Conteo de eventos y estadística de fotones.

Transcripción

1 Conteo de eventos y estadística de fotones. Práctica de laboratorio 5 Resuen Los tubos fotoultiplicadores (PMT), los fotodiodos y los sensores de iagen CCD son coúnente usados para detectar bajos niveles de luz. Estos detectores, en la ayoría de las aplicaciones, convierten luz en señales eléctricas analógicas (corriente o voltaje). Sin ebargo, cuando el nivel de iluinación se vuelve suficienteente débil, de fora que los fotones incidentes son detectados coo pulsos, el étodo de conteo de fotones usando un tubo fotoultiplicador es uy efectivo, siepre y cuando el valor edio de los intervalos teporales entre pulsos sea ás largo que la resolución teporal del tubo fotoultiplicador. Esta práctica consiste en una serie de experientos de conteo de fotones. Está diseñada para aprender técnicas de edición digitales, coprender el funcionaiento y características de los fotoultiplicadores, y para ilustrar la naturaleza probabilística del proceso de fotodetección, así coo las fluctuaciones estadísticas de la luz. Tabién se espera que se coprendan las capacidades que brinda la interacción entre instruentos de edición de señales teporales y una coputadora en cuanto a la sisteatización y repetición de ediciones Objetivos de la práctica Coprender los procesos de edición de flujos de luz extreadaente bajos, Conocer el potencial de la cobinación osciloscopio-pc y aprender a autoatizar ediciones, Failiarizarse con equipos de detección y conteo de eventos y aprender sus características y sus liitaciones, Trabajar con (al enos un) étodo de anejo de señales digitales, Distinguir distintos tipos de fuentes de luz según su estadística, Acercarse al anejo y las herraientas de estudio de procesos estadísticos. Introducción Un tubo fotoultiplicador consiste en un fotocátodo, un ultiplicador de electrones, copuesto por varios dinodos, y un ánodo (figura ). Cuando la luz entra al fotocátodo de un fotoultiplicador, éste eite electrones. Estos fotoelectrones son ultiplicados por una eisión secundaria de electrones en los dinodos y finalente colectada por el ánodo coo pulsos de salida. En aplicaciones counes, estos pulsos de salida no son tratados individualente, sino coo una corriente analógica creada a partir de una gran cantidad de estos pulsos (este es el odo analógico de funcionaiento). En el caso analógico, una gran cantidad de fotones por unidad de tiepo inciden en el fotoultiplicador, y coo resultado, los fotoelectrones son eitidos por el fotocátodo. Conteo de fotones y estadística Laboratorio 5

2 Los fotoelectrones ultiplicados por los dinodos son entonces recogidos en el ánodo coo pulsos de salida. En este punto, cuando el intervalo teporal entre pulsos es ás corto que el ancho de cada pulso, o el circuito eléctrico que porta la señal no es suficienteente rápido, los pulsos de salida se superponen entre sí y eventualente se los puede ver coo una corriente eléctrica con fluctuaciones de conocidas coo shot noise. a) b) Fotocátodo D D2 D3... D8 D9 D Ánodo Señal de salida e hν e R c -HV Figura : a) disposición de los distintos coponentes de un tubo fotoultiplicador b) Diagraa de conexiones eléctricas típicas para un fotoultiplicador coo el P28 de Haaatsu [], que es el que se utiliza en esta práctica. Por el contrario, cuando la intensidad de luz es tan baja que los fotones incidentes están bien separados teporalente, los pulsos de salida del ánodo tabién son discretos. El núero de pulsos de salida guarda una proporción directa con la cantidad de luz incidente, y este étodo de conteo de pulsos tiene ventajas en la relación señal ruido y estabilidad respecto del odo analógico, en el cual se realiza un proedio de todos los pulsos. Esta técnica de conteo de pulsos se conoce coo conteo de fotones. Y, ya que los pulsos detectados se soeten a procesaiento binario o conteo digital, al étodo de conteo de fotones tabién se lo conoce coo odo digital [2]. En un experiento de conteo de fotones, con iluinación uy tenue, cada pulso es identificado con la detección de un fotón en el fotocátodo, y se lo registra coo una cuenta. Al registrar un gran núero de cuentas (o al contar durante un período de tiepo repetidas veces), se puede obtener la estadística del núero de fotones por unidad de tiepo, lo que da inforación sobre la naturaleza de la fuente de luz observada. Por ejeplo, una fuente clásica onocroática de luz, cobinada con un detector perfecto, debería dar siepre la isa cantidad de cuentas en el iso intervalo de tiepo. En un enfoque seiclásico, las cuentas surgen de la naturaleza cuántica de la interacción entre la luz y el aterial del cátodo (efecto fotoeléctrico). Una fuente térica, genera un capo fluctuante que iplica una cantidad distinta de cuentas registradas en cada repetición del experiento, anifestando un coportaiento estadístico característico del carácter estocástico de las fuentes téricas. Conteo de fotones y estadística Laboratorio 5 2

