INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL ESCUELA SUPERIOR DE ECONOMÍA SECCIÓN DE ESTUDIOS DE POSGRADO E INVESTIGACIÓN

Transcripción

1 INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL ESCUELA SUPERIOR DE ECONOMÍA SECCIÓN DE ESTUDIOS DE POSGRADO E INVESTIGACIÓN ANÁLISIS COMPARATIVO DE MÉTODOS DE EVALUACIÓN DE COMPORTAMIENTO DE PORTAFOLIOS DE INVERSIÓN T E S I S QUE PARA OBTENER EL GRADO DE MAESTRO EN CIENCIAS ECONÓMICAS (ECONOMÍA FINANCIERA) P R E S E N T A: IMELDA CONTRERAS LOVERA MÉXICO D.F., FEBRERO DE 2011.

2

3 iii

4 Agradecimientos A Dios A mis hermanos A mi sobrino A mi director de tesis A mi codirector de tesis A DIOS, le agradezco por haberme dado la bendición de la sabiduría y la fortaleza de no dejar las cosas a pesar de los obstáculos que uno tiene en la vida y el a verme dado tantas virtudes, dones y defectos que me han forjado a ser la persona que soy. Oscar, Mary, Lidia y Jesús por estar siempre conmigo y preocuparse por mí y por la sabiduría y consejos que me han otorgado, los amos hermanos. Angelito por ensañarme con tu llegada que las cosas pueden cambiar para bien y darle un nuevo giro a mi vida te amo bebe. Dr. Miguel Flores, por tenerme paciencia durante esta trayectoria académica y por enseñarme todo su conocimiento, y admiración que tengo sobre su forma de ser y actuar, infinitamente gracias por estar presente en mi vida. M. en C. Allier Campuzano, por tenerme paciencia durante esta trayectoria académica y apoyo moral que me otorgó y sobre todo porque nunca dudó de mí y siempre me demostró que todo se puede hacer a pesar de los obstáculos que uno pueda tener. A mis amigos Adriana, Ariadna, Elías, Josué, Martha, Mildret, Pedro, Rubén, Verenice y Vianey, les agradezco por todo su apoyo y amistad que he recibido de ustedes.

5 Índice Índice de figuras Índice de gráficas Índice de tablas Abreviaturas Glosario Resumen Abstract Introducción Páginas i ii ii iv v ix x xi Capítulo 1. Teoría de portafolios de inversión Modelo del portafolio de inversión de Markowitz Riesgo del portafolio Modelo de la media y la varianza Markowitz y la función eficiente del portafolio Determinación matemática de la frontera eficiente Maximización de la utilidad esperada del modelo de la media 30 - varianza Capítulo 2. Métodos para evaluar el comportamiento de portafolios de inversión Aspectos generales de inversión Modelo de Sharpe Riesgo sistemático y riesgo diversificable Coeficiente de determinación en el mercado de un índice Rendimiento esperado y varianza del portafolio estimada con el modelo diagonal de Sharpe Modelos de equilibrio de mercado: CAMP y APT Modelo de valuación de activos de capital 42 v

6 2.4.1 Línea del mercado de capitales Línea del mercado de activos individuales Índice de Sharpe Índice de Treynor Índice Jense Modelo de riesgo multifactorial 65 Capítulo 3. Prueba empírica del comportamiento del portafolio de inversión Conformación de la base de datos para el estudio Comparación de resultados Análisis de los activos individuales Análisis del comportamiento del portafolio 78 Conclusiones 80 Bibliografía 82 vi

7 Índice de figuras Figura 1.1 Espacio riesgo rendimiento de un portafolio de inversión 9 Figura 1.2 Líneas isomedias 12 Figura 1.3 Representación del portafolio a través de elipses isovarianzas 13 Figura 1.4 Representación del portafolio de inversión constituida por la restricción presupuestaria y las isovarianzas 14 Figura 1.5 Frontera eficiente Markowitz en combinación del riesgo y rendimiento 15 Figura 1.6 Frontera eficiente con correlación positiva perfecta 17 Figura 1.7 Frontera eficiente con correlación negativa perfecta 20 Figura 1.8 Frontera eficiente al considerar correlación 21 Figura 1.9 Representación de la frontera eficiente a partir de una función hiperbólica 21 Figura 1.10 Rendimiento esperado del portafolio de inversión 23 Figura 1.11 Frontera eficiente del portafolio de inversión 24 Figura 1.12 Conjunto eficiente de Markowitz 25 Figura 1.13 Maximización de las preferencias del portafolio de inversión 31 Figura 2.1 Rendimiento de un activo individual y rendimiento del índice del mercado 35 Figura 2.2 Diversificación y riesgo de portafolios para un portafolio equitativamente ponderado 41 Figura 2.3 Línea de mercado de capitales 45 Figura 2.4 Línea de mercado de activos individuales 48 Figura 2.5 Línea de mercado de valores 53 Figura 2.6 Línea de mercado de capitales y el coeficiente i

8 beta 54 Figura 2.7 Índice de Sharpe 57 Figura 2.8 Índice de Treynor a partir de las líneas del comportamiento 59 Figura 2.9 Índice de Jensen a partir de las líneas del comportamiento 63 Índice de gráficas Gráfica 3.1 Frontera eficiente del portafolio de inversión 75 Índice de tablas Tabla 3.1 Resultados de los activos individuales para el año Tabla 3.2 Coeficiente de correlación entre activos individuales para el año Tabla 3.3 Resultados de los activos individuales para el año Tabla 3.4 Coeficiente de correlación entre activos individuales para el año Tabla 3.5 Resultados de los activos individuales para el año Tabla 3.6 Resultados de los activos individuales para el año Tabla 3.7 Resultados de los activos individuales para el año Tabla 3.8 Resultados de los activos individuales para el año Tabla 3.9 Coeficiente de correlación entre activos individuales para el año Tabla 3.10 Construcción de la frontera eficiente del portafolio 74 Tabla 3.11 Resultados de los activos individuales para el año 75 ii

