Algunas Recomendaciones para la Enseñanza de la Estadística Descriptiva o Análisis de Datos

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1 Alguas Recomedacoes para la Eseñaza de la Estadístca Descrptva o Aálss de Datos Itroduccó Elemetos Báscos para Aplcar Estadístca Descrptva La Estadístca Descrptva o Formula Iferecas La Estadístca Descrptva o Dstgue etre Muestra y Poblacó E Estadístca Descrptva o exste la Cuas-Varaza Resume Medate Itervalos: Cuátos y Cuáles Seleccoar? Resume por Itervalos: Cálculo de Idcadores Sugereca para la Iterpretacó de la Moda Métodos Multvarados: Iter e Itra Varaza Métodos Multvarados: Asocacó o Correlacó Estadístca Smple Métodos Multvarados: Ajuste de ua Recta a ua Nube de Putos Métodos Multvarados: Correlacoes parcales y Múltples Por Prof. Carlos Araújo Departameto de Estadístca, Facultad de Matemátcas, PUC Las opoes vertdas e este documeto so de exclusva resposabldad del autor. El Departameto de Estadístca de la PUC o ecesaramete cocuerda co dchas opoes. Todo cometaro u observacó puede ser evado a: Itroduccó Se ca ahora ua sere de artículos e las que se formula recomedacoes respecto de la eseñaza de los temas compreddos e la llamada Estadístca Básca, debdo a que es precsamete la eseñaza de estos temas dode es más otora cultura estadístca señalada e el Artículo 0. El éfass de las recomedacoes está puesto más e lo que se debe evtar e vez de cómo eseñar puesto que el propósto fudametal de estos artículos es el de promover ua eseñaza que permta ua vsó acorde co el ecesaro desarrollo de la cultura estadístca e la cudadaía. E este artículo e partcular se establece alguas recomedacoes sobre presetacó y cotedo de temas de Estadístca Descrptva o Aálss de Datos o Data Mg o Estadístca Pre-ferecal. Elemetos Báscos para Aplcar Estadístca Descrptva Se recuerda que el propósto de la Estadístca Descrptva es resumr la formacó coteda e u cojuto de datos a efectos de facltar a los usuaros del resume la formulacó de ferecas ductvas. Geeralmete los usuaros del resume realzado por los métodos de la Estadístca Descrptva so los especalstas del área de la cual provee los datos. El cojuto de datos está estructurado por u cuadro o matrz dode las flas correspode, por ejemplo, a las N udades de formacó (UI) y las columas a las característcas o varables que se desea estudar. E cada celda de la matrz fgura el valor (cuattatvo o cualtatvo) que tee la udad correspodete a la fla de la celda para la varable o característca correspodete a la columa que defe a dcha celda Se puede cosderar la presetacó de ejemplos tales como: - Alumos e clase (UI) y característcas tales como Géero; Edad; Calfcacoes y otras. - Años (UI) y produccó aual de los prcpales bees de u país o grupo de países - Empresas (UI) y varables tales como: Nº Empleados; Vetas y otras. - Hogares (UI) y varables tales como Nº tegrates; Nº de dormtoros; Igreso y otras. Prof. Carlos A. Araújo Ayesta fue Profesor del Cetro Iteramercao de Eseñaza de Estadístca - CIENES ( ), Asstete Geeral del Drector del CIENES ( ) y Secretaro Técco de la Cofereca Iteramercaa de Estadístca (CIE) de la OEA ( ). A partr de eero de 005 es Profesor e la Potfca Uversdad Católca de Chle - PUC. Se etede por Estadístca Básca los temas de Estadístca Descrptva y las ocoes de Probabldad e Ifereca Estadístca que so ormalmete cubertos e los textos troductoros a esta dscpla.

