ELECTRICIDAD Y MAGNETISMO. Electrostática-Vacío

Transcripción

1 ELECTRCDAD Y MAGNETSMO. Electrostátic-Vcío 1) Suponiendo un nue de electrones confind en un región entre dos esfers de rdios 2 cm y 5 cm, tiene un densidd de crg en volumen expresd en coordends esférics: ρ = cos φ ( C m ) v 4 R Clculr l crg totl contenid en dich región. 2) Sore dos plcs prlels e indefinids, seprds por un distnci d, se distriuyen respectivmente ls densiddes de crg superficiles: ρ s,1 =2 Cm -2, ρ s,2 =4 Cm -2. Clculr el cmpo entre los dos plnos y en el espcio derech e izquierd de los mismos. Y O r φ X 3) Sore l semicircunferenci indicd en l figur se distriuye un densidd de crg linel ρ l =ρ o cos φ. ) Clculr l crg totl distriuid sore l semicircunferenci. ) Clculr el cmpo en el punto O. Z 4) Sore un cp semiesféric de rdio R, tenemos un distriución superficil de crg uniforme ρ s =1 Cm -2. ) Clculr l crg totl en l cp semiesféric. ) Clculr el cmpo eléctrico en el centro O de l figur. O θ R Y X 5) En el centro de un plc de espesor d e indefinid en ls otrs dos direcciones, existe un hueco esférico de rdio. En l plc, excepto el hueco, se distriuye un densidd de crg uniforme ρ v. Clculr el cmpo en el punto A, un distnci d/2 de l plc. A d d/2

2 ELECTRCDAD Y MAGNETSMO. Electrostátic-Vcío 6) Tenemos un cilindro indefinido de rdio, sore él se distriuye un densidd de crg en coordends cilíndrics ρ v =ρ o sen(πr/), siendo ρ v =0 pr r>. ) Clculr el cmpo eléctrico. ) Si situmos un crg negtiv sore el eje del cilindro, será estle l situción de equilirio de dich crg?. 2 7) Un esfer se tldr dimetrlmente, dejndo un hueco cilíndrico de rdio =10-2. El hueco se puede considerr filiforme en comprción con el rdio de l esfer. En l esfer, slvo en el hueco cilíndrico, se distriuye un densidd de crg uniforme ρ v. Aplicndo el principio de superposición, clculr el cmpo eléctrico E en el punto P. O 2 P 8) Clculr y diujr el cmpo y el potencil, E y V, en función de R pr l distriución esféric de crg: 1/2 ρ = o ( R / ) pr / 2 R ρ v 0 pr R < / 2 y R > 9) Sore un plno indefinido tenemos dos distriuciones de crg. Un densidd superficil de crg uniforme -ρ s sore un círculo de rdio R y otr de signo contrrio ρ s sore el resto. Aplicndo el principio de superposición, clculr el cmpo eléctrico sore el eje perpendiculr l círculo y que ps por su centro. 10) Sore un disco plno de rdio R se distriuye un crg superficil que vrí rdilmente de l form: r ρ ρ = o s R 0 2 si r < R si r > R siendo r l distnci l centro del disco. Clculr el potencil y el cmpo en el eje perpendiculr l disco y que ps por su centro.

