Matemáticas 2 o ESO Problemas Curso

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1 Matemáticas 2 o ESO Problemas Curso

2 1 GEOMETRÍA Y ECUACIONES 2 1. Geometría y ecuaciones Resolver los siguientes problemas de geometría: 1. Los catetos de un triángulo rectángulo miden 2 y 10 cm. Cuánto mide la hipotenusa? 2. En un triángulo rectángulo la hipotenusa mide 29 cm y un cateto 21 cm. Calcular el otro cateto.. Las diagonales de un rombo miden 90 y 6 cm. Calcular el perímetro.. Las bases de un trapecio isósceles miden y 6 cm respectivamente. Calcular el área del trapecio sabiendo que los lados iguales miden 10 cm.. A qué distancia del centro de una circunferencia de 10 cm de radio se encuentra una cuerda de 16 cm de longitud? 6. En un triángulo rectángulo la hipotenusa mide 2 cm y uno de sus catetos 1 cm. Cuánto mide el otro cateto? 7. La diagonal de un rectángulo mide 17 cm y uno de sus lados 9 cm. Cuánto mide el otro lado? 8. Hallar el lado de un rombo cuyas diagonales miden 8 y 1 cm. 9. De un rombo se conoce una de sus diagonales 16 cm y el lado 17 cm. Cuánto mide la otra diagonal? 10. Las bases de un trapecio rectángulo miden 17 y 11 cm, y el lado oblicuo, 10 cm. Cuánto mide la altura? 11. Hallar con una cifra decimal la altura de un triángulo equilátero de 12 cm de lado. 12. El lado de un pentágono regular mide 12 cm y el radio de la circunferencia circunscrita al polígono 10,2 cm. Calcular la apotema. 1. La diagonal de un rectángulo mide 101 m y uno de sus lados 20 m. Calcular el área del rectángulo. 1. El lado de un rombo mide 8 cm y una de sus diagonales 72 cm. Calcular la otra diagonal y el área del rombo. 1. Calcular el perímetro y el área de un trapecio isósceles cuyas bases miden 100 y 16 cm y el lado oblicuo cm. Resolver las siguientes ecuaciones: 16. x + = x = 18. 2x = x = x x = x 9 = x x = x 6 + x 2. 7x + + x = 1 + 2x x = 2x + + 7x 2. (x 7) + 1 = 2x (x ) = 2x (x ) = 2(x )

3 2 NÚMEROS ENTEROS (2x + )(x 2) = (2x + 1)(x ) (x )(x 2) = (x )(x + ) ( 2x)(x ) = (2x 2)( x) 1. (x ) 7x = (6x ) (2x ) = x (x ). 6x (1 x) 2x = 16 2(x + ). 1 x + (2x ) = 2 (x 2). x 1 + (x 1) = 8 (7x + 6) x 6. x + 6 = x x = x 9 2. Números enteros 8. Calcular: a) 0 + [2 ( + )] b) 60 + [(2 ) + 6] 9. Quitar paréntesis y calcular: a) 0 [( 1) ( )] b) 20 + [( ) + (6 2) ] 0. Efectuar: 00 [6 + (11 ) (7 2) + ( + )] 1. Calcular: 8 + [9 [(6 ) + ] 11 (9 2)] 2. Efectuar: 20 [(6 + ) ( + 1) + 2] + 2 [12 (9 )]. Calcular: ( 20) + (8 ) : 2. Calcular: : 1. Calcular: + (120 70) 6 : Calcular: (12 9) : Calcular: 0 + [1 60 : 10 + (8 8) : ] Al repartir 16 euros entre cierto número de personas obtenemos que a cada persona le tocan 9 euros y en total sobran 10 euros. Cuál es el número de personas? 9. Qué número hay que restar a 20 para que al dividir el resultado entre 9 tengamos una división exacta? 0. Calcular: a) (1 + 20) : b) ( ) : 2 1. Calcular: a) ( + 2) : + (11 8) : b) ( + ) : 9 + (1 : ) 2. Calcular (0 20) : : + (0 2) : (9 6). Efectúa 00 [(6 1) 8 : + 1 : (7 )] +

4 2 NÚMEROS ENTEROS. Para hacer un trabajo hemos tenido que comprar material por 6 euros y hemos cobrado 200 euros, cuánto dinero queda para cada uno de los tres amigos que hemos hecho el trabajo?. De un silo con capacidad para 68 toneladas de grano se han sacado 00 sacos de 0 kg cada uno. Cuántos kg de grano quedan en el silo? 6. Hemos comprado un sofá y una mesa por 600 euros. Si el sofá vale tres veces más que la mesa, cuánto vale cada objeto? 7. Se vendieron 200 CD de una colección a 12 euros cada uno. Qué beneficio se obtuvo si los CD se compraron a 8 euros cada uno? 8. Compré 00 carpetas a 6 euros cada una. Vendí cierto número de ellas a euros cada una consiguiendo 00 euros. Cómo tengo que vender el resto para no perder dinero? 9. Un depósito se puede llenar por dos grifos. El primero vierte 10 litros en minutos y el segundo 180 litros en 9 minutos. Cuánto tiempo tardará en llenarse el depósito si tiene una capacidad de 0 litros? 11 minutos) 60. Un estanque tiene dos grifos que vierten 117 litros en 9 minutos y 112 litros en 8 minutos respectivamente. Tiene un desagüe por el que salen 2 litros en 6 minutos. El estanque contiene 00 litros cuando se abren los dos grifos y el desagüe, y tarda 8 minutos en llenarse. cuál es la capacidad del estanque? 10 litros) 61. Hemos contratado los servicios de una empresa de reciclaje de papel de forma que la empresa cobrará 70 euros cada día que trabaje y 0 euros por cada día que, sin culpa suya, no trabaje. Al cabo de días la empresa ha recibido 2000 euros. Cuántos días trabajó y cuántos no trabajó? 62. Un padre pone 1 problemas a su hijo, ofreciéndole euros por cada uno que haga bien, pero perderá 2 euros por dada uno que no resuelva. Después de hacer los 1 problemas quedaron en paz. Cuántos problemas resolvió y cuántos no resolvió? 6. Escribe cinco números enteros negativos y cinco números enteros positivos. 6. Escribe tres números enteros que no sean naturales. 6. Expresa con número enteros las siguientes situaciones: a) El avión vuela a 8000 metros sobre el nivel del mar. b) La temperatura mínima ha sido de 8 o bajo cero. c) Euclides nació en el 1 antes de Cristo. d) Tener 2000 euros. e) Deber 000 euros. f ) Temperatura de 20 o sobre cero. g) temperatura de 1 o bajo cero. h) Una profundidad de 00 m bajo el nivel del mar. 66. Escribe tres números enteros negativos y dos positivos cuyo valor absoluto esté comprendido entre y Escribe dos números enteros cuyo valor absoluto sea Escribe cuatro números enteros negativos cuyo valor absoluto sea menor que Ordena de menor a mayor y representa en una recta numérica los siguientes números: a) 6, 8,,, 7, 1, 2, b) 10,, 6,, 12, 7, 8, Calcular el valor absoluto de los números enteros del apartado anterior.

