Resumen. Preguntas. Qué pasaría si? Cómo diferirían los resultados de este problema si la esfera fuese conductora en lugar de aisladora?

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1 Preguntas 685 ué pasaría si? Cómo diferirían los resultados de este problema si la esfera fuese conductora en lugar de aisladora? espuesta El único cambio sería en la región, donde r a. Puesto ue no puede haber carga dentro de un conductor en euilibrio electrostático, in = 0 para una superficie gaussiana de radio r a; por lo tanto, sobre la base de la ley de Gauss y simetría, E 1 = 0. En las regiones, y, no habría forma de determinar si la esfera es conductora o aislante. esumen DEFINICIONES El flujo eléctrico es proporcional al número de líneas de campo eléctrico ue penetran una superficie. Si el campo eléctrico es uniforme y forma un ángulo u con la normal a una superficie de área A, el flujo eléctrico a través de la superficie es E EA cos u (24.2) En general, el flujo eléctrico a través de una superficie es E S E S d A (24.3) superficie CONCEPTOS Y PINCIPIOS La ley de Gauss dice ue el flujo eléctrico neto Φ E a través de cualuier superficie gaussiana cerrada es igual a la carga neta in dentro de la superficie, dividida por e 0 : E E S da S in P 0 (24.6) Al usar la ley de Gauss, se puede calcular el campo eléctrico debido a varias distribuciones de carga simétricas. Un conductor en euilibrio electrostático tiene las siguientes propiedades: 1. El campo eléctrico es cero en todas partes dentro del conductor, ya sea ue el conductor sea sólido o hueco. 2. Si un conductor aislado tiene una carga, la carga reside en su superficie. 3. El campo eléctrico justo afuera de un conductor con carga es perpendicular a la superficie del conductor y tiene una magnitud s / e 0, donde s es la densidad de carga superficial en dicho punto. 4. En un conductor con forma irregular, la densidad de carga superficial es mayor en posiciones donde el radio de curvatura de la superficie es más peueño. Preguntas O indica pregunta complementaria. 1. En invierno, el sol está en el cielo más abajo ue en verano. Cómo incide lo anterior en el flujo de luz solar sobre un área determinada de la superficie de la Tierra? Cómo afecta lo anterior al clima? 2. Si de una superficie gaussiana salen más líneas de campo eléctrico de las ue entran, ué se puede concluir acerca de la carga neta encerrada en la superficie? 3. En una región del espacio en la cual no existen cargas hay un campo eléctrico uniforme. ué se puede concluir acerca del flujo eléctrico neto a través de una superficie gaussiana colocada en esta región del espacio? 4. O Una partícula con carga se ubica dentro de una superficie gaussiana cúbica. No hay otras cargas en las cercanías. i) Si la partícula está en el centro del cubo, cuál es el flujo a través de cada una de las caras del cubo? a) 0, b) /e 0, c) /2 e 0, d) /4e 0, e) /6e 0, f) /8e 0, g) depende del tamaño del cubo. ii) Si la partícula se puede mover a cualuier punto dentro del cubo, ué valor máximo puede alcanzar el flujo a través de una cara? Elija entre las mismas posibilidades. iii) Si la partícula se puede mover a cualuier parte dentro del cubo o sobre su superficie, cuál es el mínimo flujo posible a través de una cara? Elija entre las mismas posibilidades. 5. O Una superficie gaussiana cúbica rodea un largo filamento recto con carga ue pasa perpendicularmente a través de dos caras opuestas. No hay otras cargas en las cercanías. i) En cuántas caras del cubo el campo eléctrico es cero? a) 0, b) 2, c) 4, d) 6. ii) A través de cuántas de las caras del cubo el flujo eléctrico es cero? Elija entre las mismas posibilidades.