9 2009 Tabla 3.12 índice de Sharpe para el periodo de estudio 76 Tabla 3.13 índice de Treynor para el periodo de estudio 77 Tabla 3.14 índice de Alfa Jensen para el periodo de estudio 78 Tabla 3.15 Análisis comparativo de desempeño del portafolio 79 iii

10 Abreviaturas APT BMV CAPM IS IT IJ Modelo de valoración de activos Bolsa Mexicana de Valores Modelo de valuación de activos de capital Índice de Sharpe Índice de Treynor Índice Jensen. iv

11 Glosario. Acción: Es un título que representa una parte o cuota del capital social de una sociedad. Confiere a su titular legítimo la condición de socio, y a veces derecho a voto. Aversión al riesgo: Todo agente económico es adverso al riesgo cuando evita el riesgo y prefiere invertir a una tasa menor si con esto reduce su exposición al riesgo. Beta: Cambio porcentual esperado del rendimiento, excedente de una acción para un cambio 1 % en el rendimiento excedente de la cartera de mercado. CAPM: Modelo de valuación de activo de capital de una empresa. Este modelo determina el rendimiento de un título de capital es igual a una tasa libre de riesgo más el premio por riesgo de la inversión. Capital: recursos económicos utilizados en la producción o distribución de los bienes de consumo, dinero, crédito, equipo, materias primas y derechos. Capital de riesgo: Recursos destinados al financiamiento de proyectos cuyos resultados esperados son de gran incertidumbre, por corresponder a actividades riesgosas ó a la incursión en nuevas actividades y/o mercados. Cobertura: Es la estrategia diseñada para minimizar el riesgo de sufrir movimientos adversos en el precio de un activo. La forma más sencilla de cobertura es tomar una posición contraria en riesgo al activo que se quiere cubrir, usualmente a través de un contrato a futuro. Contrato forward: Contrato en el que el vendedor se compromete a entregar al comprador una cantidad determinada de un bien, moneda o v

12 título a un precio y en condiciones definidas, dentro de un plazo determinado opera en un mercado desregulado. Contratos de futuros: Son contratos normalizados a plazo por medio del cual el comprador se obliga a comprar el activo subyacente y el vendedor a venderlo a un precio pactado, en una fecha futura. Cupón: Documento que especifica el pago de intereses de una obligación de deuda que corresponde a un bono. Diversificación: Promedio de riesgo independiente de una cartera grande. Diversificación de riesgo: Es una estrategia que busca reducir el riesgo de un portafolio a través de la adquisición de diferentes títulos valores con correlación entre sí. Diversificación financiera: Proceso mediante el cual los agentes económicos reducen el riesgo de sus inversiones a través de la colocación de los recursos en títulos con características de riesgos diferentes. Dividendo: Es una porción de las utilidades de una empresa que se entrega a los accionistas. El dividendo se paga en efectivo o en acciones. Opción: instrumento financiero que otorga el derecho y no la obligación para comprar o vender un activo a un precio de ejercicio determinado en, o antes de, una fecha de ejercicio determinada. Poder de compra: Capacidad de adquisición de una canasta de bienes y servicios a partir de los ingresos. Portafolio: Combinación de activos financieros mantenidos por un individuo o institución ó conjunto de activos financieros de una sociedad o persona física. vi

13 Portafolio de mercado: Portafolio ponderado por capitalización de todas las acciones y valores en el mercado. Portafolio eficiente: Un portafolio eficiente no se puede diversificar más; no hay forma de reducir la volatilidad sin que disminuya el rendimiento esperado. Portafolio ineficiente: Describe un portafolio para el que es posible encontrar un rendimiento mayor para el nivel de riesgo aceptado Precio de cierre: Precio de los títulos registrado en una bolsa al final de cada sesión. Prima de riesgo: Rendimiento en exceso que se requiere de una inversión con respecto del rendimiento de una inversión libre de riesgo. Prima por riesgo de mercado: Diferencia entre el rendimiento esperado del mercado y la tasa libre de riesgo. Rendimiento esperado: Rendimiento que una empresa espera realizar en una inversión. Es el valor promedio de la distribución de probabilidades de los rendimientos posibles. Riesgo: Es una medida de la incertidumbre que existe en el valor de los activos financieros ante los movimientos adversos de los factores económicos que determinan su precio; a mayor incertidumbre mayor riesgo. Riesgo especifico ò no sistemático: Se trata de un riesgo específico de cualquier empresa o sector, aunque el mismo puede ser eliminado si se diversifica la cartera. Riesgo de liquidez: Es el riesgo asociado a la potencial dificultad de transar un instrumento financiero en el momento adecuado para prevenir o minimizar pérdidas. vii

14 Riesgo de mercado: Parte del riesgo total de un título que no puede eliminarse por diversificación. Se mide con el coeficiente de beta. Riesgo financiero: Porción del riesgo total de la empresa que resulta de la contratación de deuda. Riesgo operacional: Se refiere a las pérdidas potenciales resultantes de sistemas inadecuados, fallas administrativas, controles defectuosos fraude o error humano. Riesgo país: Es un índice que mide el grado de riesgo que enfrentan en un país las inversiones con respecto al riesgo de invertir en Estado Unidos. Riesgo sistemático: Parte del riesgo de un valor que no puede eliminarse mediante diversificación. Riesgo asociado a la Economía. Tasa libre de riesgo: Rendimiento que se obtiene con certidumbre total, no tiene riesgo alguno. Una tasa libre de riesgo corresponde a una obligación del gobierno. Valor de riesgo: Mide la pérdida esperada de un portafolio de inversión en un periodo dado y con una confiabilidad determinada, en una forma de expresar el riesgo. Volatilidad. Es una medida del grado de incertidumbre asociado al rendimiento de un instrumento financiero, medida como la dispersión promedio de los rendimientos del activo. viii

