Comparación entre el análisis 2-D y el Método de la Densidad de Fuerzas (discreto) para el equilibrio en estructuras de membrana

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1 Informes de la Construcción Vol. 65, 531, , julio-septiembre 013 ISSN: eissn: doi: /ic Comparación entre el análisis -D el Método de la Densidad de Fueras (discreto) para el equilibrio en estructuras de membrana he -D continuous analsis versus the Densit Force Method (discrete) for structural membrane equilibrium G. Viglialoro ( * ), J. Murcia ( ** ), F. Martíne ( *** ) RESUMEN Este trabajo analia el problema del equilibrio de una membrana propone una comparación entre el conocido Método de la Densidad de Fueras, discreto unidimensional (1-D), que aproima la superficie de la membrana mediante una red espacial de cables, el método continuo bidimensional (-D) sobre la propia superficie. Aunque el Método de la Densidad de Fueras representa una estrategia práctica útil en el diseño de estructuras de membrana, se comprobará que el análisis continuo bidimensional no solo es más preciso general sino que es más fiable, especialmente en aquellos casos en los que la membrana es el mismo tablero de una estructura portante (por ejemplo, una pasarela). En particular, una ve resumido el Método de la Densidad de Fueras, se planteará el problema continuo del equilibrio de membrana. A continuación se definirá un proceso de comparación entre ambos métodos, analiándolo por medio de ejemplos concretos. Finalmente, se señalarán algunas conclusiones Palabras clave: Membrana; pasarela; ecuaciones de equilibrio; aproimación 1-D discreta; análisis -D contínuo. SUMMARY his paper deals with the equilibrium problem of a membrane, presenting a comparison between the well-known 1-D discrete Force Densit Method, using spatial cable networks as membrane surface approimations, and the -D continuous analsis of such a surface. Although Force Densit is a practical and powerful method in structural membrane design, it will be checked that the -D continuous analsis is not onl more accurate and general but necessar for new structural membrane applications such as footbridges. In this wa, once summaried the discrete Densit Force Method, the continuous approach is presented. hen, a comparison process between both methods is proposed, being developed for specific membrane eamples. Finall, some conclusions are pointed out. Kewords: Membrane; Footbridge; equilibrium equations; 1-D discrete approahc; -D continuous analsis. ( * ) Universidad de Cádi, (España). ( ** ) Instituto de Ciencias de la Construcción Eduardo orroja (CSIC), Madrid (España). ( *** ) Universidad Politécnica de Cataluña, Barcelona (España). Persona de contacto/corresponding author: (G. Viglialoro) Recibido/Received: 1 jun 011 Aceptado/Accepted: 03 oct 01 Publicado online/ Published online: 13 jun 013

2 G. Viglialoro, J. Murcia, F. Martíne NOACIONES Si f(,) es una función de dos variables, utiliaremos la siguiente convención: f f f,1 f, f, f, f f f,11 f, f, f, f f f f f f,1,,,1 Si t :τ αβ (α 1, β 1,) es un tensor del segundo orden, utiliaremos la siguiente convención: div(t f ) es la divergencia del vector t f se define como τ11 τ τ τ τ τ τ τ Si M es una matri, M indica su traspuesta 1. INRODUCCIÓN 1 1 ( τ f ) αβ, α, β β 1α 1 La idea de usar estructuras de membrana en aplicaciones portantes como las pasarelas (1) justifica el empleo de métodos de diseño cálculo ajustados, mediante el análisis de la membrana tomándola como superficie no con otra aproimación; esto es, un análisis continuo bidimensional (-D). En efecto, con relación a otras, tales aplicaciones no solo suponen maor responsabilidad estructural de uso maores esfueros (cargas de uso, alto pretensado formas rebajadas de la membrana) sino que también requieren de la precisa definición previa de los esfueros de pretensado, asociados a la adecuada rigide estructural en la fase de servicio. Por otro lado, el Método de la Densidad de Fueras ha representado representa un procedimento mu práctico útil para el diseño el cálculo de estructuras de membrana. Es un método discreto, unidimensional (1-D), basado en aproimar la membrana por una red de cables considerar su equilibrio () (3). Entonces, actuando de modo estratégico, al suponer conocida a priori la