LAS BOLAS ADIVINAS, LA CUNA DE NEWTON.-

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1 LAS BOLAS ADIVINAS, LA CUNA DE NEWTON.- Hace poco regalé a mi nieto un juguete un poco especial. En la foto aparece el mencionado juguete. Como en principio no conocia su nombre, y no leí lo que ponía en el exterior de la caja, le llamé las bolas adivinas. Más adelante veremos el porqué de este nombre. Cuando estaba terminando el borrador de este trabajo me comentaron que el nombre del aparatito en cuestión era La cuna de Newton Consta de 5 bolas de acero del mismo tamaño que cuelgan de un bastidor y estan en contacto las unas con las otras. Unas veces se separa una bola y se suelta, otras veces dos bolas juntas, etc. El juego consiste en ver que ocurre en cada uno de estos casos con el resto de las bolas. Pero a mí siempre me ha interesado más el conocer por medio de la física y la matemática qué es lo que va a ocurir, que observar lo que ocurre simplemente. Vamos a estudiar para empezar que es lo que ocurre en el caso de utilizar solamente dos bolas, las bolas A y B, separando la bola A hacia la izquierda y luego soltandola.

2 Figura 1.- Si separamos y levantamos la bola A hacia la izquierda como en el péndulo, la energia potencial se convierte en cinética y adquiere una velocidad Va1, chocando a continuación contra la bola B que en principio está en reposo. Figura 2.- Si suponemos que el choque es perfectamente elástico, podemos plantear dos ecuaciones, una la de la conservación de la cantidad de movimiento y otra la de la energía cinética. Tenemos dos incógnitas que son las velocidades de A y B despues del choque en función de la velocidad inicial de A, Va1. Tomemos el sentido positivo de velocidades hacia la derecha Por lo tanto, aplicando la conservación del a cantidad de movimiento, m Va1=m Va2+m Vb2 y simplificando por m, Va1=Va2+Vb2 (1) Igualando las energias cinéticas antes y después del choque, 1/2 m Va1² =1/2 m Va2²+1/2 mvb2² Simplificando, Va1² =Va2² +Vb2² (2). Elevando al cuadrado la ecuación (1), Va1² =Va2² +Vb2² +2 Va1 Vb2 (3) Comparando las ecuaciones (2) y (3), 2 Va2 Vb2=0 (4)

3 Vb2 no puede ser 0 pues entonces la bola A o se para, o bien va hacia la izquierda y en ninguno de estos dos casos se conserva la cantidad de movimiento. Por lo tanto si en la ecuación (4) Vb2 no es 0, forzosamente es 0 la velocidad de A después del choque. Sustituyendo en la ecuación (1) Va2=0, Va1=Vb2, es decir la bola B se mueve hacia la derecha y con la misma velocidad que tenía A antes del choque. Figura 3.- Continuemos estudiando el juego pero ahora utlizando tres bolas A, B, y C. Figura 4.- Qué ocurre si levantamos la bola A y a continuación la soltamos?. Igual que en caso de las dos bolas la energía potencial de A se convierte en cinética y adquiere la velocidad Va1 chocando a continuación contra la bola B. Cuales son las velocidades de las tres bolas después del choque en función de Va1?. En este caso también se conservan la cantidad de movimiento y la energía cinética. Tenemos como antes dos ecuaciones, pero las incógnitas son tres, las velocidades de A, B y C después del choque.

4 Figura 5.- Al menos en principio parece que hay infinitas soluciones que cumplen con las dos ecuaciones. Como solucionar esta cuestión?. Es correcto decir que tenemos solo dos ecuaciones pero tres incógnitas? Antes de profundizar en esta pregunta hagamos algo para obtener una tercera ecuación, soldemos las bolas B y C con lo que obtenemos Vb2=Vc2 esta tercera ecuación. Figura 6.-. Teniendo en cuenta que Vb2=Vc2. Las ecuaciones (1) y (2) se transforman en Va1=Va2+2Vb2 (5) y Va1² =Va2² +2Vb2² (6) después de simplificar por m y ½. Elevando al cuadrado la ecuación (5) Va1²=Va2 ² +4Vb2² +4Va2 Vb2 (7) Comparando (6)y (7) 2Vb2² =4Vb2² +4Va2Vb2 esto es 2Vb2² = - 4Va2Vb2 Vb2= -2Va2 Sustituyendo en la ecuación (5) Va1=Va2-4Va2=-3Va2 es decir Va2= -1/3 Va1. Para calcular la velocidad de las bolas B y C sustituyamos en la ecuación (5) este valor obtenido de Va2=-1/3 Va1, Va1 = -1/3Va1+2Vb2 y Vb2= (Va1+1/3Va1)/2 = 2/3Va1. Por lo tanto la bola A se desplaza hacia la izquierda despues del choque a un tercio de

