TEMA 1: INTRODUCCIÓN A LA MECÁNICA DE FLUIDOS. CONCEPTOS PREVIOS.

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1 TEMA 1: INTRODUCCIÓN A LA MECÁNICA DE FLUIDOS. CONCEPTOS PREVIOS OBJETO DE LA MECÁNICA DE FLUIDOS. La Mecánica de Fluidos se ocupa del estudio del comportamiento de los fluidos tanto en reposo como en movimiento y de los efectos que éstos puedan producir sobre su entorno que puede ser sólido u otro fluido. Se trata por otra parte de una rama de la Mecánica y como tal dispone de leyes de conservación lo que posibilita el estricto tratamiento teórico de las diferentes situaciones que pueden producirse al trabajar con fluidos. Sin embargo existen dos impedimentos Geometría y Viscosidad que hacen inviable (en la mayoría de casos prácticos) su tratamiento puramente teórico. Trabajar con geometrías arbitrarias resulta imposible dado que la teoría general del movimiento es demasiado complicada para dichas geometrías. Por ello se utilizan geometrías sencillas como son las placas planas y los conductos circulares. El considerar la viscosidad hace que las ecuaciones del movimiento se compliquen más aún. Aunque la teoría de la capa límite de Prandtl simplifica el estudio de los flujos viscosos este tipo de flujos pueden dar lugar a un fenómeno desordenado y aleatorio llamado Turbulencia. Cuando dicho fenómeno aparece resulta necesario acudir a la experimentación. Se puede concluir por tanto que existe una teoría para el estudio de los fluidos pero que debe ser ayudada por los resultados experimentales HISTORIA DE LA MECÁNICA DE FLUIDOS. Como en el caso de la mayoría de las ciencias la Mecánica de Fluidos tiene su inicio en una serie de utilizaciones que no guardan relación entre sí; a continuación se produce un período de descubrimientos fundamentales en los siglos XVIII y XIX. En la actualidad con unos conocimientos bien definidos se tendrá la utilización práctica de la ciencia. Las antiguas civilizaciones tenían conocimientos rudimentarios que resultaban suficientes para la resolución de algunos de los problemas que se les presentaban como podían ser la navegación a vela y el regadío. Los griegos introdujeron la cuantificación de los diferentes parámetros es decir comenzaron a medir valores. Arquímedes formuló las leyes de flotación y determinó las fuerzas ejercidas por los fluidos sobre cuerpos sumergidos. Los romanos construyeron infinidad de acueductos aunque no dejaron información de los criterios de diseño empleados. Hasta la aparición de Leonardo da Vinci se produjeron mejoras en el diseño de barcos canales etc. Pero es éste el que formula la ecuación de continuidad para flujos Ingeniería Fluidomecánica 1-1

