Segmentación de objetos en movimiento utilizando GPCA, técnicas algebraicas y flujo óptico para aplicaciones en espacios inteligentes

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1 Segmetacó de obetos e movmeto utlzado GPCA, téccas algebracas y fluo óptco para aplcacoes e espacos telgetes Crsta Losada, auel azo, Sra Palazuelos Departameto de Electróca. Uversdad de Alcalá Alcalá de Heares, adrd, España losada@depeca.uah.es Abstract E este trabao se aborda el tema de la segmetacó de obetos e movmeto utlzado téccas de Aálss de Compoetes Prcpales Geeralzado (G- PCA), uto co métodos basados e álgebra leal para la obtecó del fluo óptco. Para ello se propoe, preva a la obtecó del fluo óptco (y e cosecueca la segmetacó), realzar ua seleccó de los píxeles que so caddatos a perteecer a obetos e movmeto. Posterormete, sobre estos píxeles caddatos se aplca téccas basadas e el algebra leal para la obtecó del fluo óptco de cada uo de los obetos caddatos. Esta propuesta ha sdo mplemetada e u espaco telgete dotado de múltples cámaras y se ha realzado dversas pruebas. Dchas pruebas ha puesto de mafesto la valdez de la propuesta y la otable meora que supoe, e cuato a la precsó de la segmetacó y el tempo de procesameto, s se compara co otras propuestas e las que se utlza úcamete el algortmo algebraco para la obtecó del fluo óptco de los obetos detro de la escea.. ODUCCÓ La segmetacó de obetos e movmeto es ua tarea fudametal para el aálss de secuecas de mágees y cosste e agrupar la formacó presete e las msmas e coutos de píxeles cuyo movmeto e el plao mage es coherete a lo largo de ua secueca. Y todo ello s teer u coocmeto prevo acerca de qué píxeles de la mage se mueve de acuerdo a u determado modelo de movmeto. El aálss de movmeto e secuecas de mágees dgtales tee u gra terés para ua ampla gama de aplcacoes de la vsó artfcal, tales como robótca móvl, motorzacó de tráfco, vglaca, regstrado de mágees, etc. Exste e la lteratura dferetes téccas que trata de aalzar y extraer formacó sobre el movmeto de los obetos e ua escea. Las prmeras aproxmacoes para segmetacó de movmetos 2D so las basadas e dscotudades e el fluo óptco [], [2], pero estas téccas preseta dferetes coveetes dervados tato del problema de apertura, como de la preseca de rudo e las estmacoes del fluo óptco. La segmetacó del movmeto ha estado tradcoalmete lgada co la deteccó de movmeto, e la que cada regó correspode a u modelo partcular de movmeto que explca los cambos temporales e dcha regó de la mage [3], [4]. ambé se ha realzado dferetes propuestas para segmetacó de movmeto basadas e clusterg [5], [6]. S embargo, e cualquera de los casos aterores es ecesaro teer u coocmeto a pror del úmero de obetos e movmeto presetes e la escea, lo cual o sempre es posble. E [7] y [8] se propoe u algortmo de segmetacó de obetos co modelos de movmeto afí basado e la técca matemátca GPCA (Geeralzed Prcpal Compoets Aalyss) que permte segmetar obetos e movmeto s coocmeto prevo del úmero de obetos presetes e la escea. Este algortmo se descrbe brevemete e el sguete apartado. Hay que dcar que está técca matemátca está basada e el algebra leal pero e la lteratura també se le cooce por PCA geeralzado. E lo que sgue se dferecara, por tato dos tpos de téccas de Aálss de Compoetes Prcpales Geeralzado, uo que detfcaremos por G-PCA [0] y otro por GPCA (este últmo també lo detfcaremos como basado e el álgebra leal). Hay que advertr que G-PCA propuesto e [0], a pesar de la cocdeca e el ombre, o guarda relacó co la técca GPCA de [7] y [8].. SEGEACÓ DE OVEOS AFES 2D ULZADO ÉCCAS DE GPCA (ALGEBA LEAL) Dado u couto de meddas {( x, y ) = correspodetes a u úmero descoocdo de movmetos afes, la técca matemátca GPCA permte obteer el úmero de movmetos y los parámetros de cada movmeto afí { Α =, así como realzar la segmetacó de las mágees meddas e fucó de los modelos de movmeto estmados, 3 sedo y = [ x ] x 2 t u vector que cotee las dervadas espacales y la dervada temporal etre dos 2 mágees, y x P las coordeadas homogéeas de los píxeles.

