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1 UNIVERSIDAD DE ATACAMA FACULTAD DE INGENIERÍA / DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA GUÍA 2: PROBABILIDAD Plan Común de Ingeniería 1. En un torneo de baloncesto vacacional participan cuatro universidades: 1, 2, 3 y 4. En la primera ronda, 1 jugará contra 2 y 3 contra 4. Los dos ganadores jugarán por el campeonato, y los dos perdedores también jugarán. Un posible resultado se puede representar por 1324 (1 le gana a 2 y 3 le gana a 4 en la primera ronda, y después 1 derrota a 3 y 2 le gana a 4). a) Hada una lista de todos los resultados en S. b) Sea A el evento en que 1 gana el torneo. Haga una lista de los resultados en A. c) Sea B el evento en que 2 llega a la final. Haga una lista de los eventos en B. d) Cuáles son los resultados en A B y en A B? Cuáles son los resultados en A? 2. Una compañía de fondo mutualista ofrece a sus clientes varios fondos diferentes: uno de mercado de dinero, tres fondos diferentes de bonos (a corto, mediano y largo plazos), dos de acciones (riesgo moderado y alto) y uno balanceado. Entre los clientes que poseen acciones en uno solo de los fondos, los porcentajes de clientes en los diferentes fondos son los siguientes: Mercado de dinero 20 % Acciones de alto riesgo 18 % Bono a corto plazo 15 % Acciones de riesgo moderado 25 % Bono a mediano plazo 10 % Fondo balanceado 7 % Bono a largo plazo 5 % Se selecciona al azar un cliente que tenga acciones en sólo uno de los fondos. a) Cuál es la probabilidad de que el cliente tenga acciones en el fondo balanceado? R: 0,07 b) Cuál es la probabilidad de que el cliente tenga acciones en un fondo de bonos? R: 0,30 PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA: GUÍA 2 1

2 c) Cuál es la probabilidad de que el cliente no tenga acciones en un fondo de acciones? R: 0,57 3. Se selecciona al azar un alumno de cierta universidad y señalamos como A el evento en que el individuo seleccionado tiene una tarjeta de crédito Visa y como B el evento análogo para una MasterCard. Supongamos que P (A) = 0,5, P (B) = 0,4 y P (A B) = 0,25. a) Calcule la probabilidad de que el individuo seleccionado tenga al menos una de las dos tarjetas; esto es, la probabilidad del evento A B. R: 0,65 b) Cuál es la probabilidad de que el individuo seleccionado no tenga ninguna de esas tarjetas? R: 0,35 c) Describa, en términos de A y B, el evento en que el alumno seleccionado tenga una tarjeta Visa, pero no una MasterCard, y a continuación calcule la probabilidad del evento. R: 0,25 4. Una empresa de consultoría de computadoras ha licitado en tres proyectos. Supongamos que A 1 = {proyecto iotorgado}, para i = 1, 2, 3, y P (A 1 ) = 0,22, P (A 2 ) = 0,25 y P (A 3 ) = 0,28, P (A 1 A 2 ) = 0,11, P (A 1 A 3 ) = 0,05, P (A 2 A 3 ) = 0,07, P (A 1 A 2 A 3 ) = 0,01. Exprese verbalmente cada uno de los siguientes eventos y calcule la probabilidad. a) A 1 A 2. b) A 1 A 2. Sugerencia: (A 1 A 2 ) = A 1 A 2. c) A 1 A 2 A 3. d) A 1 A 2 A 3. e) A 1 A 2 A 3. f ) (A 1 A 2) A 3. R: 0,36 R: 0,64 R: 0,53 R: 0,47 R: 0,17 R: 0,75 5. El evento A es que el siguiente libro que salga de una biblioteca pública será de no ficción y B de ficción. Supongamos que P (A) = 0,35 y P (B) = 0,50. a) Por qué no es posible que P (A) + P (B) = 1? PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA: GUÍA 2 2