5 su velocidad inicial y las bolas B y C van hacia la derecha a dos tercios de dicha velocidad. Figura 7.- Pero, qué ocurre si no soldamos las bolas B y C?. Como hemos dicho parece que en principio matemáticamente habría infinitas soluciones. Pero eso en el mundo físico nunca ocurre, siempre con unas condiciones iniciales dadas, las consecuencias son únicas. Hay que igualar tanto las energias cineticas comos las cantidades de movimiento antes y despues del choque. Hemos supuesto que despues del choque aparecen a la vez las velocidades Vb2 y Vc2, pero esto solo courre si las bolas B y C están soldadas. En el caso de las bolas B y C sueltas, el efecto del choque no se transmite instantaneamente y a la vez a las bolas B y C. No existe ningún efecto que se transmita con velocidad infinita.. El efecto del choque entre las bolas A y B, aunque muy pequeño, necesita un tiempo para pasar a la bola C. Por esto no podemos poner Vc2 en la parte derecha de las ecuaciones. Es decir, aunque muy próximos en el tiempo hay dos choques, el de A con B y despues el de B con C, y esta última adquiere la velocidad Vc2=Va1.

6 Figura 8.- Como vemos no es el mismo el comportamiento de la bola A en los dos casos de estar B y C soldadas o no. Parece que la bola A ADIVINA como están entre si las bolas B y C. De aquí el título de Bolas adivinas. Para nuestro sentido de la vista parece que los dos choques sean simultáneos, pero aunque sea muy pequeño, el efecto del choque necesita un tiempo para pasar a la bola C. Vamos a examinar qué ocurre si tenemos las cinco bolas y soltamos la primera bola es decir la A. Figura 9.- En este caso tenemos cuatro choques uno a continuación del otro, AB, BC, CD, eta DE, en cada choque la bola de la izquierda se para y la de la derecha adquiere la velocidad V, al final todas las bolas quedan quietas excepto la última. Teniendo en cuenta lo dicho anteriormente, se pueden estudiar todos los ejemplos que nos propongamos.

7 Qué ocurre popr ejemplo si soltamos a la vez las bolas A y B? En el siguiente cuadro lo explicamos. 1) Velocidades de las bolas en el instante inicial antes del choque. Velocidades V V ) Después del choque de B y C (A y B no chocan pues llegan las dos con V) Velocidades V 0 V 0 0 3) Tenemos dos choques, A y B por un lado, y C y D por otro. Velocidades 0 V 0 V 0 4) Después de los choques BC y DE. Velocidades 0 0 V 0 V La bola E va hacia la derecha. 5) Después del choque entre C y D. Velocidades V V Las bolas A B y C se quedan quietas después de los choques y las bolas D y E van hacia la derecha con velocidad V. En el instante 4) la bola D va hacia la derecha y después en el instante 5) Sale la bola E también hacia la derecha. Figura 10.- Voy a proponer un ejemplo que lo puede estudiar el lector. Soldamos las bolas B y C y soltamos la bola A que adquiere la velocidad Va1. Esta es la solución que he hallado: La bolita A va hacia la inquierda con velocidad Va2=-1/3 Va1. Las bolas B C van hacia la derecha con velocidad Vb2=Vc2=2/27 Va1. La bola D va hacia la deracha con velocidad Vd2=8/27 Va1. Finalmente E va hacia la derecha conve2=8/27 Va1.

