Física General III Potencial Eléctrico Optaciano Vásquez García CAPITULO IV POTENCIAL ELÉCTRICO

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1 Física Geneal III Potencial Eléctico Optaciano ásuez Gacía CPITULO I POTENCIL ELÉCTICO 136

2 Física Geneal III Potencial Eléctico Optaciano ásuez Gacía 4.1 INTODUCCIÓN. Es sabido ue todos los objetos poseen una popiedad conocida como caga eléctica. Un campo eléctico ejece una fueza sobe un objeto cagado, aceleando a éste en la diección de la fueza, ya sea en el mismo sentido o en el sentido opuesto a la diección del campo. Si el objeto cagado tiene una caga positiva, la fueza y la aceleación están en la misma diección del campo. Esta fueza tiene la misma diección ue el vecto campo eléctico, y su magnitud está dada po el valo de la caga multiplicado con la magnitud del campo eléctico. Los conceptos tales como fueza, enegía, potencial, etc. Son exploados y estudiados con más detalle en la mecánica clásica. uí se muesta ue la fueza y la enegía potencial están elacionadas diectamente. sí po ejemplo, cuando un objeto se mueve en la diección de la fueza, esta lo acelea, disminuyendo su enegía potencial. sí po ejemplo, la enegía potencial de una bala de cañón es mayo en la cima de una colina ue en la base de la misma. Po oto lado, cuando el móvil desciende su enegía potencial disminuye dicha disminución de enegía potencial se tansfoma en enegía cinética de movimiento. Paa cietas fuezas, es posible defini el potencial de un campo tal ue la enegía potencial de un objeto debido al campo es dependiente solamente de la posición del objeto con especto al campo. Este efecto de las fuezas sobe los objetos depende solo de las popiedades intínsecas del objeto y de su posición, y obedecen a otas eglas matemáticas. Dos de tales son la fueza gavitacional y la fueza eléctica en ausencia de campos magnéticos vaiables con el tiempo. El potencial de un campo eléctico el llamado potencial eléctico. El potencial eléctico se mide en voltios. En este capítulo definiemos la enegía potencial eléctica, la difeencia de potencial y la función potencial eléctico y deteminaemos el potencial de distibuciones discetas y continuas de caga. Posteiomente veemos la elación ente el campo y el potencial elécticos paa finalmente estudia el potencial en el inteio de conductoes. 4. SISTEMS GITCIONLES Y ELÉCTICOS: Similitudes y difeencias Las inteacciones gavitacional y eléctica son debidas a difeentes popiedades inheentes a las patículas ue constituyen la mateia; la masa gavitacional y la caga eléctica. Peo matemáticamente, ellas en foma simila obedecen con la ley de la invesa al cuadado de la distancia (ley de la gavitación univesal de Newton y la ley de Coulomb. sí como la fueza electostática total sobe un cuepo cagado es la suma de las fuezas ejecidas sobe este po todos los demás cuepos cagados, la fueza gavitacional sobe un cuepo es la suma de las fuezas gavitacionales ejecidas sobe este po todas las demás masas ue la odean. Po ejemplo, el sol y la tiea ejecen fuezas gavitacionales significativas sobe la luna, y las tayectoias de las patículas de desecho ue confoman los anillos de Satuno son afectadas po fuezas gavitacionales impotantes. Estas incluyen a las fuezas ejecidas po Satuno, po fuezas ue ejecen el esto de patículas en el anillo, y auellas fuezas ejecidas po peueñas lunas ue gian con los anillos y ayudan a mantene la configuación mostada en la figua. Figua Movimiento de peueñas lunas y cuepos iegulaes de mateia en el planeta Satuno. 137

3 Física Geneal III Potencial Eléctico Optaciano ásuez Gacía En el cuso de mecánica, vimos ue la fueza gavitacional ejecida po la tiea sobe una patícula de masa m localizada a una distancia desde el cento de la tiea está dada po la ecuación Mm Fg G e ˆ (4.1) Donde, es la constante de gavitación univesal y es un vecto unitaio diigido adialmente hacia afuea. sumiendo ue la tiea es un cuepo de foma esféica de mas M. El campo gavitacional coespondiente, definido como la fueza gavitacional po unidad de masa, está dado po F M g g G e ˆ m La ecuación (4.) indica ue el campo gavitacional, solamente depende de la masa M del cuepo ue cea el campo y la distancia medida desde el cento de M. Paa detemina el tabajo hecho po la fueza gavitacional duante el movimiento de m desde hacia B, consideemos el movimiento de dicha patícula de masa m bajo la influencia de la gavedad tal como se muesta en la figua (4.) Figua 4... Tabajo desaollado po la fueza gavitacional sobe m. En este caso, el tabajo de es B B Mm W. ˆ.( ˆ ˆ B Fg ds G e ) de de B B d 1 B W GMm GMm 1 1 WB GMm B (4.3) Esta ecuación muesta ue el tabajo es independiente de la tayectoia seguida po m y solamente depende de la posición inicial y final, espectivamente. Debe ecalcase además ue existen difeencias significativas ente el tabajo hecho po la fueza gavitacional y el tabajo ealizado po un agente exteno. Sin embago, ambas cantidades son iguales y de signo opuesto, es deci. En el ejemplo planteado anteiomente, si la tayectoia descita po m es una tayectoia ceada, de tal foma ue el cuepo m se mueve alededo de ella etonando a su posición inicial, el tabajo neto hecho po la fueza gavitacional podía se ceo, en estas condiciones se dice ue la fueza gavitacional es consevativa. En foma geneal decimos ue una fueza es consevativa si su tabajo alededo de una tayectoia ceada es nulo, esto es 138

4 Física Geneal III Potencial Eléctico Optaciano ásuez Gacía W e C. F g ds Ñ (4.4) Cuando tabajamos con fuezas consevativas, es conveniente intoduci el concepto de enegía potencial U. El cambio en la enegía potencial asociada con una fueza consevativa actuando sobe un cuepo cuando se mueve desde hasta B es definido como B U UB U W B F. ds Donde es el tabajo ealizado po la fueza sobe el cuepo de masa m. paa el caso de la fueza gavitacional la enegía potencial es (4.5) GMm GMm Ug, B U g, U g U (4.6) Donde U es una constante abitaia la cual depende del punto de efeencia escogido. En geneal se escoge el punto de efeencia a auel en el cual la enegía potencial es ceo. Paa el caso de la fueza gavitacional, escogemos un punto de efeencia a una distancia muy gande (infinito) de tal manea ue. Debido a ue U g depende del punto de efeencia escogido, solamente tiene impotancia física la vaiación de enegía potencial. En puntos alejados de la supeficie teeste el campo gavitacional es vaiable ya ue depende de y como tal las líneas de campo gavitacional son adiales e ingesan a la tiea tal como se muesta en la figua 4..3a, mientas ue en puntos cecanos a la supeficie teeste el campo gavitacional, es apoximadamente constante, de tal foma ue las líneas de campo gavitacional se pueden considea paalelas tal como se muesta en la figua 4..3b. Figua 4..3 Campo gavitacional: (a) lejos de la supeficie teeste, (b) ceca de ella. Entonces, ceca de la supeficie teeste, la fueza gavitacional está dada po F g mg (4.7) Donde el campo gavitacional, es apoximadamente constante, con una magnitud. El tabajo hecho po la fueza de gavedad paa move un cuepo desde el punto el cual está a una altua y hasta el punto B ubicado a una altua y B (véase la figua 4..4), es yb yb yb W. ( ).( ) ( ˆ).( ˆ ˆ B Fg ds mg ds mgj dxi dyj) y y y y B W B ( mgdy) mg( y B y) mgh (4.8) y 139

5 Física Geneal III Potencial Eléctico Optaciano ásuez Gacía Figua 4..4 Tabajo hecho po la fueza gavitacional duante desplazamientos en puntos cecanos a la supeficie teeste. La vaiación de enegía potencial en estas condiciones es U W mg( y y ) mgh (4.9) g B B Un concepto el cual está completamente elacionado con la enegía potencial es el Potencial Gavitacional el cual se define como la enegía potencial po unidad de masa esto es 4.3 ENEGÍ POTENCIL ELÉCTIC Ug BF g B g. ds g. ds m m (4.1) Estamos inteesados en la cantidad de tabajo hecho po una fueza eléctica duante el desplazamiento de una caga desde un punto inicial i hasta un punto final f. Paa ello seguimos la secuencia desaollada paa el caso de la fueza gavitacional. La figua 4.3.1a muesta un campo eléctico poducido po un sistema de cagas, al coloca una caga en este campo ella expeimenta una fueza eléctica dada, la ue tiende a move en la diección del campo si la caga de pueba es positiva y en sentido contaio si dicha caga es negativa. Figua Movimiento de una caga en un campo no homogéneo. El tabajo hecho po el campo sobe la caga cuando se mueve desde i hasta f a tavés de la tayectoia colo vede es W B F B B e. ds E. ds (4.11) Si ahoa movemos a la caga desde hasta B a tavés de la tayectoia de las tayectoias I y II, como se muesta en la figua 4.3.1b, obsevamos ue el tabajo es el mismo, esto uiee deci ue el tabajo es 14

6 Física Geneal III Potencial Eléctico Optaciano ásuez Gacía independiente de la tayectoia seguida. Po lo tanto podemos considea a la fueza eléctica como una fueza consevativa. En este caso el tabajo puede expesase como una vaiación de enegía potencial eléctica, esto es B B. U W E ds (4.1) Debe ecodase ue la integal en la ecuación (4.1) es un integal de línea y como tal debe evaluase a lo lago de la tayectoia escogida paa move a. Clao está en el caso eléctico debido a ue la fueza es consevativa dicha integal de línea no depende de la tayectoia tomada. En geneal, ueemos discuti la enegía potencial de una caga o sistema de cagas en un punto en paticula, es deci ueemos enconta una función, peo paa obtenelo es necesaio escoge un punto en el cual la enegía potencial es nula. Nomalmente se toma la decisión de ue la enegía potencial es nula en puntos muy alejados de la distibución de caga esto es. 4.4 DIFEENCI DE POTENCIL Y POTENCIL BSOLUTO. En la pesencia de un campo eléctico y siguiendo lo descito en el campo gavitacional, definimos la difeencia de potencial eléctico ente dos puntos y B como U B B e F e e.( ds) E. ds 141 (4.13) Donde es la caga de pueba. La difeencia de potencial, epesenta la cantidad de tabajo po unidad de caga hecho po el campo paa move una caga de pueba desde un punto hasta oto final B, sin cambia su enegía cinética. Una vez más, la difeencia de potencial no de confundise con la vaiación de la enegía potencial. Las dos cantidades están elacionadas mediante la ecuación. Las unidades de la difeencia de potencial en el SI es el voltio () U (4.14) 1voltio 1 joule / segundo (1 1 J / s) (4.15) Cuando se tate de sistemas a escala atómica o molecula, un joule (J), a menudo esulta se demasiado gande como unidad de enegía. esta escala es mucho más útil el uso del llamado electón voltio (e), el cual se define como la enegía ue aduiee un electón (o piede) cuando se desplaza a tavés de una difeencia de potencial de 1 voltio e 1(1,6.1 C)(1 ) 1,6.1 J (4.16) La ecuación (4.13) nos da simplemente la difeencia en el valo del potencial ente dos punto y B. Paa detemina una función ue defina el potencial en todos los puntos necesitamos especifica un punto en el cual el potencial es ceo. Fecuentemente escogemos este punto a distancias muy gandes (infinito), es deci en puntos muy alejados de la ubicación de la caga poductoa de campo o potencial siendo, en estos puntos el campo o el potencial eléctico son muy peueños en valo absoluto. Sin embago, este punto de efeencia puede se escogido paa cada poblema en paticula lo único ue se euiee es esta seguo de ue = en dicho luga antes de habla con sensatez aceca de la función. Entonces la ecuación (4-13) se escibe B ( ) E. ds 4.5 DIFEENCI DE POTENCIL EN CMPOS ELECTICOS UNIFOMES. ef (4.17) Consideemos una caga moviéndose desde un punto hasta un punto B situado a una distancia d en el inteio de un campo eléctico, como se muesta en la figua