relación entre la tracción la longitud de cada cable, el planteamiento del equilibrio conduce a un sistema lineal que proporciona la posición de los puntos (nodos de la red) que definen la membrana. En lo referente al análisis continuo -D, en el conteto a citado, recordando que solo ha tracciones, la membrana se identifica a una superficie de curvatura gaussiana negativa sus esfueros a un tensor positivo de segundo orden. El equilibrio se epresa directamente por medio de ecuaciones en derivadas parciales, una de las cuales involucra a productos entre variables asociadas a la forma de la membrana al tensor de esfueros ((4) para los detalles). Así, para un tensor de esfueros dado, la forma de la membrana representa la incógnita del problema; viceversa. Con relación al análisis -D, el Método de la Densidad de Fueras, además de lo que supone la propia aproimación 1-D en sí, tiene una limitación: no se pueden definir controlar a priori las tracciones de los cables que modelan los esfueros de la membrana. Este aspecto es relevante en aplicaciones como las pasarelas, donde importa la definición previa precisa de los esfueros de pretensado de la membrana. En la literatura, el análisis de las membranas se ha centrado bastante en lo referente al problema de la búsqueda de forma de la membrana, con el empleo de diversos métodos 1-D -D basados en técnicas estáticas o dinámicas para su resolución (ver, por ejemplo, (5) (6) (7) (8) para análisis 1-D (9) (10) para -D). En general, estos métodos pasan por un proceso de minimiación de energía que lleva, a través de la resolución de un sistema en términos de desplaamientos nodales, a una cierta configuración de equilibrio de la membrana, que proporciona justamente su forma final. Así, está claro que la membrana se deforma. Sin embargo la forma de la membrana puede obtenerse de un modo más directo, empleando únicamente las ecuaciones de equilibrio. En particular, como se ha visto, los procedimientos presentados al principio, uno -D el otro 1-D, se basan en el análisis del equilibrio de la membrana; esto es, solo en términos de sus ecuaciones de equilibrio, sin introducir ningún tipo de deformación. Por tanto, parece coherente establecer un paralelismo entre estos dos métodos de análisis. Por otro lado, mientras el método 1-D se usa para obtener la forma de la membrana, el análisis continuo -D es general, con una casuística (4) ajena a estas páginas. Así, el objetivo principal de este trabajo es la comparación de ambos, por tanto, su punto de partida es el problema del equilibrio de una membrana con el fin de conocer su forma. En la comparación, como se verá, se intenta etraer al límite, aunque de modo consistente, la información que proporcionan los resultados 1-D. 350 Informes de la Construcción, Vol. 65, 531, , julio-septiembre 013. ISSN: eissn: doi: /ic

3 Comparación entre el análisis -D el Método de la Densidad de Fueras (discreto) para el equilibrio en estructuras de membrana he -D continuous analsis versus the Densit Force Method (discrete) for structural membrane equilibrium. ECUACIONES DE EQUILIBRIO EN LA MEMBRANA En esta sección trataremos las ecuaciones de equilibrio de una membrana. Se empeará por resumir analiar el método discreto de la Densidad de Fueras (1-D), a continuación, se presentará estudiará el correspondiente problema continuo (-D)..1. Solución discreta 1-D El Método de la Densidad de Fueras se basa en considerar la membrana como una red de cables. Propuesto por Linkwit Scheck en el 1971 () (11), el método utilia una simple estrategia matemática que transforma las ecuaciones de equilibrio de los nodos en un conjunto de ecuaciones lineales de fácil resolución, que permiten conocer la posición de los nodos, esto es, la forma de la membrana. Resumamos el método. Una ve elegido un cierto grafo, red o malla espacial que permite solo conocer las coneiones entre los nodos que definen la membrana, se incluen las condiciones de contorno, fijando algunos de los nodos del grafo, se impone el equilibrio en todos los nodos. La Figura 1 muestra un ejemplo concreto en el cual las posiciones de los nodos 1,, 3, 4 han sido previamente establecidas; la incógnita del problema es la posición final del nodo 5, en el que se supone actúa una fuera eterna f 5 ( f 5, f 5, f 5 ). Las longitudes