8 NOTA: Como he comentado al principio, cuando tenia el borrador del articulo terminado, me enteré de que el nombre del artilugio era La Cuna de Newton, y además que había mucha literatura escrita acerca de él. Como es lógico en la mayor parte de los escritos se mencionan la conservación de la cantidad de movimiento y de la energía cinética. Pero no he encontrado ninguna mención clara a la imposibilidad de transmisión del choque de forma instantanea, así como a la diferencia entre estar las bolas sueltas o algunas de ellas unidas Hasta ahora hemos estudiado los choques de las bolas a escala macroscópica, no hemos hecho referencia a cómo el efecto del choque que tiene su comienzo cuando los dos extremos de las bolas A y B inician el contacto, se traslada hacia el otro extremo de las bolas. Para hacer más sencilla la representación gráfica vamos a utilizar cilindros de eje horizontal en lugar de bolas, aunque las conclusiones serán igualmente válidas. Vamos a idealizar estos cilindros en rebanadas pequeñas que en el dibujo tomamos cuatro solamente para concretar y simplificar de alguna forma el ejemplo. Figura 11,- Cada rebanada tiene una pequeña masa que denominamos dm. Antes del comienzo del choque todas las rebanadas (las cuatro), del cilindro A tienen la velocidad V y las del B están quietas, primera figura. En cuanto entran en contacto la última rebanada del cilindro A a la velocidad V con la primera del B a velocidad 0, utilizando las ecuaciones de conservación de la cantidad de movimiento y de la energía cinética como lo hemos hecho para el caso de dos bolas,

9 poniendo en las ecuaciones dm. en vez de m, obtenemos que la primera rebanada del cilindro B toma la velocidad V y la última del A se para. (segunda figura) Tenemos ahora dos pares de rebanadas (la 3 y la 4 del cilindro A y la 1 y 2 del B) que están en la misma situación anterior. Tras este segundo choque de estas rebanadas la 4 del A y la 2 del B adquieren la velocidad V y se paran la 3 del A y la 1 del B (tercera figura). Tenemos ahora tres parejas de rebanadas en la situación anterior y así sigue el proceso hasta la figura 8 en la que todas las rebanadas de A están quietas y todas las del B tienen la velocidad V. Hasta que todas las rebanadas del cilindro B no tienen la misma velocidad V, el conjunto de este cilindro no se mueve, aunque las rebanadas se muevan entre ellas de forma similar a como lo hacen las partes de un muelle. La gráfica de la velocidad en las rebanadas no tiene en realidad esos saltos discontinuos como lo hemos representado en la parte superior de las figuras y es más una función continua en forma de onda sin saltos bruscos como aparece en la parte inferior de las figuras. Este tren de ondas en el que en cada punto la velocidad es función del tiempo, es similar a la variación de la presión con el tiempo que es la transmisión del sonido, pues son dos aspectos de un mismo fenómeno, el desplazamiento periódico de átomos que varia la velocidad de las rebanadas o también la presión en cada rebanada. Esta onda se desplaza pues con la velocidad del sonido que el caso del acero es de 5 km/seg. La amplitud de la onda que representa la velocidad en cada punto es la velocidad V1, esta misma onda que representa la presión en cada punto tiene como amplitud la presión inicial ejercida en el instante en que comienza el choque. La longitud de onda y por lo tanto la frecuencia dependen de la velocidad inicial del choque y de las características del material, módulo de elasticidad y densidad. El tiempo transcurrido entre la figura 1 y la 8 es la que necesita el sonido para recorrer dos veces la longitud del cilindro o el diámetro de la bola en su caso. Si las bolas son de 2 cm. de diámetro, la duración del choque (entre las figuras 1 y 8) es de t=4/ seg. En el caso de tres bolas la primera rebanada de la tercera bola entra en velocidad después de la figura quinta, a continuación de que el extremo derecho de la bola segunda entre en velocidad. Es normal que con un tiempo tan reducido nos parezca que la bola C sale en el mismo instante en el que choca la bola A contra la B. En la figura 1 solo hay energía cinética y la tiene la bola A, a medida que avanza el proceso, la energía cinética se transforma en energía elástica que se va almacenando progresivamente en cada una de las rebanadas. Después esta energía elástica que almacena cada rebanada tras ser comprimida, se transforma gradualmente en energía cinética en ellas. Por ejemplo en el instante que representa la figura 3, parte de la bola A tiene la velocidad V, estas rebanadas tienen la energía cinética correspondiente a sus masas y dicha velocidad. Sin embargo las rebanadas que están vibrando (la parte de las dos bolas en las que está representada la onda), almacenan en principio energía elástica. En el instante central del choque correspondiente a las figuras 4 y 5, hay energía elástica en todas las rebanadas, que va transformándose en cinética hacia la bola B hasta el fin del choque. Antonio del Campo.

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