Un comentario sobre New exact solutions for the combined sinh-cosh-gordon equation

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Guillermo Farías Mendoza
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1 Lecturas Mateáticas Volue 32 (2011), págias ISSN U coetario sobre New exact solutios for the cobied sih-cosh-gordo equatio Jua Carlos López Carreño & Rosalba Medoza Suárez Uiversidad de Paploa, Paploa, Colobia Abstract. Góez & Salas i [1] preseted twelve ew exact solutios of the cobied sih-cosh-gordo equatio. I this ote we show that these solutios ca be foud fro the geeral solutio. Key words ad phrases. Partial differetial equatios AMS Matheatics Subject Classificatio. 35C05 Resue. Góez & Salas e [1] preseta doce uevas solucioes exactas de la ecuació sih-cosh-gordo cobiada. E esta ota, ostraosqueestassolucioessocasosparticularesdelasolució geeral. 1. Itroducció Góez & Salas e [1] cosidera la ecuació sih-cosh-gordo cobiada u tt ku xx + α seh (u)+β cosh(u) =0, (1) dode los subídices deota derivadas parciales, u es ua fució real de las dos variables idepedietes x, t, yα, β, k so paráetros reales o ulos. Haciedo uso de trasforacioes adecuadas, que so estádares e el estudio de este tipo de ecuacioes, los autores e [1], reduce la ecuació (1) a la ecuació diferecial ordiaria 2 ( λ k ) vv 2 ( λ k ) (v +(α + β) v 3 (α β) v =0, (2) dode v = v (ξ) =v (x + λt), así las solucioes exactas de (1), se obtiee de las solucioes exactas de (2), defiiedo u(x, t) := logv(x + λt).

I this ote we show that these solutios ca be foud fro the geeral solutio. Key words ad phrases. Partial differetial equatios. 2010 AMS Matheatics Subject Classificatio. 35C05 Resue.

2 24 Jua Carlos López Carreño & Rosalba Medoza Suárez Mediate el étodo proyectivo de ecuacioes de Riccati geeral, étodo que describe e la secció dos del ecioado artículo, ellos afira que obtiee uevas solucioes exactas de la ecuació (2) y, por ede de la ecuació (1), para uchos valores de k, α y β. E las coclusioes, afira tabié los autores de [1], que el étodo utilizado por ellos e la búsqueda de solucioes exactas de (2), es u étodo poderoso y es ás coplicado que otros étodos. El objetivo pricipal de esta corta ota, es ostrar que la ecuació (2) se puede resolver, usado étodos eleetales y que las doce solucioes ecotradas por Góez & Salas e [1], se puede obteer coo casos particulares de la solució geeral hallada e esta ota; de esta aera las solucioes obteidas e [1], o debería ser cosideradas coo uevas. 2. Solució de la ecuació (2) Siguiedo la sugerecia que se ecuetra e los textos básicos sobre ecuacioes difereciales, ver [2], las sustitucioes v (ξ) =p, v (ξ) = dp dξ = dp perite reducir la ecuació (2), a la ecuació de prier orde dp 1 v p = 1 ( (α + β) p 2(λ k) v2 + α β 2(λ k) dξ = p dp, (3) ), (4) que recooceos coo ua ecuació de Beroulli. Haciedo la sustitució z = p 2, propuesta por Leibiz e 1696, la ecuació (4) se trasfora e la ecuació lieal dz 2 (α + β) z = v λ k v2 + α β λ k, (5) la solució de (5), perite escribir la solució geeral de (2) ediate la expresió ( ( ) (α + β) α β = dξ (λ k) v3 + Cv 2 + λ 2 v, (6) k dode C e ua costate (arbitraria). La solució geeral de (6) se puede expresar via las fucioes elípticas de Weiertrass [3]. Si ebargo, se puede ecotrar solucioes periódicas y solucioes de oda solitarias, para alguos valores particulares de la costate C. Para ello, toado raíz cuadrada e abos iebros de (6), separado variables e itegrado se obtiee (α+β) v 3 + Cv 2 + ( ) = ±ξ + C 1, (7) αβ v

E las coclusioes, afira tabié los autores de [1], que el étodo utilizado por ellos e la búsqueda de solucioes exactas de (2), es u étodo poderoso y es ás coplicado que otros étodos.