3 b) Calcule P (A ). c) Calcule P (A B). d) Calcule P (A B ). R: 0,65 R: 0,85 R: 0,15 6. Una gran empresa ofrece a sus empleados dos planes de seguro contra enfermedades y dos planes de seguro dental. El plan 1 de ambos tipos es relativamente barato pero limita la elección de doctores, mientras que el plan 2 es más caro, pero más flexible. La tabla siguiente muestra los porcentaje de los empleados que han elegido los diversos planes: Plan dental Plan médico % 16 % 2 22 % 37 % Suponga que se selecciona al azar un empleado para determinar qué plan médico y dental seleccionó. a) Cuáles son los cuatro eventos posibles? b) Cuál es la probabilidad de que el empleado seleccionado haya elegido el plan más restringido de cada clase?. R: 0,25 c) Cuál es la probabilidad de que el empleado haya elegido el plan dental más flexible? R: 0,53 7. Una compañía de seguros ofrece cuatro niveles diferentes de deducible: ninguno, bajo, medio y alto para sus asegurados propietarios de casa; y tres niveles diferentes, bajo, medio y alto para asegurados propietarios de automóvil. La tabla siguiente muestra las proporciones para las diversas categorías de asegurados que tienen ambos tipos de seguro. Por ejemplo, la proporción de individuos con casa habitación y deducible bajo y con automóvil y deducible bajo es 0,06(6 %). Propietario de casa Auto N L M H L 0,04 0,06 0,05 0,03 M 0,07 0,10 0,20 0,10 H 0,02 0,03 0,15 0,15 Suponga que un individuo seleccionado al azar tiene ambos tipos de pólizas. PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA: GUÍA 2 3

4 a) Cuál es la probabilidad de que el individuo un deducible medio de automóvil? un deducible alto de casa habitación? R: 0,10 b) Cuál es la probabilidad de que tenga un deducible bajo de automóvil? y un deducible bajo de casa habitación? R: 0,18, 0,19 c) Cuál es la probabilidad de que tenga la misma categoría de deducible de automóvil y de cada habitación? R: 0,41 d) Basándonos en las respuestas del inciso (c), cuál es la probabilidad de que las dos categorías sean diferentes? R: 0,59 e) Cuál es la probabilidad de que tenga, al menos, un nivel bajo de deducible? R: 0,31 f ) Según la respuesta del inciso (e), cuál es la probabilidad de que ningún nivel de deducible sea bajo? R: 0,69 8. El consejo de estudiantes de ingeniería de cierta universidad tiene un representante en cada una de las cinco ramas principales de ingeniería (civil, eléctrica, industrial, de materiales y mecánica). En cuántas formas se puede: a) seleccionar presidente y vicepresidente del consejo? b) seleccionar un presidente, vicepresidente y secretario? c) seleccionar dos miembros para el consejo del presidente? R: 20 R: 60 R: Una planta de producción emplea a 20 trabajadores en el turno de día, 15 en el segundo turno y 10 en el de la noche. Un consultor de control de calidad selecciona 6 de estos trabajadores para hacerles una entrevista a fondo. Supongamos que la selección se hace en tal forma que cualquier grupo de 6 trabajadores tiene la misma probabilidad de ser seleccionado, del mismo modo que cualquier otro grupo (seleccionar 6 sin sustitución, de entre 45). a) De cuántas maneras se puede seleccionar 6 trabajadores que provengan del turno de día? Cuál es la probabilidad de que los 6 trabajadores seleccionados sean del turno de día? R: , 0,048 b) Cuál es la probabilidad de que los 6 trabajadores seleccionados sean del mismo turno? R: 0,0054 PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA: GUÍA 2 4

5 c) Cuál es la probabilidad de que, al menos, dos turnos diferentes sean representados entre los trabajadores seleccionados? R: 0, En cierta bodega, una caja contiene cuatro focos de 40W, cinco de 60W y seis 75W. Suponga que se selecciona al azar tres focos. a) Cuál es la probabilidad de que exactamente dos de los focos seleccionados sean de 75W? R: 0,2967 b) Cuál es la probabilidad de que los tres focos seleccionados tengan la misma probabilidad? R: 0,0747 c) Cuál es la probabilidad de seleccionar un foco de cada potencia? R: 0,2637 d) Ahora suponga que se deben seleccionar los focos, uno por uno, hasta encontrar uno de 75W. Cuál es la probabilidad de sacar seis focos cuando menos? R: 0, Cierto automóvil deportivo está equipado con transmisión automática o con transmisión manual, y se puede adquirir en uno de cuatro colores. Las probabilidades relevantes de las diversas combinaciones de tipo de transmisión y color son las siguientes: Color Blanco Azul Negro Rojo Tipos de A 0,15 0,10 0,10 0,10 transmisión M 0,15 0,05 0,15 0,20 A = {transmisión automática}, B = {negro}, C = {blanco}. a) Calcule P (A), P (B) y P (A B). R: 0,45, 0,25, 0,10 b) Calcule P (A B) y P (B A) y explique qué representa cada una de estas probabilidades. R: 0,40, 0,2222 c) Calcule e interprete P (A C) y P (A C ). R: 0,50, 0, En cierta gasolinera, 40 % de los clientes utilizan gasolina regular sin plomo (A 1 ), 35 % gasolina extra sin plomo (A 2 ) y 25 % gasolina premium sin plomo (A 3 ). De los clientes que consumen gasolina regular, sólo 30 % llenan sus tanques (evento B). De los que consumen gasolina extra, 60 % llenan sus tanques, mientras que, de los que usan premium, 50 % llenan sus tanques. PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA: GUÍA 2 5