2 Cualquer medda e la mage (x, y) asocada co algú movmeto debe satsfacer la restrccó afí multcuerpo (), que reduce el problema de segmetacó a obteer el úmero de movmetos afes y los parámetros de dchos movmetos a partr de la ecuacó o leal: ( x,y) ( y A x) = 0 ε = () = Dada la estructura de esta ecuacó, es posble utlzar la mersó de Veroese de grado, v : 3 para reescrbrla e forma bleal: v ( y) Av ( x) = 0 (2) sedo A la matrz afí multcuerpo que represeta el producto tesoral smétrco de todas las matrces afes { A =. La restrccó ateror puede rescrbrse: v y x a = L a = (3) ( ( ) ( )) 0 v dode dca producto tesoral. La expresó (3) permte calcular el úmero de movmetos mpoedo ua restrccó sobre el rago de la matrz L de forma que el sstema de ecuacoes (3) tega solucó úca. Coocdo el valor de, la matrz afí multcuerpo A se obtee resolvedo el sstema de ecuacoes leales e a. Como se demuestra e [7], GPCA os permte recuperar el fluo óptco { u = a partr del fluo óptco multcuerpo u = Av ( x) de forma seclla co cualquera de los algortmos para hperplaos propuestos e [9] y posterormete recuperar los modelos de movmeto afí dvduales, así como realzar la segmetacó de movmeto. Como ya se ha cometado, esta propuesta para segmetacó de movmeto tee alguas vetaas ya que o requere u coocmeto prevo del úmero de modelos de movmeto presetes e la escea (proporcoa u método para calcularlo). S embargo, auque el problema es o leal, el algortmo propuesto está basado e téccas del álgebra leal tras realzar el embebdo de los datos medate la mersó de Veroese. Esto provoca que, a pesar de que la solucó propuesta es algebracamete correcta, la estmacó de la matrz afí multcuerpo o es robusta e preseca de rudo e las meddas de la mage. E [7] se propoe tratar las meddas rudosas realzado u proceso de optmzacó que mmce ua fucó del error algebraco defda por la restrccó afí multcuerpo, medate téccas de mmzacó o leal, utlzado el algortmo algebraco para la calzacó. S embargo, dada la aturaleza del problema, a medda que el rudo aumeta, el tempo de covergeca del algortmo també aumeta. Por otro lado, també es posble que la mmzacó devuelva ua solucó local, e lugar de la solucó global del problema. Por esto o resulta adecuado para realzar la segmetacó de forma robusta, especalmete e casos e que exste restrccoes de tempo.. SELECCÓ DE PÍXELES CADDAOS EDAE AÁLSS DE COPOEES PCPALES A la vsta de los problemas que preseta la solucó ateror, dervados de la preseca de rudo e las dervadas espacales y temporales ( x, x2 e t ) obtedas a partr de las mágees captadas, y dado que e uestro caso las mágees de la escea so captadas por ua cámara que permaece fa e el etoro e que se mueve el robot, se propoe realzar ua seleccó preva de aquellos píxeles que so caddatos a perteecer a obetos e movmeto para, posterormete aplcar el algortmo defdo e [7] y [8] pero úcamete sobre los píxeles seleccoados. La seleccó de píxeles se realza, medate la obtecó de u modelo de fodo, que luego se compara co cada ua de las mágees tomadas por la cámara utlzado téccas de Aálss de Compoetes Prcpales [9]. Dada la estructura del problema, se ha decddo utlzar el algortmo de Aálss de Compoetes Prcpales Geeralzado [0] (G-PCA) La vetaa de G-PCA sobre el clásco PCA radca e que el prmero emplea ua represetacó matrcal (e lugar de vectoral) de los datos, lo que permte cosegur ua reduccó e los requermetos de memora así como ua dsmucó del tempo de eecucó. mágees del fodo =.. mage de etrada Obtecó de matrces de trasformacó G-PCA Cálculo y umbralzacó del error de recuperacó Proceso off-le Proceso o-le Segmetacó de obetos e movmeto Fg.. Dagrama de bloques para la seleccó de píxeles caddatos Como se puede observar e la Fg., el algortmo de seleccó de caddatos costa de dos etapas dferetes que se descrbe a cotuacó. A. Obtecó del modelo de fodo E la prmera etapa del algortmo, la técca G-PCA permte obteer dos matrces de trasformacó L y a partr de u couto de mágees del fodo { =, sguedo los pasos represetados e el dagrama de bloques de la Fg. 2, de forma que sea posble proyectar cualquer mage del fodo al espaco trasformado G- PCA, coservado las característcas prcpales de dcha mage.

