1. Representación Biplot

Transcripción

1 . Representación Biplot.. Introducción. La representación Biplot es una representación gráfica de datos multivariantes en dos o tres dimensiones. Las representaciones de las variables son normalmente vectores y los individuos se representan por puntos. El prefijo bi se refiere a la superposición en la misma representación de individuos y variables. Definición. Representación Biplot. Si partimos de la DVS de una matriz A en un espacio euclídeo ponderado: A I J = N I K (D α ) K K M K J, las filas de F [K ] = V [K ]D α[k ] se representan en el subespacio S, normalmente de o 3 dimensiones, para observar la configuración multidimensional de las filas de la matriz de datos A, y las filas de G [K ] = U [K ]D α[k ] se representan en el subespacio S, para observar la configuración multidimensional de las columnas de A. Sin embargo es posible representar las filas de G [K ] como G [K ] = U [K ] en el mismo espacio que el de las filas de F [K ], esta particular representación común de puntos fila y columna de la matriz A, se llama representación biplot (jk-biplot como veremos más adelante). En una representación biplot A [K ] = F [K ]G [K ] luego el producto escalar de la i-ésima fila de F y la j-ésima fila de G, es un valor aproximado del elemento a ij de la matriz: a ij f ig j = f i g j cos(f i, g j ) () Los datos a ij de la matriz A se centran usualmente, respecto a la media de las columnas, la matriz A, se define como la matriz de filas centradas de Y : A = Y ȳ : ( ) I w i (a i x i ) K K D q (a i x i ) = ω i y i ȳ f } {{ } ik u k Dq y i ȳ f ik u k i= i a k= k= i donde ȳ es el centroide de la nube de puntos fila de A. Por lo tanto una desviación a ij > (valores de la matriz por encima del valor medio (cero), a ij = y ij ȳ j > = y ij > ȳ j ), se indica por vectores f i y g j formando un ángulo agudo y a ij < por vectores bajo un ángulo obtuso... Tipos de Biplot Si tenemos una matriz X n p la descomposición en valores singulares de esa matriz es por lo tanto F = V D c/ X = V D α U = V D / U = V D c/ y G = UD ( c)/. D( c)/ Gabriel y Odoroff en 98, propusieron 3 elecciones del parámetro c SQ-biplot (c =,5), en este caso U = F G siendo c F = V D /4 G = UD /4 En estas representaciones punto-vector, donde las filas se representan por vectores y las columnas por puntos o viceversa, cada uno de los objetos representados por los vectores resumen el espacio, proyectando los objetos representados por puntos sobre una única dimensión orientada hacia la región dominante del espacio. Los vectores representan direcciones y las proyecciones de los puntos representan distancias. El ángulo entre un vector y cada uno de los ejes principales (definidos por la DVS), mide la importancia de la contribución que cada dimensión realiza sobre los datos de los que se deriva el vector. Dentro de cada conjunto de puntos F y G, las distancias entre dos puntos están relacionadas de forma similar a la relación que tengan en la matriz inicial. Puesto que son representaciones punto-vector, nunca se pueden interpretar distancias entre puntos de F y G.

2 La interseccio n de las proyecciones de los puntos de F, perpendiculares al vector que representa la primera, segunda o tercera fila de G, g, g y g3 corresponden a la primera, segunda o tercera columna de X. Si consideramos la matriz X, las coordenadas de las filas y columnas F y G son en este caso,3,4,5,8,3,4 G =,4,4 F = X=,58,7,4,53,8 Figura : SQ-biplot Se puede observar que la proyecciones de G sobre f3 son aproximadamente iguales correspondiendo a los valores de la 3a fila. La correspondencia deberı a ser exacta, pero hay una pequen a cantidad de variabilidad explicada por la tercera dimensio n que no esta representada en el biplot. Los puntos g y g3 esta n pro ximos, lo que se traduce en que la a y 3a columna de X son casi iguales. El hecho de que f y f3 este n muy separados, se traduce en que la a y 3a fila de X son muy diferentes. Los ca lculos intermedios los obtenemos en R: > X=matrix(c(-,,,, -,,,,,,,), nrow=4) > X [,3] [,] - - [,] [3,] [4,]

3 Figura : SQ-biplot- > meanx<-apply(x,,mean) > meanx [] > sdx<-apply(x,,sd) > sdx [] > t(x)%*%x [,3] [,] 8 8 [,] 8 7 [3,] 7 > X%*%t(X) [,3] [,4] [,] 9-3 [,] - [3,] -4 [4,] 3-4 > svd(t(x)%*%x) $d [] $u [,] [,] [,].849 [,3].555 3

4 [,] [3,] $v [,3] [,] [,] [3,] > svd(x%*%t(x)) $d [].893e+.e e- 5.4e $u [,3] [,4] [,] e [,] e [3,] e [4,] e $v [,3] [,4] [,] e [,] e [3,] e [4,] e > lambda<-diag(sqrt(svd(t(x)%*%x)$d)) > lambda<-lambda[-3,:] > lambda [,] [,]. > lambda^(/) [,].74 [,]. > V<-svd(X%*%t(X))$v[,:] > V [,] e- [,] e- [3,] e [4,] e- > F<-V%*%lambda^(/) > round(f,) [,].3.4 [,].3.4 [3,].58. [4,] > U<-svd(t(X)%*%X)$u[,:] > G<-U%*%lambda^(/) > round(g,) 4

5 [,].5.8 [,] [3,] GH-biplot (c = ), en este caso / F =V G = U D este Biplot preserva la me trica de las columnas. Si representamos F con vectores y G con puntos, las distancias entre puntos de G son euclı deas, ya que esta n en las mismas unidades que los datos originales. Si representamos G con vectores y F por puntos, las distancias entre puntos de F son distancias de Mahalanobis (ponderadas). El coseno del a ngulo entre vectores de G, gj y gj, aproximara la correlacio n entre ambas columnas j y j. La longitud del vector gj se relaciona aproximadamente en te rminos de la desviacio n tı pica de la j-e sima columna de X. Las coordenadas de las filas y columnas F y G son,,4,4,4 F =,73,4,8,7 G = 3,9,33 Figura 3: SQ-biplot > F<-V 5,8,4,4

6 > round(f,) [,] -..4 [,].4.4 [3,].73. [4,] > G<-U%*%lambda > round(g,) [,] [,] [3,] JK-biplot (c = ), en este caso / F = V D G=U este Biplot preserva la me trica de las filas, luego las distancias entre puntos de F son euclı deas y las distancias entre puntos de G son distancias de Mahalanobis. La longitud del vector fi se relaciona con la desviacio n tı pica de la i-e sima fila de X. Figura 4: SQ-biplot Las coordenadas de las filas y columnas F y G son,95,4,,4 F = 3,44,5,8,57 G =,5,49,8,4,4

7 > F<-V%*%lambda > round(f,) [,] [,].5.4 [3,] [4,] > G<-U > round(g,) [,] [,] [3,] Como es lógico, por definición los tres Biplot producen la misma estimación de los datos originales, difieren solo en la representación geométrica. en este caso la estimación obtenida es,8,3 X =,,5,3,7,,9 > X=-F%*%t(G) > round(x,) [,3] [,] [,]..5 [3,].3.7 [4,]