5 2 NÚMEROS ENTEROS 71. Efectúa las siguientes operaciones: a) b) 2 ( ) + ( 12) : Calcular: a) : ( 6) + ( 2) b) ( ) + ( 8 + 2) 7. Efectuar las siguientes operaciones: a) 2 + 2( + ) + 2 : ( 2) b) (1 18) + 6 : + 2(2 20) 7. Calcular: a) + 2( + 2) + 1 : 1 b) 12 ( ) 1 + (1 + ) + 27 : ( ) 7. Calcular: a) 20 + (7 12) : b) 0 (0 ) : ( 6) + 9 : ( ) 76. Haz las siguientes operaciones de dos formas diferentes aplicando en una de ellas la propiedad distributiva: a) (12 + 8) b) (10 + 2) c) ( 1) 77. Aplica la propiedad distributiva para calcular: a) 2 (1 10) + (12 1) b) (0 10) + (12 + ) 78. Efectuar las siguientes operaciones: a) (2 ) + (8 1) : ( 2) b) + (2 ) + (8 1) : ( 2) 79. Calcular: a) 8 + ( 2 + ) 10 : + b) 22 + ( ) Calcular: a) 7 + ( + 2) + (8 16) (18 16) b) ( 18) + 2 (18 10) 81. Calcular: a) 7 + ( + 8) + (6 ) (86 6) b) 2 (8 9) + 2 (1 12) + 2 : Un termómetro marca o C. Si pasadas 2 horas el termómetro marca 9 o C, cuántos grados ha descendido la temperatura? 8. El valor de unas acciones de cierta empresa es de 22 euros. Cinco días antes su valor era de 2 euros. Cuántos euros ha descendido el valor de la acción? 8. Escribe cuatro números de dos cifras que sean múltiplos de Escribe cinco múltiplos de 8 y cinco múltiplos de Di si los números 210, 180, 227, 800 y 19 son múltiplos de 1. Expresa loa resultados con los símbolos a = 1 o o a 1. o 87. Calcular todos los múltiplos de 2 comprendidos entre 60 y Escribe seis divisores de Indica, de los siguientes números, cuáles son divisibles por o por 9: Divisible por Divisible por Indica de los siguientes números, cuáles son divisibles por y por 7:

6 2 NÚMEROS ENTEROS 6 Divisible por Divisible por Indica cuáles de los siguientes números son divisibles por 2, por o por : Divisible por 2 Divisible por Divisible por Calcular los divisores de: a) 160 b) 20 c) Por qué cifra puede reemplazarse la letra x en el número 1x para que sea divisible por? 9. Por qué cifra puede reemplazarse la letra x en el número 1x para que sea divisible por 2 y por? 9. Por qué cifra puede reemplazarse la letra x en el número 69x para que sea divisible por 2 y por? 96. Descompón en factores primos: a) 10 b) 0 c) Escribe dos números primos entre sí. 98. Indica si los siguientes grupos de números son o no primos entre sí: a) 9 y 1 b) 9 y 6 c) 18 y ALGORITMO DE EUCLIDES Se basa en estas propiedades: El máximo común divisor de dos números es igual al máximo común divisor del menor de ellos y del resto de dividir el mayor por el menor. El máximo común divisor de dos números es igual al máximo común divisor del menor de ellos y de la diferencia entre los dos. 99. Calcula el máximo común divisor de los siguientes números: a) 1 y 20 b) 20 y 108 c) 170 y 20 d) y Calcula el máximo común divisor: a), 77 y 121 b) 2, 800 y 90 c) 6, 812 y 870 d) 20, 60 y Calcula el mínimo común múltiplo de los siguientes números: a) 2 y 80 b) 8 y 168 c) 6 y 69 d) 60 y Calcula el mínimo común múltiplo de los siguientes números: a) 2, 8 y 108 b) 18, 2 y 0 c) 1, 16, 8 y 10 d) 1, 28, 0 y 120 PROPIEDAD: El producto del máximo común divisor por el mínimo común múltiplo de dos números es igual al producto de los dos números.

7 NÚMEROS FRACCIONARIOS El MCD de dos números es 11 y el mcm es 20. Cuál es el producto de los números? 10. El mcm de dos números es 0 y el MCD es. Si uno de los números es 18, cuál es el otro número? 10. Dos cuerdas de 6 y 8 metros de longitud se quieren dividir en trozos iguales y de la mayor longitud posible. Cuál será la longitud de cada trozo? 106. Cuál será la mayor capacidad de un recipiente con el que se pueda medir exactamente 10 litros, 60 litros y 800 litros? 107. Cuál es la menor capacidad de un estanque que se pueda llenar en un número exacto de minutos por cualquiera de tres grifos que vierten 10 litros por minuto, 12 litros por minuto y 0 litros por minuto respectivamente? 108. Tres caballos arrancan juntos en una carrera sobre una pista circular. El primero tarda 10 segundos en dar una vuelta, el segundo 11 segundos y el tercero 12 segundos. Al cabo de cuantos segundos pasarán juntos por la línea de salida y cuántas vueltas habrá dado cada uno en ese tiempo?. Números fraccionarios 109. Escribir tres fracciones propias, tres impropias y tres iguales a la unidad Un caminante ha andado los Cuántos quedan? de los 120 km que debía recorrer. Cuántos km ha caminado? 111. Se han pagado los de los 00 euros que debemos. Cuánto hemos pagado? 112. Un vehículo puede transportar 1800 kg. Si lleva las partes de dicho peso, cuántos kg transporta? 11. Se pueden alquilar los 7 de las 92 hectáreas de cierta finca. Cuántas hectáreas se pueden alquilar? Identificar de los siguientes pares de fracciones, las que son equivalentes: a) 7 y 1 b) 21 7 y 6 c) y 0 d) 8 1 y Identificar de los siguientes pares de fracciones, las que son equivalentes: a) 18 y 1 b) 1 6 y 11 c) y 0 d) y Reducir a común denominador las siguientes fracciones: a) y 2 b) 2, 2 y 1 c) 12 1 y Reducir a común denominador las siguientes fracciones: a), 20 y 7 b) y c) 1 2 1, 12 y 118. Completar: a) = 12 b) 1 = 6 c) 2 = 68 d) 9 = Simplificar las siguientes fracciones hasta hacerlas irreducibles: a) 21 b) 0 c) 8 d)

8 NÚMEROS FRACCIONARIOS Simplificar las siguientes fracciones hasta hacerlas irreducibles: a) 192 b) 199 c) 99 d) Simplificar las siguientes fracciones hasta hacerlas irreducibles: a) 6 b) 6 c) 0 d) Ordenar de menor a mayor las siguientes fracciones: a) 8 1, 1 1 y b) 1 1 6, 11 6 y 7 c) 6 6, 17 y Ordena de menor a mayor las siguientes fracciones: a) 7 12, 8 y 6 b) 8, y 2 c) 7 9 6, 1 y 9 12 d) 7, y 10 d), 2 7 y Representar en una recta las fracciones: a) b) 2 10 c) 2 9 d) 12 6 e) 12. Escribir tres representantes de los números racionales siguientes: a) b) 9 c) d) Escribir los números 8,, 9 y 1 en forma de fracción Escribir como fracción irreducible los siguientes números racionales y representarlos: a) 8 b) c) 28 d) Operar: a) b) c) d) Calcular: a) b) c) d) Calcular: a) b) c) d) Calcular: a) 2 9 b) 8 + c) 1 2 d) Calcular: a) b) c) d) Calcular: a) b) c) d) Multiplicar: a) b) 8 2 c) d)