15 Resumen En el presente trabajo se analizan los métodos de evaluación del comportamiento de portafolios de inversión, basada en el estudio de la teoría moderna de portafolios de inversión que parte del tema de la utilidad y las preferencias del inversionista, y expectativas de rendimiento asociada a un riesgo en particular. Se estudia la forma de llevar a cabo la manera correcta de valuar portafolios a través de la comparación de las medidas de comportamiento basadas en el estudio de la teoría económica financiera las mas usadas son: Índice Alfa Jensen, Índice Sharpe y el Índice de Treynor, que permiten obtener una medida de la calidad de la gestión de los portafolios de inversión, formados por títulos financieros en base al rendimiento esperado y riesgo. El índice de Treynor mide el riesgo del coeficiente beta, en tanto, que el índice de Sharpe recurre a la desviación estándar y el índice de Jensen calcula los excesos de los rendimientos esperados de la inversión a través del estudio de la beta y el precio del activo de capital. Por lo que se refiere a la construcción del portafolio se constituye a partir de las emisoras más participativas en el mercado de valores como son: América Móvil, Wal Mart, Televisa, Gcarson, Bimbo, Peñones, Ginbursa, Gbanorte y Elektra basadas en el índice de precios de cada emisora en el periodo del 2004 al 2010 y además también de los indicadores económicos como son el índices de precios y cotizaciones (IPC) y los CETES a 28 días, lo cual permite identificar cual de los índices estudiados es el más factible en el estudio del rendimiento esperado y riesgo. ix

16 Abstract In this paper we analyze the methods of evaluating the performance of investment portfolios, based on the study of the modern theory of investment portfolios under the item of utility and investor preferences, and performance expectations associated with a risk in particular. Considering how to carry out the correct way of valuing portfolios through the comparison of performance measures based on the study of financial economics the most used are: Alpha Index Jensen, Sharpe ratio and Treynor Index, that can provide a measure of the quality of management of investment portfolios, consisting of financial instruments based on risk and return. The Treynor ratio measures the risk of beta, meanwhile, that the Sharpe ratio uses standard deviation and the Jensen index calculates the excess of expected returns on investment through the study of beta and price capital asset. As regards the construction of the portfolio is constituted from more participatory stations in the stock market such as: America Movil, Wal Mart, Televisa, Gcarson, Bimbo, Peñones, Ginbursa, Gbanorte and indexbased Elektra price of each station in the period from 2004 to 2010 and also further economic indicators such as the price indices and prices (CPI) and CETES to 28 days, which allows to identify which of the rates studied is the most feasible in the study of risk and return. x

17 Introducción En todos los países que cuentan con un mercado financiero, los agentes económicos tienen la oportunidad de invertir en instrumentos financieros, tales como acciones, instrumentos de deuda, fondos de inversión, productos estructurados, derivados, entre los más conocidos Esta investigación, se enfoca en el análisis del comportamiento de portafolios de inversión, que corresponde a la selección de documentos o valores que se cotizan en el mercado bursátil en el que el agente económico decide invertir su dinero, aun en condiciones adversas o de alta incertidumbre. Para hacer la elección de los instrumentos se deben tomar en cuenta los aspectos básicos de la teoría de la inversión como el nivel de riesgo que está dispuesto a correr y los objetivos que busca con la inversión. En el proceso de inversión es necesario identificar los factores de riesgo de mercado al que se expone cada instrumento financiero y el ambiente externo de la economía como: la tasa de interés, tipo de cambio y la inflación. El objetivo de la investigación es evaluar de forma empírica los métodos utilizados para determinar el comportamiento de los portafolios de inversión, donde se toma en cuenta la relación riesgo rendimiento que identifica la gestión del inversionista y con esto se cuenta con un marco sólido de comparación. La justificación de la investigación corresponde a la importancia y la necesidad de evaluar el proceso de toma de decisiones de inversión que realizan los agentes económicos que participan en los mercados financieros, por tanto, medir la eficiencia en la conformación de portafolios de inversión de acuerdo a las expectativas de los inversionistas. xi

18 En el trabajo se prueba la hipótesis que establece que, si un indicador del comportamiento de la toma de decisiones de inversión es adecuado y congruente cuando la forma sistemática permite determinar a los portafolios de inversión indicando cual es la mejor inversión de acuerdo a las preferencias del inversionistas, entonces los inversionistas contarán con mayores elementos para seleccionar sus inversiones con mayor certidumbre. El marco teórico seleccionado para la investigación incorpora la teoría de portafolios que se desarrolla en ambientes de incertidumbre haciendo necesario que las decisiones de las inversiones se basen en expectativas futuras, teniendo como parámetro el rendimiento y a riesgo, se establece la selección bajo incertidumbre y la conformación del portafolio y se siguen los principios desarrollados por Markowitz, se utiliza las técnicas de media y varianza para optimizar un portafolio, que permite que el inversionista encuentre el rendimiento esperado más alto para cualquier nivel de riesgo. La investigación se reporta en tres capítulos a los que precede la introducción donde se realiza la justificación del tema, el marco teórico seleccionado, el objetivo que se busca y la hipótesis que se desea probar. En el primer capítulo se hace la revisión conceptual del marco teórico del portafolio y la teoría de utilidad del inversionista para establecer la frontera eficiente del portafolio de inversión. Se dedica el segundo capítulo para el análisis de la metodología de evaluación del comportamiento de portafolio y su desempeño, así como la determinación de los índices de Jensen, Sharpe y Treynor. En el tercer capítulo se presenta en forma empírica la determinación y evaluación de los índices de comportamiento y se presentan los xii

19 resultados alcanzados. Por último se incluye un apartado donde se agrupan los portafolios de inversión. xiii