7 Física Geneal III Potencial Eléctico Optaciano ásuez Gacía Figua Movimiento de una caga en un campo eléctico unifome. l movese la caga desde hasta B, el tabajo hecho po el campo eléctico es W B F. ds B ( Eiˆ).( dxiˆ) B Edx E( x x ) B e B La vaiación de enegía potencial está dada po La difeencia de potencial ente estos dos puntos es W Ed B (4.18) U W Ed (4.19) B Ed B Ed U Ed (4.) El signo menos en la ecuación (4.) indica ue el potencial del punto B es meno al potencial del punto. Po oto lado la vaiación de enegía potencial dada po la ecuación (4.19) indica ue si >, es negativa, esto implica ue la enegía potencial de una caga positiva disminuye confome se mueve a lo lago de la diección del campo. Si ahoa la caga se mueve en una diección no paalela al campo sino ue foma un ángulo θ, tal como se muesta en la figua Figua Movimiento de una caga puntual positiva en una diección no paalela al campo eléctico unifome. La difeencia de potencial en este caso es B E. ds B E cos ds E cos ( s s ) Ed B (4.1) Po oto lado si la caga se mueve desde hasta C y posteiomente a B, la difeencia de potencial de a C es, y la difeencia de potencial ente los puntos C y B es ceo debido a ue el campo es pependicula al desplazamiento. Entonces tenemos: Ed Ed (4.) C 14 CB

8 Física Geneal III Potencial Eléctico Optaciano ásuez Gacía Esta ecuación indica po un lado ue la difeencia de potencial es independiente de la tayectoia po tanto el campo eléctico es consevativo. sí mismo se obseva ue los puntos B y C tienen el mismo potencial, po tanto a esta línea ue une B y C se le denomina línea euipotencial. Ejemplo 4.1 Encuente el voltaje eueido en un set de placas paalelas sepaadas 1, cm y ue llevan cagas iguales y opuestas; paa cea un campo eléctico de 1N/C en la egión compendida ente ellas. En la figua se muesta la disposición de las placas, el campo se considea unifome en las egiones alejadas de los bodes Figua Difeencia de potencial ente placas paalelas. La difeencia de potencial ente las placas es d d d E. ds ( Eiˆ).( dxiˆ) E dx Ed (1 N / C)(,1 m) 1olt B El signo menos indica ue el está a mayo potencial ue el punto B Ejemplo 4. Un electón ue se mueve paalelamente al eje x tiene una velocidad inicial de en el oigen. Su velocidad se educe a en el punto x =, cm. Detemine la difeencia de potencial ente el oigen y ese punto. Cuál de los puntos está a mayo potencial?. Debido a ue el electón se mueve en un campo eléctico unifome, la enegía se conseva po tanto 1 1 T U T U m v m v i i i i e i e i e f e f 1 m ( v v ) ( ) e i f e f 1 (9, ) (3,7.1 6 / ) (1,4.1 5 / ) ( 1, kg m s m s C )( ) ( ) 38,9volt De esta ecuación se concluye ue el punto x = está a mayo potencial, esto es 38,9volt 143

9 Física Geneal III Potencial Eléctico Optaciano ásuez Gacía 4.6 POTENCIL ELÉCTICO DE UN CG PUNTUL. En esta sección vamos a detemina la difeencia de potencial ente dos puntos y B mostados en la figua 4.6.1, debido a una caga puntual +Q. Debemos ecoda ue el campo eléctico de una caga puntual es, donde es un vecto unitaio diigido a lo lago del campo eléctico. Figua Difeencia de potencial poducido po una caga puntual. La difeencia de potencial ente los puntos y B cuando la caga se mueve en el inteio del campo eléctico es B B Q..( ˆ ˆ B E ds k e ) de de B B d 1 Q 1 1 B kq kq 4 B 144 (4.3) Una vez más obsevamos ue la difeencia de potencial es independiente de la tayectoia y solamente depende de las posiciones final e inicial de la caga testigo. l igual ue en el caso de la fueza gavitacional, solamente la difeencia de potencial tiene impotancia física significativa. Po lo tanto, es conveniente establece un punto de efeencia en el cual el potencial es ceo. En la páctica se escoge al punto de efeencia ue tiene potencial nulo al infinito. Entonces el potencial en cualuie punto seá. P B E. ds Con este punto de efeencia, el potencial en un punto P ubicado a una distancia de una caga puntual Q es Ejemplo 4.3 () Q 4 (4.4) (4.5) Una caga positiva de valo está localizada en el oigen. (a) Cuál es el potencial eléctico en un punto a 4 m del oigen especto al valo = en el infinito?. (b) Cuánto tabajo debe se ealizado po un agente exteio paa lleva la caga de hasta consideando ue se mantiene fija en el oigen la caga de? En la figua 4.6., se muesta la caga

10 Física Geneal III Potencial Eléctico Optaciano ásuez Gacía Figua (a) Potencial de una caga puntual en un punto a una distancia, (b) Caga moviéndose desde el infinito hasta P. Pate (a). El potencial en el punto P está dado po Q P k N m C 3 4,5.1 volt P.1 C 4m / ( ) Pate (b). El tabajo ealizado po el agente exteno paa tae la caga 3 desde el infinito hasta el punto P seá W C vol W P P 3 P 13, (4,5.1 ) 3 J 4.7 POTENCIL ELÉCTICO DE UN SISTEM DE CGS PUNTULES. Consideemos un sistema de N cagas puntuales situadas en posiciones fijas como se muesta en la figua 4.7.1, las cuales poducen campos elécticos en el espacio ue los odea. Paa evalua el potencial poducido po el sistema se evalúa el movimiento de una caga testigo + a lo lago de la tayectoia desde un punto inicial hasta oto final (P). Figua Potencial debido a un sistema de cagas puntuales. El potencial en el punto P debido al sistema de cagas puntuales es P ( x, y, z) E. ds 145 i

11 Física Geneal III Potencial Eléctico Optaciano ásuez Gacía l evalua la integal se usa un pocedimiento siguiente P P P P x, y, z E1. ds E. ds... Ei. ds... EN. ds i i i i Las integales son idénticas a la esuelta paa el caso de una sola caga puntual, po ello, la pimea integal coesponde al potencial de la pimea caga y así sucesivamente, entonces tenemos. 1 i N x, y, z i N x, y, z N 1 i 4 i1 (4.6) i Ejemplo 4.4 Cagas puntuales idénticas de se fijan diagonalmente en las esuinas opuestas de un cuadado. Una tecea caga es entonces fijada en el cento del cuadado, tal ue esta cause potenciales en las esuinas vacías cambien de signo sin cambia sus magnitudes. Enconta el signo y la magnitud de la tecea caga. La figua muesta dos cagas idénticas, fijas en las esuinas del cuadado. El potencial en la esuina es causado po la pesencia de las dos cagas y está dado po i, k k k Figua 4.7. (a) Caga fijas en la esuina del cuadado (inicial), (b) ubicación de la tecea caga en el cento del cuadado Debido a ue ambas cagas están a la misma distancia de B, este potencial es igual al potencial en la esuina B. Si ahoa una tecea caga Q es localizada en el cento del cuadado, el ptencial en la esuina (así como en la esuina B) es Q Q f, k k k k k d / d De la geometia se detemina la longitud de la diagonal. Entonces tenemos Q f, k k De la condición del poblema, conocemos ue la adición de Q causa ue el potencial en o B cambia de signo sin cambia la magnitud. En otas palabas 146

12 Física Geneal III Potencial Eléctico Optaciano ásuez Gacía, f, i Q k k k 6 Q 1,7.1 C Q4,8C Ejemplo 4.5 Considee un dipolo eléctico ubicado sobe el eje y, como se muesta en la figua. Encuente el potencial eléctico en u punto P en el plano xy. Figua Potencial eléctico de un dipolo eléctico Utilizando el pincipio de supeposición, el potencial en el punto P está dado po 1 1 P k k k Utilizando la ley de los cosenos, se detemina las distancias y, esto es a a cos m Debido a ue la distancia ente las cagas es mucho meno a la distancia del cento del dipolo al punto donde se detemina el potencial (a << ), entonces se tiene 1/ a a cos 1 a a m cos emplazando este valo en la ecuación del potencial del dipolo se tiene k 1 a a 1 a a P 1 cos 1 cos ka P cos 147

13 Física Geneal III Potencial Eléctico Optaciano ásuez Gacía P p pe. cos 4 4 Donde el momento dipola es 4.7 POTENCIL ELÉCTICO DE UN DISTIBUCIÓN CONTINU DE CG. La ecuación (4.6) también es válida aunue el númeo de cagas tienda al infinito y la distibución de cagas sea contínua. Sin embago, en este caso es necesaio conoce la cantidad de caga ue contiene cualuie elemento difeencial de caga. Paa esto debemos conoce la densidad de caga po unidad de volumen o po unidad de áea o po unidad de longitud. sí mismo es necesaio conoce la distancia ente el elemento difeencial de caga y el punto de obsevación (véase la figua 4.7.1). En consecuencia el elemento de caga poduce un peueño potencial dado po 1 d d ( x, y, z) 4 ' (4.7) Figua Potencial eléctico de una distibución contínua de caga El potencial total se obtiene sumando (integando) sobe toda la distibución de caga, esto es Paa el caso de una distibución lineal la ecuación se conviete en Paa una distibución supeficial tenemos Finalmente paa una distibución volumética se tiene 1 d ( x, y, z) 4 (4.8) ' 1 ( ') ds ( x, y, z) 4 (4.9) ' s 1 ( ') d ( x, y, z) 4 (4.3) ' 1 ( ') d ( x, y, z) 4 (4.31) ' 148

14 Física Geneal III Potencial Eléctico Optaciano ásuez Gacía Ejemplo 4.6 Sobe una baa delgada no conductoa de longitud L, se ha distibuido unifomemente una caga +Q con un densidad de caga po unidad de longitud λ. Detemine el potencial eléctico en un punto a lo lago de la bisectiz pependicula a la baa a una distancia z de su cento. Figua Potencial eléctico de una distibución lineal finita de caga. Consideemos un elemento difeencial de longitud dy el cual lleva una caga, como se muesta en la figua El elemento ue poduce el potencial está localizado en mientas ue el punto en donde se detemina el potencial está en el eje z en. La distancia del elemento difeencial al punto P es. Entonces la contibución al potencial esta dado po d d dy 4 4 ( y z ) 1/ Tomando al potencial en el infinito como ceo, el potencial neto debito a la distibución entea es En el límite cuando z << a, se tiene a dy ln y y z 4 ( y z ) 4 a 1/ a a z ln 4 a a z a a 1/ z z z a a a a a ln ln ln 1/ 4 z 4 z 4 z a a a a a 4 ln a a ln z z 4 Po oto lado si z >> a, tenemos 149

15 Física Geneal III Potencial Eléctico Optaciano ásuez Gacía a a z 1 1 a z z z ln ln ln 4 az 4 a 4 a z 1 1 z z a a a a a ln 1 ln 1 ( ) 4 z z 4 z z 4 z Q 4 z Ejemplo 4.7 Un anillo de adio cagado unifomemente con una caga po unidad de longitud λ, se encuenta sobe el plano xy con su eje a lo lago del eje z. Detemine el potencial eléctico en cualuie punto del eje z debido a la distibución. En la figua se muesta el anillo en el plano xy. Paa detemina el potencial se divide a la distibución en peueños elementos difeenciales de caga d de longitud. El elemento tiene una caga d ds d Figua Potencial eléctico de una distibución lineal de caga en foma de anillo El potencial poducido po el elemento difeencial es d d d 4 4 z Tomando al potencial en el infinito como ceo, el potencial neto debito a la distibución entea es 4 ( z ) 1/ d Donde la caga total del anillo es Q 4 ( z ) 4 ( z ) 1/ 1/. En el límite cuando z >>, se tiene 15

16 Física Geneal III Potencial Eléctico Optaciano ásuez Gacía Q Q 4 z 4 z 1 z Q 4 z Ejemplo 4.8 Un disco de adio cagado unifomemente con una caga po unidad de áea σ, se encuenta sobe el plano xy con su eje a lo lago del eje z. Detemine el potencial eléctico en cualuie punto del eje z debido a la distibución. Se divide a la distibución de caga en elementos d en foma de anillos de adio a y espeso da tal como se muesta en la figua 4.7.4, tal ue la caga del elemento d está dada po Q d d d ( ada) d ada d Figua Potencial eléctico de una distibución supeficial de caga en foma de anillo El potencial poducido po el elemento difeencial es d d d d 4 4 a z a z Tomando al potencial en el infinito como ceo, el potencial neto debito a la distibución entea es En el límite cuando d a z a z z z 151 1/ 1 z z 1 z 1... z z