9 NÚMEROS FRACCIONARIOS 9 1. Multiplicar: a) b) c) 10 9 d) Dividir: a) 7 : 9 b) 10 : 1 8 c) 16 : d) 2 : Dividir: a) 6 1 : b) 6 : 8 c) 9 : 1 7 d) 1 : 18. Calcular: a) Calcular: a) : 1 8 b) + 1 : 2 b) : 6 2 c) : c) : Calcular: a) 2 ( 1 2 ) + b) + 1 ( ) + 2 c) 7 + ( ) : Calcular: ( 1 a) + ) + 10 b) ( 2 ) + 1 : c) 1 ( ) : Un granjero vende un octavo de su finca, alquila otro octavo y cultiva el resto. Qué parte de finca cultiva? (Respuesta: 6 8 ) 1. En un colegio hay 2 alumnos en total. El número de alumnas es 7 18 hay en el colegio? del total. Cuántos alumnos 1. La edad de Eva es la mitad de los dos tercios de la de Pablo. Si éste tiene 2 años, cuántos tiene Eva? (Solución: 8 años) 1. Cuál es el número cuyos 2 equivalen a 0? (Solución: 12) 16. Si un amigo me debe una cantidad igual a los siete octavos de 96 euros y me paga los tres cuartos de lo que me debe, cuánto me debe aún? (Solución: 21 euros) 17. Si en 20 minutos estudio los 2 horas) de una página, en cuánto tiempo estudiaré diez páginas? (Solución: 18. Con los 8 y los 2 de mi dinero he comprado una máquina de 700 euros. Cuánto dinero tenía y 7 cuánto me quedó? (Solución: euros y 800 euros) 19. Un padre reparte una cantidad de dinero entre sus tres hijos de forma que el mayor recibe un tercio de la cantidad, el segundo dos quintos del resto y el tercero los 000 euros restantes. A cuánto ascendía la cantidad? (Solución: 700 euros) 10. Javier puede hacer un trabajo en días y Paloma en 8 días. En cuántos días pueden hacer el trabajo los dos juntos? (Solución: días y 1 1 de día) 11. Después de gastar 1 de mi dinero me quedan 2 euros. Cuánto dinero tenía? (Solución: 6 euros)

10 POTENCIAS Y RAÍCES Al vender una parcela por euros gano 17 (Solución: 8670 euros) de lo que me costó. Cuánto pagué por la parcela? Resolver las siguientes ecuaciones: 1. x + x 2 + x = x + = x x = x x x x x 9 x + 2x = x 6 = 2x + + x 1 9 x x x = 1 + x 27 x 2 = x Escribir en forma de fracción decimal los siguientes números decimales: a) 26, b) 19, 0 c) 0, d) 20, 161. Expresar en forma decimal las siguientes fracciones y clasificar los números decimales obtenidos: a) 20 b) 0 c) 1 9 d) Escribir las fracciones generatrices de los siguientes números decimales: a) 1, 7 b), c) 0, 18 d) 1, 216 e) 0, 6 f ) 0, 00 g), 67 h) 7, Potencias y raíces 16. Expresar en forma de potencia cuando sea posible y calcular el resultado: a) b) ( 2) ( 2) ( 2) c) Calcular las siguientes potencias: a) ( ) 2 b) ( ) 2 c) 7 ( ) 1 d) 6 ( ) Indicar, sin calcularlas, el signo de las siguientes potencias: a) ( 2 ) 9 b) ( ) 8 c) 8 ( ) 1 1 d) ( 7 ) 20 9

11 POTENCIAS Y RAÍCES Calcular: a) ( 2 ) b) ( 2) c) ( ) 2 d) e) 6 2 f ) ( 1) 1 g) 1 0 h) [ ( ) ] 2 i) 2 ( 2) 2 2 PROPIEDADES DE LAS POTENCIAS 1. Producto de potencias de la misma base: a m a n = a m+n 2. Cociente de potencias de la misma base: a m a n = am n. Potencia de una potencia: (a m ) n = a mn. Potencia de un producto: (a b) n = a n b n. Potencia de un cociente: ( a b ) n = a n b n 167. Expresa en forma de una única potencia: a) d) g) j ) ( ) 2 1 ( ) 1 b) ( ) ( ) 2 e) [ ( ) ] 2 8 h) ( ) 6 ( 7 7 : 6) k) ( ( 7 9 ) 9 ( ) 6 c) ) ( ) 7 f ) 9 ( 1 ( 6) i) 2) [ ( ) ] 2 1 l) 10 [ (2 ) ] 2 7 ( 6 8 ( : ) 6 ) ( 6 ( : ) ) ( 1 ) ( ) 1 POTENCIAS DE EXPONENTE ENTERO a 0 = 1 a n = 1 ( ) n 1 a n = a

12 POTENCIAS Y RAÍCES Calcular: a) [ ( ) 2] 2 b) 2 : 2 0 c) 7 : 7 d) ( 2) e) 100 : f ) ( ) 2 g) [ ( ) 1] j ) ( 2) 2 : ( 2) h) 6 i) [ (1) 2] k) 169. Calcular: a) ( 1 ) b) [ (6 ) ] 9 0 c) ( 7 ) d) [ (2 ) ] Calcular: a) ( ) 2 ( ) 2 b) ( ) 1 ( ) 6 1 c) ( ) 1 ( ) 6 1 d) ( ) 2 ( ) 6 : Escribir en notación científica: a) b) c) 0, d) 0, Escribir como número decimal: a) 7, b), c) 6, d), RAÍZ CUADRADA La raíz cuadrada de un número N es un número que elevado al cuadrado es igual a N: N = x x 2 = N ( N ) 2 = N Propiedades: a) Los números positivos tienen dos raíces cuadradas. Los números negativos no tienen raíz cuadrada. b) xy = x y x x c) u = y 17. Calcula las siguientes raíces cuadradas descomponiendo en factores primos: a) 78 b) 202 c) 2916 d) 2722 e) 729 f ) 200

