CONTENIDO FUERZAS CONSERVATIVAS Y NO CONSERVATIVAS. Campos escalares y vectoriales. Gradiente y rotacional. Campos conservativos.
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- Rosa María Páez Morales
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1 CONTENIDO FUERZS CONSERVTIVS Y NO CONSERVTIVS Campos escalaes y vectoiales Gadiente y otacional Campos consevativos. Potencial Tabajo ealizado po una fueza consevativa Fuezas no consevativas: Fueza de ozamiento Tabajo ealizado po una fueza no consevativa. Savoini / M.. Monge. Dpto. Física. UC3M Tema 3 1/19
2 ILIOGRFÍ FUERZS CONSERVTIVS Y NO CONSERVTIVS LONSO-FINN, FISIC, Ed. ddison-wesley Ibeoameicana, péndice : Vectoes -. Escalaes y vectoes -.9 Gadiente de una función escala -.10 Integal de línea de un vecto: ciculación plicaciones de las leyes del movimiento: - Fuezas de ficción: Tabajo y enegía: 9.7, 9.8, 9.9, 9.10 y 9.1 SERS, ZEMNSKY, YOUNG, FREEDMN. FÍSIC UNIVERSITRI Peason-ddison Wesley, 1998 Fuezas consevativas y no consevativas : 7-1 al 7-5 Fuezas de Rozamiento: 5-4 Tabajo y Enegía: 6-4 TIPLER, P. FÍSIC PR L CIENCI Y L TECNOLOGÍ Ed Reveté 005 Fuezas de Rozamiento: 5.1, 5., 7. Tabajo y Enegía, Fuezas consevativas y no consevativas: Capítulo 6 SCHUM, M. R. SPIEGEL, NLISIS VECTORIL, Ed. Mc Gaw-Hill Capítulos de Opeadoes Difeenciales e Integación SNIDER, NLISIS VECTORIL, 6ª ed., Ed. Mc Gaw-Hill 199. Pág , , Savoini / M.. Monge. Dpto. Física. UC3M Tema 3 /19
3 CMPOS escalaes y vectoiales FUERZS CONSERVTIVS Y NO CONSERVTIVS Magnitud escala: aquella definida simplemente po su módulo. Ejemplo: tempeatua, pesión, enegía, etc Magnitud vectoial: aquella que paa su definición necesita de además del módulo, su diección y sentido Ejemplo: fueza, velocidad, momento de una fueza, etc CMPO Físicamente epesenta la distibución espacial de una magnitud Campo escala Campo vectoial Matemáticamente: un campo escala es una función escala de las coodenadas y del tiempo, que detemina el valo de una magnitud escala en cada punto del espacio, paa cada instante de tiempo T = T(,y,z,t) Un campo vectoial es una función vectoial de las coodenadas y del tiempo, que detemina el valo de una magnitud vectoial en cada punto del espacio, paa cada instante de tiempo v v(, y, z, t) v v (, y, z, t) v v (, y, z, t) v v (, y, z, t) y y z z. Savoini / M.. Monge. Dpto. Física. UC3M Tema 3 3/19
4 CMPOS ESCLRES: epesentación FUERZS CONSERVTIVS Y NO CONSERVTIVS Se epesentan mediante el valo de la función o mediante las SUPERFICIES EQUIPOTENCILES SUPERFICIES EQUIPOTENCILES: luga geomético de los puntos que cumplen que la función es constante. Se constuyen uniendo los puntos en donde la función tiene el mismo valo. 18ºC 4ºC 4ºC Ejemplo: isotemas 0ºC 6ºC T 3 ºC 8ºC T T 1 T 1 > T > T 3. Savoini / M.. Monge. Dpto. Física. UC3M Tema 3 4/19
5 GRDIENTE 3 3 > > 1 d = 0 FUERZS CONSERVTIVS Y NO CONSERVTIVS Si en el punto P(,y,z) la función vale (,y,z), en el punto P (+d, y+dy, z+dz) Cuánto vale la función? d d dy dz y z d l pasa de P a P, la función epeimenta una vaiación d que viene dada po: Se define Gadiente de la función escala i j k y z 1 Po tanto podemos escibi: d d El gadiente es un vecto que tiene la diección en la que la vaiación de la función es máima, y su sentido es hacia los valoes cecientes. Es pependicula en cada punto a la supeficie de nivel en dicho punto. Savoini / M.. Monge. Dpto. Física. UC3M Tema 3 5/19
6 CMPOS VECTORILES FUERZS CONSERVTIVS Y NO CONSERVTIVS 0 cm/s 30 cm/s 40 cm/s v (,y,z) F k u F = -kyi + kj. Savoini / M.. Monge. Dpto. Física. UC3M Tema 3 6/19
7 CMPOS VECTORILES: epesentación Se epesentan mediante las LÍNES DE CMPO. FUERZS CONSERVTIVS Y NO CONSERVTIVS LÍNES DE CMPO: quellas cuvas cuya tangente en cada punto es paalela al campo en dicho punto. (,y,z). Savoini / M.. Monge. Dpto. Física. UC3M Tema 3 7/19
