Cálculo de límites Sumas, productos y cocientes. Tema 3

Transcripción

1 Tema 3 Cálculo de ites El presete tema tiee u iterés emietemete práctico, pues su pricipal fialidad es aportar los ejemplos que se echaba de meos e el tema aterior. Empezaremos estableciedo las reglas básicas para el estudio de ites y divergecia para sumas, productos o cocietes de fucioes reales de variable real. Se trata de trasladar, de forma bastate mecáica, las reglas ya coocidas para sucesioes y, lógicamete, se reproduce las idetermiacioes que ya teíamos. Precisamete para salvar esas idetermiacioes, presetamos alguos métodos uevos para estudiar el carácter de ciertas sucesioes, etre los que destaca el criterio de Stolz co sus muchas aplicacioes. Tambié estudiamos sucesioes de potecias, prestado especial ateció a alguos ites relacioados co el úmero e, tato ites de sucesioes como de fucioes. E particular tedremos u estudio, más amplio que el hecho hasta ahora, de la pricipales fucioes coocidas: racioales, expoeciales, logarítmicas y fucioes potecia. E resume, tedremos ua amplia gama de ejemplos para ilustrar las ocioes de ite y divergecia, juto co ua serie de métodos prácticos para resolver idetermiacioes. 3.. Sumas, productos y cocietes Las reglas coocidas para el estudio de la covergecia o divergecia de sucesioes se traslada fácilmete a fucioes reales de variable real, obteiedo las reglas básicas para el estudio de ites de fucioes y fucioes divergetes. Trabajaremos solamete co ites o divergecias e u puto de la recta real, por ser el caso más geeral. Los resultados se traslada automáticamete a los demás casos, ites o divergecias laterales y ites o divergecias e el ifiito, prestado la debida ateció al cambio de fució que e cada caso se requiera. Empezamos estudiado el comportamieto de la suma de dos fucioes que tiee ite o diverge e u puto, co dos observacioes clave: 2

2 3. Cálculo de ites 22 Sea f,g : A R fucioes reales de variable real y α A. i) Si f y g tiee ite e α, etoces f + g tiee ite e α, verificádose que ) f + g x) = f x) + gx) ii) Supogamos que f x) + x α) y que g verifica la siguiete codició: δ > 0 M R : x A, 0 < x α < δ = gx) M ) es decir, g está miorada e la itersecció de A \ {α} co u itervalo abierto de cetro α. Etoces: f + g ) x) + x α) Para probarlo, sea {x } α, co x A \ {α} para todo N. E el caso i) teemos que { f x )} f x) y {gx )} gx), luego { ) f + g x ) } = { f x ) + gx )} f x) + gx) E el caso ii) teemos { f x )} + y usado ) vemos que {gx )} está miorada, puesto que existe m N tal que, para m, se tiee 0 < x α < δ, luego gx ) M. Deducimos que { f + g ) x ) } +, como se quería. Observamos ahora que, tato si g tiee ite e el puto α, digamos gx) = L, como si gx) + x α), podemos asegurar que g verifica la codició ). E el primer caso sabemos que existe δ > 0 tal que, para x A co 0 < x α < δ, se tiee gx) L <, luego gx) > L y basta tomar M = L. E el segudo caso sabemos que para cualquier M R podemos ecotrar δ > 0 de forma que se verifique ). Podemos así obteer las siguietes cosecuecias: a) Si f x) + x α) y g tiee ite o diverge positivamete e α, etoces f + g diverge positivamete e α. b) Si f x) x α) y g tiee ite o diverge egativamete e α, etoces f + g diverge egativamete e α. c) Si f diverge e el puto α y g tiee ite e α, etoces f + g diverge e α. Nada se puede afirmar sobre el comportamieto e u puto de la suma de dos fucioes, cuado ua diverge positivamete y otra egativamete e dicho puto. Por tato, tampoco podemos afirmar ada, si solo sabemos que ambas fucioes diverge e el puto e cuestió. Reaparece aquí, para fucioes, la idetermiació del tipo [ ]. Co respecto al producto de fucioes, las observacioes básicas so ahora tres: Sea f,g : A R fucioes reales de variable real y α A. i) Si f y g tiee ite e el puto α, etoces f g tiee ite e α, dado por ) f g x) = f x) gx)