17 Física Geneal III Potencial Eléctico Optaciano ásuez Gacía emplazando este valo en el potencial del disco, se tiene Deteminemos ahoa el potencial en el cento del disco Ejemplo 4.9 z z z z 4 z Q 4 z z z Una coteza delgada esféica de adio posee una caga total Q con una densidad supeficial unifome de caga σ en la supeficie. Mediante integación diecta, detemine el potencial eléctico en téminos de la distancia desde el cento de la coteza. Se divide a la distibución en elementos difeenciales de caga en foma de anillos de adio y, espeso ds y caga d como se muesta en la figua. Dicho elemento difeencial tiene una caga d dado po d d ( y)( d ) ( sen )( d ) d sen d (a) El potencial eléctico poducido po el elemento difeencial d en el punto P situado a una distancia del cento del cascaón es d sen d d k k (b) S S Figua Potencial eléctico de un cascaón esféico cagado ntes de pocede a intega la ecuación (b) es necesaio elimina una de las dos vaiables S y θ. En este caso las vaiables se emplazan en función de S plicando la ley de cosenos en el tiángulo OP 15

18 Física Geneal III Potencial Eléctico Optaciano ásuez Gacía Deivando la expesión (e), tenemos emplazando la ecuación (d) en (e), se tiene S cos (c) SdS send SdS send (d) SdS d d k k k ds S S (f) Tomando al potencial en el infinito como ceo, el potencial neto debito a la distibución esféica completa es El potencial en la supeficie de la coteza seá. k k 1 (4 ) ds S 4 Q 4 Q 4 (g) El potencial en puntos inteioes es k k 1 ( ) ds S 4 ( ) 1 (4 ) 1 (4 ) 4 4 Q 4 Esta ecuación indica ue el potencial en puntos inteioes es constante e igual al potencial en la supeficie. 4.8 ENEGÍ POTENCIL ELÉCTIC DE SISTEMS DE CGS Enegía de dos cagas puntuales. Consideemos a una caga puntual fija en el espacio y una caga ue se desplaza de hacia B tal como se muesta en la figua

19 Física Geneal III Potencial Eléctico Optaciano ásuez Gacía Figua Enegía potencial eléctica de dos cagas puntuales. El tabajo ealizado po la fueza eléctica sobe la caga al movese de hasta B es B B W. ˆ.( ˆ ˆ B Fe ds e ) de de 4 W B B d (4.3) B Se obseva ue el tabajo de una fueza eléctica es independiente de la tayectoia seguida po lo tanto dicha fueza es consevativa y como tal el tabajo puede expesase como una vaiación de la enegía potencial, esto es 1 1 U W B 4 B (4.33) La enegía potencial U cuando la caga de pueba está en cualuie distancia de, es U 4 (4.34) La ecuación (4.34) es válida paa cualuie combinación de signos. La enegía potencial es positiva si las cagas y son del mismo signo (figua 4.8.a) y negativa si tienen signos opuestos (figua 4.8..b). Figua Gáficas de la enegía potencial U en función de paa dos cagas puntuales: (a) y tienen el mismo signo y (b) y tienen difeente signo. 154

20 Física Geneal III Potencial Eléctico Optaciano ásuez Gacía La enegía potencial siempe se define con especto a un punto de efeencia en el cual U =. En la ecuación (4.34), la enegía potencial es nula cuando las cagas y están sepaadas una distancia muy gande esto es. Po lo tanto, U epesenta el tabajo ue el campo eléctico de la caga ealiza sobe la caga testigo si esta se desplaza desde una distancia inicial hasta el infinito Enegía potencial de vaias cagas puntuales. Paa detemina la enegía potencial de un sistema de cagas puntuales consideemos en pime luga ue se desea ensambla un sistema de dos cagas mediante un agente exteno, entonces. Esto es, el cambio en la enegía potencial del sistema es igual tabajo ealizado po un agente exteno paa ensambla la configuación. En nuesto caso, las cagas son taídas lentamente desde el infinito, sin aceleación, esto es, ellas están en eposo al final del poceso. Empezaemos el ensamblaje con dos cagas 1 y paa ello consideemos ue la egión está libe de cagas y el campo eléctico debe se nulo en todas las pates y posteiomente taemos una a una a las cagas hasta ubicalas en las posiciones mostadas. De la figua 4.8.3, se obseva ue el tabajo eueido paa coloca la pimea caga 1 en el punto es ceo ( ), debido a ue en la egión no existe campos elécticos. El tabajo eueido paa coloca la segunda caga en la posición B es igual al poducto de la caga po el potencial en el punto B debido a 1, es deci. (a) (b) Figua (a) egión del espacio sin cagas; (b) Taslado secuencial de cagas desde el infinito paa foma la configuación mostada. Po lo tanto, el tabajo es W W W (4.35) E 1 B,1 B,1 Debido a ue el potencial de 1 en el punto B es, donde es la distancia medida desde 1 hasta B. entonces la enegía potencial seá U 1 1 W E 4 (4.36) Si ahoa añadimos una tecea caga al sistema tal como se muesta en la figua 4.8.4, el tabajo eueido es W ( ) (4.37) 3 3 C,1 C, Figua Taslado secuencial de cagas paa ensambla la configuación de tes cagas. 155

21 Física Geneal III Potencial Eléctico Optaciano ásuez Gacía En este caso el tabajo desaollado po el agente paa ensambla dicha configuación es W W W W ( ) (4.38) E 1 3 B,1 3 C,1 C, La enegía potencial paa esta configuación es entones U WE (4.39) (4.4) U U1 U13 U La ecuación muesta ue la enegía potencial total es simplemente la suma de las contibuciones de distintos paes. Genealizando paa un sistema de N cagas, tenemos. U 1 4 N N i j i1 j1 ij j i (4.41) Donde la limitación j > 1 se utiliza paa evita la doble contabilidad de cada pa. ltenativamente se puede conta dos veces cada pa y dividi el esultado ente dos. Esto conduce a N N 1 N N 1 1 N 1 U 8 i 1 j 1 ij i1 j1 ij i1 ji ji i j j i i i (4.4) Donde, es el potencial en la localización de i debido a todas las demás cagas. Ejemplo 4.1 Consideemos un cuadado de lado a, con una caga en cada esuina + y una caga en el cento. Detemine la enegía electostática total del sistema de cinco cagas En la figua se muesta la ubicación de las caga Figua Ensamblaje del sistema de cinco cagas en un cuadado. Imaginemos ue las cagas se taen una a una desde el infinito hasta dejalas en su posición final. Entonces el tabajo ealizado po un agente exteno es U W W W W W W tot neto U ( ) ( ) ( ) tot,1 3 3,1 3, 4 4,1 4, 4,3 5 5,1 5, 5,3 5,4 156

22 Física Geneal III Potencial Eléctico Optaciano ásuez Gacía Deteminando los potenciales y emplazando tenemos k1 k1 k k1 k k3 k1 k k3 k4 Utot a a a a a a a / a / a / a / U tot k k k 8k 4k 6k 4k 3k a a a a a a a a U tot k a (3 4) Enegía potencial de de una distibución contínua de caga. Si en luga de una distibución de caga disceta tenemos una distibución contínua de caga, podemos genealiza la ecuación (4.4), simplemente haciendo ue la suma se extienda hasta el infinito en este caso ; y. Entonces se tiene 1 1 U ( ) d ( ) ( ) dv (4.43) v Donde, es la densidad de caga po unidad de volumen; es el potencial y es el difeencial de volumen. En el caso de una distibución lineal o supeficial de caga, la integal se conviete de acuedo a la distibución. Debido a ue la integal es sobe la distibución de caga, esta puede se extendida a todo el espacio mediante la definición de la densidad de caga nula fuea de la distibución, tal ue la contibución a la integal es la debida solamente a la egión del espacio donde existe caga. v U 1 ( ) ( ) dv (4.44) todoelespacio De la foma difeencial de la ley de Gauss tenemos, entonces tenemos U (. E) ( ) dv todoelespacio (4.45) Usando el vecto intensidad.( E). E E.. E.( E) E.. E.( E) E Donde se ha emplazado. Entonces la enegía se escibe U.( E ) dv E dv todoelespacio todoelespacio (4.47) Podemos expandi las fonteas de la supeficie S 1 a S debido a ue en la egión compendida ente S 1 y S no existe caga y como tal su contibución a la integal de la ecuación (4.43) es nula. Sin embago, el campo eléctico en esta egión no es ceo. sí si obsevamos la ecuación (4.47) el volumen se incementa confome S es mucho mayo. Entonces podemos toma la supeficie a distancias infinitas donde el campo eléctico es ceo. Como esultado el pime témino de la ecuación (4.47) se despecia, es deci 157

23 Física Geneal III Potencial Eléctico Optaciano ásuez Gacía U todoelespacio E dv (4.48) Figua La supeficie S 1 enciea la distibución de caga y la egión compendida ente S 1 y S no existe cagas. 4.9 CMPOS ELECTICOS PTI DE POTENCILES. La ecuación 4.13, establece la elación ente el campo eléctico y la difeencia de potencial mediante la ecuación, con esta ecuación se puede detemina la difeencia de potencial si es ue se conoce el campo eléctico. Sin embago, dicha ecuación también se puede utiliza paa detemina el campo eléctico a pati de potenciales, paa esto consideemos ue el punto es muy cecano a B, de tal manea ue la difeencia de potencial seá d E. ds (4.49) Ecuación ue nos da el potencial paa un desplazamiento. Po oto lado, debido a ue el potencial es un campo escala, entonces depende de las coodenadas, es deci. En consecuencia si se considea a d como el cambio de potencial al pasa de un punto de coodenadas a oto muy cecano. Entonces se tiene d dx dy dz x y z Po oto lado el campo eléctico y el desplazamiento se esciben E Exi Ey j Ezk ds dxi dyj dzk (4.5) (4.51) Y el poducto escala de ambos es E ds E dx E dy E dz. x y z (4.5) l emplaza la ecuación (4.5) y (4.5) en la ecuación (4.49) Po lo tanto las componentes del campo eléctico son dx dy dz Exdx Eydy Ezdz x y z Ex Ey Ez x y z (4.53) l emplaza estas componentes en el campo eléctico se tiene 158

24 Física Geneal III Potencial Eléctico Optaciano ásuez Gacía E i j k x y z E i j k x y z E (4.54) Siguiendo la misma secuencia se puede enconta las componentes adial y tansvesal, esto es E ; E 1 (4.55) Ejemplo 4.11 El potencial eléctico en un punto en el plano xy está dado po expesión vectoial del campo eléctico en el punto.. Detemine la Las componentes del campo eléctico son E E x y x 3y 4x x x x 3y 6y y y La expesión vectoial seá E E iˆ E ˆj 4x iˆ 6y ˆj x y El campo en el punto (3 m, m) seá E 4(3) iˆ 6() ˆj ( 1iˆ 1 ˆj ) volt / m Ejemplo 4.1 Un campo eléctico está dado po la expesión, donde. Detemine la difeencia de potencial ente el punto en y el punto. Cuál de estos puntos está a un potencial más alto?. Debido a ue y están elacionados mediante la ecuación, se puede enconta a pati de E mediante integación E x bx 3 x Debido a ue el campo solo depende de x, entonces la deivada pacial se conviete en odinaia y se pocede a sepaa vaiables e intega. Es deci, 159

25 Física Geneal III Potencial Eléctico Optaciano ásuez Gacía 3 bx dx B m 3 d b x dx 1m 4 m / 4 x b m B b 1 (15 m ) m El punto ue está a mayo potencial es (x = 1 m) 75volt B d Ejemplo 4.13 El campo eléctico en el inteio de una esfea no conductoa de adio con caga distibuida unifomemente a tavés de su volumen, está adialmente diigido y tiene una magnitud de. Donde (positiva o negativa) es la caga total dento de la esfea y es la distancia medida desde el cento de la esfea. (a) Consideando en el cento de la esfea, detemine el potencial eléctico dento de la esfea, (b) Cuál es la difeencia de potencial ente un punto sobe la supeficie y el cento de la esfea?. (c) Si es positiva, cuál de éstos dos puntos está a un mayo potencial?. Pate (a) En este caso debido a ue el campo eléctico solo depende de, podemos utiliza la ecuación, entonces se tiene d Ed d 3 4 Teniendo en cuenta ue, en (punto de efeencia, el potencial paa cualuie punto dento de la esfea seá se obtiene integando la ecuación anteio d 4 3 ( ) 4 8 () Pate (b). Usando el esultado de la pate (a), la difeencia de potencial ente un punto en la supeficie y el cento de la esfea es d () ( ) () ( ) () 8 Pate (c). Paa cuando la caga es positiva, la espuesta a la pate (b) es un númeo negativo. Po lo tanto el cento de la esfea está a un mayo potencial. 3 16