2 La Estadístca Descrptva o Formula Iferecas a partr del Resume de la Iformacó Tal vez para hacer más teresate la presetacó de la Estadístca Descrptva o be para avazar más rápdamete e la presetacó de la coceptos de Ifereca Estadístca, e la mayoría de los textos báscos de Estadístca muy tempraamete se troduce los coceptos de poblacó y muestra. De esta forma. la Estadístca Descrptva se asume como u cojuto de métodos para el resume de la formacó e la muestra para sacar coclusoes referdas a la poblacó, dejado la duda sobre tales coclusoes forma parte de la Estadístca Descrptva o be costtuye ua fereca estadístca porque está basada e u resume estadístco. Como se dcó e la pág. del Artículo 03 es el usuaro de estos servcos estadístcos (o la Estadístca Descrptva) que formula las ferecas a partr del resume facltado por la Estadístca Descrptva la cual o tee la capacdad la tecó de establecer o formular tales ferecas. Como veremos más adelate, tampoco la Ifereca Estadístca formula las ferecas ductvas, las cuales sempre estará a cargo del usuaro de la Estadístca Por lo tato, e la eseñaza de la Estadístca Descrptva es de fudametal mportaca trasmtr que sus métodos o valda o cotrola la veracdad de fereca algua basada e el resume de la formacó. Toda fereca o coclusó referda al campo del cual provee los datos es de exclusva resposabldad del usuaro de dcho resume estadístco. Este es u prcpo geeralmete olvdado por los que adopta la defcó de que la Estadístca recoge datos los procesa, los aalza y obtee coclusoes. Supoer que la Estadístca (Descrptva o Iferecal) puede formular hpótess u obteer coclusoes referdas a los dsttos campos de los cuales puede prover los datos, coduce a la absurda pretesó de que la Estadístca puede establecer coclusoes sobre las más dversas áreas, s coocmeto cetífco alguo de tales áreas. Esto puede geerar cosecuecas y práctcas perjudcales para percepcó de la Estadístca tales como: a) Dar orge a recelos profesoales y legítmas descofazas respecto de la seredad del trabajo estadístco. Puede argumetar u estadístco profesoal que está capactado para obteer coclusoes sobre aspectos del medoambete, la eergía, el tursmo, la medca, la ecoomía, el trasporte y muchas otras áreas, s cotar co coocmeto de las msmas? b) Promover o justfcar que especalstas de las áreas de aplcacó presete coclusoes, basadas e sus partculares coocmetos y experecas, como s fuera ferecas estadístcas. E efecto amados por el uso de las facldades computacoales, los especalstas del área de la cual provee los datos reverte el problema y comete el msmo error que el estadístco e el puto a), es decr, formula coclusoes estadístcas co poco o gú coocmeto e esta matera. Esta stuacó es uo de los prcpales motvos de descrédto de la Estadístca e el públco e geeral y causa prcpal por la que profesoales de otras áreas drja téccamete Udades de Estadístca e sttucoes públcas e teracoales. Como ejemplo, basta observar la pobre percepcó que tee la cudadaía respecto de las llamadas estadístcas de pobreza o laborales e Amérca Lata (Ver pág. 5 Artículo A0). Sedo la Estadístca ua dscpla de servco, las stuacoes dcadas e a) y b) compromete grave y drectamete su desarrollo. Como se dcó la pág del Artículo 03, la Estadístca Descrptva tee como propósto resumr la formacó coteda e el cojuto de datos s perder formacó relevate para las ferecas ductvas que el usuaro del resume pueda realzar. Todo lo ateror o sgfca que cuado se eseña los métodos de Estadístca Descrptva o se estmule a los alumos a formular coclusoes basadas e los resultados de tales métodos. Sólo se debe aclarar que tales coclusoes o forma parte de los referdos métodos so que se formula bajo la exclusva resposabldad de que las emte.