3 3. Cálculo de ites 23 ii) Supogamos que f x) = 0 y que g está acotada e la itersecció de A \ {α} co u cierto itervalo abierto de cetro α, es decir, δ > 0 M > 0 : x A, 0 < x α < δ = gx) M 2) Etoces: f g ) x) = 0. iii) Supogamos que f x) + x α) y que g verifica la codició ) co M > 0, es decir: δ > 0 M > 0 : x A, 0 < x α < δ = gx) M 3) Etoces: f g ) x) + x α). Para comprobar estas afirmacioes, tomamos ua sucesió {x } de putos de A distitos de α, co {x } α. E el caso i) teemos que { f x )} f x) y {gx )} gx), luego { ) f g x ) } = { f x )gx )} f x) gx) E el caso ii) teemos { f x )} 0, y usado 2) vemos que {gx )} está acotada, puesto { que existe ) m N tal que, para m, se tiee 0 < x α < δ, luego gx ) M. Por tato, f g x ) } 0. Fialmete, e el caso iii) teemos que { f x )} + y, si δ,m viee dados { ) por 3), existe m N tal que, para m es 0 < x α < δ, luego gx ) M. Etoces, f g x ) } +, como se quería. Para obteer las cosecuecias que sigue coviee observar que si g tiee ite e α verificará 2), mietras que si g es divergete, la fució g verificará 3). a) Si f y g diverge e el puto α, etoces f g diverge e α. Además, si ambas diverge positivamete o ambas egativamete teemos f g ) x) + x α), mietras que si ua diverge positivamete y otra egativamete, etoces f g)x) x α). b) Si f diverge e el puto α y g tiee ite o ulo e α, digamos gx) = λ R, etoces f g diverge e α. Además, si f diverge positivamete y λ > 0, o bie f diverge egativamete y λ < 0, etoces f g diverge positivamete. Si f diverge positivamete y λ < 0, o bie f diverge egativamete y λ > 0, etoces f g diverge egativamete. Nada se puede afirmar sobre el comportamieto e u puto del producto de dos fucioes, cuado ua tiee ite 0 y la otra diverge e dicho puto. Reaparece la idetermiació del tipo [0 ]. Para estudiar el cociete de dos fucioes, bastará ahora ver lo que ocurre co la fució / f, depediedo del comportamieto de f, cosa ada difícil: Sea f : A R ua fució real de variable real, o idéticamete ula, cosideremos el cojuto B = {x A : f x) 0} y la fució / f : B R. Para α A se tiee: i) Si f x) = L R, etoces α B ) y / f x) = /L. ii) Si f diverge e el puto α, etoces tambié α B ) y / f x) = 0. iii) Si f x) = 0 y α B, etoces / f diverge e el puto α.

4 3. Cálculo de ites 24 La comprobació de las tres afirmacioes es imediata. E el caso i) podemos asegurar que existe δ > 0 tal que, para x A co 0 < x α < δ se tiee f x) L < L y, e particular, f x) 0. Esto prueba ya que α B. Si ahora tomamos ua sucesió {x } de putos de B distitos de α, co {x } α, se tedrá { f x )} L, luego {/ f x )} /L. E el caso ii) el razoamieto es bastate aálogo, existe δ > 0 tal que, para x A co 0 < x α < δ, se tiee f x) >, luego f x) 0 y α B. Tomado la sucesió {x } como ates, teemos que { f x )} es divergete, luego {/ f x )} 0. Obsérvese que e el caso iii) o podemos asegurar que α B, de ahí que se supoga como hipótesis. Tomado la sucesió {x } como ates, teemos { f x )} 0, luego {/ f x )} es divergete Fucioes racioales Las reglas básicas desarrolladas hasta ahora permite estudiar fácilmete los ites y la divergecia de cualquier fució racioal, lo que os da la oportuidad de ilustrar muy bie dichas reglas. Para evitar repeticioes itroducimos ua otació que se matedrá fija e toda la presete secció. Notació. E lo que sigue P, Q será dos poliomios o idéticamete ulos de grados respectivos p, q N {0}. Puesto que pretedemos estudiar el cociete P/Q, supodremos si pérdida de geeralidad que P y Q o tiee divisores comues. Cosideramos etoces el cojuto Z Q = {x R : Qx) = 0} de los ceros del poliomio Q, y sabemos que Px) 0 para todo x Z Q. Tomamos A = R \ Z Q y, puesto que Z Q es fiito, teemos A = R, e particular A o está mayorado i miorado. Pretedemos estudiar la fució racioal f : A R defiida por f x) = Px) Qx) x A Debe quedar claro que toda fució racioal es la restricció a su cojuto de defiició de ua fució f del tipo cosiderado. Cuado q = 0, teemos A = R y f es ua fució poliómica. E primer lugar, sabemos que f es cotiua e A, es decir: f x) = f α) α A Estudiemos el comportamieto de f e + y, que parece platear idetermiacioes. Empezado por alguos casos fáciles, para N teemos evidetemete x + x + ); x + x ) si es par ; x + x = x x = 0 x x ) si es impar Para el caso geeral, destacamos los coeficietes pricipales de P y Q escribiedo Px) = ax p + Rx), Qx) = bx q + Sx) x R dode a,b R y R,S so poliomios de grados meores que p y q respectivamete. Puede ocurrir que P sea costate, es decir, p = 0, e cuyo caso R es idéticamete ulo, y tambié S es idéticamete ulo cuado Q es costate.