l ij que aparecen en el denominador dependen de las posiciones nodales, que son las incógnitas; esto hace que el sistema definido anteriormente sea no lineal. Es posible linealiar estas ecuaciones introduciendo para cada elemento las densidades de fueras [3] tij [3] qij, l cuos valores, que han de conocerse, se fijan a priori. Para una estructura general de n nodos b elementos (cables, barras, etc.), se considera la matri de incidencia C compuesta por b filas n columnas. Esta matri describe la conectividad de la estructura queda definida de la siguiente manera: si un elemento une los nodos i j, entonces la correspondiente fila tiene +1 en la columna i 1 en la columna j. ras esto, las ecuaciones de equilibrio a lo largo de la dirección se escriben, entonces, como [4] [4] siendo Q la matri diagonal b b que contiene las densidades de fuera, es el vector columna que recoge las coordenadas i, f es el vector columna que recoge las componentes en la dirección de las fueras nodales. De la misma forma, pueden escribirse ecuaciones similares en términos de las coordenadas. ij C QC f, 1. Ejemplo de red de cables (grafo) para el Método de la Densidad de Fueras.. Membrana tensores de esfueros. 1 Si t i5 indica la tracción a lo largo del cable i 5 (i 1,, 3, 4), las ecuaciones de equilibrio a lo largo de la dirección para el nodo i son [1] n tij [1] ( i j) f i, l siendo [] [] j 1 ij l ( ) + ( ) + ( ) ij i j i j i j Si, además, se fijan las coordenadas de k (0 < k < n) nodos, C puede representarse como C [C u C f ], donde el subíndice u indica la matri correspondiente a los nodos desconocidos f se refiere a la matri de los fijados. En esta última epresión C u (o bien C f ) es una matri b (n-k) (o bien b k) obtenida escogiendo b filas n-k (o bien k) columnas de C; a partir de ello, la ecuación [4] puede escribirse como [5] [5] C QC f C QC, u u u u f f donde C u C f, u f representan las matrices de incidencia los vectores columna relativos a los nodos incógnitos conocidos, respectivamente. Informes de la Construcción, Vol. 65, 531, , julio-septiembre 013. ISSN: eissn: doi: /ic

4 G. Viglialoro, J. Murcia, F. Martíne 3. ensor de esfueros proectados. 4. Proecciones verticales del tensor de esfueros Ñ αβ. La solución de la ecuación [5] para la dirección, junto con las correspondientes ecuaciones en las direcciones, proporcionan el conjunto de todas las coordenadas nodales del grafo, es decir la forma final de la membrana. Como se justificará en la sección.., al plantear este problema de equilibrio para conocer la forma de la membrana en la fase de pretensado, las cargas eternas se toman nulas; esto implica que el sistema anterior se simplifica en el siguiente [6] [6] C QC C QC. u u u u f f En una estructura formada por cables a tracción todas las densidades de fueras son positivas, esto es q ij >0. Así, CuQC urepresen- ta una matri definida positiva, por tanto, invertible; por consiguiente, el problema [4] siempre proporciona solución única... Solución continua -D Siguiendo la misma línea del trabajo (4), identifiquemos la membrana con una superficie S de curvatura gaussiana negativa, gráfica de una función de dos variables (,) definida en un dominio Ω R (véase la Figura, que representa un elemento diferencial ds de superficie su proección dω). La Figura 3 muestra el plano tangente (aproimación local del elemento ds) el tensor de esfueros, ambos proectados en el plano O. De nuevo, se trata de obtener la forma de la membrana en la fase de pretensado. El peso de la membrana es mu bajo así, para tensiones de pretensado mu altas como aquí se supone, es relativamente insignificante puede ser despreciado. De esta forma, tal como se hio en la sección.1., no se considerará ninguna carga eterna. [7] N N + N,, + N,, 0 0 Como se muestra en la Figura 4, las epresiones de las componentes verticales de los esfueros de membrana Ñ αβ pueden calcularse en términos de N αβ de las pendientes de la superficie S. Entonces, el equilibrio vertical se epresa como [8]: [8] ( N, + N ), + ( N, + N, ), 0 esto es [9], (N + N, ) +, (N [9] + N + N, + N,, +, N,, 0 Usando el sistema [7], la ecuación [9] se simplifican de modo que el equilibrio en términos de N αβ se escribe como [10] (4): [10] N, + N, 0 N, + N, 0 N, + N, + N, 0 Siempre en el trabajo (4), las mismas