3 En esta práctica se propone estudiar todos los pasos involucrados en un experiento de conteo de fotones, desde el étodo de adquisición de datos hasta la caracterización estadística de una fuente luinosa, pasando por la caracterización de los instruentos utilizados, distintos étodos de discriinación de pulsos, estableciiento de las condiciones de trabajo de estos últios y la generación de fuentes de luz con distintas estadísticas. Introducción a la teoría seiclásica de la detección óptica Casi todos los detectores de uso práctico iden la intensidad de un haz de luz, no su capo eléctrico. Su operación se basa en la absorción de una parte del haz, cuya energía es convertida a una fora detectable. Los fotoultiplicadores no son la excepción. Para discutir cóo se detecta y qué se detecta de la luz, basaos la discusión en el fotoultiplicador, que coo se dijo antes, convierte la intensidad óptica en pulsos de corriente eléctrica. El fototubo se basa en el efecto fotoeléctrico, en el que la absorción de un fotón por un átoo excita un electrón desde un estado ligado a uno libre, en el que puede abandonar el átoo. El fototubo está diseñado para que este electrón produzca ás electrones libres en un proceso de cascada, hasta que la corriente electrónica sea detectable. La detección de cada pulso corresponde a una fotocuenta, y al cantidad edida es la tasa de fotocuentas. Entonces, en la teoría seiclásica de la detección, donde el átoo es tratado en fora cuántica ientras que EL CAMPO ELECTROMAGNÉTICO es tratado EN FORMA CLÁSICA, el fototubo convierte una intensidad clásica continua y proediada en un ciclo I ˆ( en una sucesión de fotocuentas discretas [3]. La tasa de ionización de los átoos del fotocátodo (y los dinodos) es proporcional a la densidad de energía óptica, o intensidad. El núero de fotocuentas producidas durante un tiepo de integración T da una edida de la intensidad óptica. Un experiento de fotoconteo típico consiste en una colección grande de ediciones sucesivas del núero de fotocuentas en intervalos de tiepo siilares, T. Los resultados se pueden expresar coo una distribución de probabilidades P (T), de ocurrencia de fotocuentas durante el tiepo de observación T. El objetivo de las cuentas que siguen es deterinar la relación de la distribución estadística de fotocuentas edida P (T), con las propiedades estadísticas del haz de luz. Para este desarrollo seiclásico, la única suposición necesaria es que la probabilidad p( por unidad de tiepo de una fotoionización en el instante t es proporcional a la intensidad proediada en un ciclo de oscilación del capo I ˆ(, en ese instante. La probabilidad de que el haz de luz produzca una fotoionización, registrada coo una única fotocuenta, durante el intervalo de tiepo entre t y t+dt es entonces: p ( dt ε Iˆ( dt. () La constante de proporcionalidad ε representa la eficiencia del detector. No vaos a hacer toda la cuenta acá [4], pero siguiendo el razonaiento de arriba se llega a la llaada fórula de Mandel [5], que dice que si se considera el período de tiepo entre t a t+t, y si P (t,t) es la probabilidad de que fotocuentas ocurran en ese intervalo de tiepo, la distribución que buscaos calcular, P (T), se deterina coo un proedio de P (t,t) sobre un gran núero de instantes iniciales t: Conteo de fotones y estadística Laboratorio 5 3