5 3. Cálculo de ites 25 La observació clave es la siguiete: x + x p Rx) = x x p Rx) = x + x q Sx) = x x q Sx) = 0 4) Basta comprobar las dos afirmacioes sobre R, las referetes a S so aálogas. Supoemos p > 0, pues e otro caso o hay ada que comprobar, escribimos x p Rx) = p a k x k p x R dode a 0,a,...,a p so los coeficietes de R, y basta usar que para k =,2,..., p. Fialmete escribimos f x) = x p q a + x p Rx) b + x q Sx) = x p q gx) x A \ {0} x + xk p = x xk p = 0, dode la fució racioal g : A \ {0} R se defie por esta misma igualdad y, e vista de 4), verifica que gx) = gx) = a/b. Hemos evitado así cualquier idetermiació y la x + x descripció del comportamieto de f e + y queda como sigue: Si p < q, se tiee Si p = q, teemos f x) = f x) = 0 x + x f x) = f x) = a/b x + x Si p > q, etoces f diverge tato e + como e. Más cocretamete diverge: a) Positivamete e + y e, cuado p q es par y a/b > 0 b) Negativamete e + y e, cuado p q es par y a/b < 0 c) Positivamete e + y egativamete e, cuado p q es impar y a/b > 0 d) Negativamete e + y positivamete e, cuado p q es impar y a/b < 0 Coviee observar que, para estudiar el comportamieto de f e + y, o se ha usado la hipótesis de que los poliomios P y Q sea primos relativos. Veamos fialmete el comportamieto de f e cualquiera de los ceros de Q. Sea pues α R co Qα) = 0 y escribamos Qx) = x α) m Q α x) x R dode m N es el orde del cero de Q e el puto α y el poliomio Q α verifica que Q α α) 0. Teemos etoces Px) f x) = x α) m x A Q α x) y existe el ite y α = x α) m Px) f x) = Q α x) = Pα) Q α α) Por ser Pα) 0, teemos y α 0, mietras que el comportamieto e el puto α de la fució x x α) m o ofrece dificultad. Podemos por tato euciar:

6 3. Cálculo de ites 26 La fució racioal f = P/Q, dode los poliomios P y Q so primos relativos, diverge e todo puto α R que verifique Qα) = 0 y por tato Pα) 0). Más cocretamete, si Q tiee u cero de orde m e el puto α, etoces existe el ite y α = x α) m f x) R y puede darse cuatro casos: a) y α > 0 y m par: f x) + x α) b) y α < 0 y m par: f x) x α) c) y α > 0 y m impar: f x) x α ) y f x) + x α+) d) y α < 0 y m impar: f x) + x α ) y f x) x α+) 3.3. Sucesioes de potecias Pasamos ahora a discutir el comportamieto de fucioes que ivolucra las potecias de expoete real. E geeral, podemos estudiar fucioes del siguiete tipo: si A es u cojuto o vacío de úmeros reales, cosideramos la fució h : A R + defiida por hx) = f x) gx) x A dode f : A R + y g : A R so fucioes cualesquiera. Buscamos iformació sobre el comportamieto de la fució h e u puto α A, e + cuado A o esté mayorado, o e cuado A o esté miorado, supoiedo que coocemos el comportamieto de f y g e cada caso. Para ello podemos aalizar el carácter de la sucesió { f a ) ga ) }, dode {a } es ua sucesió de putos de A, covergete o divergete, segú el caso. Así pues, uestro problema cosiste e aalizar el carácter de ua sucesió del tipo {x y }, dode {x } e {y } so sucesioes de úmeros reales, co x > 0 para todo N, y se cooce el carácter de ambas sucesioes. Para ello podemos escribir x y = exp y log x ) N 5) y aprovechar las propiedades de la fució expoecial y del logaritmo, que vamos a resumir. E primer lugar sabemos ya que la fució expoecial es cotiua e R y el logaritmo es cotiua e R +. Por otra parte, sabiedo que ambas fucioes so estrictamete crecietes y coociedo su image, deducimos fácilmete el comportamieto de ambas e +, el de la expoecial e y el del logaritmo e 0: ex = e α α R; x ex = 0; log x x 0); log x = log α α R + e x + x + ) log x + x + ) Para comprobarlo, fijado λ > 0, podemos tomar u = log λ y el crecimieto de la expoecial os dice que para x < u se tiee e x < λ, y para x > u será e x > λ. Hemos probado que { x R, x < u e x 0 < λ, luego λ > 0 u R : x ex = 0 x R, x > u e x > λ, luego e x + x + )