8 ROTCIONL El otacional del campo vectoial S se calcula: S=C FUERZS CONSERVTIVS Y NO CONSERVTIVS SIGNIFICDO: Paa visualizalo imaginemos que S epesenta el flujo de un fluido, y que tenemos un sólido inmeso en ese fluido. Po efecto del movimiento del fluido, el sólido está giando. El valo del otacional de S en un punto es popocional al vecto velocidad angula del sólido en ese punto. S=0 Si en un punto significa que el fluido no poduce otaciones en ese punto, es deci no foma emolinos. Si colocamos una ueda con aspas ígidas en el fluido, el fluido la tasladaá con él, peo no lo haá gia alededo de su eje. Si S=0 en todos los puntos del espacio, el campo se llama iotacional. SE CUMPLE QUE EL ROTCIONL DEL GRDIENTE DE UN CMPO ESCLR ES CERO. Savoini / M.. Monge. Dpto. Física. UC3M Tema 3 8/19
9 CIRCULCIÓN FUERZS CONSERVTIVS Y NO CONSERVTIVS Sea un campo vectoial F, y L una tayectoia cualquiea. Si d es un elemento de línea de la tayectoia L, entonces la ciculación C de F a lo lago de la tayectoia ente los puntos y es: F (,y,z) d F F i F y j F k z dc d F F es deci d cos F dc d d di dyj dzk C F d C F d F dy y F dz z Si F es una fueza, la ciculación ente y tiene el significado del tabajo W ealizado po la fueza a lo lago de la tayectoia L, ente los puntos y. Savoini / M.. Monge. Dpto. Física. UC3M Tema 3 9/19
10 Ejemplo FUERZS CONSERVTIVS Y NO CONSERVTIVS Ejecicio: Calcula la ciculación del campo de fuezas 1 L ente los puntos (0,1) y (1,0) m y 1 / F(, y, z) yi j N 1 / Como dy d dz / 1 1/ y z ( ) 0 0 a lo lago de la tayectoia C F d F dy F dz yd dy 1 d d / 3/ d 1 J Po tanto hemos calculado el tabajo ealizado po la fueza (0,1) y (1,0) m po el camino definido po la tayectoia F(, y, z) yi j N paa i desde el punto. Savoini / M.. Monge. Dpto. Física. UC3M Tema 3 10/19
11 Tabajo y Enegía Cinética FUERZS CONSERVTIVS Y NO CONSERVTIVS El tabajo ealizado po todas las fuezas que se ejecen sobe un cuepo es igual a la vaiación de su enegía cinética. Como: F m a dp dt W F d dp d W F d d dp dp v dt dt 1 mdv v mvdv mv v E CIN W (de todas las fuezas que se ejecen sobe una patícula) E CIN. Savoini / M.. Monge. Dpto. Física. UC3M Tema 3 11/19
12 CMPOS CONSERVTIVOS FUERZS CONSERVTIVS Y NO CONSERVTIVS Un campo vectoial es CONSERVTIVO cuando la ciculación del campo ente dos puntos no depende de la tayectoia seguida, sino eclusivamente de las posiciones de los puntos inicial y final. Si el campo vectoial es una Fueza, como la ciculación ente dos puntos tiene el significado del tabajo ealizado paa i de uno de los puntos al oto, el que dicha fueza sea consevativa significa que el valo del tabajo ealizado po la fueza es independiente del camino utilizado, y sólo depende de las coodenadas de los puntos inicial y final. Cómo se compueba si un campo es consevativo o no? Método más ápido: Si S=0 el campo S es consevativo o iotacional Si S(,y,z) es consevativo, se puede obtene a pati del gadiente de un campo escala V(,y,z) S V S ( V) 0 Esta función escala V se la conoce como FUNCIÓN POTENCIL de S. Savoini / M.. Monge. Dpto. Física. UC3M Tema 3 1/19
13 CMPOS CONSERVTIVOS: Ciculación FUERZS CONSERVTIVS Y NO CONSERVTIVS Cuánto vale la ciculación de un campo F consevativo? d d V C F d V d dv V V d Sólo depende del valo de la función potencial coespondiente en los puntos y d F (,y,z) V Si la tayectoia es ceada, es deci los puntos inicial y final coinciden, la ciculación es ceo Recodemos: calcula la ciculación de una fueza es calcula el tabajo que ealiza W Fd F d 0. Savoini / M.. Monge. Dpto. Física. UC3M Tema 3 13/19