4 [ εiˆ ( t, T ) T ] [ Iˆ ( t T ) T ] P ( T ) exp ε,, (2)! donde los corchetes arcan un proedio sobre varios instantes iniciales t; o equivalenteente, un proedio estadístico sobre las fluctuaciones de intensidad I ˆ( t, T). La interpretación de I ˆ( t, T) es la intensidad de luz edia que incide sobre el fototubo durante el período de tiepo entre t y t+t. Es, justaente, la edida de las fluctuaciones de intensidad: t+ T I ˆ ( t, T ) Iˆ( t ) dt. (3) T El proedio estadístico de la expresión (2) es difícil de calcular en general, pero se puede hacer para algunos casos especiales siples, que se detallan a continuación. t Casos particulares.onda clásica de aplitud estable: El ás siple de todos los casos es el de una onda clásica y estable (un láser onoodo se aproxia a esta descripción), para la que la intensidad proediada en un ciclo tiene un valor I, independiente del tiepo. No hay fluctuaciones de intensidad, entonces por (3), Iˆ ( t, T ) Iˆ y la expresión (2) se transfora en: Con un núero edio de fotocuentas P ( T ) e. (4)! εiˆt. (5) Esta es una distribución de Poisson, coo las que se uestran en la figura 2 para 3 valores de valor edio. Esta estadística de fotocuentas es la isa que se encuentra en la eisión de partículas durante el decaiiento radiactivo de un isótopo de vida edia larga, o en el la llegada de gotas de lluvia en una precipitación constante (el sonido de las gotas sobre una chapa). 2. Experientos con tiepo de integración largos: La fora de Poisson de la distribución de cuentas tabién aparece en experientos con fuentes de luz de intensidad fluctuante, en los que el tiepo de integración T es ucho ás largo que el tiepo característico de dichas fluctuaciones. La intensidad edia en el período de edición, definida en (3), es independiente del instante inicial, y entonces no hay necesidad de hacer proedios en (2). El valor edio de cuentas está de nuevo dado por (5), donde Î es ahora el proedio de intensidad a tiepos largos. La distribución de Poisson se aplica entonces a luz caótica cuando T es ucho ayor que el tiepo de coherencia o tiepo característico de la fuente, τ c, de fora tal que las fluctuaciones de intensidad son proediadas a un valor constante debido a la duración del experiento. Conteo de fotones y estadística Laboratorio 5 4

5 T).5 P( Figura 2. Distribución de Poisson para la probabilidad del núero de fotones para luz coherente, para distintos núeros edios de fotones. 3. Luz caótica con espectro de frecuencias Gaussiano: La distribución de fotocuentas tabién se puede rescribir en fora copacta y siple para luz caótica, en la condición opuesta de un tiepo de integración que sea ucho ás corto que el tiepo de coherencia. La intensidad instantánea Iˆ ( t, T) en este caso es esencialente constante en el período T, y la ecuación (3) se rescribe Iˆ( t, T ) Iˆ( para T << τ c. (6) Para luz caótica con estadística gaussiana, la probabilidad de que una edición instantánea del proedio de intensidad en un ciclo proedio esté entre I ˆ( y I ˆ( + diˆ( es p [ Iˆ ( ] diˆ(, con p [ Iˆ ( ] exp( ˆ( Iˆ I ) (7) Iˆ la distribución de probabilidades para la intensidad instantánea de luz caótica. Entonces para un haz de luz estacionario de luz caótica, el proedio (2) se puede calcular así: [ T ] () t εiˆ () t Iˆ P T ) [ εi () t T ] di() t + I exp I exp ˆ ˆ ˆ ˆ! (, (8) ( + ) Conteo de fotones y estadística Laboratorio 5 5

6 con definido en (5). Estos casos especiales pueden ser recreados en el laboratorio, y uno de los objetivos de esta práctica es edir la estadística de distintas fuentes, esperando reconstruir las probabilidades calculadas para estos ejeplos. En la figura 3 se uestran distribuciones de probabilidad de núero de fotones para una fuente caótica, para tres valores del núero edio de fotones P(T) Figura 3: Distribuciones de núero de fotones para una fuente de luz térica. Luz caótica: construcción de una fuente de luz seudo-térica La distribución geoétrica de fotocuentas para luz caótica con tiepos de integración corta puede ser edida en un laboratorio, siepre y cuando se cuente con una fuente caótica de tiepo de coherencia suficienteente largo. Desafortunadaente, esto no es posible conseguirlo con fuentes téricas reales, ya que sus tiepos son extreadaente cortos (usualente enores al picosegundo) y los tiepos ínios de detección están liitados por la electrónica del sistea de conteo. Sin ebargo, se puede fabricar una fuente de luz pseudo-térica [6], con las que se obtienen tiepos de coherencia del orden del ilisegundo, adecuados para edir en las condiciones de T << τ c. Esto se consigue dispersando la luz de un láser sobre un grupo de centros dispersores distribuidos al azar en oviiento. Se puede hacer de dos foras distintas; una se basa en la dispersión de un haz láser sobre esferas plásticas de taaño sub-icroscópico suspendidas en un líquido; la otra, en la dispersión de un láser sobre un disco Conteo de fotones y estadística Laboratorio 5 6