7 3. Cálculo de ites 27 Aálogamete, dado K R, tomado u = e K > 0 teemos claramete que para 0 < x < u es log x < K, y para x > u será log x > K : { K R u R + x R +, x < u log x < K, luego log x x 0) : x R +, x > u log x > K, luego log x + x + ) Podemos ya coseguir abudate iformació sobre sucesioes de potecias. E vista de 5), aplicado directamete las ateriores propiedades de la expoecial y el logaritmo, juto co las reglas referetes al producto de dos sucesioes covergetes o divergetes obteemos lo siguiete: Sea {x } ua sucesió de úmeros reales positivos e {y } ua sucesió de úmeros reales cualesquiera. i) Supogamos que {x } 0 a) Si {y } o {y } y R, etoces {x y } + b) Si {y } y R + o {y } +, etoces {x y } 0 ii) Supogamos que {x } x R + a) Si {y } y R, etoces {x y } x y b) Si {y } + y x >, o {y } y x <, etoces {x y } + c) Si {y } + y x <, o {y } y x >, etoces {x y } 0 iii) Supogamos fialmete que {x } + a) Si {y } o {y } y R, etoces {x y } 0 b) Si {y } y R + o {y } +, etoces {x y } + Destaquemos los tres casos que o queda cubiertos por la discusió aterior, debido a que para la sucesió {y log x } se preseta ua idetermiació del tipo [0 ] : {x } 0 e {y } 0 : Idetermiació del tipo [0 0 ] {x } e {y } + o {y } : Idetermiació del tipo [ ] {x } + e {y } 0 : Idetermiació del tipo [+ ) 0 ] E cualquiera de los tres casos, ada se puede afirmar, e geeral, sobre la sucesió {x y }. Es fácil comprobar que toda sucesió {z } de úmeros reales positivos puede expresarse como {x y } de forma que {x } e {y } se ecuetre e cualquiera de los tres casos ateriores. Resumiedo, podemos ya eumerar todos los tipos de idetermiació. E esecia sólo hay dos, [ ] y [0 ], que ya apareciero al estudiar el comportamieto de sumas y productos, respectivamete, de sucesioes o de fucioes. La seguda puede tomar además dos aspectos, [0/0] y [ / ] que aparece al estudiar cocietes, y tres aspectos más, [0 0 ], [+ ) 0 ] y [ ], que surge al estudiar potecias. E lo que sigue presetaremos métodos que, lógicamete bajo ciertas hipótesis, permite resolver estas idetermiacioes.

8 3. Cálculo de ites Criterio de Stolz Para idetermiacioes del tipo [ / ] es útil el método ideado por el matemático austriaco O. Stolz ), basásose e trabajos previos del italiao E. Cesàro ): Criterio de Stolz. Sea {x } ua sucesió de úmeros reales y sea {ρ } ua sucesió de úmeros reales positivos, estrictamete creciete y o mayorada. Para L R, se tiee: { } { } x+ x x L = L ρ + ρ ρ La misma implicació es cierta, sustituyedo e ambos miembros L por + o por. Demostració. Partimos de ua igualdad de fácil comprobació. Para m, N co > m, teemos claramete: x ρ = x m ρ + x x m = x m ρ + ρ k=m = x m ρ + ρ [ ρk+ ρ k Dado ahora L R, lo escribimos tambié e la forma ρ x k+ x k ) k=m x k+ x k ρ k+ ρ k L = ρ m L ρ k+ ρ k + ρ L k=m ρ ] 6) Restado ambas igualdades y tomado valores absolutos, teemos x L ρ x m ρ m L + ρ k=m [ ρk+ ρ k ρ ] x k+ x k L ρ k+ ρ k 7) dode hemos usado que {ρ } es ua sucesió estrictamete creciete de úmeros positivos. Teemos pues que la desigualdad 7) es válida para cualesquiera m, N co m <, y para demostrar ya la implicació buscada, fijamos ε > 0. La hipótesis os permite ecotrar ecotrar m N de forma que, para k m se tega x k+ x k L ρ k+ ρ < ε. Etoces, para > m, aplicado 7) teemos k 2 x L ρ x m ρ m L + ε ρ k+ ρ k ρ 2 < x m ρ m L + ε k=m ρ ρ 2 Como por hipótesis {/ρ } 0, podemos ecotrar q N tal que 8) N, q = ρ x m ρ m L < ε 2

9 3. Cálculo de ites 29 Esta desigualdad, juto co 8), os permite cocluir que, para máx{m +,q}, se tiee x L ρ < ε, como se quería. Veamos ahora lo que ocurre al sustituir L por +, { e cuyo caso } el razoamieto aterior obviamete o es válido. Dado C R + x+ x, usado que + podemos ecotrar ρ + ρ m N de forma que, para k m, se tega x k+ x k > 2C. Para > m podemos etoces usar ρ k+ ρ k la igualdad 6) para obteer x > x m ρ k+ ρ k + 2C ρ ρ k=m ρ Ahora, por ser {/ρ } 0, podemos ecotrar q N tal que = x m 2ρ m C ρ + 2C 9) N, q = x m 2ρ m K ρ > C Esta desigualdad, juto co 9) os permite cocluir que para máx{m +,q} se tiee x /ρ > C, luego {x /ρ } +, como se quería. Fialmete, para ver lo que ocurre al sustituir L por basta aplicar lo recié demostrado sustituyedo la sucesió {x } por { x }: { } { } { } { } x+ x x x + x x + + ρ + ρ ρ + ρ ρ ρ { log Para } ver u primer ejemplo de aplicació del criterio de Stolz, cosideremos la sucesió, que preseta ua idetermiació del tipo [ / ]. Tomado x = log y ρ = para todo N, ciertamete {ρ } es ua{ sucesió } estrictamete creciete y o mayorada de úmeros reales positivos. Como quiera que x+ x ρ + ρ = { log + } 0, el criterio de Stolz os dice log que = 0. Deducimos que { { )} } = exp log, co lo que hemos resuelto ua idetermiació del tipo [+ ) 0 ]. Como segudo ejemplo, fijado p N podemos tomar x = k= k p y ρ = p+ para todo N. De uevo {ρ } es ua sucesió estrictamete creciete y o mayorada de úmeros reales positivos. Usado la fórmula del biomio de Newto podemos escribir x + x + ) p = ρ + ρ + ) p+ p+ = p + R) p + ) p + S) N { } dode R y S so poliomios de grado meor que p. Teemos por tato x+ x ρ + ρ p+ y el criterio de Stolz os dice que p+ k p = k= p +.