3 La Estadístca Descrptva o dstgue etre muestra y poblacó. Esto es ua cosecueca drecta del puto ateror. Los métodos de resume de formacó de la Estadístca Descrptva se aplca de gual maera s los datos correspode a ua muestra o a u ceso. E ambos casos la los métodos de la Estadístca Descrptva resumrá la formacó para facltar la formulacó de ferecas ductvas de parte del usuaro del respectvo resume. La caldad de ceso o muestra asocada a u cojuto de datos está drectamete vculada co la fereca ductva, la cual, como se dcó aterormete es facltada por la Estadístca Descrptva pero la formulacó de esta fereca o forma parte de sus métodos. E Estadístca Descrptva o exste la Cuas-Varaza Otra cosecueca medata del puto ateror, es que e Estadístca Descrptva carece de setdo la defcó de la llamada Cuas-varaza s x X o como equvocadamete lo expresa el programa Excel la varaza de ua muestra. Peor aú es la solucó del programa computacoal R que llama varaza ( var ) a la Cuas-Varaza y desga co varp a la varaza propamete tal. El cocepto de Cuas-Varaza sólo tee cabda e Ifereca Estadístca y se refere a ua estmacó sesgada de la varaza de ua poblacó ormal obteda a base de ua muestra aleatora proveete de dcha poblacó. També e Ifereca Estadístca aplcada al Muestreo Aleatoro Smple e Poblacoes Ftas surge la coveeca de defr y trabajar co Cuas-Varaza Poblacoal a efectos de aplcar el llamado prcpo de copa para propoer u estmador de dcha Cuas Varaza Poblacoal. Pero obsérvese que e este caso la Cuas Varaza es de la poblacó y, e este caso, la Cuas Varaza de la muestra resulta ser u estmador sesgado de la Cuas Varaza de la Poblacó, y o de la Varaza de la poblacó. Como se mostró e la pág 3 del Artículo 04 la úca forma coherete de defr la dspersó de los datos x, x,..., x respecto de la meda, es reptedo el prcpo de mímo cuadrados y defr de esta forma la varaza como x X. Por lo tato, cuado se desea resumr la formacó coteda e u cojuto de datos (muestra o ceso) la Cuas-varaza aparece como u dcador coherete (o sgue el prcpo de mímos cuadrados) y arbtraro ( porqué dvdr por (-) y o por (-) o por (+) u otro úmero cercao a? Isstr e su presetacó e el ámbto de la Estadístca Descrptva es operatel (ya se cueta co la Varaza), arbtraro y cofuso. Resume Medate Itervalos de Clase: Cuátos y cuáles seleccoar? E cas todos los textos de Estadístca Descrptva se propoe fórmulas para determar cuátos tervalos de gual logtud se debe seleccoar dado el úmero de observacoes. Por ejemplo, s es el úmero de tervalos y N el úmero de observacoes se cueta co formulas tales como 3,393xlog0N (propuesta por Sturges e 96), o be = N para valores de N 00 Estas fórmulas está hoy e u claro desuso e las aplcacoes debdo a que las facldades computacoales permte, e cada caso y a muy bajo o gú costo, agrupar los datos medate tervalos costrudos de comú acuerdo co cada uo de los respectvos usuaros del resume. Agrupar los datos e cosulta co el usuaro es la úca forma de asegurar que e dcho resume o se perderá formacó relevate.

4 Resume Medate Itervalos: Cálculos de Idcadores Hace algú tempo, el cálculo aproxmado de Idcadores Descrptvos usado tervalos de clase y su frecueca, se presetaba detro del tema: métodos abrevados del cálculo de. Y e verdad cumplía este propósto cuado los cálculos se realzaba a mao. S embargo actualmete, debdo a las facldades computacoales, es más fácl, más rguroso y más rápdo calcular dcadores de resume (Moda, Percetles, Meda, Varaza Covaraza etc.) usado los datos orgales que utlzado la referda formacó sobre Itervalos de Clase. Por lo tato e las aplcacoes reales, carece de terés todas las fórmulas sugerdas para el cálculo, sempre aproxmado, de estos dcadores utlzado la formacó de ua Tabla de Frecueca agrupada por tervalos. Su uso sólo pude ser justfcado co fes docetes para revsar los coceptos utlzados e la costruccó de estas Tablas e los casos de Meda, Varaza y Covaraza co la aclaracó de que so sólo