Solución De La Ecuación De Difusión Usando El Método De Lattice-Boltzmann Y Diferencias Finitas

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1 Revsta Colombana de Físca, Vol. 43, No. 3 de 20. Solucón De La Ecuacón De Dfusón Usando El Método De Lattce-Boltzmann Y Dferencas Fntas Soluton Of The Dffuson Equaton Usng Lattce-Boltzmann And Fnte Dfference F. Fonseca * a, B. Romero a a Departamento de Físca, Unversdad Naconal de Colomba, Sede Bogotá. Recbdo ; Aceptado 2.0.; Publcado en línea Resumen En este trabajo se presenta la solucón de la ecuacón de dfusón en dos dmensones, usando el método de Lattce- Boltzmann (LB) y el método de dferencas fntas (DF ). El propósto fundamental de este manuscrto es dar una ntroduccón clara y detallada desde el punto de vsta algebraco, sobre el tratamento LB y su comparacón con un método estándar de dferencas fntas. Palabras Clave: Ecuacón de dfusón, lattce-boltzmann, Dferencas fntas.. Abstract Ths paper presents the soluton of the dffuson equaton n two dmensons, usng the Lattce-Boltzmann method (LB) and fnte dfference dscretzaton method (FD). The man purpose of ths manuscrpt s to gve a clear and detaled ntroducton on the analytcal treatment of LB and ts comparson wth a standard method such as fnte dfference. Keywords: Dffuson equaton, lattce-boltzmann, Fnte dfference. PACS:. c 20. Revsta Colombana de Físca. Todos los derechos reservados.. Desarrollo Lattce-Boltzmann La ecuacón de Boltzmann descrbe la evolucón temporal de la funcón de dstrbucón de una partícula f( x, t), la cual al ser dscretzada se converte en el método de lattce- Boltzmann f ( x, t), usando la referenca [], es: f ( x + e t, t + t) = f ( x, t) + ω (f( x, t)) () donde Ω es el operador de colsón local el cual descrbe las reglas de nteraccón local en la colsón de las partículas. Usando la aproxmacón B.G.K. [2] (Batnaghar Gross and Crook), el operador de colsón es: Ω = ( f ( x, t) f eq ( x, t) ) (2) τ Aquí f eq ( x, t) es la funcón de dstrbucón de equlbro y la cantdad /τ mde la razón de cambo en la aproxmacón * frfonsecaf@unal.edu.co del sstema al equlbro estadístco. Defnendo a t = obtenemos para la ecuacón de lattce-boltzmann: f ( x + e, t + ) = ( ω)f ( x, t) + (f eq ( x, t)) (3) La funcón de equlbro se expande en sere perturbatva f = f 0 + ɛf + f +... = ɛ j f j (4) j=0 Tenendo en cuenta térmnos lneales en el parámetro de expansón ɛ y expandendo en sere de Taylor a f ( x+ e, t+), logramos: f ( x+ e, t+) = f ( x, t)+ x e, f ( x, t)+ t f ( x, t)+... (5)

2 Rev.Col.Fís., Vol. 43, No. 3 de 20. Igualando las ecuacones (3) y (5) ( ω)f ( x, t) + (f eq ( x, t)) = f ( x, t) (6) + x e, f ( x, t) + t f ( x, t) +... Y usando la ecuacón (4) ω(f 0 + ɛf ) + (f eq ( x, t)) = (7) + x e, f ( x, t) + t f ( x, t) +... Por lo tanto de la ecuacón (7): Asumendo f 0 ɛf = (f 0 f eq ) (8) ω e, f ( x, t) ω tf ( x, t) = f eq, obtenemos ɛf = ω e, f ( x, t) ω tf ( x, t) () Podemos expandr las dervadas espacales y temporales: Usando la ecuacón de dfusón t = ɛ t + (2) t (0) x = ɛ + (2) () t = Dδ, ( x )( x ) (2) ɛ t + (2) t = Dδ, (ɛ + (2) ) (3) (ɛ + (2) ) Igualando orden por orden, obtenemos: ɛ t = 0 (4) Dδ, = (2) t (5) Dδ, ɛ 3 ( (2) + (2) ) = 0 (6) Dδ, ɛ 4 ( (2) (2) ) = 0 (7) Usaremos la ecuacón (5) para capturar el fenómeno de dfusón. De tal forma que podemos consderar las dervadas espacales y temporales como: t = ɛ t + (2) t (2) t (8) x = ɛ + (2) ɛ () Se puede entender las ecuacones (8) y () como un escalamento, el cual manfesta el proceso de dfusón sobre grandes escalas espacales. De tal forma que la ecuacón (), se converte en: ɛf = ω ɛ() e, f ( x, t) ω ɛ2 (2) t f ( x, t) (20) Se defne: f ( x, t) = f 0 ( x, t) = φ( x, t) (2) La ecuacón de dfusón es lneal, por lo tanto, se puede suponer: f 0 = γ 0 + γ φ (22) Insertando la ecuacón (22) en (2), obtenemos: f 0 = φ 4 (23) Defnendo las relacones tensorales para las componentes de la velocdad en la red: e = 0 (24) e, e, = 2δ, (25) e f 0 = φ 4 e = 0 (26) Usando la relacón de conservacón de la dstrbucón sobre la red: (f ( x + e, t + ) f ( x, t)) = 0 (27) Expandendo en sere de Taylor f ( x + e, t + ), tenemos: (f + ɛ x () e, f + (2) t f (28) + 2 ɛ2 e, e, f f ( x, t)) = 0 (ɛ x () e, f + (2) t f + 2 ɛ2 x () x () e, e, f ) = 0 Expandendo la dervada + ɛ e, f = ɛ e, f () = (2) e, f (0) (30) e, f () 56