ecuaciones de equilibrio se obtienen también a partir directamente de los esfueros de membrana Ñ αβ (asimismo, fuera por unidad de longitud); en efecto, usando la relación entre los esfueros N αβ los esfueros de membrana Ñ αβ, es decir [11]: 1+, N Ñ 1+, cos β Ñ, 1+, 1+, [11] N Ñ 1+, cos α Ñ, 1+, 1+, 1+, N Ñ Ñ N, 1+, 1+, (ver Figuras 4), se obtiene el mismo sistema [10]. ) Si N αβ (α, β 1,) indica el tensor de esfueros de membrana proectados (esto es, fuera por unidad de longitud), las ecuaciones de equilibrio en el plano horiontal se resumen en el sistema [7]: 3 ras ello, fijado el tensor (positivo) de esfueros queda por determinar la forma de la membrana. Formulación del problema continuo Sea σ: N αβ un tensor de esfueros positivo simétrico definido en un dominio Ω R, tal que [1]: [1] N N + N,, + N,, 0 N 0 0 α 1, αβ, β β Informes de la Construcción, Vol. 65, 531, , julio-septiembre 013. ISSN: eissn: doi: /ic

5 Comparación entre el análisis -D el Método de la Densidad de Fueras (discreto) para el equilibrio en estructuras de membrana he -D continuous analsis versus the Densit Force Method (discrete) for structural membrane equilibrium Sea, además, g la función definida sobre el borde Γ Ω de Ω cuos valores fijan la forma del borde espacial de la membrana: hallar la superficie (,) definida en Ω, de manera tal que [13]: [13] N + N + N div( σ ),,, 0 en Ω, g sobre Γ. Se puede demostrar que este problema tiene una única solución, estable con respecto a eventuales perturbaciones de los datos de contorno. De hecho el sistema [10] es un problema elíptico con condiciones de Dirichlet, cua solución está caracteriada por ser la función que minimia un cierto funcional energético (ver los detalles en (4)). En general, no es posible minimiar por medio de epresiones analíticas dicho funcional; por lo cual es preciso recurrir a métodos numéricos, discretiando el continuo, que proporcionan soluciones aproimadas. En particular, utiliando el Método de los Elementos Finitos (ver por ejemplo (1) (13)), una ve establecida una malla para Ω, indiquemos con n t el número de nodos total en Ω n b el número de nodos del borde Γ. Utiliando las aproimaciones [14]. [14] (N j representan las funciones de forma lineales definidas en Ω Γ, respectivamente), la solución del sistema [10] es [15]. [15] n t j j 1 N siendo G la matri simétrica obtenida invirtiendo K A A 0 En las epresiones anteriores, ( 1,,..., n ) g (g 1, g,..., g n ) indican los valores nodales de g, K la matri simétrica (n t n t ) de rigide cuos elementos se calculan por medio de las epresiones K ij N i σ N j dω, A la matri (n b n t ) de los multiplicadores de Lagrange, que almacena los datos relativos a las condiciones de contorno (ver (1)), 0 la matri (n b n b ) nula..3. Algunas observaciones sobre los métodos continuo discreto j Gg, Es útil remarcar que el problema continuo -D determina la forma continua de la membrana, proporcionando la epresión de la superficie por medio de la fórmula [15], siempre cuando se conocan previamente la distribución de esfueros de membrana en cada punto así como su frontera espacial (condición de contorno). Como se ha comentado, la forma de la membrana es estable con los datos; más eactamente, a g n b j j 1 g N j una pequeña variación de los datos de frontera (forma espacial del borde) corresponde una pequeña variación de la solución (forma general de la membrana). Por lo contrario, el Método de la Densidad de Fueras determina la forma discreta de la membrana, proporcionando la posición espacial de todos sus nodos (fórmula [6]), siempre cuando se conocan las densidades de fueras relativas a cada cable que identifica la membrana así como los puntos fijos que definen el borde espacial de la misma (condición de contorno). Contrariamente a lo que ocurre en el enfoque bidimensional, se puede comprobar (ver (14)) que, en general, la solución es sensible con respecto a la variación de los datos de borde que depende del tipo de grafo utiliado (triangular, cuadrangular, etc). La abla 1 resume los dos enfoques, recogiendo para cada método los pasos correspondientes para su resolución. En particular, puede apreciarse que el método -D proporciona una relación directa entre esfuero forma, al contrario de lo que ocurre para el método 1-D. En efecto, el enfoque