2 686 Capítulo 24 Ley de Gauss 6. O Una superficie gaussiana cúbica se divide en dos partes mediante una gran hoja con carga, paralela a sus caras superior e inferior. No hay otras cargas en las cercanías. i) Sobre cuántas de las caras del cubo el campo eléctrico es cero? a) 0, b) 2, c) 4, d) 6. ii) A través de cuántas de las caras del cubo el flujo eléctrico es cero? Elija entre las mismas posibilidades. 7. O Dos esferas sólidas, ambas de 5 cm de radio, portan cargas totales idénticas de 2 mc. La esfera A es un buen conductor. La esfera B es un aislador, y su carga se distribuye de manera uniforme en todo su volumen. i) Cómo comparar las magnitudes de los campos eléctricos ue crean por separado a una distancia radial de 6 cm? a) E A E 0, b) E A E 0, c) E A E 0, d) E A E 0, e) 0 E A E, f) 0 E A E. ii) Cómo comparar las magnitudes de los campos eléctricos ue crean por separado radios de 4 cm? Elija entre las mismas posibilidades. 8. Si se conoce la carga total en el interior de una superficie cerrada pero no se especifica la distribución de la carga, puede utilizar la ley de Gauss para determinar el campo eléctrico? Expliue. 9. Expliue por ué el flujo eléctrico a través de una superficie cerrada ue tiene una carga encerrada conocida es independiente del tamaño o forma de la superficie. 10. especto a la naturaleza repulsiva de la fuerza ue se genera entre cargas iguales y a la libertad de movimiento de las cargas dentro de un conductor, expliue por ué un exceso de carga en un conductor aislado debe residir sobre su superficie. 11. O Una esfera aislante sólida de 5 cm de radio, tiene una carga eléctrica distribuida uniformemente en todo su volumen. Concéntrico con la esfera hay un cascarón esférico conductor sin carga neta, como se muestra en la figura P El radio interior del cascarón mide 10 cm, y el radio exterior 15 cm. No hay otras cargas en las cercanías. a) Clasifiue la magnitud del A B C D Figura P24.11 Pregunta 11 y problema 44. campo eléctrico en los puntos (a un radio de 4 cm), B (radio de 8 cm), C (radio de 12 cm) y D (radio 16 cm) de mayor a menor. Muestre cualuier caso de igualdad en su clasificación. b) De igual modo, clasifiue el flujo eléctrico a través de las superficies esféricas concéntricas a través de los puntos A, B, C y D. 12. O Un cable coaxial consiste de un filamento recto largo rodeado por cubierta conductora cilíndrica, coaxial larga. Suponga ue la carga está en el filamento, sobre la cubierta la carga neta es cero y el campo eléctrico es E 1 î en un punto particular P a la mitad entre el filamento y la superficie interior de la cubierta. A continuación, coloue el cable en un campo externo uniforme E 1 î. En tal caso, cuál es el componente x del campo eléctrico P? a) 0, b) entre 0 y E 1, c) E 1, d) mayor ue E 1, e) entre 0 y E 1, f) E 1, g) menor ue E Una persona entra en una gran esfera metálica hueca aislada de la tierra. Si a la esfera se le deposita una carga considerable, la persona resultará lastimada si toca el interior de la esfera? Expliue ué pasaría si la persona tiene además una carga inicial cuyo signo es opuesto al de la carga de la esfera. 14. O Una gran cubierta metálica y esférica no tiene carga. Se apoya sobre una base aislante y tiene un peueño orificio en la parte superior. Una peueña tachuela con carga se baja mediante un hilo de seda a través del orificio hacia el interior de la cubierta. i) Ahora cuál es la carga sobre la superficie interior de la cubierta? a), b) /2, c) 0, d) /2, e). Elija sus respuestas a las siguientes partes entre las mismas posibilidades. ii) Cuál es la carga sobre la superficie exterior de la cubierta? iii) Ahora la tachuela se baja hasta tocar la superficie interior de la cubierta. Después de este contacto, cuál es la carga sobre la tachuela? iv) Ahora cuál es la carga sobre la superficie interior de la cubierta? v) Ahora cuál es la carga sobre la superficie exterior de la cubierta? 15. Una demostración consiste en cargar un globo de látex, ue es un aislante, al frotarlo con el cabello de alguien, y después pegarlo al techo o a la pared, ue también son aislantes. La atracción eléctrica entre el globo con carga y la pared neutra da como resultado ue el globo se adhiera a la pared. Imagine ahora dos láminas planas infinitamente grandes de material aislante. Una de las láminas tiene carga y la otra es neutra. Si éstas son puestas en contacto, existirá una fuerza de atracción entre ellas, como ocurrió entre el globo y la pared? Problemas Sección 24.1 Flujo eléctrico 1. En un campo eléctrico uniforme se hace girar una espira de 40.0 cm de diámetro hasta encontrar la posición en la cual existe el máximo flujo eléctrico. El flujo en esta posición tiene un valor de N m 2 /C. Cuál es la magnitud del campo eléctrico? 