3 ELECTRCDAD Y MAGNETSMO. Electrostátic-Medios mteriles. 1) Un crg puntul positiv Q está en el centro de un cp conductor esféric con rdio interior R i y rdio exterior R o. Determine E y V como funciones de l distnci rdil R. 2) Supong un tuo de core muy lrgo con rdio exterior de 3 cm y rdio interior de 2 cm, que rode un líne de crg de 60 pcm -1 situd en su eje. Clculr: ) E en r=1 m, 2.5 cm y 1.5 cm. ) L diferenci de potencil entre l superficie interior y l exterior del tuo. 3) Considere dos conductores esféricos con rdios 1 y 2 ( 2 > 1 ), conectdos por un lmre conductor. Se deposit un crg totl Q en ls esfers. L distnci entre los conductores es muy grnde en comprción con los rdios de ls esfers, de modo que ls crgs en los conductores esféricos se distriuyen uniformemente. Clculr ls densiddes de crg superficil y ls intensiddes de cmpo eléctrico en l superficie de ls esfers. 4) Un cilindro conductor de rdio R y longitud L, llev un crg Q. Coxilmente con él se disponen dos corons cilíndrics conductors. L primer, de rdios R 1 y R 2, llev l crg Q, y l segund, de rdios R 3 y R 4, está conectd tierr. Clculr: ) l distriución de crgs y sus respectivs densiddes. ) el cmpo eléctrico en ls distints regiones del espcio (suponer los cilindros muy lrgos). c) el potencil eléctrico en ls distints regiones del espcio. 5) Se un conductor, en el que existe un cvidd interior, sometido un cmpo eléctrico. Hllr el cmpo eléctrico existente en el interior de l cvidd sí como l densidd de crg en l superficie de ést. 6) Expresr l energí lmcend por vrios conductores independientes entre sí. 7) Un esfer conductor de rdio R 1 y crg Q, se rode de un coron esféric conductor concéntric de rdios R 2 y R 3, siendo R 2 <R 3, y con crg 2Q. Clculr: ) L distriución de crgs y el cmpo eléctrico en cd un de ls regiones del espcio. ) L diferenci de potencil entre l esfer y l coron esféric. c) L cpcidd entre l esfer y l coron esféric. 8) Un condensdor cilíndrico consiste en un cilindro conductor interno de rdio y un coron cilíndric extern coxil de rdio interior. El espcio entre los dos conductores está lleno de un dieléctrico con permitividd ε y l longitud del condensdor es L. Hllr l cpcitnci del condensdor. ε 1 c ε 2 9) Entre dos cilindros conductores coxiles, de rdios y (=2), se introducen dos cps de dieléctrico que llenn el espcio entre los conductores. El límite de seprción entre los dieléctricos es l superficie cilíndric de rdio c, coxil con los otros dos. Ls permitividdes respectivs de los dieléctricos son: ε 1 =4ε o y ε 2. Si entre los conductores se plic un tensión V o : ) clculr el vlor de ε 2 pr que el cmpo sore l superficie del cilindro de rdio se cutro veces superior l cmpo en el dieléctrico sore l superficie de rdio. ) hllr l cpcidd por unidd de longitud del sistem con los vlores de ε 1 ddo y ε 2 otenido.

4 ELECTRCDAD Y MAGNETSMO. Electrostátic-Medios mteriles. 10) Clculr l cpcidd de un condensdor esférico con rmdurs de rdios R 1 y R 2, siendo R 2 >R 1, que se llen con un dieléctrico perfecto de permitividd reltiv ε r =/R, en l que es un constnte y R l distnci l centro del condensdor. 11) Clculr pr un crg puntul en el centro de un esfer dieléctric el vector de polrizción y ls densiddes de crgs ligds. Diujr D, E y V en función de r. Empler Q=10-9 C, R=2 cm, ε r =3. Repetir ests gráfics en usenci de l esfer dieléctric. 12) Un esfer dieléctric de rdio está polrizd de form que P=(K/R) r, siendo r el vector unitrio rdil. ) Clculr ls densiddes volumétric y superficil de crg ligd. ) Clculr l densidd volumétric de crg lire. c) Clculr el potencil dentro y fuer de l esfer. d) Representr gráficmente l vrición del potencil con l distnci.! 6! 13) Un esfer de dieléctrico simple está uniformemente polrizd en l dirección del eje z, con P = 2 10 z (Cm -2 ). Clculr: ) ls densiddes de crg de polrizción. ) el potencil eléctrico en el centro de l esfer. c) demostrr que l densidd de crg lire en el dieléctrico es nul. 14) En un mteril, de constnte dieléctric ε, existe un cmpo eléctrico uniforme E!. Si se prctic un cvidd esféric en el interior del mteril, clculr el vlor del cmpo eléctrico existente en el centro de l cvidd. 15) Dos medios dieléctricos con permitividdes ε 1 y ε 2 están seprdos por un fronter lire de crgs. L intensidd de cmpo eléctrico en l interfce en el medio 1 tiene mgnitud E 1 y form un ángulo α 1 con l norml. Determine l mgnitud y l dirección de l intensidd de cmpo eléctrico en dicho punto de l interfce en el medio 2. 16) Se un condensdor de plcs plno-prlels rectngulres. L superficie de cd plc es S, y están seprds un distnci l. Desprecindo los efectos de orde, si se plic un tensión constnte V o entre ls plcs clculr: ) El cmpo eléctrico en el interior, l densidd de crg superficil en ls plcs, l energí lmcend por el condensdor y su cpcidd. ) Repetir el prtdo ), suponiendo que se introduce un dieléctrico de dimensiones l/2 x S, y permitividd reltiv ε r. c) Repetir el prtdo ), pero suponiendo que se desconect l fuente de tensión ntes de introducir el dieléctrico. 17) Disponemos de dos condensdores idénticos, de plcs plno-prlels, cuy superficie es S y espesor d, como indic l figur. Entre ls plcs existe un dieléctrico de permitividd ε = 100ε o. Un vez crgdos con un diferenci de potencil V o, y desconectd l terí, en un instnte ddo se frctur el dieléctrico entre ls plcs del condensdor (1), de form que se re un fisur pln y prlel ls plcs, de espesor 0.01 d. Clculr: ) los vectores E! y D! en los condensdores (1) y (2) ntes y después de l frctur. ) l diferenci de potencil entre ls plcs de los condensdores trs l frctur. (1 ) 0.01 d (2 ) S