26 Física Geneal III Potencial Eléctico Optaciano ásuez Gacía Ejemplo 4.14 Una caga es distibuida unifomemente a tavés de un volumen esféico de adio. (a) sumiendo ue en el infinito, mueste ue el potencial a una distancia del cento, donde, está dado po. (b) Poué este esultado difiee de auel encontado en el ejemplo 4.13?. (c) Cuál es la difeencia de potencial ente un punto en la supeficie y el cento de la esfea?. (d) Poué este esultado difiee de auel encontado en el ejemplo pevio?. Pate (a) Se detemina pimeo el campo en el exteio e inteio de la esfea: Campo paa. plicado la ley de Gauss tenemos E Ò nd Q E. enc (4 ) SG, E 4 Figua Campo paa Supeficies gaussianas paa > y paa <, utilizadas paa detemina. plicado la ley de Gauss tenemos Ò SG, E. nd Q enc 4 E(4 ) d 4 d 3 3 Teniendo en cuenta ue, se tiene 4 E E Potencial paa puntos exteioes ( > ). Debido a ue el campo solo depende de, se usa la ecuación d Ed d 4 161

27 Física Geneal III Potencial Eléctico Optaciano ásuez Gacía ( ) d 4 d ( ) 4 4 () 4 Potencial paa puntos inteioes ( < ). Debido a ue el campo solo depende de, se usa la ecuación Figua 4.9. Deteminación de la difeencia de potencial paa puntos inteioes d Ed d 3 4 ( ) ( ) d 4 3 ( ) ( ) ( ) ( ) d () 3 8 (3 ) Pate (b). La difeencia ente este esultado y auel obtenido en el ejemplo pevio es debido a los difeentes puntos de efeencia utilizados. uí no existe poblema alguno ya ue solamente las difeencias de potencial tienen impotancia física. Pate (c). Las difeencias de potencial ente un punto en la supeficie y el cento, es (3 ) 3 ( ) () ( ) () 8 El esultado es el mismo ue auel obtenido en el ejemplo anteio Pate (d). Las difeencias en el potencial eléctico no dependen en ealidad del punto de efeencia escogido, la espuesta podía se la misma ue el ejemplo anteio. Si el potencial es calculado coectamente. 16

28 Física Geneal III Potencial Eléctico Optaciano ásuez Gacía 4.1 SUPEFICIES EQUIPOTENCILES. Consideemos una caga puntual + fija en la posición mostada en la figua 4.1.1a, cuyas líneas de campo eléctico son adiales y salientes. Pocedamos a detemina la difeencia de potencial ente dos puntos y B ubicados sobe la cicunfeencia de adio (a) (b) Figua Cuando se mueve de a B a lo lago de la cicunfeencia la difeencia de potencial ente estos puntos es nula. El tabajo hecho po el campo eléctico cuando se mueve la caga testigo desde hasta B, es La vaiación de enegía potencial desde hasta B seá B B WB Fe. ds E. ds E cos9 ds W B U W B Sabemos además ue la vaiación de potencial (difeencia de potencial es la vaiación de enegía potencial po unidad de caga. Po tanto se tiene U B B (4.56) La ecuación (4.56) indica ue la difeencia de potencial ente dos puntos ue están sobe una cicunfeencia concéntica a la caga + es ceo; es deci los puntos y B están al mismo potencial. Po lo tanto, todos los puntos sobe esta cicunfeencia se encuentan al mismo potencial. Es a esta cicunfeencia ue se le denomina línea euipotencial. En geneal, cuando no se ealiza tabajo paa move una caga de pueba lentamente de un luga a oto sobe una supeficie como lo es la tayectoia I de la figua 4.1.1b, se dice ue todos los puntos de dicha supeficie están al mismo potencial y a una supeficie como esta se denomina supeficie euipotencial. En la figua 4.1.a se muesta las líneas euipotenciales de una caga puntual y en la figua 4.1.b se muestan dos supeficies euipotenciales paa una caga puntual

29 Física Geneal III Potencial Eléctico Optaciano ásuez Gacía (a) (b) Figua (a) Líneas euipotenciales y líneas de fueza paa una caga puntual. (b) supeficies euipotenciales paa la caga. En la figua 4.1.3a se muesta las líneas euipotenciales (líneas de colo vede) en la egión compendida ente dos placas cagadas con cagas iguales y de signos opuestos y en la figua 4.1.b se muestan dos supeficies euipotenciales paa la misma configuación (a) (b) Figua (a) Líneas euipotenciales y líneas de fueza paa dos planos paalelos cagados. (b) supeficies euipotenciales paa la distibución de planos paalelos En la figua 4.1.4a se muesta las líneas euipotenciales (líneas de colo naanja) en la egión compendida ente dos cagas puntuales de igual valo peo difeente signo (dipolo) y en la figua 4.1.4b se muestan dos supeficies euipotenciales dos cagas puntuales de igual valo y signo. Las popiedades de las supeficies euipotenciales pueden esumise como sigue. a. Las líneas de campo eléctico son pependiculaes a las euipotenciales b. Po simetía, las supeficies euipotenciales poducidas po cagas puntuales son una familia de esfeas concénticas, y paa campos elécticos unifomes, una familia de planos pependiculaes a las líneas de campo. c. La componente tangencial del campo eléctico a lo lago de la supeficie euipotencial es ceo, po ota pate ningún tabajo puede hacese paa move una caga de un punto a oto en una supeficie. 164

30 Física Geneal III Potencial Eléctico Optaciano ásuez Gacía (a) (b) Figua (a) Supeficies euipotenciales y líneas de fueza paa un dipolo. (b) supeficies euipotenciales y líneas de campo paa dos cagas iguales Un uso análogo a las cuvas euipotenciales son los mapas topogáficos (figua 4.1.5) utilizados po los alpinistas y excusionistas. En un mapa topogáfico se tazan cuvas de nivel ue pasan po los puntos ue tienen una misma elevación. Cada línea de contono matemáticamente se expesa como. Debido a ue el potencial gavitacional ceca a la supeficie teeste es, estas cuvas coesponden a euipotenciales gavitacionales. Figua Mapas topogáficos de un volcán 4.11 EQUIPOTENCILES Y CONDUCTOES. En el capítulo anteio, usando la ley de Gauss se demostó ue cuando se alcanza el euilibio electostático pemanente, una caga adicional ue se coloue en un conducto aislado se moveá a la supeficie exteio. Podemos asegua ue la caga se distibuiá en esta supeficie de tal manea ue todos los puntos del conducto, incluyendo los de la supeficie y los inteioes tienen el mismo potencial. Po lo tanto, el campo eléctico es siempe pependicula a la supeficie del conducto (figua ). Po oto lado, si un conducto contiene una cavidad y no existe caga en el inteio de ésta, entonces no puede habe caga neta en ninguna pate de la supeficie de la cavidad. Esto significa ue si una pesona está en el 165

31 Física Geneal III Potencial Eléctico Optaciano ásuez Gacía inteio de una caja conductoa con caga (figua b), puede toca sin peligo alguno cualuie punto de las paedes inteioes a la caja sin sufi descaga. Demueste este teoema! Figua (a) En euilibio electostático las líneas de campo son pependiculaes a las supeficies euipotenciales. (b) Un hombe en el inteio al toca la caja metálica no expeimenta descaga a pesa ue en la pate exteio existe una descaga intensa. Finalmente, establecemos ue la distibución de caga en un conducto es popocional al inveso del adio de cuvatua del conducto, esto es 1 (4.57) Donde σ es la densidad de caga supeficial y el adio de cuvatua de la supeficie en el punto en cuestión. Es deci, la caga tiende a acumulase en las pates más aguzadas del conducto, en donde el adio de cuvatua es peueño. Po oto lado, debido a ue el campo eléctico es popocional a la densidad de caga σ y po consiguiente, es popocional a (1/). Po tanto puede alcanza valoes muy elevados ceca de las puntas aguzadas. Este hecho es utilizado en el diseño de dispositivos de alto voltaje. Puede además ocui una descaga coona en estos objetos si su potencial es muy alto. Podemos entende este efecto consideando un conducto de foma no esféica (figua 4.1.b), la supeficie de este seá euipotencial, peo la densidad de caga y el campo justamente fuea del conducto vaían de un punto a oto. sí po ejemplo en la densidad de caga y el campo seán gandes mientas ue en B estas cantidades son mucho menoes. Esto se entiende cualitativamente asumiendo ue el extemo es esféico y B tiene un adio de cuvatua mayo. Po tanto, si es la densidad de caga, entonces el potencial seá 1 4 (4.58) (a) (b) Figua 4.1. (a) En el conducto de foma abitaia las cagas se concentan en auella zona donde el adio de cuvatua es meno, (b) El campo es más intenso en las zonas de meno adio de cuvatua 166

32 Física Geneal III Potencial Eléctico Optaciano ásuez Gacía Peo la densidad de caga está elacionada con el adio y la caga mediante este valo en el potencial se tiene. Entonces al emplaza (4.59) Debido a ue ambas esfeas está al mismo potencial, la de meno adio tendá mayo densidad supeficial de caga. Y como el campo está dado po, el campo es mucho mayo en los puntos sobe el conducto donde el adio de cuvatua es mínimo (véase la figua 4.1.b). Ejemplo 4.15 Cuáles son (a) la caga y (b) la densidad de caga sobe la supeficie de un conducto de foma esféica de adio = cm el cual posee un potencial de 5 (con = en el infinito)?. Pate a. Paa detemina la caga en la supeficie del conducto pimeo se detemina el campo eléctico fuea del conducto, posteiomente se detemina el potencial en puntos exteioes > y después el potencial en la supeficie de dicho conducto. Campo paa >. La figua se muesta el conducto odeada po la supeficie gaussiana de adio >. Figua Supeficie gaussiana paa detemina E en puntos exteioes al conducto plicando la ley de Gauss se tiene E Ò nd Q E. enc (4 ) SG, E 4 Potencial paa >. Debido a ue el campo eléctico solo depende de y teniendo en cuenta ue tiene, se d Ed d 4 d 4 d 167

33 Física Geneal III Potencial Eléctico Optaciano ásuez Gacía El potencial en la supeficie del conducto seá ( ) 4 4 () 4 4 Entonces la caga en la supeficie seá 4 C N m m Pate (b) La densidad de caga en la supeficie es Ejemplo (8,85.1 /. )(, )(5 ) 11,1nC 11,1nC 4 4 (, m) 5,6 nc / m El potencial eléctico de una placa metálica aislada muy gande es. Ésta lleva una distibución de caga unifome sobe su supeficie con una densidad σ (C/m ). Detemine el potencial a una distancia x de la placa. Considee ue el punto x está lejos de los bodes y asumi ue x es mucho meno ue las dimensiones de las placas. En la figua se muesta la placa cagada positivamente. Figua plicación de la ley de Gauss a un plano conducto cagado plicando la ley de Gauss a la supeficie en foma de paalelepípedo y teniendo en cuenta ue el flujo en una de las caas es nulo po estás en el conducto, además en las otas caas paalelas al campo electico tampoco existe flujo y sólo hay flujo en la caa situada a una distancia x del plano, se tiene: 168

34 Física Geneal III Potencial Eléctico Optaciano ásuez Gacía Ò SG, Q Q E. nd ( E i ).( di ) Ex E enc enc x x El potencial a una distancia x se obtiene a pati de la ecuación, esto es d Exdx dx x d dx x x 169