2. Existe un campo eléctrico vertical, de N/C de magnitud, sobre la superficie de la Tierra en un día con tormenta eléctrica. Un automóvil, con dimensión rectangular de 6.00 m por 3.00 m, viaja a lo largo de un camino de grava seca ue se inclina hacia abajo a Determine el flujo eléctrico en el chasis del automóvil. 3. Un campo eléctrico uniforme a î b ˆ j atraviesa por una superficie de área A. Cuál es el flujo ue pasa a través de esta área si la superficie se encuentra a) en el plano yz, b) en el plano xz, c) en el plano xy? 4. Considere una caja triangular cerrada en reposo dentro de un campo eléctrico horizontal con una magnitud E N/C, como se muestra en la figura P24.4. Calcule el flujo

3 Problemas 687 eléctrico a través de a) la superficie rectangular vertical, b) la superficie inclinada, y c) la superficie total de la caja cm E c) Los resultados dependen del radio de la cubierta? Expliue su respuesta. 11. Una carga puntual se localiza justo por encima del centro de la cara plana de un hemisferio de radio, como se muestra en la figura P Cuál es el flujo eléctrico ue pasa a) a través de la superficie curva y b) a través de la cara plana? 10.0 cm 60.0 Figura P24.4 Pregunta 11 y problema 44. d 0 5. Una pirámide de base horizontal cuadrada, de 6.00 m de lado, y con una altura de 4.00 m está colocada en un campo eléctrico vertical de 52.0 N/C. Calcule el flujo eléctrico total ue pasa a través de las cuatro superficies inclinadas de la pirámide. Sección 24.2 Ley de Gauss 6. El campo eléctrico presente en la superficie total de una cubierta esférica delgada de m de radio tiene un valor de 890 N/C y apunta radialmente hacia el centro de la esfera. a) Cuál es la carga neta en el interior de la superficie de la esfera? b) ué se puede concluir en relación con la naturaleza y distribución de la carga en el interior de la cubierta esférica? 7. Las siguientes cargas están localizadas en el interior de un submarino: 5.00 mc, 9.00 mc, 27.0 mc y 84.0 mc. a) Calcule el flujo eléctrico neto a través del casco del submarino. b) El número de líneas de campo eléctrico ue salen en comparación con las ue entran es: mayor, igual o menor? 8. a) A una distancia d de un plano infinito está localizada una carga puntual. Determine el flujo eléctrico a través del plano debido a la carga puntual. b) ué pasaría si? Una carga puntual está localizada muy cerca del centro de un cuadrado muy grande sobre la línea perpendicular a dicho cuadrado y ue pasa por su centro. Determine el flujo eléctrico aproximado ue pasa a través del cuadrado ue se espera de la carga puntual. c) Expliue por ué las respuestas a los incisos a) y b) son idénticas. 9. En la figura P24.9 se muestran cuatro superficies cerradas, S 1 a S 4, así como las cargas 2, y. (Las líneas de color son las intersecciones de las superficies con el plano de la página.) Determine el flujo eléctrico a través de cada superficie. S 4 2 S 1 S El aire ue está por encima de cierta región a una altitud sobre el nivel del suelo de 500 m, el campo eléctrico es de 120 N/C en dirección hacia abajo. A una altitud de 600 m sobre el nivel del suelo, el campo es de 100 N/C hacia abajo. Cuál es la densidad de carga volumétrica promedio de la capa de aire entre estas dos alturas? Es positiva o negativa? 13. Una carga puntual 5.00 mc se localiza en el centro de un cubo de arista L m. Además, simétricamente alrededor de, como se muestra en la figura P24.13, existen otras seis cargas puntuales idénticas 1.00 mc. Determine el flujo eléctrico a través de una de las caras del cubo. L L Figura P24.11 L Figura P24.13 Problemas 13 y Una carga puntual positiva está en el centro de un cubo de arista L. Además, otras seis cargas puntuales negativas idénticas están colocadas simétricamente alrededor de como se muestra en la figura P Determine el flujo eléctrico a través de una de las caras del cubo. 15. Una carga lineal infinitamente larga tiene carga uniforme por cada unidad de longitud l y se localiza a una distancia d del punto O, como se muestra en la figura P Determine el flujo eléctrico total a través de la superficie de una esfera de radio con centro en O como resultado de la carga lineal. Tome en cuenta cuando d y d. Figura P Una carga puntual de 12.0 mc está colocada en el centro de una cubierta esférica de 22.0 cm de radio. Cuál es el flujo eléctrico total ue pasa a través de a) la superficie del cascarón y b) cualuier superficie hemisférica de la misma? S 2 l d O Figura P24.15