20 Capítulo 1. Teoría de portafolios de inversión En este capítulo, se analiza la teoría de portafolios de inversión desde el punto de vista del agente económico que realiza una inversión y la forma en la que toma las decisiones para seleccionar la composición del portafolio de inversión a partir de la relación riesgo - rendimiento de cada uno de los activos seleccionados y las posibilidades de inversión, el análisis de la conformación del portafolio se realiza a partir de la comparación del método lineal que utiliza el coeficiente de riesgo beta propuestos por William Sharpe (1963) y el método no lineal propuesto por Harry Markowitz (1952), en donde se toma en cuenta el riesgo individual de cada activo y los coeficientes de covarianza. 1.1 Modelo del portafolio de inversión de Markowitz La teoría de portafolio de inversión propuesta por Harry Markowitz (1952), constituye el cimiento de la teoría moderna de economía financiera. Se debe hacer notar que en su desarrollo se parte de la teoría de la utilidad y las preferencias del inversionista, desde el punto de vista de Markowitz cada posibilidad de inversión tiene una expectativa de rendimiento que está asociada a un riesgo particular, dentro de su aportación se identifica el valor que tiene la interpretación del concepto de correlación y la relación que existe en el riesgo de dos inversiones, a partir de este concepto se analiza la diversificación de los instrumentos de inversión, para lo cual utiliza la ventaja de la relación relativa del riesgo de inversiones individuales para lograr la reducción del riesgo del portafolio. Por otra parte, en su investigación Markowitz probó que conforme aumentan el número de instrumentos financieros que participan en la conformación del portafolio, se incrementa la diversificación y la posibilidad de reducir el riesgo sin afectar el rendimiento esperado, estableciendo un conjunto de instrumentos de inversión que maximizan el rendimiento a un determinado nivel de riesgo de la inversión a partir de

21 esto se construye la frontera eficiente que describe el lugar geométrico de los portafolios de máximo y mínimo rendimiento esperado para un nivel de riesgo seleccionado. Desde el punto de vista de la función de utilidad, la frontera eficiente denota el punto de indiferencia del inversionista para cada nivel de riesgo. Markowitz, asume que el proceso de selección de un portafolio se divide en dos etapas, la primera inicia con la observación de resultados y el análisis de las expectativas futuras del comportamiento del rendimiento de los activos financieros que pueden incorporarse en el portafolio basadas en las hipótesis de que el inversionista debe maximizar los rendimientos esperados sin ignorar las imperfecciones del mercado y su riesgo. Matemáticamente el rendimiento esperado del portafolio se expresa en la ecuación 1.1; en el tiempo en que se realiza el análisis: (1.1) Donde: Rendimiento del portafolio N Número de activos financieros X i Cantidad que se invierte en el activo i, Donde, X i 0, implica que no hay operaciones en corto. r i. Rendimiento esperado del activo De tal manera, que, r i es independiente de x i. Dado que, x i 0 para todo i y, en donde r i es el promedio ponderado de los rendimientos de los activos r i y con el ponderado X i, representan la proporción del capital que se invierte en el activo i. Desde el punto de vista de un modelo estático, Markowitz plantea que el rendimiento esperado es constante, por lo tanto, el inversionista busca maximizar el valor de su portafolio a partir de la expectativas del 2

22 rendimiento de los activos seleccionados, por otra parte, cuando el comportamiento del rendimiento se modela en forma dinámica se analiza un gran número de portafolios; cuando se aplica la diversificación se encontrará el mismo rendimiento esperado del portafolio; por lo tanto, un caso especial será aquel en el que el inversionista busca maximizar el rendimiento esperado y minimizar su varianza que representa la mejor solución, cuando se asume que no existe correlación no es posible eliminar la varianza del portafolio, una consideración importante del modelo. En términos de estadística elemental la relación que existe entre el riesgo con el rendimiento, se obtiene a partir de la distribución de la probabilidad del rendimiento. Cuando la distribución de la probabilidad del rendimiento del activo es simétrica, la varianza es una buena medida del riesgo. El desarrollo que presentó Markowitz en su trabajo original asume que la distribución de probabilidad de todos los activos es una distribución normal que prevalece a lo largo del tiempo. Markowitz, denota que la distribución de probabilidad discreta verdadera del rendimiento para el próximo periodo, satisface la siguiente condición:, con la distribución de probabilidad: P ( (1.2) Donde: Rendimiento del activo i en el periodo t + 1 P ( Es la probabilidad del rendimiento del activo en el periodo t + 1 3

23 La distribución del rendimiento esperado en el futuro puede ser estimado con otra distribución que contiene los rendimientos pasados del activo, esto es,, con la distribución de probabilidad: P ( para i = 0, 1, 2,,T - 1 (1.3) Donde: T Rendimiento esperado en el futuro Rendimiento observado de la acción en el Periodo t 1 Número de periodos Probabilidad de ocurrencia del rendimiento. El rendimiento esperado y el riesgo del activo para el periodo T+1 se calcula de la siguiente manera: (1.4) (1.5) En el caso de la varianza del rendimiento de la ecuación 1.5, la ponderación de la desviación es 1/(T-1) en lugar de 1/T, para asumir la media muestral. 4

24 1.1.1 Riesgo del portafolio Un parámetro importante que representa el riesgo es la varianza del portafolio que se determina a partir de los términos de las varianzas y covarianzas de los rendimientos esperados para cada activo que integran el portafolio. Cuando el comportamiento del activo en un portafolio se establece la matriz de varianza covarianza que muestra la relación del riesgo individual y la covarianza entre el riesgo de parejas de activos. (1.6) La matriz 1.6, representa la matriz varianza covarianza que está compuesta por la covarianza entre el rendimiento del activo i y el rendimiento del activo j; donde i y j son activos del portafolio. Los términos que aparecen en la diagonal principal de la matriz representan la varianza de los rendimientos de los activos individuales. La varianza del portafolio se determina desarrollando el producto de matrices, que se expresa en la ecuación 1.7, que representa el desarrollo de Markowitz, el producto establece la ponderación de los riesgos individuales y el efecto de diversificación: (1.7) 5