10 3. Cálculo de ites 30 Ates de pasar a estudiar otras iteresates aplicacioes del criterio de Stolz, coviee aclarar alguos aspectos del mismo. Es importate observar que la implicació que aparece e el criterio o es reversible, e iguo de los casos. Para comprobarlo, dado L R, tomamos x = ) + L y ρ = para todo N. Ciertamete {ρ } es ua sucesió estrictamete creciete y o mayorada { de } úmeros reales positivos, se tiee obviamete que {x /ρ } L, pero la sucesió x+ x ρ + ρ = {2 ) + + L} o es covergete. Alterativamete podemos tomar x 2 = x 2 = 2 y ρ = para todo N. Etoces {x /ρ } +, de hecho se comprueba si dificultad que x /ρ /4 para todo N, pero la sucesió { x+ x ρ + ρ } = {x + x } o es divergete, pues para impar se tiee x + = x. Así pues, si al itetar aplicar el Criterio de Stolz os ecotramos co que la sucesió { x+ x ρ + ρ } o es covergete i divergete, ada podemos deducir sobre {x /ρ }. Fialmete coviee tambié aclarar que cuado la sucesió { x+ x ρ + ρ } es divergete, pero o diverge positiva i egativamete, o podemos asegurar que {x /ρ } sea divergete. E efecto, tomado x = ) y ρ = para todo N, la sucesió { } x+ x = { ) )} ρ + ρ es divergete, pero {x /ρ } = { ) } o lo es Cosecuecias del criterio de Stolz Como ya se ha visto e algú ejemplo, el criterio de Stolz es especialmete útil cuado ua de las sucesioes que e él aparece, o icluso ambas, viee dada e forma de serie. El caso particular más secillo se preseta cuado tomamos ρ = para todo N y escribimos la sucesió {x } e forma de serie, cosa que siempre podemos hacer. Obteemos etoces el siguiete resultado: Criterio de la media aritmética. Sea {y } ua sucesió de úmeros reales y cosideremos la sucesió de sus medias aritméticas, defiida por σ = y k = y + y y k= N Para L R se tiee {y } L = {σ } L y la misma implicació es cierta sustituyedo L por + o. E efecto, basta aplicar el criterio de Stolz co x = y k y ρ = para todo N, co lo { } k= cual se tiee x+ x ρ + ρ = {y + } y {x /ρ } = {σ }.

11 3. Cálculo de ites 3 Por ejemplo, tomado {y } = {/} 0 y deotado por H a la -ésima suma parcial de la serie armóica, teemos H = k= k = 0 Cabe hacer aquí ua discusió aáloga a la que hicimos co el Criterio de Stolz. Por ua parte, la implicació que aparece e el criterio de la media aritmética o es reversible e iguo de los casos, puede ocurrir que {σ } sea covergete o divergete si que {y } lo sea. Por otra, si la sucesió {y } es divergete, pero o diverge positiva i egativamete, o podemos asegurar que {σ } sea divergete. Los ejemplos para comprobar estas afirmacioes so esecialmete los mismos que se usaro para el Criterio de Stolz, ya que e todos ellos se teía ρ = para todo N. Para obteer la sucesió {y } que ahora ecesitamos basta escribir e forma de serie la sucesió {x } que sirvió para el criterio de Stolz, es decir, tomar y = x x, para todo N, co el coveio x 0 = 0. Usado logaritmos obteemos fácilmete la siguiete cosecuecia del criterio de la media aritmética: Criterio de la media geométrica. Sea {a } ua sucesió de úmeros reales positivos y cosideremos la sucesió de medias geométricas defiida por ) / µ = a k = a a 2... a k= N Si {a } L R + 0, se tiee {µ } L, y si {a } +, etoces {µ } +. E efecto, basta observar que log µ = log a k k= N y aplicar el criterio de la media aritmética a la sucesió {log a }. Si {a } L R + teemos {log a } log L, y el criterio de la media aritmética os dice que {log µ } log L, de dode {µ } L. Si {a } 0, teemos que {log a }, luego {log µ } y {µ } 0. Fialmete, si {a } +, tambié {log a } +, luego {log µ } + y {µ } +. Por ejemplo, para {a } = {}, el criterio de la media geométrica os dice que {!} +. Obsérvese que los criterios de la media aritmética y geométrica so equivaletes. Igual que hemos deducido el segudo del primero tomado {y } = {log a }, podemos deducir el primero del segudo tomado {a } = {e y }. Del criterio de la media geométrica se deduce fácilmete otro muy útil: Criterio de la raíz para sucesioes. Sea {b } ua sucesió de úmeros reales positivos. Si {b + /b } L R + 0 se tiee { b } L, y si {b + /b } +, etoces { b } +. E efecto, basta tomar a = b y a + = b + /b para todo N. Claramete, para las medias geométricas de la sucesió {a } teemos etoces µ = b para todo N, co lo que basta aplicar el criterio de la media geométrica.