35 Física Geneal III Potencial Eléctico Optaciano ásuez Gacía Poblema 1 Una lámina no conductoa infinita tiene una densidad de caga sobe un lado. Qué distancia se encuentan sepaadas dos supeficies euipotenciales cuyos potenciales difieen en 5.. En la figua se muesta la lámina y las dos supeficies euipotenciales sepaación ente ellas es de 1 cm, la velocidad de la patícula es 15 m/s. Encuente la sepaación inicial ente las patículas. La fueza ue actúa sobe las dos patículas es la fueza eléctica y ésta es consevativa. Po lo tanto, la enegía total (cinética más potencial eléctica) se conseva cuando las patículas se sepaan. En suma, la fueza extena neta ue actúa sobe el sistema de dos patículas es nula (las fuezas elécticas ue se ejecen las patículas ente sí son fuezas intenas). sí el momento lineal del sistema también se conseva. Entonces podemos utiliza la consevación de la enegía y la consevación del momento lineal paa enconta la sepaación inicial. plicando la consevación de enegía se tiene Despeciando el efecto de los bodes y consideando ue la intensidad del campo eléctico paa un plano infinito es unifome y esta dado po. Entonces la difeencia de potencial seá d E. ds.( ) i dxi B d ( x x ) x B B B x xb x dx Entonces la sepaación ente las euipotenciales es x 1 ( B) (8,85.1 C / Nm )(5 ) 9 Poblema 5.1 C/ m 3 x17, 7.1 m Una patícula tiene una masa de y una caga. Una segunda patícula tiene una masa de y la misma caga. Las dos patículas están inicialmente en eposo sepaadas cieta distancia y entonces soltadas. Debido a la epulsión electostática las patículas se sepaan, y cuando dicha E i E 1 1 k 1 1 k m v m v m v m v , i, i 1 1, f, f i esolviendo esta ecuación paa detemina en cuenta ue 1 f, se tiene m v m v k i f 1 1, f, f y teniendo (a) plicando la consevación del momento lineal paa enconta la elación ente las velocidades finales se tiene pi pf sistema 1 1, i, i 1 1, f, f m v 1 1, f, f m 3.1 kg v v (15 m / s) kg 3 1, f 1, f 3 m 6.1 sistema m v m v m v m v m v v, f 6,5 m/ s (b) emplazando (b) en (a) y simplificando se tiene ,1 i Poblema ,5 1 1, 41.1 El potencial eléctico en la supeficie de una esfea unifomemente cagada es 45. En un punto fuea de la esfea a una distancia adial de cm desde su m 17

36 Física Geneal III Potencial Eléctico Optaciano ásuez Gacía supeficie, el potencial eléctico es 15. sumiendo ue el potencial paa puntos muy alejados de la esfea es ceo. Cuál es el adio de la esfea, y cuál es la caga de la esfea?. Sea el adio de la esfea y Q su caga. Podemos expesa el potencial de las dos ubicaciones dadas y esolve las ecuaciones simultáneamente paa detemina y Q El potencial en la supeficie de la esfea es kq 45 (a) El potencial a una distancia de cm de la supeficie seá kq kq 15,m Dividiendo las dos ecuaciones anteioes se tiene kq 45 kq 15, m 1cm l emplaza este valo en (a) se tiene Poblema 4 45 (,1 m) Q 5nC N. m / C (b) Encuente el cambio en la enegía potencial eléctica cuando dos potones inicialmente sepaados,1 nm se apatan hasta esta completamente sepaados. sumimos ue un potón esta fijo y el oto se va a move en el campo del pime potón El cambio en la enegía potencial eléctica está dado po k U E. ds i.( di ) P P P d 1 U kp k P 9.1 N. m / C (1,6.1 C) U 4, P 9 U, Note ue. Es habitual considea de tal manea ue podemos deci ue la enegía potencial de los potones fue. Estos potones oiginalmente tienen una alta enegía potencial po ello ellos tienden a sepaase cuando se les da la opotunidad. Poblema 5 Una gota esféica de agua lleva una caga de tiene un potencial de 5 en su supeficie (con = en el infinito). (a) Cuál es el adio de la gota?. Si dos gotas con la misma caga y adios iguales se combinan paa foma una sola gota, Cuál el potencial de la supeficie de la nueva gota?. (a) Consideemos a la gota como un conducto, de tal manea ue el potencial está dado po kq kq 54mm J (3.1 ) 5 (b) Cuando se combinan dos gotas, la gota nueva tiene oto adio, el mismo ue se detemina a pati de la consevación de la masa 1 M m ,37mm El potencial de la nueva gota seá M m /3 ( ) 171

37 Física Geneal III Potencial Eléctico Optaciano ásuez Gacía kq k( ) 1 1 1/3 1/3 1 ( ) ( ) magnitud del campo eléctico en las egiones (a) a B; (b) B a C y (c) C a D. 1 1/3 (5 ) ( ) 793,7 1 Poblema 6 Encuente la difeencia de potencial ente la pate supeio (P) y el cento de la base (O) de un cono de adio a y altua a, el cual lleva una densidad de caga σ sobe el áea lateal. El campo eléctico ente puntos en el espacio es popocional a la difeencia de potencial ente puntos dividida po la distancia ente ellos. Esto es Debido a la geometía el ángulo del cono es 45. Paa enconta el potencial pimeo dividamos a la supeficie lateal en ebanadas de adio x a una pofundidad z (desde el vétice del cono). Po se el ángulo de 45 el adio x es igual a la altua z. La longitud del elemento difeencial a lo lago de la pendiente es y el aea del peueño elemento difeencial es. Po lo tanto la contibución del elemento difeencial al potencial es k( zdz) d z ( a z) La difeencia de potencial ente los puntos P y O se detemina integando la ecuación anteio, es deci o P d O Poblema 7 za zdz 4 z z ( a z) a a a P ln a a E x Pate (a). Campo ente y B 5, 5 E1 / m x, m,m Pate (b). Campo ente B y C E 3, 5, 1 / m x,4m,m Pate (b). Campo ente B y C E 3 Poblema 8 1, 3, 5 / m x,8m, 4m Un campo eléctico unifome de magnitud 35 /m está diigido en diección negativa de las y como se muesta en la figua. Las coodenadas del punto son y las coodenadas del punto B es. Detemine la difeencia de potencial: (a) utilizando la tayectoia CB, (b) utilizando la tayectoia ecta B y (c) Cuál punto está a mayo potencial?. El potencial eléctico () como una función de la distancia es gaficado en la figua. Detemine la 17

38 Física Geneal III Potencial Eléctico Optaciano ásuez Gacía Pate (a) Difeencia de potencial paa el tayecto CB B C B d.. E ds E ds C C B ( Ej).( dsj) ( Ej).( dsi ) B E( s s ) B C (35 N / C)(,8 m) 6 B Pate (b) Difeencia de potencial paa el tayecto B B B d. E ds B ( Ej).( dxi dyj ) B B E dy E( y y ) B B (35 N / C)(,8 m) 6 B Poblema 9 Con una baa plástico se ha fomado un ao de adio. Éste tiene una caga +Q distibuida unifomemente a lo lago de un cuato de cicunfeencia y una caga negativa ha sido distibuida a lo lago del esto del anillo. Consideando a en el infinito, detemine el potencial eléctico: (a) en el cento del anillo y (b) en un punto O, el cual está sobe el eje del anillo a una distancia z del cento. Pate (b). Debido a ue la pate (a) es un caso paticula de (b) entonces comenzamos con la última paa ello dividimos a la distibución en elementos de caga d de longitud ds, entonces el potencial seá d ( ) ds ( ) ds d k k k ( ) d ( ) d d k k z z C El campo total se obtiene integando la ecuación anteio, esto es / d d 4 z 4 z / ( ) 4 z 4 z 3 ( ) 4 z 4 z Q 6Q / 4 6 / 4 3 ( ) 4 z 4 z Q 4 z 4 4 6Q 5Q z z Pate (a). El potencial en el cento del anillo seá 5Q 5Q 4 z 4 Poblema 1 o 5Q 4 Un disco de adio tiene una densidad de caga supeficial dada po. Donde es una constante y es la distancia desde el cento del disco. Encuente: (a) la caga total sobe el disco. (b) una expesión paa el potencial eléctico a una distancia x desde el cento del disco sobe el eje ue pase a tavés del cento del disco y es pependicula a su plano. 173

39 Física Geneal III Potencial Eléctico Optaciano ásuez Gacía Podemos enconta Q mediante integación de la caga sobe un anillo de adio y espeso d desde hasta y el potencial en el eje del disco mediante integación de la expesión del potencial en el eje de un anillo de caga ente los mismos límites. Debido a ue las placas son conductoas en la placa CD se inducen cagas en el lado B y en el lado C. Pate (a). La expesión paa la caga de un anillo de adio y espeso d está dada po d d d d d d ( ) ( ) La caga total del anillo se obtiene integando la expesión anteio, esto es Q d d Q El potencial poducido po d en el punto P es d d d k k x El potencial neto en P se obtiene integando la ecuación anteio Poblema 11 x x ln Las tes placas conductoas mostadas en la figua está, cada una sepaadas po una distancia b. Si las cagas sobe las dos placas extemas son como se muesta en la figua. Detemine la difeencia de potencial ente las placas extemas demás usando la ley de Gauss se detemina el campo ente las láminas B y CD, esto es Ò E nd SG E enc. Q E La difeencia de potencial ente y B es d E. ds ( Ei ).( dxi ) B B B ( x x ) d B B La difeencia de potencial ente C y D es d E. ds ( Ei ).( dxi ) D D D C C C ( x x ) d D C D C (1) Debido a ue la placa cental es conductoa, el campo en su inteio es ceo y como tal todos los puntos están al mismo potencial po tanto. Entonces se tiene D B d () 174

40 Física Geneal III Potencial Eléctico Optaciano ásuez Gacía Sumando las ecuaciones se tiene Poblema 1 D d d D d Una peueña esfea de 3, g de masa cuelga de un hilo de seda ente dos placas conductoas paalelas veticales sepaadas 5 cm. La caga en la esfea es 5,8 μc. Qué difeencia de potencial ente las placas haá ue el hilo fome un ángulo de θ = 3 con la vetical. mg T (b) cos3 F x E Tsen 3 (c) emplazando (b) en (c) se tiene E mgtg3 (d) emplazando la ecuación (a) en (d), esulta mgtg3 d mgdtg3 3,,1 (9,8)(5.1 ) tg3 6 5, Poblema 13 Se tiene dos anillos finos de alambe de adio, cuyos ejes coinciden. Sus cagas son iguales a y. Detemine la difeencia de potencial ente sus centos, siendo la distancia ente ellos igual a d. Debido a ue la caga + se desvía hacia la deecha, entonces el campo electico ente las placas debe esta diigido hacia la deecha, po ello la placa izuieda es positiva y la deecha negativa. Entonces la difeencia de potencial seá d E. ds ( Ei ).( dxi ) B B B Ed B En la figua se muesta a ambos anillos Ed (a) B En la figua Se muesta el DCL de la caga, sobe ella actúan el Peso (mg); la tensión en el hilo (T) y la fueza eléctica debido al campo. En el ejemplo se demostó ue el potencial paa un anillo en puntos sobe su eje es k z El potencial en el punto O es la suma de los potenciales del anillo + y del anillo. es deci plicando las ecuaciones de euilibio según los ejes mostados se tiene Fx T cos3 mg O', O', O' O' k z k El potencial en el punto O es la suma de los potenciales del anillo + y del anillo. es deci 175

41 Física Geneal III Potencial Eléctico Optaciano ásuez Gacía O O, O, O k k z La difeencia de potencial ente sus centos seá. O' k k k k O z z k O' O z 4 z Poblema 14 O' O z Se tiene un hilo ecto y muy lago, cagado con una densidad lineal de caga μ. Detemine la difeencia de potencial en los puntos y B si el punto B dista veces más del hilo, ue el. En la figua se muesta el hilo ecto y muy lago conjuntamente con una supeficie gaussiana cilíndica ue pemite evalua el campo poducido po el hilo B B ln ln B ln emplazando valoes se tiene B Poblema 15, (8,85.1 C / N. m ) 5,k B C ln Halle el potencial eléctico en el cento de una semiesfea de adio, cagada con una densidad supeficial de caga σ Paa detemina el potencial de la distibución de caga en O, se divide a ésta en anillos de adio y con un espeso como se muesta en la figua El potencial del elemento difeencial seá Qenc L E. nd E L Ò SG, E Como el campo solo depende de la distancia al alambe, la difeencia de potencial ente los puntos y B seá d Ed d B d B d d ( yds) ( cos )( d ) d 4 4 d cosd El potencial neto en el punto O se obtiene integando la expesión anteio cos d sen / / 176