5 ELECTRCDAD Y MAGNETSMO. Electrostátic-Medios mteriles. 18) Cundo se us un cle coxil pr trnsmitir energí eléctric, el rdio conductor interior está determindo por l corriente de crg, y el tmño totl por l tensión y el tipo de mteril islnte que se utilice. Supong que el rdio del conductor interno es r i = 2 mm, y que el mteril islnte es poliestireno, cuy constnte dieléctric reltiv y rigidez dieléctric son, respectivmente, 2.6 y V/m. Determine el rdio interior, r o, del conductor externo pr que, con un tensión plicd entre los conductores externo e interno de 10 kv, l intensidd máxim del cmpo eléctrico en el mteril islnte no exced el 25% de su rigidez dieléctric. 19) Un condensdor de plcs plno-prlels, seprds un distnci d, tiene un dieléctrico en su interior, usente de crgs lires, cuy permitividd dieléctric reltiv, ε r, depende de l distnci un de ls plcs, x. Clculr l cpcidd del condensdor si ε r viene dd por: 1 ε r = 2 x 1 3 d 20) Dentro de un condensdor de plcs plno-prlels, de sección A y espesor d, introducimos un dieléctrico de permitividd no uniforme, siendo y l dirección perpendiculr ls plcs. Desprecindo los efectos de orde y en cso de no existir crgs lires en el interior del dieléctrico, clculr: ) el cmpo eléctrico, el desplzmiento eléctrico y el vector de polrizción, cundo plicmos un diferenci de potencil V o entre ls plcs. ) ls densiddes de crg de polrizción. c) l cpcidd del condensdor. 2 y ε = ε o 1 + d 21) Demostrr que en un dieléctrico linel no homogéneo, puede existir un densidd volumétric de crg ligd en usenci de densidd de crg lire. Clculr su vlor. Sol: -ε o (E ε r )/ ε r 22) Si el espcio entre dos cilindros conductores coxiles lrgdos está ocupdo por un dieléctrico, cómo dee vrir l permitividd reltiv con l distnci r l eje pr que l intensidd del cmpo eléctrico se independiente de r?. Cuál serí l densidd volumétric de crg ligd?. Sol: ε r =K/r, ρ =λ/2πkr, siendo λ l densidd linel de crg en el cilindro interior. 23) Un electrete tiene l form de un lámin delgd circulr de rdio R y espesor t, polrizd permnentemente en l dirección prlel su eje. L polrizción P es uniforme en todo el volumen del disco. Clculr E y D sore el eje, tnto dentro como fuer del disco. 24) Un esfer de rdio está formd por un dieléctrico homogéneo, con constnte dieléctric reltiv ε r. L esfer está centrd en el origen del espcio lire. El potencil eléctrico viene ddo en el interior y exterior de l esfer, respectivmente, por: 3EOR cosθ Vin = ε + 2 r Compror que se cumplen ls condiciones de contorno pr el cmpo eléctrico y el desplzmiento eléctrico en l superficie de l esfer. 3 E O ε r 1 Vout = EOR cosθ + cosθ 2 R ε ) Desplzmos l crg 3 un distnci d/2 hci l izquierd, mnteniendo fijs ls restntes crgs. Es más estle l disposición nterior que ést? d q -q q -q r