valores aproxmados y o correspode a los verdaderos valores de los respectvos dcadores. Hay casos de claro abuso como ocurre co la fórmula que regstra alguos textos para el cálculo de la Moda dode ua solucó artmétca dada por la fórmula: Moda LI c dode ; LI = extremo feror del tervalo modal c = ampltud del tervalo modal dode es presetada al usuaro como el valor más frecuete lo cual carece de setdo estadístco porque dcho valor cas seguramete tee frecueca cero 3. S se desea presetar al usuaro algua formacó sobre estos dcadores utlzado el resume de ua Tabla de Frecuecas por Itervalos, sólo se debería detfcar el respectvo tervalo dode se ecuetra el valor del dcador de terés. Sugereca para la Iterpretacó de la Moda Debda al sesgo troducda por la vsó de la Estadístca como parte de la Matemátca, la mayoría de los textos de Estadístca Básca, se preocupa más por el cálculo que por la terpretacó de los resultados. De esta forma (defe la Moda como el valor más frecuete, auque poco o ada dce de su terpretacó, la cual está claramete vculada a cuá frecuete es el valor más frecuete. Por ello, así como o es posble terpretar la Meda s la Varaza, o es posble terpretar adecuadamete la Moda s coocer la frecueca relatva de la msma. Por lo tato la recomedacó es que frete al valor de la Moda se debe agregar sempre el valor de su frecueca relatva para ua adecuada terpretacó de dcha Moda. Métodos Multvarados: Iter e Itravaraza El Aálss de la Varaza ( ) ocupa u aspecto fudametal e dferetes métodos estadístcos por lo que resulta altamete recomedable la troduccó de los coceptos de Itervaraza ( ) e Itravaraza ( ) de ua Partcó ( P ) de u cojuto de datos b w referdos a ua partcular varable e estudo, como forma de troducr coceptos homogeedad o varabldad etre y detro de los grupos de datos. Para ello se recomeda además defr el Coefcete de Determacó de la Partcó medate R b P y presetar, a través de este dcador característcas de la Partcó. 3 Usado cualquer dstrbucó de probabldad cotua e el tervalo correspodete para geerar dchos putos.

5 Métodos Multvarados: Asocacó o Correlacó Estadístca Smple Para ua adecuada terpretacó del cocepto de asocacó o correlacó e Estadístca es fudametal depedzar su defcó de cualquer sugereca sobre la relacó causaefecto. Para ello se debe precsar e qué setdo se dce que dos varables cuattatvas está asocadas o correlacoadas estadístcamete. Al respecto se sugere utlzar la sguete caracterzacó: E Estadístca Descrptva se dce que dos varables cuattatvas está asocadas, so depedetes, o está correlacoadas s cuado se aumeta los valores de ua varable, los valores de la otra tede a: ) o be a aumetar (y se dce que la asocacó o depedeca es drecta o que la correlacó es postva) ) o be a dsmur (y se dce que la asocacó o depedeca es versa o que la correlacó es egatva) Cuado o se preseta esta tedeca se dce que las varables o está asocadas o o so depedetes o o está correlacoadas. Los dcadores de Asocacó o Correlacó pretede medr el setdo (drecto e verso) medate el sgo del dcador y la tesdad o fuerza de esta tedeca medate el valor absoluto del dcador, etededo por tedeca el grado de creeca respecto a que el cremeto del valor de ua varable coduzca al cremeto (o dsmucó) de la otra. També es coveete otar que todo dcador de correlacó es sólo etre dos varables. S estas dos varables correspode a u par de las varables orgales bajo estudo, la correlacó se llama smple, cuado la correlacó es etre dos partculares fucoes de las varables orgales, la correlacó puede ser parcal o be múltple. El Artículo 06 está destado a ua propuesta de presetacó del tema de Correlacó. Métodos Multvarados: Ajuste de ua Recta a ua Nube de Putos Cuado se preseta este tema e Estadístca Descrptva, muchas veces se comete el error de clur aspectos de fereca estadístca tales como la terpolacó y la predccó de valores de ua varable e fucó de la otra (regresó) como parte de los problemas que que puede