13 POTENCIAS Y RAÍCES Calcula la parte entera de los siguientes números: a) 92 b) 2 c) 1000 d) 7 e) 110 f ) 269 g) 7 h) Calcula con un decimal: a) 128 b) 26 c) 18 d) Calcular: a) 16 6 b) 8 2 c) 27 d) En un triángulo rectángulo los catetos miden respectivamente 21 y 28 cm. Hallar la hipotenusa y el área La fórmula del área de un triángulo equilátero es l2. Obtenerla. item Calcular el área de un triángulo equilátero de 6 cm de altura La apotema de un triángulo equilátero mide 6 cm. Calcular su altura, su lado y su área El área de un triángulo equilátero mide 9 m 2.Hallar el lado Hallar la altura de un triángulo equilátero cuya superficie mide dm Calcular el área de un hexágono regular de 0 cm de lado. 18. En un romboide de lado menor 1 dm la proyección del lado menor sobre el mayor mide 12 dm. Calcular la altura del romboide. 18. El lado menor de un romboide mide 26 cm y la proyección del menor sobre el mayor 12 cm. Calcular la altura. 18. Las bases de un trapecio isósceles miden 0 y 20 dm respectivamente y el lado no básico 2 dm. Calcular su altura Los lados iguales de un trapecio isósceles miden cm y las bases 0 y 90 cm. Calcular su altura En un trapecio rectángulo, las bases miden 80 y 91 cm y el lado oblicuo 61 cm. Calcular el perímetro y el área Calcular la longitud de una circunferencia en la que una cuerda de 66 cm se encuentra a 6 cm del centro El radio de la circunferencia inscrita en un cuadrado mide 12 cm. Hallar la longitud de la circunferencia circunscrita a dicho cuadrado La base de un prisma recto de 0 cm de altura es un trapecio rectángulo cuyas bases miden 110 y 18 cm y el lado oblicuo 7 cm. Calcular el área lateral y el área total del prisma La base de un prisma recto es un rombo cuyas diagonales miden 1 y 10 cm. La altura del prisma es de 0 cm. Calcular el área lateral, el área total y el volumen Calcular la arista lateral de una pirámide de base cuadrada sabiendo que el lado de la base es 80 cm y la altura 2 cm. 19. Calcula el área lateral y el área total de una pirámide regular en la que la base es un cuadrado de 72 cm de lado y tiene una altura de 77 cm. 19. Calcular el área lateral, el área total y el volumen de una pirámide regular de base cuadrada sabiendo que su altura es 6 cm y el lado de la base 112 cm.

14 MONOMIOS Y POLINOMIOS 1. Monomios y polinomios 19. Completar el siguiente cuadro: MONOMIO COEFICIENTE PARTE LITERAL GRADO 2x ax 2 x 2 y 2 a2 xy 196. Reducir: a) x + x + x + x b) x + x + y + y c) 2x + 2y + x y d) x + x 2 e) 2 x + x f ) x x 2 + y y 197. Reducir: a) x x + x + 2x b) x + x 2 2x + x 2 c) x + + 2x + 2 d) x + x 2 7x + + 2x Multiplicar los siguientes monomios: ( ) a) (2x) (7x) 1 b) (x) x ( ) c) x 2 x 2 d) ( 6x) x e) ( a 2) (ax ) f ) ( x 2) ( 2x) g) ( x 2 y z ) (xyz 2) ( ) ( ) 1 h) ab2 a2 c i) ( ( ) ( ) 2x 2) 2 ax a2 x j ) 2 ( ) ( ) 2 ax a2 x 199. Escribir como fracción y simplificar: a) x x b) x x 2 c) x x d) (1x 2 ) (x 2 )

15 MONOMIOS Y POLINOMIOS 1 e) (2x 6 ) (6x 2 ) f ) (8x 2 ) (x ) g) (12x 2 y ) ( xy 2 ) h) ( 10x y) (2x y) i) (9x y 2 ) (x 2 ) j ) (18x ) (6x + x ) 200. Escribir el grado de cada uno de los siguientes polinomios: a) x x + b) 8x + 2 c) x + x 2 + x x x d) x 2 7x + x Reducir y ordenar según el grado: a) x + x 2 + x x x b) x 6x x 2 + x Sean los polinomios M = x x 2 x y N = x + x 2 + 6x + 8: a) Calcular el valor numérico de M para x = 1, x = 2 y x = 1 2. b) Calcular el valor numérico de N para x = 1, x = y x = Se consideran los polinomios E = x 7x + x 1, F = x x 2 + x + 6 y G = 2x x 6x 2 + 2x +. Calcular: a) E + F b) F E c) E G d) F + G E 20. Multiplicar: 20. Reducir: a) (2x + 1) b) ( ) (x 2 + x 2) c) x (x + x 2 + x + 1) d) ( 2x) (x x 2 + 7) e) x 2 (x 2 + x + 1) f ) x 2 (x 6x 2 + 8x) a) x (x 2 + x 1) + x (2x x + ) b) x (x 2 + x 1) x (2x x + ) 206. Calcular los siguientes productos: a) (x + 1) (x 2 + x + 1) b) (2x 1) (x 2 x 2) c) (x + 7x ) (x 2 + 2x 1) d) (x 2x 2 2x + 1) (x 2 + 2x + ) e) (x + ) (x 2 ) f ) (1 6x x 2 ) (1 x 2 ) 207. Efectuar la siguiente división: (2x 2x 2 + 9x ) (2x ) y comprobar que el dividendo es igual al divisor por el cociente más el resto Efectuar las siguientes divisiones: g) (8x 2x 2 + 9x + 1) (x ) h) (x + 2x 2 26x + ) (x 2 + 6x ) i) (x + x + 2x 2 + x + 1) (x 2 + x + 1) j ) (6x x + 7x 2 9x + 8) (2x 2 x + 1)

16 MONOMIOS Y POLINOMIOS 16 CUADRADO DE LA SUMA Y LA DIFERENCIA (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 (a b) 2 = a 2 2ab + b 2 SUMA POR DIFERENCIA (a + b)(a b) = a 2 b Calcular: a) (x + 2) 2 b) ( x) 2 c) (x + )(x ) d) (x 1) 2 e) (2x + ) 2 f ) (2x + )(2x ) 210. Calcular: a) (x + 2) 2 b) ( 2x) 2 c) (x + 1)(x 1) d) (2x 1) 2 e) (7 2x) 2 f ) (x + 1)(x 1) 211. Sacar factor común en: a) x 2x + x 2 6x b) 2x 2 + 0x + x 6 c) x y x 2 y 6x y d) a b 2 a b + 2a 2 b e) 6a b + a 2 b 2 6ab 8ab f ) 2x y x 2 y + 6x y 2x y 212. Calcular: a) (x 2)(x + 1) b) (x 2 6x + )(x 2) c) ( x + 2x + 1)(x 2 + 2) d) (a 2 ab + b 2 )(a + b) e) (x 2 + x + 1)(x 2 x + 1)(x 2 + 1) f ) (x 2 + x + 1)(x 2 x 1) 21. Calcular: a) (2x 1) + 2(x 2) (x + 1) b) (2x + 1)(x 2) + (x 1)(x + ) c) [2(x 1) 2( + 2x)] + (x + ) d) (x ) 2 + (x + )(x + 1) (2x )(x 2) e) (x + 1) 2 + 2(x 2)(x + 2) + (x 1) 2 f ) (x ) 2 + x 2 ( + x)(x 2) 21. Transformar en producto:

17 6 ECUACIONES DE PRIMER GRADO 17 a) x 2 1 b) 9x 2 1 c) x 2 2 d) (x + y) 2 x Transformar en producto: a) x 2 2x + 1 b) x 2 + x + 1 c) x 2 6x + 9 d) 9x x Transformar en producto: a) (x 1)(x 1) 2 9(x 1) b) (x 2)(x 2) 2 9(x 2) c) (x 7)(x ) 2 (x 7) d) x 2 9y 2 (x y) 6. Ecuaciones de primer grado 217. Sacar factor común en: a) x 2x + x 2 6x b) 2x 2 + 0x + x Resolver las siguientes ecuaciones: a) x x x = 1 27 x + x b) = 9 7x c) x x 12 = 9 x x Resolver las siguientes ecuaciones: a) 2(x ) c) x 1 2 x 10 (x + 1) x 2 2x Resolver las siguientes ecuaciones: = + 1 d) x 2 x 6 + 2x x = 11 b) x = 0 d) x x + 1 x 7 = 27x = + x 2 + 2x 1 a) x + c) 1 x x 1 x = x 2 + x 1 = x 2 12 b) x x + d) 2x x x + = x 9 = 1 + 1x Resolver las siguientes ecuaciones: a) 1 + x 2 = x x 2 b) x x 7 = 11 x 1 x Sacar factor común en: Soluciones: a) x 2x + x 2 6x b) 2x 2 + 0x + x 6 c) x 8 + x = x d) 2x 1 x = x + 1

18 7 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES (a) 1 (b) 12 (c) (d) (a) (b) Todo número es solución (c) (d) No tiene solución 219. (a) 2 (b) 1 (c) 7 1 (d) (a) 8 (b) (c) 1 (d) No tiene solución 22. Hallar el número cuya mitad, tercera y cuarta parte suman Hallar el número cuya mitad más su cuarta parte más una unidad sea igual a dicho número. 22. Un poste tiene enterrada 1, m de su longitud lo que supone una quinta parte. Hallar la longitud total del poste Un poste se halla clavado bajo tierra en un tercio de su longitud; sus 2/ quedan dentro del agua y restan en el aire 90 cm. Calcular la longitud total del poste La diferencia entre el noveno y el décimo del dinero que llevo son 1 céntimos. Cuánto dinero llevo? 228. Si del contenido de una vasija se extraen sus 7/17, quedan 6 litros. Hallar el contenido de la vasija De una pieza de tela se venden su mitad y su tercera parte quedando m. Hallar la longitud de la pieza. 20. Dividir el número 6 en dos partes tales que los cocientes de dividir la primera por y la segunda por 6 sean iguales. 21. Gastando euros y después la sexta parte de lo que me queda, resulta que tengo 7 euros menos que al comenzar a gastar. Cuánto dinero llevaba al principio? 22. La diferencia entre el tercio y el cuarto de un número es 12. Hallarlo, 2. Dividir el número 668 en tres partes de las cuales la primera sea /8 de la segunda y ésta /1 de la tercera. 2. Si a un número se le restan dos unidades resulta el triple del mismo número disminuido en 10 unidades. Hallar ese número. 2. Se han consumido las 7/8 partes de un bidón de aceite. Reponiendo 8 litros ha quedado lleno en sus / partes. Calcular la capacidad del bidón. 26. Hallar la longitud de una pieza de tela, sabiendo que después de haber vendido la mitad, la quinta parte y la décima parte, quedan metros. 27. La relación de la duración del día a la noche en una jornada de agosto es 6/. Hallar en horas, minutos y segundos las respectivas duraciones. 28. Cada vez que una pelota cae al suelo, rebota / de la altura de que ha caído. Si se quiere que el cuarto salto se eleve a 81 cm, averiguar de qué altura deberá dejarse caer. 7. Sistemas de ecuaciones lineales { x + y = x y = 2 { y x = 2 x y = 0 { 2x y = 1 x + y = { x + y = 10 x y = 8 { 2x + y = 2 x + 2y = 26 { 2x y = 9 7x + y = 10

19 8 ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO { x + y = 1 2x + y = { x + 2y = 2 6x 2y = 1 { 10x + y = 20y x = { 2x y = 1 x 2y = 2 x + y 2 = 2 2x y 2 = 1 x + y 2 = 1 x 2 + y = 1 y = + x 2 y = 2x y 2x = x + 2y = { x + 2y = 1 2x y = { x + y = 1 6x + y = 2 { x y = 2x y = 1 { 2x + y = 0 x y = 0 x + y = 0 x + y = x + y = (x 1)y = 9 x + y = x 6 = 2y x y Soluciones: 27. (, 1) 28. (9, 1) 29. (, 1) 20. (8, 9) 21. (2, ) 22. (2, 1) 2. (6, ) 2. no hay solución 2. ( 1, 1 ) ( , 0) 27. ( 1, 1 ) ( , ) ( infinitas soluciones 20. (0, 0) 21. (, 2) 22. (, ) 2. 6, 6 ) ( 2. (, ) 2. 10, 7 ) 26. ( 1, 2) 27. ( 17 1, 19 ) 1 8. Ecuación de segundo grado Resolver las siguientes ecuaciones: 260. x 2 9 = x 2 9 = x 2 12 = x 2 x = x 2 = 2x 26. x 2 x + 2 = x 2 + 6x 8 = x 2 + 2x + 21 = x 2 x + 2 = x 2 7x 20 = x 2 + x + 1 = x 2 x + = Sacar factor común en:

20 8 ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO 20 a) x 2x + x 2 6x b) 2x 2 + 0x + x x 2 + 6x + 9 = x(x + 1) = 27. (x 1)(x + 2) = (x )(x + 1) = (x + 2)(x + ) = (2x ) 2 = 8x 279. (x + 2)(x 2) = 2(x + ) x + 2 x = 281. x + 6 x 28. x + 1 = 6 x = 282. x + 12 x = x + 1 x + = 28. x + 1 x = 286. x = 2 x x 9 x = 2 x = 2 x x + 2 = 1 x 290. x + x x x + = x + 8 x 8 2 = 2 2x 292. x x x + 2 2x = x x + 2 = 9 2 x x 2 x + 2 = 2 x 2 1 x 1 6 = 1 x + 1 x + 1 x x + 2 x + 1 = x = 2 x 2 x x x 1 = 8 x 2 1 x 1 x x 1 + x = 1 1 x x x 2 = x Las edades de un padre y un hijo suman 2 años y dentro de 8 años la edad del padre será triple de la edad del hijo. Calcular la edad de cada uno. 02. La edad de un padre es triple de la de su hijo. Cuántos años tienen que pasar para que la edad del hijo sea la mitad que la edad del padre? 0. La suma de las edades de personas es 100 años. La del medio tiene 10 años más que la más joven y la edad de la primera es la suma de las edades de las otras dos. Hallar la edad de cada una. 0. Hallar las edades de un padre y de su hijo, sabiendo que hace 8 años la edad del padre era 8 veces la del hijo y dentro de 16 años será solamente el doble. 0. Hallar dos números positivos y consecutivos, sabiendo que la suma de sus cuadrados es Hallar dos números tales que su suma sea 16 y la suma de sus cuadrados Hallar el número que es necesario sumar a los dos términos de la fracción / para, obtener / Descomponer el número 81 en dos sumandos tales que dividiendo uno por el otro el cociente sea y el resto Se repartieron 720 euros entre varias personas. Si hubiera, habido personas más, les hubiera correspondido a cada una dos euros menos. Hallar el número de personas. 10. La suma de las dos cifras de un número es 6. Si se invierte el orden de sus cifras el número aumenta en 6. Hallar este número. 11. Hallar un número de dos cifras tal que la suma de ellas es 10, y si al producto de ellas se añade 0, se obtiene el número que resulta de invertir las cifras del dado.