25 La varianza del portafolio se expresa en forma escala de acuerdo a la ecuación 1.7, que utiliza los valores de la matriz de varianza covarianza. (1.8) La desviación estándar se obtiene aplicando la raíz cuadrada de ecuación 1.8, que se expresa en la ecuación 1.9. (1.9) La determinación de la covarianza entre el rendimiento de un activo i y otro activo j se denota, y se calcula con la expresión (1.10) Donde: Varianza de los activos individuales i y j. Coeficiente de correlación entre el rendimiento del activo i y el activo j Reexpresando la ecuación 1.9 y la ecuación 1.10 se obtiene: (1.11) Es decir, cuando los activos del portafolio de inversión están correlacionados tanto negativamente como positivamente, el riesgo del portafolio se reduce por la diversificación con relación al riesgo de los activos individuales. A mayor número de activos diferentes que contenga un portafolio de inversión, menor será el riesgo o desviación estándar del portafolio. Sin embargo, no todo activo adicional que se incorpore reducirá el riesgo ya 6

26 que es necesario que exista correlación con los demás activos que conforman al portafolio. La diversificación eficiente de Markowitz se basa en la correlación de los rendimientos esperados Modelo de la media y la varianza El modelo del portafolio de media y la varianza, asume que los inversionistas sólo consideran la media y la varianza de la distribución de probabilidad de los rendimientos para la toma de decisiones de activos riesgosos. De esta forma, la función del rendimiento esperado se expresa en la ecuación: (1.12) Donde: Utilidad esperada Rendimiento esperado Varianza del portafolio El rendimiento esperado del portafolio incrementa la riqueza; de ahí la relación directa con la utilidad esperada. Por el contrario, tanto la varianza como la desviación estándar se consideran como medidas de riesgo, la desviación estándar está en relación inversa con la utilidad esperada. Este modelo supone aversión al riesgo y, por tanto, la desviación estándar está en relación negativa con la utilidad esperada. El modelo de media y varianza de Markowitz, considera los siguientes axiomas: Sean los portafolio X, Y perteneciente al espacio factible P; donde, son los rendimientos esperados de los portafolios; y las varianzas respectivas de los portafolios X, Y. Entonces, el portafolio X domina al portafolio y solamente si cumple lo siguiente: y, ó y 7

27 Indica que el inversionista prefiere maximizar los rendimientos esperados y minimizar el riesgo. El axioma es suficiente ya que implica el cumplimiento de la completitud y transitividad. Por otra parte, la utilidad esperada en el modelo de media y varianza establece que la utilidad esperada solo depende del riesgo y el rendimiento en presencia de la aversión de riesgo. El inversionista tiene preferencia por el rendimiento. Markowitz, enfatiza la importancia de los parámetros de la media y varianza al analizar portafolios de inversión, dado que permite representar todo tipo de portafolios que representan las posibilidades de inversión. El axioma de completitud, indica que sean los portafolios X, Y, entonces, ó ambos. Significa que el inversionista puede comparar entre diferentes portafolios. Sin dejar de observar ninguna posibilidad. El axioma de transitividad, sean aquellos portafolios X, Y, Z. Entonces, si X y Y necesariamente X Z. Este axioma da consistencia a las decisiones del inversionista. A partir de los axiomas sobre el portafolio se construye la curva de indiferencia para un portafolio Z, este contiene todos los portafolios que generan una misma utilidad esperada al inversionista, esto es, un conjunto que se representa en la expresión (1.13) Donde: Utilidad 8

28 El espacio muestral riesgo rendimiento ( ),se determina a partir del plano cartesiano en donde sus coordenas se divide en cuatro cuadrantes a partir de estos cuadrantes se ubica el portafolio Z, donde se ilustran las posibilidades del portafolio de inversión dado el riesgo y rendimiento esperado por los inversionistas, como se ilustra en la figura 1.1. Figura 1.1. Espacio riesgo rendimiento de un portafolio de inversión R p p Z Fuente: Elaboración propia La figura 1.1, explica las condiciones de cada cuadrante con respecto al portafolio de Z. En el cuadrante I, todos los portafolios se caracterizan por tener menor o igual desviación estándar que el portafolio Z y mayor o igual rendimiento. Por tanto, en este cuadrante cualquier portafolio de media y varianza de acuerdo con el axioma, los portafolios se prefieren sobre el portafolio Z. En el cuadrante II, los portafolios tienen mayor desviación estándar que el portafolio Z, pero también tienen mayor rendimiento esperado; por tanto, no puede generalizarse ningún tipo de preferencia por que dependerá de la aversión al riesgo. En el cuadrante III, los portafolios tienen menor desviación estándar y menor rendimiento que el portafolio Z, por lo que tampoco pueden generalizarse ninguno se prefieren al portafolio Z tipo de preferencia. En el cuadrante IV, todos los 9

29 portafolios tienen menor rendimiento, y mayor o igual desviación estándar que el portafolio Z. Entonces, el portafolio Z se prefiere sobre cualquier portafolio de este cuadrante. 1.2 Markowitz y la función eficiente del portafolio El modelo de portafolio de Markowitz, indica que de acuerdo con el axioma de la media y varianza, los inversionistas evalúan dichos activos con base al rendimiento esperado y su varianza. Así mismo, a mayor rendimiento es preferida una menor varianza. El inversionista observa que invirtiendo numerosos activos en el portafolio puede lograr reducir la varianza de la inversión, cuando se logra la diversificación. La expresión 1.9, establece la varianza del portafolio y con esta expresión se demuestra que no siempre al aumentar el número de activos financieros representan una menor desviación estándar en el portafolio, ya que dependen de las covarianzas que existe entre los rendimientos esperados de las parejas i y j. Si un portafolio se conforma con dos activos y la correlación entre ellos es negativa, es posible mayor reducción de riesgo que un portafolio constituido por varios activos correlacionados positivamente. El modelo de diversificación del portafolio que propuso Markowitz, busca encontrar el portafolio con las combinaciones riesgo rendimiento esperado, porque cumple con el teorema de media y varianza, que se selecciona sujeto a la restricción presupuestaria que se representa en la ecuación Maximizar Sujeta a: (1.14) 10

