Ejemplos y ejercicios de. Estadística Descriptiva. yanálisis de Datos. 2 Descripción estadística de una variable. Ejemplos y ejercicios.

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1 ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA Y ANÁLISIS DE DATOS Ejemplos y ejercicios de Estadística Descriptiva yanálisis de Datos Diplomatura en Estadística Curso 007/08 Descripción estadística de una variable. Ejemplos y ejercicios..1 Ejemplos. Ejemplo.1 Se han medido el grup sanguíneo de 40 individuos y se han observado las siguientes frecuencias absolutas para cada categoría: 1 para x 1 = A, 11parax = B, 8 para x 3 = AB y 9 para x 4 = O. a) De qué tipo es la variable estudiada? Construir la tabla de frecuencias correspondiente. b) Qué porcentaje de individuos son del grupo A? c) Qué porcentaje de individuos no son del grupo O? d) Cuántos individuos no son del grupo B? Respuestas: a) Categórica nominal. grupo n i f i A B AB 8 0. O Total 40 1 b) El 30%, c)el100.5 =77.5%, d)40 11 = 9 obien1+8+9=9. Ejemplo. La siguiente tabla muestra la clasificación de 901 individuos según la variable satisfacción en el trabajo Aurea Grané Dpto. Estadística Universidad Carlos III de Madrid x i n i muy insatisfecho 6 moderamademte insatisfecho 108 moderadamente satisfecho 319 muy satisfecho 41 Total 901 a) De qué tipo es la variable de estudio? Calcular la tabla de frecuencias correspondiente. b) Qué porcentaje de individuos están moderadamente satisfechos? c) Cuántos individuos están a lo sumo moderadamente insatisfechos? Qué porcentaje representan? d) Cuántos individuos están por lo menos moderadamente satisfechos? Qué porcentaje representan?

2 ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA Y ANÁLISIS DE DATOS 3 ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA Y ANÁLISIS DE DATOS 4 Respuestas: a) Categórica ordinal, x i n i f i N i F i muy insatisfecho moderamademte insatisfecho moderadamente satisfecho muy satisfecho Total b) El 35%, c)170 y representan el 19%, d) = 731 obien = 731, que representan el = 81% (o bien = 81%). Ejemplo.3 Se quiere estudiar la eficacia de un nuevo insecticida para plantas de interior. Se seleccionan 50 plantas y se cuenta el número de hojas que han sido atacadas después de haber tratado la planta con el nuevo producto. Los resultados son: Hojas atacadas n i a) De qué tipo es la variable de estudio? Construir la tabla de frecuencias correspondiente. b) Qué porcentaje de plantas tienen sólo 3 hojas atacadas? c) Cuántas plantas tienen como máximo 3 hojas atacadas? d) Cuántas plantas tienen como mínimo 6 hojas atacadas? e) Qué porcentaje de plantas tienen entre 3 y 5 hojas atacadas? f) Qué porcentaje de plantas tienen al menos 8 hojas atacadas? g) Qué porcentaje de plantas tienen a lo sumo hojas atacadas? Respuestas: a) Cuantitativa discreta, Hojas atacadas n i f i N i F i 0 6 0,1 6 0, ,0 16 0,3 1 0,4 8 0, , , , , , , , , ,0 49 0, , b) el 16%, c)36, d)3+1+1 = 5 obien50 45 = 5, e)el = 34% obien(8+5+4)/ = 34%, f)el+=4% obien = 4%, g) el 56%. Ejemplo.4 En veinte vuelos de Barcelona a Madrid se han contado el número de asientos vacíos en cada vuelo. Se han agrupado los datos en intervalos de longitud 4. asientos vacíos n i a) De qué tipo es la variable estudiada? Construir la tabla de frecuencias correspondiente. b) En cuántos vuelos hay menos de 8 asientos vacíos? Qué porcentaje representan? c) En cuántos vuelos hay como mínimo10asientosvacíos? Qué porcentaje representan? Respuestas: a) Cuantitativa discreta, intervalos x i n i f i N i F i [0, 4) 9 0,45 9 0,45 [4, 8) 6 5 0,5 14 0,70 [8, 1) ,0 18 0,90 [1, 16] 14 0,10 0 1,00 Total 0 1 b) En 14 vuelos, y representan el 70% de los vuelos, c) Aproximadamente en +4 (10 8)/(1 8) = 4 vuelos, que representan el 4/0 100 = 0% de los vuelos.