4 688 Capítulo 24 Ley de Gauss 16. Una esfera hueca no conductora sin carga, con un radio de 10.0 cm, rodea una carga de 10.0 mc localizada en el origen de un sistema de coordenadas cartesiano. Una broca de radio 1.00 mm es alineada a lo largo del eje de las z y se hace una perforación en la esfera. Calcule el flujo eléctrico a través de la perforación. 17. Una carga de 170 mc está en el centro de un cubo con una arista de 80.0 cm. Sin cargas en los alrededores a) Determine el flujo a través de cada una de las caras del cubo. b) Encuentre el flujo a través de la superficie total del cubo. c) ué pasaría si? Cambiarían sus respuestas a los incisos a) y b) en caso de ue la carga no estuviera ubicada en el centro? Expliue por ué. Sección 24.3 Aplicación de la ley de Gauss a varias distribuciones de carga 18. Una esfera sólida con un radio 40.0 cm tiene una carga positiva total de 26 mc con distribución uniforme en su volumen. Calcule la magnitud del campo eléctrico a las siguientes distancias del centro de la esfera: a) 0 cm, b) 10.0 cm, c) 40.0 cm y d) 60.0 cm. 19. Determine la magnitud del campo eléctrico en la superficie de un núcleo de plomo-208, ue contiene 82 protones y 126 neutrones. Suponga ue el núcleo de plomo tiene un volumen igual a 208 veces el volumen de un protón, considere al protón como una esfera de radio m. 20. Un filamento largo y recto tiene una carga por unidad de longitud de 90.0 mc/m. Determine el campo eléctrico a las siguientes distancias del filamento, medidas perpendicularmente a la longitud del mismo: a) 10.0 cm, b) 20.0 cm y c) 100 cm. 21. Una hoja con carga grande horizontal y plana tiene una carga por unidad de superficie de 9.00 mc/m 2. Determine el campo eléctrico justo por encima del centro de la hoja. 22. Una cubierta cilíndrica con un radio de 7.00 cm y longitud de 240 cm tiene una carga con distribución uniforme sobre su superficie curva. La magnitud del campo eléctrico en un punto ue está a 19.0 cm radialmente hacia afuera de su eje (medido a partir del punto medio de la cubierta) es de 36.0 kn/c. Determine a) la carga neta sobre la cubierta y b) el campo eléctrico ue existe en un punto a 4.00 cm del eje, medido radialmente hacia afuera del punto medio de la cubierta. 23. Un trozo de Styrofoam de 10.0 g tiene una carga neta de mc y flota por encima del centro de una gran lámina horizontal de plástico ue tiene una densidad de carga uniforme en su superficie. Cuál es la carga por unidad de superficie presente en la lámina de plástico? 24. a) Escriba un problema para el ue la siguiente ecuación dé la solución. Incluya los datos reueridos en su enunciado de problema e identifiue la única incógnita. 2p(3 cm)(8 cm)e cos p 12 cm22 18 cm C>m C 2 >N # m 2 b) esuelva la ecuación para la incógnita. 25. Problema de repaso. Una partícula con una carga de 60.0 nc está colocada en el centro de una cubierta esférica no conductora con un radio interior igual a 20.0 cm y un radio exterior de 25.0 cm. La cubierta esférica tiene una carga con una densidad uniforme de 1.33 mc/m 3. Un protón se mueve en órbita circular justo en el exterior de la cubierta esférica. Calcule la rapidez del protón. 26. Un muro no conductor tiene una carga con densidad uniforme de 8.60 mc/cm 2. Cuál es el campo eléctrico a 7.00 cm del muro? El resultado cambia si se modifica la distancia a la pared? 27. Considere una distribución de carga cilíndrica larga de radio con una densidad de carga uniforme r. Encuentre el campo eléctrico a una distancia r del eje, cuando r. 28. En la fisión nuclear, un núcleo de uranio 238 ue contiene 92 protones puede dividirse en dos esferas más peueñas, cada una con 46 protones y con un radio de m. Cuál es la magnitud de la fuerza eléctrica de repulsión ue separa las dos esferas? 