Integral Definida. Tema Introducción. 6.2 Definición de Integral Definida

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1 Tem 6 Integrl Definid 6.1 Introducción En este tem estudiremos l Integrl Definid o Integrl de Riemnn, un concepto mtemático que esencilmente puede describirse como el límite de un sum cundo el número de sumndos tiende infinito y cd uno de ellos tiende cero. Desde el punto de vist histórico l construcción del concepto riguroso de integrl está socido l cálculo de áres. 6.2 Definición de Integrl Definid Comenzremos nlizndo el problem de clculr el áre determind por el eje de bsciss, ls rects =, = b y l gráfic de l función f(), que supondremos en un primer cso continu y positiv en el intervlo [, b]: L ide que utilizremos es prtir el intervlo [, b] en vrios subintervlos: [, 1 ], [ 1, 2 ],... [ n 1, b], de mner que el áre que buscmos será l sum de ls áres de cd un de ls figurs plns que resultn de dich división. Tomemos hor en cd sub-intervlo un vlor rbitrrio de l bscis: {ξ 1,..., ξ n }, y construymos el rectángulo de ltur f(ξ) correspondiente cd uno de los subintervlos (ver Figur 8.1 derech). Podemos sí proimr el vlor del áre buscd por l sum: A f(ξ 1 ) ( 1 ) + f(ξ 2 ) ( 2 1 ) f(ξ n ) (b n 1 ) Evidentemente est proimción será tnto mejor cunto más subintervlos se introduzcn, y en prticulr si el número de ellos tiende infinito (y l nchur de todos y cd uno de ellos tiende cero) entonces en dicho límite el resultdo será ecto y nos proporcionrá el áre buscd. Este proceso de pso l límite es el que define l integrl definid o integrl de Riemnn, que veremos continución con más detlle: 59

2 60 CÁLCULO / CIENCIAS AMBIENTALES / TEMA 8 y y b Ξ 1 1 Ξ 2 2 Ξ 3 3 Ξ 4 b Figur 6.1: Construcción de un sum de Riemnn. El concepto de integrl definid se construye prtir de l ide de psr l límite un sum cundo el número de sumndos tiende infinito y simultánemente cd uno de los sumndos tiende cero. Pr determinr con precisión est ide introduciremos ls siguientes definiciones: Definición. Ddo un intervlo [, b] llmremos prtición de [, b] tod colección de n + 1 puntos P = { 0, 1,, n } tles que = 0 < 1 < 2 < < n = b. Tod prtición P del intervlo [, b] lo divide en n subintervlos [ k 1, k ] de nchurs respectivs k = k k 1. Definición. Dd un función f() definid en el intervlo [, b], un prtición P = { 0, 1,, n } de [, b] y ddos n puntos ξ = {ξ 1, ξ 2,, ξ n } tles que ξ k [ k 1, k ], se llm sum integrl o sum de Riemnn de l función f() en [, b] correspondiente l prtición P y l elección de puntos ξ l sum siguiente: n S(f, P, ξ) = f(ξ k ) k = f(ξ 1 ) f(ξ n ) n k=1 Si suponemos que l función es continu 1 en [, b] entonces, por el teorem de Weierstrss, f() lcnz su vlor máimo M k y su mínimo m k en cd subintervlo [ k 1, k ], podemos entonces construir ls sums de Riemnn correspondientes dichos vlores, obteniendo l sum superior de Riemnn de f() en [, b] con respecto l prtición P : n U(f, P ) = M k k y l respectiv sum inferior: L(f, P ) = k=1 n m k k 1 Relmente serí suficiente con que f() fuer continu en cd subintervlo de l prtición P. k=1