3 B. Romero, F. Fonseca: Solucón De La Ecuacón De Dfusón Usando El Método De Lattce-Boltzmann Y Dferencas Fntas Usando la ecuacón (20) en (30) 2. Desarrollo Lattce-Boltzmann ɛ e, (ɛf () ) = (3) ɛ x () e, ( ω ɛ() e, f ( x, t) ω ɛ2 (2) t f ( x, t)) Expandendo f ɛ2 ω = ɛ2 ω () x () Usando ecuacón (25) e, ( e, f (0) + ɛ (2) t f (0) ) (32) Regresando a la ecuacón (2) 2ω δ, φ = e, e, f (0) = ɛ2 2ω δ, φ (33) ( (2) t f + 2 ɛ2 x () x () e, e, f ) 2ω δ, x () x () φ = (2) t Usando nuevamente la ecuacón (25) 2ω δ, φ = (2) t f ɛ2 (34) e, e, f (0) (35) φ + δ, 4 ɛ2 φ (36) 2ω 2() x φ 4 ɛ2 x 2() φ = (2) t φ (37) 2ω 2 xφ 4 2 xφ = t φ (38) Usando la ecuacón () y expandendo la funcón de dstrbucón y las dervadas espacales y temporales en potencas de ɛ, basados en la referenca [3], obtenemos: f = f (0) + ɛf () + f (2) +... t = ɛ t + 2x +... x = ɛ x +... (4) Reemplazando las ecuacones (4) n la ecuacón () e gualando orden por orden en ɛ, obtenemos: + u = 0. (42) u + Π(0) = 0, (43) Donde φ, u son las cantdades macroscópcas defndas como: φ = f (0), u = v f (0) (44) Y el tensor Π (0) es: Π (0) = v v u f (0) (45) Defnmos las componentes dagonales como la dervada temporal de φ, donde D es una constante, entonces: Π (0) = D ( 0 0 ) (46) Reemplazando la ecuacón (46) en las ecuacones (43), obtenemos: u + D ( ) = 0 (47) Ahora ntercambando dervadas: Asumendo ( u + D (φ)) = 0 (48) u + D (φ) = 0 (4) 2 ( ω 2 )2 xφ = t φ (3) D 2 xφ = t φ Tomando la dvergenca de la ecuacón (4) y usando (42), obtenemos: φ + D 2 (φ) = 0 (50) Con Por lo tanto, la ecuacón de dfusón es: D = 2 ( ω 2 ) (40) φ = D 2 (φ) (5) 57