3 U coetario sobre u artículo de Góez & Salas 25 dode C 1 es ua costate arbitraria, = λ k. Coo se verá a cotiuació para valores adecuados de la costate C, la itegral que figura e (7) se puede calcular por étodos eleetales. La expresió que aparece e el radical del lado izquierdo de (7), se trasfora e: ( α β (α + β) v 3 + Cv 2 + [ = 2 v v 2 (α β) C (α β) 2 v + [ ( v = 2 v (α β) ) v = v [ (α + β) v Cv +(α β) ] (α β) C 2 2 ] (α β)2 2 + A], (8) co = ( α β 2 (α β)2 (α β) C, A = 2 2. E (8) escogeos C, de odo que A =0, esto es C = ± 2, de (8) se observa que (7) se trasfora e I ± = ( ) v = ± 2 v ± (αβ) (α β) ξ + C 1, (9) e dode I + = ( ) v, I = v + (αβ) ( ) v. v (αβ) Coo = α β 2,sedebecuplirα β>0yα + β>0ó α β<0y α + β<0, la expresió subradical del lado derecho de (9) idica que co el fi de seguir evitado la itroducció de catidades iagiarias, se debe teer que (αβ) y tega sigos cotrarios; lo aterior otiva cosiderar los siguietes dos casos: Caso 1. Supogaos que α>β, < 0. Nótese que tato I + coo I, se puede evaluar por étodos eleetales de cálculo; a aera de ilustració si w = v, etoces 2dw = v así: ( ) 2dw I + = ( =2 arc tg (α β) (α β) w w 2 (αβ) + ( ) =2 arc tg v ; (10) (α β) (α β)

La expresió que aparece e el radical del lado izquierdo de (7), se trasfora e: ( α β (α + β) v 3 + Cv 2 + [ = 2 v v 2 (α β) C (α β) 2 v + [ ( v = 2 v (α β) ) v = v [ (α + β) v Cv +(α β) ] (α β) C 2 2

4 26 Jua Carlos López Carreño & Rosalba Medoza Suárez teiedo e cueta (10) e (9), despejado v se obtiee fialete: ( ) (α β) 1 v = ta2 2 ξ + C 1. (11) De aera aáloga, al ser evaluada I, se obtiee para v la expresió ( (α β) 1+C1 exp ( ± v = ξ) 1 C 1 exp ( ± ξ). (12) Caso 2. Supogaos que α<β,>0. Procediedo de aera siilar al caso 2.1, se obtiee las siguietes solucioes de la ecuació (2) ( ) (β α) 1 v = ta2 2 ξ + C 1. (13) ( (β α) 1+C1 exp ( ± v = ξ) 1 C 1 exp ( ± ξ). (14) E (11), (12), (13) y (14) C 1 es ua costate arbitraria. A cotiuació vereos que todas las solucioes de Góez y Salas e [1] se obtiee de (11), (12), (13) y (14) para ciertos valores particulares de la costate C 1. E efecto, v 1 = (αβ) csc( ξ)+1 csc( es (11), co C 1 = π ξ)1 4, v 2 = (βα) csc( ξ)+1 csc( v 3 = (αβ) csc( ξ)1 v 4 = (βα) ξ)+1 es (13), co C 1 = π 4, csc( ξ)+1 es (11), co C 1 = π 4, csc( ξ)1 csc( ξ)+1 es (13), co C 1 = π 4, v 5 = (αβ) ( cot2 1 ξ) es (11), co C 1 = π 2, v 6 = (βα) cot2 ( 1 2 ξ) es (13), co C 1 = π 2, v 7 = (βα) coth2 ( 1 2 ξ) es (14), co C 1 =1, v 8 = (βα) ta2 ( 1 2 ξ) es (13), co C 1 =0, v 9 = (αβ) ( tah2 1 ξ) es (12), co C 1 = 1,

1, se obtiee las siguietes solucioes de la ecuació (2) ( ) (β α) 1 v = ta2 2 ξ + C 1. (13) ( (β α) 1+C1 exp ( ± v = ξ) 1 C 1 exp ( ± ξ). (14) E (11), (12), (13) y (14) C 1 es ua costate arbitraria.

5 U coetario sobre u artículo de Góez & Salas 27 v 10 = (βα) tah2 1 2 ξ) es (14), co C 1 = 1, v 11 = (αβ) coth2 1 ξ) es (12), co C 1 =1, v 12 = (αβ) ta2 1 ξ) es (11), co C 1 =0. Fialete, Góez & Salas cocluyee[1] elétodo proyectivo de ecuacioes de Riccati es u étodo poderoso para ecotrar solucioes exactas de ecuacioes difereciales parciales o lieales. No obstate, lo ostrado e esta ota os señala que, por lo eos para la ecuació bajo estudio, el étodo usado por ellos o es ta poderoso. Referecias [1] C. A. Góez,A.Salas, New exact solutios for the cobied sih-cosh-gordo equatio, Lecturas Mateáticas, Volue especial (2006), [2] Edwards, Peey, Ecuacioes difereciales co aplicacioes, Pretice-Hall, México,1986 [3] E. T. Whittaker, G. N. Watso, A Course of Moder Aalysis, 4th editio, Cabridge Uiversity Press, Cabridge, (Recibido e febrero de Aceptado para publicació e ayo de 2011) Jua Carlos López Departaeto de Mateáticas Uiversidad de Paploa, Paploa, Colobia e-ail: jclopez@uipaploa.edu.co Rosalba Medoza Suárez Departaeto de Mateáticas Uiversidad de Paploa, Paploa, Colobia e-ail: rosalbae@uipaploa.edu.co

No obstate, lo ostrado e esta ota os señala que, por lo eos para la ecuació bajo estudio, el étodo usado por ellos o es ta poderoso. Referecias [1] C. A. Góez,A.

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