resolver este ajuste. El prcpo de mímos cuadrados utlzado para detfcar la recta de ajuste tee el msmo propósto que su aplcacó para defr la Meda (ver Artículo 04). E esa oportudad dado u cojuto de datos umércos se pretedía obteer u úmero que represete los referdos datos. Aplcacó del Prcpo de Mímos Cuadrados E esta ocasó se trata de escoger la recta que represete a la ube de putos bajo el msmo prcpo de mímos cuadrados, es decr, dada la ube de putos Y, X,,... para cada recta Y a bx se defe e Y abx,,..., ab, que represeta el cojuto de las respectvas dferecas etre cada valor observadoy y el valor que le adjudca la recta Y a bx e ese puto. Etoces la recta Y a0 b0x será la seleccoada bajo el prcpo de mímos cuadrados s: ab o o e e a, br a, b, S los alumos cooce cálculo dferecal e varas varables el problema es equvalete a mmzar f ab, Y abx. La solucó será:

6 xy b a Y b X 0 ; x 0 0 dode x X X y Y Y X X Y Y ; ; ; la recta Y a0 b0x se cooce como recta mímo cuadrátca S los alumos o cooce cálculo, se puede postular que los valores de a 0 y b0 calculados algebracamete so los que mmza la referda suma de cuadrados y medate ua hoja Excel se puede comprobar o verfcar que para otros valores de a y b la suma de cuadrados es mayor. Aálss de Varaza de la Y Ua vez establecda la recta represetate de la ube de putos es ecesaro evaluar cuá be represeta a dcha ube de putos. E prcpo es claro que cuato meor sea e mejor será la represetatvdad de la recta Y a a, b 0 b0x respecto de la ube de o o putos. Como e casos aterores falta establecer cuádo e a, b o o será pequeño. Para ello se postula (o se demuestra) la sguete descomposcó de la varabldad de la Y Y Y a0 b0 X Y e a 0, b 0 Varabldad de Y Varabldad explcada por la recta Resto E caso de que smplemete se postule, se recomeda la comprobacó de la gualdad medate ejemplos umércos. Dado que a0 b0x Y Y Y R se defe el Coefcete de Determacó como: a b X Y 0 0 Y Y Nota, Se puede demostrar que Es claro que 0 R y, s. R R Y, X 0,, sgfca que la recta explca solamete el 0% de la varabldad de los valores de la Y lo que es ua pobre explcacó del comportameto de esta varable o be que la recta o explca (o o se ajusta) be a los valores de la Y. E cambo R 0,94 dcaría que la recta explca el 94% de la varabldad de los valores de la Y e cosecueca la recta ofrece ua buea explcacó (o ajuste) del comportameto de esta varable. Segú el valor de R podemos ecotrar que la recta mímo cuadrátca represeta be al comportameto de los valores observados de la Y ( R cercao a ) e cuyo caso el usuaro podría examar el comportameto descrptvo de la ube de putos medate el estudo de los valores que determa la recta mímo cuadrátca. Por otra parte, s la recta mímo cuadrátca o represeta be, o adecuadamete, al comportameto de la ube de putos, el usuaro o debería utlzar la recta mímo cuadrátca para aalzar el comportameto de los pares de valores observados a través de la recta Y Se debería efatzar sempre que las deduccoes o coclusoes sobre el comportameto de las varables (o de los partculares valores observados) basadas e el estudo del

7 comportameto de la recta mímo cuadrátca, so de exclusva resposabldad del usuaro que formula dchas deduccoes o coclusoes. S se desea cotrolar el evtable error asocado al la fereca mplícta e dchas coclusoes, se requere hpótess sobre modelos aleatoros asocados a ua poblacó de la cual provee estos datos y ese tema correspode a la Ifereca Estadístca. La Estadístca Descrptva sólo ofrece u resume de los datos bdmesoales a través de la recta mímo cuadrátca dado además, a través del Coefcete de Determacó, u dcador sobre s este resume es bueo o o lo es. E geeral, la Recta Mímo Cuadrátca es para la ube de putos, lo msmo que la Meda es para el cojuto fto de datos y el Coefcete de Determacó de dcha recta mímo cuadrátca cumple el msmo propósto que el que cumple la Varaza para la Meda. Así, por ejemplo, s u usuaro ecuetra que el valor absoluto