12 3. Cálculo de ites 32 Por ejemplo, para x R { + cosideremos la sucesió { + x }. El { criterio } de la raíz os lleva a pesar e la sucesió +x + +x }. Para x teemos claramete +x + +x, mietras { } { } { } que si x >, es +x + +x = x x + x + x. E geeral, +x + +x máx{,x}. El criterio de la raíz os dice que tambié { + x } máx{,x}. Dados ahora y,z R +, podemos tomar x = z/y para obteer: { y + z } = { y + z/y) } y máx{,z/y} = máx{y,z}. Del criterio de la raíz se deduce fácilmete el de la media geométrica, co lo que teemos de uevo criterios equivaletes. E efecto, dada ua sucesió {a } de úmeros reales positivos, basta tomar b = a a 2...a para todo N, co lo que {b + /b } = {a + } y las medias geométricas de la sucesió {a } so {µ } = { b } Criterio de la raíz para series Hacemos u breve parétesis e el cálculo de ites, viedo u criterio de covergecia para series de úmeros positivos, muy relacioado co el del cociete, como se verá. Dada ua serie x co x 0 para todo N, la forma más directa de compararla co ua serie geométrica cosiste e cosiderar la sucesió { x }. Aplicado el criterio de comparació obteemos lo siguiete: Criterio de la raíz para series. Sea x R + 0 para todo N. Si la sucesió { x } está mayorada y sup{ x } <, etoces la serie x es covergete. E efecto, tomado λ R de forma que sup{ x } < λ <, la defiició de ite superior os dice que existe m N tal que sup{ x : m} < λ, co lo cual, para m se tiee x < λ. Puesto que λ <, la serie geométrica λ es covergete y basta aplicar el criterio de comparació para series de úmeros positivos. Puesto que, cuado x > 0 para todo N, el comportamieto de la sucesió {x + /x } os da importate iformació sobre { x }, la relació etre el criterio recié probado, que tambié se cooce como criterio de Cauchy, y el del cociete o de D Alembert, o puede pasar desapercibida. Merece la pea discutir co detalle esa relació, que se puede resumir diciedo que el criterio de la raíz mejora estrictamete al del cociete. Supogamos que queremos dilucidar si ua serie x, co x 0 para todo N, es covergete o divergete y veamos cual de los dos criterios es más efectivo. E primer lugar, el criterio del cociete sólo se aplica cuado x > 0 para todo N, para que podamos cosiderar la sucesió {x + /x }, mietras el criterio de la raíz o tiee esa limitació. Ciertamete esta mayor geeralidad del criterio de la raíz es sólo ua cuestió de forma, u secillo artificio permitiría suprimir los térmios ulos de la sucesió {x } para trabajar sólo co los sumados o ulos, si alterar el carácter de la serie. Si embargo, e la práctica puede o ser fácil decidir para qué valores de es x = 0. 0

13 3. Cálculo de ites 33 Pero supogamos que x > 0 para todo N, para que los dos criterios esté dispoibles. La comparació etre ambos se basa e la siguiete desigualdad, que especifica muy bie la relació etre las sucesioes {x + /x } y { x }. Sea x R + para todo N y supogamos que la sucesió {x + /x } está acotada. Etoces la sucesió { x } tambié está acotada y se verifica que if{x + /x } if{ x } sup{ x } sup{x + /x } 0) Para demostrarlo, supodremos de mometo que if{x + /x } > 0. Al fial quedará claro que basta trabajar e este caso. Fijamos etoces ρ,λ R + tales que ρ < if{x + /x } sup{x + /x } < λ La defiició de ite iferior y superior os dice que podemos ecotrar m N tal que ρ < íf{x + /x : m} sup{x + /x : m} < λ co lo cual, para m teemos ρx x + λx. De ρx m x m+ λx m deducimos ρ 2 x m ρx m+ x m+2 λx m+ λ 2 x m, y ua obvia iducció os dice que ρ k x m x m+k λ k x m para todo k N. Equivaletemete, para m podemos escribir ρ m x m x λ m x m, es decir, ρ x m ρ m x λ x m λ m Puesto que { a} para todo a R +, las sucesioes que aparece e el primer y último miembro de la desigualdad aterior coverge a ρ y λ respectivamete. E particular, dicha desigualdad prueba que la sucesió { x } está mayorada, pero tambié os dice que ρ if{ x } sup{ x } λ Las desigualdades buscadas se deduce claramete de la libertad que tuvimos para elegir ρ y λ. Si fuese if{ x } < if{x + /x } se tedría e particular if{x + /x } > 0, que es la suposició que hicimos al pricipio de la demostració, y podríamos haber elegido ρ de forma que if{ x } < ρ, llegado a ua cotradicció. Aálogamete, supoiedo sup{x + /x } < sup{ x }, habríamos podido elegir λ < sup{ x } para llegar tambié a cotradicció. Volvamos ahora a la relació etre los dos criterios. El del cociete asegura que la serie de térmio geeral {x } coverge cuado {x + /x } está mayorada co sup{x + /x } <. Pero etoces, { x } tambié está mayorada y de 0) deducimos que sup{ x } <, luego el criterio de la raíz tambié os permite cocluir que la serie es covergete. Cometábamos tambié e su mometo que cuado if{x + /x } >, la sucesió {x } o coverge a cero, luego la serie diverge, lo cual puede verse ahora casi co más claridad: segú 0) teemos if{ x >, co lo que existe m N tal que, para m se tiee x >, luego x >, y {x } o coverge a cero.