2 unidimensionales; además realizo abundantes ensayos sobre chorros olas resalto hidráulico formación de torbellinos y diseño de cuerpos de baja y alta resistencia. Otro gran experimentalista posterior a Leonardo da Vinci fue Mariotte que construyo el primer túnel aerodinámico y realizo diversas pruebas en él. Sin embargo el impulso definitivo lo dio Newton al proponer las leyes generales del movimiento y la ley de resistencia viscosa lineal para fluidos que hoy denominamos newtonianos. Diferentes matemáticos del siglo XVIII como son Berboulli Euler D Alembert Lagrange y Laplace entre otros obtuvieron la solución de diferentes problemas para flujos no viscosos desarrollando la hidrodinámica. Son resultados importantes pero de aplicación muy limitada pues la viscosidad juega un papel crucial en la práctica. Por este motivo los ingenieros de la época dejaron a un lado estas teorías y desarrollaron la hidráulica que es esencialmente empírica. Así Chéz Pitot Borda Weber Francis Hagen Poiseuille Darc Manning Bazin y Weisbach ensayaron la resistencia sobre los barcos los flujos en canales los flujos internos las turbinas las olas etc. Al final del siglo XIX comienza la unificación entre hidráulica e hidrodinámica. Froude y su hijo desarrollaron las leyes para el estudio con modelos a escala. Rayleigh propuso la técnica del análisis dimensional. Reynolds publicó su experimento mostrando la importancia de los efectos viscosos a través de un parámetro adimensional hoy en día denominado número de Reynolds. Entre tanto la teoría de los flujos viscosos desarrollada por Navier y Stokes introduciendo los términos viscosos en las ecuaciones desarrolladas por los matemáticos mencionados anteriormente permanecía olvidada dada su dificultad matemática. Fue entonces cuando en 1904 Prandtl publicó su teoría de la capa límite según la cual en los flujos poco viscosos como son los del aire y el agua el campo fluido puede dividirse en dos regiones: una capa viscosa delgada o capa límite en las proximidades de superficies sólidas donde los efectos viscosos son importantes y una región exterior que se puede analizar con las ecuaciones de Euler y Berboulli. La teoría de la capa límite ha demostrado ser la herramienta más importante en el análisis de los flujos APLICACIONES DE LA MECÁNICA DE FLUIDOS. La tierra está cubierta en un 75 % por agua y en un 100 % por aire lo que hace que las posibilidades de la Mecánica de Fluidos sean enormes. Si se consideran los flujos naturales se puede hablar de disciplinas como la meteorología oceanografía y la hidrología. Si se trata de flujos biológicos entre otros estarán el flujo sanguíneo y la respiración. Los flujos artificiales construidos por el hombre se pueden clasificar atendiendo a la finalidad para la cual se diseñaron. Así estarán por un lado los destinados al transporte Ingeniería Fluidomecánica 1-2

3 de pasajeros: hidrodinámica (barcos submarinos) y aerodinámica (aviones cohetes) los empleados para la producción de energía: turbinas hidráulicas o de vapor por supuesto los destinados al transporte de fluidos: regadíos abastecimiento de agua transporte de petróleo o gas. Sin olvidarse de las aplicaciones de la hidrostática: construcción de presas y depósitos para el almacenamiento de agua diques de contención etc. El agua es un elemento vital en cualquier servicio e industria; en muchas ocasiones se tiene el caudal suficiente pero no se dispone de la energía necesaria siendo preciso suministrársela por medio de una instalación de bombeo. Por ello las bombas resultan ser un elemento constitutivo de gran importancia en los sistemas hidráulicos. Su empleo se remonta a la antigüedad (hace 3000 años); desde entonces se emplean norias en Asia y África. Después del motor eléctrico la bomba es la máquina con la que más se trabaja en la industria SISTEMAS DE UNIDADES. DIMENSIONES. Se define la dimensión como la medida por la cual una variable física se expresa cuantitativamente y la unidad será la forma de asignar un número a dicho valor. En todas las ramas de la técnica las unidades resultan fundamentales y aún cuando existen distintos sistemas de unidades se trata de universalizar el uso del Sistema Internacional de Unidades; sin embargo se va a mencionar el sistema de unidades británicas pues todavía existe abundante bibliografía que lo utiliza.las dimensiones son esenciales para poder cuantificar (medir) los diferentes fenómenos físicos pero en la Mecánica de Fluidos además son la base de una importante herramienta denominada Análisis Dimensional cuya aplicación es cada vez más extendida. Se pueden dividir en dos los tipos de dimensiones dimensiones primarias y dimensiones secundarias. Las dimensiones primarias en la Mecánica de Fluidos son masa longitud tiempo y temperatura 1. Las dimensiones secundarias son aquellas que pueden expresarse en función de las primarias. En la tabla 1.1 se presentan las diferentes unidades de las dimensiones primarias así como las conversiones de los sistemas de unidades. Dimensión primaria Unidad S.I. Unidad C.G.S. Unidad británica Factor de conversión Masa [M kg gr slug 1 slug = kg. Longitud [L m cm ft (pie) 1 ft = m Tiempo [T s s s Temperatura [ K ºC ºR (Rankine) 1 K = 1.8 ºR Tabla En el Sistema Técnico en lugar de la masa se emplea la fuerza como dimensión fundamental y la unidad correspondiente será el kilopondio. Ingeniería Fluidomecánica 1-3

