GUÍA DOCENTE DE ASIGNATURA CURSO 2009/2010

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1 GUÍA DOCENTE DE ASIGNATURA CURSO 2009/ DATOS BÁSICOS DE LA ASIGNATURA 1.1.Nombre MATEMÁTICA DISCRETA 1.2. Código de la asignatura Plan Curso académico 2009/ Ciclo formativo Ingeniero Técnico 1.6. Curso de la Titulación Utilización plataforma virtual (indicar modalidad) Créditos ECTS Organización de las actividades I. ACTIVIDADES DEL ESTUDIANTE PRESENCIALES /ON LINE II. ACTIVIDADES NO PRESENCIALES DEL ESTUDIANTE (Trabajo Autónomo) Primero 1.7.Tipo Apoyo a la docencia con WebCT 4.8 créditos ECTS (6 créditos LRU) Troncal Horas presenciales del estudiante 1.8. Cuatrimestre Horas no presenciales del estudiante Actividades previstas para el aprendizaje y distribución horaria del trabajo del estudiante por actividad(estimación en horas) Sesiones de contenido Teórico 30 Sesiones de contenido Práctico 30 Sesiones de Grupo de Trabajo Prácticas eternas Tutorías individuales Tutorías colectivas 6/3 Realización de pruebas de evaluación 3 Trabajo en grupo, Trabajo individual (preparación de eámenes, horas de estudio, consultas en aula virtual, realización de pruebas en aula virtual, etc) Organización de actividades (especialmente para asignaturas b-learning y e- learning) TOTAL HORAS DE TRABAJO DEL ESTUDIANTE DATOS DEL/ LA PROFESOR/A (este apartado será aportado por la OD) 2.1. Nombre María Jesús Asensio del Aguila 2.2. Departamento 2.3. Despacho 2.4. Horario de tutoría 2.5. Teléfono Álgebra y Análisis Matemático CITE III, 1.27 Consultar página web (enlace webal programa correspondiente) (instituciona jasensio Primer cuatrimestre Horas 72 Cuadro de teto 1

2 l) 2.8. Recursos Web personales 3. ELEMENTOS DE INTERÉS PARA EL APRENDIZAJE DE LA ASIGNATURA 3.1. Justificación de los contenidos La asignatura MATEMATICA DISCRETA abarca iniciaciones a diversas materias cuyos métodos discretos tienen aplicación en numerosos apartados de las Tecnologías de la Información y la Comunicación. Como ejemplos pueden citarse la Teoría de Números, con aplicaciones en métodos de conteo, complejidad algorítmica o Criptografía; la teoría de anillos de polinomios, con aplicaciones también en Criptografía o en Teoría de la Información y la Codificación; la Teoría de Grafos y su relación con los métodos de optimización de redes o las estructuras de datos; el álgebra booleana y sus aplicaciones en la Teoría de Lenguajes y, por supuesto, la Lógica Materia con la que se relaciona en el Plan de Estudios MATEMATICA DISCRETA se encuentra encuadrada en el primer cuatrimestre del primer curso. Los conocimientos que se imparten sirven como base a asignaturas troncales u obligatorias como: Álgebra Lineal e Introducción a la Programación de primer curso; Tecnología de Computadores, Estructuras de Datos y Algoritmos de segundo curso; y Fundamentos de Arquitectura de Ordenadores y Redes de Computadores de tercer curso. En cuanto a asignturas optativas: Ingeniería de Computadores, Inteligencia Artificial y Sistemas Epertos, Procesado Digital de Señales, Teoría de la Información y la Codificación, Técnicas Informáticas de Imagen y Sonido, Tratamiento Digital de Imágenes, Seguridad y Protección de la Información. Destaquemos también asignaturas que aparecen en el Segundo Ciclo como Criptografía, Programación Lógica y Funcional, y, en general, aquellas asignaturas que son continuación de las citadas anteriormente. 3.4.Conocimientos necesarios para abordar la asignatura Para cursar esta asignatura es necesario que el estudiante posea una formación matemática aceptable a nivel de enseñanza secundaria. Como conocimientos previos para abordar la asignatura se recomiendan destrezas en el cálculo básico con epresiones algebraicas como: desarrollo de binomios, números combinatóricos, resolución de ecuaciones y sistemas de ecuaciones, resolución de inecuaciones y factorización de polinomios. No obstante si la preparación con la que llega a la Universidad es deficiente se le recomienda que asista a algunos de los cursos de nivelación matemática que la Universidad de Almería oferta Requisitos previos recogidos en la memoria de la Titulación Acceso a la Universidad. 4. COMPETENCIAS 4.1. Competencias generales 2