del Coefcete de Determacó es alto puede, bajo su exclusva resposabldad, terpolar o extrapolar valores basados e dcha recta, pero la Estadístca Descrptva o respalda el crtero utlzado por el usuaro para llevar a cabo estas ter o extrapolacoes. Métodos Multvarados: Correlacoes Parcales y Múltples E la presetacó de las referdas correlacoes parcales y múltples se utlzará, s pérdda de geeraldad, el orde establecdo por los ídces. Dado u cojuto de varables cuattatvas X, X,... X p las correlacoes parcales o múltples so correlacoes smples que se establece etre dos partculares fucoes leales de las referdas varables elegdas apropadamete. Por lo tato la terpretacó de ua de estas correlacoes correspode a la ya coocda terpretacó de la correlacó smple etre las combacoes leales dcadas. Por lo ateror para presetar este tema es ecesaro tratar el tema de regresó desde el puto de vsta descrptvo, vale decr ecotrar presetar el problema de ecotrar ua combacó leal de varables Xs que mejor explca los valores observados de otra varable Y. El problema es ua geeralzacó del ajuste de ua recta a ua ube de putos y se resuelve usado el msmo prcpo de mímo cuadrados. Es decr, s se cueta co la formacó X,, X,..., X,,... e X X,,..., para cada recta X b bx bx bx se defe,,..., que represeta el cojuto de las respectvas bb b dferecas etre cada valor observado X y el valor que le adjudca la recta X b bx bx b X e ese puto, es decr X b bx bx... b X 3 3. Etoces la recta prcpo de mímos cuadrados s: X b b X b X... bx * * * * * X, X3,..., X 0 3 será la seleccoada bajo el e e b b b R * * * 0,,..., 0,,..., b0, b,..., b b b b * * * * La recta X, 3,..., 0... X X X b b X bx se puede terpretar como la mejor 4 explcacó leal que las varables X, X,... X preseta respecto de los valores observados de la varable Y A su vez e cada udad de formacó, el valor de X X e * *, 3,..., *, *,..., * se X X X b b b terpreta como el valor de X s el efecto (leal) que tee e esta varable las restates varables X, X3,..., X 4 Segú el prcpo de mímo cuadrados

8 S los alumos cooce Cálculo Dferecal e dealmete Álgebra Leal se puede ecotrar la solucó a este problema calculado el mímo de la fucó de varas varables: f b, b,..., b Y b b X b X... b X 0 0 b b b que mmza,,..., * * * E otro caso los valores medate el uso de algú paquete computacoal. f b0, b,..., b se puede ecotrar Ua vez ecotrada ua solucó por este método se puede comprobar su propedad usado ejemplos umércos y ua hoja de cálculo. Correlacó de Parcal etre X y X dado X 3, X 4,..., X Y X X X b b X b X * * * * * 3, 4,..., X X X Sea dode. Etoces Y se terpreta como los valores de la varable X s el efecto de las varables X 3, X4,..., X. W X X X b b X b X * * * * * Sea dode 3, 4,..., X X X. Etoces W se terpreta como los valores de la varable X s el efecto de las varables X 3, X4,..., X. Se defe el Coefcete de Correlacó Parcal etre X y X dado X 3, X4,..., X (y se represeta por X, X; X3,..., X ) al coefcete de correlacó smple etre Y yw, es decr X, X; X3,..., X Y, W y se terpreta como la correlacó etre X y X cuado a ambas X, X,..., X varables se les quta el efecto de 3 4 Correlacó de Múltple etre X y X, X3, X4,..., X W X b b X b X... bx X, X3,..., X (y se represeta por * * * * * * Sea X, X3,..., X 0 3 Correlacó Múltple etre X y Coefcete de Correlacó Smple etre X y X X, X3,..., X. Se defe el Coefcete de, es decr X; X, X3,..., X ) al X; X, X3,..., X X, W Por lo tato X; X, X3,..., X y se terpreta como la correlacó que exste etre X y la mejor explcacó leal que el resto de las varables puede ofrecer sobre X. S esta correlacó es alta sgfca que el resto de las varables X, X3,..., X explca (lealmete) be a la X. S la Correlacó Múltple es baja sgfca que el cojuto de varables X, X3,..., X tee poca o gua asocacó (leal) co X y por lo tato cualquer subcojuto de estas varables també presetará poca o gua asocacó leal co X

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