Series Numéricas. Una forma de definir e es a través de la suma: ! + 1 1! + 1 2! + 1 3! + 1 4! n. cuyo límite es e, es decir:

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1 Capítulo Series Numéricas Las series uméricas so sucesioes muy particulares ya que se defie (o se geera) a partir de otra sucesió. Dos ejemplos secillos aparece e la defiició de e y el la Paradoja de Zeó. Ua forma de defiir e es a través de la suma: cuyo límite es e, es decir: 0! +! + 2! + 3! + 4! + +! = i! +! = e. Si etrar e pormeores sobre la historia de la tortuga y su particular camiata, e ella aprece ua suma de reales e la que cada sumado es la mitad del aterior: 2 cuyo límite es 2, o sea: = 2 i, + 2 = 2. Como veremos más adelate, si bie fue presetado si rigor, se trata de u par de ejemplos de series covergetes, para percibir la diferecia veamos el siguiete ejemplo: =, 2 i. E caso de calcular el límite de esa suma, es otorio que es ifiito. Recuerde que 0! =. 2 Recuerde que k 0 =.

2 Es decir: lím + 2 i = +... Defiicioes y coceptos Defiició. Sea (a ) N ua sucesió real. Defiimos ua ueva sucesió (A ) N, a la que le llamamos serie geerada o egedrada por la sucesió (a ), a la siguiete: A 0 = a 0 A = a 0 + a A 2 = a 0 + a + a 2. a i A = a 0 + a + a a = A A se le llama suma parcial de la serie o tambié reducida eésima de la serie. Usaremos la otació a para referiros a la serie geerada por (a ). Ejemplo.2 La sucesió dada por a =! geera (A ) : A = coocida por osotros (es decir, esta serie) y su límite es el úmero e. i!. Esta sucesió es Ejemplo.3 La sucesió dada por a = ( ) 3 geera A = ( ) i 3 = + 3.Su límite es Ejemplo.4 a = ( ) geera A = ( ) i = ( ). Por lo que, Si = 2, teemos que A =, es decir, A 2i = Si 2, teemos que A = 0, es decir, A 2i+ = 0 (A ) o tiee límite. Ejemplo.5 Cosideremos la sucesió de los úmeros aturales, es decir (a ) = (, 2, 3, 4,...). Dicha sucesió geera la A = = i = (+) 2. Claramete, lím A = lím (+) 2 = +. Como hemos podido observar, estas sucesioes ta particulares (a las que coveimos e llamar series) pude teer límite o o. Si bie ya está defiidos estos coceptos, al tratarse de u tipo de sucesioes co aplicacioes y usos particulares e importates, daremos alguas defiicioes al respecto. Defiició.6 Sea a ua serie, decimos que: i= a coverge ( otació: a C ) lím A = k R

3 E este caso decimos que la serie a coverge co suma k y escribimos que 3 + a = k. a diverge ( otació: lím A = + a D ) ó lím A = E este caso decimos que la serie a diverge a más o meos ifiito (segú correspoda). a oscila ( otació: a OSC) o existe lím A.. Observació.7 Nótese que el comportamieto de ua serie o se modifica si o teemos e cueta a los primeros p térmios de la sucesió que la geera. Lo que sí se modifica es, e caso de covergecia, su suma. Observació.8 E aquellos ejercicios que se pide clasificar ua serie debemos determiar si la misma coverge, diverge u oscila. Ejemplo.9 Cosideremos la serie (+). Itetaremos clasificarla y e caso de covergecia ecotrar su suma. Como (+) = p (+) = ( 2 = +, las sumas parciales de la serie so de la forma: ) ( ) ( ) p p+ ) + ( 2 = p+ p + Por lo tato (+) es ua serie covergete y su suma es, es decir, + De dode, 2 C y suma es 2. = (+) =. Los ejemplos.3 y.9 so casos particulares de uas clases de series que so las geométricas y las telescópicas. A cotiuació defiiremos cada ua de ellas y las clasificaremos. Defiició.0 Llamaremos series geométricas a las de la forma: q, q R. Defiició. Diremos que ua serie a es ua serie telescópica si y sólo si existe ua b b + sucesió (b ) tal que a = ó. (es decir, si el térmio geeral de la (a ) se puede b + b expresar como la diferecia de dos térmios cosecutivos de otra (b ) ). Teorema.2 Sea ua serie geométrica q. Etoces:. Si q < tedremos que q C y además + q = q 3 Si bie hemos escrito que sumamos a partir de = 0, esto o es riguroso, bie pudo sumarse a partir de cierto atural p > 0.