6 ELECTRCDAD Y MAGNETSMO. Electrostátic-Medios mteriles. 26) Clculr l energí electrostátic lmcend en el sistem del prolem 4. 27) Clculr l energí electrostátic lmcend en el sistem del prolem 7. 28) Prtiendo de un esfer de rdio R, que tiene un crg Q en l superficie, se inici l cumulción de crg sore un superficie esféric de rdio R (R >R ), concéntric con l nterior. Clculr el trjo relizdo pr cumulr sore l superficie esféric de rdio R un crg igul Q/2. 29) Tenemos un sistem de crgs constituido por un distriución uniforme de crg Q en un esfer de rdio R 1 y otr de crg -Q distriuid uniformemente sore un cp esféric, concéntric con l esfer, de rdio R 2 =5R 1. ) Clculr el cmpo en función de l distnci l centro. ) Clculr l energí electrostátic del sistem. c) Si quitmos l mitd de l crg -Q de l cp esféric, cuál será l vrición de energí electrostátic del sistem?. 30) Un condensdor plno de superficie S y espesor d se crg medinte un terí con un diferenci de potencil V o. Después de crgdo desconectmos l terí. Sin tocr ls plcs introducimos un lámin metálic de espesor d/2. ) Clculr l densidd de energí electrostátic ntes y después de introducir l lámin metálic. ) Clculr l energí totl en mos csos. En qué se h invertido l diferenci entre ls dos energís?. 31) Un condensdor de rmdurs plns, de superficie A=200 cm 2, seprds l distnci d=1 mm, tiene en su zon centrl un lámin de mteril dieléctrico, de l mism form y tmño de ls rmdurs, espesor de 0.6 mm y permitividd reltiv ε r =4, El condensdor se h crgdo hst dquirir entre sus rmdurs el potencil V= 1000 V. Clcul: ) L cpcidd del condensdor. ) L crg del mismo. c) L energí lmcend. d) Los vectores desplzmiento eléctrico, cmpo eléctrico y polrizción, representándolos gráficmente. 32) Un crg eléctric Q se distriuye en un esfer dieléctric de rdio y permitividd ε, de form que ls densiddes de crg lire sen: ρo( / R) ρ v = 0 ) Expresr ρ o en función de Q y. ) Hllr l energí electrostátic del sistem. pr pr 0 R R 33) Dos plnos conductores isldos infinitos, que se mntienen potenciles 0 y V o, constituyen un configurción en form de cuñ, como se ilustr en l figur. Determine ls distriuciones de potencil en ls regiones: ) 0 < φ < α, ) α < φ < 2π. V o α θ 34) Clculr, medinte el método de ls imágenes, l crg totl inducid en un esfer conductor conectd tierr, inducid por un crg puntul, Q, situd fuer de l esfer, un distnci D de su centro.