discreto no permite definir a priori las tracciones de los cables, sino que pueden conocerse solo usando la fórmula [3], es decir, al finaliar el proceso. abla 1. Esquema resumen para los métodos continuo discreto. Método Método discreto 1-D Método continuo -D Datos Solución Post proceso 3. COMPARACIÓN ENRE EL ANÁLISIS DEL EQUILIBRIO 1-D Y -D En esta sección se propone un proceso de comparación entre los dos tipos de análisis de equilibrio, discreto continuo, previamente estudiados Proceso de comparación Grafo para Ω (grafo proectado) Densidades q ij Valores de borde g i Vectores de posición de los nodos, dados por el sistema [6] racciones de los cables [3]: l ij t ij q ij l ij Partiendo de la solución 1-D del Método de la Densidad de Fueras, se pretende etrapolarla de forma coherente en lo posible a una solución -D, con el objetivo de comparar la anterior con la que resulta directamente del método continuo -D. Para ello, se seguirá el siguiente esquema: I. Resolución de un problema de equilibrio de membrana a través de la apro- Malla para Ω ensor Nαβ Función de borde g Función continua dada por el sistema [15] Informes de la Construcción, Vol. 65, 531, , julio-septiembre 013. ISSN: eissn: doi: /ic

6 G. Viglialoro, J. Murcia, F. Martíne 5. Red de cables (membrana) tracciones (de los cables) proectadas para el nodo i. 6. Fuera en el nodo i definición del tensor de esfueros. imación 1-D, en el caso de un grafo cuadrangular considerando todas las densidades de fueras constantes, esto es, (solución del sistema [6]). II. Definición punto a punto, en los nodos, de los esfueros proectados,, tomando en cuenta los valores de las tracciones obtenidos tras el apartado I (post proceso). III. Aproimación continua en todos los puntos del dominio de los esfueros, a partir de los valores puntuales definidos en el apartado II de manera que verifiquen todas las propiedades del tensor continuo -D. IV. Resolución del problema de equilibrio de membrana mediante el análisis continuo -D, tomando como tensor el definido en el apartado III como condiciones de contorno las establecidas en el apartado I (solución del sistema [15]). Sin duda alguna, la clave de este proceso es definir adecuadamente los esfueros N αβ punto a punto en términos de las tracciones t ij (apartado II), calculadas por resolución del problema 1-D (apartado I). Observemos las Figuras 5 6, que identifican el equilibro 3-D del nodo i para las tracciones de los cables A, B, C D (color negro) que aproiman la membrana, el mismo equilibrio para las tracciones proectadas a(a,a ), b(b,b ), c(c,c ) d(d,d ), en color aul. Vamos a considerar, por ejemplo, el esfuero N. eniendo siempre en cuenta la relación t ij l ij siendo el esfuero longitudinal N la fuera en la dirección dividida por la longitud del lado en el cual esta actúa, es natural la siguiente definición: [16] a + c [16] N b + d Raonando de la misma forma para los demás esfueros N, N N, es natural definir el tensor de esfueros puntuales N αβ en términos de las tracciones proectadas de los cables por medio de estas epresiones: [17] [17] a+ c N b + d b + d N a+ c a + c N b + d b+ d N a+ c En general, los valores N N obtenidos en [17] difieren entre sí. Para obtener la simetría necesaria, se tomará el valor medio (N + N ) / para N N. Con el objetivo de proporcionar una distribución continua coherente de los esfueros N αβ, se consideran polinomios que aproimen los valores nodales previamente definidos. Por supuesto, como estos polinomios pueden no verificar todas las propiedades del tensor N αβ (apartado III), se operará fijando una aproimación para N hallando las epresiones de los esfueros restantes mediante la integración de las relaciones: [18] [18] N αβ, β β 1 0 ras todo ello, se puede resolver el problema continuo por medio del paso IV. 3.. Algunos ejemplos del proceso de comparación Vamos a desarrollar el proceso definido en la sección 3.1. por medio de algunos ejemplos. al como se ha analiado en detalle en el artículo (4), el problema continuo definido por las ecuaciones [1] [13] está bien planteado; en particular el método numérico empleado en el mismo trabajo proporciona una aproimación mu coherente con respeto a la solución eacta, también en los casos en que la malla utiliada no sea ecesivamente fina. Debido a todo ello, tomaremos como solución de referencia la obtenida por el método -D, la denotaremos con con. De esta forma, es posible definir el error relativo e como: [19] [19] e con dis siendo dis la solución correspondiente al problema discreto (ecuación [6]). con (α 1,) Informes de la Construcción, Vol. 65, 531, , julio-septiembre 013. ISSN: eissn: doi: /ic