4 Todas las demás variables pueden expresarse en función de [M [L [T y [. La más importante de las dimensiones secundarias es la fuerza que se relaciona con las dimensiones primarias mediante la segunda ley de Newton: F m a [F = [MLT -2 Se define la unidad de fuerza en función de las unidades primarias. Así definimos el newton y la libra fuerza: 1Newton 1N 1kg m / s 1libra fuerza 1lbf 1slug ft / s N 2 En la siguiente tabla 1.2 se presentan algunas de las dimensiones secundarias más empleadas así como los factores de conversión entre los diferentes sistemas de unidades. Dimensión secundaria Unidad S.I. Unidad británica Factor de conversión Área [L 2 m 2 ft 2 1 m 2 = ft 2 Volumen [L 3 m 3 ft 3 1 m 3 = ft 3 Velocidad [LT -1 m/s ft/s 1 m/s = ft/s Aceleración [LT -2 m/s 2 ft/s 2 1 m/s 2 = ft/s 2 Presión [ML -1 T -2 Pa = N/m 2 lbf/ft 2 1 lbf/ft 2 = Pa Velocidad angular[t -1 s -1 s -1 Energía Calor Trabajo [ML 2 T -2 J = N m ft lbf 1 ft lbf = J Potencia [ML 2 T -3 W = J/s ft lbf/s 1 ft lbf/s = W Densidad [ML -3 kg/m 3 slugs/ft 3 1 slugs/ft 3 = kg/m 3 Viscosidad dinámica [ML -1 T -1 kg/(m s) slugs/(ft s) 1 slug/(ft s) = kg/(m s) Tabla DENSIDAD PESO ESPECÍFICO Y VOLUMEN ESPECÍFICO. La densidad de un fluido se define como su masa por unidad de volumen. Para definir la densidad en un punto habrá de tomarse un diferencial de volumen dv alrededor del punto lo suficientemente grande como para que contenga a varias moléculas de modo que la densidad del punto será la razón entre el diferencial de masa dm correspondiente a ese volumen diferencial y el propio volumen: Si el fluido puede considerarse homogéneo: dm dv [(SI): kg/m3 ] m V Ingeniería Fluidomecánica 1-4

5 La densidad de un fluido varía con la presión y con la temperatura. Por ejemplo para el agua en condiciones estándar (p = 760 mm Hg T = 4 ºC) la densidad toma el valor de 1000 kg/m 3. El volumen específico V s es el inverso de la densidad es el volumen ocupado por la unidad de masa de fluido. V s 1 [ (SI): m3 /kg] En Termodinámica se suele trabajar con volúmenes específicos pero para la Mecánica de Fluidos la densidad resulta un parámetro más interesante. El peso específico de una sustancia es su peso por unidad de volumen. Debe tenerse en cuenta que al tratarse de un peso dependerá de la aceleración de la gravedad. g [ (SI): N/m 3 ] Otra forma de trabajar con densidades es la de emplear densidades relativas s que se definen como la razón de su peso al peso de un volumen igual de un líquido patrón en condiciones estándar. También puede expresarse como una razón de su densidad o su peso específico al del líquido patrón. Generalmente el líquido patrón suele ser el agua. s W sus tan cia sus tan cia sus tan cia [Adimensional] W patron patron patron En la siguiente tabla se presentan las densidades relativas de diferentes líquidos a la temperatura de 20 ºC para dichas densidades relativas la densidad patrón tomada es el agua en condiciones estándar. Líquido Densidad relativa s Agua Disolvente comercial Tetracloruro de carbono Aceite lubricante (SAE 10) Fuel-oil medio Fuel-oil pesado Gasolina Alcohol etílico Benceno Glicerina Mercurio 13.6 Tabla VARIABLES TERMODINÁMICAS. ECUACIONES DE ESTADO. Ingeniería Fluidomecánica 1-5