3 = = (4) = =.. (5) El prmer paso para la obtecó del modelo de fodo es estmar la meda de las mágees (4) y a cotuacó restar a cada ua de las mágees la matrz calculada (5). = = LL (6) L = = (7) dode L y se actualza e cada teracó del algortmo, y depede de los autovectores de las d L d matrces y L, ({ φ = y { φ = ) obtedas e la teracó ateror: = [ φ φd ] (8) L L L = [ φ φd ] (9) El úmero de autovectores d, cocde además co la dmesó del espaco trasformado. B. Seleccó de píxeles caddatos Fg. 2. Couto de mágees del fodo de la escea. Estas mágees a las que se les ha sustraído la meda so las que se utlzara e el algortmo, cuyas etapas se preseta e la Fg. 3, dode se puede observar que, tras la calzacó, se etra e u proceso teratvo que falza cuado se alcaza u crtero de covergeca del SE determado por la varable η. La covergeca del algortmo vee garatzada por el teorema 4.2 defdo e [0]. Fg. 3. fodo O calzacó de varables: = 0; L0 = SE( ) = (,0) Dagrama de bloques del proceso de obtecó del ambé es mportate el úmero de autovectores utlzados para obteer las matrces y L, defdas segú las ecuacoes (6) y (7): d Autovectores asocados a los d mayores autovalores de = = L L φ = +; = [ φ φ ] L L L [ φ φ ] d ; d { = Autovectores asocados a los d mayores autovalores de L L d L = = { φ = SE( ) = LL = SE ( ) SE ( ) η S Datos de salda: L = L, = d 2 F E esta seguda etapa (Fg. 4) se compara el modelo de fodo obtedo co cada par de mágees que se quere segmetar para, de esta forma, determar qué píxeles so caddatos a perteecer a obetos que ha etrado e la escea después de haber tomado las mágees del fodo. Estos elemetos puede ser tato robots cotrolados por el espaco dode se mueve (agetes cotrolados), como agetes co movmeto o cotrolado o, cluso uevos elemetos fos, que se ha troducdo e la escea después de captar las mágees utlzadas para obteer el modelo de fodo, y brllos o refleos debdos a cambos e la lumacó. mágees de etrada e 2 Dervadas,, ) f f f ( x y t atrces de trasformacó L, rasformacó L ( ) = ecuperacó = L + ε = φ ˆ φ Fg. 4. Dagrama de bloques del proceso de seleccó de píxeles caddatos Para la comparacó de las uevas mágees co el modelo de fodo e prmer lugar, se trasforma la mage, utlzado las matrces L y obtedas aterormete (0) y a cotuacó se recupera (): = L ( ) (0) ˆ = L + () El error de recuperacó se defe como la dfereca etre la mage orgal y la recuperada, y puede obteerse de forma drecta restado la mage recuperada de la orgal, de forma que el error de recuperacó e el píxel de coordeadas (w,) se defe segú la ecuacó (2) dode es el valor del píxel e la mage orgal e Î su valor e la mage recuperada. Umbral sobre ε Obtecó de X e Y X Y

4 ε = ˆ (2) S embargo, esto es poco robusto al rudo. Por ello se defe ua vetaa e toro a cada píxel de la mage y se obtee el error de recuperacó para esa vetaa. S se defe vetaas cuadradas de qxq píxeles y se detfca por Ф y Φˆ para la mage orgal y recuperada respectvamete. El error de recuperacó asocado al píxel cetral de la vetaa y cuyas coordeadas so (w, ) se determa como: ε = Φ Φˆ (3) El valor del error de recuperacó depede fuertemete del úmero de autovectores utlzados e la geeracó del modelo de fodo, ya que, a medda que d aumeta, se coserva más compoetes prcpales e la trasformacó de forma que al perderse meos catdad de formacó, el error de trasformacó també debe dsmur. mportate etre las mágees utlzadas e la geeracó del modelo, y las que se quere segmetar. Además, se observa que, como cabía esperar, a medda que aumeta el úmero de autovectores, dsmuye el error de recuperacó. Este efecto o se da e los putos del fodo, debdo a las característcas del aálss de compoetes prcpales geeralzado (G- PCA) ya que es capaz de trasformar las mágees que so smlares a las utlzadas e la geeracó del modelo, co la míma pérdda