14 CMPOS CONSERVTIVOS: Función Potencial FUERZS CONSERVTIVS Y NO CONSERVTIVS Como hemos visto es muy útil conoce la función potencial de la que deiva el campo consevativo Paa el caso conceto de una FUERZ CONSERVTIV, la función potencial de la que deiva, tiene el significado de la ENERGÍ POTENCIL asociada a dicha fueza. Cómo se calcula? U U F U F U, Fy, Fz y z U F d o U F d o U F dz y z Ejemplo: 3 F ( 3 y z )i yj 4zk U U i j y U k z 3 U (3 y + z )d y z +C(yz) 3 3 U ydy y C(z) U 4zdz z C(y) Tomamos todos los téminos que apaecen (sólo 1 vez) U(,y,z) = - 3 y - z + C. Savoini / M.. Monge. Dpto. Física. UC3M Tema 3 14/19
15 Tabajo y Enegía Potencial FUERZS CONSERVTIVS Y NO CONSERVTIVS Uniendo conceptos: El tabajo ealizado po una fueza consevativa es igual a la disminución de la Enegía Potencial asociada a esa fueza. f f W F i d U U U i f i Y po tanto la enegía potencial se calcula como: f Uf F d Ui i IMPORTNTE: Puesto que U i es una constante, sólo desplaza el valo de U(). Siempe se puede decidi en que punto se pone el oigen de enegías potenciales, es deci donde Ui=0 Fueza Gavitatoia: F z 1 mgk Enegía Potencial Gavitatoia z ( ) f Uf z mgdz U z z mg z z i i Uz i i y Tabajo ealizado po F paa i desde 1 a W 1 U 1 U mg ( z 1 z ). Savoini / M.. Monge. Dpto. Física. UC3M Tema 3 15/19
16 Tabajo y Enegía Potencial FUERZS CONSERVTIVS Y NO CONSERVTIVS Fueza Elástica: F ki X= longitud del muelle longitud natual del muelle Enegía Potencial Elástica 1 f Uf kd U( 1) k U( i 1) i Tabajo ealizado po el muelle cuando pasa del estado 1 a 1 ( ) W U U k La enegía potencial elástica se puede entende como enegía almacenada en el muelle. Savoini / M.. Monge. Dpto. Física. UC3M Tema 3 16/19
17 F. CONSERVTIVS: Consevación de la Enegía Recodemos. Si solo actúan fuezas consevativas: FUERZS CONSERVTIVS Y NO CONSERVTIVS La enegía mecánica total de un sistema aislado en el que sólo actúan fuezas consevativas pemanece constante. Se define: mec Paa la fueza gavitatoia: mv mgy mv mgy 1 1 i i f f C W W U E TOTL consev cin cin E E U cin E U 0 E U E U ini ini ini ini cin cin Po tanto: Lcos E 0; E cte L T mec y=0 U=0 mec Paa la fueza elástica: mv k mv k i i f f mg E cin + U = E cin + U 0 - mglcos = ½ mv mgl v gl 1cos. Savoini / M.. Monge. Dpto. Física. UC3M Tema 3 17/19
18 FUERZS NO CONSERVTIVS FUERZS CONSERVTIVS Y NO CONSERVTIVS Son ejemplos de fuezas no consevativas: La tensión La fueza de ozamiento Las ejecidas po pivotes, clavos, etc PR CLCULR EL TRJO ealizado po estas fuezas tenemos que CLCULR SU CIRCULCIÓN. Es impescindible detalla la TRYECTORI SEGUID poque no es independiente de ésta. W F d no consev no consev W ( F ) F d Las fuezas no consevativas NO TIENEN asociadas enegías potenciales Cuando en un sistema actúan fuezas consevativas y no consevativas, la vaiación de la enegía mecánica del sistema es igual al tabajo ealizado po las fuezas no consevativas W W W E TOTL F. cons F. no cons cin W. ( E U) E F no cons cin MEC. Savoini / M.. Monge. Dpto. Física. UC3M Tema 3 18/19
19 Ejemplo: Consevación de la enegía FUERZS CONSERVTIVS Y NO CONSERVTIVS Un bloque de masa 6.0kg inicialmente en eposo se empuja hacia el Este con una fueza constante e igual a 1 N. El coeficiente de ozamiento dinámico es m din =0.15. Detemina la velocidad del bloque cuando ha ecoido una distancia de 3 m. F oz F v i =0 v f TEOREM DE CONSERVCIÓN DE L ENERGÍ El tabajo ealizado po la fueza F es El tabajo ealizado po la fueza de ozamiento Foz es El tabajo total es: 1 E = m(v - v ) = W ROZ CIN f i TOTL ROZ d=3.0m W W W E WF F d cos TOTL F. cons F. no cons cin W F d F d cos = dinmg d cos WTOTL WF Wk (J) ROZ W 10 m cos 36 J cos180 6 J TOTL v f = = =1.8m/ s. Savoini / M.. Monge. Dpto. Física. UC3M Tema 3 19/19
L Momento angular de una partícula de masa m
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