6- SUMA DE VARIABLES ALEATORIAS Y TEOREMA CENTRAL DEL LÍMITE

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1 arte Suma de varables aleatoras y Teorema cetral del límte rof. María B. tarell 3 6- SUMA DE VARIABLES ALEATORIAS TEOREMA CENTRAL DEL LÍMITE 6. Suma de varables aleatoras deedetes Cuado se estudaro las varables aleatoras bdmesoales se habló de ua fucó de varable aleatora bdmesoal. E artcular se ombró la suma de varables aleatoras, ero o se djo ada sobre la dstrbucó de esa v.a. suma. Es a meudo mortate saber cuál es la dstrbucó de ua suma de varables aleatoras deedetes. Cosderamos alguos ejemlos e el caso dscreto - Suma de varables aleatoras deedetes co dstrbucó osso ~ deedetes y ; ~ ; ~ Dem. Cosderamos el eveto { } como uó de evetos excluyetes { },, etoces, e e e deedetes e e e Bomo de Newto O sea tee dstrbucó osso co arámetro - Suma de varables aleatoras bomales deedetes, ~ deedetes y ;, ~ ;, ~ B B B Dem. Nuevamete cosderamos el eveto { } como uó de evetos excluyetes { },, etoces, e deedetes E la exresó ateror s r j> etoces j r

2 arte Suma de varables aleatoras y Teorema cetral del límte or últmo usamos la sguete detdad combatora etoces rof. María B. tarell O sea tee dstrbucó bomal co arámetros y Observacó: e los dos casos aterores se uede geeralzar el resultado a varables aleatoras deedetes, usado el rco de duccó comleta, es decr - S,,..., so varables aleatoras deedetes dode ~ ara todo,,..., etoces ~ - S,,..., so varables aleatoras deedetes dode ~ B, ara todo,,..., etoces ~ B, Suma de varables aleatoras ormales deedetes S e so dos varables aleatoras cotuas deedetes co desdades gx y hy resectvamete se uede robar o lo demostraremos aquí que la v.a. Z tee desdad dada or f z g z y h y dy Usado esto se uede demostrar el sguete mortate resultado: eto- S e so varables aleatoras deedetes dode ~ N µ, σ y ~ N µ, σ ces ~ N µ µ, σ σ or duccó comleta se uede geeralzar este resultado a varables: S,...,, so varables aleatoras deedetes dode ~ N, σ,,..., etoces ~ N µ, σ µ ara todo De lo ateror y del hecho que ~ N, a b ~ Na b, S,..., µ σ µ a σ teemos:, so varables aleatoras deedetes dode ~ N, σ µ ara todo,,..., etoces a ~ N aµ, aσ dode a, a,..., a so úmeros reales 4

3 arte Suma de varables aleatoras y Teorema cetral del límte rof. María B. tarell Se dce que a es ua combacó leal de varables aleatoras. Ejemlos: - La evoltura de lástco ara u dsco magétco está formada or dos hojas. El esesor de cada ua tee ua dstrbucó ormal co meda.5 mlímetros y desvacó estádar de. mlímetros. Las hojas so deedetes. a Determe la meda y la desvacó estádar del esesor total de las dos hojas. b Cuál es la robabldad de que el esesor total sea mayor que 3.3 mlímetros? Solucó: Sea las varables aleatoras : esesor de la hoja e : esesor de la hoja Etoces ~ N.5,. ; ~ N.5,. y e deedetes a S defmos la v.a. Z: esesor total de las dos hojas, etoces Z or lo tato Z ~ N.5.5,.. es decr Z ~ N 3,. E cosecueca E Z 3, σ Z V Z. b Se de calcular Z > 3.3 Z Z > 3.3 > Φ Φ Tego tres mesajes que ateder e el edfco admstratvo. Sea : el temo que toma el - ésmo mesaje,,3, y sea 4 : el temo total que utlzo ara camar haca y desde el edfco y etre cada mesaje. Suoga que las so deedetes, ormalmete dstrbudas, co las sguetes medas y desvacoes estádar: µ 5 m, σ 4, µ 5, σ, µ 3 8, σ 3, µ 4, σ 4 3 eso salr de m ofca recsamete a las. a.m. y deseo egar ua ota e m uerta que dce regreso a las t a.m. A qué hora t debo escrbr s deseo que la robabldad de m llegada desués de t sea.? Solucó: Defmos la v.a. Z: temo trascurrdo desde que salgo de m ofca hasta que regreso, etoces T 3 4 or lo tato T ~ N µ, σ, y se de hallar t tal que T > t. µ y σ t 5 5 Etoces T > t Φ., es decr Φ t t 5 Buscado e la tabla de la ormal.33 t El acho del marco de ua uerta tee ua dstrbucó ormal co meda 4 ulgadas y desvacó estádar de /8 de ulgada. El acho de la uerta tee ua dstrbucó ormal co meda de ulgadas y desvacó estádar de /6 de ulgadas. Suoer deedeca. a Determe la dstrbucó, la meda y la desvacó estádar de la dfereca etre el acho del marco y de la uerta. 5

