Profr. Efraín Soto Apolinar. Área bajo una curva

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1 Profr. Efraí Soto Apoliar. Área bajo ua curva Nosotros coocemos muchas fórmulas para calcular el área de diferetes figuras geométricas. Por ejemplo, para calcular el área A de u triágulo co base b altura h, usamos la fórmula: A b h Pero o sabemos cómo calcular el área que ha etre la parábola, el eje las rectas verticales Si embargo, podemos aproimar el valor de esta área si vamos seccioado el itervalo (0, ) dibujamos rectágulos co altura igual a la ordeada i i. Para esto teemos dos opcioes, bie dibujamos los rectágulos de maera que ua parte del mismo quede por ecima de la parábola, bie los dibujamos de maera que ua parte quede por debajo de la parábola. La aproimació que hagamos tedrá, e el primer caso u error por eceso, es decir, será maor al valor del área que buscamos. E el segudo caso el área aproimada será u poco meor al área debajo de la parábola. /7

2 Profr. Efraí Soto Apoliar Podemos calcular el área de cada rectágulo que queda por ecima de la parábola de los que queda por debajo ordear esta iformació e ua tabla: i A i f A sup Totales: El tamaño del error depederá de la catidad de rectágulos que dibujemos para hacer la aproimació. A maor catidad de rectágulos, las regioes de cada rectágulo que quede por ecima o por debajo será cada vez más pequeños que la suma de todos esos errores será despreciable: /7

3 Profr. Efraí Soto Apoliar. E la siguiete tabla se muestra los resultados obteidos para diferete úmero de rectágulos () e el itervalo (0,): Totales: A i f A sup De la tabla se hace evidete que el área tiede a u úmero A que satisface: 0.38 A Si dibujamos más rectágulos obtedremos ua mejor aproimació. Etoces, si ecotramos el límite de la suma de las áreas de todos los rectágulos que dibujamos bajo la curva cuado el úmero de rectágulos tiede a ifiito, debemos obteer el área bajo la curva f () desde desde a hasta b. Es decir, represeta el área que buscamos. i f ( i ) 3/7

4 Profr. Efraí Soto Apoliar. Observa que la base del rectágulo mide (b a)/ porque hemos decidido hacer particioes del mismo tamaño todas que la altura del rectágulo puede ser calculada utilizado la fució: f ( i ) f ( i ) Cuado el úmero de particioes () crece, el error que se comete al aproimar el área bajo la curva co el área del rectágulo, cada vez es más pequeño cuado tiede a ifiito, tiede a cero. Debido a esto decimos que el área bajo la curva es: i f ( i ) Ejemplo Calcula el área bajo la parábola e el itervalo (0, ) usado el límite: i i ( ) Por defiició: i i ( ) 0 4/7

5 Profr. Efraí Soto Apoliar. Primero haremos la suma después vamos a calcular el límite cuado tiede a ifiito. i i ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) + + ( ) [ ] 3 ( ) 3 i i Pero a habíamos mecioado que: Etoces, podemos sustituir esto obteer: lim i i ( ) ( i ( + )( + ) 6 i ( ) lim 3 i lim i ( ) lim ) ( ) [ ] ( + )( + ) lim ( 6 ( ) ( ) ) 3 Etoces, el área bajo la parábola desde 0 hasta es /3 eactamete. Este mismo procedimieto es el que realmete hacemos cuado calculamos la itegral defiida, pues esta es la forma como se defie. Observa que de acuerdo a la tabla dada e la págia 3, /3 siempre cumple: A i f < /3 < A sup, como era de esperar. Diferecial de área Si cosideramos u par rectágulos co base comú que usamos para aproimar el área bajo la curva, vemos que la base es, la altura del rectágulo de maor área es f ( i + ) la altura del otro es f ( i ). El área bajo la curva es maor que el área del rectágulo que queda por debajo de la curva a su vez meor que el área del rectágulo que queda por ecima. Algebraicamete: Al dividir la desigualdad etre, obteemos: ( ) f () A ( ) f ( + ) f () A f ( + ) Si hacemos que tieda a cero, obteemos que la derivada de la fució que calcula el área debajo de la fució f () es igual a f (): f () da d f () da d f () 5/7

6 Profr. Efraí Soto Apoliar. E palabras, la derivada de la fució que da el área bajo la gráfica de la fució f () por ecima del eje, es igual a la fució f (). Esto es, si queremos calcular el área debajo de la curva de ua fució dada, teemos que itegrarla, dado que la operació iversa de derivar es itegrar. Y esta itegral está defiida por el límite: lim i f ( i ) b a f () d que iclue iformació acerca de los límites de itegració, es decir, e qué itervalo queremos calcular el área bajo la curva, por eso se llama itegral defiida. De hecho, el símbolo de itegració represeta ua S estirada, para represetar la suma de las áreas de los rectágulos que se dibuja (metalmete) cuado hacemos que tieda a ifiito. Así que para calcular áreas vamos a utilizar las mismas reglas de itegració que hemos estado utilizado hasta ahora. Itegral defiida La itegral defiida de la fució cotíua f () desde a hasta b, Defiició b a f () d lim i f ( i ) represeta el área bajo la curva f (), el eje las rectas a b, supuesto que f () > 0 e el itervalo (a, b). Ejemplo Calcula el área bajo la curva sobre el eje e el itervalo (0, ). Calculamos la itegral: 0 d Ahora hacemos la evaluació. Primero evaluamos el límite de itegració superior después el límite iferior: Etoces, el área bajo la curva desde 0 hasta es igual a /3. Compara este resultado co los resultados que se muestra e las tablas ateriores. Ahora, para calcular la itegral defiida vamos a utilizar las reglas de itegració imediata. 6/7

7 Profr. Efraí Soto Apoliar. Albert Eistei Créditos Todo debe hacerse ta simple como sea posible, pero o más. Este material se etrajo del libro Matemáticas I escrito por Efraí Soto Apoliar. La idea es compartir estos trucos para que más gete se eamore de las matemáticas, de ser posible, mucho más que el autor. Autor: Efraí Soto Apoliar. Edició: Efraí Soto Apoliar. Composició tipográfica: Efraí Soto Apoliar. Diseño de figuras: Efraí Soto Apoliar. Productor geeral: Efraí Soto Apoliar. Año de edició: 00 Año de publicació: Pediete. Última revisió: 07 de agosto de 00. Derechos de autor: Todos los derechos reservados a favor de Efraí Soto Apoliar. Méico. 00. Espero que estos trucos se distribua etre profesores de matemáticas de todos los iveles sea divulgados etre otros profesores sus alumos. Este material es de distribució gratuita. Profesor, agradezco sus cometarios sugerecias a la cueta de correo electróico: 7/7

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