3 CÁLCULO / CIENCIAS AMBIENTALES / TEMA 8 61 Es evidente entonces que el conjunto de tods ls sums de Riemnn de un función dd en un intervlo, con respecto un prtición concret P, está cotdo superiormente por U(f, P ) e inferiormente por L(f, P ). Definición. Se dice que un función f() definid en [, b] es integrble (en el sentido de Riemnn, o simplemente integrble) en [, b] si el supremo de tods sus sums inferiores de Riemnn coincide con el ínfimo de tods sus sums superiores. A dicho número se le denomin integrl definid o integrl de Riemnn de f() en [, b] y se denot como: f() d Es posible definir de mner equivlente l integrl definid como el límite de ls sums de Riemnn de l función en el intervlo cundo el número de puntos de ls prticiones considerds tiende infinito mientrs que l nchur máim de los subintervlos determindos por l prtición tiende cero, siempre que dicho límite se demás independiente de l elección de puntos relizd pr construir ls sums de Reiemnn. L definición de integrl definid se complet ñdiendo que se considerrá tmbién el cso en el que > b, y el cso = b, de l form: f()d = b f()d ; f()d = 0 Ejemplo: Clculemos ls integrles: d, d En el primer cso ls sums de Riemnn serán de l form: S(f, P, ξ) = n = b independientemente de l prtición tomd y de l elección de puntos relizd. L integrl por tnto es: d = b que obvimente coincide con el áre del rectángulo de bse b y ltur 1. (Ver Figur 8.2, izquierd). Pr clculr l segund integrl podemos proceder de vris forms. En primer lugr es evidente que el resultdo de l integrl v ser el áre del trpecio de l Figur 8.2 (derech), y sbemos que el áre de un trpecio es igul l producto de l ltur (b ) por l sum de ls bses dividid por dos 1 2 ( + b), es decir: d = 1 2 ( + b)(b ) = 1 2 ( b 2 2)

4 62 CÁLCULO / CIENCIAS AMBIENTALES / TEMA 8 y y b b b Figur 6.2: Funciones f() = 1 y f() = en el intervlo [, b]. Demostrremos no obstnte este resultdo plicndo directmente l definición de integrl definid. Ddo que l función f(s) = es continu, será integrble en [, b]. Ls sums de Riemnn correspondientes un prtición culquier P = { 0, 1,..., n }, con = 0 < 1 <... < n = b será: S(f, P, ξ) = ξ ξ ξ n n = ξ 1 ( 1 0 ) + ξ 2 ( 2 1 ) ξ n (b n 1 ) siendo ξ = {ξ 1,..., ξ n } un elección culquier de puntos en los subintervlos de l prtición P. Ddo que f() es creciente siempre, ls sums superiores e inferiores de Riemnn se obtienen eligiendo ξ i = i y ξ i = i 1 respectivmente: U(f, P ) = 1 ( 1 0 ) + 2 ( 2 1 ) n ( n n 1 ) = n ( 2 i i i 1 ) i=1 L(f, P ) = 0 ( 1 0 ) + 1 ( 2 1 ) n 1 ( n n 1 ) = n ( i i 1 2 i 1) Observmos entonces que se cul se l prtición P l sum de U(f, P ) y L(f, P ) es: U(f, P ) + L(f, P ) = 2 n 2 0 = b 2 2 Si tommos hor el límite de Riemnn, teniendo en cuent que f() es integrble, result que tnto U(f, P ) como L(f, P ) tienden l integrl definid y por tnto: i=1 Q.E.D. U(f, P ) + L(f, P ) 2 d = b 2 2 d = 1 2 ( b 2 2) 6.3 Propieddes básics 1. Si f() es integrble en [, b] entonces está cotd en [, b].

5 CÁLCULO / CIENCIAS AMBIENTALES / TEMA Si f() es continu en [, b] entonces es integrble en [, b]. 3. Si f() está cotd en [, b] y present en dicho intervlo un número finito de discontinuiddes, entonces es integrble en [, b]. Est propiedd tmbién es ciert si el número de discontinuiddes es infinito pero contble (numerble). 4. L integrl definid es linel, es decir: Si f() y g() son dos funciones integrbles en [, b], entonces su sum tmbien lo es y se verific: (f() + g())d = f()d + mientrs que si k es un número rel culquier, entonces: kf()d = k 5. Ddos tres números reles, b y c, se verific: f()d = c siempre que ls integrles nteriores eistn. f()d + f()d c f()d g()d 6. Si f() g(), [, b] y mbs son integrbles en [, b], entonces se verific: f() d g() d 7. Si < b y f() es integrble en [, b], se verific: f()d f() d 6.4 Teorem Fundmentl del Cálculo y Regl de Brrow Teorem del Vlor Medio del Cálculo Integrl. Si f() es un función continu en el intervlo [, b], entonces eiste en [, b] l menos un punto c tl que se verific: f()d = (b ) f(c) Not: l número rel f = 1 b b f()d se le llm vlor medio o vlor promedio de f() en [, b]. Demostrción: Ddo que f() es continu en [, b], por el teorem de Weierstrss lcnz en [, b] su vlor máimo, M y su mínimo, m. Tendremos entonces, utilizndo ls propieddes nteriormente epuests: m f() M, [, b]