42 Física Geneal III Potencial Eléctico Optaciano ásuez Gacía Poblema 16 Dos hilos finos y paalelos ue distan l se cagan unifomemente hasta la densidad lineal y. Detemine el potencial eléctico a la distancia bajo un ángulo θ al vecto como se muesta en la figua. a a kln kln kln ln kln Haciendo uso de la ley de cosenos se tiene l l cos l l cos. En la figua se muesta el punto P donde se halla El potencial se escibe ahoa en la foma k ln l l cos l l cos l l 1 cos 4 k ln l l 1 cos 4 1/ 1/ En el poblema N 1 se ha demostado ue el potencial paa un alambe infinito está dado po k ln a Donde el potencial ceo se considea en un punto de efeencia. El potencial debido al alambe ue tanspota una densidad +, seá k ln a El potencial debido al alambe ue tanspota una densidad -, seá k ln a El potencial total en el punto P seá Teniendo en cuenta ue paa >> l,, se tiene l l k ln 1 cos ln 1 cos 1/ 1/ l l k ln 1 cos ln 1 cos Usando la elación 3 z z ln(1 z) z... 3 l l l ln 1 cos cos cos... l l ln 1 cos cos emplazando este desaollo en la ecuación paa el potencial total se tiene. 177

43 Física Geneal III Potencial Eléctico Optaciano ásuez Gacía l l kl k cos cos cos l cos Poblema 17 Dos anillos coaxiales finos de alambe de adios cada uno se encuentan a una peueña distancia l uno de oto (l << ) y tienen cagas + y. Detemine el potencial eléctico en el eje del sistema como función de la coodenada x (véase la figua). 1/ 1/ lx l lx l 1 1 kq x x 4( x ) x 4( x 1/ 1/ x lx l lx l 1 1 x 4( x ) x 4( x ) Si >>l, entonces l 4( x ) entonces se tiene lx lx 1 1 kq( x ) x x 3/ 1/ ( x ) lx 1 ( ) x Usando el binomio de newton tenemos 1/ 1/ 1 lx 1 lx 1 ( )... 1 ( )... kq( x ) x x 3/ 1/ ( x ) lx 1 ( ) x Simplificando esulta El potencial paa un anillo está dado po la ecuación k x El potencial en un punto P sobe el eje x poducido po los anillos cagados es (a) k k y l x x l El potencial neto en cualuie punto sobe el eje x es 1 lx 1 lx ( ) ( ) kq( x ) x x 3/ 1/ ( x ) lx 1 ( ) x l x 3/ 4 ( x ) Poblema 18 Una caga lineal unifome está aeglada en foma de un cuadado de 6 m de lado, como se muesta en la figua. Detemine: (a) El potencial en el punto (b) en el cento del cuadado; (c) el tabajo necesaio paa taslada una caga de desde el punto P hasta el cento del cuadado. k k l x x l x xl x xl 4 4 k x xl x xl 4 4 1/ 1/ l l 1/ 1/ l l Pate (a) El potencial en el punto P debido al elemento difeencial de caga es 178

44 Física Geneal III Potencial Eléctico Optaciano ásuez Gacía d kd kdx x 34 x 34 El potencial debido a este lado del cuadado seá la suma (integación) del potencial difeencial P 3 dx k 3 x 34 8,89 p El potencial debido al cuadado completo en P seá tot, P 4 P 4(8,89 ) 35,56 Pate (b) El potencial en el punto O debido a un lado es O 3 dx k 3 x 9 15,84 O El potencial debido al cuadado completo en O seá tot, O 4 P 4(15,84 ) 63,36 Pate (c) El tabajo es W W ( ) PO PO movil tot, O tot, P W (63,36 35,56) PO 16, J El tabajo ealizado paa tae la egla con las cagas desde un punto muy alejado y colocalo en dicha configuación es W k anillo k anillo WP movp 1,1,,1 1, P Poblema (1.1 )(1.1 ) 9.1 (.1 )(1.1 ),1,,1 1, W P 55,19J Una caga lineal de longitud L (m) y densidad de caga unifome C/m, está situada paalelamente a una lámina infinita la ue lleva una densidad supeficial σ C/m, tal como se indica en la figua. Detemine el tabajo necesaio paa gia la caga lineal un ángulo de 9 hasta situala sobe el eje z Poblema 19 Un anillo cagado unifomemente con una caga total de 1 μc y un adio de 1 cm yace en el plano xy con su cento en el oigen. Una egla de meto tiene una caga puntual de 1 μc en el extemo macado con el O y una caga puntual de μc en el extemo macado con 1 cm. Qué tabajo hay ue ealizaa paa tanspota la egla de meto desde una distancia muy gande hasta una posición a lo lago del eje z con el extemo macado con O en z =, m y el oto extemo en z = 1, m. En la figua se muesta al anillo y a la egla con las cagas puntuales en su posición final. Se ha demostado ue el campo eléctico paa una distibución plana infinita es E e n El potencial eléctico seá 179

45 Física Geneal III Potencial Eléctico Optaciano ásuez Gacía d E. ds ( k ).( dzk ) dz f 1 d ( z z ) f i i cte z El tabajo del campo eléctico paa taslada el elemento de caga desde el punto inicial al final, está dado po la ecuación z zi dz 3 d ( ) d (4 d) 4 d 3 Q 4 d Q Despejando el valo de la constante se tiene 4 Q Pate (b). Campo paa puntos exteioes 3 dw i f d( i f ) l gia la caga lineal, el elemento de caga situado a una distancia y del oigen, pasa del potencial al potencial La ley de Gauss nos da dwi f ( i f ) dy ydy W i f W i f a a 4 ydy Qenc Q E. nd E(4 ) Ò SG, Q E 4 Campo paa puntos inteioes Poblema 1 Una distibución de caga con simetía esféica cuya densidad está dada po C/m 3 paa, y paa, siendo k una constante. La caga total contenida en la esfea de adio es Q. Detemine: (a) el valo d la constante k en función de Q y ; (b) la intensidad de campo eléctico en puntos inteioes y exteioes de la esfea, y (c) el potencial en la supeficie () y el potencial en el oigen (). Pate (a). Se divide a la distibución volumética en elementos de caga en foma de cascaas esféicas de adio y espeso d, entonces la caga de este elemento difeencial seá La ley de Gauss nos da Ò SG, Q 4 4 Q enc 3 E. nd E(4 ) d Q E 4 Pate (c). Potencial paa puntos exteioes 4 18

46 Física Geneal III Potencial Eléctico Optaciano ásuez Gacía Q d Ed d 4 Q d d 4 4 Q Pimeo se halla el campo eléctico usando la ley de Gauss El potencial en la supeficie es Q ( ) 4 Potencial paa puntos inteioes Q d Ed d 4 4 Q d 4 4 d 3 Q Q Q Q El potencial en el cento de la esfea es ( = ) Poblema Q () 3 Una coteza conductoa esféica de adio inteno b y adio exteno c odea concénticamente una peueña esfea metálica de adio a < b. La esfea metálica tiene una caga positiva +Q mientas ue la caga total de la esfea conductoa es -3Q. (a) Cuál es el potencial de la coteza esféica?. (b) Cuál es el potencial de la esfea metálica?. En la figua se muesta al sistema Campo paa Qenc Q E. nd E(4 ) Ò SG, Campo paa SG, Q E 4 Qenc QQ E. nd E(4 ) Ò Campo paa SG, E 4 Qenc Q Q Q 3Q E. nd E(4 ) Ò Q E 4 Potencial eléctico paa puntos exteioes Q d Ed d 4 Q d 4 d Q 1 Q 4 4 El potencial en la supeficie del cascaon es Q C 4 c 181

47 Física Geneal III Potencial Eléctico Optaciano ásuez Gacía Debido a ue el campo en el inteio del cascaón es nulo, el potencial pemanece constante, entonces Potencial eléctico paa b Q 4 c Q d Ed d 4 a b Q d 4 a d b La fueza sobe la caga negativa es F E i La fueza esultante sobe el dipolo es F F F i i F Pate (b) En la figua se muesta al alambe y el dipolo a Q 1 Q 1 1 a b a b a b 4 b 4 a Q Q 1 1 Q c 4 a b 4 a b c Poblema 3 la distancia de un filamento lago, cagado con la densidad lineal de caga, se encuenta un dipolo, cuyo momento dipola eléctico es. Detemine la fueza ue actúa sobe el dipolo, si el vecto se oienta: (a) a lo lago del filamento; (b) a lo lago del adio vecto. Pate (a) En la figua se muesta al alambe y el dipolo La fueza sobe es La fueza sobe + es F E i ( a) F E i ( a) La fueza esultante sobe el dipolo es F F F i i ( a) ( a) 1 1 a F i i a a ( a)( a) El campo eléctico paa una línea cagada unifomemente a una distancia es E Fueza sobe la caga positiva F E i Debido a >> a, entonces se tiene F Poblema 4 a i a a p F 1 1 Sobe un plano conducto ilimitado cuelga, de un hilo elástico aislante de igidez K, una peueña bola. Una 18

48 Física Geneal III Potencial Eléctico Optaciano ásuez Gacía vez ue la bola se cagó ésta descendió x cm, y su distancia hasta el plano conducto llegó a se igual a l. Detemine la caga de la bola. En la figua se muesta la disposición de los elementos según el enunciado. plicando las ecuaciones de euilibio se tiene F F F v e s 4 ( l) 4l Kx Kx Poblema 5 la distancia l de un plano conducto ilimitado se encuenta una caga puntual. Qué tabajo se necesita ealiza conta las fuezas elécticas paa sepaa lentamente esta caga a una gan distancia del plano?. Paa esolve el poblema usamos el método de imágenes, es deci al coloca la caga + ceca del plano los electones libes de éste se edistibuyen uedando el plano cagado con caga de signo contaio a la caga inductoa +. La líneas de fueza salen de la caga positiva y teminan e el plano conducto. El plano conducto se compota como una supeficie euipotencial, debido a la simetía de las líneas de fueza podemos IMGIN ue las líneas convegen en donde se encuenta la caga imagen, tal ue. En la figua se muesta el plano infinito conjuntamente con la caga +. demás se usa el método de imágenes paa evalua el poblema, es deci a una distancia x está y a la izuieda la caga imagen = - a una distancia idéntica x. La fueza eléctica ente la caga + y la caga imagen seá Fe i i 4 ( x) 16 x El tabajo necesaio seá hoa el sistema inicial se educe a la inteacción ente dos cagas puntuales paa ello se taza el DCL de la bola con caga + en donde se obseva ue sobe ella actúan la fueza elástica y la fueza eléctica, obseve ue el peso se despecia Wi Fe. ds i. dxi l l 16 x W i 1 x dx x W l i 16 l l El tabajo hecho po un agente exteno es 183

49 Física Geneal III Potencial Eléctico Optaciano ásuez Gacía W Poblema 6 W 16 l agen i, campo Las caga puntuales + y se sitúan a la distancia l una de la ota y a unas distancias idénticas l/ de un mismo lado de un plano conducto ilimitado. Detemine el módulo del vecto fueza sobe la caga positiva +. En la figua se muesta la ubicación de las cagas y el plano infinito F cosi sen j 3 4 ( l ) 4 ( l ) F i j 4 ( ) 4 ( ) l l 3 l l l l F i j 4 ( ) 4 ( ) 3 l l La fueza eléctica esultante es F 1 ( i j ) 4 l 4 El módulo de la esultante seá F 8 l ( 1) Poblema 7 Las cagas imagen se muesta en la figua Ente dos semiplanos conductoes mutuamente pependiculaes se encuenta una caga puntual +, distante una distancia l de ambos. Detemine la fueza eléctica ue actúa sobe la caga En la figua se muesta la ubicación de la caga y los planos La fuezas elécticas sobe + seán F 1 4 l F 4 l i j La caga + induce cagas en los planos de tal manea ue estos se compotan como supeficies euipotenciales, entonces se taza las cagas imágenes como se muesta en la figua. F 4 l j 184