4 arte Suma de varables aleatoras y Teorema cetral del límte rof. María B. tarell b Cuál es la robabldad de que la dfereca etre el acho del marco y de la uerta sea mayor que ¼ de ulgada?. c Cuál es la robabldad de que la uerta o quea e el marco?. Solucó: Sea las varables aleatoras : acho del marco de la uerta e ulgadas : acho de la uerta e ulgadas Etoces ~ N 4, /8, ~ N 3.875, /6, e deedetes a Se de la dstrbucó de -, E, σ V E E E V V V σ or lo tato 5 ~ N.5, 6 b Se de la robabldad > / / 4 > Φ Φ Φ < o equvaletemete <, or lo tato c S la uerta o etra e el marco etoces se da el eveto { } { } < Φ Φ Φ Suogamos que las varables aleatoras e deota la logtud y el acho e cm, resectvamete, de ua eza. Suogamos además que e so deedetes y que ~ N,., ~ N5,.. Etoces Z es ua v.a. que rereseta el erímetro de la eza. Calcular la robabldad de que el erímetro sea mayor que 4.5 cm. Solucó: teemos que ~ N 5,.. Z, o sea Z ~ N 4,. La robabldad edda es Z > 4.5, etoces Z > 4.5 Φ Φ Φ S se alca dos cargas aleatoras y a ua vga voladza como se muestra e la fgura sguete, el mometo de flexó e debdo a las cargas es a a. a Suoga que y so v.a. deedetes co medas y 4 KLbs resectvamete, y desvacoes estádar.5 y. KLbs, resectvamete. 6

5 arte Suma de varables aleatoras y Teorema cetral del límte rof. María B. tarell S a 5 es y a es, cuál es el mometo de flexó eserado y cuál es la desvacó estádar del mometo de flexó? b S y está ormalmete dstrbudas, cuál es la robabldad de que el mometo de flexó suere 75 KLbs? Solucó: Sea la v.a. Z: mometo de flexó e, etoces Z 5 or lo tato a E Z 5E E V Z σ Z b S y está ormalmete dstrbudas, etoces Z ~ N5, 4 or lo tato Z > Φ Φ Φ romedo de varables aleatoras ormales deedetes S,,..., so varables aleatoras deedetes dode ~ N µ, σ ara todo,,..., etoces la v.a. meda µ y varaza σ tee dstrbucó ormal co Dem. Notar que es u caso artcular de combacó leal de varables aleatoras dode a ara todo,,..., Además e este caso µ µ y σ σ ara todo,,..., or lo tato, tee dstrbucó ormal co eseraza µ µ µ µ y varaza σ σ σ σ σ Es decr, ~ N µ, Observacó: a se lo llama romedo muestral o meda muestral 7