4 Rev.Col.Fís., Vol. 43, No. 3 de La funcón de equlbro Fg. : Red de velocdades d2q. Usamos la rejlla de velocdades d2q, ver fgura () [], en las cuales las velocdades v y los pesos w, sobre cada celda son: w = { 4 f = 0 f =, 2, 3, 4 36 f = 5, 6, 7, 8 (52) Tanto las dreccones v como los pesos w, sguen las sguentes relacones: w v, = 0 (53) w v, v, = 3 δ, (54) w v, v, v,γ = 0 (55) Se asume la sguente funcón de equlbro { f (eq) w [A v = u + B] f > 0 w 0 C otherwse = 0 (56) Se pueden encontrar las constantes A, B y C en la funcón f (eq), usando las defncones de las cantdades macroscópcas φ, u, el tensor Π (0), y la ecuacones (46), (52), (53), (54) y (55). Entonces: Y φ = 5 B + 4 C (57) C = 4 φ D 5 4 Por lo tanto la funcón de equlbro es:, f (eq) = { ) 3w ( v u + D 4 w 0φ D 5 4 f > 0 otherwse = 0 (58) (5) 3. Método de dferencas fntas Se dscretzan, tanto las coordenadas espacales δx y δy, como la temporal δt, y la funcón φ( r, t), usando el esquema FTCS, ([4]). Entonces, las dervadas espacales y temporal quedan defndas como: x = φm +,j φm,j δx y = φm,j+ φm,j δy y = φm,j+ φm,j δt Y las segundas dervadas espacales (60) (6) (62) x 2 = φm +,j 2φm,j + φm,j δx 2 (63) y 2 = φm,j+ 2φm,j + φm,j δy 2 (64) 2 = φm,j+ 2φm,j + φm,j δt 2 (65) Reemplazando en la ecuacón (3), y asumendo δx = δy, tenemos: φ k+,j = φ k,j + r(φ k,j+ + φ k,j (66) 4φ k,j + φ k +,j + φ k,j) Los superíndces etquetan la dscretzacón temporal, y los subíndces la dscretzacón espacal. Aquí r es dado por. r = Dδt δx 2 (67) El error se puede consderar como una expansón en ondas planas debdo al caracter lneal de la ecuacón: E,j (x, y, t) = e at e lkx e lkjy (68) Donde l es el número magnaro (usualmente conocdo como, pero en nuestra notacón lo usamos para etquetar la dscretzacón). Reemplazando en la ecuacón (66) e a(t+δt) e lkx e lkjy = e a(t) e lkx e lkjy (6) + Dδt δx 2 (ea(t) e lk(x) e lkj(y+δy) + e a(t) e lk(x) e lkj(y δy) 4e a(t) e lkx e lkjy e a(t) e lk(x+δy) e lkj(y) + e a(t) e lk(x δy) e lkj(y) ) Defnendo el factor de amplfcacón Por lo tanto A = ea(t+δt) e lkx e lkjy e a(t) e lkx e lkjy (70) e a(δt) = + Dδt δx 2 (elkj(δy) + e lkj( δy) (7) 4 + e lk(δx) + e lk( δx) ) 58

5 B. Romero, F. Fonseca: Solucón De La Ecuacón De Dfusón Usando El Método De Lattce-Boltzmann Y Dferencas Fntas Usando un poco de álgebra e a(δt) = 4 Dδt δx 2 (sn2 ( k δx 2 ) + sn2 ( k jδy 2 ))(72) La condcón de establdad: 4 Dδt δx 2 (sn2 ( k δx 2 ) + sn2 ( k jδy )) (73) 2 Por lo tanto Dδt δx 2 (74) 2 4. Resultados y Conclusones En los tres métodos empleados, seccones, 2 y 3, se desarrollan las smulacones sobre una red (50x50), usando una Gaussana como pulso ncal a propagar y con coefcente de dfusón D = 5x0 5. Los resultados se aprecan en las fguras (2), (3) y (4). Fundamentalmente, los tres métodos presentan solucones smlares, las cuales, las gráfcas no dferencan. Se ha comparado la solucón de la ecuacón de dfusón en dos dmensones, usando dos procedmentos con la técnca de Lattce-Boltzmann y un tercero dferencas fntas. La comparacón presenta un excelente acuerdo entre los tres resultados. De la msma forma, los tres desarrollos analítcos, son dados con el sufcente detalle algebraco, de tal manera, que el lector nteresado en el tema puede trabajar autónomamente y formarse una dea cercana de los métodos. Por otra parte, los dos algortmos de lattce-boltzmann pueden ser extenddos fáclmente a tres dmensones usando otras redes, e.g., d3q, mostrando la potenca de los métodos, lo cual contrasta fuertemente con la dfcultad de la aproxmacón analítca al problema. 5. Agradecmentos Fg. 2: Perfl de dfusón método seccón. Este trabajo fue fnancado por la Unversdad Naconal de Colomba en la Dvsón de Investgacón sede Bogotá con número de proyecto (DIB ). Referencas [] D. Wolf-Gladrow. Lattce-Gas cellular Automata and Lattce Boltzmann Models: An Introducton (Lectures n Mathematcs), Sprnger-Verlag, (2000). [2] P.L. Bhatnagar, E.P. Gross, M. Krook, A Model for Collson Processes n Gases. I. Small Ampltude Processes n Charged and Neutral One-Component Systems, Physcal Revew, 4 (54), 5. Fg. 3: Perfl de dfusón método seccón 2. [3] F. Fonseca, Procesos de Dfusón Anómala usando Lattce Boltzmann, Revsta Colombana de Físca, Vol. 42, No. 2, (200). [4] J. C. Tannehll, D. A. Anderson y Rchard H. Pletcher, Computatonal Flud Mechancs and Heat Transfer (2nd ed.) Taylor & Francs. (7) ISBN X. Fg. 4: Perfl de dfusón método seccón 3. 5