3 Competencias genéricas de la Universidad de Almería (grado y máster) y Competencias genéricas del RD. 1393/2007 Conocimientos básicos de la profesión (a completar con competencias específicas) Capacidad para resolver problemas Comunicación oral y escrita en la propia lengua Habilidades de gestión de la información (habilidad para buscar y analizar información proveniente de diversas fuentes) Capacidad de crítica y autocrítica Trabajo en equipo Compromiso ético Capacidad para aprender a trabajar de forma autónoma Sacramento La Cañad a d e San Urbano Alme rí a (España ) Te lf.: FAX: Competencias específicas desarrolladas 1. Conocer los conceptos de conjunto, aplicación y relación binaria, saber establecer perfectamente la pertenencia de un elemento a un conjunto y la relación de que un conjunto sea subconjunto de otro e identificar los distintos tipos de aplicaciones y relaciones binarias. 2. El alumno ha de ser capaz de usar el Principio de Inducción para probar propiedades sobre conjuntos de números naturales o la obtención de fórmulas; Resolver ecuaciones lineales diofánticas y plantear problemas cuya solución venga dada por una de estas ecuaciones; conocer la estructura de conjuntos cocientes de números enteros dados por relaciones de congruencia, así como resolver ecuaciones y sistemas de ecuaciones lineales en congruencias y como antes, plantear problemas relacionados con estas ecuaciones y sistemas. 3. Se ha de ser capaz si un conjunto dado con una operación definida sobre el mismo constituye o no un grupo; operar correctamente con permutaciones, calcular el orden, signatura e inverso de una permutación o calcular subgrupos de permutaciones como el alternado, el diédrico o simplemente el subgrupo generado por un conjunto de permutaciones. 4. El alumno ha de poder determinar si un conjunto dado con dos operaciones en el mismo tiene estructura de anillo así como determinar la irreducibilidad de un polinomio usando los criterios de irreducibilidad. 5. Se ha de ser capaz de determinar un grafo a partir de cualquiera de las definiciones así como de distinguir los distintos tipos de grafos, además de aplicar estos conceptos para la resolución de problemas de computación o de índole real. 6. Calcular los elementos notables en un conjunto parcialmente ordenado y establecer y se trata o no de un retículo y, en su caso decidir si es distributivo y complementado; usar el teorema de representación de álgebras de Boole finitas para determinar si un retículo finito es o no una de dichas álgebras de Boole. 7. Formalización de epresiones de lenguaje natural y demostración de razonamientos lógicos usando las operaciones y propiedades del álgebra de Boole 3

4 5. OBJETIVOS/ RESULTADOS DE APRENDIZAJE Sacramento La Cañada de San Urbano Almería (España) Telf.: FAX: es Antes de desglosar los objetivos por tema pasamos a recoger algunos de ellos que se deben de alcanzar globalmente a nivel de la asignatura: - Comprensión del concepto MATEMÁTICA DISCRETA - Familiarizar al alumno con las diversas ramas que constituyen lo que hoy en día se conoce como MATEMÁTICA DISCRETA - Dominios de técnicas sobre teoría de números, polinomios, grafos, retículos y álgebras de Boole. - Comprender la importancia de la Matemática Discreta en el ámbito de la Informática - Saber relacionar la Matemática Discreta con otras ramas de la Informática. - Aplicar técnicas de Matemática Discreta al planteamiento y solución de problemas informáticos o reales no necesariamente de cálculos o situaciones derivadas de la Matemática. Pasamos ahora a enumerar los objetivos tema a tema. Tema 1. Conjuntos, aplicaciones y relaciones. Contenidos: Este primer tema aparece como una base teórica sobre la que se construye el resto de la asignatura. El concepto de conjunto es algo que a lo largo de la historia ha aparecido en todas las ramas de las Matemáticas. Se eponen las distintas formas en las que un conjunto puede ser definido, la relación de pertenencia de un elemento a un conjunto y el concepto de subconjunto. Se presentan conjuntos notables como son el conjunto vacío y el conjunto de las partes de un conjunto y las operaciones básicas entre conjuntos: unión, intersección, complemento, diferencia, unión disjunta y producto cartesiano. El concepto de producto cartesiano da lugar a los dos siguientes puntos del tema: una aplicación de un conjunto A en otro B no es más que un subconjunto del producto cartesiano de A por B y una relación binaria en un conjunto A es, a su vez, un subconjunto del producto cartesiano de A por sí mismo. Se estudian los conceptos de dominio y recorrido de una aplicación y los distintos tipos de aplicaciones atendiendo a éstos, es decir aplicaciones inyectivas, sobreyectivas y biyectivas. Finalmente, se presentan las distintas propiedades que puede satisfacer una relación binaria y así, aparecen los dos tipos de relaciones binarias que serán esenciales para el tema siguiente, como son los de relación binaria de equivalencia y relación binaria de orden. Asimismo se introduce el concepto de conjunto cociente dado por una relación binaria de equivalencia Tema 2. Números naturales y enteros. Contenidos: Se introducen el conjunto de los números naturales y el concepto de definición recurrente. Obtenemos el orden de los naturales como un ejemplo de relación binaria de orden en dicho conjunto. De forma natural es introducido entonces el conjunto de los números enteros y se define una relación de orden en el mismo. Debido a las buenas propiedades de este orden, esto nos permite la obtención de un algoritmo para la división de números enteros. A continuación se epone el Principio de Inducción de los números naturales y sus consecuencias para la demostración de propiedades de conjuntos numerables, como los sistemas de numeración. Un resultado básico en 4