4 2. Si q tedremos que q D 3. Si q tedremos que q OSC Teorema.3 Sea ua serie telescópica a, (esto es: a = b b + ). Etoces:. Si lím b = k R, tedremos que a C y además + a = b 0 k + 2. Si lím b = ó, tedremos que a D, (a respectivamete) 3. Si o existe el lím b, tedremos que a OSC..2. Propiedades de las series Estas propiedades tiee relevacia pues las itegrales tambié las verifica co las aalogías del caso.. Propiedad.4 Esta propiedad fue mecioada e la observació.7. Es decir: si dos sucesioes (a ) y (b ) está viculadas de la siguiete maera: a = b +p e dode p N, etoces a y b tiee el mismo comportamieto, (esto es, ambas coverge, ambas oscila o ambas diverge). 4 Propiedad.5 Si dos series a y b so covergeetes, etoces (a + b ) tambié lo es y si además teemos que + a = l y + b = l 2, etoces + (a + b ) = l + l 2. Propiedad.6 Sea a y k R, etoces a y (ka ) tiee el mismo comportamieto y si además + a = l etoces + (ka ) = kl. Observació.7 Las propiedades.5 y.6 se cooce co el ombre de propiedades de liealidad. Propiedad.8 Codició ecesaria para la covergecia de ua serie. Sea a ua serie covergete, etoces lím a = 0. Tal como su ombre lo idica estamos ate ua codició ecesaria de covergecia. Dicha codició o es suficiete para garatizar la covergecia de ua serie, para eso, veamos el siguiete ejemplo. Ejemplo.9 Sea L ( ) ( ( +. Probaremos que es divergete pese a que lím L + )) = 0 p L ( ) + p = (L ( + ) L ) = L (p + ) L +, = = p + por lo tato L ( ) + D 4 De ser ambas covergetes y si coociéramos la suma de ua es posible deducir la suma de la otra?

5 .3. Series de térmios positivos Defiició.20 Decimos que ua serie es de térmios positivos 5 si la sucesió que la geera tiee su recorrido coteido e R +. E otras palabras, a es S.T.P. a 0 N Observació.2 Notemos que e virtud de la propiedad.4, las propiedades que probemos e esta secció será válidas para aquellas series geeradas por sucesioes (a ) tales que a 0 N, > p. Proposici.22 Las S.T.P. o oscila, más específicamete: la serie de térmios positivos a será covergete o divergete segú {A } sea u cojuto acotado o o. Teorema.23 Criterio de comparació I. Sea (a ) y (b ) tales que 0 a b, N 6. Etoces teemos:. 2. b C a C a D b D Corolario.24 Criterio de comparació II. Si a y b so S.T.P. y el lím a b = k R +, etoces a y b tiee el mismo comportamieto (es decir, ambas coverge o ambas diverge) Ejemplo.25 Clasifiquemos. Para clasificarla la compararemos co 2 (+), serie de la cual coocemos su comportamieto. Fue clasificada covergete e el ejemplo.9. Como lím 2 (+) y por lo tato 2 C. = lím + =, teemos que ambas series tiee el mismo comportamieto Observació.26 De hecho, al coocer que comparació I, que α C, cualquiera sea α 2. 2 C podemos cocluir, por el criterio de Ejemplo.27 Clasifiquemos. E este caso la compararemos co la serie L ( ) +. Primero veremos que tiee el mismo comportamieto: L ( ) ( ) + = L +. O sea que lím L ( + ) el ejemplo.9, L ( + = y por lo tato tiee el mismo comportamieto. Como fue demostrado e ) D, por lo cual, D. Observació.28 De hecho, al coocer que D podemos cocluir, por el cirterio de comparació I, que D, cualquiera sea α. Uiedo esto a lo observado e.26, os faltaría α saber qué comportamieto tiee las series de la forma solamete para α (, 2). Estas series llamadas series armóicas puede clasificarse totalmete por varios métodos, α dos 5 De hecho, se trata de series de térmios o egativos. 6 E virtud de la propiedad.4 bastaba co que se verificara a partir de algú atural.

6 de los más coocidos so el criterio de la itegral de Cauchy y el criterio llamado del 2 k (ver []). Nosotros, dado que los mecaismos usados e ellos excede los coteidos del curso, aceptaremos que α C para α (, 2) y e resume tedremos que: α { C para α > D para α. (.) Nótese que para cada α > teemos defiido u úmero real y por lo tato ua fució. Dicha fució es coocida como fució zeda, es decir, ζ : (, + ) R tal que ζ (x) = + = x Observació.29 Alguos datos de esta fució: ζ (2) = + = ζ (4) = + = ζ (6) = + = 2 lím ζ (x) = x + = 6 π2 4 = 90 π4 6 = 945 π6 Las series armóicas, a su vez, so clasificadas a través de ua geeralizació mayor: las series de Bertrad.