6 64 CÁLCULO / CIENCIAS AMBIENTALES / TEMA 8 y sí: m d f() d M d m(b ) m f()d b M f()d M(b ) Pero l ser M y m lcnzdos en [, b] (supongmos que en los puntos 1 y 2, [ 1, 2 ] [, b]), tendremos que f() lcnz todos los vlores intermedios entre m y M, y por tnto: c [ 1, 2 ] c [, b] tl que: f(c) = f()d b Q.E.D. Plnteremos continución el Teorem Fundmentl del Cálculo, que relcion dos conceptos prentemente diferentes como son el de integrl indefinid (operción invers o recíproc de l derivción) y el de integrl definid (límite de sums cundo el número de sumndos tiende infinito mientrs que cd sumndo tiende cero): Teorem Fundmentl del Cálculo. Se f() un función continu en el intervlo [, b], entonces l función F () definid de l form: F () = f(t)dt en el intervlo [, b] es derivble en (, b) y demás F () = f(). Not: Si f() es integrble pero no continu en [, b] entonces sólo podemos segurr que F () es continu en [, b], pero l derivbilidd de F () sólo está grntizd en los puntos de continuidd de f(). L función F () tiene un significdo geométrico evidente ddo que nos proporcion el áre determind 2 por l gráfic de f() entre el punto inicil y un punto concreto del intervlo [, b]. Regl de Brrow. Si f() es continu en [, b] y G() es un primitiv de f() en [, b], entonces se verific: f()d = G() b = G(b) G() Demostrciones: Demostrremos en primer lugr el Teorem Fundmentl del Cálculo: Dd l función f() continu en [, b], definiremos entonces en [, b] l función: F () = f(u)du 2 Evidentemente hblmos de áre en sentido figurdo, pues se trt relmente de un áre pr funciones definids positivs en [, b].

7 CÁLCULO / CIENCIAS AMBIENTALES / TEMA 8 65 Consideremos h > 0 tl que y + h pertenezcn mbos l intervlo [, b], tendremos entonces (plicndo ls propieddes básics de ls integrles) que: F ( + h) F () = +h f(u)du f(u)du = +h f(u)du Aplicndo continución el Teorem del Vlor Medio en el intervlo [, + h], eistirá un vlor c [, + h] tl que: +h f(u)du = f(c)( + h ) = f(c) h Pero entonces l derivd de F () en el punto se re-escribe de l form: F F ( + h) F () () = lim = lim f(c) h 0 h h 0 y ddo que f() es continu en [, b] y, en consecuenci, en [, + h], tendremos que h 0 nos llev que c + h c, y en definitiv, l ser f() continu: Q.E.D 3. lim f(c) = lim f(c) = f() F () = f() h 0 c Demostrción de l regl de Brrow: Dd l función continu f() en [, b], si G() es un primitiv de f() en [, b] tendremos que, ddo que F () definid nteriormente tmbién lo es, mbs deben diferencirse tn sólo en un constnte C, de est form: En prticulr: G() F () = C, [, b] G() F () = C G() G(b) F (b) = C G(b) f()d = C f()d = C restndo mbs epresiones, y considerndo que f()d = 0, tendremos: Q.E.D. f()d = G(b) G() 6.5 Integrles Impropis En l construcción y definición de integrl definid o integrl de Riemnn hemos prtido de un función f() definid en un intervlo finito [, b] y demás cotd en el mismo. Ls integrles impropis se definen precismente pr contemplr l posibilidd de integrr en intervlos infinitos, por un ldo, e integrr funciones no cotds, por otro. 3 Estrictmente hblndo hemos demostrdo tn sólo que l derivd por l derech de F () es f(). Es trivil completr l demostrción en el otro sentido.