5 teoría de números y que utiliza el principio de inducción para ser probado es el algoritmo de Euclides para el cálculo del máimo común divisor de dos números enteros. Como consecuencia del mismo obtendremos el Teorema de Bezout que caracteriza cuando dos números enteros son coprimos o el Teorema Fundamental de la Aritmética que establece que el conjunto de números primos es infinito. Finalmente, otra consecuencia importante del Algoritmo de Euclides es la resolución de las denominadas ecuaciones lineales diofánticas (con dos incógnitas). Para finalizar el tema se introduce el concepto de congruencia de números enteros como un ejemplo de relación binaria de equivalencia y aparece, de forma natural, un ejemplo de conjunto cociente dado por la relación de equivalencia de los números enteros. Se estudian las estructuras inducidas en el mismo por la suma y la multiplicación de números enteros y finalmente se introducen las ecuaciones y sistemas de ecuaciones lineales en congruencias, dando como método para resolver estos últimos, el Algoritmo del Resto Chino. Finalmente se eplican dos teoremas clásicos de la Teoría de Números como son el Pequeño Teorema de Fermat y el Teorema de Euler. En clase de prácticas se verá un ejemplo de la relación entre la Teoría de Números y la criptografía, como es el sistema RSA. Tema 3. Grupos Contenidos: El concepto de grupo ya nos ha aparecido de forma natural en el tema anterior en el caso de tratar con conjuntos de números enteros o conjuntos cocientes de números enteros dados por relaciones de congruencia. Se introduce entonces formalmente el concepto de grupo y se eponen también los de subgrupo, subgrupo generado por un conjunto y subgrupo cíclico. Aparece de forma natural el concepto de orden de un elemento en un grupo. Se enumeran entonces diversos ejemplos conocidos ya por el alumno como los anteriormente citados o grupos de matrices, grupos dados por un conjunto finito y una tabla de operaciones para el mismo y se estudia un ejemplo muy importante en Computación como es el grupo de las permutaciones de un conjunto finito o grupo simétrico y sus subgrupos destacados como son el grupo alternado y el grupo diédrico. Se estudian distintas representaciones de las permutaciones y métodos y fórmulas para operar de forma rápida con ellas así como para determinar si pertenecen o no a estos subgrupos destacados. Tema 4. Anillos de Polinomios. Contenidos: El concepto que sigue de forma natural al de grupo es el de anillo. Se define formalmente anillo eponen ejemplos ya conocidos por el alumno como los números enteros, los conjuntos cocientes de números enteros por relaciones de congruencias, anillos de matrices o anillos de polinomios. Un concepto básico en Matemáticas es el de reducibilidad de un polinomio, con una gran aplicación, por ejemplo, en Teoría de la Información y la Codificación. Se dan criterios de irreducibilidad de polinomios sobre el conjunto de los números enteros como el teorema del resto, el criterio de Eisenstein y el criterio del módulo finito. Tema 5. Introducción a la Teoría de Grafos. Contenidos: En este tema se trata de introducir al alumno en una de las áreas de la Matemática Discreta con aplicaciones más diversas en Computación. En primer lugar se enseña a definir un grafo no dirigido manera formal a partir de tres posibles definiciones, es decir, a partir de su representación gráfica, de sus conjuntos de vértices y aristas y a partir de su matriz de adyacencias. 5