29. Considere una cubierta esférica delgada con un radio de 14.0 cm y una carga total de 32.0 mc con distribución uniforme sobre su superficie. Determine el campo eléctrico a) a 10.0 cm y b) a 20.0 cm del centro de distribución de la carga. 30. Llene dos globos con aire. Sujete los extremos de las cuerdas de la misma longitud desde el mismo punto, con los otros extremos unidos a los globos. Frote cada uno de ellos con lana o con su cabello, de forma ue cuelguen separados por un espacio visible entre ambos. Haga estimaciones de orden de magnitud de a) la fuerza en cada uno, b) la carga de cada globo, c) el campo ue cada uno de ellos genera en el centro del otro y d) el flujo total de campo eléctrico creado por cada globo. Establezca las cantidades ue ha considerado como datos y los valores medidos o estimados para los mismos. 31. Un filamento recto con carga uniforme de 7.00 m de longitud tiene una carga positiva total de 2.00 mc. Un cilindro de cartón sin carga de 2.00 cm de longitud y 10.0 cm de radio, rodea el filamento en su parte central, y lo tiene como el eje del cilindro. A partir de aproximaciones razonables, determine a) el campo eléctrico en la superficie del cilindro y b) el flujo eléctrico total a través de dicho cilindro. Sección 24.4 Conductores en euilibrio electrostático 32. Una placa muy grande delgada y plana de aluminio con área A tiene una carga total, con distribución uniforme sobre sus superficies. Existe una carga igual distribuida uniformemente sobre la superficie superior de una placa de vidrio idéntica en todo, compare los campos eléctricos justo por encima del centro de la cara superior de cada una de las placas. 33. Una varilla de metal larga y recta tiene un radio de 5.00 cm y una carga por unidad de longitud de 30.0 nc/m. Determine el campo eléctrico a las siguientes distancias, medidas perpendicularmente al eje de la varilla: a) 3.00 cm, b) 10.0 cm y c) 100 cm. 34. Una esfera sólida de cobre con un radio de 15.0 cm tiene una carga de 40.0 nc. Determine el campo eléctrico a) a 12.0 cm, b) a 17.0 cm y c) a 75.0 cm del centro de la esfera. d) ué pasaría si? Cuáles serían sus respuestas si la esfera fuese hueca? 35. Una placa cuadrada de cobre de 50.0 cm de lado tiene una carga neta igual a cero y está colocada en una región de un campo eléctrico uniforme de 80.0 kn/c dirigido perpendicularmente a la placa. Determine a) la densidad de carga en cada una de las caras de la placa y b) la carga total en cada placa. 36. En cierta región g del espacio, el campo eléctrico es E S 6 000x 2 î N>C # m 2. Encuentre la densidad volumétrica de la carga eléctrica en x = m. Sugerencia: Apliue la ley de Gauss a una caja entre x = m y x = m dx. 37. Dos esferas conductoras idénticas con un radio de cm están conectadas por un alambre conductor ligero de 2.00 m de largo. En una de las esferas se coloca una carga de 60.0 mc. Suponga ue la distribución de la carga superficial en cada una es uniforme. Determine la tensión en el alambre. 38. Una esfera metálica sólida, de radio a, tiene carga total sin otra carga en los alrededores. El campo eléctrico justo afue-

5 Problemas 689 ra de su superficie es k e /a 2 radialmente hacia afuera. El campo eléctrico en este caso también se conoce por s / e 0? Por s / 2e 0? Expliue si debe esperar ue sea igual a alguna de estas cantidades. 39. Un alambre largo y recto, rodeado por un cilindro de metal hueco cuyo eje coincide con el suyo, tiene una carga por unidad de longitud l, y el cilindro una carga por unidad de longitud 2l. Con esta información, utilice la ley de Gauss para determinar a) la carga por unidad de longitud en las superficies interna y externa del cilindro y b) el campo eléctrico exterior al cilindro, a una distancia r de su eje. 40. Una carga puntual positiva se encuentra a una distancia /2 del centro de una cubierta esférica conductora delgada, sin carga y de radio. Dibuje las líneas de campo eléctrico ue se establecen debido a este sistema tanto adentro como afuera de la cubierta. 