6 arte Suma de varables aleatoras y Teorema cetral del límte rof. María B. tarell Ejemlos: El dámetro tero de u allo de stó seleccoado al azar es ua v.a. co dstrbucó ormal co meda cm y desvacó estádar de.4 cm. a S es el dámetro romedo e ua muestra de 6 allos, calcule.99. b Qué ta robable es que el dámetro romedo exceda de. cuado 5? Solucó: a Sea las varables aleatoras : dámetro del allo,,..., 6 Etoces ~ N,.4 ara cada. or lo tato ~ N,.4. Etoces φ φ φ φ φ b E este caso ~ N,.4, etoces 5. >. φ φ Ua máqua embotelladora uede regularse de tal maera que llee u romedo de µ ozas or botella. Se ha observado que la catdad de cotedo que sumstra la máqua reseta ua dstrbucó ormal co σ oza. De la roduccó de la máqua u certo día, se obtee ua muestra de 9 botellas lleas todas fuero lleadas co las msmas oscoes del cotrol oeratvo y se mde las ozas del cotedo de cada ua. a Determar la robabldad de que la meda muestral se ecuetre a lo más a.3 ozas de la meda real µ ara tales oscoes de cotrol b Cuátas observacoes debe clurse e la muestra s se desea que la meda muestral esté a lo más a.3 ozas de µ co ua robabldad de.95? 8

7 arte Suma de varables aleatoras y Teorema cetral del límte rof. María B. tarell Solucó: a Sea las varables aleatoras : cotedo e ozas de la botella,,..., 9 ~ N µ, ara cada. Etoces or lo tato ~ Nµ,. Se desea calcular 9.3 µ.3.3 µ.3 σ.3 µ.3.9 σ σ σ Φ b Ahora se retede que µ.3.3 µ.3.95 µ.3 σ σ µ.9φ.9 Φ.9 σ Etoces.3 µ.3 µ µ σ σ σ Medate la tabla de la acumulada de la ormal estádar se tee que µ.3.3 Φ.3.95 Φ O sea S tomamos 43, etoces µ.3 será u oco mayor que Teorema cetral del límte Acabamos de ver que la suma de u úmero fto de varables aleatoras deedetes que está ormalmete dstrbudas es ua varable aleatora també ormalmete dstrbuda. Esta roedad reroductva o es exclusva de la dstrbucó ormal. E efecto, or ejemlo, ya vmos que exste varables aleatoras dscretas que la cumle, es el caso de la osso y la Bomal. E realdad, la roedad que le da a la dstrbucó ormal el lugar rvlegado que ocua etre todas las dstrbucoes es el hecho de que la suma de u úmero muy grade, rgurosamete u úmero fto umerable, de varables aleatoras deedetes co dstrbucoes arbtraras o ecesaramete ormales es ua varable aleatora que tee, aroxmadamete, ua dstrbucó ormal. Este es, esecalmete, el cotedo del 9

8 arte Suma de varables aleatoras y Teorema cetral del límte rof. María B. tarell Teorema cetral del límte T.C.L.: Sea,,..., varables aleatoras deedetes co E µ y V σ ara todo,,...,, es decr deedetes détcamete dstrbudas Sea la v.a. Dem. s demostracó Observacoes: V S V V S µ es la v.a. S estadarzada σ - Notar que E S E E µ y σ or lo tato Z S µ S - Notar que µ µ z z, or lo tato també se uede σ σ σ eucar el Teorema cetral del límte de la sguete forma Dode S y sea Etoces lm Z z Φ z Z S µ. σ z S, esto es µ lm z e σ π µ Z es el romedo muestral estadarzado σ x Sea,,..., varables aleatoras deedetes co E µ y V σ ara todo,,...,, es decr deedetes détcamete dstrbudas µ Sea la v.a. romedo muestral y sea Z. σ Etoces lm Z z Φ z z, esto es µ lm z e σ π x 3- Auque e muchos casos el T.C.L. fucoa be ara valores de equeños, e artcular dode la oblacó es cotua y smétrca, e otras stuacoes se requere valores de mas grades, deededo de la forma de la dstrbucó de las. E muchos casos de terés ráctco, s 3, la aroxmacó ormal será satsfactora s mortar cómo sea la forma de la dstrbucó de las. S < 3, el T.C.L. fucoa s la dstrbucó de las o está muy alejada de ua dstrbucó ormal 4- ara terretar el sgfcado del T.C.L., se geera or comutadora valores de ua v.a. exoecal co arámetro. 5, y se calcula el romedo de esos valores. Esto se rete veces, or lo tato teemos valores de la v.a.. dx dx