14 3. Cálculo de ites 34 E resume, cuado el estudio de la sucesió {x + /x } criterio del cociete) permite decidir si la serie de térmio geeral {x } coverge o diverge, el estudio de la sucesió { x } criterio de la raíz) tambié lo permite. La discusió se completa co u ejemplo e el que el criterio del cociete o decide pero el de la raíz sí. Para ello basta tomar x = 3 + ) ) para todo N. Es evidete que sup{ x } = /2, luego el criterio de la raíz os dice que la serie x es covergete. Si embargo, el criterio del cociete o decide, de hecho la sucesió {x + /x } o está acotada, pues para par se comprueba fácilmete que x + /x = Límites relacioados co el úmero e De vuelta al problema de resolver ciertas idetermiacioes, vamos a ver ahora alguos ites de sucesioes y de fucioes que guarda relació directa co el úmero e. Obtedremos u método bastate geeral para resolver idetermiacioes del tipo [ ]. Empezamos co u ejemplo muy cocreto, probado lo siguiete: Se verifica que + = e ) Para abreviar, llamemos {u } a la sucesió cuyo ite queremos calcular. Para cada N, la fórmula del biomio de Newto os permite escribir u = ) k k = )... k + ) k! k = k! k j=0 j ) E cada sumado de la última expresió aparece u producto de k factores positivos, cada uo de los cuales aumeta al sustituir por +, y esta sustitució añade u sumado positivo más, co lo que la suma aumeta, es decir, u + k! k j=0 j ) = u + + lo que prueba que {u } es ua sucesió creciete. Para ver que está mayorada observamos que e el último miembro de ) los productos que aparece so meores o iguales que, luego ) u k! e N Así pues, {u } es covergete y llamado L a su ite, teemos L e. Para coseguir la otra desigualdad, dados, p N, volvemos a trabajar co la igualdad ): u +p = +p k! k j=0 j ) + p p k! k j=0 j ) + p 2)

15 3. Cálculo de ites 35 Fijado por u mometo p, teemos {u +p } L, mietras la sucesió que aparece al fial de 2) es ua suma fiita de productos fiitos de sucesioes covergetes. Por tato, [ k L k! j ) ] k = j=0 + p k! j ) = j=0 + p k! p p Puesto que esta desigualdad es válida para todo p N, deducimos fialmete que p p p L k! = k! = e Pasamos ahora a geeralizar el resultado aterior, calculado dos ites fucioales: Se verifica que + ) x = + ) x = e x + x x x Obsérvese que la fució x + x, x) cuyos ites e + y queremos calcular, puede cosiderarse defiida e ], [ R +, u cojuto que o está mayorado i miorado, así que tiee setido estudiar ambos ites. Empezamos la demostració co otras dos sucesioes covergetes: + + = + ) ) + ) = e + + ) = [ + ) ] Por tato, fijado ε > 0, existe m N tal que, para m se tiee e ε < + ) < + + < e + ε + ) Etoces, para x R co x m, cosideramos su parte etera = Ex) N. Es claro que m x < +, de dode obteemos e ε < = e + ) < + ) x < + + < e + ε + x ) Así pues, hemos probado que ε > 0 m R : x R, x m + ) x e x < ε, y teemos uo de los ites buscados. Para coseguir el otro, observamos previamete que, para x m +, e la última desigualdad podemos sustituir x por x. Esto demuestra que + ) x = e, luego + ) x = e x + x x + x

16 3. Cálculo de ites 36 Podemos ya calcular el ite e que buscamos, covirtiédolo e u ite e +, como ya sabemos: + ) x = ) x ) x x = = + ) x = e x x x + x x + x x + x Nuestro próximo paso es covertir los dos ites recié calculados e la cotiuidad de ua fució que os será muy útil: Sea I =],+ [ y ϕ : I R la fució defiida por ϕx) = + x) /x x I \ {0}, ϕ0) = e Etoces ϕ es cotiua e 0. Equivaletemete: + log + x) x 0 x)/x = e, o bie, = x 0 x Además, se tiee ϕx) para todo x I. E efecto, dada ua sucesió moótoa {x } de putos de I distitos de cero, co {x } 0, la sucesió {y } = {/x } diverge positiva o egativamete. E cualquier caso, ) { + x ) /x } = { + y y } e y por tato teemos tambié { } log + x ) = { log + x ) /x } log e = x Fialmete, para x I \ {0}, es claro que + x) /x, mietras que ϕ0) = e. Podemos ya obteer u método útil para abordar idetermiacioes del tipo [ ]: Sea {x } ua sucesió de úmeros reales positivos tal que {x } y sea {y } cualquier sucesió de úmeros reales. i) Para L R se tiee: y x ) = L ii) {y x )} + { x y } + iii) {y x )} { x y } 0 x y = e L La demostració es imediata, usado la fució ϕ cuya cotiuidad e 0 acabamos de obteer. Comprobamos fácilmete que x y = [ ϕ x )] y x ) N 3) E efecto, si x = esta igualdad es obvia, y si x, se deduce de la defiició de ϕ. Nótese que x siempre perteece al cojuto de defiició de ϕ, pues x >.