7 eserilado rotante. En esta práctica se usa este últio (pero tabién se puede experientar con el otro esquea!!). El principio de funcionaiento del étodo del disco rotante es el siguiente: el haz incidiendo sobre el disco eserilado genera un patrón de speckle debido a la coherencia espacial del láser de He-Ne. Dicho de otro odo, sobre un pinhole dispuesto a cierta distancia del disco, el capo que se observa es la superposición coherente de varias ondas esféricas generadas en cada uno de los centros dispersores, que tienen taaño y posición aleatoria. El resultado es entonces una intensidad que varía abruptaente con la posición del punto de observación (esto es el speckle). Si el disco se translada (rota) perpendicularente al haz, el patrón de speckle cabia y la luz fluctúa. Se puede ostrar que para un diáetro de pinhole ucho ás chico que el taaño del grano de speckel, la intensidad de la luz detrás de esta abertura tiene fluctuaciones descriptas por la isa fórula que aquellas de luz térica. La ventaja de este étodo es que uno puede controlar el tiepo de correlación τ c en fora continua, variando la velocidad de rotación del disco. Propuesta experiental: El trabajo experiental de esta práctica se divide en varias fases. Trate de no soslayar ninguna; posteriorente podrá concentrarse en la que le despierta ás interés o otivación. Las etapas son, cronológicaente, las siguientes:. Failiarización, estudio y caracterización del fotoultiplicador. La idea es apreciar sobre el osciloscopio los distintos regíenes, el de conteo (tabién llaado odo Geiger) y el de corriente. Apreciar cóo cabia la señal de salida en función de: La resistencia de carga, la cantidad de luz incidente, la tensión de alientación 2. Interacción entre el osciloscopio y la PC. Los osciloscopios del Laboratorio pueden ser interconectados con una coputadora, a través de alguno de sus puertos de entrada/salida. En particular, para esta práctica se trabaja con osciloscopios Tektronix TDS, con conexión USB, y el control y onitoreo del iso se realiza sobre el software Labview 8.5. (Aunque no es excluyente). Se propone en esta etapa investigar las distintas rutinas de counicación osciloscopio-pc (llaados instruentos virtuales o VI s por el fabricante del software), desde el ás siple al ás copleto y eventualente odificar alguno o varios de ellos. Adeás, es preciso tener una idea de qué señal se le puede pedir (y qué es lo que entrega) el osciloscopio y este es un buen oento para clarificar este punto. 3. Procesaiento de las señales: para realizar conteo de eventos, es preciso definir qué es un evento, o sea traducir la respuesta digital del osciloscopio frente a una señal analógica del fotoultiplicador, a eventos digitales que se puedan contar. En el prograa de adquisición esto se realiza de una fora particular, antes de ver eso conviene hacerse una idea de cóo se podría hacer, en fora ás o enos rápida y sisteática. 4. Caracterización de la señal de oscuridad del fotoultiplicador y selección de distintos paráetros de trabajo del iso. Ya ediante el sistea de adquisición de datos, y con lo aprendido en, 2 y 3 se propone estudiar cóo elegir la resistencia de carga, la tensión de alientación, los distintos intervalos teporales y el valor de ubrales de discriinación a usar. Para esto es uy Conteo de fotones y estadística Laboratorio 5 7