7 Comparación entre el análisis -D el Método de la Densidad de Fueras (discreto) para el equilibrio en estructuras de membrana he -D continuous analsis versus the Densit Force Method (discrete) for structural membrane equilibrium Para entender mejor la comparación propuesta poder obtener resultados en parte realistas, se analiarán dos ejemplos, definidos respectivamente en un dominio rectangular otro no rectangular. El segundo ejemplo, con bordes laterales cóncavos, más propio de las pasarelas de membrana con cables laterales de borde, se asemeja, en particular, al del prototipo real descrito analiado en la referencia (1). Conviene subraar que, en dichos ejemplos, las dimensiones de t ij, N αβ las variables de longitud, no reflejadas en los resultados, deben ser coherentes; por ejemplo, kn, kn/m m. Además, con el fin de simplificar el análisis, nos centraremos en el comportamiento del error en el origen O de los ejes. En los ejemplos que siguen, tomaremos particiones del dominio plano definiendo en cada dirección una distribución de puntos del tipo (k+1) (k+1), con k 1,, 3, 4, 5 ; dicha partición, tal como se analia en la tesis (14), garantia una convergencia rápida del método de la Densidad de Fueras. Ejemplo 1 Dominio rectangular: R[-5,5] [-,] (Figuras 7, 8 9). A. Forma de la membrana en el borde: parabólica constante (q ij 1) Sea (± 5, ) 0,5 (, ± ) omando para R una partición del grafo del tipo (k+1) (k+1), los esfueros obtenidos utiliando las epresiones del sistema [17] no dependen de la densidad de la malla (esto es, del valor elegido por k) se mantienen constantes nodo por nodo para cualquier partición. En particular, los valores son N,5; N N 0 N 0,4 en todos los puntos; por consiguiente la aproimación polinomial del apartado III no es necesaria. En estas condiciones, utiliando la partición correspondiente a k8, el valor numérico en el origen O (0,0) para la solución discreta dis vale 1,1789. Por otro lado, resolviendo el problema bidimensional (-D) utiliando los valores 7. Ejemplo 1-A: resultado gráfico de la solución. a. Gráfica de la solución discreta. b. Gráfica de la solución continua. 8. Ejemplo 1-B: resultado gráfico de la solución. a. Gráfica de la solución discreta. b. Gráfica de la solución continua. 8. Ejemplo 1-C: resultado gráfico de la solución. a. Gráfica de la solución discreta. b. Gráfica de la solución continua. 7a 7b 8a 8b 9a 9b Informes de la Construcción, Vol. 65, 531, , julio-septiembre 013. ISSN: eissn: doi: /ic

8 G. Viglialoro, J. Murcia, F. Martíne 10. Malla cuadrangular de 89 nodos para un dominio no rectangular; caso k8 11. Ejemplo : resultado gráfico de la solución. a. Gráfica de la solución discreta. b. Gráfica de la solución continua. calculados para los esfueros las mismas condiciones de contorno, el valor en el origen de la solución con vale 1,186. De esta manera, el error relativo resulta ser e con - dis / con 8, La Figura 7 muestra el resultado gráfico de la solución calculada por los dos métodos. B. Forma de la membrana en el borde: parabólica con curvaturas opuestas (q ij 1) Sea (±5, ) 0,5 (, ±) -0, Operando de la misma forma que antes los valores de los esfueros obtenidos resultan ser N,5; N N 0 N 0,4. Equivalentemente, en el origen O, dis vale 1,5875 con 1,5897, siendo el error relativo e con - dis / con 1, La Figura 8 muestra el resultado gráfico de las soluciones. C. Forma de la membrana en el borde: parabólica con curvaturas iguales (q ij 1) Sea (±5, ) 0,5 (, ±) -0, Operando de la misma forma que antes los valores de los esfueros obtenidos resultan ser N,5; N N 0 N 0,4. Equivalentemente, en el origen O, dis vale 0,766 con 0,7755, siendo el error relativo e con - dis / con 1, La Figura 9 muestra el resultado gráfico de las soluciones. Con relación al caso C, mostrado en la Figura 9, conviene insistir en que la membrana mantiene su curvatura de Gauss negativa; a pesar de que, por la forma del contorno, pareca inducirse lo