41. Una delgada placa conductora y cuadrada de 50.0 cm de lado se encuentra sobre el plano xy. Se deposita una carga total de C sobre la placa. Determine a) la densidad de carga sobre la placa, b) el campo eléctrico justo por encima de la placa y c) el campo eléctrico justo por debajo de la misma. Puede suponer ue la densidad de carga es uniforme. Problemas adicionales 42. Un campo eléctrico no uniforme tiene la expresión E S ay î bz ĵ cx kˆ donde a, b y c son constantes. Determine el flujo eléctrico a través de una superficie rectangular en el plano xy, ue se extiende de x 0 hasta x w y de y 0 hasta y h. 43. Una esfera de radio rodea una partícula con carga, ubicada en su centro. a) Demuestre ue el flujo eléctrico a través de un casuete circular de semiángulo u (figura P24.43) es E 2P 0 11 cos u2 Cuál es el flujo para b) u = 90 y c) u = 180? campo eléctrico en el punto C, a 12.0 cm de radio. e) Considere una superficie gaussiana esférica a través del punto C y encuentre la carga neta encerrada por esta superficie. f) Considere una superficie gaussiana esférica de 8.00 cm de radio y encuentre la carga neta encerrada por esta superficie. g) Encuentre el vector de campo eléctrico en el punto B, a 8 cm de radio. h) Considere una superficie gaussiana esférica a través del punto A, a 4.00 cm de radio, y encuentre la carga neta encerrada por esta superficie. i) Encuentre el vector de campo eléctrico en el punto A. j) Determine la carga sobre la superficie interior de la cubierta conductora. k) Determine la carga sobre la superficie exterior de la cubierta conductora. l) Bosueje una gráfica de la magnitud del campo eléctrico en términos de r. 45. Una cubierta esférica metálica y hueca tiene radio exterior de m, sin carga neta y está apoyado sobre una base aislante. El campo eléctrico en todas partes justo afuera de su superficie es 890 N/C radialmente hacia el centro de la esfera. a) Expliue ué puede concluir acerca de la cantidad de carga sobre la superficie exterior de la esfera y sobre la distribución de esta carga. b) Expliue ué puede concluir acerca de la cantidad de carga sobre la superficie interior de la esfera y su distribución. c) Expliue ué puede concluir acerca de la cantidad de carga dentro de la cubierta y su distribución. 46. Imagine dos esferas conductoras idénticas cuyas superficies se encuentran a una peueña distancia una de la otra. A una esfera se le da una gran carga positiva neta, en tanto ue a la otra se le da una peueña carga neta, también positiva. Se descubre ue la fuerza existente entre ambas esferas es de atracción, aun cuando las dos tienen cargas netas del mismo signo. Expliue por ué es posible. 47. Una esfera aislante y sólida, de radio a, tiene una densidad de carga uniforme r y una carga total. Colocada en forma concéntrica a esta esfera existe otra esfera hueca, conductora pero descargada, de radios interno y externo b y c, respectivamente, como se observa en la figura P a) Determine la magnitud del campo eléctrico en las regiones r a, a r b, b r c y r c. b) Determine la carga inducida por unidad de superficie en las superficies interna y externa de la esfera hueca. u a Aislante Conductor b c Figura P Una esfera aislante y sólida, de 5.00 cm de radio, tiene una carga positiva neta de 3.00 mc, con distribución uniforme en todo su volumen. Concéntrico a la esfera hay una cubierta esférica conductora con radio interior de 10.0 cm y radio exterior de 15.0 cm, ue tiene carga neta de 1.00 mc, como se muestra en la figura a) Considere una superficie gaussiana esférica de 16.0 cm de radio y encuentre la carga neta encerrada por esta superficie. b) Cuál es la dirección del campo eléctrico en el punto D, a la derecha de la cubierta y a un radio de 16 cm? c) Encuentre la magnitud del campo eléctrico en el punto D. d) Encuentre el vector de Figura P24.47 Problemas 47 y Problema de repaso. Uno de los primeros modelos (incorrecto) del átomo de hidrógeno, sugerido por J. J. Thomson, suponía ue una nube positiva con carga e estaba distribuida de manera uniforme en todo el volumen de una esfera de radio, con el electrón (una partícula con carga negativa e de igual magnitud) en el centro. a) Con la aplicación de la ley de Gauss, demuestre ue el electrón estaría en euilibrio en el centro y, en caso de ser desplazado del centro una distancia r, experimentaría una fuerza de restauración de la forma F Kr, siendo K una constante. b) Demuestre ue K k e e 2 / 3. c)