8 66 CÁLCULO / CIENCIAS AMBIENTALES / TEMA Integrles Impropis de Primer Especie Un integrl impropi de primer especie es un integrl etendid un intervlo no finito. Pr definirl utilizremos l siguiente epresión: f()d = lim b f()d Si dicho límite eiste y es finito diremos que l integrl impropi de primer especie f()d es convergente, en cso contrrio será divergente. De mner nálog se definen ls integrles impropis de primer especie siguientes: f()d = lim f()d ; Integrles Impropis de Segund Especie f()d = lim k k k f()d Un condición necesri pr que f() fuer integrble en [, b] er que estuvier cotd en [, b]. Si f() es integrble en [, b ε] y no está cotd en un entorno de b, definimos l integrl impropi de segund especie: f() d = lim ε 0+ ε f() d L integrl será convergente si el límite eiste y es finito. Ejemplos: y otr de segund especie: Un integrl impropi de primer especie convergente: d = lim b (rctn b rctn 0) = π 2 d 1 2 = lim ε 0+ (rcsen(1 ε) rcsen 0) = π Aplicciones geométrics de l Integrl definid Cálculo de Áres. Funciones eplícits en Coordends Crtesins. Dd un curv y = f(), el áre determind por dich curv, ls rects =, = b (con < b) y el eje de bsciss nos viene dd por l integrl definid: A = f() d

9 CÁLCULO / CIENCIAS AMBIENTALES / TEMA 8 67 En el cso de que l vrible despejd se l, es decir un ecución eplícit de l form = g(y), l epresión: A = d c g(y) dy nos proporcion el áre determind por el eje de ordends, ls rects y = c, y = d y l gráfic de g(y). Epresiones en prmétrics: El áre delimitd por l curv c epresd en ecuciones prmétrics, c y el eje OX entre ls bsciss (t 1 ) y (t 2 ) es, A = t2 Epresiones en coordends polres: t 1 y(t) (t) dt { = (t) y = y(t) El áre delimitd por l curv c epresd en ecuciones polres r = r(θ) y ls rects rdiles θ = θ 1 y θ = θ 2 es dd por, A = 1 2 θ2 θ 1 r 2 (θ)dθ Cálculo de longitudes de rco de curv: Epresiones en coordends crtesins: L longitud de l curv y = f() entre ls bsciss = 1 y = 2 viene epresd medinte l fórmul: 2 L = 1 + (f ()) 2 d Epresiones en prmétrics: { por: L longitud de l curv c L = 1 = (t) y = y(t) t2 Epresiones en coordends polres: t 1 entre ls bsciss (t 1 ) y (t 2 ) viene dd ( (t)) 2 + (y (t)) 2 dt L longitud de l curv r = r(θ) entre ls coordends ngulres θ = θ 1 y θ = θ 2 viene dd como: θ2 L = (r(θ)) 2 + (r (θ)) 2 dθ θ 1

10 68 CÁLCULO / CIENCIAS AMBIENTALES / TEMA Cálculo de volúmenes de revolución (lrededor del eje OX): Epresiones en coordends crtesins: El volumen generdo por l curv y = y() l girr lrededor del eje OX entre ls bsciss 1 y 2 corresponde l fórmul: V = π 2 1 (f()) 2 d Epresiones en prmétrics El volumen de revolución respecto del eje OX de l curv ((t), y(t)) delimitdo por ls bsciss (t 1 ) y (t 2 ) está ddo por: V = π t2 t 1 (y(t)) 2 (t) dt Epresiones en coordends polres: El volumen de revolución de l curv r = r(θ) sobre el eje OX delimitdo por ls vribles ngulres θ 1 y θ 2 es V = 2π 3 θ2 θ 1 r 3 (θ) senθ dθ Cálculo de áres de revolución (lrededor del eje OX): El áre generdo por l curv c l girr lrededor del eje OX puede ser clculdo según ls siguientes epresiones: Epresiones en coordends crtesins: El áre lterl referido nteriormente de l curv y = f() entre ls bsciss 1 y 2 será: 2 A L = 2π f() 1 + (f ()) 2 d 1 Epresiones en prmétrics: En ecuciones prmétrics, el áre lterl limitd por ls bsciss (t 1 ) y (t 2 ) viene dd por: t2 A L = 2π y(t) ( (t)) 2 + (y (t)) 2 dt t 1 Epresiones en coordends polres: L epresión en coordends polres es: θ2 A L = 2π r(θ) sen θ (r(θ)) 2 + (r (θ)) 2 dθ θ 1

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