contrario en ciertas onas. Al contrario de lo que ocurre en un dominio rectangular, tomando para Ω una partición del grafo del tipo (k+1) (k+1) los esfueros obtenidos por el sistema [17] no solo varían punto a punto sino que dependen de la compacidad de la malla. De esta forma, fijada la malla de elementos finitos de la Figura 10 para Ω, correspondiente una ve más en el grafo al valor k8, se calcula por aproimación una distribución continua de los valores de N αβ. En este caso particular, el ajuste polinomial (de cuarto grado) que se utilia proporciona estas epresiones aproimadas para los esfueros: 4 4 N 0, ,435 0,1 0,14 +,87 + 3,93, N 3 N 0,036+ 0, ,48, 3 N 0,054 0,14, que, como puede comprobarse, han sido justamente definidos de manera que cumplan todas las condiciones de equilibrio [0] [0] N αβ, β β Finalmente los valores de la solución dis con en el origen O(0,0) valen 1,5875 1,446, respectivamente. El correspondiente error relativo, esta ve sensiblemente superior a los casos anteriores (algo más del 11%), vale e con - dis / con 0,114. La Figura 11 muestra los resultados gráficos de las soluciones. Ejemplo 11a 3.3. Análisis de los resultados obtenidos 11b Dominio no rectangular: Ω{-5 5 -() ()}, siendo ()1+0,004 (Figuras 10 11). Forma de la membrana en el borde: parabólica con curvaturas opuestas (q ij 1) Sea (±5, ) 0,5 (, ±()) -0, Los ejemplos analiados muestran que el proceso de comparación propuesto devuelve errores significativos en problemas definidos sobre dominios generales (no rectangulares). Asociar estos errores únicamente a la compacidad de la malla a la aproimación matemática usada para definir la distribución continua de los esfueros, que no puede ajustarse a los valores eactos de los mismos, es incorrecto. 356 Informes de la Construcción, Vol. 65, 531, , julio-septiembre 013. ISSN: eissn: doi: /ic

9 Comparación entre el análisis -D el Método de la Densidad de Fueras (discreto) para el equilibrio en estructuras de membrana he -D continuous analsis versus the Densit Force Method (discrete) for structural membrane equilibrium Eiste una argumentación más profunda, íntimamente relacionada a la esencia del problema. En efecto, debido a la geometría curvilínea del dominio, los valores de los esfueros (sistema [17]) cambian en términos de la refinación de la malla, de manera que no ha posibilidad de asociarle al problema un determinado tensor de esfueros; por consiguiente no queda definida una única estructura. Por otro lado, el error entre las soluciones discretas continuas es prácticamente nulo si se consideran dominios rectangulares, esto es coherente con el proceso de comparación arriba planteado; profundicemos este comportamiento. 1 La Figura 1 identifica un rectángulo con una partición de tipo (k+1) (k+1). Es fácil comprobar que esta partición conserva las proporciones entre los lados que definen cada uno de los rectángulos que forman la malla. En efecto, a partir de las tracciones de los cables, el sistema [17] devuelve un tensor de esfueros diagonal N αβ, con coeficientes constantes, que verifica todas las propiedades del tensor continuo -D: [1] (ver Figura 13). [1] a + c N b + d b + d N a + c N 0 En consecuencia, el proceso de comparación proporciona una correspondencia bien precisa entre las tracciones de los cables propios del método 1-D los esfueros de membrana del método -D, de modo que es posible asociar al problema un determinado tensor de esfuero; por consiguiente queda definida una única estructura ANOACIONES Y CONCLUSIONES Este trabajo propone un procedimiento comparativo entre el Método de la Densidad de Fueras (análisis discreto 1-D) el análisis continuo (-D), ambos inherentes al problema de equilibrio de una membrana a tracción. Al referirse sendos problemas al cálculo al diseño de estructuras de membrana eclusivamente a través de las correspondientes ecuaciones de equilibrio, la comparación se establece en términos de la forma de la membrana de sus esfueros. En primer lugar, es importante remarcar que una limitación fundamental del Método de la Densidad de Fueras reside en que su utiliación no permite fijar los esfueros a priori, sino que los mismos, dependiendo de la forma final de la membrana, solo pueden calcularse cuando el proceso de resolución haa terminado. De esta manera, no es