50 Física Geneal III Potencial Eléctico Optaciano ásuez Gacía El potencial electostático en el punto P seá La fuezas elécticas sobe + seán F 1 4 ( l) F 1 4 ( l) F cosi sen j i 3 4 ( l) 4 ( l ) F i j l l 3 4 ( l 8) l 8 4 ( l 8) l 8 j F i j 4 (8 ) 8 4 (8 ) 8 3 l l La fueza eléctica esultante es F 1 8 ( i j) 16 l 8 El módulo de la esultante seá Poblema 8 F 3 l ( 1) Una caga puntual + se encuenta a la distancia l de un plano conducto ilimitado. Detemine la densidad supeficial de cagas, inducidas en el plano, en función de la distancia desde la base de la pependicula bajada de la caga al plano. En la figua se muesta al plano, la caga + y la caga imagen coespondiente, y un punto abitaio del espacio en donde se halla el potencial ( ) ( ) x l y z x l y z La densidad supeficial es yz Ex x x yz (( x l) y z ) (( x l) y z ) x 1/ 1/ x l x l yz (( x l) y z ) (( x l) y z ) 3/ 3/ emplazando x = yz l l 4 ( l y z ) ( l y z ) l yz 3/ ( l ) Poblema 9 3/ 3/ x Un hilo fino de longitud ilimitada tiene una caga po unidad de longitud y se sitúa paalelamente a un plano conducto infinito. la distancia ente el hilo y el plano es igual a l. Detemine: (a) el módulo del vecto de la fueza ue actúa po unidad de longitud del hilo; (b) La distibución de la densidad supeficial de caga en el plano, donde x es la distancia hasta el plano pependicula a la supeficie conductoa y ue pasa a tavés del hilo. En la figua se muesta las dos distibuciones de caga 185

51 Física Geneal III Potencial Eléctico Optaciano ásuez Gacía yz ( l y z ) ( l y z ) yz l l ( l ) l Paa detemina la fueza se usa el método de imágenes, paa esto el plano se considea como una supeficie euipotencial. Entonces la fueza ue la caga ejece sobe la placa es del mismo valo peo de sentido contaio a la fueza ue la placa (o la imagen ) ejece sobe la caga Poblema 3 Un anillo de alambe fino de adio tiene una caga. El anillo se sitúa paalelamente a un plano conducto ilimitado a la distancia l, detemine el potencial y la intensidad de campo eléctico en el cento del anillo. En la figua se muesta las distibuciones conjuntamente con la caga imagen ue en este caso es un anillo ue lleva una caga. Pate (a) Fueza ente la caga imagen y la caga Paa ello dete ina os el ca po eléctico po la caga imagen en el punto de ubicación de la caga lineal positiva E i ( l) i F L i ( l) F i L 4 l Pate (b) Paa detemina la densidad supeficial de caga se detemina pimeo el potencial en un punto abitaio (ln ln ) ln( x l y z ) ln x l y z La densidad de caga supeficial es yz yz Ex x x 1/ 1/ ln[( x l) y z ] ln[( x l) y z ] x yz ( x l) ( x l) [( x l) y z ] [( x l) y z ] x Pimeo deteminamos el potencial en el cento del anillo positivo en este caso el plano es sustituido po la caga imagen. O k k 1 1 4l 4 l 1 El campo eléctico seá 1/ l E 1 1 l 4 l 3/ 1 l E 1 4l 4 Poblema 31. l l E 1 3/ El eje de las x es el eje de simetía de un anillo estacionaio unifomemente cagado de adio y de caga Q, véase la figua. Inicialmente en el cento del anillo se ubica una caga 186

52 Física Geneal III Potencial Eléctico Optaciano ásuez Gacía puntual Q de masa M. Cuando ésta es desplazada ligeamente, la caga puntual se acelea a lo lago del eje x hacia el infinito. Demueste ue la apidez final de la caga puntual es. T U T U i e, i f e, f 1 1 Mv Q Mv Q 1 1 Mv Q Mv Q Q 1 Mv Q() 4 i i f f v Q M Pimeo se detemina el potencial eléctico en cualuie punto P sobe el eje x. Paa esto se divide la distibución en elementos de caga d, tal como se muesta en la figua y está dado po Q d ds ds El potencial en P debido a la distibución es Q ds d ds d x El potencial neto se obtiene integando la ecuación anteio, es deci Q Q S x ds ( ) 4 x 4 x x 4 Q x El potencial en el cento del anillo seá ( x) 4 Debido a ue la fueza eléctica es una fueza consevativa, entonces, se aplica la consevación de la enegía paa detemina la inuietud solicitada en el enunciado, esto es Q 187

53 Física Geneal III Potencial Eléctico Optaciano ásuez Gacía eléctica almacenada en el sistema, elativa a U = a una sepaación infinita. Poblemas popuestos 1. Una caga puntual de +33 μc es localizada a 36 cm de una caga idéntica de +33 μc. Una caga puntual de -1,5 μc es movida desde el punto al punto B, como se muesta en la figua. Cuál es el cambio en la enegía potencial. 4. En una fotocelda, la luz ultavioleta povee suficiente enegía a algunos electones en la placa de baio paa emege de la supeficie a alta velocidad como se muesta en la figua. Paa medi la máxima enegía de los electones, el colocada ota placa sobe la placa de baio la misma ue está a un suficiente potencial de tal manea ue los electones emitidos son lentamente detenidos y etonados a la supeficie de la placa de baio. Si el potencial de la placa supeio es (compaado a la de baio) cuando los electones son detenidos. Cuál fue la velocidad de estos electones cuando ellos fueon emitidos?.. En cada una de las esuinas ye en el cento de un cubo de lado l hay una caga puntual Q, como se muesta en la figua. (a) Cuál es el potencial en cento del cubo ( = en = )?. (b) Cuál es el potencial en cada una de las esuinas debido a las otas ocho cagas?. (c) Cuál es la enegía potencial del sistema?. 5. El potencial en cieta egión del espacio está dada po la ecuación 1 3 x y x y z Donde y,,. Deiva una expesión paa el campo eléctico en algún punto. Calcula la magnitud de la intensidad de campo en el punto donde todas las distancias están dadas en metos. 3. Cuato cagas puntuales están localizadas en las esuinas de un cuadado ue tiene 8, cm de lado. Las cagas Q, Q, -3Q, y -4Q son colocadas sucesivamente alededo del cuadado como se muesta en la figua. Cuál es la enegía potencial 6. Un electón es localizado en el plano xy donde el potencial eléctico depende de x e y como se muesta en la figua (el potencial no depende de z). Usando la notación de vectoes unitaios detemine la fueza eléctica sobe el electón. 188

54 Física Geneal III Potencial Eléctico Optaciano ásuez Gacía 7. Una esfea no conductoa de adio a posee una caga a. odeando a ésta hay dos cascaones conductoes delgados, de adios b y c, los ue llevan cagas b y c. El cascaón más exteno está conectado a tiea. Obtenga expesiones paa el potencial de las otas dos esfeas. 8. Dos dipolos,cada uno con momento dipola de C.m, están localizados como se muesta en la figua, siendo su sepaación,4 nm. Detemine la enegía potencial de los dipolos. 1. Un dipolo ele ctico consiste en dos cagas puntuales de igual magnitud y signos opuestos ue están sepados po una distancia. Uno de estos dipolos es epesentado en la figua. (a) Detemine el potencial en un punto abitaio P sobe el eje y tal ue y > a; (b) Detemine la foma ue esta expesión toma cuando y >> a; (c) Usando la expesión de la pate (a) calcula el potencial cuando y = 3a, si tiene una magnitud de =,48 nc y el valo de a es a =,65m; (d) Deiva una expesión paa el potencial en el punto P sobe el eje x. (e) Detemine la foma de la expesión cuando x >>a; (f) Usando la espuesta de la pate (d) detemine el potencial en x = 3a paa los mismos valoes a y a dados en la pate (c). 9. Si ahoa los dipolos se colocan en línea ecta como se muesta en la figua, detemine la enegía potencial de los dipolos. 1. Dos cagas elécticas puntuales guadan la elación 1 =3 = 6,78μC. La caga 1 está fija en el oigen de un sistema coodenado. La caga está inicialmente localizada en un punto cuya posición es. Detemine el tabajo hecho po la fueza eléctica si es movido a la posición dada po. 11. Tes cagas elécticas idénticas están elacionadas po. Las cagas están fijas en los vétices de un tiángulo ectángulo isósceles paa el cual, como se epesenta en la figua. Detemine la cantidad de tabajo ue se puede hace en conjunto paa move las cagas hasta ocupa la configuación final donde s = 1, m 13. Un núcleo de helio de caga y ue tiene una masa es libeado desde el eposo en una egión del espacio donde hay un campo eléctico unifome de magnitud diigido hacia el note. Detemine: (a) la velocidad del núcleo de helio en el instante en ue se ha movido una distancia ; (b) el cambio en el potencial eléctico duante su desplazamiento. 14. Un electón de caga y ue tiene una masa es libeado desde el eposo en una egión del espacio donde hay un campo eléctico unifome de magnitud diigido hacia el este. Detemine: (a) la velocidad del electón en el instante en ue se ha movido una distancia ; (b) el cambio en el potencial eléctico duante su desplazamiento. 189

55 Física Geneal III Potencial Eléctico Optaciano ásuez Gacía 15. Paa el cuadupolo eléctico epesentado en la figua. (a) Deiva una expesión del potencial eléctico en un punto abitaio P sobe el eje x tal ue x > a; (b) detemine la foma de esta ecuación cuando el valo de x es mucho mayo ue el valo de a, es deci, cuando x >> a; (c) detemine el potencial neto en P si, y x = a; (d) detemine la enegía potencial eléctica paa esta configuación de cagas. 16. Tes cagas idénticas están fijas en los vétices de un ectángulo de dimensiones, como se muesta en el diagama. Detemine: (a) El potencial eléctico neto en el cuato vétice, (b) el tabajo neto hecho paa ensambla dicha configuación, (c) la cantidad de tabajo hecho po el campo eléctico duante el desplazamiento de una cuata caga idéntica desde el infinito hasta el cuato vétice.. Un cilindo no conducto tiene una distibución de caga dada po una densidad de caga volumética paa y paa (α es una constante). (a) encuente el potencial eléctico en puntos exteioes e inteioes a la distibución de caga, (b) Cuál es el valo de α? 1. Dos lados de un no conducto cuadado cuya longitud de sus lados es a son cagados positivamente con una densidad. (a) Calcula el potencial eléctico en el punto P. P está en la esuina del cuadado. (b) calcula el tabajo sobe un potón paa desplazalo desde el infinito hasta el punto P 17. Un conducto esféico de adio 1 está cagado a k. Cuando se conecta mediante un fino y lago alambe a una segunda esfea conductoa situada lejos de él, su potencial cae a 1 k. Cuál es el adio de la segunda esfea?. 18. Un anillo cagado unifomemente, de adio a y caga Q, se encuenta sobe el plano yz con su eje a lo lago del eje x. Una caga puntual se coloca Q se sitúa sobe el eje x en x = a. (a) Detemine el potencial eléctico en cualuie punto del eje x debido al sistema de cagas. (b) Detemine el campo eléctico paa cualuie punto sobe el eje x.. lo lago del eje de un disco unifomemente cagado, en un punto situado a,6 m del cento del disco, el potencial es 8 y la magnitud del campo eléctico es 8 /m; a una distancia de 1,5 m, el potencial es 4 y el campo tiene un módulo de 3,5 /m. Detemine la caga total esidente en el disco. 3. Considee un cable coaxial muy lago. El conducto inteio tiene a y es mantenido a un potencial. El conducto exteio tiene un adio exteio b y está conectado a tiea. Detemine la función potencial en el espacio ente los conductoes. 19. La vailla de plástico ilustada en la figua tiene una longitud L, sobe ella se ha distibuido una caga con una densidad lineal no unifome dada po donde β es una constante positiva. Consideando ue = en el infinito, detemine: (a) el potencial en el punto P 1 y (b) el potencial en P ; (c) Si una caga se mueve desde P 1 hasta P Cuál es el tabajo desaollado? 19