30 La restricción presupuestal hace referencia a la suma total que se va invertir de acuerdo a las proporciones individuales de activos financieros, y cada unidad representa el presupuesto total. Si esta restricción es mayor a uno, el inversionista está invirtiendo con capital superior o con capital de deuda en el portafolio de inversión, por otro lado, si esta condición es menor a uno, el inversionista está invirtiendo un capital inferior en el portafolio, esto quiere decir que el inversionista puede prestar parte de su presupuesto en el portafolio si se asume una tasa de interés. Sin embargo, si la proporción del activo financiero es negativo, indica la venta en el corto plazo. En el modelo de Markowitz, el inversionista elige el portafolio óptimo, sobre el espacio o subconjunto factible, el cual contiene todas las combinaciones de riesgo y rendimiento esperado que es posible formar. En su trabajo Markowitz (1952), analiza el conjunto de portafolios eficientes y la adición de un activo libre de riesgo, teniendo como resultado la reducción de cálculos para la construcción de la frontera eficiente de Markowitz, que describe el lugar geométrico de los portafolios óptimos. El mercado de valores ofrece una variedad de acciones con diferentes rendimientos esperados y riesgos asociados con los que el inversionista puede construir diferentes portafolios de inversión. Al conjunto de todos los portafolios posibles que se pueden formar a partir conjunto de los N activos financieros individuales se le conoce como el conjunto factible. 11

31 La construcción de la frontera eficiente de los portafolios de inversión esta generada por N activos de riesgo, conocida como la frontera eficiente de Markowitz, se representa matemáticamente por las ecuaciones que a continuación se muestra: Minimizar (1.15) Sujeto a dos restricciones: y En el caso de un portafolio con dos activos, el rendimiento se expresa en la ecuación (1.16) Despejando de la ecuación 1.16, se tiene la expresión (1.17) La ecuación 1.17, se representa gráficamente como una línea recta de pendiente negativa, como se muestra en la figura 1.2. Figura 1.2. Líneas isomedias W 2 W 2 W 1 W 1 Fuente: Elaboración propia 12

32 La figura 1.2, se observan varias líneas que representan diferentes niveles de rendimiento esperado, lo que significa que entre más alejadas se encuentren del origen mayor será el rendimiento esperado, ha estas representaciones lineales se les conoce como líneas isomedias. La varianza del portafolio de inversión se expresa por la ecuación 1.18, como a continuación se indica: (1.18) La ecuación 1.19, describe la representación matemática del portafolio de inversión en forma de elipse, como se muestra a continuación:, donde k = 0 (1.19) En la figura 1.3, se ilustra el lugar geométrico representada en forma de elipse con centro (h, 0), por lo que, esto significa que cada elipse engloba a todos los portafolios de inversión con la misma varianza ó elipse isovarianza. Figura 1.3 Representación del portafolio a través de elipses isovarianzas. W 2 b -a a -b Fuente: Elaboración propia W 1 13

33 La utilización de la restricción presupuestaria, para portafolios de inversión se expresa como w 1 + w 2 =1, si se despeja w, se obtiene, w 2 = 1 - w 1, esto quiere decir, que la expresión es una línea recta con pendiente 1. Por tanto, esta línea representa todos los portafolios factibles que se obtienen a partir de dos activos financieros de acuerdo a la suma de ponderaciones de estos activos en el portafolio, esto se representa en la figura 1.4. Figura 1.4 Representación del portafolio de inversión constituida por la restricción presupuestaria y las isovarianzas. W 2 B A C W 1 Fuente: Elaboración propia con información de Markowitz (1991) En la figura 1.4, se observa el portafolio de inversión con mínima varianza, que está representada en la tangencia de la recta presupuestaria que corresponde al punto A, para el segmento BC, de la recta presupuestaria, indicándose la mínima varianza para cada nivel de 14

34 rendimiento esperado y satisfaciendo la restricción presupuestaria de la línea recta, es decir, que satisface la condición w 1 = 0. Por otra parte, el segmento AC, es el conjunto eficiente del portafolio de inversión de acuerdo con la media y la varianza, puesto que las elipses a la derecha de la isovarianza que hace tangencia con BA y AC, estas se caracterizan por tener un mismo nivel de riesgo, pero el segmento BA posee mayor rendimiento esperado para AC. En términos de media y varianza los portafolios de AC son dominados por los portafolios de inversión BA y por tanto son ineficientes. Cuando el número de activos que componen el portafolio es mayor de tres no es posible la visualización gráfica del conjunto eficiente del portafolio. Así mismo, el portafolio puede caracterizarse para una combinación particular de desviación estándar en función de la media y varianza de dos o más activos, en combinación del riesgo y rendimiento, como se representa en la figura 1.5. Figura 1.5 Frontera eficiente Markowitz en combinación del riesgo y rendimiento B A C Fuente: Elaboración propia con información de Markowitz 15

35 En la figura 1.5, se muestra la combinación de riesgo y rendimiento, en el conjunto eficiente del portafolio constituido por los activos X 1 y X 2. Así mismo, los portafolios de inversión comprendidos entre A y C, no pertenecen al conjunto eficiente de acuerdo con el axioma de media y varianza, puesto que los portafolios ubicados entre el punto A y B representan mayor rendimiento y con un mínimo riesgo, por tanto, la frontera eficiente se encuentra entre A y B. La frontera eficiente de Markowitz, muestra la combinación de riesgo y rendimiento representada en forma hiperbólica en el que se observa el grado de correlación entre los rendimientos de los activos del portafolio. Es decir, que cuando el grado de correlación entre los dos activos es 1 y la correlación entre los dos activos es -1. La varianza del portafolio de inversión se expresa como: (1.20) Sí, = 1, por tanto,, factorizando el binomio cuadrado perfecto y que muestra la ecuación: (1.21) Sustituimos, w 2 = (1 w 1 ), en la ecuación 1.21, se tiene: (1.22) Despejando w 1 : w 1, reexpresando, la ecuación 1.22 del rendimiento esperado del portafolio de inversión, y si sustituimos w 2 = (1 w 1 ) indica y reemplazando w 1 en esta ecuación, se expresa. 16