21 9 MAGNITUDES PROPORCIONALES Magnitudes proporcionales 9.1. Proporcionalidad directa Dos magnitudes X e Y son directamente proporcionales si el cociente de los valores correspondientes de las dos magnitudes es siempre el mismo: X 1 = X 2 = X = = K Y 1 Y 2 Y El número K se llama constante de proporcionalidad. 12. Completa y compara las siguientes tablas de valores: a) Número de barras de pan vendidas en una panadería y coste de las mismas: N o de barras COSTE b) Tiempo transcurrido y distancia recorrida por un barco que navega a velocidad constante: Tiempo (horas) Distancia (millas) c) Número de pasos de teléfono consumidos e importe del recibo: N o DE PASOS IMPORTE RECIBO d) Número de vacas de una granja y tiempo que tardan en consumir una carga de heno: N o DE VACAS DÍAS Di cuáles de las siguientes magnitudes son directamente proporcionales y cuáles no lo son: a) Número de camisas de un determinado modelo que produce una fábrica y número de botones que utiliza b) Número de comensales del comedor de un colegio y número de naranjas necesarias para el postre de un día. c) Número de habitantes de una población y número de días que duran unas determinadas reservas de agua. d) Longitud del lado de un cuadrado y superficie del cuadrado. e) Tiempo que dura un viaje a velocidad constante y distancia recorrida. f ) Altura de una persona y peso de la misma persona. 1. Completa cada tabla para que los valores correspondientes sean directamente proporcionales: a) A 1 2 B b) U 1 2 B 2. c) K 2 1 H 1 d) P 1 2 T 9

22 9 MAGNITUDES PROPORCIONALES Tres sobres de cromos cuestan,7 euros. Cuánto cuesta un sobre? Y cinco sobres? 16. Sesenta metros de cable eléctrico cuestan 1,80 euros. Cuánto cuestan 100 metros de cable de la misma calidad y precio? 17. Un manantial ha arrojado 27 litros de agua en seis minutos: a) Qué cantidad de agua recogeremos en una hora? b) Cuánto tardará en llenar un depósito de 900 litros? 18. Trescientos gramos de salami cuestan,0 euros. Cuánto cuesta medio kilo? 19. Begoña ha pagado 7,20 euros por 00 gramos de chorizo. Cuánto pagará Guillermo por 0 gramos del mismo chorizo? 20. Cuatrocientos cincuenta gramos de calamares salen por 6,0 euros. A cuánto está el kilo de calamares? 21. He pagado 1,2 euros por una granada que pesaba 20 gramos. A cómo está el kilo de granadas? 22. Calcula mentalmente y después mediante una regla de tres: a) Tres cajas de cerillas pesan 10 gramos. Cuánto pesan cajas? b) Doscientos gramos de queso cuestan euros. A cómo sale el kilo? c) Un peatón recorre 18 km en horas. Cuánto recorrerá en horas? d) Un grifo arroja 100 litros en minutos. Cuántos litros arrojará en 10 minutos? 2. Un robot en una cadena de montaje de automóviles es capaz de poner 1 puntos de soldadura en 20 segundos. Cuántos puntos de soldadura puede poner en una hora? 2. Una planta embotelladora llena 00 botellas en un cuarto de hora. Cuántas botellas llenará en una jornada de 8 horas? 2. Un tren tarda 2 minutos en cubrir los kilómetros que separan dos paradas. Cuánto tardará en cubrir los 126 km que faltan hasta mi destino? 26. Cuánto pesan 10 barras de pan si 80 barras pesan 2 kg? 27. Un grifo arroja 270 litros de agua en minuto y medio. Cuánto tardará en llenar un depósito de 1800 litros? 28. Roberto ha pagado,61 euros por 8 fotocopias. Cuánto pagará por 0 copias? 29. Por un melón que pesaba kilos y 60 gramos he pagado,8 euros. Cuánto costará otro melón que pesa dos kilos y medio? 9.2. Proporcionalidad inversa Dos magnitudes X e Y son inversamente proporcionales si el producto de los valores correspondientes de las dos magnitudes es siempre el mismo: X 1 Y 1 = X 2 Y 2 = X Y = = K El número K se llama constante de proporcionalidad. 0. Completa las siguientes tablas de valores correspondientes a las magnitudes que se indican. Observa que en todos los casos se trata de magnitudes inversamente proporcionales:

23 9 MAGNITUDES PROPORCIONALES 2 a) Precio de las naranjas y número de kilos que puedo comprar con 10 euros: PRECIO KILOS 2 12, b) Número de sacos necesarios para envasar 800 kg de trigo y peso de cada saco: N o DE SACOS PESO DE UN SACO c) Número de operarios que descargan un camión y tiempo que dura la descarga: N o DE OPERARIOS TIEMPO EN HORAS 6 d) Velocidad de un vehículo y tiempo que tarda en cubrir la distancia entre dos ciudades: VELOCIDAD (km/h) TIEMPO EN HORAS Indica cuáles de estos pares de magnitudes son inversamente proporcionales: a) Caudal de un depósito y caudal necesario para llenarlo en una hora. b) Número de caballos de una cuadra y tiempo que tardan en consumir una tonelada de pienso. c) Número de litros de una garrafa de aceite y precio de la garrafa. d) Distancia entre dos ciudades y tiempo que tarda un vehículo en hacer el recorrido. e) Número de días que tarda una fábrica en cumplir un pedido y número de horas que trabaja al día. 2. Completa las siguientes tablas sabiendo que corresponden a magnitudes inversamente proporcionales: a) A B b) M 1 2 N 60 c) K H 10 d) U V 1. Tres máquinas cortacésped tardan cuatro horas en segar un parque. Cuánto tardarán dos máquinas?. Las 20 vacas de una granja consumen una carga de alfalfa en 6 días. Cuánto duraría esa misma carga si hubiera 0 vacas?. Dando saltos de 6 metros, una gacela necesita 18 saltos para atravesar un claro del bosque. Cuántos saltos necesita un lince que avanza cuatro metros por salto? 6. Un pilón lleno de agua se vacía en 0 minutos cuando se abren 6 bocas de riego. Cuánto tardará en vaciarse si sólo se abren bocas de riego? 7. Cuántos operarios son necesarios para hacer un trabajo en 10 días sabiendo que 1 operarios lo hacen en 1 días? 8. Con el contenido de una cisterna de aceite se pueden llenar 600 garrafas de litros. Cuántas botellas de dos litros se pueden llenar con esa misma cisterna? 9. Un coche, a una media de 70 km/h, hace un viaje en 6 horas. Cuánto tiempo invertirá en el viaje de vuelta si hace una media de 100 km/h?