3 ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA Y ANÁLISIS DE DATOS 5 ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA Y ANÁLISIS DE DATOS 6 Ejemplos de representaciones gráficas Figure 3: Gráfico de Pareto. Datos del ejemplo. Figure 1: Diagrama de barras y polígono de frecuencias. Datos del ejemplo % 89% 78% % 1 polígono de frecuencias % 44% diagrama de barras % % % 6 0 0% muy satisfecho mod. satisfecho mod. insatisfecho muy insatisfecho 4 Figure 4: Histograma y polígono de frecuencias. Datos del ejemplo polígono de frecuencias histograma 1.5 Figure : Diagrama de sectores. Datos del ejemplo.1 30% 3% A B AB O % 0% Ejemplo.5 Con los siguientes datos construir un diagrama de tallo y hojas. Datos recogidos (en cm): , 1.54, , 1.431, 14.1, 15.13, , , 17.06, 1.710, , , 1.16, 1.71, 13.40, Respuesta: Datos redondeados y expresados en mm: 114, 15, 114, 14, 14, 15, 133, 113, 17, 17, 135, 161, 1, 17, 134, 147.

4 ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA Y ANÁLISIS DE DATOS 7 ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA Y ANÁLISIS DE DATOS 8 Diagrama de tallo y hojas (datos en mm): Ejemplo.6 Un inversor tiene ahorros repartidos en 3 depósitos con 000, 5000 y euros, respectivamente. si el primero le rinde un 5% anual, el segundo un 4% anual y el tercero un % anual, cuál es el tipo de interés medio que recibe? Respuesta: La variable de estudio es el interés anual. Los valores que toma esta variable son 5, 4, con pesos 000, 5000, 10000, respectivamente. El interés medio es x P = = =.94. Ejemplo.7 Calcular la mediana y la moda de los conjuntos de datos siguientes: a) 18, 18, 19, 17, 3, 0, 1, 18 b) 0, 1, 18, 19, 18, 17, 18 Respuestas: a) Ordenados los datos en orden creciente, 17, 18, 18, 18, 19, 0, 1, 3, el valor de la mediana es Me = ( )/ =18.5 ylamodaesmo =18. b) Ordenados los datos en orden creciente, 17, 18, 18, 18, 19, 0, 1, el valor de la mediana es Me =18ylamodaesMo =18. Ejemplo.8 Con los datos del ejercicio. (habitantes de las provincias españolas) calcular la media aritmética y la mediana. Respuestas: Utilizando la tabla de frecuencias calculada en el apartado b) del ejercicio., tenemos que x = 1 n k x i n i = = , que significa que, en promedio, hay habitantes por provincia. Para el cálculo de la mediana, buscamos primero el intervalo mediano. Puesto que n/ =6, el intervalo mediano es [500000, ). Aplicando la fórmula de la mediana: 6 4 Me = = , esto significa que el 50% de las provincias españolas tienen menos de habitantes. Recordemos que la distribución de esta variable es bastante asimétrica como muestra el histograma de frecuencias de la figura 6, por tanto, resultará más fiable utilizar la mediana y no la media como medida de tendencia central. Ejemplo.9 Cálculo de algunas características numéricas con los datos del ejemplo.3. Medidas de tendencia central: hojas atacadas n i N i x i n i x i n i Total x = 134 =.68, 50 Me =, Mo =. Medidas de posición: Q 1 =1, Q 3 =4, P 35 =, P 80 =4, P 95 =6.