9 arte Suma de varables aleatoras y Teorema cetral del límte rof. María B. tarell Hacemos u hstograma de frecuecas de, esto es, tomamos u tervalo a, b dode cae todos los valores de, y lo subdvdmos e tervalos mas chcos de gual logtud. La frecueca de cada subtervalo es la catdad de valores de que cae e dcho subtervalo. Se grafca estas frecuecas obteédose los gráfcos sguetes que se uede cosderar ua aroxmacó a la verdadera dstrbucó de. Se observa que a medda que aumeta el valor de los gráfcos se va hacedo más smétrcos, arecédose a la gráfca de ua dstrbucó ormal Ejemlos: - Suógase que 3 strumetos electrócos D, D,...,D 3, se usa de la maera sguete: ta roto como D falla emeza a actuar D. Cuado D falla emeza a actuar D 3, etc. Suógase que el temo de falla de D es ua v.a. dstrbuda exoecalmete co arámetro. or hora. Sea T el temo total de oeracó de los 3 strumetos. Cuál es la robabldad de que T exceda 35 horas? Solucó: S : temo de falla del strumeto D,,..., 3 Etoces ~ Ex. ara,,..., 3 El temo total de oeracó de los 3 strumetos es T, dode 3 E T E 3 E

10 arte Suma de varables aleatoras y Teorema cetral del límte rof. María B. tarell 3 V T V 3 V 3 3. T 3 Etoces or T.C.L. ~ N, aroxmadamete ues 3 3 La robabldad edda es T T > 35 > Φ Φ T.C.L Suoga que el cosumo de calorías or día de ua determada ersoa es ua v.a. co meda 3 calorías y desvacó estádar de 3 calorías. Cuál es la robabldad de que el romedo de cosumo de calorías daro de dcha ersoa e el sguete año 365 días sea etre 959 y 35? Solucó: Defmos las varables aleatoras : catdad de calorías que ua ersoa cosume e el día,,..., 365 Se sabe que E 3 y V σ 3 S etoces E 3 y V La robabldad edda es Φ Φ 3 Φ Φ 3.4 T.C.L. Alcacoes del Teorema cetral del límte Aroxmacó ormal a la dstrbucó bomal El Teorema cetral del límte se uede utlzar ara aroxmar las robabldades de alguas varables aleatoras dscretas cuado es dfícl calcular las robabldades exactas ara valores grades de los arámetros. Suogamos que tee ua dstrbucó bomal co arámetros y. ara calcular debemos hacer la suma o recurrr a las tablas de la F.d.a., ero ara valores de grades o exste tablas, or lo tato habría que hacer el cálculo e forma drecta y muchas veces es laboroso. Como ua ocó odemos cosderar a como suma de varables aleatoras más smles, esecífcamete, s defmos

11 arte Suma de varables aleatoras y Teorema cetral del límte rof. María B. tarell s e la í ésma reetcó de ε ocurre éxto,,..., caso cotraro etoces cada se la uede cosderar B,, y además,,..., so deedetes odemos escrbr... y s es grade etoces tedrá aroxmadamete ua dstrbucó ormal co arámetros y, es decr µ. Z N, s es lo sufcetemete grade σ. Observacoes: - La aroxmacó ormal a la dstrbucó bomal fucoa be au cuado o sea muy grade s o está demasado cerca de cero o de uo. E artcular la aroxmacó ormal a la bomal es buea s es grade, > 5 y > 5, ero es más efectvo alcar esta aroxmacó cuado > y > - Correccó or cotudad. Acabamos de ver que s B, etoces, ara sufcetemete grade, odemos cosderar que aroxmadamete es N[.,. ]. El roblema que surge de medato s deseo calcular, or ejemlo, la robabldad de que co alguo de los valores osbles,,,, es que la bomal es ua dstrbucó dscreta y tee setdo calcular robabldades como metras que la ormal es ua dstrbucó cotua y, e cosecueca, uesto que ara ua varable aleatora cotua la robabldad de que ésta tome u valor aslado es cero. Esto se resuelve s se cosdera També se uede usar esta correccó ara mejorar la aroxmacó e otros casos, esecífcamete e lugar de calculamos e lugar de E los gráfcos sguetes se muestra ara dferetes valores de y cómo aroxma la dstrbucó N, a la dstrbucó B,