17 3. Cálculo de ites 37 Puesto que ϕ es cotiua e 0, teemos { ϕ x )} e, co lo que la igualdad 3), juto co las reglas básicas sobre el comportamieto de las sucesioes de potecias, os permite obteer las tres implicacioes hacia la derecha que aparece e el euciado. Tomamos ahora logaritmos e la igualdad 3) y recordamos que la fució ϕ o toma el valor, por lo que su logaritmo o puede aularse. Así pues, y x ) = log x y log ϕ x ) N Puesto que, de uevo por la cotiuidad de ϕ e cero, teemos { log ϕ x )}, las propiedades del logaritmo os permite obteer imediatamete las tres implicacioes hacia la izquierda que queríamos probar. Auque el euciado o lo exige, es claro que el resultado aterior tiee iterés cuado la sucesió {y } es divergete. Las implicacioes hacia la derecha se usa, como se ha dicho, para itetar resolver ua idetermiació del tipo [ ], resolviedo ua del tipo [0 ]. La igualdad x y = expy log x ) permite hacer lo mismo, pero frecuetemete la sucesió {y x )} es más fácil de maejar que {y log x }. { ) Cosideremos por ejemplo la sucesió 2 } = {x y 2 + }, co x = 2 2 +, y =, para todo N. Etoces {x } es ua sucesió } de úmeros reales positivos covergete a y teemos claramete {y x )} = { 2 2 +, luego {x y } e. Auque ua sucesió de potecias es usualmete más complicada que u producto de dos sucesioes, las implicacioes hacia la izquierda del resultado aterior tambié so útiles. Por ejemplo, puesto que evidetemete { x) } x para todo x R +, deducimos que 3.8. Otros ites fucioales log x = x ) x R + Veamos ahora u par de ejemplos de ites de fucioes que preseta idetermiacioes del tipo [+ ) 0 ] y [0 0 ]: Se verifica que: x + x/x = = x x x 0 Para obteer el primero de estos ites usamos u argumeto que ya fue útil ateriormete. Partiedo del hecho coocido { }, cosideramos otras dos sucesioes covergetes: /+) = ) + = y + ) / = + ) + + = Por tato, dado ε > 0, existe m N tal que, para m se tiee ε < /+) < + ) / < + ε

18 3. Cálculo de ites 38 Ahora, para x R co x m, tomado = Ex) teemos m x < + y, por tato, ε < /+) < x /x < + ) / < + ε Esto prueba que x + x/x =. Para calcular el otro ite basta recordar la forma de covertir u ite e + e u ite e 0. Cocretamete se tiee x x = x 0 x + x ) /x = x + x /x = Fialmete probamos u resultado que a veces se cooce como escala de ifiitos, pues se trata de estudiar el cociete etre fucioes que diverge positivamete e + y se observa como uos tipos de fucioes va domiado a otros: Para todo ρ R + se tiee: x x x + x log x x ρ = x + x ρ e x = x + e x x x = 0 Sea {x } ua sucesió de úmeros reales positivos que diverja positivamete. Teemos etoces {e/x } 0 y, por tato, { e x } { ) e x } e x = 0, luego x + x x = 0 Por otra parte, usado uo de los ites fucioales recié calculados, teemos { x /x deducimos que { ρ } {[ x e x = e x x ρ x /x ) ρ ] x } 0, luego x + x ρ e x = 0 E particular será x + exp x = 0 y, puesto que {ρ log x } +, deducimos que { } { } log x ρ log x = ρ expρ log x ) 3.9. Ejercicios. Calcular la image de la fució f : R + R defiida por } y log x 0, luego x + x ρ = 0 f x) = 2x2 + 3) log x + x 2 x R + 2. Estudiar la existecia de ite e + de las siguietes fucioes y, e su caso, calcularlo: f : R + R, f x) = x + x x R + g : R R, gx) = x Ex) x R 6 x h : R + R, hx) = x 2 + x + ) 3 x R + x + 2) ϕ : R R, ϕx) = e2x+ e x 2e 2x + e x x R +

19 3. Cálculo de ites Sea f : R R la fució defiida por f x) = exp /x 2) x R, f 0) = 0 Probar que f es cotiua e R. Calcular f R) y f [0,] ). 4. Probar que existe x R + tal que log x + x = 0 5. Estudiar la covergecia de las siguietes sucesioes y, cuado exista, calcular su ite: { 2 } a) { } b)! k! k= { } 2)! c)! { α a + β ) } b d) dode α,β R, α + β 0, a,b R + α + β 6. Estudiar la covergecia de las siguietes series: a)! b) + ) 2 c) e /) 2 d) 2 α log ) β dode α,β R 7. Se cosidera la fució f : R \ {e} R defiida por /log x ) f x) = x x R + \ {e} Estudiar el comportamieto de f e 0, e, +.