5 ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA Y ANÁLISIS DE DATOS 9 ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA Y ANÁLISIS DE DATOS 10 Medidas de dispersión: s n = =4.46, s n = 4.46 =.11, R =10 0=10, RI =4 1=3. La mediana de desviaciones absolutas, MEDA, se obtiene calculando la mediana de los valores absolutos de x i Me(X). Empezamos calculando estas diferencias: x i Me(X) n i y i = x i Me(X) n i (y) N i (y) = = Puesto que n =50es par, la MEDA es la media aritmética entre el dato 5 y el dato 6, es decir: MEDA = y (5) + y (6) Ejemplo.10 Cálculo de algunas características numéricas con los datos del ejemplo.4. =1 intervalo x i n i N i x i n i x i n i n i /L i [0, 4) [4, 8) [8, 1) [1, 16) Total Medidas de tendencia central: x = =5.8, Me =4+(4 0) =4.8, 1.5 Mo =0+(4 0) =4. Medidas de posición: 4(5 0) 4(15 14) Q 1 =0+ =., Q 3 =8+ =9, (6 0) 4(11.4 9) P 30 =0+ =.67, P 57 =4+ = Medidas de dispersión: s n = =16.76, s n = = 4.09, R =16 0=16, RI =9. = Ejercicios. Ejercicio.1 Con los datos del ejemplo.4 trazar la curva de frecuencias relativas acumuladas. Determinar el número de vuelos que tienen como máximo 10 asientos vacíos. Respuesta: La figura 5 contiene la curva de frecuencias acumuladas. En el eje horizontal se representan los valores que toma la variable, en este caso el número de asientos vacíos, y en el eje vertical se representan las frecuencias relativas acumuladas. Utilizando esta figura vemos que al valor 10 le corresponde una altura de 0.8. Por tanto, el 80% de los vuelos tienen como máximo 10 asientos vacíos. Puesto que en total hay 0 vuelos, el 80% de los vuelos son 0 (0.8) = 16 vuelos. Este mismo cálculo puede realizarse Figure 5: Curva de frecuencias acumuladas o polígono de frecuencias acumuladas. Datos del ejemplo utilizando la tabla de frecuencias del ejemplo.4. Recordemos cómo era la tabla:

6 ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA Y ANÁLISIS DE DATOS 11 ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA Y ANÁLISIS DE DATOS 1 Intervalo x i n i f i N i F i [0, 4) 9 0,45 9 0,45 [4, 8) 6 5 0,5 14 0,70 [8, 1) ,0 18 0,90 [1, 16] 14 0,10 0 1,00 Total 0 1 El número de vuelos que tienen a lo sumo 10 asientos vacíos lo obtendremos sumando las frecuencias observadas en el intervalo [0, 4) más las frecuencias observadas en el intervalo [4, 8) más una parte de las frecuencias observadas en el intervalo [8, 1). Esdecir, =16. Ejercicio. Clasificadas las provincias españolas por su número de habitantes en 001, se obtuvieron los siguientes datos: Num. habitantes Num. provincias de 1 a de a de a de a de a de a de a de a de a a) Constuir una tabla estadística con las marcas de clase, las frecuencias absolutas y las frecuencias relativas. b) Cuántas provincias tienen menos de habitantes? Qué porcentaje representan? c) Cuántas provincias tienen entre y habitantes? d) Construir el histograma de frecuencias absolutas. Respuestas: a) La tabla de frecuencias con una columna adicional que será útil para la construcción del histograma es la siguiente: intervalos x i n i f i N i F i n i /L i [0, ) [100000, 50000) [50000, ) [500000, ) [750000, ) [ , ) [000000, ) [ , ) [ , ) b) 4 provincias, que representan el 46.%. c) El intervalo [800000, ] está situado encima de dos intervalos de clase: [ )[ ) [ ] Por tanto, el número de provincias que tienen entre y habitantes es aproximadamente = =8provincias. d) La figura 6 contiene el histograma de frecuencias absolutas. Ejercicio.3 Los siguientes datos corresponden a las medidas de 15 individuos sobre la variable cuantitativa peso: 6, 74, 86, 53, 49, 71, 68, 67, 69, 70, 58, 59, 73, 74, 78. a) Construid una tabla de frecuencias absolutas, relativas, absolutas acumuladas y relativas acumuladas. b) Realizad un diagrama de tallo y hojas. Respuestas: a) Agrupamos los datos en k = 15 4 intervalos de clase:

7 ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA Y ANÁLISIS DE DATOS 13 ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA Y ANÁLISIS DE DATOS 14 Figure 6: Histograma de frecuencias absolutas. Datos del ejercicio /10 = 4. En la cuarta columna obtenemos las desviaciones respecto de la media, y en la quinta ponderamos por la frecuencia observada en cada intervalo. [l i 1,l i ) x i n i x i n i x i x (x i x) n i [0, 10) [10, 0) [0, 30) [30, 40] Total millones de habitantes intervalos x i n i f i N i F i [49, 59) [59, 69) [69, 79) [79, 89] b) El diagrama de tallo y hojas es: Ejercicio.4 Obtener las desviaciones con respecto a la media en la siguiente distribución y comprobar que su suma es cero. intervalo frecuencia Respuesta: Primeramente construimos la tabla de frecuencias. Con la tercera columna de la tabla calculamos la media aritmética, que es x = Ejercicio.5 Una empresa está interesada en seleccionar entre dos candidatos para un puesto de trabajo. Las valoraciones que han obtenido en las entrevistas y pruebas a que han sido sometidos son las siguiente: Aspecto Candidato A Candidato B experiencia 8 7 conocimientos 6 7 psicontécnico 4 5 Si la empresa da una importancia del 60% a la experiencia, del 5% a los conocimientos y del 15% a la habilidad psicotécnica, cuál de los dos candidatos va a escoger? Respuesta: Calculamos las medias ponderadas para cada candidato, con pesos 60, 5 y 15, respectivamente para cada categoría. El candidato que obtenga una media poderada mayor será el candidato escogido. x P (A) = x P (B) = =6.9, =6.7 Ejercicio.6 Dada la siguiente distribución en el número de hijos de cien familias, calcular sus cuartiles. x i n i N i

8 ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA Y ANÁLISIS DE DATOS 15 ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA Y ANÁLISIS DE DATOS 16 Respuesta: Puesto que n =100es par, Me = x (50) + x (51) =3, que coincide con Q. Para calcular Q 1 y Q 3 debemos buscar los valores n/4 y 3 n/4 en la columna de las frecuencias acumuladas: n 4 =5 Q 1 =, 3n 4 =75 Q 3 =4. Ejercicio.7 Calcular la varianza y la desviación típica de las siguientes cantidades en metros: 3, 3, 4, 4, 5. Respuesta: x i n i x i n i x i x i n i total La media aritmética es x =19/5 =3.8 m, la media de cuadrados es x = 75/5 =15m, la varianza muestral es s n = x x =15 (3.8) =0.56 m y la desviación típica muestral es s n = 0.56 = 0.75 m. Puesto que hay pocos valores, los cálculos de la media y de la varianza se podían haber hecho directamente: s n = 1 n x = 1 n n n x i = =3.8, x i x = (3.8) = Ejercicio.8 De los ocho empleados de una oficina, se han considerado las distribuciones de sus edades y sus añosdeantigüedad en la empresa: Edad Antigüedad Calcular lor rangos de estas dos distribuciones. Cuál de las dos tiene mayor grado de dispresión? Respuesta: R(edad) =6 19 = 43, R(antigüedad) =39 1=38. Aunque el rango de la variable edad sea mayor que el rango de la variable antigüedad, esto no significa que el grado de dispersión de edad sea también mayor. Para decidir qué variable tiene un mayor grado de dispersión debemos calcular el coeficiente de variación. Así, para la variable edad tenemos que: x = 1 n x i = 301 n 8 =37.6, s n = x x = 1839 (37.6) = 189.3, 8 s n = = 13.8, CV = s n = 100 = 36.7%, x 37.6 mientras que para la variable antigüedad: x = 1 n x i = 10 n 8 =15, s n = x x = 854 (15) =131.75, 8 s n = = 11.48, CV = s n = 100 = 76.5%. x 15 Por tanto, la variable antigüedad tiene una mayor dispresión, a pesar de que su rango es menor. Ejercicio.9 Una empresa inmobiliaria ofrece apartamentos en régimen de alquiler con los siguientes precios (en euors): precio alquiler (mensual) número de apartamentos