6 Se tratan el concepto de subgrafo, los distintos tipos de caminos en un grafo y la distancia entre dos vértices y el grado de un vértice. Como resultado en este apartado cabe destacar el teorema que relaciona el número de caminos entre dos vértices y las potencias de la matriz de adyacencias de dicho grafo. A continuación se estudian diversos tipos de grafos: grafos coneos, grafos de Euler, así como el teorema que los caracteriza, grafos de Hamilton, grafos bipartidos y caracterizaciones de los mismos, grafos bipartidos con emparejamiento y algoritmos que determinan su eistencia, árboles y el concepto de grafo plano y el Teorema de Kuratowski que los caracteriza. Para finalizar el tema se introduce el concepto de grafo dirigido y se hace notar la eistencia de una teoría paralela a la anterior para este nuevo tipo de grafos Tema 6. Retículos y Álgebras de Boole. Contenidos: El concepto de orden estudiado en el primer tema da lugar a la eistencia de elementos notables en un conjunto ordenado, como son el de máimo, mínimo, elemento maimal y minimal, cotas inferiores y superiores y supremo e ínfimo. Aparece entonces el concepto de retículo ordenado. Su representación gráfica constituye un grafo dirigido. Se define retículo algebraico y se establece la equivalencia entre ambas definiciones de retículo. Se estudian diversos tipos de retículos: retículos distributivos, así como métodos de identificación rápida de los mismos, retículos acotados y retículos complementados. Aparece entonces el concepto de álgebra de Boole y se establece el Teorema de Representación de álgebras de Boole finitas. Tema 7. Introducción a la Lógica Proposicional. Contenidos: En este daremos un ejemplo de álgebra de Boole infinita como es el álgebra de las proposiciones lógicas. Se introducen las proposiciones lógicas y las conectivas y se formalizarán, usando este lenguaje, epresiones del lenguaje natural. Finalmente se usarán las propiedades de álgebra de Boole para probar la validez de razonamientos lógicos. 6. BLOQUES TEMÁTICOS, METODOLOGÍA Y PLANIFICACIÓN DE LAS ACTIVIDADES PREVISTAS Modalidad Conteto es Procedimientos y actividades Bloques temáticos y temas organizati formativas Presencial No vas presencial Tema 1: Conjuntos, aplicaciones y relaciones (2 semanas) Conjuntos: primeras propiedades y operaciones con conjuntos. Apicaciones inyectivas, sobreyectivas y biyectivas. Relaciones de equivalencia y conjunto cociente. Relaciones de orden y elementos notables de un conjunto ordenado. Tema 2: Números naturales y enteros Sesiones de contenido teórico Sesiones de contenido práctico Clase magistral participativa Conferencia Proyecciones audiovisuales Seminarios Videoconferencia Otros Seminario Debate Ampliación de eplicaciones Eposición de los grupos de trabajo 6