36 (1.23) Factorizando la ecuación 1.23, resulta,, que esta expresión representa la línea recta de pendiente, la cual es positiva puesto que y.esto quiere decir, que los activos que forman el portafolio que está en la frontera eficiente tienen en correlación positiva perfecta, el portafolio de mínimo riesgo es el que está compuesto únicamente por el activo X 1 que se representa en el punto C de la figura 1.6, es decir, la diversificación en este caso no existe porque el portafolio lográ reducir el riesgo de los activos individuales, como se muestra a continuación: Figura 1.6 Frontera eficiente con correlación positiva perfecta C Fuente: Elaboración propia con información de Markowitz Sí la correlación del portafolio de inversión es, el portafolio de dos activos tiene la varianza que se expresa en la ecuación (1.24) Factorizando el trinomio cuadrado perfecto, se llega a la expresión

37 (1.25) La raíz cuadrada de la ecuación 1.25, expresa que la desviación estándar puede ser positiva o negativa, y por definición la desviación estándar no negativa, por tanto, se expresa de la siguiente manera: (1.26) La desviación estándar del portafolio de inversión debe ser el valor absoluto de la diferencia de, por consiguiente, los resultados de la raíz son determinantes parar la pendiente de la frontera eficiente, cuando, y se sustituye en la ecuación 1.26, se tiene lo siguiente: (1.27) La ecuación 1.27, se representa como única variable a W 1, mientras que son los parámetros de riesgo de estudio. Esto significa que la ecuación toma el signo negativo cuando, es decir, si +, entonces, por tanto, esta condición no es negativa cuando, puesto que,, entonces. Para que la desviación estándar no sea negativa debe cumplir dos condiciones: Condición 1. Si,, entonces, por tanto, 18

38 Condición 2. Si,, entonces,, por tanto, cuando se reemplaza, en la ecuación de rendimiento esperado del portafolio de inversión,, esto es: Si, ) entonces, se tiene. (1.28) Ahora bien, si, rendimiento esperado del portafolio, se obtiene:, se sustituye nuevamente en el (1.29) Desarrollando los productos y factorizando, si,, entonces resulta: (1.30) Ahora bien, se desarrolla y se factoriza, si,, en el rendimiento esperado medio del portafolio, se obtiene: (1.31) Las ecuaciones 1.30 y 1.31, representan una línea recta con pendiente negativa y otra con pendiente positiva, expresan el riesgo y rendimiento del portafolio, que depende del valor, que se muestra en la figura

39 Figura 1.7 Frontera eficiente con correlación negativa perfecta A C B 0 Fuente: Elaboración propia con información de Markowitz (1991) La figura 1.7, ilustra la frontera eficiente de un portafolio de dos activos con correlación negativa perfecta. El portafolio de inversión con máximo rendimiento esperado, es el compuesto solo por el activo que es el activo de mayor rendimiento y se representa en el punto B. El portafolio de inversión de mínimo riesgo se representa en la figura 1.8, que corresponde al punto de la desviación estándar nula que corresponde al punto A. En este portafolio, ya que, si, entonces. Para este, caso en particular de inversión en acciones sin riesgo ocurre solamente cuando se esta en presencia de correlación perfectamente negativa, y necesariamente requiere la combinación de diferentes activos individuales. A diferencia del caso de correlación perfectamente positiva, aquí se logran encontrar portafolios con desviación estándar inferior a la menor desviación de los activos individuales, todos los portafolios comprendiendo entre A y C, sin incluir B y C. 20

40 Figura 1.8 Frontera eficiente al considerar correlación B A C Correlación -1 Correlación +1 0 Fuente: Elaboración propia con información de Markowitz Sin embargo, no es común encontrar portafolios de inversión perfectamente correlacionados de manera positiva ó negativa, sino que es más frecuente que los activos presenten un valor de correlación entre -1 y 1. En general, para cualquier valor que tome el coeficiente de correlación en el intervalo [-1,1], los portafolios de inversión se localizan dentro del triángulo BAC. Así el conjunto factible de portafolios comprende el área de este triángulo. A excepción de los dos casos extremos de correlación ( =1 y = -1), la forma de representar el riesgo rendimiento de la frontera eficiente es a través de una hipérbola localizada dentro del conjunto factible BAC (figura 1.9). Figura 1.9 Representación de la frontera eficiente a partir de una función hiperbólica 0 Fuente: Elaboración propia con información de Markowitz 21

41 La figura 1.9, muestra que la hipérbola de lado izquierdo no es rentable, puesto que la desviación estándar por definición no es negativa. Así mismo, la hipérbola que representa la frontera eficiente se localiza a la derecha del eje vertical en los cuadrantes I y IV del plano cartesiano. El coeficiente de correlación de los rendimientos esperados de los activos toma cualquier valor entre -1 y 1 como se ilustra en la figura Es decir, cuando no se considera un valor extremo se tiene el intervalo (1,-1), por lo tanto, la frontera eficiente que se tiene corresponde a una función hiperbólica. Cuando tiene a -1, la curva del portafolio eficiente se alejara más, acercándose al eje vertical, específicamente hacia el punto A. Por lo contrario, cuando se acerca a 1, la curva eficiente se estira menos, alejándose menos de la recta BC. 22

42 Figura 1.10 Rendimiento esperado del portafolio de inversión A C B 0 Fuente: Elaboración propia con información de Markowitz Markowitz, explica que cuando el número de activos financieros que compone el portafolio es mayor de dos de activos, la forma de la frontera eficiente sigue siendo similar a la figura Es decir, el conjunto eficiente del portafolio de inversión comprende el área entre A, B y C de la figura 1.11, tiene forma de sombrilla indicándose el portafolio de máximo y mínimo rendimiento esperado que esta constituido únicamente por el activo individual de mayor y menor rendimiento esperado entre los N activos del portafolio (punto B y C). 23