9 ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA Y ANÁLISIS DE DATOS 17 ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA Y ANÁLISIS DE DATOS 18 a) Obtener el alquiler medio por apartamento, el precio más frecuente y el precio que se situa en medio de la oferta. b) Si una persona está dispuesta a gastarse en alquiler entre 150 y 1350 euros al mes, a qué porcentaje de apartamentos tiene opción? c) Por debajo de qué precio están el 80% de los apartamentos? d) Entre qué precios están el 50% central de los apartamentos? Respuestas: a) Empezamos construyendo la tabla de frecuencias, y las columnas auxiliares para realizar los cálculos: [l i 1,l i ) x i n i N i f i x i n i n i /L i [700, 1000) [1000, 1100) [1100, 1300) [1300, 1500) [1500, 1800) [1800, 000) [000, 100] Total El alquiler medio por apartamento lo obtendremos mediante el cálculo de la media aritmética: x = 1 n n x i n i = =189.6 euros/mes El precio más frecuente lo obtendremos mediante el intervalo modal, o bien, si queremos ser más precisos, mediante la moda. Puesto que todos los intervalos no tienen la misma amplitud, para saber cuál es el intervalo modal debemos fijarnos en la columna que contiene los valores de n i /L i ynoenla de las n i. Así pues, el intervalo modal es [1000, 1100), o sea que el precio más frecuente de los apartamentos está entre 1000 y 1100 euros mensuales. La siguiente fórmula permite situar el valor de la moda dentro del intervalo modal [l i 1,l i ): n i+1 L Mo = l i 1 + L i+1 i n i 1. L i 1 + ni+1 L i+1 En nuestro caso, el intervalo modal es [1000, 1100) y substituyendo obtenemos: 0.17 Mo = = euros/mes El precio que se situa en medio de la oferta viene dado por la mediana. El intervalo mediano es [1100, 1300), puesto que en él se situa n/ =15/ = 6.5. Utilizando la fórmula de la mediana, obtenemos: Me = ( ) = euros/mes b) Primero debemos ver dentro de qué intervalos de clase se situa el intervalo de precios que nos piden, esto es, [150, 1350]. [l i 1,l i ) x i n i N i f i x i n i n i /L i [1100, 1300) [1300, 1500) Observando la tabla vemos que el extremo inferior del intervalo [150, 1350] está dentrode[1100, 1300) y el extremo superior dentro de [1300, 1500). Así pues, el número de apartamentos con un precio entre 150 y 1350 euros es = = 1, 4 1 que representa el = 9.6% del total de apartamentos. c) El precio por debajo del cual están el 80% de los apartamentos viene dado por el percentil P 80. Este percentil está dentro del intervalo [1500, 1800), puesto que en él se encuentra el valor 80 n/100 = 80 15/100 = 100. Utilizando la fórmula para el cálculo de los percentiles, obtenemos: P 80 = ( ) = 1650 euros/mes d) El 50% central de los apartamentos viene determinado por el primer y tercer cuartiles. n 4 = 15 4 =31.5 Q 1 [1000, 1100), Q 1 = ( ) = euros/mes n 4 = 315 =93.75 Q 3 [1300, 1500), Q 3 = ( ) = euros/mes. 96 8

10 ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA Y ANÁLISIS DE DATOS 19 Ejercicio.10 Con los datos del ejemplo.3, calcular los coeficientes de asimetría de Pearson y de Fisher. Respuesta: hojas atacadas n i x i x (x i x) 3 n i En el ejemplo.9 hemos calculado x =.68, s n =.11, Mo =, por tanto, el coeficiente de asimetría de Pearson es: As P = x Mo =.68 =0.33. s n.11 A partir de la tabla anterior podemos obtener el coeficiente de asimetría de Fisher: 1 n n As F = (x i x) 3 n i s 3 = /50 n.11 3 = En este caso, el uso de As P no es muy recomendable, puesto que el polígono de frecuencias de esta distribución no tiene forma acampanada (véase figura 1). En cambio, el coeficiente As F indica que hay una mayor asimetría positiva.

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