6 690 Capítulo 24 Ley de Gauss Encuentre una expresión para la frecuencia f de oscilaciones armónicas simples ue podría sufrir un electrón de masa m e si fuera desplazado y después liberado en una peueña distancia ( ) desde el centro. d) Calcule un valor numérico para, como resultado de una frecuencia de Hz, ue es la frecuencia de la luz ue irradia la línea más intensa del espectro del hidrógeno. 49. Una partícula de masa m y carga se mueve con magnitud de velocidad alta a lo largo del eje x. Inicialmente se localiza cerca de x, y termina cerca de x. Una segunda carga se encuentra fija en el punto x 0, y d. Cuando la carga en movimiento pasa por la carga estacionaria, su componente x de velocidad no sufre una modificación significativa, pero aduiere una velocidad peueña en la dirección y móvil. Determine el ángulo en ue la carga se desvía. Sugerencia: La integral a la ue llegue al determinar v y puede ser evaluada aplicando la ley de Gauss a un cilindro largo de radio d, centrado sobre la carga estacionaria. 50. Dos láminas infinitas de carga, no conductoras, se encuentran paralelas entre sí, como se observa en la figura P La lámina de la izuierda tiene una densidad de carga superficial uniforme s, y la de la derecha tiene una densidad de carga uniforme s. Calcule el campo eléctrico a) a la izuierda de, b) entre, y c) a la derecha de las dos láminas. 53. Una cubierta esférica con carga uniforme de densidad superficial s tiene una peueña perforación en su superficie. El radio de la perforación es peueño en comparación con el radio de la esfera. Cuál es el campo eléctrico en el centro de la perforación? Sugerencia: Este problema, al igual ue el problema 52, se resuelve con la idea de la sobreposición. 54. Una superficie cerrada de dimensiones a b m y c m está colocada como se observa en la figura P La arista izuierda de la superficie cerrada está ubicada en la posición x a. El campo eléctrico en toda la región no es uniforme y se conoce por E ( x 2 )i ˆ N/C, donde x está expresado en metros. Calcule el flujo eléctrico neto ue sale de la superficie cerrada. Cuál es la carga neta ue se encuentra dentro de la superficie? z y x a c b a E x Figura P24.54 s s Figura P ué pasaría si? epita el cálculo del problema 50 en el caso de ue ambas láminas tuvieran densidades de carga superficiales uniformes positivas de valor s. 52. Una esfera de radio 2a está hecha de un material no conductor con una densidad de carga volumétrica uniforme r. (Suponga ue el material no afecta al campo eléctrico.) Se efectúa en seguida una cavidad de radio a en la esfera, como se muestra en la figura P Demuestre ue el campo eléctrico dentro de la cavidad es uniforme y está dado por E x 0 y E y ra/3e 0. Sugerencia: El campo en el interior de la cavidad es la sobreposición del campo debido a la esfera original sin perforación mas el campo debido a una esfera del tamaño de la cavidad con una densidad de carga negativa uniforme de r. y 55. Una esfera aislante y sólida de radio tiene una densidad de carga no uniforme ue varía en función de r de acuerdo con la expresión r Ar 2, donde A es una constante y r está medida desde el centro de la esfera. a) Demuestre ue la magnitud del campo eléctrico exterior de la esfera (r ) es igual a E A 5 /5e 0 r 2. b) Demuestre ue la magnitud del campo eléctrico interior de la esfera (r ) es igual a E Ar 3 /5e 0. Sugerencia: La carga total de la esfera es igual a la integral de r dv, donde r se extiende desde cero hasta ; también la carga dentro de un radio r es inferior a. Para evaluar las integrales, observe ue el elemento de volumen dv para una cubierta esférica de radio r y de espesor dr es igual a 4 pr 2 dr. 56. Una carga puntual está localizada sobre el eje de un disco de radio a una distancia b del plano del disco (figura P24.56). Demuestre ue en el caso de ue una cuarta parte del flujo eléctrico de la carga pasara a través del disco, sería igual a 3b 4. b a 2a Figura P24.52 x Figura P Una distribución de carga de simetría esférica tiene una densidad de carga expresada por r a/r, siendo a una constante. Determine el campo eléctrico como una función de r. Sugeren-