24 9 MAGNITUDES PROPORCIONALES 2 0. Un tren, a una velocidad media de 100 km/h, tarda 17 horas en cubrir cierto trayecto internacional. Tras una mejora de las vías, se espera poder mejorar la velocidad media a 120 km/h. Cuánto duraría en ese caso el trayecto? 1. Una fábrica de confección, trabajando 8 horas al día, tarda días en servir un pedido de dos mil camisas. Cuánto tardaría si trabajara 10 horas diarias? 2. En una balsa se agrupan 2 náufragos con reservas de agua para 18 días pero recogen a náufragos más. Para cuánto tiempo les llegará el agua en esta nueva situación?. Poniendo una farola cada 2 metros, se necesitan 8 farolas para iluminar una calle. Cuántas farolas serán necesarias si se colocan cada 2 metros?. Un granjero tiene pienso almacenado para alimentar a sus 22 vacas durante 18 días: a) Cuánto le duraría el pienso si comprase 11 vacas más? b) Y si vendiera vacas?. Un capataz que dispone de 12 operarios calcula que tardará 20 días en terminar cierto trabajo. Cuántos operarios deberá contratar para terminar el trabajo en 1 días? 6. Para embotellar un bidón de cierto producto químico se han empleado 12 botellas de 1/ de litro. Cuántas botellas se habrían necesitado si la capacidad de cada una fuera de 1/ de litro? 9.. Proporcionalidad compuesta 7. Cincuenta garrafas de aceite de litros cada una, cuestan 17 euros. Cuánto costarán garrafas del mismo aceite de litros cada una? 8. Un cartero publicitario, trabajando horas diarias, ha repartido 1000 folletos de propaganda en días. En un nuevo encargo se ha comprometido a repartir folletos en días. Cuántas horas diarias deberá trabajar? 9. Un camión, haciendo dos viajes diarios durante 6 días, ha distribuido 8000 botes de refrescos. Cuántos botes repartirá en días haciendo viajes diarios? 0. Un granjero gasta 200 euros para alimentar a terneros durante 60 días. Cuánto tiempo podrá alimentar a 0 terneros con euros? 1. Un transbordador, haciendo viajes al día, es capaz de transportar 20 personas y 27 coches en una semana. Cuántas personas y coches podrá transportar el próximo mes, sabiendo que aumentará su servicio en un viaje al día? 2. Un criador de caballos ha necesitado 200 pacas de heno para alimentar a 80 caballos durante 2 días. Para cuántos días le queda heno, si vende 1 caballos y le quedan 00 pacas en el almacén?. Para el desmonte de una ladera, en la construcción de una autopista, se han empleado camiones de 10 toneladas de carga, durante 1 días. Cuánto hubieran tardado 8 camiones de 6 toneladas de carga? 9.. Repartos proporcionales. Tres socios aportan 20000, 0000 y euros respectivamente para iniciar un negocio. Cómo deben repartir los 90 euros obtenidos como beneficio en el primer mes?. Cuatro especuladores aportan 20000, 0000, 0000 y euros respectivamente, para comprar un terreno, que venden después por euros. Cómo efectuarán el reparto? 6. Andrés, Arancha y Araceli reciben 29 euros por hacer un trabajo de canguro durante una semana. Andrés trabajó el lunes y el viernes, Arancha el martes, el miércoles y el jueves y Araceli, el sábado y el domingo. Cuánto corresponde a cada uno?

25 9 MAGNITUDES PROPORCIONALES 2 7. Dos grifos A y B vierten agua sobre un depósito de 900 litros hasta llenarlo. El caudal de A es de 10 litros por minuto y el de B es de 1 litros por minuto. Qué cantidad de agua ha aportado cada uno? 8. Tres constructores compran una finca por euros. El primero se queda con una parcela de 000m 2 para construir un bloque de pisos. El segundo se queda con 00m 2 para construir un hotel. El tercero se queda con los 200m 2 restantes para construir chalets adosados. Cuánto debe aportar cada uno a la compra del terreno? 9. Tres amigos juntan su dinero para comprar en un saldo un lote de 20 cintas de música. Rosa pone 21 euros, Fran pone 2 euros y María el resto que son 1 euros. Cuántas cintas se llevará cada uno? 60. Tres socios montan un negocio. El primero aporta 0000 euros; el segundo euros y el tercero, tanto como los otros dos juntos. En el primer año se obtienen unos beneficios de 7200 euros. Cómo deben repartirse las ganancias? 61. Se han repartido 10 kilos de trigo en tres sacos. El primero tiene el triple del segundo y éste la mitad que el tercero. Cuántos kilos lleva cada saco? 62. Divide el número 220 en cuatro partes de forma que la primera sea la mitad de la segunda, ésta la mitad de la tercera y ésta, a su vez, la mitad de la cuarta. 6. Un peatón que camina a Km/h, y un ciclista que avanza a 18 km/h, se dirigen el unos hacia el otro, y están separados por una distancia de 2760 m. Qué distancia recorrerá cada uno hasta que se encuentren? 9.. Mezclas 6. Se mezclan kilos de café de 20 euros el kilo con kilos de otra clase de café inferior de 1 euros el kilo. A cómo sale el kilo de mezcla? 6. Un mayorista ha mezclado kg de alubias de euros el kilo, con 66 kg de otra clase de alubias de euros el kilo. Cuánto vale un kilo de mezcla? 66. Para reducir la concentración alcohólica de un cierto preparado farmacéutico, se añaden 2 litros de agua por cada 10 de dicho producto. Cuál será el precio de un litro de la mezcla, sabiendo que el precio original era de 6 euros el litro? 67. Un panadero mezcla, a partes iguales, tres clases de harina a 0,9 euros/kg, 1,1 euros/kg y 1,20 euros/kg respectivamente. A cómo le sale el kilo de la mezcla? 68. Se mezclan kg de café de 1,6 euros/kg con 6 kg de otra clase de café de 21 euros/kg y con kg de una tercera clase de 27 euros/kg. Cuál es el precio de un kilo de la mezcla obtenida? 69. Un comerciante mezcla 6000 kg de harina de 0,8 euros/kg con 200 kg de 1,10 euros/kg. Cuánto ganará en cada kilo, por término medio, si vende la mezcla a 1,2 euros el kilo? 70. Mezclando un litro de cierto perfume de 20 euros/cl, con medio litro de otro perfume de superior calidad, se ha obtenido una mezcla que sale a 2 euros/cl. Cuál era el precio del perfume superior? 71. En que proporción hay que mezclar vino de euros el litro con vino de 6 euros el litro para que la mezcla salga a,0 euros/litro?