de formacó, cluso utlzado pocos autovectores. Autovectores Fodo obot abla. Error de recuperacó obtedo e fucó del úmero de autovectores cosderados Los píxeles caddatos a perteecer a obetos e movmeto será aquellos e los que el valor de recuperacó obtedo supere u determado umbral, ya que esto dcará que, e esos píxeles, exste ua dfereca mportate co respecto a las mágees del fodo utlzadas para la obtecó del modelo. C. Segmetacó de obetos e movmeto Fg. 5 (a) mage de etrada (b) Error de recuperacó mage de etrada y error de recuperacó. E la Fg. 5 se puede aprecar que, co las mágees empleadas e uestras pruebas, al represetar el error de recuperacó aparece varas zoas dferetes. Para comprobar el efecto del úmero de autovectores e el error de recuperacó, se ha meddo los valores de dcho error tato e píxeles perteecetes al fodo, como e píxeles que perteece al robot. El resultado se preseta e la abla, dode se puede aprecar que exste ua gra dfereca etre el error de recuperacó obtedo e píxeles que perteece al fodo de la mage, y el meddo e píxeles sobre el robot, debdo a que e estos últmos se ha producdo u cambo Para la segmetacó de movmeto se emplea el algortmo algebraco propuesto e [7], utlzado como datos de etrada úcamete las meddas X = [ x x2 ] =.. e Y = [ x x2 t ] =.. e los píxeles caddatos seleccoados empleado la técca propuesta e el apartado B. X Y Calcular el º de movs. GPCA Obteer las matrces afes dvduales Obteer la matrz afí multcuerpo A Calcular el fluo óptco U Segmetacó Seleccoar muestras que perteece a obetos e movmeto Fg. 6. Etapas del proceso de segmetacó de obetos e movmeto Como se puede observar e la Fg. 6, además de las etapas descrtas e [7], se ha añaddo u segudo proceso de seleccó de muestras, empleado como crtero el movmeto de las msmas. Esto se realza medate u fltrado sobre las compoetes de velocdad e el plao mage.

5 V. ESULADOS Para comprobar las prestacoes del algortmo propuesto se ha comparado los resultados que proporcoa esta solucó co los obtedos medate el algortmo [7]. odas las pruebas ha sdo realzadas utlzado u equpo tel Core 2 CPU 6600 a 2.40GHz co 3.50 Gb de A. E uestro caso el obeto a segmetar es u robot móvl, y para todas las pruebas que se preseta aquí, se ha utlzado 5 mágees del fodo, y u úco autovector para obteer las matrces de trasformacó L y. Los resultados obtedos al segmetar varas mágees e las que aparece el robot se preseta e Fg. 7 y Fg. 8. E la prmera de ellas se muestra el resultado obtedo al segmetar tres mágees de ua secueca e las que aparece el robot desplazádose a través de la escea. Se puede observar cómo, al realzar ua seleccó preva de los píxeles, se reduce la deteccó de falsos putos, esto es, putos estátcos que se cosdera co el msmo movmeto que el robot (putos detectados que está fuera del robot), meorado de esta forma el resultado de la segmetacó. Co seleccó de píxeles caddatos S seleccó de píxeles caddatos mágees de etrada Fg. 7. Eemplos de resultados de segmetacó obtedos co y s seleccó preva de píxeles caddatos Por otro lado, e la Fg. 8 se ha represetado el tempo de eecucó cosumdo para la segmetacó de dferetes pares de mágees de etrada. E la mage superor se preseta los tempos tato para los dos algortmos explcados e este artículo, como para el caso de utlzar el algortmo de Hor & Schuk [] para la estmacó del fluo óptco, y a cotuacó la técca basada e GPCA para la segmetacó de movmeto.(fg. 6) a partr de la etapa de seleccó de píxeles. etras que e la feror se ha represetado úcamete los tempos del algortmo basado e GPCA co, y s la etapa de seleccó de píxeles para poder aprecar la dfereca etre ambos casos. E estas fguras també se observa ua meoría al troducr la etapa preva de seleccó de píxeles, ya que se produce ua reduccó e el tempo de eecucó ecesaro para la obtecó del resultado de la segmetacó. A la vsta de los resultados aterores se puede decr que el hecho de troducr ua etapa preva a la segmetacó, e la que se seleccoa los píxeles que puede perteecer a obetos e movmeto presetes e