7 .3.. Series de Bertrad Defiició.30 Llamamos series de Bertrad a las geeradas por sucesioes de la forma: (a ) : a = α L β () dode α y β so úmeros reales. Es decir, a es de Bertrad a = Teorema.3 α L β () coverge si α >, cualquiera sea β diverge si α <, cualquiera sea β α L β, α, β R.7 () se clasifica de la siguiete maera: si α =, coverge si β > y diverge si β Covergecia Absoluta Teorema.32 Sea ua sucesió (a ) tal que a C. Etoces a C. Defiició.33 Decimos que la serie a covergete) si y sólo si a C. coverge absolutamete (o que es absolutamete Notació.34 a CA. Observació.35 El corolario.32 se eucia de la siguiete maera: si ua serie coverge absolutamete, etoces coverge. Más adelate veremos, a través de cotraejemplos, que el recíproco o es cierto, es decir: ua serie puede ser covergete pero la serie de los valores absolutos ser divergete. Ejemplo.36 Clasifiquemos se. Veremos que coverge absolutamete y que por lo tato 2 coverge. Como se, teemos que se. Luego, como C por tratarse de ua serie armóica de expoete 2, teemos, e virtud del criterio de comparació I, que se 2 C, lo que implica que se 2 CA y de ahí que se 2 C. E la próxima secció veremos u uevo tipo de series, llamadas series alteradas y su pricipal resultado: el teorema de Leibiz. 7 Más aú: las series de Bertrad so de la forma: α L β ()L γ (L ()), etc. 8 Este resultado se extiede para más parámetros.

8 .5. Series alteradas Defiició.37 Decimos que ua serie es alterada si y sólo si es de la forma ( ) a, dode (a ) es ua sucesió tal que a 0 o a 0 para todo N. Ejemplo.38 Cosideremos la serie ( ) +. Como puede observarse, es ua serie alterada. Veamos el comportamieto de sus sumas parciales. A 8 = 8 = A 0 = 0 = ( ) + = = ( ) + = = A 8 + ( 9 ) 0 = E geeral, teemos que (A 2 ) (sumas parciales de ídice par) es ua sucesió estrictamete creciete. Veremos que ocurre co las de ídice impar. A 5 = A 7 = 5 = 7 = ( ) + = = ( ) + = = A 5 ( 6 ) 7 = E geeral, teemos que (A 2+ ) (sumas parciales de ídice impar) es ua sucesió estrictamete decreciete. Esto prueba que (A 2, A 2+ ) es u par de sucesioes moótoas covergetes cuyo límite comú es el llamado elemeto de separació, e este caso es L 2. 9 Es importate otar tambié, que por el hecho de que A 2 L 2 A 2+ y de que ambas tiee el mismo límite, éste puede ser aproximado por ua suma parcial A p cualquiera, de la que estamos seguros que el error cometido (sea éste por defecto o por exceso) es meor que a p+, es decir por el primer sumado que o es teido e cueta e la suma parcial. Por ejemplo: L , dode el error (e este caso, por defecto) es meor que 5. 0 El ejemplo que acabamos de estudiar o es más que u caso particular de lo que ocurre e el siguiete teorema. Teorema.39 Sea (a ) ua sucesió decreciete tal que lím a = 0. Etoces ( ) + a es ua serie covergete cuya suma k A p co u error meor que a p+. Observació.40 Este teorema es coocido como criterio de Leibiz para series alteradas. 9 No es trivial que + = ( ) + = L 2, por lo que aceptaremos dicho resultado. 0 Recuerde el lector que L , que + =

9 Ejemplo.4 Se cosidera la serie ( )!. La misma puede ser clasificada por el criterio de covergecia absoluta como covergete (itete hacerlo). Si embargo usaremos para ello el criterio de Leibiz. Veamos si la sucesió (a ) : a =! satisface las codicioes: lím! = 0 a + = (+)! es evidetemete meor que a =!, luego (a ) es estrictamete decreciete. Por lo que acabamos de probar, e virtud del teorema.39 teemos que ( )! C. Además podemos calcular aproximadamete su suma. Itetaremos calcularla co u error meor que O sea, debemos hallar p N de modo que su suma k p ( )! co u error meor que Para ello buscaremos p que cumpla que (p+)! < 0000, o lo que es lo mismo, que (p + )! > 0000, lo que vale si y sólo si p 7. Por lo tato k lo que se pedía). 7 ( )! = co u error meor que 8! = Observació.42 El limite aterior, de hecho es + ( )! = e. Compruebe co su calculadora que los datos obteidos e el ejercicio aterior so correctos. Ejemplo.43 Cotraejemplo del recíproco del corolario.32. (bastate meor que Como dijéramos e la observació.35, existe series covergetes pero que o so absolutamete covergetes. La siguiete es ua de ellas. Sea ( ) +, como acabamos de ver, es ua serie covergete co suma L 2, si embargo, e valor absoluto, se geera la serie que es divergete. Este tipo de series da motivo a la siguiete defiició. Defiició.44 Decimos que la serie a es codicioalmete covergete (se deota CC) si y sólo si a C y a D. Ejercicio.45 Ecuetre otros ejemplos de series que coverge codicioalmete. Observació.46 Las series codicioalmete covergetes ha sido objeto de estudio de célebres matemáticos, etre ellos está Riema, quie demostró ua propiedad sorpredete: si ua serie es codicioalmete covergete, etoces podemos reordearla de modo que su suma sea el úmero que se elija, o bie que diverja a más o a meos ifiito o hasta se podría lograr que oscilara del modo elegido.

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