Diplomatura en Ciencias Empresariales X Y

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1 DEPARTAMENTO DE ESTADÍSTICA E INVESTIGACIÓN OPERATIVA Diplomatura en Ciencias Empresariales ESTADÍSTICA II Relación Tema 10: Regresión y correlación simple. 1. Ajustar una función potencial a los siguientes datos: X Y Ajustar una línea recta a los anteriores datos e indicar cual de las dos funciones se ajusta mejor. 2. Se conoce que el consumo de pan en la dieta de los países desarrollados expresado en función de la renta per cápita adopta la forma de una hipérbola equilátera. Se dispone de los siguientes datos: PAÍS Kgs. de pan por Renta per cápita habitantes y año en miles de euros Alemania Bélgica Francia Grecia Holanda Italia Portugal a) Según lo anterior ajustar la correspondiente función. b) En qué medida el consumo de pan está explicado por los valores de la renta per cápita según el anterior modelo. c) Ajustar una recta a los datos anteriores. d) Compara los planteamientos (a) y (c) y comentar los resultados. 3. Ajustar una logística a los siguientes datos que representan el número de aparatos de vídeo, en millones, en los últimos nueve años. 21

2 Año N de aparatos Se desea estudiar la relación entre el consumo familiar mensual de alimentos (X) y la renta mensual (Y ), ambas variables medidas en miles de euros. Se dispone de la siguiente información obtenida sobre 1000 familias x = 60 y = 80 x i y i = x 2 i = yi 2 = i a) Estímese el consumo de una familia con una renta mensual de euros. b) Es fiable la estimación anterior? 5. Una oficina de una inmobiliaria ha observado que durante el mes de agosto, en una localidad costera, el número de apartamentos alquilados varía según el precio de los mismos. Del año anterior se tiene la siguiente información Precio por día N de apartamentos (X) alquilados (Y ) Si el comportamiento de los clientes no variase: a) Cuál sería el precio máximo al que se podrán ofrecer apartamentos en alquiler?. b) Cuántos apartamentos se alquilarían con un precio de 4800 por día?. c) En que medida podemos considerar que el nivel de apartamentos alquilados depende de los precios?. 6. Ajustar un polinomio de segundo grado a los siguientes datos: X Y i i

3 7. Dada la siguiente estadística bidimensional X \ Y a) Calcular el coeficiente de correlación lineal. b) Ajustar una parábola de segundo grado. 8. Los habitantes de cierta localidad (en miles), cada cinco años, han sido Año Habitantes a) Ajustar una recta que exprese el número de habitantes en función del tiempo. Calcular el coeficiente de determinación. Estimar la población para b) Ajustar una función potencial a los datos anteriores y estimar la población para c) Comentar los resultados. 9. Ajustar una función exponencial a la siguiente nube de puntos. Es mejor este ajuste que el obtenido mediante una recta? X Y En una distribución bidimensional de frecuencias unitarias se conoce: i) Los valores de Y: 3, 5, 10, 12. ii) La recta de regresión de X/Y : 2x + y 7 = 0. iii) El coeficiente de correlación lineal al cuadrado: r 2 =0.81. Calcular la ecuación de la recta de regresión de Y/X. 11. Una variable estadística bidimensional tiene las siguientes rectas de regresión mínimocuadrática: 3x 4y + 6 = 0 3x y 3 = 0 Calcular las medias de X e Y y el coeficiente de correlación lineal. 23

