Sistemas Control Embebidos e Instrumentación Electrónica UNIVERSIDAD EAFIT Semestre 2010/2 2009/2

Transcripción

1 DIAGRAMA DE BODE Semestre 2010/2

2 El Diagrama de BODE se conforma por dos gráficas logarítmicas de: La magnitud de una función de transferencia senoidal: 20log G(jw) ; La unidad de medida que se usa, es el db. El ángulo de fase, se mide en grados Si F(s) = F1(s) F2(s) F3(s) entonces F(db) = F1(db)+F2(db)+F3(db) + Cuenta con un método simple para trazar una curva aproximada de magnitud logarítmica. El diagrama logarítmico se simplifica mediante aproximaciones asintóticas para las curvas de cada factor.

3 Los factores básicos en una función de transferencia arbitraria G(jw) son:

4 GANANCIA K: La curva logarítmica para una ganancia K es una recta horizontal de 20 log K db. El ángulo de fase de la ganancia K es cero.

5 POLOS O CEROS EN EL ORIGEN Factores de integral y de derivada. La magnitud logarítmica de 1/jw en decibeles es: El ángulo de fase de l/jw es constante y es igual a 90º

6 Las relaciones de frecuencia se expresan en términos de décadas. Una década es una banda de frecuencia de w1 a 10w1, en donde, w1 es cualquier frecuencia. Si se grafica la magnitud logarítmica de 20 log o db contra w en una escala logarítmica, se obtiene una recta.

7 Para un polo (o cero) múltiple en el orígen: Si la función de transferencia contiene el factor (1/jw) o jw, la magnitud logarítmica se convierte, en cualquiera de los dos casos: El ángulo de fase de 1/ j^wn es igual a (90 * n), durante todo el rango de frecuencia, mientras que el de jw^n es igual a (90 * n), en todo el rango de frecuencia. Las curvas de magnitud pasarán por el punto (0 db, w = 1).

8 FACTOR DE PRIMER ORDEN 1/(1 + jw T) Para frecuencias bajas, tales que w << 1/T : Para frecuencias w >> 1/T Para w = 1/T; tenemos un valor de 0dB Para w = 10/T; tenemos un valor de 20dB Por lo tanto para todas las décadas de w, se disminuye en 20 db

9 La frecuencia en la cual las dos asíntotas se encuentran, se conoce como frecuencia de corte. Para el factor 1/(1 + jwt), la frecuencia de corte, es: w = 1/T. El ángulo de fase exacto del factor 1/( 1+ jwt) es: arctang (wt) Para frecuencia cero, el ángulo de fase es 0º. En el infinito, el ángulo de fase se convierte en 90º. En la frecuencia de corte, el ángulo de fase es El ángulo de fase tiene una pendiente de = 45º, respecto del punto de inflexión.

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11 Como las asíntotas se trazan con facilidad y están cerca de la curva exacta, su uso es conveniente para los diagramas de Bode, con el fin de establecer en forma rápida y un mínimo de cálculos, las características de la respuesta en frecuencia. Para factores recíprocos, como el factor (1 + jwt), las curvas de magnitud logarítmica y de ángulo de fase sólo necesitan cambiar de signo, ya que

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13 POLOS (O CEROS) COMPLEJOS CONJUGADOS Un sistema de este tipo, tiene la forma: Para frecuencias bajas w << wn, tenemos que 20 log 1 = 0 db Para frecuencias altas tales que w >> wn, la asintota será una recta con una pendiente de 40dB por decada Para w = 10wn; tenemos un valor de 20dB Por lo tanto para todas las décadas de w, se disminuye en 20 db

14 Angulo En w = 0, el ángulo de fase es igual a 0 la frecuencia de esquina w = wn, el ángulo de fase es 9O,

15 Angulo En w = infinito, el ángulo de fase vale 180. La curva del ángulo de fase tiene una pendiente simétrica respecto del punto de inflexión, punto en el que Angulo = 90.

16 Efectos con respecto al Factor de Amortiguamiento

17 PROCEDIMIENTO: Diagrama de Bode Primero reescriba la función de transferencia H(jw), como un producto de los factores básicos. Identifique las frecuencias de esquina asociadas con estos aspectos básicos. Dibuje las curvas asintóticas de magnitud logarítmica con pendientes adecuadas entre las frecuencias de esquina. La curva exacta, que se encuentra cerca de la curva asintótica, se obtiene agregando las correcciones adecuadas. El diagrama de fase de H(jw), se traza agregando las curvas de ángulo de fase de los factores individuales.

18 Ejemplo: DB Analizar el ejemplo 8. 1 (pag. 484) del libro Ingeniería de Control Moderna K. Ogata, Se Normaliza: Los factores son:

19 Ejemplo: DB

20 BIBLIOGRAFÍA KATSUHIKO, OGATA. Ingeniería de Control Moderna. 4ª Ed CAPITULO8 Google