7 espuestas a las preguntas rápidas 691 cia: La carga en el interior de una esfera de radio es igual a la integral de r dv, donde r se extiende de 0 hasta. Para evaluar la integral, recuerde ue el elemento de volumen dv de una cubierta esférica de radio r y de un espesor dr es igual a 4 pr 2 dr. 58. Un cilindro aislante de longitud infinita y de radio tiene una densidad de carga volumétrica ue varía en función del radio de la forma siguiente: r r 0 a a r b b siendo r 0, a y b constantes positivas y r la distancia al eje del cilindro. Utilice la ley de Gauss para determinar la magnitud del campo eléctrico a las siguientes distancias radiales a) r y b) r. 59. Problema de repaso. Una placa de material aislante (con dos de sus tres dimensiones infinitas) tiene una densidad de carga uniforme positiva r. Una vista lateral de la placa se muestra en la figura P a) Demuestre ue la magnitud del campo eléctrico a una distancia x de su centro y en el interior de la placa es E rx/e 0. b) ué pasaría si? Suponga ue un electrón de carga e y de masa m e puede moverse con libertad en el interior de la placa. Si le libera del reposo a una distancia x del centro, demuestre ue el electrón despliega un movimiento armónico simple con una frecuencia f 1 re 2pB m e P 0 y O d Figura P24.59 Problemas 59 y Una placa de material aislante tiene una densidad de carga positiva no uniforme r Cx 2, donde x se mide a partir del centro de la placa como se muestra en la figura P24.59, y C es x constante. La placa es infinita en las direcciones y y z. Deduzca expresiones para el campo eléctrico en a) las regiones externas y b) la región interna de la placa ( d/2 x d/2). 61. a) Utilizando la similitud matemática entre la ley de Coulomb y la ley de la gravitación universal de Newton, demuestre ue la ley de Gauss para la gravitación se puede escribir de la forma S g da S 4pGm in donde m in es la masa neta existente en el interior de la superficie de Gauss y g F g/m representa el campo gravitacional en cualuier punto de la superficie gaussiana. b) Determine el campo gravitacional a una distancia r del centro de la Tierra, donde r E, y suponiendo ue la densidad de masa de la Tierra es uniforme. 62. Una esfera sólida aislante, de radio a, tiene una densidad de carga volumétrica uniforme y tiene una carga positiva total. Una superficie gaussiana de radio r, ue comparte un centro común con la esfera aislante, se infla partiendo de r = 0. a) Encuentre una expresión para el flujo eléctrico ue pasa a través de la superficie de la esfera gaussiana como función de r para r < a. b) Encuentre una expresión para el flujo eléctrico para r > a. c) Grafiue el flujo en términos de r. 63. Para la configuración ue aparece en la figura P24.47, suponga ue a 5.00 cm, b 20.0 cm y c 25.0 cm. Además, suponga ue el campo eléctrico en un punto 10.0 cm del centro tiene un valor medido de N/C, radial y hacia adentro, en tanto ue el campo eléctrico en un punto a 50.0 cm del centro es de N/C radial y hacia afuera. Con esta información, encuentre a) la carga existente en la esfera aislante, b) la carga neta de la esfera conductora hueca y c) las cargas en las superficies interna y externa de la esfera conductora hueca. 64. Una cubierta aislante cilíndrica de longitud infinita, con radios interno y externo a y b, respectivamente, tiene una densidad de carga volumétrica uniforme r. Una línea de densidad de carga lineal uniforme l está colocada a lo largo del eje de la cubierta. Determine el campo eléctrico en todo los sitios. 65. Considere un campo eléctrico ue es uniforme en dirección en todo el volumen. Puede ser uniforme en magnitud? Debe ser uniforme en magnitud? esponda estas preguntas a) si supone ue el volumen está lleno con un material aislante ue tiene carga descrita por una densidad de carga volumétrica y b) si supone ue el volumen es espacio vacío. Establezca el razonamiento para probar sus respuestas. espuestas a las preguntas rápidas 24.1 e) En cualuier esfera, sin importar el tamaño, pasa el mismo número de líneas de campo. El campo es más intenso porue los puntos ue están en la superficie de la esfera están más cerca de la carga b) y d) La afirmación a) no es necesariamente verdadera, porue dentro de la superficie podría estar presente un número igual de cargas positivas y negativas. La afirmación c) no es necesariamente verdadera, como se puede ver a partir de la figura 24.8: por toda la superficie existe un campo eléctrico distinto de cero, pero la carga no está encerrada en el interior de la superficie, por tanto, el flujo neto es igual a cero a) Las cargas ue su hermano añade al cilindro metálico residen en la superficie exterior del cilindro conductor. Si usted está en el interior, estas cargas no se transferirán a usted desde la superficie interna. Por esta misma razón usted estará seguro dentro de un automóvil metálico durante una tormenta eléctrica.