7 ELECTRCDAD Y MAGNETSMO. Mgnetostátic-Fundmentos 1) Medinte l ley de Ampere clculr el vector densidd de flujo mgnético que existe, cundo circul un corriente i, ) en el interior de un solenoide de N espirs y longitud L (L suficientemente grnde). ) en el interior de un oin toroidl de N espirs y rdio externo medio,. c) por un hilo conductor infinito. 2) Dos conductores rectilíneos, prlelos y muy lrgos, seprdos un distnci 2d, trnsportn corrientes de igul intensidd pero con sentidos contrrios, como se indic en l figur. Clculr: ) El vector densidd de flujo mgnético B en un punto genérico del eje OX, su vlor máximo y el punto donde se locliz. Representr gráficmente B(x). ) El vector densidd de flujo mgnético B en un punto genérico del eje OY. Representr B(y). Y. 2d x 3) Los electrones de un hz cilíndrico de rdio, se mueven con velocidd, v, constnte y dirigid lo lrgo del eje, de form que se mntiene un distriución uniforme de n electrones por m 3. Siendo =1 mm, v= msg -1 y n= electrones m -3, determinr: ) L densidd espcil de crg, l densidd de corriente eléctric y l intensidd de l corriente. ) El cmpo eléctrico en l superficie del hz. c) El vector densidd de flujo mgnético en l superficie del hz. d) Ls fuerzs de origen eléctrico y mgnético que ctún sore un electrón situdo en l superficie del hz, y el cociente entre ms. 4) Un cle delgdo, que trnsport un corriente, está doldo en ángulo recto tl y como indic l figur. Clculr B lo lrgo del eje OX, suponiendo que el cle es infinitmente lrgo en ms direcciones. O X

8 ELECTRCDAD Y MAGNETSMO. Mgnetostátic-Fundmentos 5) Clculr el vector densidd de flujo mgnético en el eje de un espir circulr de rdio, por l que circul un corriente. 6) Encuentre l densidd de flujo mgnético, B!, en el centro de un espir cudrd pln de ldos w, por l que circul un corriente. 7) Por un filmento conductor con form de triángulo equilátero de ldo, fluye un corriente constnte. Clculr l intensidd del cmpo mgnético en el centro del triángulo. 8) Disponemos de un conductor cuy form es l indicd en l figur. Este conductor se prolong hst y=- y z=+. Por dicho conductor circul un corriente en el sentido de l figur. Clculr medinte l ley de Biot-Svrt l inducción mgnétic en el punto P de coordends (0, 0,-). P 9) Un corriente constnte con densidd superficil KO! z, fluye en el plno y = 0. Clculr l densidd de flujo mgnético que se gener mos ldos de dicho plno.

9 ELECTRCDAD Y MAGNETSMO. Mgnetostátic-Mteriles y Energí 1) Tenemos un rndel de rdio interior, rdio exterior, y espesor e (e «), como muestr l figur. L rndel está imnd uniformemente, con M=M z. Clculr: Z ) Ls densiddes de corriente de imnción. ) L densidd de flujo mgnético B en el eje z (z» e). e Y Z µ 2 X µ 1 Y 2) En un medio mgnético indefinido se prctic un hueco cilíndrico, indefinido en l dirección del eje X. El hueco se recure con un cp cilíndric de otro mteril. L sección trnsversl del sistem se muestr en l figur. Sore el eje X situmos un conductor uniforme filiforme indefinido por el que circul un corriente. Ls permeiliddes de los dos mteriles son µ 1 =10µ o y µ 2 =100µ o. Clculr los vectores H, B y M en los distintos medios. X 3) Dos cilindros indefinidos coxiles, cuyos rdios están indicdos en l figur, son de un mteril conductor con permeiliddes respectivs µ 1 y µ 2. Por los cilindros circuln corrientes del mismo vlor pero con sentidos contrrios. Se suponen uniformes ls densiddes de corriente. Clculr l densidd de flujo mgnético B en función de l distnci l eje, sí como l energí mgnétic en ls distints regiones si l longitud del cle es L. µ 2 µ 1 c 4) Tenemos un sistem de conductores coxiles indefinidos, de rdios R 1 y R 2. Por el conductor de rdio R 1 circul un corriente y por el otro un corriente igul pero de sentido contrrio. En el espcio entre conductores existe dos zons de mteril con permeiliddes µ y µ. Clculr los vectores H y B en el espcio entre conductores. µ R 1 µ R 2 B(T) 0.58 H(Am -1 ) 5) Disponemos de un toroide con un rnur de espesor d=2 mm. El rdio medio es R=10 cm. y su sección tiene un rdio de 1 cm. Sore el toroide se rrolln 1000 espirs por ls que circul un corriente =2 A. El toroide se h construido con un mteril cuy curv de primer imnción se muestr en l figur. Suponemos que ntes de plicr l corriente el mteril est desimndo. Además, se supone que no hy dispersión de línes de cmpo y que l sección es l mism pr el flujo en mteril y rnur. Clculr l densidd de flujo mgnético B en l rnur o entrehierro.