6 la escea, provoca ua meora, tato e la precsó de la segmetacó, como e el tempo de cómputo ecesaro. empo (segudos) empo (segudos) GPCA co seleccó de píxeles GPCA s seleccó de píxeles Algortmo de Hor & Schuk y GPCA úmero de mage Co seleccó de píxeles S seleccó de píxeles úmero de mage Fg. 8. empos de eecucó del algortmo de segmetacó para cada par de mágees de etrada V. COCLUSOES Actualmete exste dferetes alteratvas que permte realzar la segmetacó de los modelos de movmeto presetes e ua escea, pero todas ellas preseta problemas que o las hace adecuadas e los casos e que se requera ua segmetacó robusta. La técca matemátca GPCA permte realzar la segmetacó de movmeto s ecesdad de coocer de forma preva el úmero de obetos e movmeto presetes e la escea, s embargo, su comportameto se degrada rápdamete e preseca de rudo e las dervadas de las mágees. Para tratar de dsmur el efecto del rudo, es posble resolver el problema de segmetacó aplcado téccas de mmzacó o leal sobre ua fucó de error defda por la restrccó afí multcuerpo, pero dada la aturaleza del problema, los resultados obtedos por este método tampoco so completamete satsfactoros, co la desvetaa añadda del aumeto e el tempo de proceso. E este trabao se ha propuesto ua alteratva que permte la segmetacó de uo o varos obetos e movmeto presetes e ua secueca de mágees tomadas por ua cámara, troducedo ua etapa preva a la segmetacó e la que, medate u técca de Aálss de Compoetes Prcpales Geeralzado (G- PCA) se realza ua seleccó de los píxeles caddatos a perteecer a obetos e movmeto presetes e la mage. E las pruebas realzadas, se ha puesto de mafesto que el hecho de troducr esta etapa de seleccó de forma preva a la segmetacó meora otablemete los resultados obtedos, reducédose además el tempo de proceso ecesaro para la segmetacó. AGADECEOS Este trabao ha sdo posble gracas a la facacó del stero de Educacó y Ceca (EC) a través del proyecto ESELA (EF C02-0). EFEECAS [] Black,. ad Aada, P. obust dyamc moto estmato over tme. Proceedgs of the EEE teratoal Coferece o Computer Vso ad Patter ecogto. Jue 99. Page(s): [2] Ya, H.; ahad,.; ultple moto segmetato through a hghly robust estmator. EEE teratoal Coferece o Systems, a ad Cyberetcs Oct Page(s): [3] Darrell,.; Petlad, A. obust estmato of a multlayered moto represetato. Proc. of the EEE Workshop o Vsual oto. 99. Page(s): [4] Wess, Y. A ufed mxture framework for moto segmetato: corporatg spatal coherece ad estmatg the umber of models. Proceedgs of the EEE teratoal Coferece o Computer Vso ad Patter ecogto Page(s): [5] Costera, J. ad Kaade,. A multbody factorzato method for depedetly movg obects. teratoal Joural of Computer Vso. Volume 29, umber 3. September 998. Page(s): [6] Kaata, K. oto Segmetato by Subspace Separato ad odel Selecto. Proceedgs of the 8th EEE teratoal Coferece o Computer Vso 200. Volume 2, Page(s): [7]. Vdal ad S. Sastry. Segmetato of Dyamc Scees from mage testes. EEE Workshop o Vso ad oto Computg. Page(s): [8] Vdal,.; Y a; Sastry, S.; Geeralzed prcpal compoet aalyss (GPCA). EEE rasactos o Patter Aalyss ad ache tellgece, Volume 27, ssue 2, Dec Page(s): [9] urk,., Petlad, A., Egefaces for recogto, Joural of Cogtve euroscece, Vol.3, pp (99). [0] Ye, Jepg; Jaarda, av; L, Q. GPCA: a effcet dmeso reducto scheme for mage compresso ad retreval. Proceedgs of the 0th AC SGKDD teratoal coferece o Kowledge dscovery ad data mg Pages: [] [Hor & Schuck 98] Hor, B.K.P. ad Schuck, B.G,. Determg Optcal Flow. Artfcal tellgece, º 7. Page(s): (98).

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