinemática del robot 8

29 Robotica Industrial- Cinemática del robot 9 Relaciones diferenciales x q q y q q z q q q q q q q q = = = = = = f(, ) f(,, ) f(, ) f (,, ) f (,, ) f (, ) x n y n z n n n n,,, α β γ α β γ x q q y q q z q q q q q q q q = = = = = = α β γ α β γ f f f f f f x i n i y i n i z i n i i n i i n i i n i x y z q q q q q q α β γ γ γ = = J J n x x n n con f f f f

30 Jacobiana de un robot SCARA x = lc + lc y = ls + ls z = l q x y z ( ) ls + q ls ls 0 = lc + q lc lc q Robotica Industrial- Cinemática del robot 0

31 Métodos de cálculo de la Jacobiana inversa Inversión simbólica de la matriz jacobiana Gran complejidad (matriz 6x6) Evaluación numérica de J e inversión numérica Necesidad de recómputo continuo En ocasiones J no es cuadrada matriz pseudoinversa En ocasiones J = 0 A partir del modelo cinemático inverso q q n = f = f ( x, y, z, α, β, γ ) n ( x, y, z, α, β, γ ) q = J q n x γ f f x γ J = fn fn x γ Robotica Industrial- Cinemática del robot

32 Configuraciones singulares Aquellas en las que J = 0 (Jacobiano nulo) Incremento infinitesimal coordenadas cartesianas implica incremento infinito coordenadas articulares Implica pérdida de algún grado de libertad Tipos Singularidades en los límites del espacio de trabajo del robot Singularidades en el interior del espacio de trabajo del robot Requieren su estudio y eliminación Robotica Industrial- Cinemática del robot

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