7 (3 semanas) Los números naturales: inducción y primeras propiedades. Recurrencia. Los números enteros: divisibilidad. Teorema Fundamental de la Aritmética. Teorema de Bezout.Congruencias y clases de restos. Teorema chino del resto. Algoritmos de resolución de ecuaciones en congruencias. Tema 3: Grupos (2 semanas) Grupos: definición y primeras propiedades. Orden de un elemento y orden de un subgrupo. Grupo simétrico: permutaciones, ciclos y transposiciones. Subgrupo alternado. Grupos diédricos. Tema 4: Anillos de polinomios (2 semanas) Anillos de polinomios. Factorización de polinomios. Criterios de irreducibilidad de polinomios Tema 5: Introducción a la Teoría de Grafos (3 semanas) Conceptos básicos en grafos. Grafos completos. Grafos regulares. Fórmula de los grados. Homomorfismo de grafos. Subgrafos. Grafos isomorfos. Longitud de un camino. Grafos coneos. Geodésicas. Representaciones de un grafo. Teorema del número de caminos. Grafos de Euler y de Hamilton. Arboles. Grafos bipartidos. Grafos planos. Grafos dirigidos. Aplicaciones Tema 6: Retículos y álgebras de Boole (2 semanas) Definición algebraica de retículo. Retículos modulares. Retículos distributivos.. álgebras de Boole. Teorema de estructura de álgebras de boole finitas. Tema 7: Introducción a la Lógica Proposicional (1 semana) Álgebra de Boole de las proposiciones lógicas. Sesiones de Grupo de trabajo Prácticas eternas Organización del trabajo Resolución de problemas Dudas o conflictos Promoción de iniciativas Sesión de evaluación Estudio de casos Seminarios Otros Búsqueda, consulta y tratamiento de información Debate Realización de ejercicios Tareas de laboratorio Trabajo de campo Formulación de hipótesis y alternativas Trabajo en equipo, Realización de informes Demostración de procedimientos específicos Evaluación de resultados Problemas Estudio de casos Seminarios Proyectos Otros Demostración de procedimientos en el escenario profesional (esta tabla está aneada a la anterior, por tanto estos elementos corresponden a cada uno de los bloques temáticos) DESCRIPCIÓN DE TAREAS DEL ESTUDIANTE Y RECURSOS VIRTUALES QUE SE UTILIZARÁN EN LA ACTIVIDAD PARA ASIGNATURAS B-LEARNING Y E-LEARNING HORAS (previsión de actividades presenciales, en aula y de trabajo autónomo) Presenciales No presenciales 7

8 7. PROCEDIMIENTO DE EVALUACIÓN DE LAS COMPETENCIAS 7.1. Criterios de evaluación 8

9 La evaluación de la asignatura se llevará a cabo siguiendo los siguientes porcentajes: - un 20% correspondiente a un eamen de prácticas sobre los guiones de prácticas realizados a lo largo del curso y que se llevará a cabo durante la última sesión de prácticas del curso - el 80% restante se evaluará sobre un eamen escrito tradicional en fecha a determinar por la Escuela Politécnica Superior de la Universidad de Almería y en el que habrá dos partes de igual valor, una correspondiente a preguntas de teoría y otra a la resolución de problemas. Además de dicho control final que se realizará cuando finalice el cuatrimestre se realizará un seguimiento basado en la participación activa en las sesiones académicas Porcentajes de evaluación Sacramento La Cañ ada de San Urbano Almería (España) Telf.: FAX: w ww.ual.es Porcentaje teoría Porcentaje práctica Porcentaje sesiones de grupo de trabajo Porcentaje prácticas eternas Porcentaje tutorías Individuales Colectivas 7.2. Instrumentos de evaluación Pruebas, ejercicios, problemas. Observaciones del proceso. Valoración final de informes, trabajos, proyectos, etc. Pruebas finales (escritas u orales). Pruebas finales de opción múltiple. Portafolio del estudiante. Participación activa en las sesiones académicas Porcentaje trabajo no presencial (cada profesor que especifique las actividades que evaluará en este apartado) 7.4. Mecanismos de seguimiento (se recogerán aquí los mecanismos concretos que los docentes propongan para el seguimiento de la asignatura) Asistencia a tutorías Asistencia y participación a seminarios Alta y acceso al aula virtual Participación en herramientas de comunicación Foros de debate Correos Entrega de actividades En clase En tutorías En aula virtual 9

10 8. BIBLIOGRAFÍA DE LA ASIGNATURA 8.1. Bibliografía recomendada Sacramento La Cañada de San Urbano Almería (España) Telf.: FAX : l.es - J.R. GARCÍA ROZAS, y L. OYONARTE ALCALÁ. Problemas Resueltos de Álgebra Básica y Matemática Discreta. Servicio de publicaciones de la UALM JUSTO PERALTA,y J.A. LOPEZ RAMOS. Mathematica Discreta. Servicio de publicaciones de la UALM KENNETH H. ROSEN. Matemática Discreta y sus aplicaciones. McGraw-Hill. - RALPH P. GRIMALDI. Matemática Discreta y Combinatorica. Addison-Wesley Iberoamericana. - A.I. KOSTRIKIN. Introducción al álgebra. Ed. McGraw-Hill. Segunda edición. - S. LIPSCHUTZ. Matemática Discreta. Ed. McGraw-Hill. Serie Schaum. -.ANZOLA, J. CARUNCHO. Problemas de Álgebra. Tomo I Direcciones Web 10