Regla de la Potencia para la Integración

Transcripción

1 Regla de la Potencia para la Integración Ejercicios. Calcule cada integral y compruebe los resultados derivando 1. Si comparamos con la definición entonces y Si derivamos obtenemos 2. Para que tenga la forma multiplicamos y dividimos por 3 Si derivamos obtenemos 3. El ejercicio se puede expresar Para que tenga la forma multiplicamos y dividimos por 4 1

2 Si derivamos obtenemos 4. El ejercicio se puede expresar Para que tenga la forma multiplicamos y dividimos por -5 Si derivamos obtenemos Problemas de Aplicación 1. El costo de producción de paneles solares se reduciría a razón de, donde t es el número de años que han pasado desde 1990, para ese año los panales costaban $10 dólares. 2

3 a. Halle la expresión que proporcione el costo de producción de celdas solares al inicio del año t. b. Cuál será el costo de las celdas en el 2000? Para hallar la expresión del costo de producción debemos hallar Que podemos expresar Para que tenga la forma multiplicamos y dividimos por 3 La ecuación general sería Como para 1990 los panales costaban $10 dólares. Despejando Entonces se obtiene la ecuación particular Si queremos saber el costo de los paneles en el 2000 hallamos t Remplazando Lo que quiere decir que para el 2000 los paneles solares tendrán un costo aproximado de $0.93 dólares 3

4 2. El encargado de admisiones de cierta universidad estima que la inscripción de los estudiantes aumentará a razón de Alumnos por años, dentro de t años. Si la inscripción actual es de 1000 estudiantes a. Encuentre la expresión total de estudiantes inscritos dentro de t años. b. Cuántos estudiantes se inscribirán dentro de cinco años? Para hallar la expresión total de estudiantes inscritos debemos hallar Que podemos expresar Para que tenga la forma multiplicamos y dividimos por 0.2 La ecuación general sería Si la inscripción actual es de 1000 estudiantes Despejando Entonces se obtiene la ecuación particular Para saber cuántos estudiantes se inscribirán dentro de cinco años, hacemos 4

5 Remplazando En cinco años el número de inscritos será de 1586 estudiantes Integrales que Involucran Funciones Exponenciales Ejercicios Calcule las integrales El ejercicio lo podemos escribir Tiene la forma fórmula, aplicando la 3. Para que quede expresado de la forma, multiplicamos y dividimos por 2 Factorizamos 4. La expresión se puede escribir 5

6 Si multiplicamos y dividimos por -2 Factorizamos Problemas de Aplicación 1. La tasa de cambio del valor de una casa cuya construcción costo $ dólares puede modelarse por medio de, donde t es el tiempo en años desde que la casa fue construida y V es el valor (en dólares) de la casa. a. Encuentre V(t) b. Determine el valor de la casa 10 años después de construida La expresión equivale a Multiplicamos y dividimos por 0.05 = +, obtenemos la ecuación general Para t=0 V=350000, remplazando hallamos el valor de la constante C Para hallar el valor de la casa 10 años después de construida hacemos t=10, remplazamos 6

7 En 10 años la casa costará dólares 2. Suponga que l ingreso marginal por la venta de x unidades de un producto es Cuál es el ingreso en dólares por la venta de 100 unidades del producto? La expresión equivale a Multiplicamos y dividimos por 0.01 = +, obtenemos la ecuación general Para x=0 R(x)=0, remplazando hallamos el valor de la constante C Para hallar el ingreso por la venta de 100 unidades hacemos x=100 El ingreso por la venta de 100 unidades será de dólares aproximadamente Integrales que Involucran Funciones Logarítmicas Ejercicio. Calcule cada integral 1. 7

8 Como podemos observar la cifra del numerador (8) corresponde a la derivada de la expresión del denominador (8x), por lo que el integrando tiene la forma aplicando la formula obtenemos 2. Multiplicamos y dividimos el integrando por 4 Factorizamos El integrando tiene la forma, resolvemos 3. Observamos que la derivada del denominador del integrando ( es, por lo tanto al numerador le faltaría multiplicarlo por 6 entonces multiplicamos y dividimos el integrando por 6 Factorizamos el 6 del denominador El integrando tiene la forma, resolvemos Problemas de Aplicación 1. La tasa de cambio de la demanda de cierto articulo está dada por, si cuando el precio es de 7 dólares se demandan 27 unidades, calcule la demanda si el precio se incrementa en 14 dólares Debemos hallar Factorizamos El integrando tiene la forma, resolvemos y obtenemos la 8

9 ecuación general Como para p=7 dólares x(p)=27 unidades Para p=14 dólares Si el precio se incrementa en 14 dólares se demandarían 26 unidades 2. Suponga que el costo marginal (en dólares) para un producto está dado por, donde x es el número de unidades producidas a. Encuentre la función costo b. Si producir 5 unidades cuesta 1980 dólares cuál será el costo de producir 50 unidades? Debemos hallar Factorizamos El integrando tiene la forma u+c, resolvemos y obtenemos la ecuación general Como C(5)=1980 Para x=50 unidades Producir 50 unidades costaría 2867 dólares Segundo Teorema Fundamental del Cálculo Si f es una función continua en un intervalo cerrado [a, b] y si F es una antiderivada de f, entonces: 9

10 Ejercicios Calcular las integrales definidas de las siguientes funciones Problemas de Aplicación 1. La función ingreso marginal de una empresa está dada por. Determine el incremento en el ingreso total de la empresa cuando el nivel de ventas se incrementa de 100 a 200 unidades Debemos calcular Integrando Simplificando remplazando y El incremento en el ingreso de la empresa si el nivel de ventas se incrementa de 100 a 200 unidades será de 950 unidades monetarias 2. Si el costo promedio de reparación de un automóvil con t años de antigüedad es dólares por año, calcule el costo total de reparación durante los primeros 2 años y durante el periodo t=4 y t=6 Debemos calcular Integrando Simplificando Remplazando 10

11 El costo total de reparación de un automóvil con 2 años de antigüedad será de dólares Para un periodo de t=4 Calculamos Remplazando El costo total de reparación de un automóvil con 4 años de antigüedad será de dólares Para un periodo de t=6 Calculamos Remplazando El costo total de reparación de un automóvil con 6 años de antigüedad será de dólares Encontramos que a mayor antigüedad del automóvil mas es el costo de reparación 11