43 Figura 1.11 Frontera eficiente del portafolio de inversión B 1 5 C 2 0 A 3 C Fuente: Elaboración propia con información de Markowitz En la figura 1.11, se observa en el portafolio que muestra diferentes combinaciones de activos y portafolios infinitos, generando así el conjunto eficiente en forma de sombrilla. Los portafolios ubicados entre los puntos A y C, sin incluir el portafolio A, no hace parte del conjunto de la frontera eficiente, puesto que son dominados de acuerdo por el axioma de la media y la varianza por los portafolios comprendidos entre A y B. De igual forma, los portafolios ubicados entre B y C son dominados. De este modo, la frontera eficiente corresponde a la curva entre A y B. 1.3 Determinación matemática de la frontera eficiente La determinación matemática de los portafolios de inversión eficientes, se basan de acuerdo con el axioma de la media y la varianza, puesto que no siempre el portafolio de mínima varianza alcanza el nivel de rendimiento esperado. Es decir, el máximo rendimiento esperado alcanza un mayor nivel de riesgo (varianza). Para este problema debe darse valores por encima del rendimiento esperado del portafolio del mínimo riesgo, para que este portafolio sea el punto de inflexión en la frontera eficiente del punto de los portafolios ineficientes. Arriba de A, todo portafolio mínimo de 24

44 riesgo a cada nivel de rendimiento esperado es el de máximo rendimiento en cada nivel de riesgo, como se presenta en la figura Figura 1.12 Conjunto eficiente de Markowitz A Fuente: Elaboración propia con información de Markowitz El portafolio de inversión con el mínimo riesgo se determina resolviendo el problema: ). Para resolver la minimización del riesgo del portafolio de inversión se define: Minimizar (1.33) Sujeto a En función del método Lagrange resulta: (1.34) 25

45 Considerando las condiciones de primer orden se expresan las siguientes ecuaciones: (1.35) (1.36) (1.37) (1.38) El sistema de n+1 ecuaciones con n+1 incógnitas resuelve los ponderadores y el multiplicador de lagrange, el problema se representa matricialmente como se muestra a continuación en la matriz 1.39: * = 0 0 El vector solución de la matriz de la expresión (1.39) se obtiene lo siguiente: * 0 0 (1.40) 26

46 Significa que el vector solución, es único siempre que, tenga inversa. Entonces, el riesgo y el rendimiento del portafolio de inversión corresponden al mínimo riesgo ya que está dado por las siguientes expresiones: (1.41) (1.42) Donde,, son las proporciones del portafolio de inversión con mínimo riesgo, es decir, la matriz de varianza y covarianza. Markowitz, explica que para construir la frontera eficiente de un portafolio de inversión óptimo, se debe analizar el rendimiento esperado por parte del inversionista ( donde el subíndice K representa un portafolio del universo de probabilidades del nivel de riesgo seleccionado. Resolviendo el problema de la ecuación 1.41, se tiene lo siguiente: Minimizar, Sujeto a ; (1.43) La expresión 1.43, representa un modelo no lineal, para minimiza el problema de optimización del portafolio de inversión se recurre al multiplicador de Lagrange. 27

47 Aplicando las condiciones de primer orden, para describir el mínimo riesgo dado un nivel de rendimiento esperado del portafolio se tiene lo siguiente: (1.44) (1.45) (1.46) (1.47) (1.48) Estas condiciones constituyen un sistema de n+2 ecuaciones con n+2 incógnitas y dos multiplicadores de Lagrange. Los sistemas de ecuaciones que comprende de la ecuación 1.44 a la ecuación 1.48, se expresa de forma matricial de acuerdo a la ecuación k (1.49) 28

48 Si de la matriz 1.49 se multiplica por, se obtiene: (1.50) El vector constituye la combinación óptima del portafolio de inversión que se ubica en la frontera eficiente para un nivel seleccionado de rendimiento esperado del portafolio, que se denota con la matriz 1.50 de la forma: (1.51) (1.52) (1.53) En donde, las constantes de las ecuaciones 1.51, 1.52 y 1.53, son a 1 y b 1. Por tanto, el sistema de ecuaciones tiene una variable exógena y el rendimiento esperado del portafolio es. Es decir, para construir la frontera eficiente de Markowitz, el inversionista da un valor particular a y este sistema de ecuaciones le determina al inversionista un portafolio con una mínima varianza a ese nivel de rendimiento de 29

49 1.4 Maximización de la utilidad esperada del modelo media varianza Markowitz, explica que el inversionista racional escoge entre un conjunto de portafolio, a aquel que se encuentra ubicado en la frontera eficiente. Por otra parte, el máximo rendimiento esperado del modelo mediavarianza, que permite localizar el punto de tangencia de la frontera eficiente de Markowitz con la curva de indiferencia del inversionista dado a nivel de riesgo seleccionado. William Sharpe (1962), desarrolló un modelo de expresiones para la curva de indiferencia: consistentes con el axioma de la media desviación estándar, que describe la ecuación 1.54: UE = con (1.54) La ecuación 1.54, establece que la utilidad esperada se encuentra en relación directa con el rendimiento esperado del portafolio y en relación inversa con el riesgo del mismo; ello es consistente con el modelo de la media y la varianza, en el cual el inversionista amante del rendimiento y adverso al riesgo en general, se asume que todos los inversionistas tienen este comportamiento; no obstante lo que diferencia a uno de otros es su tolerancia al riesgo la cantidad de riesgo que esta dispuesto a aceptar, por una unidad de rendimiento adicional. En efecto, t denota la tolerancia al riesgo, la cual determina el grado de pendiente de la recta de indiferencia. Un mayor valor de t indica mayor tolerancia al riesgo. Adicionalmente, la ecuación 1.54, supone por simplicidad que los inversionistas presentan tolerancia al riesgo constante, por lo que las preferencias pueden representarse por rectas de indiferencia. Sin embargo, si el riesgo es medido por la desviación estándar en lugar de la varianza, las curvas de indiferencia son convexas (figura 1.13). 30

50 Figura 1.13 Maximización de las preferencias del portafolio de inversión A Fuente: Elaboración propia Maximizando la ecuación 1.20, se obtiene lo siguiente: w 1, w 2,, w n Sujeto a : (1.55) El problema de maximización del rendimiento (ecuación 1.55), es equivalente al problema de minimizar su valor negativo. Sujeto a: w 1, w 2,, w n ; (1.56) 31