posible establecer una correspondencia directa entre los esfueros deseables para la membrana (previos al análisis) la forma de esta. Por el contrario, el análisis continuo -D implica un problema diferencial de contorno para un cierto tensor de esfueros dado, cua solución representa la forma de la membrana, esta ve íntimamente relacionada con el tensor previamente fijado. Por otra parte, el proceso de comparación parece reforar la idea de que en general no es posible estudiar con precisión el equilibrio de un continuo bidimensional, como es una membrana, a través de una red de cables. En efecto, la forma hallada por el Método de la Densidad de Fueras depende de la malla empleada; si bien la comparación demuestra que este mismo método se ajusta perfectamente al relativo problema bidimensional en casos singulares definidos sobre dominios rectangulares (nada habituales, por otra parte, en estructuras de membrana menos aún en aplicaciones como pasarelas). En resumen, para el diseño el cálculo de muchas estructuras de membrana el Método de la Densidad de Fueras sigue siendo indudablemente mu práctico oportuno. Sin embargo, el método de análisis continuo -D aquí mostrado no solo ofrece una alternativa más general precisa que la discreta, sino que también es la opción recomendable para el diseño el cálculo de estructuras de membrana en las que es preciso controlar previamente los esfueros en todo punto. odo ello concurre en aplicaciones portantes como las pasarelas, con gran responsabilidad estructural de uso, importantes esfueros necesidad de definir de manera previa ajustada los esfueros de pretensado. 1. Partición del tipo (k+1) (k+1) para un dominio rectangular. 13. Dominio rectangular: las direcciones principales coinciden con los ejes. Informes de la Construcción, Vol. 65, 531, , julio-septiembre 013. ISSN: eissn: doi: /ic

10 G. Viglialoro, J. Murcia, F. Martíne REFERENCIAS (1) Murcia, J. (007). ecnología de pasarelas con estructura de membrana. Informes de la Construcción, 59(507): () Linkwit, K. (1999). Form finding b the direct approach and pertinent strategies for the conceptual design of prestressed and hanging structures. International Journal of Space Structures, 14(): (3) Linkwit, K., Sheck, H. J. (1971). Einige Bemerkungen ur Berechnung von vorgespannten Seilnetkonstruktionen. Ingenieur-Archiv, 40: En alemán. (4) Viglialoro, G., Murcia, J., Martíne, F. (009). Problemas asociados al equilibrio en estructuras de membrana con bordes rígidos. Informes de la Construcción, 61(516): doi: /ic (5) Argris, J. H., Angelopoulos,., Bichat, B. (1974). A general method for the shape finding of lightweight tension structures. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 3: (6) Barnes, M. R. (1975). Applications of dnamic relaations to the design and analsis of cable, membrane and pneumatic structures. Proc. Int. Conf. Space Struct., Guildford. (7) Bathe, K. J. (198). Finite Element Procedures in Engineering Analsis. Englewood Clis, NJ Prentice-Hall. (8) Motro, R. (1984). Forms and forces in tensegrit sstems. In hird International Conference on Space Structures; Guildford; pp (9) Bonet, J., Mahane, J. (001). Form Finding of membrane structures b updated reference method with minimum mesh distortion. International Journal of Solids and Structures, 38(3-33): (10) Gemonat, G., Leger, A. (1999). Nonlinear Spherical Caps and Associated Plate and Membrane Problems. Journal of Elasticit, 57(3): (11) Sheck, H. J. (1974). he force densit method for form finding and computation of general net works. Computational Methods in Applied Mechanics and Engineering, 3(1): (1) Hughes,. J. R. (1987). he Finite Element Method. Linear Static and Dnamic Finite Element Analsis. Mineola, New York Dover Publications. (13) Zienkiewic, O. C., alor, R. L. (000). he Finite Element Method. Butterworth- Heinemann. (14) Viglialoro, G. (006). Análisis matemático del equilibrio en estructuras de membrana con bordes rígidos cables. Pasarelas: forma pretensado (esis doctoral). Universidad Politécnica de Cataluña. Enlace: (15) Lewis, W. J. (003). ension Structures. Form and Behaviour. Edit. homas elford. * * * 358 Informes de la Construcción, Vol. 65, 531, , julio-septiembre 013. ISSN: eissn: doi: /ic

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