10 ELECTRCDAD Y MAGNETSMO. Mgnetostátic-Mteriles y Energí 6) Hllr: ) L utoinducción de un solenoide lrgdo de longitud l, número de espirs N y rdio R. ) Coeficiente de inducción mutu y de coplmiento entre dos solenoides coxiles de longitudes l y l (l >l ), número de espirs N y N respectivmente, y considerndo mos rdios igules con vlor R. 7) Un líne de trnsmisión coxil, llen de ire, tiene un conductor interior sólido de rdio, y un conductor externo superficil de rdio. Clculr l energí y l inductnci por unidd de longitud de l líne. z µ 1 µ 2 x j 2 4 y 8) Por el conductor rectilíneo indefinido de rdio, indicdo en l figur, circul un corriente cuy! 2! densidd es j = j r o z. Un espir cudrd, de ldo, está situd un distnci 5 del eje de l corriente. El medio de permitividd µ 1 ocup el espcio de z>0, y el de permitividd µ 2 el espcio de z<0. Clculr l corriente que fluye por el conductor, l energí del sistem, y el coeficiente de inducción mutu entre el conductor y l espir cudrd. 9) Un conductor rectilíneo infinitmente lrgo trnsport l corriente 1. Un circuito conductor rectngulr de ldos y está recorrido por l corriente 2 y situdo como se indic en l figur. Determinr l fuerz resultnte sore el citdo circuito ) Tres conductores rectilíneos infinitmente lrgos, prlelos, coplnrios y seprdos entre sí l distnci D, están recorridos por corrientes 1, 2 e 3 del mismo sentido, como se indic en l figur. Clculr: ) L densidd de flujo mgnético, B, que cd conductor cre en los puntos ocupdos por los otros dos. ) L fuerz por unidd de longitud que prece sore cd uno de los conductores. D D 1 2 3

11 ELECTRCDAD Y MAGNETSMO. Mgnetostátic-Mteriles y Energí!! 11) Tenemos tres tipos de espirs situds en un cmpo cuy inducción mgnétic es B = B. Ls tres soportn o z un corriente, y pueden girr lrededor del eje z Cuál de ls tres gir? Rzonr l respuest. Z Mercur ) ) c) 12) Sore un toroide se rrolln N espirs por ls que circul un corriente. El toroide tiene un rdio medio, y su sección un rdio (» ). Se compone de dos mitdes, cuyos mteriles respectivos tienen permeiliddes µ 1 y µ 2. El plno que sepr los dos mteriles es perpendiculr l circunferenci de rdio. Clculr l inducción mgnétic y l densidd de flujo mgnético en el interior del toroide. µ 2 µ 1 N

12 ELECTRCDAD Y MAGNETSMO. Electromgnetismo 1) Clculr l fuerz electromotriz inducid en un espir por un pr de hilos prlelos de grn longitud, por los que circul un corriente igul pero con sentidos contrrios. h!! 2) En un semiespcio z > 0 existe un cmpo mgnético, B = B x, constnte. Un circuito plno, contenido en el plno x= 0, está formdo por un semicircunferenci de rdio R y centro O, limitd por un diámetro, 1 construidos con un mteril conductor homogéneo, cuy resistenci por unidd de longitud es ρ =. Este 2 + π π! circuito gir en su plno lrededor de O con velocidd ngulr contnte, ω = 2 x (rd/s), estndo inicilmente el diámetro coincidiendo con el eje X, y l semicircunferenci en l región z > 0. Clculr:!! ) El flujo del cmpo mgnético B = B x trvés del circuito. Representr gráficmente su vlor en función del tiempo. ) L fuerz electromotriz inducid en el circuito. c) L intensidd de l corriente eléctric que circul por el circuito, indicndo su sentido, en función del tiempo. Representrl gráficmente, tomndo como sentido positivo el contrrio l de ls gujs del reloj.!! d) L fuerz que el cmpo mgnético B = B x ejerce sore el circuito. z R w O y x