12 arte Suma de varables aleatoras y Teorema cetral del límte rof. María B. tarell Ejemlos: - Sea B5,.4. Hallar las robabldades exactas de que 8 y 8 y comarar estos resultados co los valores corresodetes ecotrados or la aroxmacó ormal. Solucó: De la tabla de la F.d.a. de la bomal ecotramos Ahora usamos la aroxmacó ormal Φ correccó or cotudad Observar que el valor aroxmado está muy cercao al valor exacto ara Nuevamete este valor aroxmado está muy cerca del valor real de 8. 4

13 arte Suma de varables aleatoras y Teorema cetral del límte rof. María B. tarell - Suoga que el % de todos los ejes de acero roducdos or certo roceso está fuera de esecfcacoes, ero se uede volver a trabajar e lugar de teer que evarlos a la chatarra. Cosdere ua muestra aleatora de ejes y deote or el úmero etre ellos que esté fuera de esecfcacoes y se ueda volver a trabajar. Cuál es la robabldad aroxmada de que sea a a lo sumo 3? b meos de 3? c etre 5 y 5 clusve? Solucó: Sea la v.a. : úmero de ejes fuera de esecfcacoes Etoces ~ B,., además. > 5 y. 8> 5 or lo tato odemos alcar la aroxmacó ormal a la bomal a la robabldad edda es Φ Φ 8 8 b La robabldad edda es < 3 Al ser ua v.a. dscreta co dstrbucó bomal < Φ Φ c Φ Φ 8 8 Φ.963 Φ.963 Φ El gerete de u suermercado desea recabar formacó sobre la roorcó de cletes a los que o les agrada ua ueva olítca resecto de la acetacó de cheques. Cuátos cletes tedría que clur e ua muestra s desea que la fraccó de la muestra se desvíe a lo mas e.5 de la verdadera fraccó, co robabldad de.98?. Solucó: Sea : úmero de cletes a los que o les agrada la ueva olítca de acetacó de cheques Etoces ~ B, dode es descoocdo y es la verdadera roorcó de cletes a los que o les agrada la ueva olítca de acetacó de cheques. El gerete tomará ua muestra de cletes ara estmar co ya que es la roorcó de cletes a los que o les agrada la ueva olítca de acetacó de cheques e la muestra de cletes. S o se toma a todos los cletes, etoces o será gual a. La reguta es cuál debe ser ara que se aleje del verdadero e meos de.5 co robabldad.98 or lo meos, o sea ara que Etoces lateamos

14 arte Suma de varables aleatoras y Teorema cetral del límte rof. María B. tarell Φ.5 Φ.5 Φ.5.98 T.C.L or lo tato Φ. 99 Además Etoces debe cumlrse que o sea O sea se debe tomar ua muestra de al meos 6 cletes Aroxmacó ormal a la dstrbucó osso Se uede robar alcado Teorema cetral del límte que S ~ etoces ara sufcetemete grade tee aroxmadamete dstrbu- có N, Es decr ara sufcetemete grade N, E la ráctca s 3 la aroxmacó es buea. Observacó: la demostracó es seclla s es gual a u úmero atural ues, s cosderamos las varables aleatoras ~ co,,..., deedetes, etoces ya sabemos que ~, es decr ~ ero además or T.C.L. s es grade tee aroxmadamete dstrbucó ormal co a- rámetros µ y σ O sea la dstrbucó de que es exactamete osso co arámetro, se uede aroxmar co ua N,, or lo tato N, aroxmadamete ara valores de sufcetemete grades E los gráfcos sguetes se muestra ara dferetes valores de cómo aroxma la dstrbucó N, a la dstrbucó 6

15 arte Suma de varables aleatoras y Teorema cetral del límte rof. María B. tarell Ejemlo: El úmero de fraccoes or estacoameto e certa cudad e cualquer día hábl tee ua dstrbucó de osso co arámetro 5. Cuál es la robabldad aroxmada de que: a etre 35 y 7 fraccoes se exda e u día e artcular? b el úmero total de fraccoes exeddas durate ua semaa de 5 días sea etre 5 y 75? Solucó: Sea : úmero de fraccoes or estacoameto e certa cudad e cualquer día hábl Etoces ~ dode 5 5 Como 5 etoces N, aroxmadamete 5 a la robabldad edda es Φ Φ Φ.884 Φ b Sea : úmero total de fraccoes exeddas durate ua semaa de 5 días Etoces ~ dode La robabldad edda es Φ Φ Φ.58 Φ Φ

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