6 La propiedad más importante del flujo es el campo de velocidades v. Sin embargo al producirse el flujo el campo de velocidades entra en contacto con las propiedades termodinámicas del fluido. Las propiedades termodinámicas más importantes desde el punto de vista de la Mecánica de Fluidos son la presión p la densidad la temperatura T y la viscosidad. Además influyen junto con estas la energía interna la entalpía la entropía los calores específicos y la conductividad térmica. Esas 9 magnitudes mencionadas con anterioridad son propiedades termodinámicas que vienen determinadas por el estado del fluido. En una sustancia con una sola fase (oxígeno agua) es suficiente conocer dos de las propiedades básicas como por ejemplo p y T para determinar las demás: = (p T) = (p T). Si el fluido de trabajo es un gas puede emplearse la Ecuación de Estado para gases. Todos los gases a altas temperaturas y bajas presiones (relativas a su punto crítico) cumplen la ley de los gases perfectos. pv n RT Donde R es la constante universal de los gases perfectos y cuyo valor en unidades del sistema internacional es: R 8314 Julio /( kmol K) y n es el número de kmoles con los que se está trabajando. Será la relación entre la masa con que se trabaja m y la masa molecular del gas con el que se está tratando M. Se puede obtener una forma más útil para la Mecánica de Fluidos de la ley de los gases perfectos sustituyendo n en función de las masas que en ella intervienen: Si se aísla la presión tendremos: m pv M R T m p R V M T En donde la razón entre la masa m y el volumen V es por definición la densidad también puede considerarse una nueva constante para cada gas R * que será la razón entre la constante universal de los gases R y la masa molecular del gas con el que se trabaja M con lo que obtenemos la siguiente expresión: p R * T Ingeniería Fluidomecánica 1-6

7 En la tabla 1.4 se presentan las masas moleculares y los valores de R * para distintos gases. Gas Masa molecular (kg/kmol) R * (Julio/kg K) Aire Monóxido de Carbono CO Helio He Hidrógeno H Nitrógeno N Oxígeno O Vapor de Agua H 2 O Tabla 1.4 El fluido gaseoso más usual es el aire. Al tratarse de una mezcla de gases no sería correcto el empleo de cualquiera de las expresiones anteriores correspondientes a gases perfectos sin embargo al permanecer casi constantes las proporciones de la mezcla entre los 160 y los 2200 K en este rango se puede considerar como una sustancia pura a la cual se le podrá aplicar la ley de los gases perfectos CONCEPTOS DE GRADIENTE DIVERGENCIA Y ROTACIONAL. En el presente apartado se presentan una serie de operadores matemáticos que se emplearán a lo largo de los siguientes temas. Desde el punto de vista de la Fluidomecánica no son más que herramientas matemáticas; por ello este apartado se limita a su presentación. Gradiente Se representa mediante grad o se aplica a funciones escalares y el resultado es un vector. Divergencia df ( x df ( x df ( x grad (x = i j k dx dy dz Se representa mediante div se aplica a funciones escalares y el resultado es un escalar. Rotacional df ( x df ( x df ( x div (x = dx dy dz Se representa mediante rot se aplica a funciones vectoriales y el resultado es un vector. Ingeniería Fluidomecánica 1-7

8 Ingeniería Fluidomecánica 1-8 rot f (x = ) ( ) ( ) ( z y x f z y x f z y x f dz dy dx k j i z y x

9 PROBLEMAS DEL TEMA 1: INTRODUCCIÓN A LA MECÁNICA DE FLUIDOS. CONCEPTOS PREVIOS Supóngase que el volumen de aire en una llanta de un automóvil pequeño es constante e igual al volumen entre dos cilindros concéntricos de 13 cm de altura y radios de 33 y 52 cm. El aire en la llanta está inicialmente a 25 ºC y 202 kpa. Inmediatamente después de que se bombea aire a la llanta la temperatura es de 30 C y la presión de 303 kpa. Datos: Masa molecular del aire: 29 kg / kmol. a) Qué masa de aire se añadió a la llanta? b) Cuál sería la presión del aire después de que se ha enfriado hasta una temperatura de 0 C? Soluciones: a) 0074 kg; b) 273 kpa Ingeniería Fluidomecánica 1-9