26 10 PORCENTAJES Porcentajes 72. Escribir en forma decimal (a) 2 % (b) % (c) 12 % (d) 2 % 7. Calcular: (a) 1 % de 60 (b) 8 % de 000 (c) 0 % de Un sofá que costaba 890 euros se ha rebajado un 0 %. Cuál es el precio tras la rebaja? 7. En mi clase somos 0, el 0 % de chicos y el 60 % de chicas. Cuántos chicos y cuántas chicas hay en la clase? 76. Un camión de reparto deja en el supermercado 80 cajas de leche. El 1 % son de leche desnatada. Cuántas cajas de leche desnatada se han recibido? 77. El precio de un artículo rebajado en un 2 % es euros. Cuánto costaba antes de la rebaja? 78. Un equipo de baloncesto ha ganado esta temporada el 6 % de los encuentros disputados. Sabiendo que ha ganado 2 partidos, cuántos encuentros ha jugado en total? 79. El precio de un artículo al que se le ha añadido un impuesto del 21 % es de,0 euros. Cuál es su precio antes del impuesto? 80. Si el precio de una mercancía aumenta en un 0 % y después disminuye en otro 0 %, en qué porcentaje ha variado el precio? 81. Si el precio de una mercancía aumenta en un 0 % y después en un 20 %, en qué porcentaje ha variado el precio? 11. Geometría 82. Qué es un ángulo? Como se clasifican los ángulos? 8. Qué son ángulos complementarios? Qué son ángulos suplementarios? 8. Qué propiedad tienen los ángulos de lados paralelos? 8. Qué propiedad tienen los ángulos de lados perpendiculares? 86. cuáles son los elementos de un polígono? 87. Cómo se clasifican los polígonos? 88. Qué es un polígono regular? 89. Cómo se clasifican los triángulos según sus lados? Y según sus ángulos? 90. Cómo se clasifican los cuadriláteros? Y los paralelogramos? 91. Cuáles son los paralelogramos de lados iguales? Y los de ángulos iguales? 92. Cuáles son los paralelogramos que tienen ángulos rectos? 9. Cuánto suman los ángulos de un triángulo? Y los de un cuadrilátero? Y los de un pentágono? 9. Demuestra que la suma de los ángulos de un triángulo es 180 o. 9. Define ángulo exterior de un polígono? Qué propiedad tiene el ángulo exterior de un triángulo? 96. Define mediatriz de un segmento. Que propiedad tienen los puntos de la mediatriz de un segmento? Cómo se llama el punto de corte de las mediatrices de los lados de un triángulo? Qué propiedad tiene? 97. Define bisectriz de un ángulo. Que propiedad tienen los puntos de la bisectriz de un ángulo? Cómo se llama el punto de corte de las bisectrices de los ángulos de un triángulo? Qué propiedad tiene?

27 11 GEOMETRÍA Qué son las alturas de un triángulo? Cómo se llama el punto de corte de las tres alturas? 99. Dibuja las tres alturas de un triángulo acutángulo. 00. Dibuja las tres alturas de un triángulo rectángulo. 01. Dibuja las tres alturas de un triángulo obtusángulo. 02. Que son las medianas de un triángulo. En qué punto se cortan? Qué propiedad tiene? 0. Responde mediatriz, bisectriz, altura o mediana: (a) Pasan por el punto medio de los lados. (b) Son perpendiculares a los lados. (c) Se cortan siempre en el interior del triángulo. (d) Se cortan en el centro de la circunferencia circunscrita al triángulo. (e) Se cortan en el centro de la circunferencia inscrita al triángulo. (f ) Sus puntos equidistan de dos lados. (g) Sus puntos equidistan de dos vértices. 0. Un ángulo mide 7 o 2, cuánto mide otro de lados perpendiculares a éste y obtuso? 0. Calcular 2 7 de una vuelta en grados, minutos y segundos. 06. Un ángulo mide 66 o y sus lados son tangentes a una circunferencia. Calcular la medida en grados de los arcos que en la misma determinan los puntos de contacto con los lados. 07. Un ángulo agudo de un triángulo rectángulo mide 18 o 2 7. Calcular el otro ángulo agudo. 08. El complementario de un ángulo sumado con el suplementario del mismo da 198 o. Calcular el ángulo. 09. Hallar los ángulos agudos de un triángulo rectángulo, sabiendo que están en la relación 2 :. 10. En un cuadrilátero A + B = 100 o, B + C = 160 o y A + C = 10 o. Hallar los cuatro ángulos. 11. en un cuadrilátero un ángulo mide 97 o 12 1, cuánto miden los otros tres si son iguales entre sí? 12. El ángulo interior de un polígono regular mide 10 o, cuántos lados tiene el polígono? 1. El ángulo central de un polígono regular mide 60 o. Calcular de qué polígono se trata y cuántas diagonales tiene. 1. Hallar el polígono regular: 1. Hallar: a) Cuyos ángulos interiores suman 900 o. b) Cuyos ángulos interiores suman 10 o. a) El polígono regular cuyo ángulo central mide 2 o. b) El polígono regular cuyo ángulo interior mide 108 o. 16. Un pentágono irregular tiene tres ángulo de 88 o 2 9 y otro ángulo de 187 o 22 1, cuánto mide su quinto ángulo? 17. Un ángulo de un triángulo mide 72 o Calcular el ángulo obtuso que forman las bisectrices interiores de los otros dos ángulos. 18. Un triángulo tiene 2 m de perímetro y sus lados están entre sí en la relación de los números 7, 8 y 11 respectivamente. Cuánto mide cada lado?

28 11 GEOMETRÍA Dado un triángulo rectángulo cuyos catetos miden 1 y 20 m calcular la altura correspondiente a la hipotenusa. 20. Las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa miden 16 y 6 cm. Calcular el área del triángulo. 21. La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 0,6 m y la proyección de un cateto sobre ella 60 m. Calcular (a) los catetos (b) la altura relativa a la hipotenusa (c) el área del triángulo 22. Calcular la altura relativa a la hipotenusa de un triángulo rectángulo de perímetro 0 cm y de área 0 cm El perímetro de un triángulo rectángulo es 8 m y su área 6 m 2. Calcular sus lados y la altura relativa a la hipotenusa. 2. Calcular el área de un triángulo rectángulo sabiendo que la razón de los catetos es : y que la altura sobre la hipotenusa mide 12 dm. 2. La hipotenusa de un triángulo rectángulo e isósceles vale 16 m. Calcular su superficie. 26. En un triángulo isósceles de 16 m de base se traza la altura correspondiente a uno de los vértices de la base y su longitud es 9,6 m. Hallar el área del triángulo. 27. En un triángulo isósceles de m de base se traza la altura correspondiente a uno de los lados iguales y su longitud es m. Hallar el área del triángulo. 28. La fórmula del área de un triángulo equilátero es l2. Obtenerla. 29. Calcular el área de un triángulo equilátero de 6 cm de altura. 0. La apotema de un triángulo equilátero mide 6 cm. Calcular su altura, su lado y su área. 1. El área de un triángulo equilátero mide 9 m 2.Hallar el lado. 2. Hallar la altura de un triángulo equilátero cuya superficie mide dm 2.. Hallar el área de un triángulo equilátero sabiendo que el radio de su circunferencia inscrita mide cm.. Calcular el área de un triángulo equilátero inscrito en una circunferencia de 12 cm de radio (el radio de la circunferencia circunscrita mide 2 de la altura).. El lado de un triángulo equilátero mide 12 cm. Calcular su altura y su superficie.