4 12. A partir de un conjunto de datos sobre las variables X e Y se ha calculado la regresión de Y/X, obteniéndose los siguientes resultados: Calcular la recta de regresión de X/Y. y 2x + 10 = 0 r 2 = 0.8 y = Se consideran 50 establecimientos de alimentación del mismo tipo, atendiendo a dos factores, tiempo que llevan funcionando (X, en años) y beneficio anual (Y ). Y \ X a) Dar una predicción del beneficio anual para un establecimiento con 12 años de antigüedad. b) Calcular la varianza residual. 14. El valor promedio de las acciones en un grupo de inmobiliarias y en un grupo de bancos en los años aparecen en la siguiente tabla X = Promedio del precio de las acciones inmobiliarias Y = Promedio del precio de las acciones de bancos Año X Y a) Calcular el coeficiente de correlación lineal. b) En el supuesto de que tengamos acciones inmobiliarias, qué le ocurrirá al valor de nuestras acciones si sabemos que las acciones de los bancos aumentarán su valor? En que medida es fiable la anterior estimación? 15. Se han elegido 30 individuos al azar y se les ha preguntado sobre su edad (X) y peso (Y ), resumiéndose los datos obtenidos en la siguiente tabla Y \ X a) Dar una estimación del peso para un individuo de 24 años. b) Estimar la edad de un individuo de 52 kg. 24

5 c) Son fiables las dos predicciones hechas? Alguna es más fiable que la otra?. 16. Una fábrica de cerveza ha tomado al azar 8 semanas de año, observando la temperatura media correspondiente a cada una de ellas y los miles de litros de cerveza pedidos en cada periodo Temperatura media Cerveza pedida Puede la fábrica planificar la cantidad de producción en función de la temperatura esperada? De que forma? 17. En 100 Ha. de tierra se han recogido datos sobre la producción de trigo (X) y cantidad de abono empleada (Y ) por Ha. X \ Y a) Existe alguna relación lineal entre las variables?. b) Dar una predicción de la producción por Ha. para una cantidad empleada de 110 kg. de abono. 18. Las compras de una empresa de importación de productos químicos constituyen el 7 % de las compras del sector. Teniendo en cuenta que en los cinco últimos años el volumen de importación de productos químicos y la producción industrial del sector que ha absorbido esas importaciones han sido: Importaciones Producción a) Cuál será el volumen de importación para esa empresa en un año en el que se prevé que la producción industrial será de 210 millones de euros? 25

6 b) Es buena la anterior estimación?. c) Calcúlese la varianza debida a (o explicada por) la regresión y la varianza residual. 19. La siguiente tabla muestra las ventas y devoluciones en miles de euros de 7 empresas Ventas Devoluciones Dar una predicción lineal de las devoluciones en euros para una empresa con euros de ventas Dada la siguiente distribución bidimensional: X \ Y a) Representarla gráficamente mediante una nube de puntos. b) Calcular las rectas de regresión de X/Y y de Y/X y representarlas. c) Calcular el valor de la razón de correlación. d) Son estadísticamente independientes X e Y? 26

7 Soluciones de la relación del Tema La curva potencial que sea justa a los datos es: y = 10 5 x 1. La recta que se ajusta a los datos es: y = 0.434x Para ver cual de las dos funciones se ajusta mejor hay que calcular en ambos casos la varianza residual. En la función potencial se calcula directamente y queda: σr 2 =0. En la recta se calcula a través del coeficiente de correlación lineal al cuadrado y queda: σr 2 = Claramente se puede afirmar que la función potencial se ajusta mejor, es más, es un ajuste potencial perfecto. 2. a) La función sería la siguiente hipérbola: y = x b) Como rzy 2 = y la covarianza es positiva, podemos afirmar que el consumo de pan está explicado directamente más o menos bien por los valores de la renta per cápita. c) y = 3.645x d) Como r 2 xy =0.8464, podemos afirmar que es mejor el modelo ajustado mediante la recta. 3. y = e 0.49(x 1981) 4. a) Como no se especifica la función a utilizar, usamos una recta: x = y. Sustituyendo y 0 = 180 en la recta obtenemos una estimación sobre el consumo familiar de euros. b) r 2 = 0.892, como es próximo a 1, el ajuste es bueno y parece que fiable, aunque no sabemos si el valor 180 está dentro del rango de valores de al variable Y estudiados. 5. a) Como no se especifica la función a utilizar, usamos una recta: y = x. Teniendo en cuenta que el precio máximo se alcanzará cuando la demanda sea nula, debemos encontrar el valor de X para el que Y se anula, es decir, resolver 0 = x, de donde se obtiene que el precio máximo es de 7056 al día. b) Sustituyendo x 0 = 4800 en la recta ajustada, se deduce que se alquilarán apartamentos, es decir, unos 2656 apartamentos al día. c) r 2 = y r = , por tanto se ve que existe una relación bastante fuerte entre las dos variables, aunque de forma negativa, es decir, que si se aumenta el precio disminuye el nivel de ocupación. 6. y = x + x 2 7. a) r =0.585 b) y = x x 2 1