56 Física Geneal III Potencial Eléctico Optaciano ásuez Gacía 4. Las dos placas de un condensado están sepaadas una distancia d y mantenidas a potenciales y. sumiendo despeciable el efecto de los bodes, detemine: (a) el potencial en cualuie punto dento de las placas y (b) las densidades de cagas supeficiales en las placas 8. Considee una plancha no conductoa con un espeso d en la diección y extendiéndose al infinito en las diecciones x y z, la plancha lleva una densidad de caga unifome. Si y el punto medio está en y =, encuente la difeencia de potencial ente y 5. Dos esfeas metálicas tienen 3, cm de adio y llevan cagas de +1 nc y -3 nc, espectivamente, asumiendo ue las cagas son distibuidas unifomemente y ue sus centos están sepaados, m. (a) Detemine el potencial en el punto medio de la línea ue une sus centos. (b) encuente el potencial sobe cada esfea. 6. Considee un cilindo de mateial no conducto cuyo adio es y su longitud es infinita con una densidad de caga volumética donde es la distancia medida desde el eje del cilindo. Calcula la difeencia de potencial ente un punto P y la supeficie del cilindo. P está a un valo de. suma ue el cilindo es cagado positivamente y establezca claamente el signo de la difeencia de potencial. 9. Un tubo cilíndico hueco de adio inteno y adio exteno B es hecho de un mateial no conducto y tiene una densidad de caga ente y B y la densidad de caga es ceo en todas las demás egiones. (a) Detemine el campo eléctico a un distancia abitaia desde el eje del tubo tal ue. (b) Si el potencial en es =, calcule la difeencia de potencial ente un punto en y un punto a una distancia abitaia donde. 7. Una esfea no conductoa es cagada negativamente con una densidad de caga dada po, donde es una constante. Si el adio de la esfea es. (a) calcule la magnitud de la difeencia de potencial ente la supeficie de la esfea y un punto P situado a una distancia de su cento. (b) Establezca el signo de la difeencia de potencial y da una explicación física claa (no matemática) paa este signo. Si la caga total de la esfea es Q, calcule. 3. Una esfea no conductoa de adio = 4 cm tiene una densidad de caga, donde ρ y son constantes. Si la caga total de la esfea es y la densidad de caga tiende a ceo en su supeficie. (a) detemine el valo numéico de las constantes ρ y. (b) Encuente el valo numéico del potencial eléctico en la supeficie de la esfea. (c) Cuál es el valo numéico del campo eléctico en un punto a 3, cm del cento 31. Una densidad de caga esféica es modelada como, donde es una constante y es la distancia desde el cento de la esfea. El adio de la esfea. (el signo de la caga es incluido en ). (a) si tomamos = en = (el cento de la esfea), encuente el potencial en. (b) Si la caga total de la esfea es Q T, encuente el valo de en función de, Q T y. 3. Se tienen dos cilindo coaxiales muy lagos, ue tienen cagas opuestas. El cilindo inteio con caga negativa se encuenta a un potencial de - k, mientas ue el cilindo exteio, con caga 191

57 Física Geneal III Potencial Eléctico Optaciano ásuez Gacía positiva, a +1 K. Una fueza extena mueve una caga puntual de 1 μc, unifomemente, desde el cilindo negativo al positivo. Cuánto tabajo efectúa la fueza extena?. 33. Encuente el potencial eléctico en el límite de un disco delgado de adio, sobe el cual se distibuye unifomemente una caga, cuya densidad supeficial es σ 34. Se tiene un condensado plano de placas ciculaes delgadas de adio situadas a una distancia d (d << ) una de la ota y cagadas unifomemente hasta la densidad de caga σ y σ. Detemine el potencial en el eje del sistema en función de la distancia z hasta las placas, si z >> d. nalice las expesiones paa z >>. 35. Un cascaón cilíndico unifomemente cagado tiene una caga total Q, un adio y una altua h. Detemine el potencial eléctico en el punto P ue se encuenta a una distancia d del extemo deecho del cilindo, como se muesta en la figua. 39. Un conducto esféico ue tiene un adio inteno 1 y un adio exteno = 1 lleva una caga neta +Q. Si en el cento del conducto se coloca una caga puntual Q/ como se muesta en la figua. Detemine: (a) la intensidad de campo eléctico en todas las egiones como una función de, la distancia desde el cento, (b) el potencial eléctico en las tes egiones y (c) gafiue el potencial en función de la distancia desde = hasta = 4. El alambe cuvado tiene una densidad de caga unifomemente distibuida a lo lago de su longitud. El adio de cuvatua es. Deive una expesión paa el potencial eléctico en un punto P el cual es el cento del aco. 36. Un cilíndico unifomemente cagado tiene una caga total Q, un adio y una altua h. Detemine el potencial eléctico en el punto P ue se encuenta a una distancia d del extemo deecho del cilindo, como se muesta en la figua. 37. Una esfea conductoa de 3 cm de diámeto es cagada a 68 especto a = en. (a) Cuál es la densidad de caga supeficial?. (b) ué distancia el potencial debido a la esfea seá solamente 5?. 38. Un conducto esféico aislado de adio 1 lleva una caga Q. Una segunda esfea conductoa de adio e inicialmente descagada es entonces conectada a la pimea mediante un alambe conducto muy lago. (a) Después de la conexión, ué podía Ud. deci aceca de potencial eléctico de cada esfea?. (b) Cuánta caga es tansfeida a la segunda esfea? Considee un conjunto de tes placas metálicas planas paalelas cada una de áea. Las placas izuieda (I) y deecha (D) están conectadas a tiea y en la placa del medio (M) se deposita una caga Q. Detemine el potencial en el punto P como función de la vaiable x. 4. La figua muesta el pefil de un conjunto de cilindos muy lagos. El cilindo inteio de adio a es metálico y tiene una caga +Q. Ente a y b existe

58 Física Geneal III Potencial Eléctico Optaciano ásuez Gacía un cascaón cilíndico dieléctico cuya densidad de caga vaía adialmente en la foma, donde α es una constante positiva. Ente b y c existe un cascaón cilíndico metálico de caga Q. Halle el potencial eléctico en todo el espacio en función de la distancia adial al eje del sistema de cilindos. posición mostada en la figua y tiene una velocidad de 8 m/s diigida hacia la placa. (a) Si la patícula cagada es un ión positivo y la placa plana está cagada negativamente. (a) Encuente el cambio en la enegía potencial con ue la patícula viaja desde su posición inicial hasta impacta sobe la placa. (b) Encuente el cambio en la enegía cinética y (c) si el ión tiene una masa de.1-6 kg detemine la velocidad con la cual impacta en la placa. 43. Un cilindo dieléctico de adio lago e infinito tiene una densidad volumética de caga adialmente unifome, es deci. Si se le hacen dos agujeos cilíndicos infinitamente lagos, cada uno de adio, halla el potencial eléctico en el punto P 1 (x) en función de la distancia adial x mostada en la figua. 46. El campo eléctico ente dos placas planas paalelas cagadas unifomemente con signos opuestos como se muesta en la figua tiene una magnitud de 15 N/C. (a) Si un potón es libeado desde el punto P en la figua, cuál placa podía impactalo y con ué velocidad lo hace?. (b) Si un electón es libeado en P cual de las placas podía impactalo y con ué velocidad)?. 44. Una placa dieléctica de extensión infinita tiene un espeso d y lleva una densidad volumética de caga, donde α es una constante positiva. Esta placa dieléctica infinita está pegada a un plano infinito con densidad supeficial de caga unifome. Detemine el potencial eléctico paa (a) ; (b) y (c) 47. En la figua, la caga Q sobe el objeto ubicado en el cento es de 1μC. Calcule el cambio en el potencial si vamos: (a) desde hacia B; (b) desde C a D y (c) desde a D. Bevemente discuti cuál es la elación ue hay ente la última espuesta y sus espuestas de los apatados (a) y (b). 45. El campo eléctico de un plano unifomemente cagado tiene una magnitud de 4 N/C. En un instante paticula, una patícula cagada está en la 48. Un electón es aceleado desde el eposo en un tubo de ayos catódicos po una difeencia de potencial 193

59 Física Geneal III Potencial Eléctico Optaciano ásuez Gacía de 55. Posteiomente el electón se mueve ente dos placas hoizontales de 6,5 cm de longitud y sepaadas 1,3 cm las mismas ue se mantienen a una difeencia de potencial de 5, como se muesta en la figua. Con ué ángulo θ abandona las placas el electón? 49. Cuato cagas puntuales con = μc sepaadas po una distancia d =,96 m son distibuidas como se muesta en la figua. Encuente el potencial total en el punto P. suma ue el potencial de una caga puntual es ceo en el infinito. 5. El potencial eléctico de un sistema como una función de la posición a lo lago del eje x se muesta en la figua. (a) en cuál de las egiones 1,, 3, o 4 podía espease ue E x es el más gande?. En cuál egión la magnitud de E x es mucho más gande?. Expliue. (b) Calcula E x en cada una de las egiones 1,, 3 y Cuál es la magnitud del potencial eléctico neto en el cento?. Si el sistema está compuesto po (i) Una vailla delgada en foma de cicunfeencia de adio 6, cm y ue lleva una caga de -3μC; (ii) Una vailla en foma de aco de adio 4, cm subteniendo un ángulo de 9 y ue lleva una caga de + μc y (iii) Un dipolo eléctico con un momento dipola ue es pependicula a la línea adial y ué tiene una magnitud de 1,8.1-1 C.m 53. Dos patículas, con cagas de nc y - nc están colocadas en las coodenadas (, 4)cm y (, -4)cm, como se muesta en la figua. El oigen se encuenta una patícula con caga de 1 nc. (a) detemine la enegía potencial eléctica de la configuación de las tes cagas fijas. (b) Una cuata patícula, con una masa de.1-13 kg y una caga de 4 nc, se libea desde el eposo en el punto (3, )cm. Detemine su velocidad después de habese movido libemente hasta una distancia muy lejana. 51. Consideando el potencial ceo en el infinito. Cuál es el potencial en P, cento de cuvatua de la vailla unifomemente cagada?. 54. Detemine el potencial eléctico en el punto P sobe el eje del anillo mostado en la figua el cual lleva una densidad de caga, donde es la distancia medida a lo lago del adio del disco. 194

60 Física Geneal III Potencial Eléctico Optaciano ásuez Gacía 55. Un alambe e ue tanspota una densidad de caga unifome es doblado en la foma mostada en la figua. Detemine el potencial eléctico en el punto O (cento de la semicicunfeencia de adio. 56. Considee dos cascaones esféicos conductoes delgados cuya sección tansvesal es mostada en la figua. El cascaón inteio tiene un adio 1 = 15, cm y una caga de 1, nc. El cascaón exteio tiene un adio = 3 cm y una caga de -15, nc. (a) Encuente el campo eléctico y (b) el potencial eléctico en las egiones, B, y C, consideando al potencial = en 59. Una patícula de masa m ue posee una caga positiva está estingida a movese a lo lago del eje x. En los puntos x = L y x = -L existen dos anillos cagados de adios L. Cada uno de estos anillos están centados en el eje x y localizados pependiculamente al mismo, siendo ambos potadoes de una caga +Q. (a) Obtenga una expesión del potencial ente las cagas anulaes en función de x paa. (b) Demosta ue en esta egión (x) pasa po un mínimo paa x =. (c) Demosta ue paa x << L, el potencial es de la foma. (c) Deduci una expesión paa la fecuencia angula de oscilación de la masa m si se desplaza ligeamente desde el oigen y se deja libe. 57. La vailla delgada unifomemente cagada ue se muesta en la figua tiene una densidad de caga lineal. Encuente una expesión paa el potencial eléctico en el punto P. 58. El disco de adio mostado en la figua tiene una densidad de caga supeficial, donde C es una constante positiva y se mide a pati del cento del disco. Detemine el potencial eléctico del disco en el punto P. 6. Un disco plástico es cagado en un lado con una densidad de caga σ unifome y entonces es emovido el tece cuadante del disco. sumiendo ue el potencial = en el infinito, Cuál es el potencial eléctico debido a la distibución de caga estante en el punto P, el cual se encuenta sobe el eje cental del disco oiginal a una distancia z desde el oigen cental?. 61. Un cascaón esfeico delgado de adio, es colocado sobe un sopote aislante y cagado hasta alcanza un potencial. Entonces es lanzado un electon desde un punto P a una distancia desde el cento del cascaón ( >> ) con una velcoidad v, adialmente diigida hacia ella. Qué velocidad v se necsitaa dale al ele cton paa ue alcance a las justas la supeficie de la cáscaa antes de inveti su movimiento?. 6. En cieta egión del espacio, la función potencial ( x, y, z) x xy, está dada po la expesión donde el potencial es medido en voltios y la 195