8 5. conveniente la lectura de las secciones y 2 (y las siguientes tabién, claro) de la Nota Técnica Photon Counting with Photoultiplier Tubes de Haaatsu [2], así coo los trabajos de Koczyk et al, [7] y Martinez Ricci et al [8]. Coo estudio previo se puede estiar el núero de cuentas oscuras a partir del dato de corriente de oscuridad de la hoja de datos del detector. Para eso hay que suponer que la carga total de un pulso es igual a la carga del electrón por la ganancia del FM. [Hay que tener en cuenta el valor obtenido de cuentas de oscuridad para luego edir en regíenes de intensidad de luz que no sean afectados por la cantidad de cuentas oscuras (C/s luz >>C/s dark )]. Montaje del aparato para generar luz caótica. Este ontaje es general para cualquier experiencia de conteo de fotones. Se uestra una sugerencia en la figura 2, y ás detalles en la referencia [7]. La ventaja de tener este sistea arado a priori, es que variando la velocidad del disco desde su inovilidad al áxio posible, se pueden acceder a distintos tipos de estadística de la luz (el disco quieto produce iluinación láser unifore sobre el pinhole, esto es equivalente a no tener ningún disco). En el ontaje, por delante del láser aparecen dos polarizadores. La idea de esto es poder variar la cantidad de luz (los fotoultiplicadores son uy sensibles, así que no necesitaos casi nada de luz!!! hay que pensar cóo se alinean las cosas y cóo se atenúa la luz para el experiento. La lente perite cabiar el taaño del haz sobre el disco. Esto hace que la cantidad de centros dispersores varíe. Pensar esto; para qué y qué efecto tiene sobre el haz de speckle? Probar! Los dos pinholes están para liitar la cantidad de luz que le llega al fototubo. El detalle de esto se verá en el experiento. osciloscopio laser lente convergente pinhole FM R c polarizadores disco rotante pinhole PC Figura 4: Esquea posible del experiento. 6. Estudiar la estadística de fotones, para distintos tiepos de integración (cóo los selecciona?), distintas velocidades del disco y condiciones de enfoque del haz sobre el disco rotante. Qué pasa si las condiciones no son ni que T>>τ c ni lo opuesto (T<< τ c ), sino algo interedio? cóo es la estadística? se podría estiar la fora (hay que hacer los proedios de (2) nuéricaente, no? De paso: cóo estia tc? 7. Pensar algún étodo para edir τ c. Tal vez haya que odificar el prograa de adquisición. [Ayuda: leer un poco sobre la función de autocorrelación] Conteo de fotones y estadística Laboratorio 5 8

9 Seguridad Se deberán toar los recaudos del caso con la fuente de luz, ya que el láser de He-Ne es clase III. Precaución equivalente habrá que tener con la fuente de alta tensión, que pese a no ser capaz de entregar corrientes peligrosas requiere ser cuidadosos en su anejo. En lo que respecta al instruental, los FM son detectores uy sensibles que se pueden arruinar teporal o peranenteente si se los iluina con luz intensa. El encendido inicial de estos detectores se tiene que hacer en presencia de un docente que verifique que la luz incidente en los detectores está por debajo del líite. Adeás, es fácil dañar al fotoultiplicador en fora irreversible si se supera una tensión de alientación áxia (consultar la hoja de datos del detector). Hay que tener ucho cuidado y prestar atención con los tipos de terinales de los cables de alta tensión que alientan a los FM, para no enchufarlos en cualquier otro lado. Referencias [] hoja técnica del fotoultiplicador [2] ; nota técnica Conteo de fotones con tubos fotoultiplicadores [3] L. Mandel and E. Wolf, Optical Coherence and Quantu Optics (Cabridge University Press, Cabridge, 995), sección 4-4; R. Loudon, The Quantu Theory rd of light, Oxford Science Publications, 3 ed. (Oxford, 27), capítulo 6. [4] R. Loudon, The Quantu Theory of light, Oxford Science Publications, 3 rd ed. (Oxford, 27), capítulo 3, p. 7. [5] L. Mandel and E. Wolf, Optical Coherence and Quantu Optics (Cabridge University Press, Cabridge, 995), capítulo 9. [6] W. Martienssen and E. Spiller, A. J. Phys. 32, pp (964). [7] P. Koczyk, P. Wiewiór, and C. Radzewicz, Photon counting statistics Undergraduate experient, A. J. Phys. 63, pp (996). [8] M.L. Martinez Ricci, J. Mazzaferri, A.V. Bragas and O.E. Martinez, Photon counting statistics using a digital oscilloscope, A. J. Phys. 75, pp (27). Conteo de fotones y estadística Laboratorio 5 9