8 8. a) y = x, R 2 = r 2 = y para 1989 se estima una población de habitantes. b) Si realizamos el cambio a la función lineal quedaría y = a + bx = x. Si deshacemos el cambio nos queda y 0x que es indeterminado para los valores de X, luego para estimar la población usamos la función lineal obtenida en el proceso sustituyendo x 0 = ln 1989 y nos queda , que al deshacer el cambio nos da la estimación de habitantes para el año c) Para saber cual de los dos ajustes es el mejor hay que obtener la varianza residual en ambos casos: en el ajuste lineal σ 2 r = y en el potencial σ 2 r = , luego parece que ajusta mejor la recta aunque hay que tener en cuenta que el valor para el que predecimos está fuera del rango de valores estudiados por lo que la predicción no es muy fiable. 9. Ajuste exponencial: y = 3.9(1.148) x. Si ajustásemos una recta resulta que r 2 =1, es decir, la recta es el ajuste perfecto por tanto seguro que es mejor que el exponencial. 10. y = 1.62x x = 3, y = 2 y r = 0, x = 0.4y a) y = 0.12x Sustituyendo x 0 = 12 en la recta obtenemos una estimación sobre el beneficio anual de b) r 2 = y σ 2 r = a) r = b) Como r < 0, si aumenta el valor de las acciones de los bancos disminuye el valor de nuestras acciones. Ya que r 2 =0.18, dicha afirmación no es muy fiable. 15. a) Como no se especifica la función a utilizar, usamos una recta: y = 0.830x Sustituyendo x 0 = 24 en la recta obtenemos una estimación sobre el peso de kg.. b) Como en el apartado anterior, usamos una recta: x = y Sustituyendo y 0 = 52 en la recta obtenemos una estimación sobre la edad de 20.6, es decir, unos 21 años aproximadamente. c) r 2 =0.11, este coeficiente es el mismo para ambas, y por su valor las dos predicciones son poco fiables. El que sea igual para ambas ocurre en el ajuste lineal, pero no tiene por que pasar en el resto de los ajustes estudiados. 16. Como r 2 =0.956, podemos afirmar que si se puede planificar la cantidad de producción en función de la temperatura esperada, y una forma de hacerlo es mediante una regresión lineal: y = 3.06x a) r = 0,6877, luego existe cierta relación lineal positiva, pero no muy fuerte. b) x = 0.108y , sustituyendo y 0 = 110 podemos predecir una producción de kg. de trigo por Hectárea. 2

9 18. a) Como no se especifica la función a utilizar, usamos una recta: y = x Sustituyendo x 0 = 210 en la recta obtenemos una estimación sobre el volumen de importación para el sector de millones de euros. Como la empresa representa el 7 % de las compras del sector, obtenemos dicho porcentaje del volumen de importación estimado, y estimamos que le volumen de importación para la empresa en una año será de millones de euros. b) r 2 = 0.996, como es muy próximo a 1, el ajuste es muy bueno y fiable el valor 210 está dentro del rango de valores de al variable Y estudiados. Por tanto podemos afirmar que la estimación anterior es muy buena. c) σ 2 r = y σ 2 e = Recordar que σ 2 y = σ 2 r + σ 2 e. 19. y = x Sustituyendo x 0 = 22 en la recta obtenemos una estimación sobre las devoluciones de euros. 20. b) La recta de regresión X/Y : x =2.3, la recta de regresión Y/X: y =15. c) r 2 = 0 d) Si son estadísticamente independientes, no porque r 2 = 0, sino porque de las rectas se ve claramente que no dependen de los valores de la otra variable, además se verifica n ij = n i.n.j n 3