6 a) Cuál es la probabilidad de que el siguiente cliente pida gasolina extra sin plomo y llene su tanque (A 2 B)? R: 0,21 b) Cuál es la probabilidad de que el siguiente cliente llene el tanque? R: 0,455 c) Si el siguiente cliente llena el tanque, cuál es la probabilidad de que pida gasolina regular?, extra? y premium? R: 0,264, 0,462, 0, En el ejercicio anterior, considere la siguiente información adicional sobre el uso de las tarjetas de crédito: 70 % de los clientes que consumen gasolina regular y llenan sus tanques usan tarjeta de crédito. 50 % de todos los clientes que consumen gasolina regular y no llenan su tanque usan tarjeta de crédito. 60 % de todos los clientes que consumen gasolina extra y llenan su tanque usan tarjeta de crédito. 50 % de todos los clientes que consumen gasolina extra y no llenan su tanque usan tarjeta de crédito. 50 % de todos los clientes que consumen gasolina premium y llenan su tanque usan tarjeta de crédito. 40 % de todos los clientes que consumen gasolina premium y no llenan su tanque usan tarjeta de crédito. Calcule la probabilidad de cada uno de los siguientes eventos para el siguiente cliente que llegue (un diagrama de árbol puede ser útil). a) {extra, llena el tanque y usa tarjeta de crédito}. b) {premium, no llena el tanque y usa tarjeta de crédito}. c) {premium, y usa tarjata de crédito}. d) {llena el tanque y usa tarjeta de crédito}. e) {usa tarjeta de crédito}. R: 0,1260 R: 0,05 R: 0,1125 R: 0,2725 R: 0,5325 f ) Si el siguiente cliente usa tarjeta de crédito, cuál es la probabilidad de que haya pedido gasolina premium? R: 0,2113 PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA: GUÍA 2 6

7 14. Un ejecutivo de viaje de negocios debe rentar un automóvil en dos ciudades. Sea A el evento donde al ejecutivo le ofrecen una afinación gratis en la primera ciudad y B el evento similar en la segunda. Suponga que P (A) = 0,2, P (B) = 0,3 y que A y B son eventos independientes. a) Si al ejecutivo no se le ofrece afinación gratis en la primera cuidad, cuál es la probabilidad de que no se le ofrezca afinación gratis en la segunda? Explique sus deducciones. R: 0,7 b) Cuál es la probabilidad de que al ejecutivo se le ofrezca una afinación gratis al menos en una de las dos ciudades? R: 0,44 c) Si se le ofrece una afinación gratis en al menos una de las dos ciudades, cuál es la probabilidad de que esa oferta sólo sea en al primera ciudad? R: 0, Una costura hecha en una avión necesita 25 remaches. La costura tendrá que volver a realizarse si cualquiera de los remaches está defectuoso. Suponga que los remaches están defectuosos independientemente unos de otros, cada uno con la misma probabilidad. a) Si 14 % de todas las costuras necesitan volver a efectuarse, cuál es la probabilidad de que un remache esté defectuoso? R: 0,00601 b) Qué tan pequeña debe ser la probabilidad de un remache defectuoso para asegurar que sólo 10 % de todas las costuras necesiten volver a ejecutarse? R: Sesenta por ciento de todos los vehículos examinados en cierto centro de verificación de emisiones pasa la prueba. Si se supone que vehículos sucesivos pasan o no pasan independientemente uno de otro, calcule las siguientes probabilidades. a) P (los siguientes tres vehículos pasan). b) P (al menos uno de los tres siguientes inspeccionados no pasan). c) P (exactanmente uno de los tres siguientes inspeccionados pasan). d) P (a lo sumo, uno de los tres vehículos inspeccionados pasan). R: 0,216 R: 0,784 R: 0,288 R: 0,352 e) Dado que al menos uno de los tres vehículos pasan la verificación, cuál es la probabilidad de que los tres pasen (una probabilidad condicional)? R: 0,231 PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA: GUÍA 2 7

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